Direction ligne électrique(lignes de tension) en chaque point coïncide avec la direction. Il s'ensuit que la tension est égale à la différence de potentiel U par unité de longueur de la ligne électrique .

C’est le long de la ligne de champ que se produit la variation maximale de potentiel. Par conséquent, vous pouvez toujours déterminer entre deux points en mesurant U entre eux, et plus les points sont proches, plus ils sont précis. Dans un champ électrique uniforme, les lignes de force sont droites. Par conséquent, il est plus simple de déterminer ici :

Image graphique lignes électriques et les surfaces équipotentielles sont illustrées à la figure 3.4.

En se déplaçant le long de cette surface par d je le potentiel ne changera pas :

Il s'ensuit que la projection du vecteur le jour jeégal à zéro , c'est Par conséquent, en chaque point, il est dirigé le long de la normale à la surface équipotentielle.

Vous pouvez dessiner autant de surfaces équipotentielles que vous le souhaitez. Par la densité des surfaces équipotentielles on peut juger de la valeur , on prévoira que la différence de potentiel entre deux surfaces équipotentielles adjacentes soit égale à une valeur constante.

La formule exprime la relation entre potentiel et tension et permet valeurs connuesφ trouver l’intensité du champ en chaque point. Vous pouvez également résoudre problème inverse, c'est-à-dire en utilisant des valeurs connues en chaque point du champ, trouver la différence de potentiel entre deux points arbitraires champs. Pour ce faire, on profite du fait que le travail effectué par les forces de terrain sur la charge q en le déplaçant du point 1 au point 2, peut être calculé comme suit :

D’autre part, l’œuvre peut être représentée comme :

, Alors

L'intégrale peut être prise le long de n'importe quelle ligne reliant le point 1 et le point 2, car le travail des forces de champ ne dépend pas du chemin. Pour parcourir une boucle fermée, on obtient :

ceux. Nous sommes arrivés au théorème bien connu sur la circulation du vecteur tension : circulation du vecteur tension champ électrostatique le long de tout contour fermé est nul.

Un champ qui possède cette propriété est appelé potentiel.

De la disparition de la circulation vectorielle, il s'ensuit que les lignes du champ électrostatique ne peuvent pas être fermées : elles commencent sur des charges positives (sources) et se terminent sur des charges négatives (puits) ou vont à l'infini.(Fig. 3.4).

Cette relation n'est vraie que pour le champ électrostatique. Par la suite, nous découvrirons que le domaine des charges mobiles n'est pas potentiel, et pour lui cette relation n'est pas valable.

La relation entre tension et potentiel.

Pour champ de potentiel, entre la force potentielle (conservatrice) et énergie potentielle il y a un lien

où ("nabla") est l'opérateur hamiltonien.

Parce que Que

Le signe moins montre que le vecteur E est dirigé vers un potentiel décroissant.

Pour image graphique les distributions potentielles sont utilisées surfaces équipotentielles- des surfaces en tous points dont le potentiel a la même valeur.

Les surfaces équipotentielles sont généralement dessinées de manière à ce que les différences de potentiel entre deux surfaces équipotentielles adjacentes soient les mêmes. Alors la densité des surfaces équipotentielles caractérise clairement l'intensité du champ dans différents points. Là où ces surfaces sont plus denses, l’intensité du champ est plus grande. Sur la figure, la ligne pointillée montre les lignes de force, les lignes pleines montrent les sections de surfaces équipotentielles pour : positif frais ponctuels(a), dipôle (b), deux charges du même nom (c), conducteur métallique chargé de configuration complexe (d).

Pour un point de charge, le potentiel donc les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques. En revanche, les lignes de tension sont des lignes droites radiales. Par conséquent, les lignes de tension sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

On peut montrer que dans tous les cas le vecteur E est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles et est toujours dirigé dans la direction du potentiel décroissant.

Exemples de calculs des champs électrostatiques symétriques les plus importants dans le vide.

1. Champ électrostatique d'un dipôle électrique dans le vide.

Dipôle électrique(ou double pôle électrique) est un système de deux charges ponctuelles opposées de même ampleur (+q,-q), dont la distance l entre elles est nettement inférieure à la distance aux points de champ considérés (l<< r).

