Théorème de Stokes. Champ d'une plaque infinie uniformément chargée

Connaissant le rotor du vecteur a en chaque point d'une surface S (pas nécessairement plane), on peut calculer la circulation de ce vecteur le long du contour Г délimitant S (le contour peut aussi être non plat). Pour ce faire, on divise la surface en très petits éléments. En raison de leur petitesse, ces éléments peuvent être considérés comme plats.

Par conséquent, conformément à (11.23), la circulation du vecteur a le long du contour limite peut être représentée sous la forme

où est la normale positive à l'élément de surface

Conformément à la formule (11.21), en sommant l'expression (11.29) sur tout , on obtient la circulation du vecteur a le long du contour Г, limitant

Après avoir effectué le passage à la limite, dans laquelle tous les AS tendent vers zéro (leur nombre croît sans limite), on arrive à la formule

(11.30)

La relation (11.30) est appelée théorème de Stokes. Sa signification est que la circulation du vecteur a le long d'un contour arbitraire Г est égale au flux du vecteur rota à travers une surface arbitraire S limitée par un contour donné.

Opérateur de l'Observatoire L'écriture de formules d'analyse vectorielle est grandement simplifiée et facilitée si vous introduisez un opérateur différentiel vectoriel, désigné par un symbole et appelé opérateur Nabla ou opérateur Hamilton. Cet opérateur désigne un vecteur à composantes. Par conséquent,

En soi, ce vecteur n’a aucune signification. Il prend sens lorsqu'il est combiné à une fonction scalaire ou vectorielle par laquelle il est symboliquement multiplié. Donc, si vous multipliez le vecteur y par un scalaire, vous obtenez le vecteur

qui est le gradient de la fonction (voir (11.1)).

Si le vecteur y est multiplié de manière scalaire par le vecteur a, le résultat est un scalaire

qui n'est rien d'autre que la divergence du vecteur a (voir (11.14)).

Enfin, si vous multipliez y par a vectoriellement, vous obtenez un vecteur avec des composantes : etc., qui coïncident avec les composantes rota (voir (11.25) - (11.27)).

Par conséquent, en utilisant la notation produit vectoriel en utilisant le déterminant, on peut écrire

(11-34)

Ainsi, il existe deux manières de noter le gradient, la divergence et le rotor :

La notation utilisant y présente de nombreux avantages. Nous utiliserons donc dans la suite cette notation. Vous devez vous habituer à identifier le symbole avec les mots « gradient » (c'est-à-dire ne pas dire « nabla » mais « gradient phi »), le symbole avec les mots « divergence a » et enfin le symbole avec les mots « rotor a ». ».

Lorsque vous utilisez le vecteur y, vous devez vous rappeler qu'il s'agit de opérateur différentiel, agissant sur toutes les fonctions à sa droite. Par conséquent, lors de la conversion d’expressions incluant y, vous devez prendre en compte à la fois les règles algèbre vectorielle, les règles aussi calculs différentiels. Par exemple, la dérivée du produit des fonctions est égale à

Selon ce

De même

Le gradient d'une fonction est une fonction vectorielle. Par conséquent, des opérations de divergence et de rotor peuvent lui être appliquées.

