Rapport de logarithmes de même base. Propriétés de base des logarithmes

L'un des éléments de l'algèbre de niveau primitive est le logarithme. Le nom vient de la langue grecque du mot « nombre » ou « puissance » et désigne la puissance à laquelle le nombre dans la base doit être élevé pour trouver le nombre final.

Types de logarithmes

log a b – logarithme du nombre b en base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ;
log b – logarithme décimal (logarithme en base 10, a = 10) ;
ln b – logarithme népérien (logarithme en base e, a = e).

Comment résoudre des logarithmes ?

Le logarithme de b en base a est un exposant qui nécessite que b soit élevé en base a. Le résultat obtenu se prononce ainsi : « logarithme de b en base a ». La solution aux problèmes logarithmiques est que vous devez déterminer la puissance donnée en nombres à partir des nombres spécifiés. Il existe quelques règles de base pour déterminer ou résoudre le logarithme, ainsi que pour convertir la notation elle-même. En les utilisant, des équations logarithmiques sont résolues, des dérivées sont trouvées, des intégrales sont résolues et de nombreuses autres opérations sont effectuées. Fondamentalement, la solution au logarithme lui-même est sa notation simplifiée. Vous trouverez ci-dessous les formules et propriétés de base :

Pour tout un ; une > 0 ; a ≠ 1 et pour tout x ; y > 0.

a log a b = b – identité logarithmique de base
log a 1 = 0
log a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , pour k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – formule pour passer à une nouvelle base
log a x = 1/log x a

Comment résoudre des logarithmes – instructions étape par étape pour la résolution

Tout d’abord, notez l’équation requise.

Attention : si le logarithme de base est 10, alors l'entrée est raccourcie, ce qui donne un logarithme décimal. S'il existe un nombre naturel e, alors nous l'écrivons en le réduisant à un logarithme naturel. Cela signifie que le résultat de tous les logarithmes est la puissance à laquelle le nombre de base est élevé pour obtenir le nombre b.

Directement, la solution réside dans le calcul de ce degré. Avant de résoudre une expression avec un logarithme, il faut la simplifier selon la règle, c'est-à-dire à l'aide de formules. Vous pourrez retrouver les principales identités en remontant un peu dans l’article.

Lorsque vous additionnez et soustrayez des logarithmes avec deux nombres différents mais avec les mêmes bases, remplacez-les par un logarithme avec le produit ou la division des nombres b et c, respectivement. Dans ce cas, vous pouvez appliquer la formule de déplacement vers une autre base (voir ci-dessus).

Si vous utilisez des expressions pour simplifier un logarithme, vous devez prendre en compte certaines limitations. Et c'est : la base du logarithme a n'est qu'un nombre positif, mais pas égal à un. Le nombre b, comme a, doit être supérieur à zéro.

Il existe des cas où, en simplifiant une expression, vous ne pourrez pas calculer numériquement le logarithme. Il arrive qu’une telle expression n’ait aucun sens, car de nombreuses puissances sont des nombres irrationnels. Dans cette condition, laissez la puissance du nombre sous forme de logarithme.

Nous continuons à étudier les logarithmes. Dans cet article, nous parlerons de calculer des logarithmes, ce processus est appelé logarithme. Nous comprendrons d’abord le calcul des logarithmes par définition. Voyons ensuite comment les valeurs des logarithmes sont trouvées à l'aide de leurs propriétés. Après cela, nous nous concentrerons sur le calcul des logarithmes à travers les valeurs initialement spécifiées d'autres logarithmes. Enfin, apprenons à utiliser les tables de logarithmes. La théorie entière est fournie avec des exemples avec des solutions détaillées.

Navigation dans les pages.

Calculer des logarithmes par définition

Dans les cas les plus simples, il est possible d'effectuer assez rapidement et facilement trouver le logarithme par définition. Examinons de plus près comment ce processus se déroule.

Son essence est de représenter le nombre b sous la forme a c, à partir duquel, par définition d'un logarithme, le nombre c est la valeur du logarithme. Autrement dit, par définition, la chaîne d'égalités suivante correspond à la recherche du logarithme : log a b=log a a c =c.

