Opérations matricielles. Multiplication matricielle carrée

Matrice dimension est une table rectangulaire composée d'éléments situés dans m lignes et n colonnes.

Éléments matriciels (premier indice je− numéro de ligne, deuxième index j− numéro de colonne) peut être des nombres, des fonctions, etc. Les matrices sont désignées par des lettres majuscules de l'alphabet latin.

La matrice s'appelle carré, s'il a le même nombre de lignes que le nombre de colonnes ( m = n). Dans ce cas, le numéro n est appelé l'ordre de la matrice, et la matrice elle-même est appelée une matrice n-ième ordre.

Éléments avec les mêmes index formulaire diagonale principale matrice carrée, et les éléments (c'est-à-dire ayant une somme d'indices égale à n+1) − diagonale latérale.

Célibataire matrice est une matrice carrée dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et les éléments restants sont égaux à 0. Elle est désignée par la lettre E.

Zéro matrice− est une matrice dont tous les éléments sont égaux à 0. Une matrice nulle peut être de n'importe quelle taille.

Au numéro opérations linéaires sur les matrices inclure:

1) addition matricielle ;

2) multiplier les matrices par nombre.

L'opération d'addition matricielle est définie uniquement pour les matrices de même dimension.

La somme de deux matrices UN Et DANS appelé matrice AVEC, dont tous les éléments sont égaux aux sommes des éléments matriciels correspondants UN Et DANS:

Produit matriciel UN par numéro k appelé matrice DANS, dont tous les éléments sont égaux aux éléments correspondants de cette matrice UN, multiplié par le nombre k:

Opération multiplication matricielle est introduit pour les matrices qui satisfont à la condition : le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde.

Produit matriciel UN dimensions à la matrice DANS la dimension est appelée une matrice AVEC dimensions, élément je-ème ligne et j dont la ème colonne est égale à la somme des produits des éléments jeème ligne de la matrice UN aux éléments correspondants jème colonne de la matrice DANS:

Le produit des matrices (contrairement au produit des nombres réels) n'obéit pas à la loi commutative, c'est-à-dire dans le cas général UN DANS DANS UN.

1.2. Déterminants. Propriétés des déterminants

La notion de déterminant n'est introduit que pour les matrices carrées.

Le déterminant d'une matrice du 2ème ordre est un nombre calculé selon la règle suivante

Déterminant d'une matrice du 3ème ordre est un nombre calculé selon la règle suivante :

Le premier des termes avec le signe « + » est le produit des éléments situés sur la diagonale principale de la matrice (). Les deux autres contiennent des éléments situés aux sommets de triangles dont la base est parallèle à la diagonale principale (i). Le signe « - » comprend les produits des éléments de la diagonale secondaire () et des éléments formant des triangles à bases parallèles à cette diagonale (et).

Cette règle de calcul du déterminant du 3ème ordre est appelée la règle du triangle (ou règle de Sarrus).

Propriétés des déterminants Regardons l'exemple des déterminants du 3ème ordre.

1. Lors du remplacement de toutes les lignes du déterminant par des colonnes portant les mêmes numéros que les lignes, le déterminant ne change pas de valeur, c'est-à-dire les lignes et les colonnes du déterminant sont égales

2. Lorsque deux lignes (colonnes) sont réorganisées, le déterminant change de signe.

3. Si tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) sont des zéros, alors le déterminant est 0.

4. Le facteur commun de tous les éléments d'une ligne (colonne) peut être pris au-delà du signe du déterminant.

5. Le déterminant contenant deux lignes (colonnes) identiques est égal à 0.

6. Un déterminant contenant deux lignes (colonnes) proportionnelles est égal à zéro.

7. Si chaque élément d'une certaine colonne (ligne) d'un déterminant représente la somme de deux termes, alors le déterminant est égal à la somme de deux déterminants, dont l'un contient les premiers termes dans la même colonne (ligne) et l'autre contient la seconde. Les autres éléments des deux déterminants sont les mêmes. Donc,

8. Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants d'une autre colonne (ligne) sont ajoutés aux éléments de l'une de ses colonnes (lignes), multipliés par le même nombre.

Ajout de matrice :

Soustraction et addition de matrices se réduit aux opérations correspondantes sur leurs éléments. Opération d'addition de matrice saisi uniquement pour matrices la même taille, c'est-à-dire pour matrices, dans lequel le nombre de lignes et de colonnes est respectivement égal. Somme des matrices A et B sont appelés matrice C, dont les éléments sont égaux à la somme des éléments correspondants. C = A + B c ij = a ij + b ij Défini de la même manière différence de matrice.

