où est chacun
En substituant, on obtient :
Pour distribution continue similaire: 
Où V- la région de l'espace où se situent les charges (densité de charge non nulle), soit l'espace entier, - le rayon vecteur du point pour lequel on calcule, - le rayon vecteur de la source, passant par tous les points de la région ^V lors de l'intégration, dV- élément de volume.
Un champ électrique dans lequel l'intensité est la même en ampleur et en direction en tout point de l'espace est appelé champ électrique uniforme .
Le champ électrique entre deux plaques métalliques plates de charges opposées est à peu près uniforme. Les lignes de tension dans un champ électrique uniforme sont parallèles les unes aux autres
À distribution uniforme charge électrique q le long de la surface de la zone S densité superficielle la charge est constante et égale
4.Potentiel électrostat des champs. Equipotentiel surface Ur-e équiper. surface
Un champ électrostatique est le champ électrique de charges stationnaires dans le référentiel choisi. Caractéristiques principales champ électrostatique sont tension et potentiel. Potentiel en tout point de l'el.stat. il y a des champs quantité physique, déterminé par l'énergie potentielle charge positive, placé à ce point.
La différence de potentiel entre deux points est égale au travail effectué lors du déplacement d'une charge unitaire positive du point 1 au point 2.
Il est souvent pratique de prendre le potentiel d’un point infiniment éloigné de l’espace comme potentiel nul. Potentiel– caractéristique énergétique du champ électrostatique. Si le niveau zéro énergie potentielle le système de charges est choisi conditionnellement à l'infini, alors l'expression représente le travail d'une force extérieure pour déplacer une seule charge positive de l'infini jusqu'au point B considéré : 
;
Une surface en tous points dont le potentiel champ électrique Il a mêmes valeurs, est appelée surface équipotentielle.
Entre deux points quelconques de la surface équipotentielle, la différence de potentiel est nulle, donc le travail effectué par les forces du champ électrique pour tout mouvement d'une charge le long de la surface équipotentielle est nul. Cela signifie que le vecteur force Fe en tout point de la trajectoire de la charge le long de la surface équipotentielle est perpendiculaire au vecteur vitesse. Par conséquent, les lignes d’intensité du champ électrostatique sont perpendiculaires à la surface équipotentielle.
Si le potentiel est donné en fonction de coordonnées (x, y, z), alors l'équation de la surface équipotentielle a la forme :
φ(x, y, z) = const
Les surfaces équipotentielles du champ d'une charge électrique ponctuelle sont des sphères au centre desquelles se trouve la charge. Les surfaces équipotentielles d'un champ électrique uniforme sont des plans perpendiculaires aux lignes de tension.
5. Relation entre tension et potentiel. Potentiels de champ d'une charge ponctuelle et de production. charge corps. Puissant. champ uniforme.
Trouvons la relation entre l'intensité du champ électrostatique, qui est sa caractéristique de puissance, et le potentiel - caractéristiques énergétiques des champs.
Le travail de déplacement d'une charge positive ponctuelle d'un point à un autre le long de l'axe x, à condition que les points soient situés infiniment proches les uns des autres, est égal à A = Exdxq0. Le même travail est égal à A=(1-2)q0=-d En égalisant les deux expressions, on peut écrire
Ex=-d/dx. De même, Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Donc E= Exi+ Eyj+ Ezk, où i, j, k - vecteurs unitaires axes de coordonnées x, y, z. Alors 
c'est-à-dire que l'intensité du champ E est égale au gradient de potentiel avec un signe moins. Le signe moins est déterminé par le fait que le vecteur d'intensité de champ E est dirigé dans la direction d'un potentiel décroissant.
Pour représenter graphiquement la distribution du potentiel du champ électrostatique, comme dans le cas de l'apesanteur, des surfaces équipotentielles sont utilisées - des surfaces en tous points dont le potentiel a la même valeur. 
Si le champ est créé par une charge ponctuelle, alors son potentiel, selon, =(1/40)Q/r. Ainsi, les surfaces équipotentielles dans dans ce cas- des sphères concentriques.
En revanche, les lignes de tension dans le cas d'une charge ponctuelle sont des lignes droites radiales. Par conséquent, les lignes de tension dans le cas d'une charge ponctuelle sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.
