Cours de mécanique technique. Thèmes de devoirs d'auto-apprentissage en mécanique théorique avec des exemples de couverture

Introduction

La mécanique théorique est l’une des disciplines scientifiques générales fondamentales les plus importantes. Il joue un rôle important dans la formation des ingénieurs de toute spécialisation. Les disciplines de l'ingénierie générale s'appuient sur les résultats de la mécanique théorique : résistance des matériaux, pièces de machines, théorie des mécanismes et des machines, etc.

La tâche principale de la mécanique théorique est l'étude du mouvement des corps matériels sous l'influence de forces. Une tâche particulière importante est l'étude de l'équilibre des corps sous l'influence de forces.

Cours magistral. Mécanique théorique

La structure de la mécanique théorique. Bases de la statique

Conditions d'équilibre pour un système de forces arbitraire.

Équations d'équilibre pour un corps rigide.

Système plat de forces.

Cas particuliers d'équilibre des corps rigides.

Problème d'équilibre pour une poutre.

Détermination des efforts internes dans les structures de tiges.

Fondamentaux de la cinématique des points.

Coordonnées naturelles.

La formule d'Euler.

Répartition des accélérations des points d'un corps rigide.

Mouvements de translation et de rotation.

Mouvement plan-parallèle.

Mouvement de points complexe.

Bases de la dynamique des points.

Équations différentielles du mouvement d'un point.

Types particuliers de champs de force.

Fondamentaux de la dynamique d'un système de points.

Théorèmes généraux sur la dynamique d'un système de points.

Dynamique du mouvement de rotation du corps.

Dobronravov V.V., Nikitine N.N. Cours de mécanique théorique. M., Ecole Supérieure, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Cours de mécanique théorique, parties 1 et 2. M., Ecole Supérieure, 1971.

Petkevitch V.V. Mécanique théorique. M., Nauka, 1981.

Recueil de devoirs pour les cours de mécanique théorique. Éd. A.A. Yablonsky. M., Ecole Supérieure, 1985.

Conférence 1. La structure de la mécanique théorique. Bases de la statique

En mécanique théorique, on étudie le mouvement des corps par rapport à d'autres corps, qui sont des systèmes de référence physiques.

La mécanique permet non seulement de décrire, mais aussi de prédire le mouvement des corps, en établissant des relations causales dans un certain nombre de phénomènes très larges.

Modèles abstraits de base de corps réels :

point matériel – a une masse, mais pas de taille ;

corps absolument rigide – un volume de dimensions finies, entièrement rempli d'une substance, et les distances entre deux points quelconques du milieu remplissant le volume ne changent pas au cours du mouvement ;

milieu déformable continu – remplit un volume fini ou un espace illimité ; les distances entre les points d'un tel milieu peuvent varier.

Parmi ceux-ci, les systèmes :

Système de points matériels gratuits ;

Systèmes connectés ;

Un corps absolument solide avec une cavité remplie de liquide, etc.

"Dégénérer" modèles:

Des tiges infiniment fines ;

Des plaques infiniment fines ;

Tiges et fils en apesanteur reliant les points matériels, etc.

Par expérience : les phénomènes mécaniques se produisent différemment selon les endroits du référentiel physique. Cette propriété est l'hétérogénéité de l'espace, déterminée par le système de référence physique. Ici, l'hétérogénéité s'entend comme la dépendance de la nature de l'occurrence d'un phénomène au lieu dans lequel on observe ce phénomène.

Une autre propriété est l'anisotropie (non-isotropie), le mouvement d'un corps par rapport à un système de référence physique peut être différent selon la direction. Exemples : débit fluvial le long du méridien (du nord au sud - Volga) ; vol de projectile, pendule de Foucault.

Les propriétés du système de référence (inhomogénéité et anisotropie) rendent difficile l'observation du mouvement d'un corps.

Pratiquement libre de cela - géocentrique système : le centre du système est au centre de la Terre et le système ne tourne pas par rapport aux étoiles « fixes »). Le système géocentrique est pratique pour calculer les mouvements sur Terre.

Pour mécanique céleste(pour les corps du système solaire) : un référentiel héliocentrique qui se déplace avec le centre de masse du système solaire et ne tourne pas par rapport aux étoiles « fixes ». Pour ce système pas encore découvert hétérogénéité et anisotropie de l'espace

en relation avec les phénomènes mécaniques.

Ainsi, le résumé est introduit inertiel référentiel pour lequel l'espace est homogène et isotrope en relation avec les phénomènes mécaniques.

Référentiel inertiel- celui dont le propre mouvement ne peut être détecté par aucune expérience mécanique. Expérience de pensée : « un point seul au monde » (isolé) est soit au repos, soit en mouvement en ligne droite et uniforme.

Tous les systèmes de référence se déplaçant par rapport à celui d'origine de manière rectiligne et uniforme seront inertiels. Cela permet l'introduction d'un système de coordonnées cartésiennes unifié. Un tel espace est appelé Euclidien.

Accord conventionnel - prenez le bon système de coordonnées (Fig. 1).

DANS temps– en mécanique classique (non relativiste) absolument, le même pour tous les systèmes de référence, c'est-à-dire que le moment initial est arbitraire. Contrairement à la mécanique relativiste, où le principe de relativité est appliqué.

L'état de mouvement du système au temps t est déterminé par les coordonnées et les vitesses des points à ce moment.

Les corps réels interagissent et des forces apparaissent qui modifient l'état de mouvement du système. C'est l'essence de la mécanique théorique.

Comment la mécanique théorique est-elle étudiée ?

La doctrine de l'équilibre d'un ensemble de corps d'un certain référentiel - section statique.

Chapitre cinématique: partie de la mécanique dans laquelle les dépendances entre grandeurs caractérisant l'état de mouvement des systèmes sont étudiées, mais les raisons provoquant un changement de l'état de mouvement ne sont pas prises en compte.

Après cela, nous considérerons l'influence des forces [PARTIE PRINCIPALE].

Chapitre dynamique: partie de la mécanique qui traite de l'influence des forces sur l'état de mouvement des systèmes d'objets matériels.

