Tracez des lignes de tension et des surfaces équipotentielles. Surface équipotentielle

Direction ligne électrique(lignes de tension) en chaque point coïncide avec la direction. Il s'ensuit que la tension est égale à la différence de potentiel U par unité de longueur de la ligne électrique .

C’est le long de la ligne de champ que se produit la variation maximale de potentiel. Par conséquent, vous pouvez toujours déterminer entre deux points en mesurant U entre eux, et plus les points sont proches, plus ils sont précis. Dans un champ électrique uniforme lignes électriques- droit. Par conséquent, il est plus simple de déterminer ici :

Une représentation graphique des lignes de champ et des surfaces équipotentielles est présentée à la figure 3.4.

En se déplaçant le long de cette surface par d je le potentiel ne changera pas :

Il s'ensuit que la projection du vecteur le jour jeégal à zéro , c'est Par conséquent, en chaque point, il est dirigé le long de la normale à la surface équipotentielle.

Vous pouvez dessiner autant de surfaces équipotentielles que vous le souhaitez. Par la densité des surfaces équipotentielles on peut juger de la valeur , on prévoira que la différence de potentiel entre deux surfaces équipotentielles adjacentes soit égale à une valeur constante.

La formule exprime la relation entre potentiel et tension et permet valeurs connuesφ trouver l’intensité du champ en chaque point. Vous pouvez également résoudre problème inverse, c'est-à-dire en utilisant des valeurs connues en chaque point du champ, trouver la différence de potentiel entre deux points arbitraires champs. Pour ce faire, on profite du fait que le travail effectué par les forces de terrain sur la charge q en le déplaçant du point 1 au point 2, peut être calculé comme suit :

D’autre part, l’œuvre peut être représentée comme :

, Alors

L'intégrale peut être prise le long de n'importe quelle ligne reliant le point 1 et le point 2, car le travail des forces de champ ne dépend pas du chemin. Pour parcourir une boucle fermée, on obtient :

ceux. Nous sommes arrivés au théorème bien connu sur la circulation du vecteur tension : circulation du vecteur tension champ électrostatique le long de tout contour fermé est nul.

Un champ qui possède cette propriété est appelé potentiel.

De la disparition de la circulation vectorielle il résulte que les lignes du champ électrostatique ne peuvent être fermées : elles commencent à charges positives(origines) et sur charges négatives s'épuiser (couler) ou aller à l'infini(Fig. 3.4).

Cette relation n'est vraie que pour le champ électrostatique. Par la suite, nous découvrirons que le domaine des charges mobiles n'est pas potentiel, et pour lui cette relation n'est pas valable.

La relation entre tension et potentiel.

Pour champ de potentiel, entre la force potentielle (conservatrice) et énergie potentielle il y a un lien

où ("nabla") est l'opérateur hamiltonien.

Depuis Que

Le signe moins montre que le vecteur E est dirigé vers un potentiel décroissant.

Pour image graphique les distributions de potentiel utilisent des surfaces équipotentielles - des surfaces en tous points dont le potentiel a la même valeur.

Surfaces équipotentielles généralement effectué de manière à ce que les différences de potentiel entre deux surfaces équipotentielles adjacentes soient les mêmes. Alors la densité des surfaces équipotentielles caractérise clairement l'intensité du champ dans différents points. Là où ces surfaces sont plus denses, l’intensité du champ est plus grande. Sur la figure, la ligne pointillée montre les lignes de force, les lignes pleines montrent les sections de surfaces équipotentielles pour : positif frais ponctuels(a), dipôle (b), deux charges du même nom (c), conducteur métallique chargé de configuration complexe (d).

Pour un point de charge, le potentiel les surfaces équipotentielles sont donc des sphères concentriques. En revanche, les lignes de tension sont des lignes droites radiales. Par conséquent, les lignes de tension sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

On peut montrer que dans tous les cas le vecteur E est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles et est toujours dirigé dans la direction du potentiel décroissant.