Multiplier une matrice par un nombre :

Opération de multiplication (division) matricielle de n'importe quelle taille par un nombre arbitraire se réduit à multiplier (diviser) chaque élément matrices pour ce numéro. Produit matriciel Et le nombre k s'appelle matrice B, tel que

b ij = k × une ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrice- A = (-1) × A est appelé le contraire matrice UN.

Propriétés de l'ajout de matrices et de la multiplication d'une matrice par un nombre :

Opérations d'addition de matrice Et multiplication matricielle sur un nombre ont les propriétés suivantes : 1. A + B = B + A ; 2. A + (B + C) = (A + B) + C ; 3. A + 0 = A ; 4. A - A = 0 ; 5. 1 × A = A ; 6. α × (A + B) = αA + αB ; 7. (α + β) × A = αA + βA ; 8. α × (βA) = (αβ) × A ; , où A, B et C sont des matrices, α et β sont des nombres.

Multiplication matricielle (Produit matriciel) :

Opération de multiplication de deux matrices n'est renseigné que dans le cas où le nombre de colonnes de la première matriceségal au nombre de lignes de la seconde matrices. Produit matriciel Et m×n sur matrice En n×p, appelé matrice Avec m×p tel que avec ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , c'est-à-dire que l'on trouve la somme des produits des éléments de la i-ième rangée matrices Et aux éléments correspondants de la jième colonne matrices B. Si matrices A et B sont des carrés de même taille, alors les produits AB et BA existent toujours. Il est facile de montrer que A × E = E × A = A, où A est carré matrice, E - unité matrice la même taille.

Propriétés de la multiplication matricielle :

Multiplication matricielle pas commutatif, c'est-à-dire AB ≠ BA même si les deux produits sont définis. Cependant, si pour quelque raison matrices la relation AB=BA est satisfaite, alors tel matrices sont appelés commutatifs. L'exemple le plus typique est un seul matrice, qui fait la navette avec n'importe quel autre matrice la même taille. Seuls les carrés peuvent être permutables matrices du même ordre. A × E = E × A = A

Multiplication matricielle a les propriétés suivantes : 1. A × (B × C) = (A × B) × C ; 2. A × (B + C) = AB + AC ; 3. (A + B) × C = AC + BC ; 4. α × (AB) = (αA) × B ; 5. UNE × 0 = 0 ; 0 × A = 0 ; 6. (AB) T = B T A T ; 7. (ABC) T = C T V T A T ; 8. (A + B) T = AT + BT ;

2. Déterminants des 2e et 3e ordres. Propriétés des déterminants.

Déterminant matriciel deuxième commande, ou déterminant le deuxième ordre est un nombre calculé par la formule :

Déterminant matriciel troisième ordre, ou déterminant le troisième ordre est un nombre calculé par la formule :

Ce nombre représente une somme algébrique composée de six termes. Chaque terme contient exactement un élément de chaque ligne et de chaque colonne matrices. Chaque terme est constitué du produit de trois facteurs.

Signes avec lesquels les membres déterminant de la matrice inclus dans la formule trouver le déterminant de la matrice le troisième ordre peut être déterminé à l'aide du schéma donné, appelé règle des triangles ou règle de Sarrus. Les trois premiers termes sont pris avec un signe plus et déterminés à partir de la figure de gauche, et les trois termes suivants sont pris avec un signe moins et déterminés à partir de la figure de droite.

Déterminer le nombre de termes à trouver déterminant de la matrice, dans une somme algébrique, vous pouvez calculer la factorielle : 2 ! = 1 × 2 = 2 3 ! = 1 × 2 × 3 = 6

Propriétés des déterminants matriciels

Propriétés des déterminants matriciels :

Propriété n°1 :

Déterminant matriciel ne changera pas si ses lignes sont remplacées par des colonnes, chaque ligne par une colonne avec le même numéro, et vice versa (Transposition). |UNE| = |UNE| T

Conséquence:

Colonnes et lignes déterminant de la matrice sont égaux, par conséquent, les propriétés inhérentes aux lignes sont également remplies pour les colonnes.

Propriété n°2 :

Lors de la réorganisation de 2 lignes ou colonnes déterminant matriciel changera le signe pour le signe opposé, en conservant la valeur absolue, c'est-à-dire :

Propriété n°3 :

Déterminant matriciel avoir deux lignes identiques est égal à zéro.

Propriété n°4 :

Facteur commun des éléments de toute série déterminant de la matrice peut être considéré comme un signe déterminant.

Corollaires des propriétés n°3 et n°4 :

Si tous les éléments d'une certaine série (ligne ou colonne) sont proportionnels aux éléments correspondants d'une série parallèle, alors déterminant matricielégal à zéro.

Propriété n°5 :

déterminant de la matrice sont égaux à zéro, alors déterminant matricielégal à zéro.

