Les première et deuxième merveilleuses limites de définition. Des limites merveilleuses

Cet article : « La Seconde Limite Remarquable » est consacré à la divulgation dans la limite des incertitudes de la forme :

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ et $ ^\infty $.

De telles incertitudes peuvent également être révélées à l'aide du logarithme de la fonction exponentielle, mais il s'agit d'une autre méthode de résolution qui sera abordée dans un autre article.

Formule et conséquences

Formule la deuxième limite remarquable s'écrit comme suit : $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text(where ) e \approx 2,718 $$

Il découle de la formule conséquences, qui sont très pratiques à utiliser pour résoudre des exemples avec des limites : $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( où ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Il convient de noter que la deuxième limite remarquable ne peut pas toujours être appliquée à une fonction exponentielle, mais uniquement dans les cas où la base tend vers l'unité. Pour ce faire, calculez d'abord mentalement la limite de la base, puis tirez des conclusions. Tout cela sera discuté dans des exemples de solutions.

Exemples de solutions

Regardons des exemples de solutions utilisant la formule directe et ses conséquences. Nous analyserons également les cas dans lesquels la formule n'est pas nécessaire. Il suffit d'écrire seulement une réponse toute prête.

Examinons les cas où le problème est similaire à la deuxième limite remarquable, mais peut être résolu sans elle.

Dans l'article : « La deuxième limite remarquable : exemples de solutions », la formule, ses conséquences ont été analysées et les types courants de problèmes sur ce sujet ont été présentés.

Trouvez de merveilleuses limites C’est difficile non seulement pour de nombreux étudiants de première et deuxième années qui étudient la théorie des limites, mais aussi pour certains enseignants.

Formule pour la première limite remarquable

Conséquences de la première limite remarquable écrivons-le dans des formules
1. 2. 3. 4. Mais les formules générales des limites remarquables elles-mêmes n'aident personne lors d'un examen ou d'un test. Le fait est que les tâches réelles sont construites de telle sorte que vous devez toujours arriver aux formules écrites ci-dessus. Et la majorité des étudiants qui manquent les cours, étudient ce cours par contumace ou ont des professeurs qui eux-mêmes ne comprennent pas toujours ce qu'ils expliquent, ne peuvent pas calculer les exemples les plus élémentaires dans des limites remarquables. D'après les formules de la première limite remarquable, nous voyons qu'avec leur aide, il est possible d'étudier des incertitudes du type zéro divisé par zéro pour des expressions avec des fonctions trigonométriques. Considérons d’abord un certain nombre d’exemples de la première limite remarquable, puis étudions la deuxième limite remarquable.

Exemple 1. Trouver la limite de la fonction sin(7*x)/(5*x)
Solution : Comme vous pouvez le voir, la fonction sous la limite est proche de la première limite remarquable, mais la limite de la fonction elle-même n'est certainement pas égale à un. Dans ce genre de tâches sur les limites, il est nécessaire de sélectionner au dénominateur une variable avec le même coefficient que celui contenu dans la variable sous le sinus. Dans ce cas, divisez et multipliez par 7

Pour certains, de tels détails sembleront inutiles, mais pour la plupart des étudiants qui ont des difficultés avec les limites, cela les aidera à mieux comprendre les règles et à maîtriser la matière théorique.
De plus, s’il existe une forme inverse d’une fonction, c’est aussi la première limite merveilleuse. Et tout cela parce que la merveilleuse limite est égale à un

La même règle s'applique aux conséquences de la 1ère limite remarquable. Par conséquent, si on vous demande : « Quelle est la première limite remarquable ? Vous devez répondre sans hésiter qu'il s'agit d'une unité.

Exemple 2. Trouver la limite de la fonction sin(6x)/tan(11x)
Solution : Pour comprendre le résultat final, écrivons la fonction sous la forme

Pour appliquer les règles de la limite remarquable, multiplier et diviser par des facteurs

Ensuite, nous écrivons la limite d'un produit de fonctions à travers le produit des limites

Sans formules complexes, nous avons trouvé la limite des fonctions trigonométriques. Pour maîtriser des formules simples, essayez d'inventer et de trouver la limite sur 2 et 4, la formule du corollaire de 1 merveilleuse limite. Nous examinerons des problèmes plus complexes.

Exemple 3 : Calculer la limite (1-cos(x))/x^2
Solution : Lors de la vérification par substitution, nous obtenons une incertitude de 0/0. Beaucoup de gens ne savent pas comment réduire un tel exemple à une limite remarquable. La formule trigonométrique doit être utilisée ici

Dans ce cas, la limite se transformera en une forme claire

Nous avons réussi à réduire la fonction au carré d'une limite remarquable.

