Considérons la fonction u(x, y, z) au point M(x, y, z) et au point M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Traçons 1 vecteur passant par les points M et M. Les angles d'inclinaison de ce vecteur par rapport à la direction des axes de coordonnées x, y, z seront respectivement notés a, b, g. Les cosinus de ces angles sont appelés cosinus directeurs vecteur

Notons la distance entre les points M et M 1 sur le vecteur par DS.

où les quantités e 1 , e 2 , e 3 sont infinitésimales à .

D'après des considérations géométriques, il ressort clairement :

Ainsi, les égalités ci-dessus peuvent être représentées comme suit :

Notez que la quantité s est scalaire. Il détermine uniquement la direction du vecteur.

De cette équation découle la définition suivante :

La limite s'appelle dérivée de la fonction u(x, y, z) dans la direction du vecteur en un point de coordonnées (x, y, z).

Expliquons la signification des égalités ci-dessus à l'aide d'un exemple.

Exemple 9.1. Calculez la dérivée de la fonction z = x 2 + y 2 x au point A(1, 2) dans la direction du vecteur. B (3, 0).

Solution. Tout d’abord, il faut déterminer les coordonnées du vecteur.

On retrouve les dérivées partielles de la fonction z sous forme générale :

Les valeurs de ces grandeurs au point A :

Pour trouver les cosinus directeurs d’un vecteur, nous effectuons les transformations suivantes :

=

Un vecteur arbitraire dirigé le long d'un vecteur donné est pris comme valeur, c'est-à-dire déterminer le sens de la différenciation.

De là on obtient les valeurs des cosinus directeurs du vecteur :

cosa = ; cosb = -

Finalement on obtient : - la valeur de la dérivée d'une fonction donnée dans la direction du vecteur.

Si dans un domaine D une fonction u = u(x, y, z) et un vecteur sont donnés dont les projections sur les axes de coordonnées sont égales aux valeurs de la fonction u au point correspondant

,

alors ce vecteur s'appelle pente fonctions u.

Dans ce cas, ils disent que dans la région D un champ de gradients est spécifié.

Théorème: Soit la fonction u = u(x, y, z) et le champ de gradient

.

Alors la dérivée par rapport à la direction d'un vecteur est égale à la projection du vecteur gradu sur le vecteur .

Preuve: Considérons un vecteur unitaire et une fonction u = u(x, y, z) et trouvons le produit scalaire des vecteurs et diplômé.

L'expression à droite de cette égalité est la dérivée de la fonction u dans la direction de s.

Ceux. . Si l'angle entre les vecteurs diplômé et noté j, alors le produit scalaire peut s'écrire comme le produit des modules de ces vecteurs et le cosinus de l'angle entre eux. Compte tenu du fait que le vecteur est unitaire, c'est-à-dire son module est égal à un, on peut écrire :

L'expression à droite de cette égalité est la projection du vecteur tu es diplômé au vecteur.

Le théorème a été prouvé.

Pour illustrer la signification géométrique et physique du gradient, disons que le gradient est un vecteur montrant la direction du changement le plus rapide d'un champ scalaire u en tout point. En physique, il existe des concepts tels que le gradient de température, le gradient de pression, etc. Ceux. la direction du gradient est la direction de croissance la plus rapide de la fonction.

Du point de vue de la représentation géométrique, le dégradé est perpendiculaire à la surface du niveau de fonction.

En introduisant le concept de dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables, nous avons incrémenté les variables individuellement, laissant tous les autres arguments inchangés. En particulier, si l'on considère une fonction de deux variables z = f(x,y), alors soit la variable x a reçu un incrément Δx, puis dans le domaine de définition de la fonction il y a eu une transition d'un point de coordonnées (x,y) vers un point de coordonnées (x + Δx ;y) ; soit la variable y a reçu un incrément Δy, puis dans le domaine de définition de la fonction il y a eu une transition d'un point de coordonnées (x,y) à un point de coordonnées (x ; y + Δy) (voir Figure 5.6 ). Ainsi, le point auquel nous avons pris la dérivée partielle de la fonction s'est déplacé dans des directions parallèles aux axes de coordonnées sur le plan (soit parallèlement à l'axe des x, soit parallèlement à l'ordonnée). Considérons maintenant le cas où la direction peut être prise arbitrairement, c'est-à-dire des incréments sont donnés à plusieurs variables à la fois. Pour le cas d'une fonction à deux variables, on se déplacera au point (x + Δx ; y + Δy), et le déplacement sera Δ je(voir Figure 5.6).

