Chaque personne, lorsqu'elle résout des problèmes de mathématiques, est souvent confrontée à des problèmes impliquant des fractions. Il y en a beaucoup, nous examinerons donc différentes options pour résoudre ces problèmes fondamentaux.
Que sont les fractions
Le nombre supérieur de toute fraction est appelé le numérateur et le nombre inférieur est le dénominateur. Une fraction ordinaire est le quotient de deux nombres, l'un de ces nombres est au numérateur de la fraction, le second est au dénominateur de la fraction. Les types de ces fractions communes seront déterminés en comparant le dénominateur et le numérateur de la fraction.
Si le dénominateur d'une fraction (entier naturel) est supérieur au numérateur de la fraction (entier naturel), alors la fraction est dite propre. Voici quelques exemples : 7/19 ; 13/09 ; 31/152 ; 5/17.
Si le dénominateur d'une fraction (entier naturel) est inférieur ou égal au numérateur de la fraction (entier naturel), alors la fraction est dite impropre. Voici quelques exemples : 7/5 ; 19/3 ; 15/9 ; 231/63.
Comment convertir une fraction impropre
Pour convertir une fraction mixte en fraction impropre, vous devez multiplier la partie entière de la fraction par le dénominateur de la partie fractionnaire et ajouter le numérateur à ce produit. Prenez ensuite le montant comme numérateur, en écrivant le même dénominateur que précédemment. Voici quelques exemples :
- 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
- 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.
Pour convertir une fraction impropre en fraction propre, vous devez diviser le numérateur de la fraction impropre par son dénominateur. Prenez l'entier résultant comme partie entière de la fraction et prenez le reste (bien sûr, s'il y en a un) comme numérateur de la partie fractionnaire de la fraction propre, en écrivant le même dénominateur que précédemment. Voici quelques exemples :
- 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
- 156/12 = (13x12)/12 = 13.
Pour convertir une fraction impropre en décimal, il est nécessaire de savoir s'il existe un facteur qui permettra de réduire le dénominateur de la partie fractionnaire de la fraction impropre à un nombre égal à dix (ou à une dizaine qui est élevé à n'importe quelle puissance (10, 100, 1000 et plus). Si un tel facteur existe, vous devez alors multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction impropre par ce facteur pour le vérifier. Le numérateur multiplié doit maintenant être ajouté, séparé. par une virgule, à la partie entière de la fraction impropre. Voici des exemples :
- Multiplicateur « 5 » - 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
- Multiplicateur "4" - 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
- Multiplicateur "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.
Si un tel facteur n’existe pas, cela signifie que cette fraction impropre sous forme décimale n’a pas d’équivalent clair. Autrement dit, toutes les fractions impropres ne peuvent pas être converties en décimales. Dans ce cas, vous devez trouver la valeur approximative de la fraction avec le degré de précision souhaité. Vous pouvez calculer une telle fraction sur une calculatrice, dans votre tête ou dans une colonne. Voici des exemples : 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (arrondi au dixième), = 5,86 (arrondi au centième), = 5,857 (arrondi au millième) ; 3/7, 7/6, 1/3 et autres. Ils ne sont pas non plus clairement traduits et sont calculés sur une calculatrice, en tête ou en colonne.
Vous savez maintenant comment convertir une fraction impropre en fraction propre ou décimale !
Dans cet article, nous parlerons de nombres mixtes. Tout d’abord, définissons les nombres fractionnaires et donnons des exemples. Examinons ensuite le lien entre les nombres fractionnaires et les fractions impropres. Après cela, nous te montrerons comment convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre. Enfin, étudions le processus inverse, appelé séparation de la partie entière d'une fraction impropre.
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Nombres mixtes, définition, exemples
Les mathématiciens ont convenu que la somme n+a/b, où n est un nombre naturel et a/b est une fraction propre, peut être écrite sans le signe d'addition dans la forme. Par exemple, la somme 28+5/7 peut être brièvement écrite sous la forme . Un tel enregistrement était appelé mixte, et le numéro qui correspond à cet enregistrement mixte était appelé nombre mixte.