Exemple 4. Trouver la limite
Solution : lors de la substitution, nous obtenons la fonctionnalité familière 0/0. Cependant, la variable tend vers Pi plutôt que vers zéro. Par conséquent, pour appliquer la première limite remarquable, nous effectuerons un tel changement dans la variable x pour que la nouvelle variable vienne à zéro. Pour ce faire, nous notons le dénominateur comme une nouvelle variable Pi-x=y

Ainsi, en utilisant la formule trigonométrique donnée dans la tâche précédente, l'exemple est réduit à 1 limite remarquable.

Exemple 5 : calculer la limite
Solution : Au début, il n’est pas clair comment simplifier les limites. Mais puisqu’il existe un exemple, il doit y avoir une réponse. Le fait que la variable aille à l'unité donne, lors de la substitution, une caractéristique de la forme zéro multipliée par l'infini, donc la tangente doit être remplacée à l'aide de la formule

Après cela, nous obtenons l'incertitude requise 0/0. Ensuite, nous effectuons un changement de variables dans la limite et utilisons la périodicité de la cotangente

Les dernières substitutions permettent d'utiliser le corollaire 1 de la limite remarquable.

La deuxième limite remarquable est égale à l'exponentielle

C’est un classique qui n’est pas toujours facile à atteindre dans les vrais problèmes de limites.
Dans les calculs, vous aurez besoin les limites sont des conséquences de la deuxième limite remarquable :
1. 2. 3. 4.
Grâce à la deuxième limite remarquable et à ses conséquences, il est possible d'explorer des incertitudes telles que zéro divisé par zéro, un à la puissance l'infini, et l'infini divisé par l'infini, et même au même degré

Commençons par des exemples simples.

Exemple 6. Trouver la limite d'une fonction
Solution : Appliquer directement la 2ème limite remarquable ne fonctionnera pas. Tout d'abord, vous devez transformer l'exposant pour qu'il ressemble à l'inverse du terme entre parenthèses.

C'est la technique qui consiste à réduire à la 2ème limite remarquable et, en substance, à déduire la 2ème formule du corollaire de la limite.

Exemple 7. Trouver la limite d'une fonction
Solution : Nous avons des tâches pour la formule 3 du corollaire 2 d'une limite merveilleuse. La substitution de zéro donne une singularité de la forme 0/0. Pour élever la limite d'une règle, on tourne le dénominateur pour que la variable ait le même coefficient que dans le logarithme

Il est également facile à comprendre et à réaliser lors de l’examen. Les difficultés des élèves à calculer les limites commencent par les problèmes suivants.

Exemple 8. Calculer la limite d'une fonction[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solution : Nous avons une singularité de type 1 à la puissance l’infini. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez remplacer l’infini par « X » partout et vous en assurer. Pour construire une règle, on divise le numérateur par le dénominateur entre parenthèses ; pour ce faire, on effectue d'abord les manipulations ;

Remplaçons l'expression par la limite et transformons-la en 2 merveilleuses limites

La limite est égale à la puissance exponentielle de 10. Les constantes qui sont des termes avec une variable, à la fois entre parenthèses et en degrés, n'introduisent aucun « temps » - il faut s'en souvenir. Et si vos professeurs vous demandent : « Pourquoi ne convertissez-vous pas l’indicateur ? (Pour cet exemple en x-3), puis dites que « Lorsqu'une variable tend vers l'infini, alors ajoutez-y même 100 ou soustrayez 1000, et la limite restera la même qu'elle était ! »
Il existe une deuxième manière de calculer des limites de ce type. Nous en parlerons dans la prochaine tâche.

Exemple 9. Trouver la limite
Solution : supprimons maintenant la variable du numérateur et du dénominateur et transformons une fonctionnalité en une autre. Pour obtenir la valeur finale on utilise la formule du corollaire 2 de la limite remarquable

Exemple 10. Trouver la limite d'une fonction
Solution : Tout le monde ne peut pas trouver la limite donnée. Pour augmenter la limite à 2, imaginez que sin (3x) est une variable et que vous devez tourner l'exposant

Ensuite, nous écrivons l'indicateur comme une puissance à une puissance


Les arguments intermédiaires sont décrits entre parenthèses. En utilisant les première et deuxième limites remarquables, nous avons obtenu l’exponentielle en cube.

Exemple 11. Calculer la limite d'une fonction péché(2*x)/ln(3*x+1)
Solution : Nous avons une incertitude de la forme 0/0. De plus, nous voyons que la fonction doit être convertie pour utiliser les deux merveilleuses limites. Effectuons les transformations mathématiques précédentes

De plus, sans difficulté, la limite prendra la valeur

C'est ainsi que vous vous sentirez libre sur les devoirs, les tests, les modules si vous apprenez à décrire rapidement les fonctions et à les réduire à la première ou à la deuxième merveilleuse limite. S'il vous est difficile de mémoriser les méthodes données pour trouver les limites, vous pouvez toujours nous commander un test sur les limites.
Pour ce faire, remplissez le formulaire, fournissez les données et joignez un fichier avec des exemples. Nous avons aidé de nombreux étudiants – nous pouvons vous aider aussi !