Ainsi, calculer un logarithme revient par définition à trouver un nombre c tel que a c = b, et le nombre c lui-même est la valeur souhaitée du logarithme.

Compte tenu des informations contenues dans les paragraphes précédents, lorsque le nombre sous le signe du logarithme est donné par une certaine puissance de la base du logarithme, vous pouvez immédiatement indiquer à quoi est égal le logarithme - il est égal à l'exposant. Montrons des solutions à l'aide d'exemples.

Exemple.

Trouvez log 2 2 −3 et calculez également le logarithme népérien du nombre e 5,3.

Solution.

La définition du logarithme permet de dire immédiatement que log 2 2 −3 =−3. En effet, le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base 2 à la puissance −3.

De même, on retrouve le deuxième logarithme : lne 5,3 =5,3.

Répondre:

log 2 2 −3 =−3 et lne 5,3 =5,3.

Si le nombre b sous le signe du logarithme n'est pas spécifié comme puissance de la base du logarithme, vous devez alors examiner attentivement s'il est possible de proposer une représentation du nombre b sous la forme a c . Souvent cette représentation est assez évidente, surtout lorsque le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base à la puissance 1, ou 2, ou 3,...

Exemple.

Calculez les logarithmes log 5 25 , et .

Solution.

Il est facile de voir que 25=5 2, cela permet de calculer le premier logarithme : log 5 25=log 5 5 2 =2.

Passons au calcul du deuxième logarithme. Le nombre peut être représenté par une puissance de 7 : (à voir si nécessaire). Ainsi, .

Réécrivons le troisième logarithme sous la forme suivante. Maintenant tu peux voir ça , d'où nous concluons que . Par conséquent, par la définition du logarithme .

Brièvement, la solution pourrait s'écrire comme suit : .

Répondre:

journal 5 25=2 , Et .

Lorsqu'il existe un nombre naturel suffisamment grand sous le signe du logarithme, cela ne fait pas de mal de le prendre en compte en facteurs premiers. Il est souvent utile de représenter un nombre tel qu'une certaine puissance de la base du logarithme, et donc de calculer ce logarithme par définition.

Exemple.

Trouvez la valeur du logarithme.

Solution.

Certaines propriétés des logarithmes permettent de spécifier immédiatement la valeur des logarithmes. Ces propriétés incluent la propriété du logarithme de un et la propriété du logarithme d'un nombre égal à la base : log 1 1=log a a 0 =0 et log a a=log a a 1 =1. Autrement dit, lorsque sous le signe du logarithme se trouve un nombre 1 ou un nombre a égal à la base du logarithme, alors dans ces cas, les logarithmes sont respectivement égaux à 0 et 1.

Exemple.

À quoi sont égaux les logarithmes et log10 ?

Solution.

Puisque , alors de la définition du logarithme il résulte .

Dans le deuxième exemple, le nombre 10 sous le signe du logarithme coïncide avec sa base, donc le logarithme décimal de dix est égal à un, c'est-à-dire lg10=lg10 1 =1.

Répondre:

ET lg10=1 .

Notez que le calcul des logarithmes par définition (dont nous avons parlé dans le paragraphe précédent) implique l'utilisation de l'égalité log a a p =p, qui est l'une des propriétés des logarithmes.

En pratique, lorsqu'un nombre sous le signe du logarithme et la base du logarithme sont facilement représentés comme une puissance d'un certain nombre, il est très pratique d'utiliser la formule , qui correspond à l'une des propriétés des logarithmes. Regardons un exemple de recherche d'un logarithme qui illustre l'utilisation de cette formule.

Exemple.

Calculez le logarithme.

Solution.

Répondre:

Les propriétés des logarithmes non mentionnées ci-dessus sont également utilisées dans les calculs, mais nous en parlerons dans les paragraphes suivants.