^ Potentiel du champ de charge ponctuelle Q dans un milieu isotrope homogène avec constante diélectrique :
Potentiel de champ uniforme:
φ = W p / q = -E x x + C
La valeur potentielle en un point donné dépend du choix niveau zéro pour mesurer le potentiel. Ce niveau est choisi arbitrairement.
6. travail des forces électrostatiques. champs pour le transfert de frais ponctuels. Électrostat à circulation et à rotor. Des champs
Le travail élémentaire effectué par la force F lors du déplacement d'une charge électrique ponctuelle qpr d'un point du champ électrostatique à un autre sur un segment de trajet dl est, par définition, égal à 
où est l'angle entre le vecteur force F et la direction du mouvement dl. Si le travail est effectué par des forces externes, alors dA=0. En intégrant la dernière expression, nous obtenons que le travail contre les forces de champ lors du déplacement d'une charge d'essai qpr du point « a » au point « b » sera égal à... 
Où - Force coulombienne, agissant sur la charge test qpr en chaque point du champ d'intensité E. Puis le travail... 
Supposons qu'une charge se déplace dans le champ de charge q du point « a », éloigné de q à distance, jusqu'au point « b », éloigné de q à distance (Fig. 1.12).
Comme le montre la figure, on obtient alors 
Comme mentionné ci-dessus, le travail des forces du champ électrostatique exercé contre forces externes, est égal en grandeur et de signe opposé au travail des forces extérieures, donc 
Le travail des forces électrostatiques le long de tout circuit fermé est nul. ceux. la circulation du champ électrostatique le long de n’importe quel circuit est nulle. Prenons n'importe quelle surface S, basé sur le contour g.
Par le théorème de Stokes : puisque c'est pour n'importe quelle surface
Il y a une identité : . ceux. les lignes électriques les champs électrostatiques ne circulent pas dans l'espace.
7. Gauss t-ma pour le champ vectoriel E(r). Divergence Électrostat. Des champs. Ur-e Poisson pour le potentiel. Électrostat. Des champs
^ Théorème de Gauss- le théorème fondamental de l'électrodynamique, utilisé pour calculer les champs électriques. Il exprime la relation entre le flux de l'intensité du champ électrique à travers une surface fermée et la charge dans le volume limité par cette surface.
Le flux du vecteur d’intensité du champ électrique à travers toute surface fermée arbitrairement choisie est proportionnel à la charge électrique contenue dans cette surface. , où Pour le théorème de Gauss, le principe de superposition est valable, c'est-à-dire que le flux du vecteur d'intensité à travers la surface ne dépend pas de la répartition des charges à l'intérieur de la surface.
Le théorème de Gauss pour le vecteur d'intensité du champ électrostatique peut également être formulé sous forme différentielle. En effet, considérons le champ d'une charge électrique ponctuelle située à l'origine des coordonnées : 
De la relation il découle 
Il est facile de vérifier que pour , c'est-à-dire pour un point d'observation où il n'y a pas de charge électrique, la relation suivante est valable : 
(1.55)
Opération mathématique du côté gauche de la relation (1.55) a nom spécial"divergence champ de vecteur et désignation spéciale 
L'équation de Poisson- équation aux dérivées partielles elliptique, qui décrit, entre autres, le champ électrostatique. Cette équation ressemble à :
où Δ est l'opérateur de Laplace ou Laplacien, et F- valide ou fonction complexe sur une certaine variété.
En trois dimensions Système cartésien coordonnées l'équation prend la forme :
Dans le repère cartésien, l'opérateur de Laplace s'écrit sous la forme et l'équation de Poisson prend la forme : Si F tend vers zéro, alors l'équation de Poisson se transforme en équation de Laplace : 
où F - potentiel électrostatique, est la densité de charge volumétrique et est la constante diélectrique du vide.
Dans la région de l'espace où il n'y a pas de densité de charge non appariée, nous avons : =0 et l'équation du potentiel se transforme en équation de Laplace :
Un champ électrostatique est un champ créé par des charges électriques stationnaires dans l’espace et immuables dans le temps (en l’absence de courants électriques).
S'il existe un système de corps chargés dans l'espace, alors en chaque point de cet espace il existe un champ électrique de force. Elle est déterminée par la force agissant sur une charge test placée dans ce champ. La charge de test doit être faible afin de ne pas affecter les caractéristiques du champ électrostatique.
En raison du principe de superposition, le potentiel de l'ensemble des charges égal à la somme potentiels créés en un point donné du champ par chacune des charges séparément : : 
*
Cette quantité est appelée moment dipolaire électrique du système de charge.