Lors d'un déplacement dans une direction donnée, la fonction z augmentera Δ je z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), appelé l'incrément de la fonction z dans une direction donnée je.

Dérivée de z je`dans le sens je fonctions de deux variables
z = f(x,y) est la limite du rapport de l'incrément de fonction dans cette direction à la valeur de déplacement Δ je car ce dernier tend vers zéro, c'est-à-dire .

Dérivée z je` caractérise le taux de changement de la fonction dans le sens je.

Le concept de dérivée directionnelle peut être généralisé aux fonctions avec n'importe quel nombre de variables.

Figure 5.6 – Déplacement d'un point dans une direction je

On peut prouver que z je` = z x `cos α + z y `cos β, où α et β sont les angles formés par la direction de déplacement du point avec les axes de coordonnées (voir Figure 5.6).

Par exemple, trouvons la dérivée de la fonction z = ln (x 2 + xy) au point
(3; 1) dans le sens allant de ce point au point (6; -3) (voir Figure 5.7).

Pour ce faire, trouvez d'abord les dérivées partielles de cette fonction au point (3; 1) : z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7 /12 ;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.

Notez que Δx = 6 – 3 = 3 ; Δy = -3 – 1 = -4 ; (Δ je) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ je| = 5. Alors cos α = 3/5 ; cos β = -4/5 ; z je` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.

Fonction dégradé

Grâce au cours de mathématiques à l'école, nous savons qu'un vecteur sur un plan est un segment orienté. Son début et sa fin ont deux coordonnées. Les coordonnées vectorielles sont calculées en soustrayant les coordonnées de début des coordonnées de fin.

Le concept de vecteur peut être étendu à un espace à n dimensions (au lieu de deux coordonnées, il y aura n coordonnées).

Pente grad z de la fonction z = f(x 1, x 2, ...x n) est le vecteur des dérivées partielles de la fonction en un point, c'est-à-dire vecteur avec coordonnées .

On peut prouver que le gradient d'une fonction caractérise la direction de croissance la plus rapide du niveau d'une fonction en un point.

Par exemple, pour la fonction z = 2x 1 + x 2 (voir Figure 5.8), le gradient en tout point aura les coordonnées (2 ; 1). Vous pouvez le construire sur un plan de différentes manières, en prenant n'importe quel point comme début du vecteur. Par exemple, vous pouvez connecter le point (0 ; 0) au point (2 ; 1), ou le point (1 ; 0) au point (3 ; 1), ou le point (0 ; 3) au point (2 ; 4), ou ainsi de suite. (Voir Figure 5.8). Tous les vecteurs construits de cette manière auront pour coordonnées (2 – 0 ; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

De la figure 5.8, il est clairement visible que le niveau de la fonction augmente dans le sens du gradient, puisque les lignes de niveau construites correspondent aux valeurs de niveau 4 > 3 > 2.

Figure 5.8 - Gradient de la fonction z = 2x 1 + x 2

Considérons un autre exemple : la fonction z = 1/(x 1 x 2). Le gradient de cette fonction ne sera plus toujours le même en différents points, puisque ses coordonnées sont déterminées par les formules (-1/(x 1 2 x 2) ; -1/(x 1 x 2 2)).

La figure 5.9 montre les droites de niveau de la fonction z = 1/(x 1 x 2) pour les niveaux 2 et 10 (la droite 1/(x 1 x 2) = 2 est indiquée par une ligne pointillée, et la droite
1/(x 1 x 2) = 10 – ligne continue).

Figure 5.9 - Dégradés de la fonction z = 1/(x 1 x 2) en différents points

Prenez, par exemple, le point (0,5 ; 1) et calculez le gradient à ce point : (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Notez que le point (0,5 ; 1) se trouve sur la ligne de niveau 1/(x 1 x 2) = 2, car z = f(0,5 ; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Pour représenter le vecteur ( -4; -2) sur la figure 5.9, on relie le point (0,5; 1) au point (-3,5; -1), car
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prenons un autre point sur la même ligne de niveau, par exemple le point (1 ; 0,5) (z = f(1 ; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculons le gradient à ce stade
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Pour le représenter sur la figure 5.9, nous connectons le point (1 ; 0,5) avec le point (-1 ; -3,5), car (-1 - 1 ; -3,5 - 0,5) = (-2 ; - 4).