Principes de construction du cours principal – dynamique :

1) basé sur un système d'axiomes (basé sur l'expérience, les observations) ;

Constamment - contrôle impitoyable de la pratique. Signe de science exacte – présence de logique interne (sans elle - ensemble de recettes sans rapport)!

Statique est appelée la partie de la mécanique où sont étudiées les conditions que doivent satisfaire les forces agissant sur un système de points matériels pour que le système soit en équilibre, et les conditions d'équivalence des systèmes de forces.

Les problèmes d'équilibre en statique élémentaire seront abordés à l'aide de méthodes exclusivement géométriques basées sur les propriétés des vecteurs. Cette approche est utilisée dans statique géométrique(contrairement à la statique analytique, qui n'est pas considérée ici).

Les positions des différents corps matériels seront liées au système de coordonnées, que nous considérerons comme stationnaire.

Modèles idéaux de corps matériels :

1) point matériel – un point géométrique avec une masse.

2) un corps absolument rigide - un ensemble de points matériels dont les distances ne peuvent être modifiées par aucune action.

Par les forces nous appellerons des causes objectives qui sont le résultat de l'interaction d'objets matériels, capables de provoquer le mouvement des corps à partir d'un état de repos ou de modifier le mouvement existant de ces derniers.

La force étant déterminée par le mouvement qu’elle provoque, elle a également un caractère relatif, selon le choix du système de référence.

La question de la nature des forces est considérée en physique.

Un système de points matériels est en équilibre si, étant au repos, il ne reçoit aucun mouvement des forces agissant sur lui.

De l'expérience quotidienne : les forces ont une nature vectorielle, c'est-à-dire une grandeur, une direction, une ligne d'action, un point d'application. La condition d'équilibre des forces agissant sur un corps rigide se réduit aux propriétés des systèmes vectoriels.

Résumant l'expérience de l'étude des lois physiques de la nature, Galilée et Newton ont formulé les lois fondamentales de la mécanique, qui peuvent être considérées comme des axiomes de la mécanique, puisqu'elles ont sont basés sur des faits expérimentaux.

Axiome 1. L'action de plusieurs forces sur un point d'un corps rigide équivaut à l'action d'une force résultante construit selon la règle de l'addition vectorielle (Fig. 2).

Conséquence. Les forces appliquées en un point d’un corps rigide s’additionnent selon la règle du parallélogramme.

Axiome 2. Deux forces appliquées à un corps rigide mutuellement équilibré si et seulement s'ils sont de taille égale, dirigés dans des directions opposées et situés sur la même ligne droite.

Axiome 3. L'action d'un système de forces sur un corps rigide ne changera pas si ajouter à ce système ou en supprimer deux forces d’égale grandeur, dirigées dans des directions opposées et situées sur la même ligne droite.

Conséquence. La force agissant sur un point d'un corps rigide peut être transférée le long de la ligne d'action de la force sans modifier l'équilibre (c'est-à-dire que la force est un vecteur glissant, Fig. 3)

1) Actif - crée ou est capable de créer le mouvement d'un corps rigide. Par exemple, la force du poids.

2) Passif - ne crée pas de mouvement, mais limite le mouvement d'un corps solide, empêchant ainsi le mouvement. Par exemple, la force de tension d'un fil inextensible (Fig. 4).

Axiome 4. L'action d'un corps sur un second est égale et opposée à l'action de ce second corps sur le premier ( l'action est égale à la réaction).

Nous appellerons les conditions géométriques limitant le mouvement des points relations.

Conditions de communication : par exemple,

- tige de longueur indirecte l.

- fil souple non extensible de longueur l.

Les forces provoquées par les connexions et empêchant le mouvement sont appelées forces de réactions.

Axiome 5. Les liaisons imposées à un système de points matériels peuvent être remplacées par des forces de réaction dont l'action est équivalente à l'action des liaisons.

Lorsque les forces passives ne peuvent équilibrer l’action des forces actives, le mouvement commence.

Deux problèmes particuliers de statique

1. Système de forces convergentes agissant sur un corps rigide

Un système de forces convergentes est appelé un tel système de forces dont les lignes d'action se coupent en un point, qui peut toujours être considéré comme l'origine des coordonnées (Fig. 5).

Projections de la résultante :

;

;

.

Si , alors la force provoque le mouvement du corps rigide.

Condition d’équilibre pour un système de forces convergent :

2. Équilibre de trois forces

Si trois forces agissent sur un corps rigide et que les lignes d'action des deux forces se coupent en un point A, l'équilibre est possible si et seulement si la ligne d'action de la troisième force passe également par le point A et que la force elle-même est égale en grandeur et de direction opposée à la somme (Fig.6).

Exemples :

Moment de force autour du point O définissons-le comme un vecteur, en tailleégal à deux fois l'aire d'un triangle dont la base est le vecteur force de sommet en un point donné O ; direction– orthogonal au plan du triangle considéré dans la direction à partir de laquelle la rotation produite par la force autour du point O est visible dans le sens antihoraire. est le moment du vecteur glissant et est vecteur libre(Fig.9).

Donc: ou

,

Où ;;.

Où F est le module de force, h est l'épaule (la distance du point à la direction de la force).

Moment de force autour de l'axe est la valeur algébrique de la projection sur cet axe du vecteur du moment de force par rapport à un point arbitraire O pris sur l'axe (Fig. 10).

Il s'agit d'un scalaire indépendant du choix du point. En effet, développons :|| et dans l'avion.

À propos des moments : soit O 1 le point d'intersection avec le plan. Alors:

a) à partir de - moment => projection = 0.

b) à partir de - moment le long => est une projection.

Donc, le moment autour d'un axe est le moment de la composante de force dans un plan perpendiculaire à l'axe par rapport au point d'intersection du plan et de l'axe.

Théorème de Varignon pour un système de forces convergentes :

Moment de force résultante pour un système de forces convergentes par rapport à un point arbitraire A est égal à la somme des moments de toutes les forces composantes par rapport au même point A (Fig. 11).

Preuve dans la théorie des vecteurs convergents.

Explication: addition des forces selon la règle du parallélogramme => la force résultante donne un moment total.

