Définition d'une parabole et de son équation canonique. Qu'est-ce qu'une parabole et à quoi ressemble-t-elle ?

Définition: Une parabole est le lieu géométrique des points d'un plan pour lesquels la distance à un point fixe F de ce plan est égale à la distance à une droite fixe. Le point F est appelé foyer de la parabole et la ligne fixe est appelée directrice de la parabole.

Pour dériver l'équation, construisons :

AVEC selon la définition :

Puisque 2 >=0, la parabole se situe dans le demi-plan droit. Lorsque x augmente de 0 à l'infini
. La parabole est symétrique par rapport à Ox. Le point d'intersection d'une parabole avec son axe de symétrie est appelé sommet de la parabole.

45. Courbes du second ordre et leur classification. Le théorème principal sur le kvp.

Il existe 8 types de KVP :

1.ellipses

2.hyperboles

3.paraboles

Les courbes 1,2,3 sont des sections canoniques. Si l'on coupe le cône avec un plan parallèle à l'axe du cône, on obtient une hyperbole. Si le plan est parallèle à la génératrice, alors c'est une parabole. Tous les plans ne passent pas par le sommet du cône. S’il s’agit d’un autre plan, alors c’est une ellipse.

4. paire de droites parallèles y 2 +a 2 =0, a0

5. paire de droites sécantes y 2 -k 2 x 2 =0

6.une droite y 2 =0

7.un point x 2 + y 2 =0

8. ensemble vide - courbe vide (courbe sans points) x 2 + y 2 +1=0 ou x 2 + 1=0

Théorème (théorème principal sur KVP) :Équation de la forme

un 11 x 2 + 2 un 12 x y + une 22 oui 2 + 2 un 1 x + 2a 2 oui + un 0 = 0

ne peut représenter qu’une courbe d’un de ces huit types.

Idée de preuve est de passer à un système de coordonnées dans lequel l'équation KVP prendra la forme la plus simple, lorsque le type de courbe qu'elle représente deviendra évident. Le théorème est prouvé en faisant tourner le système de coordonnées d'un angle auquel le terme avec le produit des coordonnées disparaît. Et avec l'aide du transfert parallèle du système de coordonnées dans lequel disparaît soit le terme avec la variable x, soit le terme avec la variable y.

Transition vers un nouveau système de coordonnées : 1. Transfert parallèle

2. Rotation

45. Surfaces du second ordre et leur classification. Le théorème principal du PvP. Surfaces de rotation.

P. VP - un ensemble de points dont les coordonnées rectangulaires satisfont à l'équation du 2ème degré : (1)

On suppose qu'au moins un des coefficients des carrés ou des produits est différent de 0. L'équation est invariante quant au choix du système de coordonnées.

Théorème Tout plan coupe le PVP le long du CVP, à l'exception d'un cas particulier où tout le plan est dans la section (le PVP peut être un plan ou une paire de plans).

Il existe 15 types de PvP. Listons-les, en indiquant les équations par lesquelles ils sont spécifiés dans des systèmes de coordonnées appropriés. Ces équations sont dites canoniques (les plus simples). Construire des images géométriques correspondant à des équations canoniques en utilisant la méthode des sections parallèles : Intersecter la surface avec des plans de coordonnées et des plans parallèles à celles-ci. Le résultat est des sections et des courbes qui donnent une idée de la forme de la surface.

1. Ellipsoïde.

Si a=b=c alors nous obtenons une sphère.

2. Hyperboloïdes.

1). Hyperboloïde à feuille unique :

Coupe d'un hyperboloïde monofeuillet par plans de coordonnées : XOZ :
- hyperbole.

YOZ :
- hyperbole.

Avion XOY :
- une ellipse.

2). Hyperboloïde à deux feuilles.

L'origine est un point de symétrie.

Les plans de coordonnées sont des plans de symétrie.

Avion z = h coupe un hyperboloïde le long d'une ellipse
, c'est-à-dire avion z = h commence à couper l'hyperboloïde à | h |  c. Coupe d'un hyperboloïde par plans x = 0 Et oui = 0 - ce sont des hyperboles.

Les nombres a, b, c dans les équations (2), (3), (4) sont appelés les demi-axes des ellipsoïdes et des hyperboloïdes.

3. Paraboloïdes.

1). Paraboloïde elliptique :

Coupe du plan z = h Il y a
, Où
. D’après l’équation, il ressort clairement que z  0 est un bol infini.

Intersection d'avions oui = h Et x= h
- c'est une parabole et en général

2). Paraboloïde hyperbolique :

Evidemment, les plans XOZ et YOZ sont des plans de symétrie, l'axe z est l'axe du paraboloïde. Intersection d'un paraboloïde avec un plan z = h– hyperboles :
,
. Avion z=0 coupe un paraboloïde hyperbolique selon deux axes
qui sont des asymptotes.