Prenons un autre point sur la même ligne de niveau, mais seulement maintenant dans un quartier de coordonnées non positif. Par exemple, point (-0,5 ; -1) (z = f(-0,5 ; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). La pente à ce stade sera égale à
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Représentons-le sur la figure 5.9 en reliant le point (-0,5 ; -1) avec le point (3,5 ; 1), car (3,5 – (-0,5) ; 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Il convient de noter que dans les trois cas considérés, le gradient montre la direction de croissance du niveau de fonction (vers la ligne de niveau 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

On peut prouver que la pente est toujours perpendiculaire à la ligne de niveau (surface plane) passant par un point donné.

Laissez la fonction u = f (x, y, z) continu dans certaines régions D et a des dérivées partielles continues dans cette région. Sélectionnons un point dans la zone considérée M(x,y,z) et dessinez-en un vecteur S, dont les cosinus directeurs sont cosα, cosβ, cosγ. Sur le vecteur S à distance Δ s dès le début, nous trouverons un point M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), Où

Imaginons l'incrément complet de la fonction f sous la forme :

Où

Après avoir divisé par Δ s on obtient :

Depuis l'égalité précédente peut être réécrite comme suit :

Pente.

Définition La limite du rapport à s'appelle dérivée d'une fonction u = f (x, y, z) dans la direction du vecteur S et est désigné .

Dans ce cas, de (1) on obtient :

(2)

Remarque 1. Les dérivées partielles sont un cas particulier de dérivée directionnelle. Par exemple, quand on obtient :

Remarque 2. Ci-dessus, la signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction de deux variables a été définie comme les coefficients angulaires des tangentes aux lignes d'intersection de la surface, qui est le graphique de la fonction, avec les plans. x = x0 Et oui = oui 0. De la même manière, on peut considérer la dérivée de cette fonction dans la direction je au point M(x 0, oui 0) comme coefficient angulaire de la ligne d'intersection de la surface donnée et du plan passant par le point M parallèle à l'axe O z et droit je.

Définition Un vecteur dont les coordonnées en chaque point d'une certaine région sont les dérivées partielles de la fonction u = f (x, y, z)à ce stade, on l'appelle pente fonctions vous = f (x, y, z).

Désignation : diplômé toi = .

Propriétés du dégradé.

1. Dérivée par rapport à la direction d'un vecteur S est égal à la projection du vecteur grad toi vecteur S . Preuve. Vecteur de direction de l'unité S on dirait ES =(cosα, cosβ, cosγ), donc le membre de droite de la formule (4.7) est le produit scalaire des vecteurs grad toi Et e s , c'est-à-dire la projection spécifiée.

2. Dérivée en un point donné dans la direction du vecteur S a la plus grande valeur égale à |grad toi|, si cette direction coïncide avec la direction du dégradé. Preuve. Notons l'angle entre les vecteurs S et diplômé toi passant par φ. Alors de la propriété 1 il s'ensuit que |grad toi|∙cosφ, (4.8) donc sa plus grande valeur est atteinte à φ=0 et est égale à |grad toi|.

3. Dérivée dans la direction d'un vecteur perpendiculaire au vecteur grad toi, est égal à zéro.

Preuve. Dans ce cas, dans la formule (4.8)

4. Si z = f(x,y) est fonction de deux variables, alors grad f= dirigé perpendiculairement à la ligne de niveau f (x, y) = c, passant par ce point.

Extréma de fonctions de plusieurs variables. Une condition nécessaire pour un extremum. Condition suffisante pour un extremum. Extrémum conditionnel. Méthode du multiplicateur de Lagrange. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites.

Définition 1. Point M 0 (x 0, y 0) appelé point maximum fonctions z = f (x, y), Si f (x o , y o) > f(x,y) pour tous les points (x, y) M 0.

Définition 2. Point M 0 (x 0, y 0) appelé point minimum fonctions z = f (x, y), Si f (x o , y o) < f(x,y) pour tous les points (x, y) d'un certain quartier d'un point M 0.

Remarque 1. Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes fonctions de plusieurs variables.

Remarque 2. Le point extrême pour une fonction d'un nombre quelconque de variables est déterminé de la même manière.

Théorème 1(conditions nécessaires pour un extremum). Si M 0 (x 0, y 0)– point extrême de la fonction z = f (x, y), alors à ce stade, les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction sont égales à zéro ou n'existent pas.