Questions de sécurité :

1. Nommer les principaux modèles de corps réels en mécanique théorique.

2. Formuler les axiomes de la statique.

3. Qu'appelle-t-on le moment de force autour d'un point ?

Conférence 2. Conditions d'équilibre pour un système de forces arbitraire

Des axiomes de base de la statique découlent des opérations élémentaires sur les forces :

1) la force peut être transférée le long de la ligne d’action ;

2) les forces dont les lignes d'action se coupent peuvent être additionnées selon la règle du parallélogramme (selon la règle de l'addition vectorielle) ;

3) au système de forces agissant sur un corps rigide, on peut toujours ajouter deux forces, de même ampleur, situées sur la même ligne droite et dirigées dans des directions opposées.

Les opérations élémentaires ne modifient pas l'état mécanique du système.

Appelons deux systèmes de forces équivalent, si l'un de l'autre peut être obtenu à l'aide d'opérations élémentaires (comme dans la théorie des vecteurs glissants).

Un système de deux forces parallèles, de même ampleur et dirigées dans des directions opposées, est appelé quelques forces(Fig. 12).

Moment de quelques forces- un vecteur de taille égale à l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs de la paire, et dirigé orthogonalement au plan de la paire dans le sens d'où l'on voit se produire la rotation conférée par les vecteurs de la paire dans le sens antihoraire .

, c'est-à-dire le moment de force par rapport au point B.

Un couple de forces est entièrement caractérisé par son moment.

Un couple de forces peut être transféré par des opérations élémentaires à n'importe quel plan parallèle au plan du couple ; modifier l'ampleur des forces de la paire en proportion inverse des épaules de la paire.

Des paires de forces peuvent être ajoutées, et les moments des paires de forces sont ajoutés selon la règle d'addition de vecteurs (libres).

Amener un système de forces agissant sur un corps rigide à un point arbitraire (centre de réduction)- signifie remplacer le système actuel par un système plus simple : un système de trois forces, dont l'une passe par un point prédéterminé, et les deux autres représentent une paire.

Cela peut être prouvé par des opérations élémentaires (Fig. 13).

Un système de forces convergentes et un système de paires de forces.

- force résultante.

Paire résultante.

C'est ce qu'il fallait montrer.

Deux systèmes de forces volonté équivalent si et seulement si les deux systèmes sont réduits à une force résultante et une paire résultante, c'est-à-dire lorsque les conditions suivantes sont remplies :

Cas général d'équilibre d'un système de forces agissant sur un corps rigide

Réduisons le système de forces à (Fig. 14) :

Force résultante passant par l'origine ;

De plus, la paire résultante passe par le point O.

C'est-à-dire qu'ils ont conduit à et - deux forces dont l'une passe par un point O donné.

Équilibre, si les deux sur une même droite sont égaux et de direction opposée (axiome 2).

Ensuite, il passe par le point O, bien sûr.

Donc, conditions générales d'équilibre d'un corps solide :

Ces conditions sont valables pour un point arbitraire de l'espace.

Questions de sécurité :

1. Lister les opérations élémentaires sur les forces.

2. Quels systèmes de forces sont appelés équivalents ?

3. Écrivez les conditions générales d’équilibre d’un corps rigide.

Conférence 3.Équations d'équilibre pour un corps rigide

Soit O l'origine des coordonnées ; – force résultante ; – moment du couple résultant. Soit le point O1 le nouveau centre de réduction (Fig. 15).

Nouveau système d'alimentation :

Lorsque le point de réduction change, => change seulement (dans un sens avec un signe, dans l'autre sens avec un autre). Autrement dit, le point : les lignes correspondent

Analytiquement : (colinéarité des vecteurs)

; coordonnées du point O1.

C'est l'équation d'une droite, pour tous les points dont la direction du vecteur résultant coïncide avec la direction du moment de la paire résultante - la droite s'appelle dynamo.

Si le dynamisme => sur l'axe, alors le système équivaut à une force résultante, appelée force résultante du système. En même temps, toujours, bien sûr.

Quatre cas de rapprochement de forces :

1.) ;- dynamisme.

2.) ;- résultante.

3.) ;- paire.

4.) ;- solde.

Deux équations vectorielles d'équilibre : le vecteur principal et le moment principal sont égaux à zéro.

Soit six équations scalaires en projections sur des axes de coordonnées cartésiennes :

Ici:

La complexité du type d'équations dépend du choix du point de réduction => de l'habileté du calculateur.

Trouver les conditions d'équilibre d'un système de corps solides en interaction<=>le problème de l'équilibre de chaque corps séparément, et le corps est soumis à l'action de forces externes et de forces internes (l'interaction des corps aux points de contact avec des forces égales et dirigées de manière opposée - axiome IV, Fig. 17).

Choisissons pour tous les corps du système un centre d'adduction. Puis pour chaque corps avec le numéro de condition d’équilibre :

, , (= 1, 2, …,k)

où , est la force et le moment résultants de la paire résultante de toutes les forces, à l'exception des réactions internes.

La force et le moment résultants de la paire de forces résultante de réactions internes.

Résumant formellement et prenant en compte l'axiome IV

nous obtenons conditions nécessaires à l'équilibre d'un corps solide :

,

Exemple.

Equilibre : = ?

Questions de sécurité :

1. Nommez tous les cas où un système de forces est amené à un point.

2. Qu'est-ce que le dynamisme ?

3. Formuler les conditions nécessaires à l'équilibre d'un système de corps solides.

Conférence 4. Système de force plate

Un cas particulier de livraison générale du problème.

Laissez toutes les forces agissantes se situer dans le même plan - par exemple, une feuille. Choisissons le point O comme centre de réduction – dans le même plan. On obtient la force résultante et la vapeur résultante dans le même plan, c'est-à-dire (Fig. 19)

Commentaire.

Le système peut être réduit à une force résultante.

Conditions d'équilibre :

ou scalaire :

Très courant dans des applications telles que la résistance des matériaux.

Exemple.

Avec le frottement de la balle sur la planche et dans l'avion. Condition d'équilibre : = ?

Le problème de l'équilibre d'un corps rigide non libre.

Un corps rigide dont le mouvement est contraint par des liens est appelé non libre. Par exemple, d'autres corps, des fixations articulées.