Trouver des logarithmes à l'aide d'autres logarithmes connus

Les informations contenues dans ce paragraphe poursuivent le sujet de l'utilisation des propriétés des logarithmes lors de leur calcul. Mais ici, la principale différence est que les propriétés des logarithmes sont utilisées pour exprimer le logarithme original en fonction d'un autre logarithme dont la valeur est connue. Donnons un exemple pour clarifier. Disons que nous savons que log 2 3≈1,584963, alors nous pouvons trouver, par exemple, log 2 6 en effectuant une petite transformation en utilisant les propriétés du logarithme : log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dans l’exemple ci-dessus, il nous suffisait d’utiliser la propriété du logarithme d’un produit. Cependant, il est beaucoup plus souvent nécessaire d'utiliser un arsenal plus large de propriétés de logarithmes afin de calculer le logarithme d'origine à travers ceux donnés.

Exemple.

Calculez le logarithme de 27 en base 60 si vous savez que log 60 2=a et log 60 5=b.

Solution.

Nous devons donc trouver le journal 60 27 . Il est facile de voir que 27 = 3 3, et le logarithme original, en raison de la propriété du logarithme de la puissance, peut être réécrit sous la forme 3·log 60 3.

Voyons maintenant comment exprimer log 60 3 en termes de logarithmes connus. La propriété du logarithme d'un nombre égal à la base permet d'écrire le log d'égalité 60 60=1. Par contre, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ainsi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ainsi, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Enfin, nous calculons le logarithme original : log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Répondre:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Séparément, il convient de mentionner la signification de la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme de la forme . Il permet de passer de logarithmes à base quelconque à des logarithmes à base spécifique dont les valeurs sont connues ou il est possible de les retrouver. Habituellement, à partir du logarithme original, en utilisant la formule de transition, ils passent aux logarithmes dans l'une des bases 2, e ou 10, car pour ces bases il existe des tableaux de logarithmes qui permettent de calculer leurs valeurs avec un certain degré de précision. Dans le paragraphe suivant, nous montrerons comment cela se fait.

Tables de logarithme et leurs utilisations

Pour calculer approximativement les valeurs des logarithmes, on peut utiliser tables de logarithme. La table de logarithme de base 2, la table de logarithme népérien et la table de logarithme décimal les plus couramment utilisées. Lorsque vous travaillez dans le système de nombres décimaux, il est pratique d'utiliser un tableau de logarithmes basé sur la base dix. Avec son aide, nous apprendrons à trouver les valeurs des logarithmes.

Le tableau présenté permet de retrouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres de 1 000 à 9 999 (avec trois décimales) avec une précision d'un dix millième. Nous analyserons le principe de trouver la valeur d'un logarithme à l'aide d'un tableau de logarithmes décimaux à l'aide d'un exemple précis - c'est plus clair ainsi. Trouvons log1.256.

Dans la colonne de gauche du tableau des logarithmes décimaux on retrouve les deux premiers chiffres du nombre 1,256, c'est-à-dire qu'on trouve 1,2 (ce nombre est entouré en bleu pour plus de clarté). Le troisième chiffre du nombre 1.256 (chiffre 5) se trouve dans la première ou la dernière ligne à gauche de la double ligne (ce nombre est entouré de rouge). Le quatrième chiffre du nombre initial 1.256 (chiffre 6) se trouve dans la première ou la dernière ligne à droite de la double ligne (ce nombre est entouré d'un trait vert). Nous trouvons maintenant les nombres dans les cellules du tableau logarithmique à l'intersection de la ligne marquée et des colonnes marquées (ces nombres sont surlignés en orange). La somme des nombres marqués donne la valeur souhaitée du logarithme décimal précis à la quatrième décimale, c'est-à-dire log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Est-il possible, à l'aide du tableau ci-dessus, de trouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres qui ont plus de trois chiffres après la virgule décimale, ainsi que ceux qui dépassent la plage de 1 à 9,999 ? Oui, vous pouvez. Montrons comment cela se fait avec un exemple.

Calculons lg102.76332. Vous devez d'abord écrire numéro sous forme standard: 102,76332=1,0276332·10 2. Après cela, la mantisse doit être arrondie à la troisième décimale, nous avons 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, tandis que le logarithme décimal d'origine est approximativement égal au logarithme du nombre résultant, c'est-à-dire que nous prenons log102,76332≈lg1,028·10 2. Nous appliquons maintenant les propriétés du logarithme : lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Enfin, on retrouve la valeur du logarithme lg1.028 à partir du tableau des logarithmes décimaux lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. En conséquence, l'ensemble du processus de calcul du logarithme ressemble à ceci : log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

En conclusion, il convient de noter qu'en utilisant un tableau de logarithmes décimaux, vous pouvez calculer la valeur approximative de n'importe quel logarithme. Pour ce faire, il suffit d'utiliser la formule de transition pour accéder aux logarithmes décimaux, retrouver leurs valeurs dans le tableau et effectuer les calculs restants.

