Très souvent, il est possible d'identifier des caractéristiques importantes du mouvement d'un système mécanique sans recourir à l'intégration d'un système d'équations différentielles du mouvement. Ceci est réalisé en appliquant des théorèmes généraux de la dynamique.

5.1. Concepts et définitions de base

Forces externes et internes. Toute force agissant sur un point d’un système mécanique est nécessairement soit une force active, soit une réaction de couplage. L'ensemble des forces agissant sur les points du système peut être divisé différemment en deux classes : les forces externes et les forces internes (indices e et i - des mots latins externus - externe et internus - interne). Les forces externes sont celles qui agissent sur les points d'un système à partir de points et de corps qui ne font pas partie du système considéré. Les forces d'interaction entre les points et les corps du système considéré sont dites internes.

Cette division dépend des points et corps matériels inclus par le chercheur dans le système mécanique considéré. Si nous élargissons la composition du système en incluant des points et des corps supplémentaires, alors certaines forces qui étaient externes pour le système précédent peuvent devenir internes pour le système étendu.

Propriétés des forces internes. Puisque ces forces sont des forces d’interaction entre des parties du système, elles entrent dans le système complet de forces internes par « deux », organisées selon l’axiome action-réaction. Chacun de ces « deux » a des atouts

le vecteur principal et le moment principal autour d'un centre arbitraire sont égaux à zéro. Puisque le système complet de forces internes se compose uniquement de « deux », alors

1) le vecteur principal du système de forces internes est nul,

2) le moment principal du système de forces internes par rapport à un point arbitraire est égal à zéro.

La masse du système est la somme arithmétique des masses mk de tous les points et corps formant le système :

Centre de masse(centre d'inertie) d'un système mécanique est le point géométrique C dont le rayon vecteur et les coordonnées sont déterminés par les formules

où sont les rayons vecteurs et les coordonnées des points formant le système.

Pour un corps rigide situé dans un champ gravitationnel uniforme, les positions du centre de masse et du centre de gravité coïncident dans d'autres cas, ce sont des points géométriques différents ;

Avec le système de référence inertiel, un système de référence non inertiel se déplaçant en translation est souvent considéré simultanément. Ses axes de coordonnées (axes de König) sont choisis pour que l'origine C coïncide constamment avec le centre de masse du système mécanique. Conformément à la définition, le centre de masse est stationnaire dans les axes de Koenig et se situe à l'origine des coordonnées.

Moment d'inertie du système par rapport à un axe est une quantité scalaire égale à la somme des produits des masses mk de tous les points du système par les carrés de leurs distances à l'axe :

Si le système mécanique est un corps rigide, pour trouver 12 vous pouvez utiliser la formule

où est la densité, le volume occupé par le corps.

Théorèmes généraux sur la dynamique d'un système de corps. Théorèmes sur le mouvement du centre de masse, sur le changement de moment, sur le changement du moment cinétique principal, sur le changement d'énergie cinétique. Principes de D'Alembert et mouvements possibles. Équation générale de la dynamique. Équations de Lagrange.

Théorèmes généraux sur la dynamique d'un corps rigide et d'un système de corps

Théorèmes généraux de la dynamique- il s'agit d'un théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système mécanique, d'un théorème sur le changement de moment, d'un théorème sur le changement du moment cinétique principal (moment cinétique) et d'un théorème sur le changement de l'énergie cinétique d'un système mécanique.

Théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système mécanique

Théorème sur le mouvement du centre de masse.
Le produit de la masse d'un système et de l'accélération de son centre de masse est égal à la somme vectorielle de toutes les forces externes agissant sur le système :
.

Ici M est la masse du système :
;
a C est l'accélération du centre de masse du système :
;
v C - vitesse du centre de masse du système :
;
r C - rayon vecteur (coordonnées) du centre de masse du système :
;
- les coordonnées (par rapport au centre fixe) et les masses des points qui composent le système.

Théorème sur le changement de quantité de mouvement (impulsion)

Quantité de mouvement (impulsion) du système est égal au produit de la masse de l'ensemble du système par la vitesse de son centre de masse ou la somme de l'impulsion (somme des impulsions) des points ou parties individuels qui composent le système :
.

Théorème sur le changement de quantité de mouvement sous forme différentielle.
La dérivée temporelle de la quantité de mouvement (impulsion) du système est égale à la somme vectorielle de toutes les forces externes agissant sur le système :
.

Théorème sur le changement de quantité de mouvement sous forme intégrale.
La variation de l'impulsion (impulsion) du système sur une certaine période de temps est égale à la somme des impulsions des forces externes sur la même période de temps :
.

Loi de conservation de la quantité de mouvement (impulsion).
Si la somme de toutes les forces externes agissant sur le système est nulle, alors le vecteur impulsion du système sera constant. Autrement dit, toutes ses projections sur les axes de coordonnées conserveront des valeurs constantes.

Si la somme des projections des forces externes sur n’importe quel axe est nulle, alors la projection de la quantité de mouvement du système sur cet axe sera constante.

Théorème sur la variation du moment cinétique principal (théorème des moments)

Le moment cinétique principal d'un système par rapport à un centre O donné est la quantité égale à la somme vectorielle des moments cinétiques de tous les points du système par rapport à ce centre :
.
Ici, les crochets désignent le produit vectoriel.