4. Cône et cylindres du second ordre.

1). Un cône est une surface
. Le cône est formé de droites passant par l’origine 0 (0, 0, 0). La section transversale d'un cône est une ellipse à demi-axes
.

2). Cylindres de deuxième ordre.

C'est un cylindre elliptique
.

Quelle que soit la ligne que nous prenons qui coupe les ellipses et est parallèle à l’axe Oz, elle satisfait à cette équation. En déplaçant cette droite autour de l’ellipse on obtient une surface.

G cylindre hyperbolique :

Sur le plan XOU, c'est une hyperbole. Nous déplaçons la ligne droite coupant l'hyperbole parallèlement à Oz le long de l'hyperbole.

Cylindre parabolique :

N et le plan XOU est une parabole.

Les surfaces cylindriques sont formées par une ligne droite (générative) se déplaçant parallèlement à elle-même le long d'une certaine ligne droite (guide).

10. Paire de plans sécants

11.Paire de plans parallèles

12.
- droit

13. Ligne droite - un « cylindre » construit sur un seul point

14.Un point

15.Ensemble vide

Le théorème principal du PVP : Chaque PVP appartient à l'un des 15 types évoqués ci-dessus. Il n'y a pas d'autre PVP.

Surfaces de rotation. Soit le PDSC Oxyz et dans le plan Oyz la droite e définie par l'équation F(y,z)=0 (1). Créons une équation pour la surface obtenue en faisant tourner cette ligne autour de l'axe Oz. Prenons un point M(y,z) sur la droite e. Lorsque le plan Oyz tourne autour de Oz, le point M décrira un cercle. Soit N(X,Y,Z) un point arbitraire de ce cercle. Il est clair que z=Z.

.

En substituant les valeurs trouvées de z et y dans l'équation (1), nous obtenons l'égalité correcte :
ceux. les coordonnées du point N satisfont à l'équation
. Ainsi, tout point sur la surface de rotation satisfait à l’équation (2). Il n'est pas difficile de prouver que si un point N(x 1 ,y 1 ,z 1) satisfait à l'équation (2) alors il appartient à la surface considérée. Nous pouvons maintenant dire que l’équation (2) est l’équation souhaitée pour la surface de révolution.

Une parabole est le lieu des points du plan équidistants d'un point donné F et d'une droite donnée d qui ne passe pas par ce point. Cette définition géométrique exprime propriété directrice d'une parabole.

Propriété directrice d'une parabole

Le point F est appelé foyer de la parabole, la ligne d est la directrice de la parabole, le milieu O de la perpendiculaire abaissée du foyer à la directrice est le sommet de la parabole, la distance p du foyer à la directrice est le paramètre de la parabole, et la distance \frac(p)(2) du sommet de la parabole à son foyer est la distance focale (Fig. 3.45a). La droite perpendiculaire à la directrice et passant par le foyer est appelée axe de la parabole (axe focal de la parabole). Le segment FM reliant un point arbitraire M de la parabole à son foyer est appelé rayon focal du point M. Le segment reliant deux points d’une parabole est appelé corde de la parabole.

Pour un point arbitraire d'une parabole, le rapport entre la distance au foyer et la distance à la directrice est égal à un. En comparant les propriétés directrices de , et des paraboles, nous concluons que excentricité de la parabole par définition égal à un (e=1).

Définition géométrique d'une parabole, exprimant sa propriété directrice, équivaut à sa définition analytique - la droite définie par l'équation canonique d'une parabole :

En effet, introduisons un système de coordonnées rectangulaires (Fig. 3.45, b). On prend le sommet O de la parabole comme origine du système de coordonnées ; prenons comme axe des abscisses la droite passant par le foyer perpendiculaire à la directrice (la direction positive sur celle-ci va du point O au point F) ; Prenons comme axe des ordonnées la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses et passant par le sommet de la parabole (la direction sur l'axe des ordonnées est choisie pour que le repère rectangulaire Oxy soit correct).

Créons une équation pour une parabole en utilisant sa définition géométrique, qui exprime la propriété directrice d'une parabole. Dans le système de coordonnées sélectionné, nous déterminons les coordonnées du foyer F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) et l'équation directrice x=-\frac(p)(2) . Pour un point arbitraire M(x,y) appartenant à une parabole, on a :

FM=MM_j,

Où M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- projection orthogonale du point M(x,y) sur la directrice. Nous écrivons cette équation sous forme de coordonnées :

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Nous mettons au carré les deux côtés de l’équation : (\gauche(x-\frac(p)(2)\droite)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. En ramenant des termes similaires, on obtient équation canonique de la parabole

y^2=2\cdot p\cdot x, ceux. le système de coordonnées choisi est canonique.

En effectuant le raisonnement dans l'ordre inverse, nous pouvons montrer que tous les points dont les coordonnées satisfont à l'équation (3.51), et eux seuls, appartiennent au lieu des points appelé parabole. Ainsi, la définition analytique d'une parabole équivaut à sa définition géométrique, qui exprime la propriété directrice d'une parabole.