Exemples de calculs des champs électrostatiques symétriques les plus importants dans le vide.

1. Champ électrostatique dipôle électrique dans le vide.

Un dipôle électrique (ou double pôle électrique) est un système de deux charges ponctuelles opposées de même ampleur (+q,-q), dont la distance l entre elles est nettement inférieure à la distance aux points de champ considérés (l<< r).

Le bras dipolaire l est un vecteur dirigé le long de l'axe dipolaire de la charge négative à la charge positive et égal à la distance qui les sépare.

Le moment électrique du dipôle re est un vecteur coïncidant en direction avec le bras du dipôle et égal au produit du module de charge |q| sur l'épaule, je:

Soit r la distance au point A à partir du milieu de l'axe dipolaire. Alors, étant donné que

2) Intensité du champ au point B sur la perpendiculaire restaurée à l'axe du dipôle à partir de son centre en

Le point B est à égale distance des charges +q et -q du dipôle, donc le potentiel de champ au point B est nul. Le vecteur Ёв est dirigé à l'opposé du vecteur l.

3) Dans un champ électrique externe, une paire de forces agit sur les extrémités du dipôle, qui tend à faire tourner le dipôle de telle sorte que le moment électrique re du dipôle tourne dans la direction du champ E (Fig. ( un)).

Dans un champ uniforme externe, le moment d'une paire de forces est égal à M = qElsin a ou Dans un champ externe inhomogène (Fig. (c)), les forces agissant sur les extrémités du dipôle ne sont pas identiques et leur résultante tend à déplacer le dipôle vers une région de champ avec une intensité plus élevée - le dipôle est attiré vers une région de champ plus fort.

2. Champ d'un plan infini uniformément chargé.

Un plan infini est chargé d'une constante densité superficielle Les lignes de tension sont perpendiculaires au plan considéré et dirigées à partir de celui-ci dans les deux sens.

Comme surface gaussienne, on prend la surface d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan chargé, et les bases sont parallèles au plan chargé et se situent le long différents côtés de celui-ci à égales distances.

Puisque les génératrices du cylindre sont parallèles aux lignes de tension, le flux du vecteur tension à travers surface latérale le cylindre est nul, et le flux total traversant le cylindre est égal à la somme des flux passant par ses bases 2ES. La charge contenue à l’intérieur du cylindre est égale à . Par le théorème de Gauss où:

E ne dépend pas de la longueur du cylindre, c'est-à-dire L'intensité du champ à n'importe quelle distance est la même en ampleur. Un tel champ est dit homogène.

La différence de potentiel entre les points situés aux distances x1 et x2 du plan est égale à

3. Le champ de deux plans parallèles infinis de charges opposées avec des densités de charge de surface en valeur absolue égales σ>0 et - σ.

De l'exemple précédent, il résulte que les vecteurs tension E 1 et E 2 des premier et deuxième plans sont de même ampleur et sont partout dirigés perpendiculairement aux plans. Par conséquent, dans l'espace extérieur aux plans, ils se compensent, et dans l'espace entre les plans, la tension totale . Donc, entre les avions

(en diélectrique.).

Le champ entre les plans est uniforme. Différence potentielle entre les avions.
(en diélectrique ).

4.Champ d'une surface sphérique uniformément chargée.

Surface sphérique rayon R avec une charge totale q chargée uniformément avec la densité superficielle

Étant donné que le système de charges et, par conséquent, le champ lui-même sont à symétrie centrale par rapport au centre de la sphère, les lignes de tension sont dirigées radialement.