^ Électrique moment dipolaire ou simplement moment dipolaire le système de charges q i est la somme des produits des grandeurs des charges et de leurs rayons vecteurs.
Généralement moment dipolaire désigné par Lettre latine d ou la lettre latine p.
Le moment dipolaire est d'une extrême importance en physique lors de l'étude des systèmes neutres. L'action d'un champ électrique sur un système neutre de charges et le champ électrique créé par un système neutre sont déterminés principalement par le moment dipolaire. Cela s'applique en particulier aux atomes et aux molécules.
Les systèmes neutres de charges avec un moment dipolaire non nul sont appelés dipôles.
Propriétés: Le moment dipolaire total défini ci-dessus dépend du référentiel. Cependant, pour un système neutre, la somme de toutes les charges est nulle, donc la dépendance au référentiel disparaît.
Le dipôle lui-même est constitué de deux identiques valeur absolue, mais dans la direction opposée des charges + q et -q, qui sont à une certaine distance r l'une de l'autre. Le moment dipolaire est alors égal en valeur absolue à qr et est dirigé de la charge positive vers la charge négative. Dans le cas d'une distribution de charge continue avec densité, le moment dipolaire est déterminé en intégrant 
9. Dipôle dans l'électrostat externe. Champ. Le moment de force agissant sur le dipôle, potentiel. Énergie dipolaire dans un champ uniforme.
Un dipôle électrique est un système de deux charges ponctuelles opposées de taille égale et , dont la distance est nettement inférieure à la distance jusqu'aux points auxquels le champ du système est déterminé. La droite passant par les deux charges est appelée axe dipolaire. Conformément au principe de superposition, le potentiel de champ en un point A est égal à : .
| Soit le point A choisi de telle sorte que la longueur soit bien inférieure aux distances et . Dans ce cas, nous pouvons supposer que ; et la formule du potentiel dipolaire peut être réécrite :
| où est l'angle entre l'axe du dipôle et la direction vers le point A tiré du dipôle. L'ouvrage s'appelle moment dipolaire électrique ou moment dipolaire. Le vecteur est dirigé le long de l’axe dipolaire de la charge négative à la charge positive. Ainsi, le produit dans la formule pour est le moment dipolaire et, par conséquent : |
Moment de force agissant sur un dipôle dans un champ électrique externe.
Plaçons un dipôle dans un champ électrique. Laissez la direction du dipôle former un certain angle avec la direction du vecteur d'intensité. Une charge négative est soumise à l'action d'une force dirigée contre le champ, et une charge positive est soumise à l'action d'une force dirigée le long du champ. Ces forces forment quelques forces avec couple : V forme vectorielle:
^ Un dipôle dans un champ externe uniforme tourne sous l'influence d'un couple de telle sorte que la force agissant sur la charge positive du dipôle coïncide en direction avec le vecteur et l'axe du dipôle. Cette disposition correspond à
10. Diélectriques dans l'électrostat. Champ. Vecteurs de polarisation et e. Compensations. Diel. Réceptif Et perspicace. Les mercredis. Le lien entre eux.
Les diélectriques sont des substances qui ne possèdent pratiquement aucun porteur de charge libre. Par conséquent, ils ne conduisent pas le courant, les charges ne sont pas transférées mais sont polarisées. les diélectriques sont des substances structure moleculaire, les forces de liaison de leurs charges à l'intérieur plus de force champ externe et ils sont connectés, fermés à l'intérieur des molécules et ne sont que partiellement décalés par le champ externe, provoquant une polarisation.
En présence d'un champ électrostatique externe, les molécules diélectriques se déforment. Une charge positive est déplacée dans la direction du champ externe et une charge négative est déplacée dans la direction du champ externe. direction opposée, formant un dipôle - une charge liée. Dans les diélectriques ayant molécules dipolaires, leurs moments électriques sous l'influence d'un champ extérieur sont partiellement orientés dans la direction du champ. Pour la plupart des diélectriques, la direction du vecteur de polarisation coïncide avec la direction du vecteur d'intensité de champ externe, et la direction du vecteur d'intensité de charge polarisée est opposée à la direction du vecteur d'intensité de champ externe (de + QÀ - Q). 
Vecteur de polarisation déterminé par somme géométrique moments électriques des dipôles par unité de volume. Pour la plupart des diélectriques, où k est la susceptibilité diélectrique relative.