Équation de parabole dans le système de coordonnées polaires

L'équation d'une parabole dans le système de coordonnées polaires Fr\varphi (Fig. 3.45, c) a la forme

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), où p est le paramètre de la parabole, et e=1 est son excentricité.

En fait, comme pôle du système de coordonnées polaires, nous choisissons le foyer F de la parabole, et comme axe polaire - un rayon commençant au point F, perpendiculaire à la directrice et ne la coupant pas (Fig. 3.45, c) . Alors pour un point arbitraire M(r,\varphi) appartenant à une parabole, d'après la définition géométrique (propriété directionnelle) d'une parabole, on a MM_d=r. Depuis MM_d=p+r\cos\varphi, on obtient l'équation de la parabole sous forme de coordonnées :

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Notez qu'en coordonnées polaires, les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole coïncident, mais décrivent des lignes différentes, car elles diffèrent par leurs excentricités (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 pour ).

Signification géométrique du paramètre dans l'équation de la parabole

Expliquons-nous signification géométrique du paramètre p dans l'équation canonique de la parabole. En substituant x=\frac(p)(2) dans l'équation (3.51), nous obtenons y^2=p^2, c'est-à-dire y=\pm p . Le paramètre p est donc la moitié de la longueur de la corde de la parabole passant par son foyer perpendiculaire à l'axe de la parabole.

Le paramètre focal de la parabole, ainsi que pour une ellipse et une hyperbole, est appelée la moitié de la longueur de la corde passant par son foyer perpendiculaire à l'axe focal (voir Fig. 3.45, c). À partir de l'équation de la parabole en coordonnées polaires à \varphi=\frac(\pi)(2) nous obtenons r = p, c'est-à-dire le paramètre de la parabole coïncide avec son paramètre focal.

Remarques 3.11.

1. Le paramètre p d'une parabole caractérise sa forme. Plus p est grand, plus les branches de la parabole sont larges, plus p est proche de zéro, plus les branches de la parabole sont étroites (Fig. 3.46).

2. L'équation y^2=-2px (pour p>0) définit une parabole située à gauche de l'axe des ordonnées (Fig. 3.47,a). Cette équation est réduite à l'équation canonique en changeant la direction de l'axe des x (3.37). Sur la fig. 3.47,a montre le système de coordonnées donné Oxy et le canonique Ox"y".

3. Équation (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 définit une parabole de sommet O"(x_0,y_0), dont l'axe est parallèle à l'axe des abscisses (Fig. 3.47,6). Cette équation est réduite à l'équation canonique par translation parallèle (3.36).

Équation (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, définit également une parabole de sommet O"(x_0,y_0), dont l'axe est parallèle à l'axe des ordonnées (Fig. 3.47, c). Cette équation est réduite à l'équation canonique en utilisant la translation parallèle (3.36) et en renommant l'équation axes de coordonnées (3.38). Sur la Fig. La Figure 3.47, b, c montre les systèmes de coordonnées donnés Oxy et les systèmes de coordonnées canoniques Ox"y".

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 est une parabole dont le sommet est au point O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), dont l'axe est parallèle à l'axe des ordonnées, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut (pour a>0) ou vers le bas (pour a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

qui se réduit à la forme canonique (y")^2=2px" , où p=\left|\frac(1)(2a)\right|, en utilisant le remplacement y"=x+\frac(b)(2a) Et x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Le signe est choisi pour coïncider avec le signe du coefficient dominant a. Ce remplacement correspond à la composition : transfert parallèle (3.36) avec x_0=-\frac(b)(2a) Et y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), en renommant les axes de coordonnées (3.38), et dans le cas d'un<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 et un<0 соответственно.

5. L'axe des x du système de coordonnées canonique est axe de symétrie de la parabole, puisque remplacer la variable y par -y ne change pas l’équation (3.51). Autrement dit, les coordonnées du point M(x,y), appartenant à la parabole, et les coordonnées du point M"(x,-y), symétrique du point M par rapport à l'axe des x, satisfont l'équation (3.S1). Les axes du système de coordonnées canonique sont appelés. les axes principaux de la parabole.

Exemple 3.22.

Dessinez la parabole y^2=2x dans le système de coordonnées canonique Oxy. Trouvez le paramètre focal, les coordonnées focales et l'équation directrice. Solution. Nous construisons une parabole en tenant compte de sa symétrie par rapport à l'axe des abscisses (Fig. 3.49). Si nécessaire, déterminez les coordonnées de certains points de la parabole. Par exemple, en remplaçant x=2 dans l’équation de la parabole, nous obtenons y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2

. Par conséquent, les points de coordonnées (2;2),\,(2;-2) appartiennent à la parabole. En comparant l'équation donnée avec l'équation canonique (3.S1), nous déterminons le paramètre focal : p=1. Coordonnées de mise au point x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 , c'est-à-dire F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right)

. On compose l'équation de directrice x=-\frac(p)(2) , c'est-à-dire x=-\frac(1)(2) .