Lors de la détermination des conditions d'équilibre : un corps non libre peut être considéré comme libre, remplaçant les liaisons par des forces de réaction inconnues.

Exemple.

Questions de sécurité :

1. Qu'appelle-t-on un système de forces plan ?

2. Écrivez les conditions d’équilibre d’un système de forces plan.

3. Quel corps solide est appelé non libre ?

Conférence 5. Cas particuliers d'équilibre des corps rigides

Théorème. Trois forces équilibrent un corps rigide seulement si elles se trouvent toutes dans le même plan.

Preuve.

Choisissons un point sur la ligne d'action de la troisième force comme point de réduction. Puis (Fig. 22)

C'est-à-dire que les plans S1 et S2 coïncident, et pour tout point sur l'axe de force, etc. (Plus simple : dans l'avion seulement là pour l'équilibrage).

Thème n°1. STATIQUE D'UN CORPS SOLIDE

Concepts de base et axiomes de la statique

Sujet statique.Statique est appelée la branche de la mécanique dans laquelle sont étudiées les lois d'addition des forces et les conditions d'équilibre des corps matériels sous l'influence des forces.

Par équilibre nous entendrons l’état de repos du corps par rapport aux autres corps matériels. Si le corps par rapport auquel l'équilibre est étudié peut être considéré comme immobile, alors l'équilibre est classiquement appelé absolu, et sinon, relatif. En statique, nous étudierons uniquement ce qu’on appelle l’équilibre absolu des corps. Dans les calculs d'ingénierie pratiques, l'équilibre peut être considéré comme absolu par rapport à la Terre ou aux corps rigidement liés à la Terre. La validité de cette affirmation sera justifiée en dynamique, où le concept d'équilibre absolu peut être défini plus strictement. La question de l’équilibre relatif des corps y sera également abordée.

Les conditions d'équilibre d'un corps dépendent largement du fait qu'il soit solide, liquide ou gazeux. L'équilibre des corps liquides et gazeux est étudié dans les cours d'hydrostatique et d'aérostatique. Dans un cours de mécanique générale, seuls les problèmes d'équilibre des corps rigides sont généralement considérés.

Tous les corps solides trouvés dans la nature, sous l'influence d'influences extérieures, changent de forme (se déforment) à un degré ou à un autre. L'ampleur de ces déformations dépend du matériau des corps, de leur forme géométrique et de leurs dimensions, ainsi que des charges agissant. Pour assurer la résistance des divers ouvrages d'art et ouvrages d'art, le matériau et les dimensions de leurs pièces sont choisis de manière à ce que les déformations sous les charges existantes soient suffisamment faibles. De ce fait, lors de l'étude des conditions d'équilibre général, il est tout à fait acceptable de négliger les petites déformations des corps solides correspondants et de les considérer comme indéformables ou absolument solides.

Corps absolument solide Un corps est appelé la distance entre deux points quelconques qui reste toujours constante.

Pour qu'un corps solide soit en équilibre (au repos) sous l'influence d'un certain système de forces, il faut que ces forces satisfassent à certains conditions d'équilibre de ce système de forces. Trouver ces conditions est l’un des principaux problèmes de la statique. Mais pour trouver les conditions d'équilibre de différents systèmes de forces, ainsi que pour résoudre nombre d'autres problèmes de mécanique, il s'avère nécessaire de pouvoir additionner les forces agissant sur un corps solide, remplacer l'action d'un comparer un système de forces avec un autre système et, en particulier, réduire un système de forces donné à sa forme la plus simple. Par conséquent, en statique des corps rigides, les deux problèmes principaux suivants sont considérés :

1) addition de forces et réduction de systèmes de forces agissant sur un corps solide à leur forme la plus simple ;

2) détermination des conditions d'équilibre pour les systèmes de forces agissant sur un corps solide.

Force. L'état d'équilibre ou de mouvement d'un corps donné dépend de la nature de ses interactions mécaniques avec d'autres corps, c'est-à-dire des pressions, attractions ou répulsions qu’un corps donné subit à la suite de ces interactions. Une quantité qui est une mesure quantitative de l'interaction mécaniqueL’action des corps matériels est appelée force en mécanique.

Les grandeurs considérées en mécanique peuvent être divisées en grandeurs scalaires, c'est-à-dire ceux qui sont complètement caractérisés par leur valeur numérique, et les vecteurs, c'est-à-dire ceux qui, en plus de leur valeur numérique, sont également caractérisés par leur direction dans l'espace.

La force est une quantité vectorielle. Son effet sur le corps est déterminé par : 1) valeur numérique ou module force, 2) directionniya force, 3) point d'application force.

La direction et le point d'application de la force dépendent de la nature de l'interaction des corps et de leur position relative. Par exemple, la force de gravité agissant sur un corps est dirigée verticalement vers le bas. Les forces de pression de deux billes lisses pressées l'une contre l'autre sont dirigées perpendiculairement aux surfaces des billes aux points de leur contact et s'appliquent en ces points, etc.

Graphiquement, la force est représentée par un segment orienté (avec une flèche). La longueur de ce segment (AB sur la fig. 1) exprime le module de force sur l'échelle choisie, la direction du segment correspond à la direction de la force, son début (point UN sur la fig. 1) coïncide généralement avec le point d’application de la force. Parfois, il est pratique de représenter une force de telle manière que le point d'application soit son extrémité - la pointe de la flèche (comme sur la Fig. 4 V). Droit DE, le long duquel la force est dirigée est appelé ligne d'action de la force. La force est représentée par la lettre F . Le module de force est indiqué par des barres verticales « sur les côtés » du vecteur. Système de forces est appelé un ensemble de forces agissant sur un corps absolument rigide.

Définitions de base :

Un corps qui n'est pas attaché à d'autres corps, auquel tout mouvement dans l'espace peut être imprimé à partir d'une position donnée, est appelé gratuit.

Si un corps rigide libre sous l'influence d'un système de forces donné peut être au repos, alors un tel système de forces est appelé équilibré.

Si un système de forces agissant sur un corps rigide libre peut être remplacé par un autre système sans changer l'état de repos ou de mouvement dans lequel se trouve le corps, alors ces deux systèmes de forces sont appelés équivalent.