Soit un champ vectoriel continu a) k et un contour orienté fermé L dans un domaine G. Définition 1. La circulation d'un vecteur a le long d'un contour fermé L est appelée intégrale de ligne 2ème espèce à partir du vecteur a le long du contour L. Ici dr est un vecteur dont la longueur est égale à la différentielle de l'arc L, et la direction coïncide avec la direction de la tangente à L, op- Fig. 31 déterminé par l'orientation du contour (Fig. 31) ; le symbole f signifie que l'intégrale est reprise sur un contour alternatif L. Exemple 1. calculer la circulation d'un champ vectoriel le long de l'ellipse L : Par définition de circulation on a Équations paramétriques de cette ellipse ont la forme : , et, donc, . En substituant ces expressions dans la formule (2), nous trouvons la circulation du champ vectoriel. Rotor d'un vecteur Théorème de Stokes Rotor (vortex) d'un champ vectoriel Définition invariante champ rotorique Signification physique rotor de champ Règles de calcul du rotor 8.1. Rotor (vortex) d'un champ de vecteurs Considérons le champ d'un vecteur dont P, Q, R sont continus et ont des dérivées partielles continues du premier ordre par rapport à tous leurs arguments. Définition 2. Le rotor du vecteur "(M) est un vecteur désigné par le symbole rot a et défini par l'égalité ou, sous une forme symbolique commode pour se souvenir, Ce déterminant est développé par les éléments de la première rangée, tandis que le les opérations de multiplication des éléments de la deuxième ligne par les éléments de la troisième ligne sont comprises comme des opérations de différenciation, par exemple la définition 3. Si dans un domaine G nous avons rot a = 0, alors le champ du vecteur a dans le domaine G est dit irrotationnel. Exemple 2. Trouver le rotor du vecteur 4 D'après la formule (3) nous avons Puisque rot a est un vecteur, nous pouvons considérer un champ de vecteurs - le champ du rotor du vecteur a. En supposant que les coordonnées du vecteur a ont des dérivées partielles continues du second ordre, on calcule la divergence du vecteur rot a. On obtient ainsi que le champ du vecteur rota est solénoïdal. Théorème 7 (Stokes). La circulation du vecteur a le long d'un contour fermé orienté L est égale au flux rotorique de ce vecteur à travers toute surface E couverte par le contour L. On suppose que les coordonnées du vecteur a ont des dérivées partielles continues dans une région G de espace contenant la surface E, et que l'orientation du vecteur unitaire du point normal à la surface EC G est coordonnée avec l'orientation du contour L de sorte qu'à partir de l'extrémité de la norme, le circuit autour du contour dans une direction donnée semble se dérouler dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Considérant cela, et en utilisant la définition d'un rotor (3), nous réécrivons la formule (4) sous la forme suivante : Considérons d'abord le cas où une surface lisse E et son contour L sont projetés de manière unique sur la région D du xOy. plan et sa limite - contour A, respectivement (Fig. 32). L'orientation du contour L donne lieu à une certaine orientation du contour A. Pour plus de précision, nous supposerons que le contour L est orienté de telle sorte que la surface E reste à gauche, de sorte que le vecteur normal n à la surface E est l'axe Oz angle vif 7 (cos 7 >0). Soit l'équation de la surface E et la fonction φ(x)y) continues et ayant des dérivées partielles continues gf et ^ in zone fermée D. Considérons que la droite intégrale L se trouve sur la surface E. Par conséquent, en utilisant l'équation de cette surface, nous pouvons remplacer r sous le signe intégral par ^(x, y). Les coordonnées du point variable de la courbe A sont égales aux coordonnées du point correspondant sur la courbe L, et donc l'intégration sur L peut être remplacée par l'intégration sur A. Appliquons la formule de Green à l'intégrale de droite. On passe maintenant de l'intégrale sur la région D à l'intégrale sur la surface E. Puisque dS = cos 7 da, alors de la formule (8) on obtient que le vecteur normal n° à la surface E est déterminé par l'expression k. À partir de là, cela est clair. Par conséquent, l’égalité (9) peut être réécrite comme suit : Considérant E une surface lisse qui se