Propriétés générales de l'ellipse, de l'hyperbole, de la parabole 1. La propriété directrice peut être utilisée comme définition unique d'une ellipse, d'une hyperbole, d'une parabole (voir Fig. 3.50) :

le lieu des points dans le plan, pour chacun desquels le rapport de la distance à un point donné F (foyer) à la distance à une droite donnée d (directrice) ne passant pas par un point donné est constant et égal à l'excentricité e , s'appelle :<1 ;

a) si 0\leqslant e

b) si e>1 ;

c) parabole si e=1. 2. Une ellipse, une hyperbole et une parabole sont obtenues sous forme de plans dans des sections d'un cône circulaire et sont donc appelées sections coniques

. Cette propriété peut également servir de définition géométrique d’une ellipse, d’une hyperbole et d’une parabole. 3. Les propriétés communes de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole comprennent propriété bisectorielle leurs tangentes. Sous tangente à une ligne en un point K s'entend comme la position limite de la sécante KM lorsque le point M, restant sur la ligne considérée, tend vers le point K. Une droite perpendiculaire à une tangente à une droite et passant par le point de tangence est appelée normale

à cette ligne. La propriété bisectorielle des tangentes (et normales) à une ellipse, une hyperbole et une parabole est formulée comme suit : la tangente (normale) à une ellipse ou à une hyperbole forme des angles égaux avec les rayons focaux du point tangent la tangente (normale) à la parabole forme des angles égaux avec le rayon focal du point de tangence et la perpendiculaire qui en descend jusqu'à la directrice(Fig. 3.51, c). Autrement dit, la tangente à l'ellipse au point K est la bissectrice de l'angle externe du triangle F_1KF_2 (et la normale est la bissectrice de l'angle interne F_1KF_2 du triangle) ; la tangente à l'hyperbole est la bissectrice de l'angle interne du triangle F_1KF_2 (et la normale est la bissectrice de l'angle externe) ; la tangente à la parabole est la bissectrice de l'angle interne du triangle FKK_d (et la normale est la bissectrice de l'angle externe). La propriété bisectorale d'une tangente à une parabole peut être formulée de la même manière que pour une ellipse et une hyperbole, si l'on suppose que la parabole a un second foyer en un point à l'infini.

4. Des propriétés bisectorielles il découle propriétés optiques de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole, expliquant la signification physique du terme « focus ». Imaginons des surfaces formées par la rotation d'une ellipse, d'une hyperbole ou d'une parabole autour de l'axe focal. Si un revêtement réfléchissant est appliqué sur ces surfaces, des miroirs elliptiques, hyperboliques et paraboliques sont obtenus. Selon la loi de l'optique, l'angle d'incidence d'un rayon lumineux sur un miroir est égal à l'angle de réflexion, c'est-à-dire les rayons incidents et réfléchis forment des angles égaux avec la normale à la surface, et les deux rayons et l'axe de rotation sont dans le même plan. De là, nous obtenons les propriétés suivantes :

– si la source lumineuse est située à l'un des foyers d'un miroir elliptique, alors les rayons lumineux réfléchis par le miroir sont collectés à un autre foyer (Fig. 3.52, a) ;

– si la source lumineuse est située dans l'un des foyers d'un miroir hyperbolique, alors les rayons lumineux réfléchis par le miroir divergent comme s'ils provenaient d'un autre foyer (Fig. 3.52, b) ;

– si la source lumineuse est au foyer d'un miroir parabolique, alors les rayons lumineux réfléchis par le miroir vont parallèlement à l'axe focal (Fig. 3.52, c).

5. Propriété diamétrique L'ellipse, l'hyperbole et la parabole peuvent être formulées comme suit :

– les milieux des cordes parallèles d'une ellipse (hyperbole) se trouvent sur une ligne droite passant par le centre de l'ellipse (hyperbole);

– les milieux des cordes parallèles d'une parabole se trouvent sur l'axe de symétrie droit et colinéaire de la parabole.

Le lieu géométrique des milieux de toutes les cordes parallèles d'une ellipse (hyperbole, parabole) est appelé diamètre de l'ellipse (hyperbole, parabole), conjugué à ces accords.

C'est la définition du diamètre au sens étroit (voir exemple 2.8). Auparavant, une définition du diamètre était donnée dans un sens large, où le diamètre d'une ellipse, d'une hyperbole, d'une parabole et d'autres lignes du second ordre est une ligne droite contenant les milieux de toutes les cordes parallèles. Au sens étroit, le diamètre d'une ellipse est toute corde passant par son centre (Fig. 3.53, a) ; le diamètre d'une hyperbole est toute ligne droite passant par le centre de l'hyperbole (à l'exception des asymptotes), ou une partie d'une telle ligne droite (Fig. 3.53,6) ; Le diamètre d'une parabole est tout rayon émanant d'un certain point de la parabole et colinéaire à l'axe de symétrie (Fig. 3.53, c).