Propriété n°6 :

Si tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne déterminant présenté comme une somme de 2 termes, alors déterminant matrices peut être représenté comme la somme de 2 déterminants selon la formule :

Propriété n°7 :

Si vers une ligne (ou une colonne) déterminant ajoutez les éléments correspondants d'une autre ligne (ou colonne), multipliés par le même nombre, puis déterminant matriciel ne changera pas sa valeur.

Exemple d'utilisation de propriétés pour le calcul déterminant de la matrice:

Ainsi, dans la leçon précédente, nous avons examiné les règles d'addition et de soustraction de matrices. Ce sont des opérations si simples que la plupart des étudiants les comprennent littéralement dès le départ.

Cependant, vous vous réjouissez tôt. Le cadeau est terminé - passons à la multiplication. Je vous préviens tout de suite : multiplier deux matrices, ce n'est pas du tout multiplier des nombres dans des cellules de mêmes coordonnées, comme on pourrait le penser. Tout est beaucoup plus amusant ici. Et nous devrons commencer par des définitions préliminaires.

Matrices appariées

L'une des caractéristiques les plus importantes d'une matrice est sa taille. Nous en avons déjà parlé une centaine de fois : la notation $A=\left[ m\times n \right]$ signifie que la matrice a exactement $m$ lignes et $n$ colonnes. Nous avons déjà expliqué comment ne pas confondre les lignes avec les colonnes. Quelque chose d’autre est important maintenant.

Définition. Matrices de la forme $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$, dans lesquelles le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes dans le second, sont appelés cohérents.

Encore une fois : le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la seconde ! De là, nous obtenons deux conclusions à la fois :

L'ordre des matrices est important pour nous. Par exemple, les matrices $A=\left[ 3\times 2 \right]$ et $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sont cohérentes (2 colonnes dans la première matrice et 2 lignes dans la seconde) , mais vice versa — les matrices $B=\left[ 2\times 5 \right]$ et $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ne sont plus cohérentes (5 colonnes de la première matrice ne sont pas 3 lignes dans la seconde).
La cohérence peut être facilement vérifiée en notant toutes les dimensions les unes après les autres. En reprenant l'exemple du paragraphe précédent : « 3 2 2 5 » - les nombres au milieu sont les mêmes, donc les matrices sont cohérentes. Mais « 2 5 3 2 » ne sont pas cohérents, car il y a des nombres différents au milieu.

De plus, Captain Obviousness semble laisser entendre que les matrices carrées de même taille $\left[ n\times n \right]$ sont toujours cohérentes.

En mathématiques, lorsque l’ordre de listage des objets est important (par exemple, dans la définition évoquée ci-dessus, l’ordre des matrices est important), on parle souvent de paires ordonnées. Nous les avons rencontrés à l'école : je pense qu'il va de soi que les coordonnées $\left(1;0 \right)$ et $\left(0;1 \right)$ définissent différents points sur l'avion.

Donc : les coordonnées sont également des paires ordonnées composées de nombres. Mais rien ne vous empêche de constituer une telle paire à partir de matrices. Nous pouvons alors dire : « Une paire ordonnée de matrices $\left(A;B \right)$ est cohérente si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la seconde. »

Et alors ?

Définition de la multiplication

Considérons deux matrices cohérentes : $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$. Et nous définissons pour eux l’opération de multiplication.

Définition. Le produit de deux matrices appariées $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$ est la nouvelle matrice $C=\left[ m\times k \ right] $, dont les éléments sont calculés selon la formule :

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Un tel produit est noté de la manière standard : $C=A\cdot B$.

Ceux qui voient cette définition pour la première fois se posent immédiatement deux questions :

De quel genre de jeu féroce s'agit-il ?
Pourquoi est-ce si difficile ?

Eh bien, commençons par le commencement. Commençons par la première question. Que signifient tous ces indices ? Et comment ne pas se tromper lorsqu’on travaille avec de vraies matrices ?

Tout d'abord, on note que la longue ligne de calcul de $((c)_(i;j))$ (j'ai spécialement mis un point-virgule entre les indices pour ne pas se tromper, mais il n'est pas nécessaire de les mettre général - j'en ai moi-même eu marre de taper la formule dans la définition) se résume en fait à une règle simple :

Prenez la $i$ième ligne de la première matrice ;
Prenez la $j$ième colonne de la deuxième matrice ;
Nous obtenons deux séquences de nombres. Nous multiplions les éléments de ces séquences par les mêmes nombres, puis additionnons les produits résultants.