Par exemple, calculons log 2 3 . D'après la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme, nous avons . À partir du tableau des logarithmes décimaux, nous trouvons log3≈0,4771 et log2≈0,3010. Ainsi, .

Références.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Comme vous le savez, lors de la multiplication d'expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (ab *a c = a b+c). Cette loi mathématique a été dérivée par Archimède et plus tard, au VIIIe siècle, le mathématicien Virasen a créé un tableau d'exposants entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où il est nécessaire de simplifier une multiplication fastidieuse par une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Dans un langage simple et accessible.

Définition en mathématiques

Un logarithme est une expression de la forme suivante : log a b=c, c'est-à-dire le logarithme de tout nombre non négatif (c'est-à-dire tout positif) « b » à sa base « a » est considéré comme la puissance « c » à laquelle la base « a » doit être élevée pour obtenir finalement la valeur « b ». Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log 2 8. Comment trouver la réponse ? C’est très simple, il faut trouver une puissance telle que de 2 à la puissance recherchée on obtienne 8. Après avoir fait quelques calculs dans sa tête, on obtient le chiffre 3 ! Et c’est vrai, car 2 à la puissance 3 donne la réponse 8.

Types de logarithmes

Pour de nombreux élèves et étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en fait les logarithmes ne sont pas si effrayants, l'essentiel est de comprendre leur signification générale et de mémoriser leurs propriétés et certaines règles. Il existe trois types distincts d'expressions logarithmiques :

Logarithme népérien ln a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
Décimal a, où la base est 10.
Logarithme de n'importe quel nombre b en base a>1.

Chacun d'eux est résolu de manière standard, y compris la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un seul logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, vous devez vous rappeler leurs propriétés et la séquence d'actions lors de leur résolution.

Règles et quelques restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles-contraintes qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas sujettes à discussion et sont la vérité. Par exemple, il est impossible de diviser des nombres par zéro, et il est également impossible d’extraire la racine paire de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, à la suite desquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses :

La base « a » doit toujours être supérieure à zéro et non égale à 1, sinon l'expression perdra son sens, car « 1 » et « 0 » à quelque degré que ce soit sont toujours égaux à leurs valeurs ;
si a > 0, alors a b >0, il s'avère que « c » doit également être supérieur à zéro.

Comment résoudre des logarithmes ?

Par exemple, la tâche est de trouver la réponse à l'équation 10 x = 100. C'est très simple, vous devez choisir une puissance en élevant le nombre dix auquel nous obtenons 100. Ceci, bien sûr, est 10 2 = 100.

Représentons maintenant cette expression sous forme logarithmique. On obtient log 10 100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement pour trouver la puissance à laquelle il faut entrer dans la base du logarithme pour obtenir un nombre donné.

Pour déterminer avec précision la valeur d'un diplôme inconnu, vous devez apprendre à travailler avec un tableau des diplômes. Cela ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant, pour des valeurs plus importantes, vous aurez besoin d’une table de puissance. Il peut être utilisé même par ceux qui ne connaissent rien aux sujets mathématiques complexes. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection, les cellules contiennent les valeurs numériques qui sont la réponse (a c =b). Prenons par exemple la toute première cellule avec le chiffre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus véritable humaniste comprendra !

Équations et inégalités

Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute expression numérique mathématique peut être écrite sous la forme d’une égalité logarithmique. Par exemple, 3 4 = 81 peut être écrit comme le logarithme en base 3 de 81 égal à quatre (log 3 81 = 4). Pour les puissances négatives les règles sont les mêmes : 2 -5 = 1/32 on l'écrit sous forme de logarithme, on obtient log 2 (1/32) = -5. L’une des sections les plus fascinantes des mathématiques est celle des « logarithmes ». Nous examinerons des exemples et des solutions d'équations ci-dessous, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.