Si un système de forces donné équivaut à une force, alors cette force est appelée résultant de ce système de forces. Ainsi, résultant - c'est le pouvoir qui seul peut remplacerl'action d'un système de forces donné sur un corps rigide.

Une force égale à la résultante en grandeur, directement opposée en direction et agissant le long de la même ligne droite, est appelée équilibrage par la force.

Les forces agissant sur un corps solide peuvent être divisées en forces externes et internes. Externe sont les forces agissant sur les particules d'un corps donné provenant d'autres corps matériels. Interne sont les forces avec lesquelles les particules d'un corps donné agissent les unes sur les autres.

Une force appliquée à un corps en un point quelconque est appelée concentré. Les forces agissant sur tous les points d'un volume donné ou d'une partie donnée de la surface d'un corps sont appelées luttes intestinesdivisé.

Le concept de force concentrée est conditionnel, puisqu'il est pratiquement impossible d'appliquer une force à un corps en un point. Les forces que l'on considère en mécanique comme concentrées sont essentiellement les résultantes de certains systèmes de forces distribuées.

En particulier, la force de gravité, habituellement considérée en mécanique, agissant sur un corps solide donné est la résultante des forces gravitationnelles de ses particules. La ligne d’action de cette résultante passe par un point appelé centre de gravité du corps.

Axiome 1. Si absolument gratuitun corps rigide est soumis à deux forces, alors le corps peutpeut être en équilibre si et seulementlorsque ces forces sont de même ampleur (F 1 = F 2 ) et dirigéle long d'une ligne droite dans des directions opposées(Fig.2).

L'axiome 1 définit le système de forces équilibré le plus simple, puisque l'expérience montre qu'un corps libre sur lequel agit une seule force ne peut pas être en équilibre.

UN
Xioma 2. L'action d'un système de forces donné sur un corps absolument rigide ne changera pas si un système de forces équilibré y est ajouté ou soustrait.

Cet axiome stipule que deux systèmes de forces qui diffèrent par un système équilibré sont équivalents.

Corollaire des 1er et 2ème axiomes. Le point d'application d'une force agissant sur un corps absolument rigide peut être transféré le long de sa ligne d'action vers n'importe quel autre point du corps.

En fait, supposons qu'une force F appliquée au point A agisse sur un corps rigide (Fig. 3). Prenons un point arbitraire B sur la ligne d'action de cette force et appliquons-lui deux forces équilibrées F1 et F2, telles que Fl = F, F2 = - F. Cela ne changera pas l'action de la force F sur le corps. Mais les forces F et F2, selon l’axiome 1, forment aussi un système équilibré qui peut être rejeté. De ce fait, une seule force Fl agira sur le corps, égale à F, mais appliquée au point B.

Ainsi, le vecteur représentant la force F peut être considéré comme appliqué en tout point le long de la ligne d'action de la force (un tel vecteur est appelé glissement).

Le résultat obtenu n'est valable que pour les forces agissant sur un corps absolument rigide. Dans les calculs d'ingénierie, ce résultat ne peut être utilisé que lorsque l'action externe des forces sur une structure donnée est étudiée, c'est-à-dire lorsque les conditions d’équilibre général de la structure sont déterminées.

N

UN

Par conséquent, l’axiome 3 peut également être formuler de cette façon : résultante deux forces appliquées à un corps en un point sont égales à la géométrie ric (vecteur) somme de ces forces et appliquées dans le même indiquer.

Axiome 4. Deux corps matériels agissent toujours ensembleles uns sur les autres avec des forces égales en ampleur et dirigées le longune ligne droite dans des directions opposées(brièvement: l’action équivaut à la réaction).

Z

Propriété des forces internes. Selon l’axiome 4, deux particules quelconques d’un corps solide agiront l’une sur l’autre avec des forces égales en ampleur et dirigées de manière opposée. Puisque, lors de l'étude des conditions générales d'équilibre, le corps peut être considéré comme absolument solide, alors (selon l'axiome 1) toutes les forces internes sous cette condition forment un système équilibré, qui (selon l'axiome 2) peut être écarté. Par conséquent, lors de l'étude des conditions générales d'équilibre, il faut prendre en compte uniquement les forces extérieures agissant sur un corps solide ou une structure donnée.

Axiome 5 (principe de solidification). S'il y a un changementun corps flexible (déformable) sous l'influence d'un système de forces donnéest en équilibre, alors l’équilibre restera même lorsquele corps va durcir (devenir absolument solide).

L’énoncé exprimé dans cet axiome est évident. Par exemple, il est clair que l'équilibre d'une chaîne ne doit pas être perturbé si ses maillons sont soudés entre eux ; l'équilibre d'un fil flexible ne sera pas perturbé s'il se transforme en tige rigide courbée, etc. Puisque le même système de forces agit sur un corps au repos avant et après solidification, l'axiome 5 peut aussi s'exprimer sous une autre forme : à l'équilibre, les forces agissant sur une variable quelconque (déformationréalisable), satisfont aux mêmes conditions que pourcorps absolument solide; cependant, pour un corps changeant, cesLes conditions, bien que nécessaires, peuvent ne pas être suffisantes. Par exemple, pour l'équilibre d'un fil flexible sous l'action de deux forces appliquées à ses extrémités, les mêmes conditions sont nécessaires que pour une tige rigide (les forces doivent être de même ampleur et dirigées le long du fil dans des directions différentes). Mais ces conditions ne suffiront pas. Pour que le fil soit équilibré, il faut également que les forces appliquées soient de traction, c'est-à-dire dirigé comme sur la Fig. 4a.

Le principe de solidification est largement utilisé dans les calculs techniques. Lors de l'élaboration des conditions d'équilibre, cela permet de considérer tout corps variable (ceinture, câble, chaîne, etc.) ou toute structure variable comme absolument rigide et de leur appliquer des méthodes de statique des corps rigides. Si les équations ainsi obtenues ne suffisent pas à résoudre le problème, des équations supplémentaires sont alors élaborées qui prennent en compte soit les conditions d'équilibre des différentes parties de la structure, soit leur déformation.