Ce processus est facile à comprendre à partir de l'image :

Schéma de multiplication de deux matrices

Encore une fois : nous fixons la ligne $i$ dans la première matrice, la colonne $j$ dans la deuxième matrice, multiplions les éléments avec les mêmes nombres, puis ajoutons les produits résultants - nous obtenons $((c)_(ij))$ . Et ainsi de suite pour tous les $1\le i\le m$ et $1\le j\le k$. Ceux. Il y aura $m\times k$ de telles « perversions » au total.

En fait, nous avons déjà rencontré la multiplication matricielle dans les programmes scolaires, mais sous une forme très réduite. Soit les vecteurs :

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \fin(aligner)\]

Alors leur produit scalaire sera exactement la somme des produits par paires :

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Fondamentalement, à l'époque où les arbres étaient plus verts et le ciel plus lumineux, nous multipliions simplement le vecteur ligne $\overrightarrow(a)$ par le vecteur colonne $\overrightarrow(b)$.

Rien n'a changé aujourd'hui. C’est juste que maintenant il y a plus de ces vecteurs de lignes et de colonnes.

Mais assez de théorie ! Regardons des exemples réels. Et commençons par le cas le plus simple : les matrices carrées.

Multiplication matricielle carrée

Tâche 1. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Solution. Nous avons donc deux matrices : $A=\left[ 2\times 2 \right]$ et $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Il est clair qu’elles sont cohérentes (les matrices carrées de même taille sont toujours cohérentes). On effectue donc la multiplication :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ début(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fin (tableau) \ droite]. \fin(aligner)\]

C'est ça!

Réponse : $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Tâche 2. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(tableau) \right]\]

Solution. Encore une fois, des matrices cohérentes, nous effectuons donc les actions suivantes :\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \gauche(-3\right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrice) \right ] . \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une matrice remplie de zéros

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

D’après les exemples ci-dessus, il est évident que la multiplication matricielle n’est pas une opération si compliquée. Au moins pour les matrices carrées 2 par 2.

Au cours du processus de calcul, nous avons compilé une matrice intermédiaire, dans laquelle nous avons directement décrit quels nombres sont inclus dans une cellule particulière. C’est exactement ce que vous devez faire lorsque vous résolvez de vrais problèmes.

Propriétés de base du produit matriciel

En un mot. Multiplication matricielle :

Non commutatif : $A\cdot B\ne B\cdot A$ dans le cas général. Il existe bien sûr des matrices particulières pour lesquelles l'égalité $A\cdot B=B\cdot A$ (par exemple, si $B=E$ est la matrice identité), mais dans la grande majorité des cas cela ne fonctionne pas ;
Associativement : $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Il n'y a pas d'options ici : les matrices adjacentes peuvent être multipliées sans se soucier de ce qui se trouve à gauche et à droite de ces deux matrices.
De manière distributive : $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ et $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (en raison de la non-commutativité du produit, il est nécessaire de spécifier séparément la distributivité droite et gauche.

Et maintenant, tout est pareil, mais plus en détail.

La multiplication matricielle est à bien des égards similaire à la multiplication classique des nombres. Mais il existe des différences, dont la plus importante est que La multiplication matricielle est, d’une manière générale, non commutative.

Regardons à nouveau les matrices du problème 1. Nous connaissons déjà leur produit direct :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(tableau) \right]\]

Mais si on échange les matrices, on obtient un résultat complètement différent :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrice) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrice )\droite]\]

Il s'avère que $A\cdot B\ne B\cdot A$. De plus, l'opération de multiplication n'est définie que pour les matrices cohérentes $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$, mais personne n'a garanti qu'elles resteront cohérents s’ils sont échangés. Par exemple, les matrices $\left[ 2\times 3 \right]$ et $\left[ 3\times 5 \right]$ sont assez cohérentes dans l'ordre spécifié, mais les mêmes matrices $\left[ 3\times 5 \right] $ et $\left[ 2\times 3 \right]$ écrits dans l'ordre inverse ne sont plus cohérents. Triste.:(

Parmi les matrices carrées d'une taille $n$ donnée, il y aura toujours celles qui donneront le même résultat à la fois lorsqu'elles sont multipliées dans l'ordre direct et dans l'ordre inverse. Comment décrire toutes ces matrices (et combien il y en a en général) est le sujet d'une leçon distincte. Nous n'en parlerons pas aujourd'hui :)

Cependant, la multiplication matricielle est associative :

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Ainsi, lorsqu'il faut multiplier plusieurs matrices d'affilée à la fois, il n'est pas du tout nécessaire de le faire tout de suite : il est fort possible que certaines matrices adjacentes, une fois multipliées, donnent un résultat intéressant. Par exemple, une matrice nulle, comme dans le problème 2 discuté ci-dessus.

