Supports cubiques. Polynômes au carré

Considérons maintenant la quadrature d'un binôme et, appliquant un point de vue arithmétique, nous parlerons du carré de la somme, soit (a + b)² et du carré de la différence de deux nombres, soit (a – b )².

Puisque (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

alors on trouve : (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², soit

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Il est utile de rappeler ce résultat à la fois sous la forme de l'égalité décrite ci-dessus et sous forme de mots : le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier nombre plus le produit de deux par le premier nombre et le second. nombre, plus le carré du deuxième nombre.

Connaissant ce résultat, on peut immédiatement écrire, par exemple :

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Regardons le deuxième de ces exemples. Il faut mettre au carré la somme de deux nombres : le premier nombre est 3ab, le second 1. Le résultat doit être : 1) le carré du premier nombre, c'est-à-dire (3ab)², qui est égal à 9a²b² ; 2) le produit de deux par le premier nombre et le deuxième, soit 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab ; 3) le carré du 2ème nombre, soit 1² = 1 - tous ces trois termes doivent être additionnés.

On obtient également une formule pour mettre au carré la différence de deux nombres, c'est-à-dire pour (a – b)² :

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

c'est-à-dire que le carré de la différence de deux nombres est égal au carré du premier nombre, moins le produit de deux par le premier nombre et le second, plus le carré du deuxième nombre.

Connaissant ce résultat, nous pouvons immédiatement effectuer la quadrature des binômes, qui, d'un point de vue arithmétique, représentent la différence de deux nombres.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(un n-1 – un) 2 = un 2n-2 – 2un n + un 2, etc.

Expliquons le 2ème exemple. Ici nous avons entre parenthèses la différence de deux nombres : le premier nombre est 5ab 3 et le deuxième nombre est 3a 2 b. Le résultat doit être : 1) le carré du premier nombre, soit (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) le produit de deux par le 1er et le 2ème nombre, soit 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 et 3) le carré du deuxième nombre, soit (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Les premier et troisième termes doivent être pris avec un plus, et le 2ème avec un moins, on obtient 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Pour expliquer le 4ème exemple, notons seulement que 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... l'exposant doit être multiplié par 2 et 2) le produit de deux par le 1er nombre et par le 2ème = 2 ∙ une n-1 ∙ une = 2une n .

Si l'on se place du point de vue de l'algèbre, alors les deux égalités : 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² et 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² expriment la même chose, à savoir : le carré du binôme est égal au carré du premier terme, plus le produit du nombre (+2) par le premier terme et le second, plus le carré du deuxième terme. Cela est clair car nos égalités peuvent être réécrites comme suit :

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

Dans certains cas, il est pratique d’interpréter les égalités résultantes de cette manière :

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Ici nous mettons au carré un binôme dont le premier terme = –4a et le deuxième = –3b. On obtient ensuite (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² et enfin :

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Il serait également possible d'obtenir et de mémoriser la formule pour mettre au carré un trinôme, un quadrinôme ou n'importe quel polynôme en général. Cependant, nous ne le ferons pas, car nous avons rarement besoin d'utiliser ces formules, et si nous avons besoin de mettre au carré un polynôme (sauf un binôme), nous réduirons la question à la multiplication. Par exemple:

31. Appliquons les 3 égalités obtenues, à savoir :

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

à l'arithmétique.

Soit 41 ∙ 39. Nous pouvons alors représenter cela sous la forme (40 + 1) (40 – 1) et réduire le problème à la première égalité - nous obtenons 40² – 1 ou 1600 – 1 = 1599. Grâce à cela, il est facile d'effectuer des multiplications comme 21 ∙ 19 ; 22 ∙ 18 ; 31 ∙ 29 ; 32 ∙ 28 ; 71 ∙ 69, etc.

Que ce soit 41 ∙ 41 ; c'est la même chose que 41² ou (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Aussi 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Si vous avez besoin de 37 ∙ 37, alors cela est égal à (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. De telles multiplications (ou mise au carré de nombres à deux chiffres) sont faciles à réaliser, avec une certaine habileté, dans l'esprit.

Afin de simplifier les polynômes algébriques, il existe formules de multiplication abrégées. Il n'y en a pas beaucoup et ils sont faciles à retenir, mais vous devez vous en souvenir. La notation utilisée dans les formules peut prendre n'importe quelle forme (nombre ou polynôme).

La première formule de multiplication abrégée s'appelle différence de carrés. Elle consiste à soustraire le carré d'un nombre du carré du deuxième nombre, qui est égal à la différence entre ces nombres, ainsi que leur produit.

une 2 - b 2 = (une - b)(une + b)

Regardons-le pour plus de clarté :

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

La deuxième formule concerne somme des carrés. Il semble que la somme de deux quantités au carré soit égale au carré de la première quantité, on y ajoute le double produit de la première quantité multiplié par la seconde, le carré de la deuxième quantité y est ajouté.

(une + b) 2 = une 2 +2ab + b 2

Grâce à cette formule, il devient beaucoup plus facile de calculer le carré d’un grand nombre, sans recourir à la technologie informatique.