Preuve.

Fixons la valeur de la variable à, en comptant oui = oui 0. Alors la fonction f (x, y 0) sera fonction d'une variable X, pour lequel x = x0 est le point extrême. Donc, d'après le théorème de Fermat, ou n'existe pas. La même affirmation est prouvée de la même manière pour .

Définition 3. Les points appartenant au domaine d'une fonction de plusieurs variables pour lesquels les dérivées partielles de la fonction sont égales à zéro ou n'existent pas sont appelés points fixes cette fonction.

Commentaire. Ainsi, l'extremum ne peut être atteint qu'en des points fixes, mais il n'est pas nécessairement observé en chacun d'eux.

Théorème 2(conditions suffisantes pour un extremum). Laissez entrer un certain quartier du point M 0 (x 0, y 0), qui est un point stationnaire de la fonction z = f (x, y), cette fonction a des dérivées partielles continues jusqu'au 3ème ordre inclus. Notons alors :

1) f(x,y) a au point M 0 maximum si AC-B² > 0, UN < 0;

2) f(x,y) a au point M 0 minimum si AC-B² > 0, UN > 0;

3) il n'y a pas d'extremum au point critique si AC-B² < 0;

4) si AC-B² = 0, des recherches supplémentaires sont nécessaires.

Exemple. Trouvons les points extremum de la fonction z = x² - 2 xy + 2oui² + 2 X. Pour trouver des points stationnaires, on résout le système . Le point stationnaire est donc (-2,-1). En même temps UNE = 2, DANS = -2, AVEC= 4. Alors AC-B² = 4 > 0, donc en un point stationnaire un extremum est atteint, à savoir un minimum (puisque UN > 0).

Extrémum conditionnel.

Définition 4. Si les arguments de la fonction f (x 1 , x 2 ,…, xn) sont liés par des conditions supplémentaires sous la forme méquations ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, xn) = 0, (1)

où les fonctions φ i ont des dérivées partielles continues, alors les équations (1) sont appelées équations de connexion.

Définition 5. Extremum de la fonction f (x 1 , x 2 ,…, xn) lorsque les conditions (1) sont remplies, on l'appelle conditionnel extrême.

Commentaire. Nous pouvons proposer l'interprétation géométrique suivante de l'extremum conditionnel d'une fonction à deux variables : soit les arguments de la fonction f(x,y) lié par l'équation φ (x,y)= 0, définissant une courbe dans le plan O xy. Reconstruire les perpendiculaires au plan O à partir de chaque point de cette courbe xy jusqu'à ce qu'il croise la surface z = f (x,y), on obtient une courbe spatiale située sur la surface au-dessus de la courbe φ (x,y)= 0. La tâche est de trouver les points extrêmes de la courbe résultante, qui, bien entendu, dans le cas général ne coïncident pas avec les points extrêmes inconditionnels de la fonction f(x,y).

Déterminons les conditions nécessaires pour un extremum conditionnel pour une fonction de deux variables en introduisant d'abord la définition suivante :

Définition 6. Fonction L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

Où λi – certains sont constants, appelés Fonction de Lagrange, et les chiffres λi– multiplicateurs de Lagrange indéfinis.

Théorème(conditions nécessaires pour un extremum conditionnel). Extremum conditionnel d'une fonction z = f (x, y) en présence de l'équation de couplage φ ( x, y)= 0 ne peut être obtenu qu'aux points stationnaires de la fonction de Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Champ scalaire une partie de l'espace (ou tout l'espace) est appelée, chaque point auquel correspond la valeur numérique d'une quantité scalaire.

Exemples

Un corps qui a une certaine valeur de température en chaque point est un champ scalaire.

Un corps inhomogène dont chaque point correspond à une certaine densité - un champ de densité scalaire.

Dans tous ces cas, la quantité scalaire U ne dépend pas du temps, mais dépend de la position (coordonnées) du point M dans l'espace, c'est-à-dire qu'elle est fonction de trois variables, on l'appelle fonction de champ. Et inversement, toute fonction de trois variables u=f(x, y, z) spécifie un champ scalaire.

La fonction de champ scalaire plat dépend de deux variables z=f(x, y).

Considérons le champ scalaire u=f(x, y, z).

Un vecteur dont les coordonnées sont les dérivées partielles d'une fonction calculée en un point donné est appelé pente fonction à ce stade ou le gradient du champ scalaire.