La première limite remarquable est souvent utilisée pour calculer les limites contenant le sinus, l'arc sinus, la tangente, l'arc tangente et les incertitudes résultantes de zéro divisé par zéro.

Formule

La formule de la première limite remarquable est : $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

On remarque que pour $ \alpha\to 0 $ on obtient $ \sin\alpha \to 0 $, on a donc des zéros au numérateur et au dénominateur. Ainsi, la formule de la première limite remarquable est nécessaire pour révéler les incertitudes $ \frac(0)(0) $.

Pour appliquer la formule, deux conditions doivent être remplies :

1. Les expressions contenues dans le sinus et le dénominateur de la fraction sont les mêmes
2. Les expressions du sinus et du dénominateur d'une fraction tendent vers zéro

Attention! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Bien que les expressions sous le sinus et dans le dénominateur soient les mêmes, cependant $ 2x ^2+1 = 1 $, pour $ x\à 0 $. La deuxième condition n’est pas remplie, vous NE POUVEZ donc PAS appliquer la formule !

Conséquences

Très rarement, dans les tâches, vous pouvez voir une première limite pure et merveilleuse, dans laquelle vous pouvez immédiatement écrire la réponse. En pratique, tout semble un peu plus compliqué, mais dans de tels cas, il sera utile de connaître les conséquences de la première limite remarquable. Grâce à eux, vous pouvez calculer rapidement les limites requises.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Exemples de solutions

Considérons la première limite remarquable, des exemples de sa solution pour calculer des limites contenant des fonctions trigonométriques et l'incertitude $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

L'article : « La première limite remarquable, exemples de solutions » parlait des cas dans lesquels il convient d'utiliser cette formule et de ses conséquences.

La formule de la deuxième limite remarquable est lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Une autre forme d'écriture ressemble à ceci : lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Lorsque nous parlons de la deuxième limite remarquable, nous devons faire face à une incertitude de la forme 1 ∞, c'est-à-dire unité à un degré infini.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Considérons des problèmes dans lesquels la capacité de calculer la deuxième limite remarquable sera utile.

Exemple 1

Trouver la limite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Solution

Remplaçons la formule requise et effectuons les calculs.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Notre réponse s’est avérée être celle de la puissance de l’infini. Pour déterminer la méthode de résolution, nous utilisons la table d'incertitude. Choisissons la deuxième limite remarquable et effectuons un changement de variables.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Si x → ∞, alors t → - ∞.

Voyons ce que nous avons obtenu après le remplacement :

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Répondre: lim X → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemple 2

Calculez la limite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Solution

Remplaçons l'infini et obtenons ce qui suit.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Dans la réponse, nous avons à nouveau obtenu la même chose que dans le problème précédent, nous pouvons donc à nouveau utiliser la deuxième merveilleuse limite. Ensuite, nous devons sélectionner toute la partie à la base de la fonction puissance :

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Après cela, la limite prend la forme suivante :

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Remplacez les variables. Supposons que t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; si x → ∞, alors t → ∞.

Après cela, nous écrivons ce que nous avons obtenu dans la limite initiale :

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Pour effectuer cette transformation, nous avons utilisé les propriétés fondamentales des limites et des puissances.

Répondre: lim X → ∞ X - 1 X + 1 X = e - 2 .

Exemple 3

Calculez la limite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Solution

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Après cela, nous devons transformer la fonction pour appliquer la deuxième grande limite. Nous avons obtenu ce qui suit :

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Puisque nous avons désormais les mêmes exposants au numérateur et au dénominateur de la fraction (égaux à six), la limite de la fraction à l'infini sera égale au rapport de ces coefficients aux puissances supérieures.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

En substituant t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 nous obtenons une deuxième limite remarquable. Cela signifie que :

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Répondre: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

Conclusions

Incertitude 1 ∞, soit l'unité à une puissance infinie est une incertitude de loi de puissance, elle peut donc être révélée à l'aide des règles permettant de trouver les limites des fonctions de puissance exponentielles.

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À partir de l'article ci-dessus, vous pouvez découvrir quelle est la limite et avec quoi elle est consommée - c'est TRÈS important. Pourquoi? Vous ne comprenez peut-être pas ce que sont les déterminants et ne réussissez pas à les résoudre ; vous ne comprenez peut-être pas du tout ce qu'est une dérivée et ne les trouvez pas avec un « A ». Mais si vous ne comprenez pas ce qu’est une limite, il sera alors difficile de résoudre des tâches pratiques. Ce serait également une bonne idée de vous familiariser avec les exemples de solutions et mes recommandations de conception. Toutes les informations sont présentées sous une forme simple et accessible.