Le bras dipolaire l est un vecteur dirigé le long de l'axe dipolaire de charge négativeà positif et égal à la distance qui les sépare.

Le moment électrique du dipôle re est un vecteur coïncidant en direction avec le bras du dipôle et égal au produit du module de charge |q| sur l'épaule, je :

Soit r la distance au point A à partir du milieu de l'axe dipolaire. Alors, étant donné que

2) Intensité du champ au point B sur la perpendiculaire restaurée à l'axe du dipôle à partir de son centre en

Le point B est à égale distance des charges +q et -q du dipôle, donc le potentiel de champ au point B est nul. Le vecteur Ёв est dirigé à l'opposé du vecteur l.

3) Dans un champ électrique externe, une paire de forces agit sur les extrémités du dipôle, qui tend à faire tourner le dipôle de telle sorte que le moment électrique re du dipôle tourne dans la direction du champ E (Fig. ( un)).

Dans un champ uniforme externe, le moment d'une paire de forces est égal à M = qElsin a ou Dans un champ externe inhomogène (Fig. (c)), les forces agissant sur les extrémités du dipôle ne sont pas identiques et leur résultante tend à déplacer le dipôle vers une région de champ d'intensité plus élevée - le dipôle est attiré vers une région de champ plus fort.

2. Champ d'un plan infini uniformément chargé.

Un plan infini est chargé d'une constante densité superficielle Les lignes de tension sont perpendiculaires au plan considéré et dirigées à partir de celui-ci dans les deux sens.

Comme surface gaussienne, nous prenons la surface d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan chargé, et dont les bases sont parallèles au plan chargé et se trouvent sur les côtés opposés de celui-ci à des distances égales.

Puisque les génératrices du cylindre sont parallèles aux lignes de tension, le flux du vecteur tension à travers la surface latérale du cylindre est nul et le flux total à travers le cylindre est égal à la somme des flux à travers ses bases 2ES. La charge contenue à l’intérieur du cylindre est égale à . Par le théorème de Gauss où:

E ne dépend pas de la longueur du cylindre, c'est-à-dire L'intensité du champ à n'importe quelle distance est la même en ampleur. Un tel champ est dit homogène.

La différence de potentiel entre les points situés aux distances x1 et x2 du plan est égale à

3. Le champ de deux plans parallèles infinis de charges opposées avec des densités de charge de surface en valeur absolue égales σ>0 et - σ.

De l'exemple précédent, il résulte que les vecteurs tension E 1 et E 2 des premier et deuxième plans sont de même ampleur et sont partout dirigés perpendiculairement aux plans. Par conséquent, dans l'espace extérieur aux plans, ils se compensent, et dans l'espace entre les plans, la tension totale . Donc, entre les avions

(en diélectrique.).

Le champ entre les plans est uniforme. Différence potentielle entre les avions.
(en diélectrique ).

4.Champ d'une surface sphérique uniformément chargée.

Surface sphérique rayon R avec une charge totale q chargée uniformément avec la densité superficielle

Étant donné que le système de charges et, par conséquent, le champ lui-même sont à symétrie centrale par rapport au centre de la sphère, les lignes de tension sont dirigées radialement.

Comme surface gaussienne on choisit une sphère de rayon r ayant centre commun avec une sphère chargée. Si r>R, alors toute la charge q pénètre à l'intérieur de la surface. Par le théorème de Gauss, d'où

À r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Différence de potentiel entre deux points situés à des distances r 1 et r 2 du centre de la sphère

(r1 >R,r2 >R), est égal à

En dehors de la sphère chargée, le champ est le même que le champ d’une charge ponctuelle q située au centre de la sphère. Il n’y a pas de champ à l’intérieur de la sphère chargée, donc le potentiel est le même partout et le même qu’à la surface

Trouvons la relation entre l'intensité du champ électrostatique, qui est sa caractéristiques de puissance, et potentiel - caractéristiques énergétiques champs. Travaux de déménagement célibataire place charge positive d'un point du champ à un autre le long de l'axe Xà condition que les points soient situés infiniment proches les uns des autres et x 1 – x 2 = dx , égal à E x dx . Le même travail est égal à j 1 -j 2 = dj . En égalisant les deux expressions, nous pouvons écrire

où le symbole de dérivée partielle souligne que la différenciation est effectuée uniquement par rapport à X. Répéter un raisonnement similaire pour les axes y et z , on peut trouver le vecteur E :

où i, j, k sont des vecteurs unitaires axes de coordonnées x, y, z.