L'expression suivante est donnée : log 2 (x-1) > 3 - c'est une inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue « x » est sous le signe logarithmique. Et aussi dans l'expression deux quantités sont comparées : le logarithme du nombre souhaité en base deux est supérieur au nombre trois.

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec des logarithmes (par exemple, le logarithme 2 x = √9) impliquent une ou plusieurs valeurs numériques spécifiques dans la réponse, tandis que lors de la résolution d'une inégalité, la plage des valeurs acceptables les valeurs et les points sont déterminés en brisant cette fonction. En conséquence, la réponse n’est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse à une équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.

Théorèmes de base sur les logarithmes

Lors de la résolution de tâches primitives consistant à trouver les valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de bien comprendre et d'appliquer dans la pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous examinerons des exemples d'équations plus tard ; examinons d'abord chaque propriété plus en détail.

L'identité principale ressemble à ceci : a logaB =B. Cela s'applique uniquement lorsque a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
Le logarithme du produit peut être représenté par la formule suivante : log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dans ce cas, la condition obligatoire est : d, s 1 et s 2 > 0 ; une≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule logarithmique, avec des exemples et une solution. Soit log a s 1 = f 1 et log a s 2 = f 2, puis a f1 = s 1, a f2 = s 2. On obtient que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriétés de degrés ), puis par définition : log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ce qui devait être prouvé.
Le logarithme du quotient ressemble à ceci : log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante : log a q b n = n/q log a b.

Cette formule est appelée « propriété du degré du logarithme ». Cela ressemble aux propriétés des diplômes ordinaires, et ce n’est pas surprenant, car toutes les mathématiques sont basées sur des postulats naturels. Regardons la preuve.

Soit log a b = t, il s'avère que a t = b. Si on élève les deux parties à la puissance m : a tn = b n ;

mais puisque a tn = (a q) nt/q = b n, donc log a q b n = (n*t)/t, alors log a q b n = n/q log a b. Le théorème a été prouvé.

Exemples de problèmes et d’inégalités

Les types de problèmes les plus courants sur les logarithmes sont des exemples d’équations et d’inégalités. On les trouve dans presque tous les livres de problèmes et constituent également une partie obligatoire des examens de mathématiques. Pour entrer dans une université ou réussir les examens d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement ces tâches.

Malheureusement, il n'existe pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, mais certaines règles peuvent être appliquées à chaque inégalité mathématique ou équation logarithmique. Tout d’abord, vous devez savoir si l’expression peut être simplifiée ou réduite à une forme générale. Vous pouvez simplifier les expressions logarithmiques longues si vous utilisez correctement leurs propriétés. Faisons rapidement connaissance avec eux.

Lors de la résolution d'équations logarithmiques, nous devons déterminer de quel type de logarithme nous disposons : un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou décimal.

Voici les exemples ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait qu’ils doivent déterminer la puissance à laquelle la base 10 sera respectivement égale à 100 et 1026. Pour résoudre des logarithmes naturels, vous devez appliquer des identités logarithmiques ou leurs propriétés. Examinons des exemples de résolution de problèmes logarithmiques de différents types.

Comment utiliser les formules logarithmiques : avec des exemples et des solutions

Voyons donc des exemples d'utilisation des théorèmes de base sur les logarithmes.

La propriété du logarithme d'un produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de décomposer une grande valeur du nombre b en facteurs plus simples. Par exemple, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La réponse est 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - comme vous pouvez le voir, en utilisant la quatrième propriété de la puissance du logarithme, nous avons réussi à résoudre une expression apparemment complexe et insoluble. Il vous suffit de factoriser la base puis de retirer les valeurs des exposants du signe du logarithme.

Devoirs de l'examen d'État unifié

Les logarithmes se retrouvent souvent dans les examens d'entrée, en particulier de nombreux problèmes logarithmiques lors de l'examen d'État unifié (examen d'État pour tous les diplômés de l'école). En règle générale, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la partie test la plus simple de l'examen), mais également dans la partie C (les tâches les plus complexes et les plus volumineuses). L'examen nécessite une connaissance précise et parfaite du thème « Logarithmes naturels ».