Comme surface gaussienne on choisit une sphère de rayon r ayant centre général avec une sphère chargée. Si r>R, alors toute la charge q pénètre à l'intérieur de la surface. Par le théorème de Gauss, d'où

À r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Différence de potentiel entre deux points situés à des distances r 1 et r 2 du centre de la sphère

(r1 >R,r2 >R), est égal à

En dehors de la sphère chargée, le champ est le même que le champ d’une charge ponctuelle q située au centre de la sphère. Il n’y a pas de champ à l’intérieur de la sphère chargée, donc le potentiel est le même partout et le même qu’à la surface

> Lignes équipotentielles

Caractéristiques et propriétés lignes de surface équipotentielles: état du potentiel du champ électrique, équilibre statique, formule de charge ponctuelle.

Lignes équipotentielles les champs sont des zones unidimensionnelles où potentiel électrique reste inchangé.

Objectif d'apprentissage

• Caractériser la forme des lignes équipotentielles pour plusieurs configurations de charge.

Points principaux

• Pour une charge ponctuelle isolée particulière, le potentiel est basé sur la distance radiale. Les lignes équipotentielles apparaissent donc rondes.
• Si plusieurs charges discrètes entrent en contact, leurs champs se croisent et présentent un potentiel. En conséquence, les lignes équipotentielles deviennent asymétriques.
• Lorsque les charges sont réparties sur deux plaques conductrices en équilibre statique, les lignes équipotentielles sont essentiellement droites.

Termes

• Equipotentiel - une section où chaque point a le même potentiel.
• Solde statique – condition physique, où tous les composants sont au repos, et puissance pure est égal à zéro.

Les lignes équipotentielles représentent des régions unidimensionnelles où le potentiel électrique reste inchangé. Autrement dit, pour une telle charge (peu importe où elle se trouve sur la ligne équipotentielle), il n'est pas nécessaire d'effectuer des travaux pour passer d'un point à un autre au sein d'une ligne particulière.

Les lignes de la surface équipotentielle peuvent être droites, courbes ou irrégulières. Tout cela repose sur la répartition des charges. Ils sont situés radialement autour du corps chargé, ils restent donc perpendiculaires aux lignes champ électrique.

Frais à un seul point

Pour une facturation ponctuelle, la formule potentielle est :

Il existe ici une dépendance radiale, c'est-à-dire que quelle que soit la distance jusqu'à la charge ponctuelle, le potentiel reste inchangé. Les droites équipotentielles prennent donc forme ronde avec une borne de recharge au centre.

Charge ponctuelle isolée avec lignes de champ électrique (bleues) et lignes équipotentielles (vertes)

Frais multiples

Si plusieurs charges discrètes sont en contact, alors on voit comment leurs champs se chevauchent. Ce chevauchement provoque une combinaison du potentiel et une distorsion des lignes équipotentielles.

Si plusieurs charges sont présentes, des lignes équipotentielles se forment de manière irrégulière. Entre les charges, le contrôle est capable de ressentir les effets des deux charges.

Charge continue

Si les charges sont situées sur deux plaques conductrices dans des conditions d'équilibre statique, où les charges ne sont pas interrompues et sont en ligne droite, alors les lignes équipotentielles sont redressées. Le fait est que la continuité des charges provoque des actions continues en tout point.

Si les charges sont tracées sur une ligne et ne sont pas interrompues, alors les lignes équipotentielles passent directement devant elles. Par exception, on ne peut retenir que le pli près des bords des plaques conductrices

La continuité est rompue plus près des extrémités des plaques, c'est pourquoi une courbure est créée dans ces zones - l'effet de bord.

Surface équipotentielle surface équipotentielle

une surface sur laquelle tous les points ont le même potentiel. La surface équipotentielle est orthogonale aux lignes de champ. La surface d'un conducteur en électrostatique est une surface équipotentielle.