Thème n°2. DYNAMIQUE D'UN POINT

Le manuel contient les concepts et termes de base de l'une des principales disciplines du bloc « Mécanique technique ». Cette discipline comprend des sections telles que « Mécanique théorique », « Résistance des matériaux », « Théorie des mécanismes et des machines ».

Le manuel méthodologique est destiné à aider les étudiants à auto-étudier le cours « Mécanique Technique ».

Mécanique théorique 4

I. Statique 4

1. Concepts de base et axiomes de la statique 4

2. Système de forces convergentes 6

3. Système plat de forces arbitrairement localisées 9

4. Le concept de ferme. Calcul des fermes 11

5. Système spatial de forces 11

II. Cinématique d'un point et d'un corps rigide 13

1. Concepts de base de la cinématique 13

2. Mouvements de translation et de rotation d'un corps rigide 15

3. Mouvement plan-parallèle d'un corps rigide 16

III. Dynamique du point 21

1. Concepts et définitions de base. Lois de la dynamique 21

2. Théorèmes généraux de la dynamique des points 21

Résistance des matériaux22

1. Notions de base 22

2. Forces externes et internes. Méthode de coupe 22

3. La notion de tension 24

4. Tension et compression du bois droit 25

5. Cisaillement et concassage 27

6. Torsion 28

7. Courbe transversale 29

8. Flexion longitudinale. L'essence du phénomène de flexion longitudinale. La formule d'Euler. Tension critique 32

Théorie des mécanismes et des machines 34

1. Analyse structurelle des mécanismes 34

2. Classification des mécanismes plats 36

3. Etude cinématique des mécanismes plats 37

4. Mécanismes à came 38

5. Mécanismes d'engrenage 40

6. Dynamique des mécanismes et des machines 43

Références45

MÉCANIQUE THÉORIQUE

je. Statique

1. Concepts de base et axiomes de la statique

La science des lois générales du mouvement et de l'équilibre des corps matériels et des interactions qui en résultent entre les corps est appelée mécanique théorique.

Statique est une branche de la mécanique qui expose la doctrine générale des forces et étudie les conditions d'équilibre des corps matériels sous l'influence des forces.

Corps absolument solide Un corps est appelé la distance entre deux points quelconques qui reste toujours constante.

Une quantité qui est une mesure quantitative de l'interaction mécanique des corps matériels est appelée par la force.

Grandeurs scalaires- ce sont ceux qui sont entièrement caractérisés par leur valeur numérique.

Quantités vectorielles – Ce sont ceux qui, en plus de leur valeur numérique, se caractérisent également par leur direction dans l'espace.

La force est une quantité vectorielle(Fig.1).

La force se caractérise par :

- direction;

– valeur numérique ou module ;

– point d'application.

Droit DE, le long duquel la force est dirigée, est appelé ligne d'action de la force.

L’ensemble des forces agissant sur tout corps solide est appelé système de forces.

Un corps qui n'est pas attaché à d'autres corps, auquel tout mouvement dans l'espace peut être imprimé à partir d'une position donnée, est appelé gratuit.

Si un système de forces agissant sur un corps rigide libre peut être remplacé par un autre système sans changer l'état de repos ou de mouvement dans lequel se trouve le corps, alors ces deux systèmes de forces sont appelés équivalent.

Le système de forces sous l'influence desquelles un corps rigide libre peut être au repos s'appelle équilibré ou équivalent à zéro.

Résultat – c'est la force qui seule remplace l'action d'un système de forces donné sur un corps solide.

Une force égale à la résultante en grandeur, directement opposée en direction et agissant le long de la même ligne droite, est appelée force d'équilibrage.

Externe sont appelées les forces agissant sur les particules d'un corps donné provenant d'autres corps matériels.

Interne sont les forces avec lesquelles les particules d'un corps donné agissent les unes sur les autres.

Une force appliquée à un corps en un point quelconque est appelée concentré.

Les forces agissant sur tous les points d'un volume donné ou d'une partie donnée de la surface d'un corps sont appelées distribué.

Axiome 1. Si deux forces agissent sur un corps libre absolument rigide, alors le corps peut être en équilibre si et seulement si ces forces sont de même ampleur et dirigées le long de la même ligne droite dans des directions opposées (Fig. 2).

Axiome 2. L'action d'un système de forces sur un corps absolument rigide ne changera pas si un système de forces équilibré y est ajouté ou soustrait.

Corollaire des 1er et 2ème axiomes. L'action d'une force sur un corps absolument rigide ne changera pas si le point d'application de la force est déplacé le long de sa ligne d'action vers n'importe quel autre point du corps.

Axiome 3 (axiome du parallélogramme des forces). Deux forces appliquées à un corps en un point ont une résultante appliquée en ce même point et représentée par la diagonale d'un parallélogramme construit sur ces forces, comme sur les côtés (Fig. 3).

R. = F 1 + F 2

Vecteur R., égal à la diagonale d'un parallélogramme construit sur des vecteurs F 1 et F 2, appelé somme géométrique de vecteurs.

Axiome 4. Avec toute action d'un corps matériel sur un autre, il y a une réaction de même ampleur, mais de direction opposée.

Axiome 5(principe de durcissement). L'équilibre d'un corps changeant (déformable) sous l'influence d'un système de forces donné ne sera pas perturbé si le corps est considéré comme durci (absolument solide).

Un corps qui n'est pas attaché à d'autres corps et peut effectuer n'importe quel mouvement dans l'espace à partir d'une position donnée est appelé gratuit.

Un corps dont les mouvements dans l'espace sont empêchés par d'autres corps fixés ou en contact avec lui est appelé non libre.

Tout ce qui limite le mouvement d'un corps donné dans l'espace s'appelle communication.

La force avec laquelle cette connexion agit sur le corps, empêchant l'un ou l'autre de ses mouvements, s'appelle force de réaction de liaison ou réaction de communication.

La réaction de communication est dirigée dans la direction opposée à celle où la connexion empêche le corps de bouger.

Axiome des connexions. Tout corps non libre peut être considéré comme libre si l'on écarte les connexions et remplaçons leur action par les réactions de ces connexions.

2. Système de forces convergentes

Convergent sont appelées forces dont les lignes d'action se coupent en un point (Fig. 4a).