Systèmes connectés

Le théorème suivant s'applique au cas où un système mécanique a un point ou un axe fixe qui est fixe par rapport à un référentiel inertiel. Par exemple, un corps fixé par une rotule. Ou un système de corps se déplaçant autour d’un centre fixe. Il peut également s'agir d'un axe fixe autour duquel tourne un corps ou un système de corps. Dans ce cas, les moments doivent être compris comme des moments d'impulsion et des forces par rapport à l'axe fixe.

Théorème sur la variation du moment cinétique principal (théorème des moments)
La dérivée temporelle du moment cinétique principal du système par rapport à un centre fixe O est égale à la somme des moments de toutes les forces externes du système par rapport au même centre.

Loi de conservation du moment cinétique principal (moment cinétique).
Si la somme des moments de toutes les forces externes appliquées au système par rapport à un centre fixe O donné est égale à zéro, alors le moment cinétique principal du système par rapport à ce centre sera constant. Autrement dit, toutes ses projections sur les axes de coordonnées conserveront des valeurs constantes.

Si la somme des moments des forces externes par rapport à un axe fixe est nulle, alors le moment cinétique du système par rapport à cet axe sera constant.

Systèmes arbitraires

Le théorème suivant a un caractère universel. Elle s'applique aussi bien aux systèmes fixes que mobiles. Dans le cas de systèmes fixes, il faut tenir compte des réactions des connexions en points fixes. Il diffère du théorème précédent en ce qu’au lieu d’un point fixe O, il faut prendre le centre de masse C du système.

Théorème des moments sur le centre de masse
La dérivée temporelle du moment cinétique principal du système par rapport au centre de masse C est égale à la somme des moments de toutes les forces externes du système par rapport au même centre.

Loi de conservation du moment cinétique.
Si la somme des moments de toutes les forces externes appliquées au système par rapport au centre de masse C est égale à zéro, alors le moment d'impulsion principal du système par rapport à ce centre sera constant. Autrement dit, toutes ses projections sur les axes de coordonnées conserveront des valeurs constantes.

Moment d'inertie du corps

Si le corps tourne autour de l'axe z avec une vitesse angulaire ω z, alors son moment cinétique (moment cinétique) par rapport à l'axe z est déterminé par la formule :
L z = J z ω z ,
où J z est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe z.

Moment d'inertie du corps par rapport à l'axe z déterminé par la formule :
,
où h k est la distance d'un point de masse m k à l'axe z.
Pour un anneau mince de masse M et de rayon R, ou un cylindre dont la masse est répartie le long de son bord,
Jz = MR 2 .
Pour un anneau ou un cylindre solide et homogène,
.

Théorème de Steiner-Huygens.
Soit Cz l'axe passant par le centre de masse du corps, Oz l'axe qui lui est parallèle. Alors les moments d'inertie du corps par rapport à ces axes sont liés par la relation :
J Oz = J Cz + M a 2 ,
où M est le poids corporel ; a est la distance entre les axes.

Dans un cas plus général:
,
où est le tenseur d'inertie du corps.
Voici un vecteur tracé du centre de masse du corps jusqu'à un point de masse m k.

Théorème sur le changement d'énergie cinétique

Supposons qu'un corps de masse M effectue un mouvement de translation et de rotation avec une vitesse angulaire ω autour d'un certain axe z.
,
Ensuite, l'énergie cinétique du corps est déterminée par la formule :
où v C est la vitesse de déplacement du centre de masse du corps ;

J Cz est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe passant par le centre de masse du corps parallèle à l'axe de rotation. La direction de l'axe de rotation peut changer avec le temps. Cette formule donne la valeur instantanée de l'énergie cinétique.
Théorème sur la variation de l'énergie cinétique d'un système sous forme différentielle.
.

Le différentiel (incrément) de l'énergie cinétique d'un système lors d'un certain mouvement est égal à la somme des différentiels de travail sur ce mouvement de toutes les forces externes et internes appliquées au système :
Théorème sur la variation de l'énergie cinétique d'un système sous forme intégrale.
.

La variation de l'énergie cinétique du système lors d'un certain mouvement est égale à la somme du travail effectué sur ce mouvement de toutes les forces externes et internes appliquées au système : Le travail effectué par la force
,
, est égal au produit scalaire des vecteurs force et du déplacement infinitésimal du point de son application :

c'est-à-dire le produit des modules des vecteurs F et ds par le cosinus de l'angle qui les sépare. Le travail effectué par le moment de force
.

principe de d'Alembert

L'essence du principe de d'Alembert est de réduire les problèmes de dynamique à des problèmes de statique. Pour ce faire, on suppose (ou on le sait à l'avance) que les corps du système présentent certaines accélérations (angulaires). Ensuite, des forces d'inertie et (ou) des moments de forces d'inertie sont introduits, qui sont égaux en ampleur et de direction opposée aux forces et moments de forces qui, selon les lois de la mécanique, créeraient des accélérations ou des accélérations angulaires données.

Regardons un exemple. Le corps subit un mouvement de translation et est soumis à des forces extérieures. Nous supposons en outre que ces forces créent une accélération du centre de masse du système. Selon le théorème sur le mouvement du centre de masse, le centre de masse d’un corps aurait la même accélération si une force agissait sur le corps. Nous introduisons ensuite la force d'inertie :
.
Après cela, le problème de dynamique :
.
;
.

Pour le mouvement de rotation, procédez de la même manière. Laissez le corps tourner autour de l'axe z et être soumis à des moments de force externes M e zk .
.
Nous supposons que ces moments créent une accélération angulaire ε z.
;
.

Ensuite, nous introduisons le moment des forces d'inertie M И = - J z ε z.