Deux diamètres, dont chacun coupe en deux toutes les cordes parallèles à l'autre diamètre, sont appelés conjugués. Sur la figure 3.53, les lignes grasses représentent les diamètres conjugués d'une ellipse, d'une hyperbole et d'une parabole.

La tangente à l'ellipse (hyperbole, parabole) au point K peut être définie comme la position limite des sécantes parallèles M_1M_2, lorsque les points M_1 et M_2, restant sur la droite considérée, tendent vers le point K. De cette définition il résulte qu'une tangente parallèle aux cordes passe par l'extrémité du diamètre conjugué à ces cordes.

6. L'ellipse, l'hyperbole et la parabole ont, en plus de celles indiquées ci-dessus, de nombreuses propriétés géométriques et applications physiques. Par exemple, la figure 3.50 peut servir d'illustration des trajectoires d'objets spatiaux situés à proximité du centre de gravité F.

Définition 1

Une parabole est une courbe formée par un ensemble géométrique de points situés à la même distance d'un certain point $F$, appelé foyer et ne se trouvant ni sur cette courbe ni sur la droite $d$.

C'est-à-dire que le rapport des distances d'un point arbitraire sur une parabole au foyer et du même point à la directrice est toujours égal à un, ce rapport est appelé excentricité.

Le terme « excentricité » est également utilisé pour les hyperboles et les ellipses.

Termes de base de l'équation canonique de la parabole

Le point $F$ est appelé le foyer de la parabole et la ligne $d$ est sa directrice.

L'axe de symétrie d'une parabole est une droite passant par le sommet de la parabole $O$ et son foyer $F$, de sorte qu'elle forme un angle droit avec la directrice $d$.

Le sommet d'une parabole est le point à partir duquel la distance à la directrice est minimale. Ce point divise en deux la distance entre le foyer et la directrice.

Quelle est l’équation canonique d’une parabole ?

Définition 2

L'équation canonique d'une parabole est assez simple, facile à retenir et a la forme suivante :

$y^2 = 2px$, où le nombre $p$ doit être supérieur à zéro.

Le nombre $p$ de l'équation est appelé le « paramètre focal ».

Cette équation d'une parabole, ou plutôt cette formule la plus souvent utilisée en mathématiques supérieures, est applicable dans le cas où l'axe de la parabole coïncide avec l'axe $OX$, c'est-à-dire que la parabole est située comme si elle était sur le côté.

Une parabole décrite par l'équation $x^2 = 2py$ est une parabole dont l'axe coïncide avec l'axe $OY$ ; nous sommes habitués à de telles paraboles à l'école.

Et la parabole, qui a un moins devant la deuxième partie de l'équation ($y^2 = - 2px$), pivote de 180° par rapport à la parabole canonique.

Une parabole est un cas particulier de courbe du 2ème ordre ; par conséquent, en général, l'équation d'une parabole est exactement la même que pour toutes ces courbes et convient à tous les cas, et pas seulement lorsque la parabole est parallèle à $OX$. .

Dans ce cas, le discriminant calculé par la formule $B^2 – 4AC$ est égal à zéro, et l'équation elle-même ressemble à ceci : $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\ cdot y + F = 0$

Dérivation en traçant graphiquement l'équation canonique d'une parabole

Figure 1. Graphique et dérivation de l'équation canonique de la parabole

A partir de la définition donnée ci-dessus dans cet article, nous composerons une équation pour une parabole dont le sommet est situé à l'intersection des axes de coordonnées.

A l'aide du graphe existant, on en détermine les points $x$ et $y$ $F$ à partir de la définition d'une courbe parabolique donnée ci-dessus, $x = \frac(p)(2)$ et $y = 0$.

Tout d'abord, créons une équation pour la droite $d$ et notons-la : $x = - \frac(p)(2)$.

Pour un point arbitraire M situé sur notre courbe, selon la définition, la relation suivante est valable :

$FM$ = $MM_d$ (1), où $M_d$ est le point d'intersection de la perpendiculaire tirée du point $M$ avec la directrice $d$.

X et Y pour ce point sont égaux respectivement à $\frac(p)(2)$ $y$.

Écrivons l'équation (1) sous forme de coordonnées :

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

Maintenant, pour vous débarrasser de la racine, vous devez mettre au carré les deux côtés de l’équation :

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

Après simplification, on obtient l'équation canonique de la parabole : $y^2 = px$.

Parabole décrite par une fonction quadratique

L'équation qui décrit une parabole dont le sommet est situé n'importe où sur le graphique et ne coïncide pas nécessairement avec l'intersection des axes de coordonnées ressemble à ceci :

$y = hache^2 + bx + c$.

Pour calculer $x$ et $y$ pour le sommet d'une telle parabole, vous devez utiliser les formules suivantes :

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, où $D = b^2 – 4ac$.

Exemple 1

Un exemple de composition d'une équation de parabole classique

Tâche. Connaissant l'emplacement du point focal, créez l'équation canonique de la parabole. Les coordonnées du point focal $F$ sont $(4; 0)$.