SURFACE ÉQUIPOTENTIELLE, surface en tous points dont le potentiel (cm. POTENTIEL (en physique)) le champ électrique a même valeur j= const. Sur un plan, ces surfaces représentent des lignes de champ équipotentielles.
Utilisé pour afficher graphiquement la distribution potentielle.
Les surfaces équipotentielles sont fermées et ne se coupent pas. L'imagerie des surfaces équipotentielles est réalisée de telle manière que les différences de potentiel entre surfaces équipotentielles adjacentes soient les mêmes. Dans ce cas, dans les zones où les lignes de surfaces équipotentielles sont plus denses, l'intensité du champ est plus grande. (cm. Entre deux points quelconques d’une surface équipotentielle, la différence de potentiel est nulle. Cela signifie que le vecteur force en tout point de la trajectoire de la charge le long de la surface équipotentielle est perpendiculaire au vecteur vitesse. Ainsi, les lignes de tension RÉSISTANCE DU CHAMP ÉLECTRIQUE) (cm. le champ électrostatique est perpendiculaire à la surface équipotentielle. Autrement dit : la surface équipotentielle est orthogonale aux lignes de champ champs, et le vecteur d'intensité du champ électrique E est toujours perpendiculaire aux surfaces équipotentielles et est toujours dirigé dans la direction du potentiel décroissant. Le travail effectué par les forces du champ électrique pour tout mouvement d’une charge le long d’une surface équipotentielle est égal à zéro, puisque ?j = 0.
Surfaces équipotentielles d'un champ de points charge électrique sont des sphères au centre desquelles se trouve une charge. Les surfaces équipotentielles d'un champ électrique uniforme sont des plans perpendiculaires aux lignes de tension. La surface d'un conducteur dans un champ électrostatique est une surface équipotentielle.

Dictionnaire encyclopédique. 2009 .

Voyez ce qu'est « surface équipotentielle » dans d'autres dictionnaires :

Une surface sur laquelle tous les points ont le même potentiel. Une surface équipotentielle est orthogonale aux lignes de champ. La surface d'un conducteur en électrostatique est une surface équipotentielle... Grand dictionnaire encyclopédique

La surface et tous les points de l’essaim ont le même potentiel. Par exemple, la surface d'un conducteur en électrostatique E. Physique. dictionnaire encyclopédique. M. : Encyclopédie soviétique. Rédacteur en chef A.M. Prokhorov. 1983... Encyclopédie physique

surface équipotentielle- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Dictionnaire anglais-russe de génie électrique et de génie énergétique, Moscou, 1999] Thèmes de génie électrique, concepts de base FR surface de potentiel égalsurface d'énergie égaleéquipotentiel... ... Guide du traducteur technique

Surfaces équipotentielles d'un dipôle électrique (leurs sections sont représentées en sombre par le plan du dessin ; la couleur traduit classiquement la valeur du potentiel en différents points du plus valeurs élevées violet et rouge, n... Wikipédia

surface équipotentielle- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. surface équipotentielle vok. Fläche équipotentielle, f rus. surface équipotentielle, f pranc. surface de potentiel constante, f; surface d'égal potentiel, f; surface… … Fizikos terminų žodynas

Une surface de potentiel égal est une surface dans laquelle tous les points ont le même potentiel. Par exemple, la surface d'un conducteur en électrostatique est un champ électrique Dans un champ de force, les lignes de force sont normales (perpendiculaires) à l'énergie électrique... Grand Encyclopédie soviétique

- (du latin aequus égal et potentiel) geom. la place des points sur le terrain, vers la Crimée correspond à la même valeur potentielle. E. les lignes sont perpendiculaires aux lignes de force. L'équipotentielle est, par exemple, la surface d'un conducteur situé dans une zone électrostatique... ... Grand dictionnaire polytechnique encyclopédique

Pour plus de clarté, le champ électrique est souvent représenté à l'aide de lignes de champ et de surfaces équipotentielles.

Lignes électriques – ce sont des lignes continues dont les tangentes en chaque point par lequel elles passent coïncident avec le vecteur d'intensité du champ électrique (Fig. 1.5). La densité des lignes de champ (le nombre de lignes de champ traversant une unité de surface) est proportionnelle à l'intensité du champ électrique.