Après cela, le problème de dynamique :

Se transforme en problème de statique :.
Le principe des mouvements possibles

Le principe des déplacements possibles est utilisé pour résoudre des problèmes de statique. Dans certains problèmes, cela donne une solution plus courte que la composition d’équations d’équilibre. Cela est particulièrement vrai pour les systèmes comportant des connexions (par exemple, des systèmes de corps reliés par des fils et des blocs) constitués de plusieurs corps. Le principe des mouvements possibles

Pour l'équilibre d'un système mécanique avec des liaisons idéales, il est nécessaire et suffisant que la somme des travaux élémentaires de toutes les forces actives agissant sur lui pour tout mouvement possible du système soit égale à zéro. Déplacement possible du système

- il s'agit d'un petit mouvement dans lequel les connexions imposées au système ne sont pas rompues.

Connexions idéales

- ce sont des connexions qui n'effectuent pas de travail lorsque le système bouge. Plus précisément, la quantité de travail effectuée par les connexions elles-mêmes lors du déplacement du système est nulle..
Équation générale de la dynamique (principe de D'Alembert - Lagrange)
.
Le principe de D'Alembert-Lagrange est une combinaison du principe de D'Alembert avec le principe des mouvements possibles. Autrement dit, lors de la résolution d'un problème dynamique, nous introduisons des forces d'inertie et réduisons le problème à un problème statique, que nous résolvons en utilisant le principe des déplacements possibles. équation générale de la dynamique.

équations de Lagrange

Coordonnées q généralisées 1 , q 2 , ..., qn est un ensemble de n quantités qui déterminent de manière unique la position du système.

Le nombre de coordonnées généralisées n coïncide avec le nombre de degrés de liberté du système.

Vitesses généralisées sont des dérivées de coordonnées généralisées par rapport au temps t.

Forces généralisées Q 1 , Q 2 , ..., Qn .
Considérons un mouvement possible du système, auquel la coordonnée q k recevra un mouvement δq k.
Les coordonnées restantes restent inchangées. Soit δA k le travail effectué par les forces extérieures lors d'un tel mouvement. Alors
.

δA k = Q k δq k , ou
Si, avec un éventuel mouvement du système, toutes les coordonnées changent, alors le travail effectué par des forces extérieures lors d'un tel mouvement a la forme : δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Alors les forces généralisées sont des dérivées partielles du travail sur les déplacements : Pour les forces potentielles
.

avec un potentiel Π,équations de Lagrange

- ce sont les équations du mouvement d'un système mécanique en coordonnées généralisées :
.

Ici T est l'énergie cinétique. C'est une fonction de coordonnées généralisées, de vitesses et, éventuellement, de temps. Par conséquent, sa dérivée partielle est également fonction des coordonnées généralisées, des vitesses et du temps. Ensuite, vous devez tenir compte du fait que les coordonnées et les vitesses sont fonction du temps. Par conséquent, pour trouver la dérivée totale par rapport au temps, vous devez appliquer la règle de différenciation d'une fonction complexe :
Littérature utilisée :

S. M. Targ, Cours abrégé de mécanique théorique, « Lycée », 2010.

MINISTÈRE DE L'AGRICULTURE ET DE L'ALIMENTATION DE LA RÉPUBLIQUE DE BÉLARUS

Établissement d'enseignement "ÉTAT AGRICOLE BÉLARUSIEN

UNIVERSITÉ TECHNIQUE"

Département de mécanique théorique et théorie des mécanismes et des machines

MÉCANIQUE THÉORIQUE

complexe méthodologique pour les étudiants de spécialités

74 06 Agro-ingénierie

En 2 parties Partie 1

CDU 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Compilé par :

Candidat en sciences physiques et mathématiques, professeur agrégé Yu. S. Biza, candidat en sciences techniques, professeur agrégé N. L. Rakova, maître de conférences. A. Tarassevitch

Réviseurs :

Département de mécanique théorique de l'établissement d'enseignement « Université technique nationale de Biélorussie » (chef

Département de mécanique théorique BNTU Docteur en sciences physiques et mathématiques, professeur A. V. Chigarev) ;

Chercheur principal du Laboratoire de protection contre les vibrations des systèmes mécaniques de l'Institution scientifique d'État Institut uni de génie mécanique

NAS de Biélorussie", candidat des sciences techniques, professeur agrégé A. M. Goman

Méthode T33. complexe. En 2 parties. Partie 1 / compilé par : Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk : BGATU, 2013. – 120 p.

ISBN978-985-519-616-8.

Le complexe pédagogique et méthodologique présente du matériel pour étudier la section « Dynamique », partie 1, qui fait partie de la discipline « Mécanique théorique ». Comprend un cours magistral, du matériel de base pour effectuer des cours pratiques, des devoirs et des échantillons de devoirs pour un travail indépendant et le suivi des activités éducatives des étudiants à temps plein et à temps partiel.

CDU 531.3(07) BBK 22.213ya7

INTRODUCTION

La mécanique théorique est la science des lois générales du mouvement mécanique, de l'équilibre et de l'interaction des corps matériels.

C’est l’une des disciplines physico-mathématiques scientifiques générales fondamentales. C'est la base théorique de la technologie moderne.

L'étude de la mécanique théorique, ainsi que d'autres disciplines physiques et mathématiques, contribue à élargir les horizons scientifiques, développe la capacité de pensée concrète et abstraite et contribue à améliorer la culture technique générale du futur spécialiste.