Puisque l'on considère une parabole dont le graphique est donné par l'équation canonique, son sommet $O$ est situé à l'intersection des axes x et y, donc la distance du foyer au sommet est égale à $\frac (1)(2)$ du paramètre focal $\frac(p )(2) = $4. Par des calculs simples, nous constatons que le paramètre focal lui-même est $p = 8$.

Après avoir remplacé la valeur de $p$ dans la forme canonique de l'équation, notre équation devient $y^2 = 16x$.

Comment écrire une équation de parabole en utilisant un graphique existant

Exemple 2

Figure 2. Équation canonique pour une parabole, graphique et exemple de solution

Tout d'abord, nous devons sélectionner le point $M$, qui appartient au graphique de notre fonction, et, en omettant les perpendiculaires sur les axes $OX$ et $OY$, noter ses x et y, dans notre cas, le point $M$ vaut $(2;2) $.

Il faut maintenant substituer les $x$ et $y$ obtenus pour ce point dans l'équation canonique de la parabole $y^2 = px$, nous obtenons :

$2^2 = 2 \cdot 2p$

En réduisant, nous obtenons l'équation parabolique suivante $y^2 = 2 \cdot x$.

Une parabole est un ensemble de points dans un plan équidistants d'un point donné(se concentrer)et à partir d'une ligne donnée ne passant pas par un point donné (directrices), situé dans le même plan(Fig.5).

Dans ce cas, le système de coordonnées est choisi pour que l'axe
passe perpendiculairement à la directrice par le foyer, sa direction positive est choisie de la directrice vers le foyer. L'axe des ordonnées est parallèle à la directrice, au milieu entre la directrice et le foyer, d'où l'équation de la directrice
, coordonnées de mise au point
. L'origine est le sommet de la parabole et l'axe des x est son axe de symétrie. Excentricité de la parabole
.

Dans un certain nombre de cas, les paraboles définies par les équations sont considérées

UN)

b)
(dans tous les cas
)

V)
.

Dans le cas a) la parabole est symétrique par rapport à l'axe
et est dirigé dans sa direction négative (Fig. 6).

Dans les cas b) et c) l'axe de symétrie est l'axe
(Fig.6). Coordonnées de mise au point pour ces cas :

UN)
b)
V)
.

Équation directrice :

UN)
b)
V)
.

Exemple 4. Une parabole ayant un sommet à l'origine passe par un point
et symétrique par rapport à l'axe
. Écrivez son équation.

Solution:

Puisque la parabole est symétrique par rapport à l'axe
et passe par le point avec une abscisse positive, alors il a la forme représentée sur la Fig. 5.

Remplacement des coordonnées de points dans l'équation d'une telle parabole
, nous obtenons
, c'est-à-dire
.

Par conséquent, l’équation requise

,

le foyer de cette parabole
, équation directrice
.

4. Transformation de l'équation de droite du second ordre en forme canonique.

L'équation générale du deuxième degré a la forme

où sont les coefficients
n'allez pas à zéro en même temps.

Toute droite définie par l’équation (6) est appelée droite du second ordre. En utilisant une transformation du système de coordonnées, l'équation d'une droite du second ordre peut être réduite à sa forme la plus simple (canonique).

1. Dans l'équation (6)
. Dans ce cas, l'équation (6) a la forme

Il est converti dans sa forme la plus simple en utilisant une translation parallèle des axes de coordonnées selon les formules

(8)

Où
– coordonnées du nouveau départ
(dans l'ancien système de coordonnées). Nouveaux essieux
Et
parallèle aux anciens. Point
est le centre d'une ellipse ou d'une hyperbole et le sommet dans le cas d'une parabole.

Il est pratique de réduire l’équation (7) à sa forme la plus simple en utilisant la méthode d’isolement de carrés complets, similaire à celle utilisée pour un cercle.

Exemple 5. Réduisez l’équation de la droite du second ordre à sa forme la plus simple. Déterminez le type et l’emplacement de cette ligne. Trouvez les coordonnées des foyers. Faites un dessin.

Solution:

Nous regroupons les membres contenant uniquement et seulement , en retirant les coefficients pour Et derrière le support :

On complète les expressions entre parenthèses pour compléter les carrés :

Ainsi, cette équation se transforme sous la forme

Nous désignons

ou

En comparant avec les équations (8), nous voyons que ces formules déterminent le transfert parallèle des axes de coordonnées jusqu'au point
. Dans le nouveau système de coordonnées, l'équation s'écrira comme suit :

En déplaçant le terme libre vers la droite et en divisant par celui-ci, on obtient :

.

Donc, cette droite du second ordre est une ellipse à demi-axes
,
. Le centre de l'ellipse est à la nouvelle origine
, et son axe focal est l'axe
. Distance des foyers par rapport au centre, donc nouvelles coordonnées du foyer droit
. Les anciennes coordonnées d'un même foyer sont trouvées à partir des formules de translation parallèle :

De même, les nouvelles coordonnées du focus gauche
,
. Ses anciennes coordonnées :
,
.