C’est ainsi que nous arrivons à la définition d’un nombre mixte.
Définition.
Numéro mixte est un nombre égal à la somme de l'entier naturel n et de la fraction ordinaire propre a/b, et écrit sous la forme . Dans ce cas, le nombre n est appelé partie entière du nombre, et le nombre a/b est appelé partie fractionnaire d'un nombre.
Par définition, un nombre fractionnaire est égal à la somme de ses parties entière et fractionnaire, c'est-à-dire que l'égalité est vraie, ce qui peut s'écrire ainsi : .
Donnons exemples de nombres fractionnaires. Un nombre est un nombre fractionnaire, l'entier naturel 5 est la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre. D'autres exemples de nombres fractionnaires sont 
.
Parfois, vous pouvez trouver des nombres en notation mixte, mais ayant une fraction impropre comme fraction, par exemple, ou. Ces nombres s'entendent comme la somme de leurs parties entières et fractionnaires, par exemple, 
Et 
. Mais de tels nombres ne correspondent pas à la définition d'un nombre fractionnaire, puisque la partie fractionnaire des nombres fractionnaires doit être une fraction propre.
Le nombre n’est pas non plus un nombre mixte, puisque 0 n’est pas un nombre naturel.
La relation entre les nombres fractionnaires et les fractions impropres
Suivre lien entre les nombres fractionnaires et les fractions impropres mieux avec des exemples.
Qu'il y ait un gâteau et encore 3/4 du même gâteau sur le plateau. Autrement dit, selon le sens de l'addition, il y a 1+3/4 gâteaux sur le plateau. Après avoir noté le dernier montant sous forme de nombre fractionnaire, nous déclarons qu'il y a un gâteau sur le plateau. Coupez maintenant le gâteau entier en 4 parties égales. En conséquence, il y aura 7/4 du gâteau sur le plateau. Force est de constater que la « quantité » du gâteau n’a pas changé, donc.
De l'exemple considéré, la connexion suivante est clairement visible : Tout nombre fractionnaire peut être représenté comme une fraction impropre.
Maintenant, qu'il y ait 7/4 du gâteau sur le plateau. Après avoir plié un gâteau entier en quatre parties, il y aura 1 + 3/4 sur le plateau, c'est-à-dire un gâteau. Il ressort clairement de cela.
De cet exemple, il ressort clairement que Une fraction impropre peut être représentée par un nombre fractionnaire. (Dans le cas particulier où le numérateur d'une fraction impropre est divisé également par le dénominateur, la fraction impropre peut être représentée comme un nombre naturel, par exemple puisque 8:4 = 2).
Conversion d'un nombre fractionnaire en fraction impropre
Pour effectuer diverses opérations avec des nombres fractionnaires, la capacité de représenter les nombres fractionnaires sous forme de fractions impropres est utile. Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre fractionnaire peut être converti en fraction impropre. Il est temps de comprendre comment une telle traduction est réalisée.
Écrivons un algorithme montrant comment convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre:
Regardons un exemple de conversion d'un nombre fractionnaire en fraction impropre.
Exemple.
Exprimez un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre.
Solution.
Effectuons toutes les étapes nécessaires de l'algorithme.
Un nombre fractionnaire est égal à la somme de ses parties entière et fractionnaire : .
Après avoir écrit le nombre 5 sous la forme 5/1, la dernière somme prendra la forme .
Pour finir de convertir le nombre fractionnaire d'origine en une fraction impropre, il ne reste plus qu'à additionner des fractions de dénominateurs différents : 
.
Un bref résumé de l’ensemble de la solution est : 
.
Répondre:
Ainsi, pour convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre, vous devez effectuer la chaîne d'actions suivante : . Enfin reçu 
, que nous utiliserons plus loin.
Exemple.
Écrivez le nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre.
Solution.
Utilisons la formule pour convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre. Dans cet exemple n=15 , a=2 , b=5 . Ainsi, 
.