Ainsi par exemple : le carré de 112 sera égal à
1) Tout d’abord, décomposons 112 en nombres dont les carrés nous sont familiers
112 = 100 + 12
2) On rentre le résultat entre crochets
112 2 = (100+12) 2
3) En appliquant la formule, on obtient :
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

La troisième formule est différence au carré. Ce qui dit que deux quantités soustraites l'une de l'autre dans un carré sont égales, car de la première quantité au carré on soustrait le double produit de la première quantité multiplié par la seconde, en y ajoutant le carré de la deuxième quantité.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

où (a - b) 2 est égal à (b - a) 2. Pour le prouver, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

La quatrième formule de multiplication abrégée s'appelle cube de somme. Ce qui ressemble à ceci : deux quantités totales dans un cube sont égales au cube de 1 quantité, on ajoute le triple produit de 1 quantité au carré multiplié par la 2ème quantité, à celles-ci s'ajoute le triple produit de 1 quantité multiplié par le carré de 2. quantités, plus la deuxième quantité au cube.

(une+b) 3 = une 3 + 3une 2 b + 3ab 2 + b 3

Le cinquième, comme vous l'avez déjà compris, s'appelle cube de différence. Qui trouve les différences entre les quantités, car de la première notation dans le cube on soustrait le triple produit de la première notation dans le carré multiplié par la seconde, on leur ajoute le triple produit de la première notation multiplié par le carré de la seconde notation, moins la deuxième notation du cube.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Le sixième s'appelle - somme de cubes. La somme des cubes est égale au produit des deux termes multiplié par le carré partiel de la différence, puisqu'il n'y a pas de valeur double au milieu.

une 3 + b 3 = (une+b)(une 2 -ab+b 2)

Une autre façon de dire la somme des cubes est d’appeler le produit entre parenthèses.

Le septième et dernier s'appelle différence de cubes(elle peut être facilement confondue avec la formule du cube de différence, mais ce sont des choses différentes). La différence des cubes est égale au produit de la différence de deux quantités multiplié par le carré partiel de la somme, puisqu'il n'y a pas de valeur double au milieu.

une 3 - b 3 = (une-b)(une 2 +ab+b 2)

Et donc il n'y a que 7 formules de multiplication abrégée, elles se ressemblent et sont faciles à retenir, la seule chose importante est de ne pas se confondre dans les signes. Ils sont également conçus pour être utilisés dans l’ordre inverse, et les manuels contiennent un certain nombre de tâches de ce type. Soyez prudent et tout s'arrangera pour vous.

Si vous avez des questions sur les formules, assurez-vous de les écrire dans les commentaires. Nous serons heureux de vous répondre !

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Les formules d’expressions abrégées sont très souvent utilisées dans la pratique, il est donc conseillé de toutes les apprendre par cœur. En attendant, il nous servira fidèlement, que nous vous recommandons d'imprimer et de garder sous les yeux à tout moment :

Les quatre premières formules du tableau compilé de formules de multiplication abrégées vous permettent de mettre au carré et au cube la somme ou la différence de deux expressions. Le cinquième est destiné à multiplier brièvement la différence et la somme de deux expressions. Et les sixième et septième formules sont utilisées pour multiplier la somme de deux expressions a et b par leur carré incomplet de la différence (c'est ainsi qu'on appelle une expression de la forme a 2 −a b+b 2) et la différence de deux expressions a et b par le carré incomplet de leur somme (a 2 + a·b+b 2 ) respectivement.

Il convient de noter séparément que chaque égalité dans le tableau est une identité. Cela explique pourquoi les formules de multiplication abrégées sont également appelées identités de multiplication abrégées.

Lors de la résolution d'exemples, en particulier dans lesquels le polynôme est factorisé, le FSU est souvent utilisé sous la forme avec les côtés gauche et droit inversés :

Les trois dernières identités du tableau ont leur propre nom. La formule a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) est appelée formule de différence des carrés, une 3 +b 3 =(une+b)·(une 2 −une·b+b 2) - formule de la somme des cubes, UN une 3 −b 3 =(une−b)·(une 2 +une·b+b 2) - formule de différence de cubes. Veuillez noter que nous n'avons pas nommé les formules correspondantes avec des parties réarrangées du tableau précédent.

Formules complémentaires

Cela ne ferait pas de mal d’ajouter quelques identités supplémentaires au tableau des formules de multiplication abrégées.

Domaines d'application des formules de multiplication abrégées (FSU) et exemples

L'objectif principal des formules de multiplication abrégées (fsu) s'explique par leur nom, c'est-à-dire qu'elles consistent à multiplier brièvement des expressions. Cependant, le champ d’application du FSU est beaucoup plus large et ne se limite pas à une multiplication courte. Listons les principales directions.

Sans aucun doute, l'application centrale de la formule de multiplication abrégée a été trouvée dans la réalisation de transformations identiques d'expressions. Le plus souvent, ces formules sont utilisées dans le processus simplification des expressions.

Exemple.

Simplifiez l'expression 9·y−(1+3·y) 2 .

Solution.

Dans cette expression, la quadrature peut être réalisée en abrégé, nous avons 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Il ne reste plus qu'à ouvrir les parenthèses et à ramener des termes similaires : 9 oui−(1 2 +2 1 3 oui+(3 oui) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.