D'après la définition du gradient (12.4) et (12.6). il s'ensuit que

c'est-à-dire que l'intensité du champ E est égale au gradient de potentiel avec un signe moins. Le signe moins est déterminé par le fait que le vecteur d'intensité de champ E est dirigé vers côté descendant potentiel.

Pour représenter graphiquement la distribution du potentiel d'un champ électrostatique, comme dans le cas du champ gravitationnel (voir § 25), des surfaces équipotentielles sont utilisées - surfaces en tous points dont le potentiel a la même valeur.

Si le champ est créé par une charge ponctuelle, alors son potentiel, d'après (84.5),

Ainsi, les surfaces équipotentielles dans dans ce cas- des sphères concentriques. En revanche, les lignes de tension dans le cas d'une charge ponctuelle sont des lignes droites radiales. Par conséquent, les lignes de tension dans le cas d'une charge ponctuelle perpendiculaire surfaces équipotentielles.

Lignes de tension toujours normal aux surfaces équipotentielles. En effet, tous les points d'une surface équipotentielle ont le même potentiel, donc le travail effectué pour déplacer une charge le long de cette surface est nul, c'est-à-dire que les forces électrostatiques agissant sur la charge sont Toujours dirigé le long des normales aux surfaces équipotentielles. Par conséquent, le vecteur E toujours normale aux surfaces équipotentielles, et donc les lignes du vecteur E sont orthogonales à ces surfaces.

Un nombre infini de surfaces équipotentielles peuvent être tracées autour de chaque charge et de chaque système de charges. Cependant, ils sont généralement réalisés de manière à ce que les différences de potentiel entre deux surfaces équipotentielles adjacentes soient les mêmes. Ensuite, la densité des surfaces équipotentielles caractérise clairement l'intensité du champ en différents points. Là où ces surfaces sont plus denses, l’intensité du champ est plus grande.

Ainsi, connaissant l'emplacement des lignes d'intensité du champ électrostatique, il est possible de construire des surfaces équipotentielles et, inversement, à partir de l'emplacement connu des surfaces équipotentielles, l'amplitude et la direction de l'intensité du champ peuvent être déterminées en chaque point du champ. Sur la fig. 133 montre, à titre d'exemple, l'apparition des lignes de tension (lignes pointillées) et des surfaces équipotentielles (lignes pleines) des champs d'une charge ponctuelle positive (a) et d'un cylindre métallique chargé ayant une saillie à une extrémité et une dépression à l'autre. autre (b).

Surfaces équipotentielles et lignes de force du champ électrostatique.

J'aimerais pouvoir visualiser le champ électrostatique. Le champ de potentiel scalaire peut être représenté géométriquement comme un ensemble surfaces équipotentielles ( dans le cas plat - lignes), ou surfaces planes, comme les appellent les mathématiciens :

Pour chacune de ces surfaces, la condition est vraie (par définition !) :

(*)

Présentons cette condition en notation équivalente :

Appartient ici à la surface considérée, le vecteur perpendiculaire à l'élément de surface ( produit scalaire les vecteurs non nuls sont égaux à zéro précisément dans cette condition). Nous avons la possibilité de déterminer vecteur unitaire normale à l'élément de surface considéré :

Si nous revenons à la physique, nous concluons que le vecteur de l'intensité du champ électrostatique est perpendiculaire à la surface équipotentielle de ce champ !

Contenu mathématique notion de "dégradé" champ scalaire" :

La direction du vecteur est la direction dans laquelle la fonction augmente le plus rapidement ;

Il s’agit de l’incrément d’une fonction par unité de longueur dans la direction d’augmentation maximale.

Comment construire une surface équipotentielle ?