Dans les problèmes réels, on doit le plus souvent multiplier des matrices carrées de taille $\left[ n\times n \right]$. L'ensemble de toutes ces matrices est noté $((M)^(n))$ (c'est-à-dire que les entrées $A=\left[ n\times n \right]$ et \ signifient la même chose), et cela signifiera la même chose. contiennent nécessairement la matrice $E$, qui est appelée matrice identité.

Définition. Une matrice identité de taille $n$ est une matrice $E$ telle que pour toute matrice carrée $A=\left[ n\times n \right]$ l'égalité est vraie :

Une telle matrice a toujours la même apparence : il y a des un sur sa diagonale principale et des zéros dans toutes les autres cellules.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

En d’autres termes, si vous devez multiplier une matrice par la somme de deux autres, vous pouvez la multiplier par chacun de ces « deux autres » puis additionner les résultats. En pratique, nous devons généralement effectuer l'opération inverse : nous remarquons la même matrice, la sortons des parenthèses, effectuons une addition et ainsi nous simplifions la vie :)

Remarque : pour décrire la distributivité, nous avons dû écrire deux formules : où la somme est dans le deuxième facteur et où la somme est dans le premier. Cela se produit précisément parce que la multiplication matricielle est non commutative (et en général, en algèbre non commutative, il y a beaucoup de choses amusantes qui ne viennent même pas à l'esprit lorsque l'on travaille avec des nombres ordinaires). Et si, par exemple, vous devez écrire cette propriété lors d'un examen, assurez-vous d'écrire les deux formules, sinon l'enseignant pourrait se mettre un peu en colère.

D'accord, c'étaient tous des contes de fées sur les matrices carrées. Et les rectangulaires ?

Le cas des matrices rectangulaires

Mais rien - tout est comme avec les carrés.

Tâche 3. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(matrice) \begin(matrice) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrice) & \begin(matrice) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrice) \ \\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Solution. Nous avons deux matrices : $A=\left[ 3\times 2 \right]$ et $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Notons les nombres indiquant les tailles d'affilée :

Comme vous pouvez le constater, les deux nombres centraux coïncident. Cela signifie que les matrices sont cohérentes et peuvent être multipliées. De plus, en sortie on obtient la matrice $C=\left[ 3\times 2 \right]$ :

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrice) \begin(matrice) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrice) & \begin(matrice) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrice) \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\fin (tableau) \right]. \fin(aligner)\]

Tout est clair : la matrice finale comporte 3 lignes et 2 colonnes. Tout à fait $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Réponse : $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrice) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrice) \\\end(array) \right]$.

Examinons maintenant l'une des meilleures tâches de formation pour ceux qui commencent tout juste à travailler avec des matrices. Dans ce document, vous ne devez pas simplement multiplier deux comprimés, mais d'abord déterminer : une telle multiplication est-elle autorisée ?

Problème 4. Trouver tous les produits de matrices par paires possibles :

\\]; $B=\left[ \begin(matrice) \begin(matrice) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrice) & \begin(matrice) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrice) \\\end(matrice) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Solution. Tout d'abord, notons les tailles des matrices :

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

On constate que la matrice $A$ ne peut être réconciliée qu'avec la matrice $B$, puisque le nombre de colonnes de $A$ est 4, et seul $B$ a ce nombre de lignes. On peut donc retrouver le produit :

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ gauche[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Je suggère au lecteur de compléter les étapes intermédiaires de manière indépendante. Je noterai seulement qu'il vaut mieux déterminer la taille de la matrice résultante à l'avance, avant même tout calcul :

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Autrement dit, on supprime simplement les coefficients de « transit » qui assuraient la cohérence des matrices.

Quelles autres options sont possibles ? Bien sûr, on peut trouver $B\cdot A$, puisque $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, donc la paire ordonnée $\ left(B ;A \right)$ est cohérent, et la dimension du produit sera :

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

En bref, le résultat sera une matrice $\left[ 4\times 4 \right]$, dont les coefficients peuvent être facilement calculés :

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ gauche[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(tableau) \right]\]

Évidemment, vous pouvez également vous mettre d'accord sur $C\cdot A$ et $B\cdot C$ - et c'est tout. Par conséquent, nous écrivons simplement les produits résultants :

C'était facile :)

Réponse : $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(tableau) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

En général, je recommande fortement de réaliser cette tâche vous-même. Et une autre tâche similaire qui fait partie des devoirs. Ces pensées apparemment simples vous aideront à pratiquer toutes les étapes clés de la multiplication matricielle.

Mais l'histoire ne s'arrête pas là. Passons aux cas particuliers de multiplication :)

Vecteurs de lignes et vecteurs de colonnes

L'une des opérations matricielles les plus courantes est la multiplication par une matrice comportant une ligne ou une colonne.