Surfaces équipotentielles (équipotentielles) – surfaces d’égal potentiel. Ce sont des surfaces (lignes) sur lesquelles le potentiel ne change pas lors du déplacement. Sinon, la différence de potentiel entre deux points équipotentiels est nulle. Les lignes de force sont perpendiculaires aux équipotentielles et dirigées dans la direction du potentiel décroissant. Cela découle de l’équation (1.10).

Considérons, à titre d'exemple, le champ électrique créé à distance à partir d'une charge ponctuelle. D’après (1.11,b), le vecteur intensité coïncide avec la direction du vecteur , si la charge est positive, et à l'opposé si la charge est négative. Par conséquent, les lignes de champ s'écartent radialement de la charge (Fig. 1.6, a, b). La densité des lignes de champ, comme la tension, est inversement proportionnelle au carré de la distance (
) à charger. Les équipotentielles du champ électrique d’une charge ponctuelle sont des sphères centrées à l’emplacement de la charge.

1.6. Théorème de Gauss pour le champ électrique dans le vide

La tâche principale de l'électrostatique est de trouver l'intensité et le potentiel du champ électrique en chaque point de l'espace. Dans la section 1.4, nous avons résolu le problème du champ d'une charge ponctuelle, et avons également considéré le domaine d'un système de charges ponctuelles. Dans cette section, nous parlerons d'un théorème qui permet de calculer le champ électrique d'objets chargés plus complexes. Par exemple, un long fil chargé (droit), un avion chargé, une sphère chargée et autres. Après avoir calculé l'intensité du champ électrique en chaque point de l'espace à l'aide des équations (1.12) et (1.13), nous pouvons calculer le potentiel en chaque point ou la différence de potentiel entre deux points quelconques, c'est-à-dire résoudre le problème fondamental de l’électrostatique.

Pour une description mathématique, nous introduisons le concept de flux vectoriel d'intensité ou de flux de champ électrique. Vecteur de flux (F) champ électrique traversant une surface plane
la quantité s'appelle :

, (1.16)

. (1.15,a)

Dans le cas où la surface pas plat, pour calculer le débit il faut le diviser en petites parties
, qui peut être approximativement considéré comme plat, puis notez l'expression (1.16) ou (1.16,a) pour chaque morceau de surface et additionnez-les. Dans la limite où la surface S je très petit (
), une telle somme est appelée intégrale de surface et est notée
. Ainsi, le flux du vecteur d'intensité du champ électrique à travers une surface arbitraire est déterminé par l'expression :

. (1.17)

A titre d'exemple, considérons une sphère de rayon , dont le centre est une charge ponctuelle positive , et déterminez le flux de champ électrique à travers la surface de cette sphère. Les lignes de force (voir, par exemple, Fig. 1.6, a) émergeant de la charge sont perpendiculaires à la surface de la sphère, et en chaque point de la sphère le module d'intensité de champ est le même

.

Aire d'une sphère
,

Alors


.

Ampleur
et représente le flux de champ électrique à travers la surface de la sphère. Ainsi, nous obtenons
. On peut voir que le flux du champ électrique à travers la surface de la sphère ne dépend pas du rayon de la sphère, mais dépend uniquement de la charge elle-même. . Par conséquent, si vous dessinez une série de sphères concentriques, le flux du champ électrique à travers toutes ces sphères sera le même. Évidemment, le nombre de lignes de force traversant ces sphères sera également le même. Il a été convenu que le nombre de lignes de force émergeant de la charge devrait être égal au flux du champ électrique :
.

Si la sphère est remplacée par une autre surface fermée, alors le flux du champ électrique et le nombre de lignes de champ qui la traversent ne changeront pas. De plus, le flux du champ électrique traversant une surface fermée, et donc le nombre de lignes de champ pénétrant cette surface, est égal à
non seulement pour le champ d'une redevance ponctuelle, mais également pour le champ créé par toute perception de redevances ponctuelles, notamment par un organisme taxé. Alors la valeur doit être considéré comme la somme algébrique de l’ensemble des charges situées à l’intérieur d’une surface fermée. C'est l'essence du théorème de Gauss, qui est formulé comme suit.