Ayant ainsi obtenu les sommets de l'ellipse, nous dessinons l'ellipse elle-même (Fig. 7). Commentaire
. Pour clarifier le dessin, il est utile de retrouver les points d'intersection de cette ligne (7) avec les anciens axes de coordonnées. Pour ce faire, il faut d'abord mettre dans la formule (7)
et puis

et résolvez les équations résultantes.

L'apparition de racines complexes signifiera que la ligne (7) ne coupe pas l'axe de coordonnées correspondant.

Par exemple, pour l’ellipse du problème qui vient d’être discuté, les équations suivantes sont obtenues :
ne traverse pas. Les racines de la première équation sont :

Aux points
Et
l'ellipse coupe l'axe
(Fig.7).

Exemple 6. Réduisez l’équation d’une droite du second ordre à sa forme la plus simple. Déterminez le type et l'emplacement de la ligne, trouvez les coordonnées focales.

Solution:

Puisque le membre avec est manquant, alors vous devez sélectionner un carré complet uniquement en :

On retire également le coefficient à

.

Nous désignons

ou

Il en résulte un transfert parallèle du système de coordonnées vers le point
. Après traduction, l'équation prendra la forme

.

égal pour elle.

.

Le focus a donc de nouvelles coordonnées

Ses anciennes coordonnées
Si on met dans cette équation
ou
, alors on constate que la parabole coupe l'axe
au point
, et l'axe

2. elle ne traverse pas.
Dans l'équation (1)
. L'équation générale (1) du deuxième degré est transformée en (2), c'est-à-dire à celui évoqué au paragraphe 1. cas, en faisant pivoter les axes de coordonnées d'un angle

(9)

Où
selon des formules
– de nouvelles coordonnées. Coin

se trouve à partir de l’équation
Et
Les axes de coordonnées pivotent de sorte que les nouveaux axes

étaient parallèles aux axes de symétrie de la ligne du second ordre.
Connaissance
Et
, peut être trouvé

,
.

utiliser des formules trigonométriques
Si l'angle de rotation
accepter d'être considéré comme aigu, alors dans ces formules il faut prendre le signe plus, et pour

nous devons également prendre une solution positive à l'équation (5).
En particulier, lorsque
le système de coordonnées doit être pivoté d'un angle

(11)

. Les formules de rotation pour les charbons ressemblent à : Exemple 7.

Solution:

Réduisez l’équation de la droite du second ordre à sa forme la plus simple. Définissez le type et l'emplacement de cette ligne.
, 1
,
Dans ce cas
– de nouvelles coordonnées. Coin

.

, donc l'angle de rotation
Et
Solution à cette équation
. Limité à un angle aigu

,

,
.

, prenons le premier d'entre eux. Alors Et Remplacer ces valeurs

dans cette équation

.

En ouvrant les parenthèses et en apportant des parenthèses similaires, on obtient

.

Enfin, en divisant par le terme muet, on arrive à l'équation de l'ellipse
,
Il s'ensuit que
, et le grand axe de l'ellipse est dirigé le long de l'axe
.

, et le petit – le long de l’axe
Vous marquez un point
, dont le rayon
incliné par rapport à l'axe
sous un angle
, pour lequel
. Ainsi, à travers ce point
Et
et un nouvel axe x passera. Ensuite on marque sur les axes

les sommets de l'ellipse et dessinez une ellipse (Fig. 9).
Si on met dans cette équation
):

Notez que cette ellipse coupe les anciens axes de coordonnées en des points trouvés à partir des équations quadratiques (si nous mettons dans cette équation
.

Et

Tout d’abord, décrivons les concepts de base que l’algèbre et la géométrie donnent à ce terme. Considérons tous les types possibles de ce graphique.

Découvrons toutes les principales caractéristiques de cette fonction. Comprenons les bases de la construction de courbes (géométrie). Apprenons comment trouver les valeurs maximales et autres valeurs de base d'un graphique de ce type.

Découvrons comment construire correctement la courbe souhaitée à l'aide de l'équation, à quoi vous devez faire attention. Examinons la principale application pratique de cette valeur unique dans la vie humaine.

Qu'est-ce qu'une parabole et à quoi ressemble-t-elle ?

Algèbre : Ce terme fait référence au graphique d'une fonction quadratique.

Géométrie : il s'agit d'une courbe du second ordre qui présente un certain nombre de particularités :

Équation canonique de la parabole

La figure montre un système de coordonnées rectangulaires (XOY), un extremum, la direction des branches de la fonction tracée le long de l'axe des abscisses.

L'équation canonique est :

oui 2 = 2 * p * x,

où le coefficient p est le paramètre focal de la parabole (AF).

En algèbre cela s’écrira différemment :

y = a x 2 + b x + c (motif reconnaissable : y = x 2).