Répondre:
Séparer la partie entière d'une fraction impropre
Il n’est pas habituel d’écrire une fraction impropre dans la réponse. La fraction impropre est d'abord remplacée soit par un nombre naturel égal (lorsque le numérateur est divisible par le dénominateur), soit la soi-disant séparation de la partie entière de la fraction impropre est effectuée (lorsque le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur ).
Définition.
Séparer la partie entière d'une fraction impropre- Il s'agit du remplacement d'une fraction par un nombre fractionnaire égal.
Reste à savoir comment isoler la partie entière d'une fraction impropre.
C'est très simple : la fraction impropre a/b est égale à un nombre fractionnaire de la forme où q est le quotient partiel et r est le reste lorsque a est divisé par b. C'est-à-dire que la partie entière est égale au quotient partiel de la division de a par b, et le reste est égal au numérateur de la partie fractionnaire.
Prouvons cette affirmation.
Pour ce faire, il suffit de le montrer. Convertissons le mixte en une fraction impropre comme nous l'avons fait dans le paragraphe précédent : . Puisque q est un quotient incomplet et que r est le reste de la division de a par b, alors l'égalité a=b·q+r est vraie (si nécessaire, voir
Les règles et techniques mathématiques simples, si elles ne sont pas utilisées constamment, sont vite oubliées. Les termes disparaissent de la mémoire encore plus rapidement.
L’une de ces actions simples consiste à convertir une fraction impropre en une fraction propre ou, en d’autres termes, une fraction mixte.
Fraction impropre
Une fraction impropre est une fraction dans laquelle le numérateur (le nombre au-dessus de la ligne) est supérieur ou égal au dénominateur (le nombre au-dessous de la ligne). Cette fraction est obtenue en additionnant des fractions ou en multipliant une fraction par un nombre entier. Selon les règles mathématiques, une telle fraction doit être convertie en une fraction propre.
Fraction appropriée
Il est logique de supposer que toutes les autres fractions sont dites propres. Une définition stricte est qu'une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est dite propre. Une fraction comportant une partie entière est parfois appelée fraction mixte.
Conversion d'une fraction impropre en fraction propre
- Premier cas : le numérateur et le dénominateur sont égaux. Le résultat de la conversion d’une telle fraction est un. Peu importe que ce soit les trois tiers ou cent vingt-cinq cent vingt-cinquième. Essentiellement, une telle fraction désigne l’action de diviser un nombre par lui-même.
- Deuxième cas : le numérateur est supérieur au dénominateur. Ici, vous devez vous rappeler la méthode de division des nombres avec un reste.
Pour ce faire, vous devez trouver le nombre le plus proche de la valeur du numérateur, qui est divisible par le dénominateur sans reste. Par exemple, vous avez la fraction dix-neuf tiers. Le nombre le plus proche pouvant être divisé par trois est dix-huit. Cela fait six. Soustrayez maintenant le nombre obtenu du numérateur. Nous en obtenons un. C'est le reste. Notez le résultat de la conversion : six entiers et un tiers.
Mais avant de pouvoir réduire une fraction à sa forme correcte, vous devez vérifier si elle peut être réduite.
Vous pouvez réduire une fraction si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun. C’est-à-dire un nombre par lequel les deux sont divisibles sans reste. S'il existe plusieurs diviseurs de ce type, vous devez trouver le plus grand.
Par exemple, tous les nombres pairs ont un diviseur commun : deux. Et la fraction seize douzièmes a un autre diviseur commun - quatre. C'est le plus grand diviseur. Divisez le numérateur et le dénominateur par quatre. Résultat de la réduction : quatre tiers. Maintenant, pour vous entraîner, convertissez cette fraction en une fraction appropriée.
Vous pouvez convertir une fraction impropre en fraction propre en divisant le numérateur d'une telle fraction par le dénominateur - de cette façon, nous obtenons une fraction propre. Alternativement, une fraction impropre peut être écrite sous la forme d’un simple nombre décimal.
Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur au dénominateur. Une fraction propre est une fraction dont le numérateur est plus petit que son dénominateur. Il n’existe aucun moyen de transformer une fraction impropre en fraction propre, mais elle peut être représentée comme un nombre fractionnaire composé de deux parties (une partie sera un entier et l’autre sera une fraction propre).
par exemple 5/2=2+1/2 (seule la fraction est généralement écrite immédiatement après le nombre entier sans le signe plus)
Ici, vous devez diviser le numérateur de la fraction impropre par le dénominateur. On note la partie entière de la division (dans notre cas 2). puis nous écrivons le reste de la division (c'est-à-dire 1) comme numérateur de la fraction, que nous écrivons à côté des deux.
Nous le savons grâce au cours de mathématiques à l'école. qu'une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur à son dénominateur. Pour la convertir en une fraction appropriée, vous devez diviser le numérateur d'une telle fraction par son dénominateur. Tout est très simple, cela deviendra donc une fraction correcte ou décimale.
Une fraction impropre, par exemple : 9/5, sélectionnons-en la partie entière, ce sera : 1 4/5 maintenant, cela ressemble un peu au bon, mais la partie entière n'en fait qu'une.
Vous pouvez le transformer en fraction décimale dans notre cas ce sera 1,8
Pour résoudre le problème, vous devez d'abord comprendre clairement par vous-même ce qu'est une fraction propre et ce qu'est une fraction impropre.
Commençons par le fait que la déclaration
Cela n’est pas vrai pour tous les nombres de la droite numérique.
le numérateur est (-10), le dénominateur est (-4)
déclaration similaire
pas toujours vrai non plus
le numérateur est 2, le dénominateur est (-3)
Une fraction impropre peut s'écrire en utilisant la somme d'un nombre entier et d'une fraction propre (fraction mixte) et pour cela il vous faut :
divisez le numérateur par le dénominateur, écrivez l'entier résultant dans la partie entière, le reste dans le numérateur, laissez le dénominateur inchangé
au numérateur (-15), au dénominateur 2, prendre le moins en dehors de la fraction - (15/2), diviser 15 par 2, mettre l'entier 7 dans toute la partie de la fraction, écrire le reste de la division 1 au numérateur et laisser le dénominateur 2 sans changement.
Pour convertir une fraction impropre en fraction propre, il faut d’abord dire :
Une fraction impropre a un numérateur (le nombre le plus élevé de la fraction) supérieur ou égal au dénominateur ;
Pour une fraction propre, c’est le contraire.
Analysons le processus de conversion en utilisant l'exemple de la fraction 260/7 :
1) Tout d’abord, divisez 260 par 7, nous obtenons le nombre 37,14..
2) Le nombre 37 apparaîtra devant la fraction sous forme de nombre entier
3) Maintenant 37 * 7 = 259
4) Du numérateur, nous soustrayons le nombre résultant 260 - 259 = 1 - ce nombre sera au numérateur de notre fraction propre.
5) Lors de l'écriture d'une nouvelle fraction, le dénominateur reste inchangé. Dans ce cas, il s’agit de 7. La fraction appropriée ressemblerait à ceci :
Vérification de la fraction convertie :
On multiplie l'entier par le dénominateur et on ajoute le numérateur 37 * 7 + 1 = 260.
Une fraction propre est une fraction dont le dénominateur est supérieur au numérateur. Cela suggère que cette fraction montre une partie du tout. Par exemple, la fraction 1/2 signifie que nous avons la moitié d'une pastèque, par exemple, et la fraction 7/9 signifie qu'il nous reste sept morceaux de pastèque, coupés en 9 parties. Quelqu'un en a mangé deux parts.
Si la fraction est impropre, c'est-à-dire que le numérateur est supérieur au dénominateur, alors on ne sait absolument pas quelle partie du tout, mais la pastèque coupée, nous avons et combien de pastèques entières supplémentaires sont disponibles. Il faut donc convertir une fraction impropre en une fraction propre. dans ce cas, nous obtiendrons une sorte de nombre entier et le reste sera exactement une fraction propre.
Pour convertir, divisez le numérateur par le dénominateur dans une colonne. Exemple : 7/4. Sept fois quatre donne un et le reste est 3/4. Nous avons donc converti la fraction en la bonne fraction – la réponse est 1 et 3/4.