La mécanique théorique, étant la base scientifique de toutes les disciplines techniques, contribue au développement de compétences en matière de solutions rationnelles aux problèmes d'ingénierie liés au fonctionnement, à la réparation et à la conception de machines et d'équipements agricoles et de remise en état des terres.

Selon la nature des problèmes considérés, la mécanique est divisée en statique, cinématique et dynamique. La dynamique est une branche de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des corps matériels sous l'action de forces appliquées.

DANS pédagogique et méthodologique Le complexe (UMK) présente du matériel pour étudier la section « Dynamique », qui comprend un cours magistral, du matériel de base pour les travaux pratiques, des devoirs et des échantillons pour le travail indépendant et le suivi des activités éducatives des étudiants à temps plein et à temps partiel.

DANS A l'issue de l'étude de la section « Dynamique », l'étudiant doit maîtriser les fondements théoriques de la dynamique et maîtriser les méthodes de base de résolution des problèmes de dynamique :

Connaître les méthodes de résolution de problèmes de dynamique, les théorèmes généraux de la dynamique, les principes de la mécanique ;

Être capable de déterminer les lois du mouvement du corps en fonction des forces agissant sur lui ; appliquer les lois et les théorèmes de la mécanique pour résoudre des problèmes ; déterminer les réactions statiques et dynamiques des connexions limitant le mouvement des corps.

Le programme de la discipline « Mécanique théorique » prévoit un nombre total d'heures de cours – 136, dont 36 heures pour l'étude de la section « Dynamique ».

1. CONTENU SCIENTIFIQUE ET THÉORIQUE DU COMPLEXE ÉDUCATIF ET MÉTHODOLOGIQUE

1.1. Glossaire

La statique est une branche de la mécanique qui expose la doctrine générale des forces, étudie la réduction des systèmes complexes de forces à leur forme la plus simple et établit les conditions d'équilibre de divers systèmes de forces.

La cinématique est une branche de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des objets matériels quelles que soient les raisons provoquant ce mouvement, c'est-à-dire quelles que soient les forces agissant sur ces objets.

La dynamique est une branche de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des corps matériels (points) sous l'action de forces appliquées.

Point matériel– un corps matériel dont la différence dans le mouvement des points est insignifiante.

La masse d'un corps est une quantité scalaire positive qui dépend de la quantité de substance contenue dans un corps donné et détermine sa mesure d'inertie lors du mouvement de translation.

Un système de référence est un système de coordonnées associé à un corps par rapport auquel le mouvement d'un autre corps est étudié.

Système inertiel– un système dans lequel les première et deuxième lois de la dynamique sont satisfaites.

L'impulsion de force est une mesure vectorielle de l'action de la force sur un certain temps.

Moment d'un point matériel – une mesure vectorielle de son mouvement, égale au produit de la masse du point et de son vecteur vitesse.

Énergie cinétique– mesure scalaire du mouvement mécanique.

Travail de force élémentaire est une quantité scalaire infinitésimale égale au produit scalaire du vecteur force et du vecteur de déplacement infiniment petit du point d'application de la force.

Énergie cinétique– mesure scalaire du mouvement mécanique.

L'énergie cinétique d'un point matériel est une énergie scalaire

une quantité positive égale à la moitié du produit de la masse d'un point par le carré de sa vitesse.

Énergie cinétique d'un système mécanique - arithmétique-

somme tique des énergies cinétiques de tous les points matériels de ce système.

La force est une mesure de l'interaction mécanique des corps, caractérisant son intensité et sa direction.

1.2. Sujets et contenu des conférences

Section 1. Introduction à la dynamique. Concepts de base

mécanique classique

Thème 1. Dynamique d'un point matériel

Lois de la dynamique d’un point matériel (lois de Galilée – Newton). Equations différentielles du mouvement d'un point matériel. Deux problèmes principaux de dynamique pour un point matériel. Solution du deuxième problème de dynamique ; constantes d'intégration et leur détermination par des conditions initiales.

Littérature :, pp. 180-196, , pp. 12-26.

Thème 2. Dynamique du mouvement relatif du matériau

Mouvement relatif d'un point matériel. Équations différentielles du mouvement relatif d'un point ; forces d'inertie portables et de Coriolis. Le principe de relativité en mécanique classique. Un cas de paix relative.

Littérature : , pp. 180-196, , pp. 127-155.

Thème 3. Géométrie des masses. Centre de masse d'un système mécanique

Masse du système. Le centre de masse du système et ses coordonnées.

Littérature :, pp. 86-93, pp. 264-265

Thème 4. Moments d'inertie d'un corps rigide

Moments d'inertie d'un corps rigide par rapport à l'axe et au pôle. Rayon d'inertie. Théorème sur les moments d'inertie autour des axes parallèles. Moments d'inertie axiaux de certains corps.

Moments d'inertie centrifuges comme caractéristique de l'asymétrie du corps.

Littérature : , pp. 265-271, , pp. 155-173.

Section 2. Théorèmes généraux sur la dynamique d'un point matériel

et système mécanique

Sujet 5. Théorème sur le mouvement du centre de masse du système

Théorème sur le mouvement du centre de masse du système. Corollaires du théorème sur le mouvement du centre de masse du système.

Littérature : , pp. 274-277, , pp. 175-192.

Thème 6. Momentum d'un point matériel

et système mécanique

La quantité de mouvement d'un point matériel et d'un système mécanique. Impulsion élémentaire et impulsion de force sur une période de temps finie. Théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un point et d'un système sous formes différentielles et intégrales. Loi de conservation de la quantité de mouvement.