Également utilisé dans les calculs électriques vecteur déplacement électrique(induction):,où .Le vecteur dépend à la fois des charges libres et liées.
La constante diélectrique le milieu ε montre combien de fois la force d'interaction entre deux charges électriques dans un milieu est inférieure à celle dans le vide. Susceptibilité diélectrique (polarisabilité) substance - une grandeur physique, une mesure de la capacité d'une substance à se polariser sous l'influence d'un champ électrique. La polarisabilité est liée au rapport ε de la constante diélectrique : 
, ou.
11. Méthodes gaussiennes pour les champs vectoriels P(r) et D(r) en intégrale. Et définitivement. Formes 
Théorème de Gauss pour le vecteur : le flux du vecteur polarisation à travers une surface fermée est égal à celui tiré de signe opposé charge liée en excès du diélectrique dans le volume recouvert par la surface. 
Forme différentielle: la divergence du vecteur polarisation est égale à la densité volumique de la charge liée en excès prise de signe opposé en un même point.
Points où se trouvent les sources du champ (à partir desquels les lignes de champ divergent), et vice versa, points où se trouvent les puits du champ.
Densité; , Quand:
1) - le diélectrique est inhomogène ; 2) - le champ n'est pas uniforme.
Lorsqu’un diélectrique isotrope homogène est polarisé, seules des charges liées à la surface apparaissent, mais aucune charge volumique.
^ Théorème de Gauss pour le vecteur D
Le flux du vecteur déplacement électrique D à travers une surface fermée S est égal à somme algébrique charges gratuites situées dans le volume limité par cette surface, soit (1)
Si ne dépend pas des coordonnées ( milieu isotrope), Que
De l'équation (1) il résulte que lorsque la charge est située en dehors du volume limité par une surface fermée S, flux du vecteur D à travers la surface S égal à zéro.
En appliquant le théorème de Gauss-Ostrogradsky au membre gauche de (1) et en exprimant q grâce à la densité de charge volumétrique p, on obtient :
Le volume étant choisi arbitrairement, les intégrandes sont égaux :
Forme différentielle Le théorème de Gauss-Ostrogradsky (2-78) stipule que les sources du vecteur déplacement électrique sont des charges électriques. Dans les zones de l'espace où p=0, il n'y a pas de sources du vecteur de déplacement électrique et, par conséquent, les lignes de champ n'ont pas de rupture, puisque div D=0. Pour les milieux ayant une constante diélectrique absolue qui ne dépend pas des coordonnées, on peut écrire :
Les conducteurs métalliques contiennent des porteurs de charge libres - des électrons de conduction ( électrons libres), qui peut se déplacer sur tout le conducteur sous l'influence d'un champ électrique externe. En l'absence de champ externe, les champs électriques des électrons de conduction et ions positifs les métaux se compensent mutuellement. Si un conducteur métallique est introduit dans un champ électrostatique externe, alors sous l'influence de ce champ, les électrons de conduction sont redistribués dans le conducteur de telle sorte qu'en tout point à l'intérieur du conducteur, le champ électrique des électrons de conduction et des ions positifs compense le champ externe.
^ Le phénomène d'induction électrostatique s'appelle la redistribution des charges dans un conducteur sous l'influence d'un champ électrostatique externe. Dans ce cas, des charges apparaissent sur le conducteur qui sont numériquement égales les unes aux autres, mais de signe opposé - des charges induites (induites), qui disparaissent dès que le conducteur est retiré du champ électrique.
Puisque à l'intérieur du conducteur E=-grad phi=0 le potentiel sera valeur constante. Les charges non compensées sont localisées dans un conducteur uniquement à sa surface.
lors du placement d'un conducteur neutre dans un champ extérieur frais gratuits commenceront à se déplacer : les positifs - le long du terrain, et les négatifs - contre le terrain. Il y aura un excès de charges positives à une extrémité du conducteur et des charges négatives à l’autre. Enfin, l'intensité du champ à l'intérieur du conducteur deviendra nulle et les lignes d'intensité du champ à l'extérieur du conducteur seront perpendiculaires à sa surface.
^ Capacité électrique d'un conducteur solitaire.
pour le bal rayon R 
Condensateurs.
Pour les circuits connectés en parallèle, la différence de potentiel est la même ; pour les circuits connectés en série, les charges de toutes les plaques sont de même ampleur.