projette de manière unique sur les trois plans de coordonnées, de même nous sommes convaincus de la validité des formules Circulation d'un champ de vecteurs. Rotor d'un vecteur Théorème de Stokes Rotor (vortex) d'un champ de vecteurs Définition invariante d'un rotor d'un champ Signification physique d'un rotor d'un champ Règles de calcul du rotor En additionnant les égalités terme par terme, on obtient la formule de Stokes ( 5), ou, en bref, Remarque 1. Nous avons montré que le champ du vecteur rote est solénoïdal, et donc le flux du vecteur rote ne dépend pas du type de surface E parcourue par le contour L. Remarque 2 La formule (4) a été dérivée en supposant que la surface £ est projetée de manière unique sur les trois plans de coordonnées. Si cette condition n'est pas remplie, alors on divise £ en parties de sorte que chaque partie condition spécifiée satisfait, puis nous utilisons l’additivité des intégrales. Exemple 3. Calculer la circulation d'un vecteur le long d'une ligne 1) en utilisant la définition ; 2) selon le théorème de Stokes. 4 1) Définissons paramétriquement la ligne L : Alors 2) Trouver rota : Étirons un morceau de plan sur le contour L Ensuite. Définition invariante du rotor de champ A partir du théorème de Stokes, on peut obtenir une définition invariante du rotor de champ, sans rapport avec le choix du système de coordonnées. Théorème 8. La projection du rotor a dans n'importe quelle direction ne dépend pas du choix du système de coordonnées et est égale à densité superficielle circulation du vecteur a le long du contour de la plateforme, perpendiculairement à cette direction, Ici (E) est une plateforme plane, perpendiculaire au vecteur je; 5 - superficie de ce site ; L - le contour du site, orienté de manière à ce que le circuit de contournement soit visible depuis l'extrémité du vecteur n dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ; (E) M signifie que la zone (E) se contracte jusqu'au point M, auquel le vecteur rot a est considéré, et le vecteur normal n à cette zone reste tout le temps le même (Fig. 33). 4 Appliquons d'abord le théorème de Stokes à la circulation (a,dr) du vecteur a, puis à la résultante double intégrale- le théorème des valeurs moyennes : où (le produit scalaire est pris en un point milieu Mf de la plateforme (E)). Comme l'aire (E) attire vers le point M, le point moyen A/c tend également vers le point M et, en raison de la continuité supposée des dérivées partielles des coordonnées du vecteur a (et donc de la continuité de la pourriture a), nous obtenir Puisque la projection du vecteur rot a dans une direction arbitraire ne dépend pas du choix du système de coordonnées, alors le vecteur rota lui-même est invariant par rapport à ce choix. De là on obtient la définition invariante suivante du rotor de champ : le rotor de champ est un vecteur dont la longueur est égale à la plus grande densité de circulation superficielle en un point donné, dirigée perpendiculairement à la zone sur laquelle ce rotor densité la plus élevée la circulation est réalisée ; dans ce cas, l'orientation du vecteur rota est cohérente avec l'orientation du contour pour lequel la circulation est positive, selon la règle de la bonne vis. 8.3. La signification physique d'un rotor de champ Laissez un corps rigide tourner autour axe fixe Je avec une vitesse angulaire et. Sans perte de généralité, on peut supposer que l'axe I coïncide avec l'axe Oz (Fig. 34). Soit M(r) le point du corps étudié, où le vecteur vitesse angulaire dans notre cas est égal à from = wk, calculez le vecteur v vitesse linéaire points M, D'où la circulation du champ vectoriel. Rotor d'un vecteur Théorème de Stokes Rotor (vortex) d'un champ vectoriel Définition invariante d'un rotor d'un champ Signification physique d'un rotor d'un champ Règles de calcul d'un rotor Ainsi, le vortex d'un champ de vitesse de rotation solide est la même en tous points du champ, parallèle à l'axe de rotation et égale à deux fois la vitesse angulaire de rotation. 8.4. Règles de calcul du rotor 1. Rotor vecteur constant c est égal au vecteur zéro, 2. Le rotor a la propriété de linéarité des nombres constants. 3. Rotor de produit fonction scalaire u(M) au vecteur a(M) est calculé par la formule