Définition. Un vecteur colonne est une matrice de taille $\left[ m\times 1 \right]$, c'est-à-dire composé de plusieurs lignes et d'une seule colonne.

Un vecteur ligne est une matrice de taille $\left[ 1\times n \right]$, c'est-à-dire composé d'une ligne et de plusieurs colonnes.

En fait, nous avons déjà rencontré ces objets. Par exemple, un vecteur tridimensionnel ordinaire issu de la stéréométrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ n'est rien de plus qu'un vecteur ligne. D'un point de vue théorique, il n'y a quasiment aucune différence entre les lignes et les colonnes. Il vous suffit d'être prudent lors de la coordination avec les matrices multiplicatrices environnantes.

Tâche 5. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Solution. Nous avons ici le produit de matrices appariées : $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Retrouvons cette pièce :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(tableau) \right]\]

Réponse : $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Tâche 6. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Solution. Encore une fois, tout est cohérent : $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. On compte le produit :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Comme vous pouvez le voir, lorsque nous multiplions un vecteur ligne et un vecteur colonne par une matrice carrée, le résultat donne toujours une ligne ou une colonne de même taille. Ce fait a de nombreuses applications - de la résolution d'équations linéaires à toutes sortes de transformations de coordonnées (qui en fin de compte se résument également à des systèmes d'équations, mais ne parlons pas de choses tristes).

Je pense que tout était évident ici. Passons à la dernière partie de la leçon d'aujourd'hui.

Exponentiation matricielle

Parmi toutes les opérations de multiplication, l'exponentiation mérite une attention particulière : c'est lorsque l'on multiplie plusieurs fois le même objet par lui-même. Les matrices ne font pas exception ; elles peuvent également être élevées à diverses puissances.

De tels travaux sont toujours convenus :

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Et ils sont désignés exactement de la même manière que les diplômes ordinaires :

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \fin(aligner)\]

À première vue, tout est simple. Voyons à quoi cela ressemble en pratique :

Tâche 7. Élever la matrice à la puissance indiquée :

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Solution. Bon, d'accord, construisons. Tout d'abord, mettons les choses au carré :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(tableau) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(tableau) \right] \end(align)\]

C'est tout :)

Réponse : $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problème 8. Élevez la matrice à la puissance indiquée :

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Solution. Ne pleurez pas maintenant sur le fait que « le diplôme est trop grand », « le monde n’est pas juste » et « les enseignants ont complètement perdu leurs rivages ». C'est en fait simple :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrice) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrice) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrice) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \end(align)\ ]

Notez que dans la deuxième ligne, nous avons utilisé l’associativité de multiplication. En fait, nous l'avons utilisé dans la tâche précédente, mais il y était implicite.

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à élever une matrice à une puissance. Le dernier exemple peut être résumé :

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Ce fait est facile à prouver par induction mathématique ou multiplication directe. Cependant, il n'est pas toujours possible de détecter de tels schémas lors de l'augmentation de la puissance. Soyez donc prudent : souvent, multiplier plusieurs matrices « au hasard » s'avère plus facile et plus rapide que de rechercher une sorte de modèle.

En général, ne cherchez pas de sens supérieur là où il n’y en a pas. En conclusion, considérons l'exponentiation d'une matrice plus grande - jusqu'à $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problème 9. Élevez la matrice à la puissance indiquée :

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Solution. Ne cherchons pas de modèles. Nous travaillons à l'avance :

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Commençons par mettre au carré cette matrice :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Maintenant, découpons-le :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin( tableau)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

C'est ça. Le problème est résolu.

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Comme vous pouvez le constater, le volume des calculs est devenu plus important, mais le sens n'a pas du tout changé :)

Ceci conclut la leçon. La prochaine fois, nous considérerons l'opération inverse : en utilisant le produit existant, nous rechercherons les facteurs d'origine.

Comme vous l'avez probablement déjà deviné, nous parlerons de la matrice inverse et des méthodes pour la trouver.

C'est un concept qui généralise toutes les opérations possibles effectuées avec des matrices. Matrice mathématique - tableau des éléments. A propos d'une table où m lignes et n colonnes, on dit que cette matrice a la dimension m sur n.

Vue générale de la matrice :

Pour solutions matricielles il faut comprendre ce qu'est une matrice et connaître ses principaux paramètres. Principaux éléments de la matrice :

La diagonale principale, composée d'éléments un 11, un 22…..un mn.
Diagonale latérale composée d'éléments un 1n , un 2n-1 .....un m1.

Principaux types de matrices :

Square est une matrice où le nombre de lignes = le nombre de colonnes ( m=n).
Zéro - où tous les éléments de la matrice = 0.
Matrice transposée - matrice DANS, qui a été obtenu à partir de la matrice originale UN en remplaçant les lignes par des colonnes.
Unité - tous les éléments de la diagonale principale = 1, tous les autres = 0.
Une matrice inverse est une matrice qui, multipliée par la matrice d'origine, donne une matrice d'identité.