14.Énergie d'un condensateur chargé. Énergie et densité énergétique du champ électrostatique.
Comme tout conducteur chargé, un condensateur a une énergie égale à
W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) où Q est la charge du condensateur, C est sa capacité, est la différence de potentiel entre les plaques.
En utilisant l’expression (1), on peut trouver force mécanique, à partir duquel les plaques du condensateur s'attirent. Pour ce faire, supposons que la distance x entre les plaques change, par exemple, de la valeur Ax. Alors force efficace fonctionne-t-il dA=Fdx, en raison d'une diminution de l'énergie potentielle du système
Fdx=-dW, d'où F=dW/dx. (2) 
En différenciant à signification spécifiqueénergie nous trouverons la force requise : 
où le signe moins indique que la force F est une force attractive.
^ Énergie du champ électrostatique.
Transformons la formule (1), exprimant l'énergie condensateur platà travers des charges et des potentiels, en utilisant l'expression de la capacité d'un condensateur plat (C = 0/d) et de la différence de potentiel entre ses plaques ( =Ed). Ensuite, nous obtenons 
où V=Sd est le volume du condensateur. Ce f-la montre que l'énergie du condensateur s'exprime à travers une grandeur caractérisant le champ électrostatique - l'intensité E.
Densité d'énergie volumétrique du champ électrostatique(énergie par unité de volume)
w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95,8)
L'expression (95.8) n'est valable que pour un diélectrique isotrope, pour lequel
la relation P=0E est satisfaite.
Les formules (1) et (95.7) relient respectivement l'énergie du condensateur à la charge sur ses plaques et à l'intensité du champ.
Champ électromagnétique - tenseur Champ électromagnétique.
^ Vecteur d'induction magnétique.
L'induction magnétique d'un champ magnétique uniforme est déterminée par le couple maximum agissant sur le cadre avec l'aimant. moment égal à un, lorsque la normale est perpendiculaire à la direction du champ.
^ Le principe de superposition des champs magnétiques : si un champ magnétique est créé par plusieurs conducteurs avec des courants, alors le vecteur induction magnétique en tout point de ce champ est égal à la somme vectorielle induction magnétique créé à ce stade par chaque courant séparément :
Force de Lorentz.
Module de force de Lorentz égal au produit le module d'induction du champ magnétique B(vecteur) dans lequel se trouve la particule chargée, le module de charge q de cette particule, sa vitesse υ et le sinus de l'angle entre les directions de vitesse et le vecteur d'induction du champ magnétique Puisque la force de Lorentz est. perpendiculaire au vecteur vitesse des particules, il ne peut pas changer la valeur vitesse, mais change seulement sa direction et, par conséquent, ne fonctionne pas.
^ Mouvement de particules chargées dans un champ magnétique.
Si une particule chargée se déplace dans un champ magnétique. le champ est perpendiculaire au vecteur B, alors la force de Lorentz est constante en amplitude et normale à la trajectoire de la particule.
^ Électricité est le mouvement ordonné des particules chargées dans un conducteur. Pour que cela se produise, il faut d'abord créer un champ électrique, sous l'influence duquel les particules chargées mentionnées ci-dessus commenceront à se déplacer.
^ Loi d'Ohm-L'intensité du courant dans une section homogène du circuit est directement proportionnelle à la tension appliquée à la section et inversement proportionnelle résistance électrique cette zone.
L'intensité du courant est une quantité physique scalaire déterminée par le rapport de la charge Δq traversant coupe transversale conducteur pendant une certaine période de temps Δt, à cette période de temps. 
Le champ dipolaire qui apparaît dans d’autres circonstances est tout aussi intéressant et non moins important. Ayons un corps avec distribution complexe charge, disons, comme celle d'une molécule d'eau (voir Fig. 6.2), et nous ne nous intéressons qu'au champ qui s'en éloigne. Nous montrerons qu'il est possible d'obtenir une expression des champs relativement simple, adaptée à des distances bien supérieures aux dimensions du corps.