Considérons un vecteur et deux points dessus M 0 (x 0 , oui 0 , z 0) Et . Trouvons l'incrément de la fonction dans la direction :

Dérivée directionnelle la limite suivante est appelée si elle existe :

où sont les cosinus directeurs du vecteur ; α, β, γ - angles formés par le vecteur avec les axes de coordonnées, si .

Pour une fonction de deux variables, ces formules prennent la forme :

ou ,

parce que .

Il existe une relation entre le gradient et la dérivée directionnelle au même point.

Théorème. Le produit scalaire du gradient d'une fonction et d'un vecteur d'une certaine direction est égal à la dérivée de cette fonction dans la direction de ce vecteur :

.

Conséquence. La dérivée directionnelle a la plus grande valeur si cette direction coïncide avec la direction du gradient (justifiez-vous en utilisant la définition du produit scalaire et en supposant que ).

Conclusions :

1. Le gradient est un vecteur montrant la direction de la plus grande augmentation de la fonction en un point donné et ayant un module numériquement égal au taux de cette augmentation :

.

2. La dérivée directionnelle est le taux de changement d'une fonction dans la direction : si , alors la fonction dans cette direction augmente, si , alors la fonction diminue.

3. Si le vecteur coïncide avec l'un des vecteurs, alors la dérivée par rapport à la direction de ce vecteur coïncide avec la dérivée partielle correspondante.

Par exemple, si , alors .

Exemple

Fonction donnée , indiquer UNE(1, 2) et vecteur.

Trouver : 1) ;

Solution

1) Trouvez les dérivées partielles de la fonction et calculez-les au point A.

, .

Alors .

2) Trouver les cosinus directeurs du vecteur :

Répondre: ; .

Littérature [ 1,2]

Questions d'auto-test :

1. Qu'appelle-t-on une fonction à deux variables, son domaine de définition ?

2. Comment les dérivées partielles sont-elles déterminées ?

3. Quelle est la signification géométrique des dérivées partielles ?

4. Qu'appelle-t-on le gradient du champ scalaire en un point donné ?

5. Comment s’appelle la dérivée directionnelle ?

6. Formuler les règles pour trouver les extrema d'une fonction de deux variables.

Option 1

Tâche n°1

UN) ; b) ;

V) ; g) .

Tâche n°2 Examiner la continuité d'une fonction : trouver les points de discontinuité de la fonction et déterminer leur type. Construisez un graphique schématique de la fonction.

Tâche n°Étant donné un nombre complexe Z. Obligatoire : écrire le nombre Z sous des formes algébriques et trigonométriques. .

Tâche n°4.

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Tâche n°5.Étudiez une fonction à l'aide de méthodes de calcul différentiel et, en utilisant les résultats de l'étude, construisez un graphique. .

Tâche n°6. La fonction z=f(x,y) est donnée. Vérifier si l'identité F≡0 est vraie ?

Tâche n°7Étant donné une fonction Z=x 2 +xy+y 2, point et vecteur. Trouver:

1) diplômé z au point UN;

2) dérivée en un point UN dans la direction du vecteur .

Option 2

Tâche n°1 Calculez les limites des fonctions sans utiliser la règle de L'Hôpital.

UN) ; b) ;

V) ; g) .

Tâche n°2 Examiner la continuité d'une fonction : trouver les points de discontinuité de la fonction et déterminer leur type. Construisez un graphique schématique de la fonction.

Tâche n°3Étant donné un nombre complexe Z. Obligatoire : écrire le nombre Z sous des formes algébriques et trigonométriques.

Tâche n°4. Trouvez les dérivées du premier ordre de ces fonctions.

Dérivée directionnelle.

Laisser monter dans l'avion XOY point situé M 0 (x 0 ,oui 0 ). Fixons un angle arbitraire un et considérons un ensemble de points sur un même plan dont les coordonnées sont déterminées à partir des formules

x = x 0 + t parce que une, y = y 0 + t péché un. (1)

Ici t- un paramètre qui peut être égal à n'importe quel nombre. Des formules (1) il résulte :

(o - o 0)/(x - x 0) = tg un

Cela signifie que tous les points M(x,y), dont les coordonnées satisfont aux égalités (1), se trouvent sur une droite passant par le point M 0 (x 0 ,oui 0) et composante de l'angle un avec essieu BŒUF. Chaque valeur t correspond à un seul point M(x,y), couché sur cette ligne, et selon la formule (1) à partir de la distance entre les points M 0 (x 0 ,oui 0) et M(x,y) est égal t. On peut considérer cette droite comme un axe des nombres de direction positive déterminée par une augmentation du paramètre t. Notons la direction positive de cet axe par le symbole je.