Propriétés et graphique d'une fonction quadratique

La fonction a un axe de symétrie et un centre (extremum). Le domaine de définition est constitué de toutes les valeurs de l'axe des abscisses.

La plage de valeurs de la fonction – (-∞, M) ou (M, +∞) dépend du sens des branches de la courbe. Le paramètre M signifie ici la valeur de la fonction en haut de la ligne.

Comment déterminer où sont dirigées les branches d'une parabole

Pour trouver la direction d'une courbe de ce type à partir d'une expression, il faut déterminer le signe devant le premier paramètre de l'expression algébrique. Si un ˃ 0, alors ils sont dirigés vers le haut. Si c'est l'inverse, vers le bas.

Comment trouver le sommet d'une parabole à l'aide de la formule

Trouver l'extremum est l'étape principale pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. Bien sûr, vous pouvez ouvrir des calculatrices en ligne spéciales, mais il est préférable de pouvoir le faire vous-même.

Comment le déterminer ? Il existe une formule spéciale. Lorsque b n’est pas égal à 0, il faut chercher les coordonnées de ce point.

Formules pour trouver le sommet :

• x 0 = -b / (2 * une);
• oui 0 = oui (x 0).

Exemple.

Il existe une fonction y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Trouvons les sommets de cette fonction.

Pour une ligne comme celle-ci :

• x = -16 / (2 * 4) = -2 ;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

On obtient les coordonnées du sommet (-2, -41).

Déplacement de la parabole

Le cas classique est celui où dans une fonction quadratique y = a x 2 + b x + c, les deuxième et troisième paramètres sont égaux à 0, et = 1 - le sommet est au point (0 ; 0).

Le mouvement le long des axes des abscisses ou des ordonnées est provoqué par des changements dans les paramètres b et c, respectivement. La ligne sur le plan sera décalée exactement du nombre d'unités égal à la valeur du paramètre.

Exemple.

On a : b = 2, c = 3.

Cela signifie que la forme classique de la courbe se décalera de 2 segments unitaires le long de l'axe des abscisses et de 3 le long de l'axe des ordonnées.

Comment construire une parabole à l'aide d'une équation quadratique

Il est important que les écoliers apprennent à dessiner correctement une parabole selon des paramètres donnés.

En analysant les expressions et les équations, vous pouvez voir ce qui suit :

1. Le point d'intersection de la ligne souhaitée avec le vecteur ordonnée aura une valeur égale à c.
2. Tous les points du graphique (le long de l'axe des x) seront symétriques par rapport à l'extremum principal de la fonction.

De plus, les points d'intersection avec OX peuvent être trouvés en connaissant le discriminant (D) d'une telle fonction :

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pour ce faire, vous devez assimiler l'expression à zéro.

La présence de racines d'une parabole dépend du résultat :

• D ˃ 0, alors x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a) ;
• D = 0, alors x 1, 2 = -b / (2 * a) ;
• D ˂ 0, alors il n’y a pas de points d’intersection avec le vecteur OX.

On obtient l'algorithme de construction d'une parabole :

• déterminer la direction des branches ;
• trouver les coordonnées du sommet ;
• trouver l'intersection avec l'axe des ordonnées ;
• trouver l'intersection avec l'axe des x.

Exemple 1.

Étant donné la fonction y = x 2 - 5 * x + 4. Il faut construire une parabole. Nous suivons l'algorithme :

1. a = 1, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
2. coordonnées extremum : x = - (-5) / 2 = 5/2 ; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4 ;
3. coupe l'axe des ordonnées à la valeur y = 4 ;
4. trouvons le discriminant : D = 25 - 16 = 9 ;
5. à la recherche de racines :

• X1 = (5 + 3) / 2 = 4 ; (4, 0);
• X2 = (5 - 3) / 2 = 1 ; (1, 0).

Exemple 2.

Pour la fonction y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 vous devez construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme donné :

1. a = 3, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
2. coordonnées extremum : x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3 ; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3 ;
3. croisera l'axe y à la valeur y = -1 ;
4. trouvons le discriminant : D = 4 + 12 = 16. Donc les racines sont :

• X1 = (2 + 4) / 6 = 1 ; (1;0);
• X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3 ; (-1/3 ; 0).

En utilisant les points obtenus, vous pouvez construire une parabole.

Directrice, excentricité, foyer d'une parabole

D'après l'équation canonique, le foyer de F a des coordonnées (p/2, 0).

La droite AB est une directrice (sorte de corde d'une parabole d'une certaine longueur). Son équation est x = -p/2.

Excentricité (constante) = 1.

Conclusion

Nous avons examiné un sujet que les élèves étudient au lycée. Vous savez maintenant, en regardant la fonction quadratique d'une parabole, comment trouver son sommet, dans quelle direction les branches seront dirigées, s'il y a un déplacement le long des axes et, disposant d'un algorithme de construction, vous pouvez dessiner son graphique.