Ce théorème permet de calculer la circulation d'un vecteur le long d'un contour de longueur finie en utilisant le rotor de ce vecteur.

Circulation champ vectoriel le long d'un contour fermé orienté positivement L égal à débit rotorique ce champ à travers n'importe quelle surface lisse S , basé sur ce contour :

. (2.12)

Pour prouver le théorème, considérons un contour avec l'aire qu'il couvre (Fig. 2.6). L'ensemble du contour est divisé en contours élémentaires de même orientation (Fig. 2.10).

La circulation le long du circuit élémentaire est égale à
.

Tous les contours adjacents ( 1 Et 2 En figue. 2.10) ont la particularité suivante : sur une frontière commune de même valeur de champ, la contribution à la circulation le long de chacun des contours adjacents se fera avec un changement de signe (pour le contour 1 -un  b , et pour 2 - b  un ). De ce fait, la contribution à la circulation de tous les tronçons internes des circuits se compense mutuellement, et seuls les tronçons appartenant au circuit resteront non compensés. L , ce qui donne finalement (2.12) .

Un cas particulier de (2.12) dans le cas d'un contour situé sur un plan est la formule de D. Green (M. Ostrogradsky-D. Green) :

. (2.13)

Les formules (2.12) et (2.13) permettent de réduire le calcul d'une intégrale curviligne de seconde espèce au calcul d'une intégrale double sur la région S .

La transition inverse selon (2.12) s'effectue de la même manière que (2.8).

2.4. Opérateur observateur et opérateur Laplace

L'écriture de formules d'analyse vectorielle est simplifiée lors de l'utilisation opérateur radar (opérateur W. Hamilton), qui est un vecteur
. En soi, ce vecteur n'a aucune signification, mais il permet d'écrire de manière compacte les formules (2.3), (2.5) et (2.9) :

;
;
. (2.14)

De plus, l'opérateur nabla permet de simplifier le calcul des opérateurs différentiels d'ordre supérieur.

Il convient de noter qu'avec  doit être manipulé avec précaution, et lors de son utilisation, vous devez vous rappeler que cet opérateur n'est pas seulement vecteur , mais aussi différentiel .

Par exemple, trouvons
. En utilisant on obtient
. Selon les règles différenciation l'opérateur du produit agit en premier sur d'abord multiplicateur puis par deuxième: . En conséquence, nous obtenons. La procédure de calcul via les coordonnées vectorielles nécessiterait un ordre de grandeur en plus d'opérations.

Essayez d'obtenir par vous-même la formule du développement non incluse dans (2.15)
. La bonne réponse est donnée à la fin candidatures 1 .

Quelques identités et opérations de second ordre.

;
;

Opérateur Laplace ( , Laplacien ) est un opérateur du second ordre.

Comme  ,  s'applique à la fois au scalaire et au vecteur.

. (2.17)

Quand Système cartésien coordonnées (2.18) est simplifiée :

Informations sur les systèmes de coordonnées curvilignes souvent utilisés dans la théorie EMF ( cylindrique Et sphérique ) et les opérations vectorielles qu'ils contiennent sont données dans Annexe 2 .

2.5. Classification des champs vectoriels

Champ vectoriel est donné uniquement si son rotor et sa divergence sont connus comme fonctions de coordonnées spatiales.

En fonction des valeurs de ces fonctions, il existe potentiel , vortex (solénoïde ) champ et champ générique .

Champ vectoriel potentiellement , s'il existe une fonction scalaire U , qui est associé à de la manière suivante :
. Fonction U appelé potentiel de champ scalaire .

Condition nécessaire et suffisante potentialité est rotor égal à zéro (
).

Solénoïde (vortex ) est appelé un champ vectoriel , en chaque point dont
(condition nécessaire et suffisante),
.

Champ vectoriel solénoïdal peut être représenté comme
. Dans ce cas, la quantité vectorielle appelé potentiel de champ vectoriel (
).

Nom de domaine de ce genre peut s'expliquer par le fait qu'il a été découvert solénoïde , – un inducteur (il peut être avec ou sans noyau), dont la longueur dépasse largement le diamètre.