Fraction impropre appeler une fraction telle que le numérateur est supérieur au dénominateur. Cela signifie qu’une fraction propre est celle dont le numérateur est inférieur à son dénominateur. Pour transformer une fraction impropre en fraction propre, vous pouvez la représenter sous forme de nombre décimal. Par exemple, 17/8 peut s'écrire ainsi : 2.125. Ou écrivez-le comme ceci : 2 1/8.
Une fraction propre est considérée comme une fraction dans laquelle le dénominateur est supérieur au numérateur. Afin de convertir une fraction impropre en fraction propre, vous devez diviser le numérateur de la fraction impropre par son dénominateur, le résultat sera un nombre avec un reste.
Par exemple, 4 entiers et trois onzièmes, on multiplie 4 par 11 et +3, puis on divise par 11, on obtient 44 +3 et on divise par 11, et on obtient la fraction 47/11. Une fraction impropre, c'est lorsqu'il y a un entier, par exemple 5,10, c'est-à-dire cinq entiers et 10/100, cinq on multiplie 100 et +10, on obtient 10/500. Aussi, si par exemple 6,6, c'est plus facile ici, on multiplie 6 par 6 et +6 on obtient 12/6, on le réduit par deux, on obtient six tiers, on réduit six tiers par trois, on obtient les deux premiers, on divise deux par un on obtient deux. Autrement dit, 6,6 = 2.
Une fraction est un nombre composé d’une ou plusieurs unités. En mathématiques, il existe trois types de fractions : communes, mixtes et décimales.
Fractions communes
Une fraction ordinaire s'écrit sous la forme d'un rapport dans lequel le numérateur reflète le nombre de parties extraites du nombre et le dénominateur indique en combien de parties l'unité est divisée. Si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors nous avons une fraction propre. Par exemple : ½, 3/5, 8/9.
Si le numérateur est égal ou supérieur au dénominateur, alors nous avons affaire à une fraction impropre. Par exemple : 5/5, 9/4, 5/2 La division du numérateur peut donner un nombre fini. Par exemple, 40/8 = 5. Par conséquent, tout nombre entier peut être écrit comme une fraction impropre ordinaire ou une série de telles fractions. Considérons les entrées du même numéro sous la forme de plusieurs entrées différentes.
- Fractions mixtes
En général, une fraction mixte peut être représentée par la formule : 
Ainsi, une fraction mixte s'écrit sous la forme d'un nombre entier et d'une fraction propre ordinaire, et une telle notation est comprise comme la somme du tout et de sa partie fractionnaire.
- Décimales
Un nombre décimal est un type spécial de fraction dans lequel le dénominateur peut être représenté par une puissance de 10. Il existe des nombres décimaux infinis et finis. Lors de l'écriture de ce type de fraction, la partie entière est d'abord indiquée, puis la partie fractionnaire est enregistrée via un séparateur (point ou virgule).
La notation d'une partie fractionnaire est toujours déterminée par sa dimension. La notation décimale ressemble à ceci : 
Règles de conversion entre différents types de fractions
- Conversion d'une fraction mixte en une fraction commune
Une fraction mixte ne peut être convertie qu'en fraction impropre. Pour traduire, il faut ramener la partie entière au même dénominateur que la partie fractionnaire. En général, cela ressemblera à ceci : 
Examinons l'utilisation de cette règle à l'aide d'exemples spécifiques :
- Conversion d'une fraction commune en fraction mixte
Une fraction impropre peut être convertie en fraction mixte par simple division, ce qui donne la partie entière et le reste (partie fractionnaire).
Par exemple, convertissons la fraction 439/31 en mixte : 
- Conversion de fractions
Dans certains cas, convertir une fraction en nombre décimal est assez simple. Dans ce cas, la propriété fondamentale d'une fraction est appliquée : le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre afin de ramener le diviseur à une puissance de 10.
Par exemple:
Dans certains cas, vous devrez peut-être trouver le quotient en le divisant par les coins ou en utilisant une calculatrice. Et certaines fractions ne peuvent pas être réduites à une décimale finale. Par exemple, la fraction 1/3 divisée ne donnera jamais le résultat final.