Laissez la surface équipotentielle donnée par l'équation (*) passer par un point de l'espace de coordonnées ( x, y, z). Fixons des déplacements arbitrairement petits de deux coordonnées, par exemple x=>x+dx Et y=>y+dy.À partir de l'équation (*), nous déterminons le déplacement requis dz, tel que point final est resté sur la surface équipotentielle considérée. De cette façon, vous pouvez « arriver » au point souhaité sur la surface.

ligne électrique champ de vecteur .

Définition. La tangente à la ligne de champ coïncide en direction avec le vecteur définissant le champ vectoriel considéré.

Un vecteur et un vecteur ont la même direction (c'est-à-dire parallèles l'un à l'autre) si

DANS formulaire de coordonnées nous avons des entrées:

Il est facile de voir que les relations suivantes sont valides :

Le même résultat peut être atteint si l’on écrit la condition de parallélisme de deux vecteurs en utilisant leur produit vectoriel:

Nous avons donc un champ de vecteurs. Considérons le vecteur élémentaire comme élément de ligne de force d'un champ vectoriel.

Conformément à la définition d'une ligne électrique, les relations suivantes doivent être satisfaites :

(**)

Voilà à quoi ils ressemblent équations différentielles ligne électrique. Obtenir solution analytique Ce système d'équations réussit dans des cas très rares (champ de charge ponctuelle, champ constant, etc.). Mais il n’est pas difficile de construire graphiquement une famille de lignes de force.

Laissez la ligne de champ passer par le point de coordonnées ( x, y, z). Nous connaissons les valeurs des projections du vecteur tension sur les directions de coordonnées en ce point. Choisissons un mélange arbitrairement petit, par exemple, x=>x+dx. À l'aide des équations (**), nous déterminons les déplacements requis mourir Et dz. Nous nous sommes donc déplacés vers le point voisin de la ligne de force. Le processus de construction peut se poursuivre.

Attention ! (Nota bene!). La ligne électrique ne détermine pas complètement le vecteur tension. Si une direction positive est spécifiée sur la ligne électrique, le vecteur de tension peut être dirigé positivement ou négativement. côté négatif(mais en même temps !). La ligne de champ ne détermine pas le module vectoriel (c'est-à-dire son ampleur) du champ vectoriel considéré.

Propriétés des objets géométriques saisis :

Une représentation graphique des champs peut être réalisée non seulement à l'aide de lignes de tension, mais également à l'aide de différences de potentiel. Si nous combinons des points avec des potentiels égaux dans un champ électrique, nous obtenons des surfaces de potentiel égal ou, comme on les appelle aussi, des surfaces équipotentielles. A l'intersection avec le plan de dessin, les surfaces équipotentielles donnent lignes équipotentielles. Tracer des lignes équipotentielles qui correspondent à différentes significations potentiel, nous obtenons une image visuelle qui reflète l’évolution du potentiel d’un domaine particulier. Se déplacer le long de la surface équipotentielle d'une charge ne nécessite pas de travail, car tous les points de champ le long d'une telle surface ont un potentiel égal et la force qui agit sur la charge est toujours perpendiculaire au mouvement.

Par conséquent, les lignes de tension sont toujours perpendiculaires aux surfaces de potentiels égaux.

L'image la plus claire du champ sera présentée si nous représentons des lignes équipotentielles avec des changements de potentiel égaux, par exemple 10 V, 20 V, 30 V, etc. Dans ce cas, le taux de changement de potentiel sera inversement proportionnel à la distance entre les lignes équipotentielles adjacentes. Autrement dit, la densité des lignes équipotentielles est proportionnelle à l’intensité du champ (plus l’intensité du champ est élevée, plus les lignes sont rapprochées). Connaissant les lignes équipotentielles, il est possible de construire les lignes d'intensité du champ considéré et vice versa.

Par conséquent, les images de champs utilisant des lignes équipotentielles et des lignes de tension sont équivalentes.

Numérotation des lignes équipotentielles dans le dessin

Très souvent, les lignes équipotentielles du dessin sont numérotées. Afin d'indiquer la différence de potentiel dans le dessin, une ligne arbitraire est désignée par le chiffre 0, à côté de toutes les autres lignes sont placés les chiffres 1,2,3, etc. Ces nombres indiquent la différence de potentiel en volts entre la ligne équipotentielle sélectionnée et la ligne sélectionnée comme zéro. En même temps, on constate que le choix de la droite zéro n'est pas important, puisque signification physique n'a que la différence de potentiel pour les deux surfaces, et cela ne dépend pas du choix de zéro.