La matrice peut être symétrique par rapport aux diagonales principale et secondaire. Autrement dit, si un 12 = un 21, un 13 =un 31,….un 23 =un 32…. un m-1n =un mn-1, alors la matrice est symétrique par rapport à la diagonale principale. Seules les matrices carrées peuvent être symétriques.

Méthodes de résolution de matrices.

Presque tout méthodes de résolution matricielle consiste à trouver son déterminant n-ème ordre et la plupart d'entre eux sont assez encombrants. Pour trouver le déterminant du 2ème et du 3ème ordre, il existe d'autres méthodes plus rationnelles.

Trouver des déterminants de 2e ordre.

Pour calculer le déterminant d'une matrice UN 2ème ordre, il faut soustraire le produit des éléments de la diagonale secondaire du produit des éléments de la diagonale principale :

Méthodes pour trouver des déterminants de 3ème ordre.

Vous trouverez ci-dessous les règles pour trouver le déterminant du 3ème ordre.

Règle simplifiée du triangle comme l'une des méthodes de résolution matricielle, peut être représenté de cette façon :

En d'autres termes, le produit des éléments du premier déterminant reliés par des lignes droites est pris avec le signe « + » ; Aussi, pour le 2ème déterminant, les produits correspondants sont pris avec le signe « - », c'est-à-dire selon le schéma suivant :

À résoudre des matrices en utilisant la règle de Sarrus, à droite du déterminant, additionner les 2 premières colonnes et les produits des éléments correspondants sur la diagonale principale et sur les diagonales qui lui sont parallèles sont pris avec un signe « + » ; et les produits des éléments correspondants de la diagonale secondaire et des diagonales qui lui sont parallèles, avec le signe « - » :

Décomposition du déterminant en ligne ou en colonne lors de la résolution de matrices.

Le déterminant est égal à la somme des produits des éléments de la rangée du déterminant et de leurs compléments algébriques. En règle générale, la ligne/colonne contenant des zéros est sélectionnée. La ligne ou la colonne le long de laquelle la décomposition est effectuée sera indiquée par une flèche.

Réduire le déterminant à la forme triangulaire lors de la résolution de matrices.

À résolution de matrices méthode de réduction du déterminant à une forme triangulaire, ils fonctionnent comme ceci : en utilisant les transformations les plus simples sur des lignes ou des colonnes, le déterminant prend une forme triangulaire puis sa valeur, conformément aux propriétés du déterminant, sera égale au produit des éléments qui se trouvent sur la diagonale principale.

Théorème de Laplace pour résoudre des matrices.

Lors de la résolution de matrices à l'aide du théorème de Laplace, vous devez connaître le théorème lui-même. Théorème de Laplace : Soit Δ - c'est un déterminant n-ième ordre. Nous sélectionnons n'importe quel k lignes (ou colonnes), à condition k≤ n-1. Dans ce cas, la somme des produits de tous les mineurs k-ème ordre contenu dans le sélectionné k les lignes (colonnes), par leurs compléments algébriques seront égales au déterminant.

Résoudre la matrice inverse.

Séquence d'actions pour solutions matricielles inverses:

Déterminez si une matrice donnée est carrée. Si la réponse est négative, il devient clair qu’il ne peut pas y avoir de matrice inverse.
Nous calculons des compléments algébriques.
Nous composons une matrice d'union (mutuelle, adjointe) C.
On compose la matrice inverse à partir d'additions algébriques : tous les éléments de la matrice adjointe C diviser par le déterminant de la matrice initiale. La matrice finale sera la matrice inverse requise par rapport à celle donnée.
On vérifie le travail effectué : multipliez la matrice initiale et la matrice résultante, le résultat doit être une matrice identité.

Résolution de systèmes matriciels.

Pour solutions de systèmes matriciels La méthode gaussienne est la plus souvent utilisée.

La méthode de Gauss est une méthode standard pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) et consiste dans le fait que les variables sont séquentiellement éliminées, c'est-à-dire qu'à l'aide de changements élémentaires, le système d'équations est amené à un système triangulaire équivalent et à partir de là, séquentiellement, en partant de ce dernier (par numéro), trouvez chaque élément du système.

Méthode Gauss est l'outil le plus polyvalent et le meilleur pour trouver des solutions matricielles. Si un système a un nombre infini de solutions ou si le système est incompatible, alors il ne peut pas être résolu en utilisant la règle de Cramer et la méthode matricielle.