Le flux du vecteur d'intensité du champ électrique à travers une surface fermée arbitraire, à l'intérieur de laquelle se trouve un système de charges, est égal à
, Où
est la somme algébrique de ces charges.

Mathématiquement, le théorème peut s'écrire sous la forme

. (1.18)

Notez que si sur une surface S vecteur constant et parallèle au vecteur , puis l'écoulement à travers une telle surface. En transformant la première intégrale, nous avons d'abord profité du fait que les vecteurs Et parallèle, ce qui signifie
. Puis ils ont retiré la valeur pour le signe de l'intégrale car il est constant en tout point de la sphère . Lorsqu'on applique le théorème de Gauss pour résoudre des problèmes spécifiques, on essaie spécifiquement de choisir une surface pour laquelle les conditions décrites ci-dessus sont satisfaites en tant que surface fermée arbitraire.

Donnons quelques exemples d'application du théorème de Gauss.

Solution. Supposons avec certitude que le fil est chargé positivement. En raison de la symétrie du problème, on peut affirmer que les lignes de force seront des lignes droites rayonnant à partir de l'axe du fil (Fig. 1.9), dont la densité diminue selon une certaine loi à mesure qu'elles s'éloignent du fil. . Selon la même loi, l'ampleur du champ électrique diminuera également . Les surfaces équipotentielles seront surfaces cylindriques avec un axe coïncidant avec le filetage.

Soit la charge unitaire de longueur du fil égale à . Cette quantité est appelée densité de charge linéaire et est mesurée en unités SI [C/m]. Pour calculer l'intensité du champ, nous appliquons le théorème de Gauss. Pour ce faire, en tant que surface fermée arbitraire choisissez un cylindre de rayon et longueur , dont l'axe coïncide avec le filetage (Fig. 1.9). Calculons le flux du champ électrique à travers la surface du cylindre. Le débit total est la somme du débit à travers la surface latérale du cylindre et du débit à travers les bases.

Cependant,
, puisqu'en tout point sur les bases du cylindre
.
Cela signifie que
à ces points. Flux à travers la surface latérale
. D'après le théorème de Gauss, ce flux total est

.

. Ainsi, nous avons obtenu :
La somme des charges situées à l'intérieur du cylindre peut être exprimée par la densité de charge linéaire
. Considérant que

,

, (1.19)

, nous obtenons
).

ceux. l'intensité et la densité des lignes de champ électrique d'un fil sans fin uniformément chargé diminuent en proportion inverse de la distance ( Et Trouvons la différence de potentiel entre des points situés à des distances Et du filetage (appartenant à des surfaces cylindriques équipotentielles de rayons
). Pour ce faire, nous utilisons la connexion entre l'intensité du champ électrique et le potentiel sous la forme (1.9, c) :

.

Solution. Exemple 1.3. Calculez l’intensité du champ électrique d’un avion uniformément chargé. Déterminez la différence de potentiel entre deux points dans un tel champ.

Le champ électrique d'un plan uniformément chargé est représenté sur la figure. 1.10. En raison de la symétrie, les lignes de force doivent être perpendiculaires au plan. Par conséquent, nous pouvons immédiatement conclure que la densité des lignes et, par conséquent, l’intensité du champ électrique ne changeront pas avec la distance au plan. Les surfaces équipotentielles sont des plans parallèles à un plan chargé donné. Soit la charge par unité de surface de l'avion . Cette quantité est appelée densité de charge de surface et est mesurée en unités SI [C/m2]. Appliquons le théorème de Gauss. Pour ce faire, en tant que surface fermée arbitraire
choisissez un cylindre de longueur
, dont l'axe est perpendiculaire au plan, et les bases en sont équidistantes (Fig. 1.10). Flux de champ électrique total
.