Des exemples et des solutions aux problèmes sont tirés des versions officielles de l'examen d'État unifié. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Étant donné log 2 (2x-1) = 4. Solution :
réécrivons l'expression en la simplifiant un peu log 2 (2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme on obtient que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17 ; x = 8,5.

Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
Toutes les expressions sous le signe du logarithme sont indiquées comme positives, par conséquent, lorsque l'exposant d'une expression qui est sous le signe du logarithme et comme sa base est retiré comme multiplicateur, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.

propriétés principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

motifs identiques

Log6 4 + log6 9.

Maintenant, compliquons un peu la tâche.

Exemples de résolution de logarithmes

Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respectée : a > 0, a ≠ 1, x >

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Transition vers une nouvelle fondation

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Voir aussi :

Propriétés de base du logarithme

1.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï.

Propriétés de base des logarithmes

Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

4. Où .

Exemple 2. Trouver x si

Exemple 3. Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est-à-dire Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur.

Formules de logarithme. Exemples de solutions de logarithmes.

Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Voir aussi :

Le logarithme de b en base a désigne l'expression. Calculer le logarithme signifie trouver une puissance x () à laquelle l'égalité est satisfaite

Propriétés de base du logarithme

Il est nécessaire de connaître les propriétés ci-dessus, car presque tous les problèmes et exemples liés aux logarithmes sont résolus sur cette base. Le reste des propriétés exotiques peut être dérivé par des manipulations mathématiques avec ces formules

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Lorsque vous calculez la formule de la somme et de la différence des logarithmes (3.4), vous la rencontrez assez souvent. Le reste est quelque peu complexe, mais dans un certain nombre de tâches, ils sont indispensables pour simplifier des expressions complexes et calculer leurs valeurs.

Cas courants de logarithmes

Certains des logarithmes les plus courants sont ceux dont la base est égale à dix, exponentielle ou deux.
Le logarithme en base dix est généralement appelé logarithme décimal et est simplement noté lg(x).

Il ressort clairement de l’enregistrement que les bases ne sont pas écrites dans l’enregistrement. Par exemple

Un logarithme népérien est un logarithme dont la base est un exposant (noté ln(x)).

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï. Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Et un autre logarithme important en base deux est noté

La dérivée du logarithme d'une fonction est égale à un divisé par la variable

Le logarithme intégral ou primitive est déterminé par la relation

Le matériel fourni vous suffit pour résoudre une large classe de problèmes liés aux logarithmes et aux logarithmes. Pour vous aider à comprendre le matériel, je ne donnerai que quelques exemples courants issus du programme scolaire et des universités.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.
Par la propriété de différence des logarithmes on a

3.
En utilisant les propriétés 3.5, nous trouvons

4. Où .

Une expression apparemment complexe est simplifiée pour être formée à l'aide d'un certain nombre de règles

Trouver des valeurs de logarithme

Exemple 2. Trouver x si

Solution. Pour le calcul, on applique aux derniers termes 5 et 13 les propriétés

Nous l'enregistrons et pleurons

Puisque les bases sont égales, on assimile les expressions

Logarithmes. Niveau d'entrée.

Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Solution : Prenons un logarithme de la variable pour écrire le logarithme à travers la somme de ses termes

Ce n'est que le début de notre connaissance des logarithmes et de leurs propriétés. Entraînez-vous aux calculs, enrichissez vos compétences pratiques - vous aurez bientôt besoin des connaissances acquises pour résoudre des équations logarithmiques. Après avoir étudié les méthodes de base pour résoudre de telles équations, nous élargirons vos connaissances à un autre sujet tout aussi important : les inégalités logarithmiques...

Propriétés de base des logarithmes

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log6 4 + log6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Transition vers une nouvelle fondation

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Commençons par propriétés du logarithme de un. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire enregistrer un 1=0 pour tout a>0, a≠1. La preuve n'est pas difficile : puisque a 0 =1 pour tout a satisfaisant les conditions ci-dessus a>0 et a≠1, alors l'égalité log a 1=0 à prouver découle immédiatement de la définition du logarithme.

Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0, log1=0 et .