Champ de charge ponctuelle avec charge positive

Considérons comme exemple le champ d'une charge ponctuelle, qui a une charge positive. Les lignes de champ d'une charge ponctuelle sont des lignes droites radiales, donc les surfaces équipotentielles sont un système de sphères concentriques. Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces des sphères en chaque point du champ. Les cercles concentriques servent de lignes équipotentielles. Pour une charge positive, la figure 1 représente les lignes équipotentielles. Pour une charge négative, la figure 2 représente les lignes équipotentielles.

Cela ressort clairement de la formule qui détermine le potentiel de champ d'une charge ponctuelle lorsque le potentiel est normalisé à l'infini ($\varphi \left(\infty \right)=0$) :

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\right).\]

Système plans parallèles, qui sont sur distances égales les unes des autres, sont des surfaces équipotentielles d’un champ électrique uniforme.

Exemple 1

Mission : Potentiel de terrain, généré par le système les frais ont la forme :

\[\varphi =a\gauche(x^2+y^2\droite)+bz^2,\]

où $a,b$ sont des constantes supérieur à zéro. Quelle forme ont les surfaces équipotentielles ?

Les surfaces équipotentielles, comme nous le savons, sont des surfaces dans lesquelles les potentiels sont égaux en tout point. Sachant ce qui précède, étudions l'équation proposée dans les conditions du problème. Divisez les côtés droit et gauche de l'équation $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ par $\varphi $, nous obtenons :

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\droite).\]

Écrivons l'équation (1.1) sous forme canonique :

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\right))^2) =1\ (1.2)\]

D'après l'équation $(1.2)\ $, il est clair que la figure donnée est un ellipsoïde de révolution. Ses arbres d'essieu

\[\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b)).\]

Réponse : Surface équipotentielle champ donné-- ellipsoïde de révolution à demi-axes ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi ) (b) )$).

Exemple 2

Affectation : Le potentiel de champ a la forme :

\[\varphi =a\gauche(x^2+y^2\droite)-bz^2,\]

où $a,b$ -- $const$ est supérieur à zéro. Que sont les surfaces équipotentielles ?

Considérons le cas de $\varphi >0$. Réduisons l'équation spécifiée dans les conditions du problème à forme canonique, pour ce faire, divisez les deux côtés de l'équation par $\varphi , $ nous obtenons :

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\ droite).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \left(2.2\right).\]

Dans (2.2) nous avons équation canonique hyperboloïde à feuille unique. Ses demi-axes sont égaux à ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semi-axis\right),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left (réel\semi-axe\droit),\\sqrt(\frac(\varphi )(b))(imaginaire\semi-axe)$).

Considérons le cas où $\varphi

Imaginons $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Mettons l'équation spécifiée dans les conditions du problème sous forme canonique ; pour ce faire, nous divisons les deux côtés de l'équation par moins le module $\varphi ,$ ; on obtient :

\[-\frac(a)(\left|\varphi \right|)x^2-(\frac(a)(\left|\varphi \right|)y)^2+\frac(b)(\ gauche|\varphi \right|)z^2=1\ \left(2.3\right).\]

Réécrivons l'équation (1.1) sous la forme :

\[-\frac(x^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(b))=1\ \left(2.4\right).\]

Nous avons obtenu l'équation canonique d'un hyperboloïde à deux feuillets, ses demi-axes :

($\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a))\left(imaginaire\semi-axis\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)( a) )\left(imaginaire\ semi-axis\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\real\ semi-axis)$).

Considérons le cas où $\varphi =0.$ Alors l'équation du champ a la forme :

Réécrivons l'équation (2.5) sous la forme :

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1 )(\sqrt(a))\right))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\right))^2)=0\ gauche (2.6\droite).\]

Nous avons obtenu l'équation canonique d'un cône circulaire droit, qui repose sur une ellipse de demi-axes $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b ))(\sqrt(a ))$).

Réponse : En tant que surfaces équipotentielles pour équation donnée potentiel que nous avons obtenu : pour $\varphi >0$ - un hyperboloïde d'une seule feuille, pour $\varphi