Le système de forces convergentes a résultant, égale à la somme géométrique (vecteur principal) de ces forces et appliquée au point de leur intersection.

Somme géométrique, ou vecteur principal plusieurs forces, est représenté par le côté fermé d'un polygone de force construit à partir de ces forces (Fig. 4b).

2.1. Projection de la force sur l'axe et sur le plan

Projection de la force sur l'axe est une quantité scalaire égale à la longueur du segment pris avec le signe approprié, compris entre les projections du début et de la fin de la force. La projection a un signe plus si le mouvement du début à la fin se produit dans le sens positif de l'axe, et un signe moins si dans le sens négatif (Fig. 5).

Projection de force sur l'axe est égal au produit du module de la force et du cosinus de l'angle entre la direction de la force et la direction positive de l'axe :

F X = F cos.

Projection d'une force sur un avion est appelé le vecteur compris entre les projections du début et de la fin de la force sur ce plan (Fig. 6).

F xy = F parce que Q

F x = F xy cos= F parce que Q parce que

F oui = F xy cos= F parce que Q parce que

Projection du vecteur somme sur n'importe quel axe est égale à la somme algébrique des projections des sommes des vecteurs sur le même axe (Fig. 7).

R. = F 1 + F 2 + F 3 + F 4

R. x = ∑F ix R. oui = ∑F je

Équilibrer un système de forces convergentes Il est nécessaire et suffisant que le polygone de forces construit à partir de ces forces soit fermé – c'est une condition d'équilibre géométrique.

Condition d'équilibre analytique. Pour que le système de forces convergentes soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des projections de ces forces sur chacun des deux axes de coordonnées soit égale à zéro.

∑F ix = 0 ∑F je = 0 R. =

2.2. Théorème des trois forces

Si un corps solide libre est en équilibre sous l'action de trois forces non parallèles situées dans le même plan, alors les lignes d'action de ces forces se coupent en un point (Fig. 8).

2.3. Moment de force par rapport au centre (point)

Moment de force par rapport au centre s'appelle une quantité égale à pris avec le signe correspondant, le produit du module de force et de la longueur h(Fig. 9).

M = ± F· h

Perpendiculaire h, abaissé du centre À PROPOSà la ligne d'action de la force F, appelé bras de force F par rapport au centre À PROPOS.

Le moment a un signe plus, si la force tend à faire tourner le corps autour du centre À PROPOS dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et signe moins– si dans le sens des aiguilles d’une montre.

Propriétés du moment de force.

1. Le moment de force ne changera pas lorsque le point d’application de la force est déplacé le long de sa ligne d’action.

2. Le moment d'une force autour du centre est nul uniquement lorsque la force est nulle ou lorsque la ligne d'action de la force passe par le centre (le bras est nul).

COURS COURT DE CONFÉRENCES SUR LA DISCIPLINE "FONDAMENTAUX DE LA MÉCANIQUE TECHNIQUE"

Section 1 : Statique

Statique, axiomes de la statique. Connexions, réaction des connexions, types de connexions.

Les fondamentaux de la mécanique théorique se composent de trois sections : Statique, fondamentaux de la résistance des matériaux, détails des mécanismes et des machines.

Le mouvement mécanique est un changement de position de corps ou de points dans l'espace au fil du temps.

Le corps est considéré comme un point matériel, c'est-à-dire point géométrique et toute la masse du corps est concentrée en ce point.

Un système est un ensemble de points matériels dont le mouvement et la position sont interconnectés.

La force est une quantité vectorielle et l'effet de la force sur un corps est déterminé par trois facteurs : 1) valeur numérique, 2) direction, 3) point d'application.

[F] – Newton – [H], Kg/s = 9,81 N = 10 N, KN = 1000 N,

MN = 1 000 000 N, 1Н = 0,1 Kg/s

Axiomes de la statique.

1Axiome– (Définit un système de forces équilibré) : un système de forces appliqué à un point matériel est équilibré si, sous son influence, le point est dans un état de repos relatif, ou se déplace de manière rectiligne et uniforme.

Si un système équilibré de forces agit sur un corps, alors le corps est soit dans un état de repos relatif, soit se déplace de manière uniforme et rectiligne, soit tourne uniformément autour d'un axe fixe.

2 Axiome– (Finit la condition d'équilibre de deux forces) : deux forces égales en ampleur ou en valeur numérique (F1=F2) appliquées à un corps absolument rigide et dirigées

le long d'une ligne droite dans des directions opposées s'équilibrent mutuellement.

Un système de forces est une combinaison de plusieurs forces appliquées à un point ou à un corps.

Un système de forces de lignes d'action dans lesquelles elles se trouvent dans des plans différents est appelé spatial ; si elles sont dans le même plan, alors elles sont plates ; Un système de forces dont les lignes d’action se coupent en un point est appelé convergent. Si deux systèmes de forces pris séparément ont le même effet sur le corps, alors ils sont équivalents.

Corollaire de l'axiome 2.

Toute force agissant sur un corps peut être transférée le long de sa ligne d'action vers n'importe quel point du corps sans perturber son état mécanique.

3Axiome: (Base de transformation des forces) : sans perturber l'état mécanique d'un corps absolument rigide, un système de forces équilibré peut lui être appliqué ou rejeté.

Les vecteurs qui peuvent être transférés le long de la ligne de leur action sont appelés glissements.

4 Axiome– (Définit les règles d'addition de deux forces) : la résultante de deux forces appliquées en un point, appliquées en ce point, est la diagonale d'un parallélogramme construit sur ces forces.

- Force résultante =F1+F2 – Selon la règle du parallélogramme

Selon la règle du triangle.

5 Axiome– (Il établit que dans la nature il ne peut y avoir d’action unilatérale de force) lorsque les corps interagissent, chaque action correspond à une réaction égale et de direction opposée.

Connexions et leurs réactions.

Les corps en mécanique sont : 1 libre 2 non libres.

Libre - lorsque le corps ne rencontre aucun obstacle pour se déplacer dans l'espace dans aucune direction.

Non libre - le corps est connecté à d'autres corps qui limitent son mouvement.

Les corps qui limitent le mouvement d'un corps sont appelés connexions.