La méthode de Gauss implique également des mouvements directs (réduction de la matrice étendue à une forme pas à pas, c'est-à-dire obtention de zéros sous la diagonale principale) et inverses (obtention de zéros au-dessus de la diagonale principale de la matrice étendue). Le mouvement vers l'avant est la méthode de Gauss, le mouvement inverse est la méthode de Gauss-Jordan. La méthode Gauss-Jordan ne diffère de la méthode Gauss que par la séquence d'élimination des variables.

Résolution de matrices– un concept qui généralise les opérations sur les matrices. Une matrice mathématique est un tableau d'éléments. Un tableau similaire avec m lignes et n colonnes est appelé une matrice m par n.
Vue générale de la matrice

Principaux éléments de la matrice :
Diagonale principale. Il est constitué des éléments a 11, a 22.....a mn
Diagonale latérale. Il est composé des éléments a 1n, et 2n-1.....a m1.
Avant de passer à la résolution de matrices, considérons les principaux types de matrices :
Carré– dans lequel le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes (m=n)
Zéro – tous les éléments de cette matrice sont égaux à 0.
Matrice transposée- matrice B obtenue à partir de la matrice A d'origine en remplaçant les lignes par des colonnes.
Célibataire– tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, tous les autres sont 0.
Matrice inverse- une matrice, une fois multipliée par laquelle la matrice d'origine donne la matrice d'identité.
La matrice peut être symétrique par rapport aux diagonales principale et secondaire. Autrement dit, si un 12 = un 21, un 13 = un 31,….un 23 = un 32…. un m-1n = un mn-1. alors la matrice est symétrique par rapport à la diagonale principale. Seules les matrices carrées sont symétriques.
Passons maintenant directement à la question de savoir comment résoudre des matrices.

Ajout de matrice.

Les matrices peuvent être ajoutées algébriquement si elles ont la même dimension. Pour ajouter la matrice A avec la matrice B, vous devez ajouter l'élément de la première ligne de la première colonne de la matrice A avec le premier élément de la première ligne de la matrice B, l'élément de la deuxième colonne de la première ligne de la matrice A. avec l'élément de la deuxième colonne de la première ligne de la matrice B, etc.
Propriétés d'addition
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Multiplication matricielle.

Les matrices peuvent être multipliées si elles sont cohérentes. Les matrices A et B sont considérées comme cohérentes si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B.
Si A est de dimension m par n, B est de dimension n par k, alors la matrice C=A*B sera de dimension m par k et sera composée d'éléments

Où C 11 est la somme des produits par paires des éléments d'une ligne de la matrice A et d'une colonne de la matrice B, c'est-à-dire que l'élément est la somme du produit d'un élément de la première colonne de la première ligne de la matrice A avec un élément de la première colonne de la première ligne de la matrice B, un élément de la deuxième colonne de la première ligne de la matrice A avec un élément de la première colonne des matrices de deuxième ligne B, etc.
Lors de la multiplication, l’ordre de multiplication est important. A*B n’est pas égal à B*A.

Trouver le déterminant.

Toute matrice carrée peut générer un déterminant ou un déterminant. Écrit dét. Ou | éléments matriciels |
Pour les matrices de dimension 2 par 2. Déterminer qu'il existe une différence entre le produit des éléments de la diagonale principale et les éléments de la diagonale secondaire.

Pour les matrices de dimensions 3 sur 3 ou plus. L’opération de recherche du déterminant est plus compliquée.
Présentons les concepts :
Élément mineur– est le déterminant d'une matrice obtenu à partir de la matrice d'origine en barrant la ligne et la colonne de la matrice d'origine dans lesquelles se trouvait cet élément.
Complément algébrique L'élément d'une matrice est le produit du mineur de cet élément par -1 à la puissance la somme de la ligne et de la colonne de la matrice d'origine dans laquelle se trouvait cet élément.
Le déterminant de toute matrice carrée est égal à la somme du produit des éléments de n'importe quelle ligne de la matrice par leurs compléments algébriques correspondants.

Inversion matricielle

L'inversion matricielle est le processus de recherche de l'inverse d'une matrice, dont nous avons donné la définition au début. La matrice inverse est notée de la même manière que celle d'origine avec l'ajout du degré -1.
Trouvez la matrice inverse en utilisant la formule.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Où A * T est la matrice transposée des compléments algébriques.

Nous avons réalisé des exemples de résolution de matrices sous forme de tutoriel vidéo

:

Si vous voulez le comprendre, assurez-vous de le regarder.

Ce sont les opérations de base pour résoudre des matrices. Si vous avez des questions supplémentaires sur comment résoudre des matrices, n'hésitez pas à écrire dans les commentaires.

Si vous n’y parvenez toujours pas, essayez de contacter un spécialiste.