Nous pouvons considérer ce corps comme une accumulation de charges ponctuelles dans une certaine zone limitée (Fig. 6.7). (Plus tard, si nécessaire, nous le remplacerons par .) Supposons que la charge soit éloignée de l'origine des coordonnées, choisie quelque part à l'intérieur du groupe de charges, d'une distance . Quel est le potentiel en un point situé quelque part au loin, à une distance bien supérieure au plus grand des ? Le potentiel de l’ensemble de notre cluster s’exprime par la formule
, (6.21)
où est la distance de à la charge (longueur du vecteur). Si la distance entre les charges et (jusqu'au point d'observation) est extrêmement grande, alors chacune d'elles peut être considérée comme . Chaque terme de la somme deviendra égal à et pourra être retiré sous le signe somme. Le résultat est simple
, (6.22)
où est la charge totale du corps. Ainsi, nous sommes convaincus que depuis des points suffisamment éloignés de l'accumulation de charges, il apparaît qu'il ne s'agit que d'une charge ponctuelle. Ce résultat n’est généralement pas très surprenant.
Graphique 6.7. Calcul du potentiel en un point très éloigné d'un groupe de charges.
Mais que se passe-t-il s’il y a un nombre égal de charges positives et négatives dans le groupe ? La charge totale sera alors nulle. Ce n’est pas un cas si rare ; nous savons que la plupart des corps sont neutres. La molécule d'eau est neutre, mais les charges qu'elle contient ne sont pas localisées en un point, de sorte que lorsque nous nous en rapprochons, nous devrions remarquer certains signes indiquant que les charges sont séparées. Pour le potentiel d’une distribution de charge arbitraire dans un corps neutre, nous avons besoin d’une approximation meilleure que celle donnée par la formule (6.22). L'équation (6.21) est toujours valable, mais elle ne peut plus être supposée. Une expression plus précise est nécessaire. En bonne approximation, elle peut être considérée comme différente (si le point est très éloigné) de la projection d'un vecteur sur un vecteur (voir Fig. 6.7, mais il faut seulement imaginer qu'elle est beaucoup plus éloignée que ce qui est montré). En d’autres termes, si est un vecteur unitaire dans la direction, alors l’approximation suivante doit être prise
Mais ce dont nous avons besoin n'est pas, mais ; dans notre approximation (en tenant compte de ) il est égal à
(6.24)
En substituant cela dans (6.21), nous voyons que le potentiel est égal à
(6.25)
Les points de suspension indiquent les membres ordre supérieur par lequel nous avons négligé. Comme les termes que nous avons écrits, ce sont des termes ultérieurs du développement de la série de Taylor au voisinage des puissances de .
Nous avons déjà obtenu le premier terme dans (6.25) ; dans les corps neutres, il disparaît. Le deuxième terme, comme celui d'un dipôle, dépend de . En effet, si l'on définit
en tant que quantité décrivant les distributions de charges, alors le deuxième terme du potentiel (6.25) se transforme en
c'est-à-dire juste à potentiel dipolaire. La quantité est appelée le moment dipolaire de la distribution. Il s’agit d’une généralisation de notre définition précédente ; elle s'y réduit dans le cas particulier des redevances ponctuelles.
En conséquence, nous avons découvert qu'assez loin de tout ensemble de charges, le potentiel s'avère être dipolaire, tant que cet ensemble est généralement neutre. Il diminue à mesure que , et change à mesure que , et sa valeur dépend du moment dipolaire de la distribution de charge. C'est pour cette raison que les champs dipolaires sont importants ; les paires de charges ponctuelles elles-mêmes sont extrêmement rares.
Une molécule d’eau, par exemple, possède un moment dipolaire assez important. Le champ électrique créé à ce moment est responsable de certains propriétés importantes eau. Et pour de nombreuses molécules, disons, le moment dipolaire disparaît en raison de leur symétrie. Pour de telles molécules, la décomposition doit être effectuée encore plus précisément, jusqu'aux termes suivants du potentiel, qui décroissent comme on l'appelle le potentiel quadripolaire. Nous examinerons ces cas plus tard.
DANS de vrais problèmes, que l'on peut rencontrer dans le processus d'étude de la physique ou dans la pratique technique et technologique, une image simplifiée avec un ensemble discret de charges ponctuelles n'est généralement pas réalisée. Chaque molécule est constituée d’atomes dotés de noyaux chargés positivement entourés de charges négatives : les électrons. En conséquence, la charge totale du système n'est pas décrite par un ensemble de charges ponctuelles, mais par fonction p(t) (la dépendance au temps n'est pas prise en compte en électrostatique) distributions de densité de charge. Cette fonction détermine la charge dans le volume infinitésimal entourant le point en question
En utilisant p(r), la charge totale du système est déterminée comme
Riz. 5.20.