Littérature : , pp. 280-284, , pp. 192-207.

Thème 7. Momentum d'un point matériel

et système mécanique par rapport au centre et à l'axe

Le moment d'impulsion d'un point par rapport au centre et à l'axe. Théorème sur la variation du moment cinétique d'un point. Le moment cinétique d'un système mécanique par rapport au centre et à l'axe.

Le moment cinétique d'un corps rigide en rotation autour de l'axe de rotation. Théorème sur la variation du moment cinétique d'un système. Loi de conservation du moment cinétique.

Littérature : , pp. 292-298, , pp. 207-258.

Thème 8. Travail et pouvoir des forces

Le travail élémentaire de la force, son expression analytique. Travail effectué par une force sur un chemin final. Travail de gravité, force élastique. La somme du travail effectué par les forces internes agissant dans un corps solide est égale à zéro. Travail des forces appliquées à un corps rigide tournant autour d’un axe fixe. Pouvoir. Efficacité.

Littérature : , pp. 208-213, , pp. 280-290.

Thème 9. Énergie cinétique d'un point matériel

et système mécanique

Énergie cinétique d'un point matériel et d'un système mécanique. Calcul de l'énergie cinétique d'un corps rigide dans différents cas de mouvement. Théorème de Koenig. Théorème sur la variation de l'énergie cinétique d'un point sous formes différentielles et intégrales. Théorème sur la variation de l'énergie cinétique d'un système mécanique sous formes différentielles et intégrales.

Littérature : , pp. 301-310, , pp. 290-344.

Thème 10. Champ de force potentiel et potentiel

Le concept de champ de force. Champ de force potentiel et fonction de force. Le travail d'une force sur le déplacement final d'un point dans un champ de force potentiel. Énergie potentielle.

Littérature : , pp. 317-320, , pp. 344-347.

Thème 11. Dynamique des corps rigides

Équations différentielles du mouvement de translation d'un corps rigide. Équation différentielle du mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe. Pendule physique. Équations différentielles du mouvement plan d'un corps rigide.

Littérature : , pp. 323-334, , pp. 157-173.

Section 1. Introduction à la dynamique. Concepts de base

mécanique classique

La dynamique est une branche de la mécanique théorique qui étudie le mouvement des corps matériels (points) sous l'action de forces appliquées.

corps matériel- un corps qui a une masse.

Point matériel– un corps matériel dont la différence dans le mouvement des points est insignifiante. Il peut s'agir soit d'un corps dont les dimensions lors de son mouvement peuvent être négligées, soit d'un corps de dimensions finies s'il se déplace en translation.

Les points matériels sont également appelés particules en lesquelles un corps solide est mentalement décomposé lors de la détermination de certaines de ses caractéristiques dynamiques. Exemples de points matériels (Fig. 1) : a – le mouvement de la Terre autour du Soleil. La Terre est un point matériel ; b – mouvement de translation d'un corps rigide. Corps solide - mère

al point, car V B = V A ; une B = une UNE ; c – rotation du corps autour d'un axe.

Une particule d'un corps est un point matériel.

L'inertie est la propriété des corps matériels de modifier la vitesse de leur mouvement plus rapidement ou plus lentement sous l'influence des forces appliquées.

La masse d'un corps est une quantité scalaire positive qui dépend de la quantité de substance contenue dans un corps donné et détermine sa mesure d'inertie lors du mouvement de translation. En mécanique classique, la masse est une quantité constante.

La force est une mesure quantitative de l'interaction mécanique entre des corps ou entre un corps (point) et un champ (électrique, magnétique, etc.).

La force est une grandeur vectorielle caractérisée par la grandeur, le point d'application et la direction (ligne d'action) (Fig. 2 : A - point d'application ; AB - ligne d'action de la force).

Riz. 2

En dynamique, à côté des forces constantes, il existe également des forces variables, qui peuvent dépendre du temps t, de la vitesseϑ, de la distance ou d'une combinaison de ces grandeurs, c'est-à-dire

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

locomotive électrique; c − F = F (r) – la force de répulsion du centre O ou d'attraction vers celui-ci.

Un système de référence est un système de coordonnées associé à un corps par rapport auquel le mouvement d'un autre corps est étudié.

Un système inertiel est un système dans lequel les première et deuxième lois de la dynamique sont satisfaites. Il s'agit d'un système de coordonnées fixe ou d'un système se déplaçant uniformément et linéairement.

Le mouvement en mécanique est un changement de position d'un corps dans l'espace et dans le temps par rapport aux autres corps.

L'espace en mécanique classique est tridimensionnel et obéit à la géométrie euclidienne.

Le temps est une quantité scalaire qui s'écoule de manière égale dans n'importe quel système de référence.

Un système d'unités est un ensemble d'unités de mesure de grandeurs physiques. Pour mesurer toutes les grandeurs mécaniques, trois unités de base suffisent : les unités de longueur, de temps, de masse ou de force.

Toutes les autres unités de mesure des grandeurs mécaniques en dérivent. Deux types de systèmes d'unités sont utilisés : le système international d'unités SI (ou plus petit - GHS) et le système technique d'unités - ICGSS.

Thème 1. Dynamique d'un point matériel

1.1. Lois de la dynamique d'un point matériel (lois de Galilée-Newton)

Première loi (loi de l'inertie).