je.Dérivée d'une fonction z = f(x,y) au point M 0 (x 0 ,oui 0)dans la direction je numéro appelé

La dérivée directionnelle d'une fonction peut recevoir une interprétation géométrique. Si par direct je, déterminé par les formules (1), tracez un plan vertical P.(en fait, dans l'espace tridimensionnel, les équations (1) définissent ce même plan), alors ce plan coupera le graphe de surface de la fonction z = f(x,y) le long de

une courbe spatiale L. Tangente de l'angle entre le plan horizontal et la tangente à cette courbe au point M 0 (x 0 ,oui 0) est égal à la dérivée de la fonction en ce point dans la direction je.

Dans n'importe quel cours d'analyse mathématique, il est prouvé que la dérivée directionnelle, déterminée par la formule (2), peut être représentée sous la forme

Notez que la dérivée partielle par rapport à x est également une dérivée directionnelle. Cette direction est déterminée par les égalités : cos une = 1 ; péché une = 0. De même, la dérivée partielle par rapport à oui est la dérivée par rapport à la direction, qui peut être spécifiée par les conditions cos une = 0 ; péché une = 1.

Avant d'analyser la formule (3), nous présentons quelques concepts et faits du cours d'algèbre vectorielle. Laissez entrer un plan avec un système de coordonnées XOYétant donné un segment orienté ou (ce qui est la même chose) un vecteur, et le point M 0 (x 0 ,oui 0) est son point de départ, et M 1 (x 1 ,oui 1)‑ point final. Déterminons la coordonnée du vecteur le long de l'axe BŒUF comme un nombre égal à x 1 ‑ x 0, et la coordonnée le long de l'axe sous forme de nombre égal à oui 1 ‑ oui 0 . Si vous spécifiez une paire ordonnée de nombres quelconques un Et b, alors ces nombres peuvent être considérés comme les coordonnées d'un vecteur dans le plan XOY, et la longueur de ce vecteur est déterminée par la formule

,

et la tangente de l'angle d'inclinaison g vecteur vers axe BŒUF déterminé à partir de la formule tg g = b/a(à noter que connaître la valeur de tg g, ainsi que le signe de l'un des nombres un Et b, nous pouvons déterminer l'angle g précis à 2 p).

Nous écrirons la représentation d'un vecteur sous la forme d'un couple de ses coordonnées sous la forme . Cette représentation a un trait caractéristique : elle ne détermine pas l'emplacement du vecteur sur le plan XOY. Pour le déterminer, il faut préciser, outre les coordonnées du vecteur, par exemple, les coordonnées de son point de départ ou, comme on peut l'appeler, le point d'application du vecteur.

Si deux vecteurs sont donnés : et , alors produit scalaire de ces vecteurs est appelé le nombre ( j- angle entre vecteurs).

Dans tout cours d'algèbre vectorielle, il est prouvé que le produit scalaire des vecteurs et est égal à la somme des produits de mêmes coordonnées de ces vecteurs :

= un 1 b 1 + un 2 b 2 . (4)

Laisser entrer dans une zone G avion XOY fonction spécifiée z = f(x,y) , qui a des dérivées partielles continues par rapport aux deux arguments.

Pente ou vecteur dégradé fonctions f(x,y) au point (x,y) О G est le vecteur donné par la formule

.

Fonction f définit pour chaque point de la zone G le vecteur gradient émanant de ce point.

Revenons maintenant à la formule (3). On peut considérer son côté droit comme un produit scalaire de vecteurs. Le premier d'entre eux est le vecteur gradient de la fonction z = f(x,y) au point M 0 (x 0 ,oui 0):

.

Le second est un vecteur . Il s'agit d'un vecteur de longueur 1 et d'un angle d'inclinaison par rapport à l'axe Ox égal à un.

Nous pouvons maintenant conclure que la dérivée de la fonction z = f(x,y) dans la direction déterminée par l'angle un inclinaison par rapport à l'axe BŒUF, au point M 0 (x 0 ,oui 0) peut être calculé à l'aide de la formule

. (5)

Ici b- l'angle entre le vecteur et le vecteur précisant la direction selon laquelle la dérivée est prise. Il est également pris en compte ici que