.

Le flux à travers la surface latérale est nul. Le flux à travers chacune des bases est , c'est pourquoi :
.

. (1.20)

D'après la formule résultante, il est clair que l'intensité du champ d'un plan uniformément chargé ne dépend pas de la distance au plan chargé, c'est-à-dire en tout point de l'espace (dans un demi-plan), la valeur et la direction sont les mêmes. Ce champ est appelé homogène. Lignes électriques champ uniforme parallèlement, leur densité ne change pas.

Trouvons la différence de potentiel entre deux points d'un champ uniforme (appartenant aux plans équipotentiels Et , se trouvant dans le même demi-plan par rapport au plan chargé (Fig. 1.10)). Dirigons l'axe verticalement vers le haut, alors la projection du vecteur tension sur cet axe est égale au module du vecteur tension
. Utilisons l'équation (1.9) :

.

Valeur constante (le champ est homogène) peut être retiré sous le signe intégral :
. En intégrant, on obtient : . Ainsi, le potentiel d’un champ uniforme dépend linéairement de la coordonnée.

La différence de potentiel entre deux points du champ électrique est la tension entre ces points ( ). Notons la distance entre les plans équipotentiels
. On peut alors écrire cela dans un champ électrique uniforme :

. (1.21)

Soulignons encore une fois qu'en utilisant la formule (1.21), il faut se rappeler que la quantité - non pas la distance entre les points 1 et 2, mais la distance entre les plans équipotentiels auxquels appartiennent ces points.

Exemple 1.4. Calculer l'intensité du champ électrique de deux plans parallèles uniformément chargés de densités de charge de surface
Et
.

Solution. Utilisons le résultat de l'exemple 1.3 et le principe de superposition. Selon ce principe, le champ électrique résultant en tout point de l'espace
, Où Et - les intensités des champs électriques du premier et du deuxième plans. Dans l'espace entre les plans vectoriels Et sont dirigés dans une direction, donc le module de l'intensité de champ résultante. Et Dans l'espace extra-atmosphérique du vecteur

Solution., et le rayon de la sphère est

En raison de la symétrie de la répartition des charges, les lignes de champ doivent être dirigées le long des rayons de la sphère. Considérons une zone à l’intérieur d’une sphère. En tant que surface arbitraire
choisissez une sphère de rayon S:
, dont le centre coïncide avec le centre de la sphère chargée. Ensuite, le champ électrique traverse la sphère . Somme des charges à l'intérieur de la sphère est égal à zéro, puisque toutes les charges sont situées à la surface d'une sphère de rayon
. Alors, d'après le théorème de Gauss :
. Depuis
, Que
. Il n’y a donc pas de champ à l’intérieur d’une sphère uniformément chargée.

Considérons une région en dehors de la sphère. En tant que surface arbitraire Considérons une zone à l’intérieur d’une sphère. En tant que surface arbitraire
, dont le centre coïncide avec le centre de la sphère chargée. Le champ électrique traverse une sphère :
. La somme des charges à l'intérieur de la sphère est égale à la charge totale rayon de la sphère chargée . Alors, d'après le théorème de Gauss :
.
Considérant que

.

, on obtient :
Calculons le potentiel du champ électrique. Il est plus pratique de partir de la zone extérieure , puisqu'on sait qu'à une distance infinie du centre de la sphère le potentiel est priségal à zéro

.

. En utilisant l'équation (1.11,a), nous obtenons une équation différentielle à variables séparables :
Constante
, parce que
à
):
.

. Ainsi, dans l'espace extérieur (
Points à la surface d'une sphère chargée (
.

) aura du potentiel
Considérez la zone
. Dans ce domaine


, donc à partir de l'équation (1.11,a) on obtient :
. En raison de la continuité de la fonction constante
doit être égal à la valeur du potentiel à la surface de la sphère chargée :
.