Un point matériel isolé des influences extérieures maintient son état de repos ou se déplace de manière uniforme et rectiligne jusqu'à ce que des forces appliquées le forcent à changer cet état.

Le mouvement effectué par un point en l'absence de forces ou sous l'action d'un système de forces équilibré est appelé mouvement par inertie.

Par exemple, le mouvement d'un corps le long d'une surface lisse (la force de frottement est nulle)

surface horizontale (Fig. 4 : G – poids corporel ; N – réaction plane normale).

Puisque G = − N, alors G + N = 0.

Lorsque ϑ 0 ≠ 0, le corps se déplace à la même vitesse ; lorsque ϑ 0 = 0 le corps est au repos (ϑ 0 est la vitesse initiale).

Deuxième loi (loi fondamentale de la dynamique).

Le produit de la masse d'un point et de l'accélération qu'il reçoit sous l'influence d'une force donnée est égal en grandeur à cette force, et sa direction coïncide avec la direction de l'accélération.

un b

Mathématiquement, cette loi s'exprime par le vecteur d'égalité

Lorsque F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – le point se déplace uniformément et rectiligne ou à ϑ 0 = 0 – il est au repos (loi d'inertie). Deuxième

la loi permet d’établir un lien entre la masse m d’un corps situé près de la surface terrestre et son poidsG .G = mg, oùg –

accélération de la gravité.

Troisième loi (loi d'égalité d'action et de réaction). Deux points matériels agissent l'un sur l'autre avec des forces égales en ampleur et dirigées le long de la ligne droite reliant

ces points dans des directions opposées.

Puisque les forces F 1 = − F 2 sont appliquées à différents points, le système de forces (F 1 , F 2 ) n'est pas équilibré, c'est-à-dire (F 1 , F 2 )≈ 0 (Fig. 6).

les masses des points en interaction sont inversement proportionnelles à leurs accélérations.

La quatrième loi (la loi de l'indépendance de l'action des forces). L'accélération reçue par un point en agissant simultanément sur lui

mais plusieurs forces, égales à la somme géométrique des accélérations que le point recevrait si chaque force lui était appliquée séparément.

Explication (Fig. 7).

t un n

une 1 une kF n

Force résultante R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Puisque ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man, alors

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, c'est-à-dire que la quatrième loi est équivalente

k = 1

la règle de l'addition des forces.

1.2. Équations différentielles du mouvement d'un point matériel

Supposons que plusieurs forces agissent simultanément sur un point matériel, parmi lesquelles il y a à la fois constantes et variables.

Écrivons la deuxième loi de la dynamique sous la forme

points, alors (1.2) contient des dérivées de r et est une équation différentielle du mouvement d'un point matériel sous forme vectorielle ou l'équation de base de la dynamique d'un point matériel.

Projections d'égalité vectorielle (1.2) : - sur l'axe des coordonnées cartésiennes (Fig. 8, a)

Sur l'axe naturel (Fig. 8, b)

mab = m0 = ∑Fkb

k = 1

M à M oa

Les équations (1.3) et (1.4) sont des équations différentielles du mouvement d'un point matériel, respectivement, dans les axes de coordonnées cartésiennes et les axes naturels, c'est-à-dire des équations différentielles naturelles qui sont habituellement utilisées pour le mouvement curviligne d'un point, si la trajectoire de la pointe et son rayon de courbure sont connus.

1.3. Deux problèmes principaux de dynamique pour un point matériel et leur solution

La première tâche (directe).

Connaissant la loi du mouvement et la masse de la pointe, déterminez la force agissant sur la pointe.

Pour résoudre ce problème, vous devez connaître l’accélération du point. Dans des problèmes de ce type, il peut être spécifié directement ou la loi du mouvement d'un point peut être spécifiée, selon laquelle il peut être déterminé.

1. Ainsi, si le mouvement d'un point est spécifié en coordonnées cartésiennes

x = f 1 (t), y = f 2 (t) et z = f 3 (t), alors les projections d'accélération sont déterminées

Considérons le mouvement d'un certain système d'objets matériels par rapport à un système de coordonnées fixe. Lorsque le système n'est pas libre, alors il peut être considéré comme libre si l'on écarte les connexions imposées au système et remplaçons leur action par les réactions correspondantes.

Divisons toutes les forces appliquées au système en externes et internes ; les deux peuvent inclure des réactions de rejet

relations. Soit et désignons le vecteur principal et le moment principal des forces externes par rapport au point A.

1. Théorème sur le changement de quantité de mouvement. Si est la quantité de mouvement du système, alors (voir)

c'est-à-dire que le théorème est valable : la dérivée temporelle de l'impulsion du système est égale au vecteur principal de toutes les forces externes.

En remplaçant le vecteur par son expression où est la masse du système, est la vitesse du centre de masse, l'équation (4.1) peut prendre une forme différente :

Cette égalité signifie que le centre de masse du système se déplace comme un point matériel dont la masse est égale à la masse du système et auquel est appliquée une force géométriquement égale au vecteur principal de toutes les forces externes du système. La dernière affirmation s'appelle le théorème sur le mouvement du centre de masse (centre d'inertie) du système.

Si donc d'après (4.1), il s'ensuit que le vecteur impulsion est constant en amplitude et en direction. En le projetant sur l’axe des coordonnées, on obtient trois premières intégrales scalaires, équations différentielles de la double casquette du système :

Ces intégrales sont appelées intégrales de moment. Lorsque la vitesse du centre de masse est constante, c’est-à-dire qu’il se déplace uniformément et rectiligne.