La fonction de distribution de densité de charge est très caractéristique importante systèmes de charge, car, connaissant cette fonction, vous pouvez calculer les propriétés des systèmes de charge.
Considérez le champ créé système arbitraire charges électriques réparties en continu sur un corps chargé, décrites par la fonction p(r) (Fig. 5.20).
Fixons-nous pour tâche de calculer le champ de ce système à un moment donné UN, assez longue distance (g >> g") du système de facturation sélectionné. Dirigons l'axe du système de coordonnées Oz avec le point de départ au point À PROPOS de sorte que le point UN s'est avéré se trouver sur cet axe. Potentiel électrique en un point UN selon le principe de superposition de champs, la sommation
réduction des cotisations de toutes charges d q = p(r)dF" = = p(x", y", z") dV, créer un champ, c'est-à-dire (en SI)
Où G - module vectoriel du rayon g points UN B dont le potentiel est calculé ; G"- argument de fonction
répartition des charges ; R=|l| = g-g", ceux. distance de l'élément de volume d V, dans lequel la charge d est concentrée q jusqu'au point UN. L'intégration s'effectue sur le volume (ou les coordonnées g") dans toute la région V, contenant des charges d q. Notons 0 l'angle entre les vecteurs
r et r" et prendre en compte cela par le théorème du cosinus R=(r 2 + + r" 2 - 2/r"cos 0) 1/2. Alors l’intégrale (5.54) sera réécrite sous la forme
5.1. Champ électrostatique 369
La valeur de chacun des termes intégraux dans (5.56) dépend des caractéristiques de la distribution des charges dans le système (c'est-à-dire sur p (r")). Une fois calculés, ils sont représentés par des nombres ok, ok Et à 2, respectivement, et la dépendance de fl sur g peut être représenté par la somme
Quantités À" appelé moments électriques du système(première, deuxième, troisième et ainsi de suite, si l'expansion se poursuit). Analysons les termes entre parenthèses (5.57).
Ordre de grandeur à 0 est déterminé par l'intégrale
et représente la charge totale du système concentrée à l'origine des coordonnées (point À PROPOS En figue. 5.20). Il est appelé moment de monopole(ou simplement monopole). Naturellement, pour un système électriquement neutre à 0 = 0.
Quantités À Et à 2, Contrairement à à 0, dépendent de la forme de la répartition des charges. Coefficient À représente la moyenne moment dipolaire électrique d'un système de charges
Puisque la valeur r"cos 0 est la coordonnée de l'élément d V sur l'axe Oz, il se trouve que k x caractérise le déplacement relatif du positif et charges négatives p(r")dV" le long de cet axe. En effet, si l'on imagine un système composé de deux charges différentes ±q aux points (0, 0, z) et (0, 0, - z) Avec z= -/, où / est la distance
entre les charges, alors la valeur r "cosQ = ±-/ peut être retirée
pour le signe de l’intégrale (5.59). Alors l’expression restante Jp(r")dF" devient égal à la charge q, et tout le coefficient kbégal lq=p, constituera un moment dipolaire électrique orienté dans la direction g(introduit dans la sous-section 5.1.5).
Coefficient à 2 est une expression
et s'appelle moment quadripolaire. En SI, le moment quadripolaire est mesuré en unités de C m. Pour une distribution de charge à symétrie sphérique à 2= 0. Pour « aplati » le long de l’axe Oz répartition des charges positives à 2 0, et pour négatif à 2> 0. Si la répartition des charges est allongée le long de l'axe Oz, puis la relation entre les signes des charges pour à 2 ce sera le contraire.
Un fait important est que, d’après l’expression (5.57), le potentiel du champ électrostatique du système charges réparties diminue différemment avec l'augmentation de la distance r au point d'observation : plus l'ordre du moment électrique est élevé, plus le potentiel du champ créé par celui-ci diminue rapidement avec la distance. Même les systèmes neutres (atomes, molécules) créent autour d'eux un champ électrique à travers lequel ces systèmes interagissent les uns avec les autres. En conséquence, plus l'ordre du moment électrique est élevé, plus l'énergie d'interaction de la charge avec le champ est faible ; par exemple, l'interaction des dipôles entre eux (interaction dipôle-dipôle) est perceptible interaction plus faible charges ponctuelles (monopoles) à potentiel coulombien, etc.