Lorsqu'un corps interagit avec des connexions, des forces apparaissent ; elles agissent sur le corps du côté de la connexion et sont appelées réactions de connexion.

La réaction de la connexion est toujours opposée à la direction dans laquelle la connexion empêche le mouvement du corps.

Types de communications.

1) Connexion sous forme d'un plan lisse sans frottement.

2) Communication sous forme de contact d'une surface cylindrique ou sphérique.

3) Connexion sous forme de plan brut.

Rn – force perpendiculaire au plan. Rt – force de frottement.

R – réaction de liaison. R = Rn+Rt

4) Connexion flexible : corde ou câble.

5) Connexion sous forme de tige droite rigide avec extrémités articulées.

6) La liaison s'effectue par le bord d'un angle dièdre ou d'un point d'appui.

R1R2R3 – Perpendiculaire à la surface du corps.

Système plan de forces convergentes. Définition géométrique de la résultante. Projection de la force sur l'axe. Projection d'une somme vectorielle sur un axe.

Les forces sont dites convergentes si leurs lignes d'action se croisent en un point.

Un système plan de forces – les lignes d’action de toutes ces forces se situent dans le même plan.

Un système spatial de forces convergentes – les lignes d’action de toutes ces forces se situent sur des plans différents.

Les forces convergentes peuvent toujours être transférées en un seul point, c'est-à-dire au point de leur intersection le long de la ligne d’action.

F123=F1+F2+F3=

La résultante est toujours dirigée du début du premier terme à la fin du dernier (la flèche est dirigée dans le sens du contournement du polyèdre).

Si, lors de la construction d'un polygone de force, la fin de la dernière force coïncide avec le début de la première, alors la résultante = 0, le système est en équilibre.

Déséquilibré

équilibré.

Projection de la force sur l'axe.

Un axe est une ligne droite à laquelle est assignée une certaine direction.

La projection d'un vecteur est une quantité scalaire ; elle est déterminée par le segment d'axe coupé par les perpendiculaires à l'axe du début et de la fin du vecteur.

La projection du vecteur est positive si elle coïncide avec la direction de l'axe, et négative si elle est opposée à la direction de l'axe.

Conclusion : Projection de la force sur l'axe des coordonnées = le produit de l'amplitude de la force et du cos de l'angle entre le vecteur force et la direction positive de l'axe.

Projection positive.

Projection négative

Projection = o

Projection d'une somme vectorielle sur un axe.

Peut être utilisé pour définir un module et

direction de la force, si ses projections sur

axes de coordonnées.

Conclusion: La projection de la somme vectorielle, ou résultante, sur chaque axe est égale à la somme algébrique de la projection des sommes des vecteurs sur le même axe.

Déterminez l’ampleur et la direction de la force si ses projections sont connues.

Réponse : F=50H,

Répondre:

Section 2. Résistance des matériaux (Sopromat).

Concepts et hypothèses de base. Déformation. Méthode de coupe.

La résistance des matériaux est la science des méthodes d'ingénierie de calcul de la résistance, de la rigidité et de la stabilité des éléments structurels. Force - la propriété des corps de ne pas s'effondrer sous l'influence de forces extérieures. La rigidité est la capacité des corps à changer de dimensions dans des limites spécifiées lors de la déformation. La stabilité est la capacité des corps à maintenir leur état d’équilibre initial après avoir appliqué une charge. L'objectif de la science (Sopromat) est de créer des méthodes pratiques pour calculer les éléments structurels les plus courants. Hypothèses et hypothèses de base concernant les propriétés des matériaux, les charges et la nature de la déformation.1) Hypothèse(Homogénéité et oublis). Lorsque le matériau remplit complètement le corps et que les propriétés du matériau ne dépendent pas de la taille du corps. 2) Hypothèse(Sur l'élasticité idéale du matériau). Capacité d'un corps à redonner à un pieu sa forme et ses dimensions d'origine après avoir éliminé les causes qui ont provoqué la déformation. 3) Hypothèse(Hypothèse de relation linéaire entre déformations et charges, Exécution de la loi de Hooke). Les déplacements résultant de la déformation sont directement proportionnels aux charges qui les ont provoqués. 4) Hypothèse(Coupes d'avion). Les sections transversales sont plates et normales à l'axe de la poutre avant qu'une charge ne lui soit appliquée, et restent plates et normales à son axe après déformation. 5) Hypothèse(Sur l'isotropie du matériau). Les propriétés mécaniques du matériau sont les mêmes dans toutes les directions. 6) Hypothèse(Sur la petitesse des déformations). Les déformations du corps sont si faibles par rapport aux dimensions qu'elles n'ont pas d'effet significatif sur la position relative des charges. 7) Hypothèse (Principe d'indépendance de l'action des forces). 8) Hypothèse (Saint-Venant). La déformation d'un corps éloigné du lieu d'application de charges statiquement équivalentes ne dépend pratiquement pas de la nature de leur répartition. Sous l'influence de forces externes, la distance entre les molécules change, des forces internes apparaissent à l'intérieur du corps, qui neutralisent la déformation et tendent à ramener les particules à leur état antérieur - les forces élastiques. Méthode de coupe. Les forces externes appliquées à la partie coupée du corps doivent être équilibrées avec les forces internes apparaissant dans le plan de coupe ; elles remplacent l'action de la partie rejetée sur le reste ; Barre (poutres) – Éléments structurels dont la longueur dépasse largement leurs dimensions transversales. Plaques ou coques – Lorsque l'épaisseur est faible par rapport aux deux autres dimensions. Corps massifs - les trois tailles sont à peu près identiques. Condition d'équilibre.



NZ – Force interne longitudinale. QX et QY – Force interne transversale. MX et MY – Moments de flexion. MZ – Couple. Lorsqu'un système plan de forces agit sur une tige, seuls trois facteurs de force peuvent apparaître dans ses sections, à savoir : MX - Moment fléchissant, QY - Force transversale, NZ - Force longitudinale. Équation d'équilibre. Les axes de coordonnées dirigeront toujours l'axe Z le long de l'axe de la tige. Les axes X et Y se trouvent le long des principaux axes centraux de ses sections transversales. L'origine des coordonnées est le centre de gravité de la section.

Séquence d'actions pour déterminer les forces internes.