Si la projection du vecteur principal des forces externes sur un axe quelconque, par exemple sur un axe, est égale à zéro, alors nous avons une première intégrale, ou si deux projections du vecteur principal sont égales à zéro, alors il y a deux intégrales de quantité de mouvement.

2. Théorème sur le changement du moment cinétique. Soit A un point arbitraire dans l'espace (en mouvement ou stationnaire), qui ne coïncide pas nécessairement avec un point matériel spécifique du système pendant toute la durée du mouvement. On note sa vitesse dans un système de coordonnées fixe par Le théorème sur la variation du moment cinétique d'un système matériel par rapport au point A a la forme

Si le point A est fixe, alors l'égalité (4.3) prend une forme plus simple :

Cette égalité exprime le théorème sur la variation du moment cinétique d'un système par rapport à un point fixe : la dérivée temporelle du moment cinétique du système, calculée par rapport à un point fixe, est égale au moment principal de toutes les forces extérieures relatives à ce point.

Si alors, selon (4.4), le vecteur moment cinétique est constant en amplitude et en direction. En le projetant sur les axes de coordonnées, on obtient les premières intégrales scalaires des équations différentielles du système double :

Ces intégrales sont appelées intégrales de moment ou intégrales de zone.

Si le point A coïncide avec le centre de masse du système, alors le premier terme du côté droit de l'égalité (4.3) disparaît et le théorème sur la variation du moment cinétique a la même forme d'écriture (4.4) que dans le cas de un point fixe A. A noter (voir. p. 4 § 3), que dans le cas considéré, le moment cinétique absolu du système du côté gauche de l'égalité (4.4) peut être remplacé par le moment cinétique égal du système dans son mouvement par rapport au centre de masse.

Soit un axe constant ou un axe de direction constante passant par le centre de masse du système, et soit le moment cinétique du système par rapport à cet axe. De (4.4) il résulte que

où est le moment des forces externes par rapport à l'axe. Si pendant tout le mouvement on a la première intégrale

Dans les travaux de S.A. Chaplygin, plusieurs généralisations du théorème sur le changement du moment cinétique ont été obtenues, qui ont ensuite été appliquées pour résoudre un certain nombre de problèmes liés au roulement des billes. D'autres généralisations du théorème sur la modification du moment mécanique et leurs applications dans les problèmes de dynamique des corps rigides sont contenues dans les travaux. Les principaux résultats de ces travaux sont liés au théorème sur le changement de moment cinétique par rapport à un moment en mouvement, passant constamment par un point en mouvement A. Soit un vecteur unitaire dirigé le long de cet axe. En multipliant scalairement par les deux côtés de l'égalité (4.3) et en ajoutant le terme à ses deux parties, nous obtenons

Lorsque la condition cinématique est remplie

L'équation (4.5) découle de (4.7). Et si la condition (4.8) est satisfaite pendant tout le mouvement, alors la première intégrale (4.6) existe.

Si les connexions du système sont idéales et permettent, parmi les déplacements virtuels, la rotation du système comme un corps rigide autour de l'axe et, alors le moment principal des réactions par rapport à l'axe et est égal à zéro, puis la valeur sur le côté droit de l'équation (4.5) représente le moment principal de toutes les forces actives externes par rapport à l'axe et . L'égalité à zéro de ce moment et la validité de la relation (4.8) seront dans le cas considéré des conditions suffisantes pour l'existence de l'intégrale (4.6).

Si la direction de l'axe et est constante, alors la condition (4.8) s'écrira sous la forme

Cette égalité signifie que les projections de la vitesse du centre de masse et de la vitesse du point A sur l'axe et sur un plan perpendiculaire à celui-ci sont parallèles. Dans les travaux de S.A. Chaplygin, au lieu de (4.9), la réalisation d'une condition moins générale est requise où X est une valeur constante arbitraire.

Notons que la condition (4.8) ne dépend pas du choix du point sur . En effet, soit P un point arbitraire sur l'axe. Alors

et donc

En conclusion, on note l'interprétation géométrique par Rézal des équations (4.1) et (4.4) : les vecteurs vitesses absolues des extrémités des vecteurs et sont égaux respectivement au vecteur principal et au moment principal de toutes les forces extérieures par rapport au point A .

Ministère de l'Éducation et des Sciences de la Fédération de Russie

Établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral d'enseignement professionnel supérieur

"Université technologique d'État du Kouban"

Mécanique théorique

Dynamique de la partie 2

Approuvé par le comité de rédaction et de publication

conseil universitaire comme

aide pédagogique

Krasnodar

CDU 531.1/3 (075)

Mécanique théorique. Partie 2. Dynamique : Manuel / L.I. Draiko ; Kouban. État technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 p.

ISBN5-230-06865-5

Le matériel théorique est présenté sous une forme brève, des exemples de résolution de problèmes sont donnés, dont la plupart reflètent de véritables problèmes techniques, et une attention particulière est accordée au choix d'une méthode rationnelle de solution.

Conçu pour les bacheliers par correspondance et à distance en construction, transports et génie mécanique.

Tableau 1 malade. 68 Bibliographie 20 titres

Editeur scientifique Candidat en Sciences Techniques, Professeur Associé. V.F. Melnikov

Réviseurs : Chef du Département de mécanique théorique et de théorie des mécanismes et des machines, Université agraire de Kouban prof. F.M. Kanarev; Professeur agrégé, Département de mécanique théorique, Université technologique d'État de Kouban M.E. Multykh

Publié par décision du Conseil de rédaction et d'édition de l'Université technologique d'État du Kouban.