- Le moment quadripolaire est discuté plus en détail dans la sous-section 9.2.3 de l'analyse
- propriétés du noyau atomique.
Potentiel de champ d'un système de redevances
Supposons que le système soit constitué de charges ponctuelles stationnaires q 1, q 2, ... Selon le principe de superposition en tout point du champ, l'intensité est E = E 1 + E 2 +., où E 1 est l'intensité du champ de la charge q 1, etc. On peut alors écrire en utilisant la formule (1.8) :
où c'est-à-dire Le principe de superposition s’avère également valable pour le potentiel. Ainsi, le potentiel d'un système de redevances ponctuelles fixes
où r i est la distance à partir de la charge ponctuelle q, au point de terrain qui nous intéresse. Ici aussi, la constante arbitraire est omise. Cela est tout à fait cohérent avec le fait que chaque système réel les charges sont limitées dans l'espace, donc son potentiel à l'infini peut être pris égal à zéro.
Si les charges formant le système sont distribuées de manière continue, alors, comme d'habitude, on considère que chaque volume élémentaire dV contient une charge « ponctuelle » cdV, où c - densité apparente charger à l'emplacement du volume dV. Compte tenu de cela, la formule (1.10) peut prendre une forme différente
où l'intégration s'effectue soit sur tout l'espace, soit sur la partie de celui-ci qui contient des charges. Si les charges sont localisées uniquement sur la surface S , Que
où y - densité de charge superficielle ; DS - élément de surface S. Une expression similaire sera dans le cas où les charges sont distribuées linéairement.
Ainsi, connaissant la répartition des charges (discrètes, continues), on peut, en principe, trouver le potentiel de champ de n'importe quel système.
Relation entre potentiel et intensité de champ
Le champ électrique, comme on le sait, est entièrement décrit par la fonction vectorielle E (r). Le sachant, nous pouvons trouver la force agissant sur la charge qui nous intéresse en tout point du champ, calculer le travail des forces de champ pour tout mouvement de la charge, et bien plus encore. À quoi sert l’introduction du potentiel ? Tout d’abord, il s’avère que connaissant le potentiel µ(r) d’un champ électrique donné, on peut tout simplement restituer le champ E(r) lui-même. Examinons cette question plus en détail.
La connexion entre q et E peut être établie à l’aide de l’équation (1.8). Soit le déplacement dl parallèle à l'axe X , alors dl = Ei dx, où i est le vecteur unitaire de l'axe X ; dx - incrément de coordonnée x . Dans ce cas
où est la projection du vecteur E sur le vecteur unitaire i (et non sur le déplacement dl). En comparant la dernière expression avec la formule (1.8), on obtient
où le symbole de dérivée partielle souligne que la fonction μ (x, y, z) doit être différenciée uniquement par rapport à x , compter y et z tout en étant constant.
En utilisant un raisonnement similaire, nous pouvons obtenir les expressions correspondantes pour les projections E y et E z. Et après avoir déterminé E x , E y , E z il est facile de trouver le vecteur E lui-même
La quantité entre parenthèses n’est rien de plus que le gradient potentiel c (grad c). Ceux. l'intensité de champ E est égale avec un signe moins au gradient de potentiel. C'est la formule avec laquelle on peut restituer le champ E, connaissant la fonction μ(r).
Surfaces équipotentielles
Introduisons le concept de surface équipotentielle - une surface en tous points dont le potentiel μ a la même valeur. Assurons-nous que le vecteur E est dirigé en chaque point le long de la normale à la surface équipotentielle dans la direction du potentiel décroissant. En fait, de la formule (1.13), il résulte que la projection du vecteur E sur toute direction tangente à la surface équipotentielle en un point donné est égale à zéro. Cela signifie que le vecteur E est normal à cette surface. Prenons ensuite le déplacement dx le long de la normale à la surface dans le sens décroissant c, puis 5c<0 и согласно (1.13) E x >0, c'est-à-dire le vecteur E est dirigé dans le sens décroissant de q, ou dans le sens opposé au vecteur grad q.
Il est préférable de réaliser des surfaces équipotentielles de manière à ce que la différence de potentiel entre deux surfaces adjacentes soit la même. Puis selon la densité surfaces équipotentielles vous pouvez clairement juger de la valeur de l'intensité du champ dans différents points. Lorsque ces surfaces sont plus denses (« relief potentiel plus raide »), l’intensité du champ est plus grande.