Passons à la propriété suivante : le logarithme d'un nombre égal à la base est égal à un, c'est, log a a=1 pour une>0, une≠1. En effet, puisque a 1 =a pour tout a, alors par définition du logarithme log a a=1.

Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont les égalités log 5 5=1, log 5,6 5,6 et lne=1.

Par exemple, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 et .

Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y sont égaux au produit des logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, une>0 , une≠1 . Démontrons la propriété du logarithme d'un produit. En raison des propriétés du diplôme un journal a x+log a y =un journal a x ·un journal a y, et puisque par l'identité logarithmique principale un log a x =x et un log a y =y, alors un log a x ·a log a y =x·y. Ainsi, un log a x+log a y =x·y, d'où, par la définition d'un logarithme, découle l'égalité prouvée.

Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme d'un produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et .

La propriété du logarithme d'un produit peut être généralisée au produit d'un nombre fini n de nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Cette égalité peut être prouvée sans problème.

Par exemple, le logarithme naturel du produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels des nombres 4, e et.

Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y sont égaux à la différence entre les logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme d'un quotient correspond à une formule de la forme , où a>0, a≠1, x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule est prouvée ainsi que celle du logarithme d'un produit : puisque , puis par définition du logarithme.

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : .

Passons à propriété du logarithme de la puissance. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Écrivons cette propriété du logarithme d'une puissance sous forme de formule : log a b p =p·log a |b|, où a>0, a≠1, b et p sont des nombres tels que le degré b p a du sens et b p >0.

Nous prouvons d’abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p·log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p·log a b, d'où, par la définition d'un logarithme, on conclut que log a b p =p·log a b.

Il reste à prouver cette propriété pour b négatif. Notons ici que l'expression log a b p pour b négatif n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être supérieure à zéro, sinon le logarithme n'aura pas de sens), et dans ce cas b p =|b| p. Alors bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, d'où log a b p =p·log a |b| .

Par exemple, et ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la nième racine est égal au produit de la fraction 1/n par le logarithme de l'expression radicale, soit , où a>0, a≠1, n est un nombre naturel supérieur à un, b>0.

La preuve est basée sur l'égalité (voir), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme de la puissance : .

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : .

Maintenant, prouvons formule pour passer à une nouvelle base de logarithme gentil . Pour ce faire, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b·log c a. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : journal c a journal a b = journal a b journal c a. Cela prouve l'égalité log c b=log a b·log c a, ce qui signifie que la formule pour passer à une nouvelle base de logarithme a également été prouvée.

Montrons quelques exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes : et .

La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer au travail avec des logarithmes ayant une base « pratique ». Par exemple, il peut être utilisé pour accéder à des logarithmes naturels ou décimaux afin de pouvoir calculer la valeur d'un logarithme à partir d'un tableau de logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet également, dans certains cas, de retrouver la valeur d'un logarithme donné lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.

Un cas particulier de formule de transition vers une nouvelle base de logarithme pour c=b de la forme est souvent utilisé . Cela montre que log a b et log b a – . Par exemple, .

La formule est également souvent utilisée , ce qui est pratique pour trouver des valeurs de logarithme. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment il peut être utilisé pour calculer la valeur d'un logarithme de la forme . Nous avons . Pour prouver la formule il suffit d'utiliser la formule de passage à une nouvelle base du logarithme a : .

Reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.

Montrons que pour tout nombre positif b 1 et b 2, b 1 log a b 2 , et pour a>1 – l'inégalité log a b 1

Enfin, il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des logarithmes. Limitons-nous à la preuve de sa première partie, c'est-à-dire que nous prouverons que si a 1 >1, a 2 >1 et a 1 1 est vrai log a 1 b>log a 2 b . Les autres affirmations de cette propriété des logarithmes sont prouvées selon un principe similaire.

Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour un 1 >1, un 2 >1 et un 1 1 est vrai log a 1 b≤log a 2 b . Sur la base des propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme Et respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, selon les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥b log b a 2 et b log b a 1 ≥b log b a 2 doivent être vraies, c'est-à-dire a 1 ≥a 2 . Nous sommes donc arrivés à une contradiction avec la condition a 1

Références.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.

Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).