Rééditer

ISBN 5-230-06865-5KubSTU 1998

Préface

Ce manuel est destiné aux étudiants à temps partiel des spécialités construction, transports et génie mécanique, mais peut être utilisé lors de l'étude de la section « Dynamique » du cours de mécanique théorique par les étudiants à temps partiel d'autres spécialités, ainsi que par les étudiants à temps plein. travaillant de manière indépendante.

Le manuel est rédigé conformément au programme actuel du cours de mécanique théorique et couvre toutes les problématiques de la partie principale du cours. Chaque section contient un bref matériel théorique, accompagné d'illustrations et de recommandations méthodologiques pour son utilisation dans la résolution de problèmes. Le manuel contient des solutions à 30 problèmes qui reflètent des problèmes techniques réels et correspondent à des tâches de test pour une solution indépendante. Pour chaque problème, un schéma de calcul est présenté qui illustre clairement la solution. Le formatage de la solution répond aux exigences de formatage des épreuves pour les étudiants à temps partiel.

L'auteur exprime sa profonde gratitude aux enseignants du Département de mécanique théorique et de théorie des mécanismes et des machines de l'Université agraire du Kouban pour leur excellent travail de révision du manuel, ainsi qu'aux enseignants du Département de mécanique théorique de l'Université technologique d'État du Kouban. Université pour leurs précieux commentaires et conseils sur la préparation du manuel en vue de sa publication.

Tous les commentaires critiques et suggestions seront acceptés avec gratitude par l'auteur à l'avenir.

Introduction

La dynamique est la section la plus importante de la mécanique théorique. La plupart des problèmes spécifiques rencontrés dans la pratique de l’ingénierie concernent la dynamique. Utilisant les conclusions de la statique et de la cinématique, la dynamique établit les lois générales du mouvement des corps matériels sous l'action de forces appliquées.

L'objet matériel le plus simple est un point matériel. Un corps matériel de n'importe quelle forme peut être considéré comme un point matériel dont les dimensions peuvent être négligées dans le problème considéré. Un corps de dimensions finies peut être considéré comme un point matériel si la différence dans le mouvement de ses points n'est pas significative pour un problème donné. Cela se produit lorsque les dimensions du corps sont petites par rapport aux distances parcourues par les points du corps. Chaque particule d'un corps solide peut être considérée comme un point matériel.

Les forces appliquées à un point ou à un corps matériel sont évaluées dynamiquement par leur impact dynamique, c'est-à-dire par la manière dont elles modifient les caractéristiques du mouvement des objets matériels.

Le mouvement des objets matériels au fil du temps se produit dans l'espace par rapport à un certain système de référence. En mécanique classique, basée sur les axiomes de Newton, l'espace est considéré comme tridimensionnel, ses propriétés ne dépendent pas des objets matériels qui s'y déplacent. La position d'un point dans un tel espace est déterminée par trois coordonnées. Le temps n'est pas lié à l'espace et au mouvement des objets matériels. Il est considéré comme identique pour tous les systèmes de référence.

Les lois de la dynamique décrivent le mouvement des objets matériels par rapport à des axes de coordonnées absolues, conventionnellement acceptés comme stationnaires. L'origine du système de coordonnées absolues est considérée comme étant au centre du Soleil et les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines et conditionnellement stationnaires. Lors de la résolution de nombreux problèmes techniques, les axes de coordonnées connectés à la Terre peuvent être considérés comme conditionnellement immobiles.

Les paramètres du mouvement mécanique des objets matériels en dynamique sont établis par des dérivations mathématiques des lois fondamentales de la mécanique classique.

Première loi (loi de l'inertie) :

Un point matériel maintient un état de repos ou de mouvement uniforme et linéaire jusqu'à ce que l'action de certaines forces le fasse sortir de cet état.

Le mouvement uniforme et linéaire d’un point est appelé mouvement par inertie. Le repos est un cas particulier de mouvement par inertie, lorsque la vitesse d'un point est nulle.

Chaque point matériel possède une inertie, c’est-à-dire qu’il s’efforce de maintenir un état de repos ou un mouvement linéaire uniforme. Le système de référence par rapport auquel s'applique la loi de l'inertie est appelé inertiel, et le mouvement observé par rapport à ce système est appelé absolu. Tout système de référence qui effectue un mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un système inertiel sera également un système inertiel.

Deuxième loi (loi fondamentale de la dynamique) :

L'accélération d'un point matériel par rapport au référentiel inertiel est proportionnelle à la force appliquée sur le point et coïncide avec la force dans la direction :
.

De la loi fondamentale de la dynamique, il résulte qu'avec la force
accélération
. La masse d'un point caractérise le degré de résistance d'un point aux changements de vitesse, c'est-à-dire qu'elle est une mesure de l'inertie d'un point matériel.

Troisième loi (loi d'action et de réaction) :

Les forces avec lesquelles deux corps agissent l'un sur l'autre sont de même ampleur et dirigées le long d'une ligne droite dans des directions opposées.

Les forces appelées action et réaction sont appliquées à différents corps et ne forment donc pas un système équilibré.

Quatrième loi (loi de l'indépendance des forces) :

Avec l'action simultanée de plusieurs forces, l'accélération d'un point matériel est égale à la somme géométrique des accélérations qu'aurait le point sous l'action de chaque force séparément :

, Où
,
,…,
.