Si le champ vectoriel
Et
, c'est - champ générique .

Un champ vectoriel arbitraire de type général peut être représenté comme la somme des parties potentiel et vortex :
, - où dans inclus sources de terrain (
), et en –tourbillons de champ (
).

Maintenant, après avoir étudié les opérations intégrales et différentielles et les théorèmes de base de l'analyse vectorielle, nous pouvons commencer à étudier les bases de la théorie des CEM - Le système d'équations de Maxwell .

Savoir à chaque instant S, vous pouvez trouver la diffusion par g autour S. Décomposons-le S sur  S:

- élément normal à la surface  S.

Laissez tout  S 0 , Alors:

Théorème de Stokes :

Vecteur de circulation le long d'un contour arbitraire gégal au flux du vecteur
à travers une surface arbitraire S, limité par ce contour.

3.7 Circulation et rotor du champ électrostatique

Le travail des forces électrostatiques le long de tout circuit fermé est nul.

ceux. la circulation du champ électrostatique le long de n’importe quel circuit est nulle.

Prenons n'importe quelle surface S, basé sur le contour g.

D'après le théorème de Stokes :

;

puisque c'est pour n'importe quelle surface S, Que

Il y a une identité :

ceux. Les lignes de champ électrostatique ne circulent pas dans l'espace.

3.8 Théorème de Gauss

Nous trouverons
champ électrostatique. Pour une charge ponctuelle, la densité de raies est numériquement égale à

Couler à travers toute surface fermée est égal au nombre de lignes qui sortent, c'est-à-dire commençant par la charge « + » et se terminant par la charge « - » :

Le signe du flux correspond au signe q, les dimensions sont les mêmes.

Qu'il y ait N frais ponctuels q je .

Le flux du vecteur d'intensité du champ électrostatique à travers une surface fermée est égal à la somme algébrique des charges contenues à l'intérieur de cette surface, divisée par  0.

4 Calcul de champs à l'aide du théorème de Gauss

4.1 Champ d'une plaque infinie uniformément chargée.

4.2 Champ d'une surface sphérique uniformément chargée.

4.3 Champ de deux plans parallèles infinis de charges opposées

4.4 Champ d'une balle chargée volumétriquement

4.1 Champ d'une plaque infinie uniformément chargée

DANS introduire le concept de densité surfacique

- tarif par unité de surface.

Une plaque infinie chargée d’une densité surfacique constante +  . Les lignes de tension sont perpendiculaires au plan considéré et dirigées à partir de celui-ci dans les deux sens.

En tant que surface fermée, nous construirons un cylindre dont les bases sont parallèles au plan et l'axe lui est perpendiculaire, car les génératrices du cylindre sont parallèles E, Que parce que =0 et le flux à travers la surface latérale est égal à 0, et plein débità travers un cylindre est égal à la somme des flux traversant sa base.

E'=E''=E,

Que F= 2E S;

q = S

Il s'ensuit que E ne dépend pas de la longueur du cylindre, c'est-à-dire La surface du champ à n'importe quelle distance est la même en valeur absolue, c'est-à-dire Le champ d’une plaque uniformément chargée est uniforme.

4.2 Champ d'une surface sphérique uniformément chargée

AVEC rayon de la surface sphérique R. avec charge commune q.

Parce que la charge est répartie uniformément, alors le champ a une symétrie sphérique, c'est-à-dire les lignes planes sont dirigées radialement.

Construisons mentalement une sphère de rayon r R.. Parce que r R., alors la charge entière tombe à l’intérieur de la surface, selon le théorème de Gauss :

À r R. le champ diminue avec la distance r selon la même loi que celle de la redevance ponctuelle.

Si r' R., alors la surface fermée ne contient pas de charges à l'intérieur, il s'ensuit qu'il n'y a pas de champ électrostatique à l'intérieur d'une surface sphérique uniformément chargée E=0.