Et pour les besoins de cette leçon, nous aurons besoin du matériel pédagogique suivant : Des limites merveilleuses Et Formules trigonométriques. Ils peuvent être trouvés sur la page. Il est préférable d'imprimer les manuels - c'est beaucoup plus pratique et, de plus, vous devrez souvent vous y référer hors ligne.

Qu’y a-t-il de si spécial dans les limites remarquables ? Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles ont été prouvées par les plus grands esprits de mathématiciens célèbres, et que leurs descendants reconnaissants n'ont pas à souffrir de terribles limites avec un tas de fonctions trigonométriques, de logarithmes et de puissances. Autrement dit, pour trouver les limites, nous utiliserons des résultats prêts à l'emploi qui ont été prouvés théoriquement.

Il existe plusieurs merveilleuses limites, mais dans la pratique, les étudiants à temps partiel ont dans 95 % des cas deux merveilleuses limites : La première limite merveilleuse, Deuxième merveilleuse limite. Il convient de noter qu'il s'agit de noms historiquement établis, et lorsque, par exemple, ils parlent de « la première limite remarquable », ils entendent par là une chose très spécifique, et non une limite aléatoire prise au plafond.

La première limite merveilleuse

Considérez la limite suivante : (au lieu de la lettre native « il », j'utiliserai la lettre grecque « alpha », c'est plus pratique du point de vue de la présentation du matériel).

D'après notre règle de recherche des limites (voir article Limites. Exemples de solutions) on essaie de substituer zéro dans la fonction : au numérateur on obtient zéro (le sinus de zéro est zéro), et au dénominateur, évidemment, il y a aussi zéro. Nous sommes donc confrontés à une incertitude sur la forme, qui, heureusement, n’a pas besoin d’être divulguée. Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que :

Ce fait mathématique est appelé La première limite merveilleuse. Je ne donnerai pas de preuve analytique de la limite, mais nous examinerons sa signification géométrique dans la leçon sur fonctions infinitésimales.

Souvent, dans les tâches pratiques, les fonctions peuvent être organisées différemment, cela ne change rien :

- la même première merveilleuse limite.

Mais vous ne pouvez pas réorganiser vous-même le numérateur et le dénominateur ! Si une limite est donnée sous la forme , alors elle doit être résolue sous la même forme, sans rien réarranger.

En pratique, non seulement une variable, mais aussi une fonction élémentaire ou une fonction complexe peut faire office de paramètre. La seule chose importante c'est qu'il tende vers zéro.

Exemples :
, , ,

Ici , , , , et tout va bien - la première limite merveilleuse est applicable.

Mais l’entrée suivante est une hérésie :

Pourquoi? Parce que le polynôme ne tend pas vers zéro, il tend vers cinq.

Au fait, une petite question : quelle est la limite ? ? La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Dans la pratique, tout ne se passe pas aussi bien ; on ne propose presque jamais à un étudiant de résoudre une limite gratuite et d'obtenir une passe facile. Hmmm... J'écris ces lignes, et une pensée très importante m'est venue à l'esprit - après tout, il vaut mieux se souvenir par cœur des définitions et des formules mathématiques « libres », cela peut apporter une aide inestimable dans le test, lorsque la question sera être décidé entre « deux » et « trois », et l'enseignant décide de poser à l'élève une question simple ou de lui proposer de résoudre un exemple simple (« peut-être qu'il(s) sait encore quoi ?! »).

Passons à des exemples pratiques :

Exemple 1

Trouver la limite

Si nous remarquons un sinus dans la limite, cela devrait immédiatement nous amener à réfléchir à la possibilité d'appliquer la première limite remarquable.

Tout d'abord, nous essayons de substituer 0 dans l'expression sous le signe limite (nous le faisons mentalement ou dans un brouillon) :

On a donc une incertitude de la forme assurez-vous d'indiquer en prenant une décision. L'expression sous le signe limite est similaire à la première limite merveilleuse, mais ce n'est pas exactement cela, elle est sous le sinus, mais au dénominateur.

Dans de tels cas, nous devons organiser nous-mêmes la première limite remarquable, en utilisant une technique artificielle. Le raisonnement pourrait être le suivant : « sous le sinus nous avons , ce qui signifie que nous devons également entrer dans le dénominateur ».
Et cela se fait très simplement :

Autrement dit, le dénominateur est artificiellement multiplié dans ce cas par 7 et divisé par le même sept. Notre enregistrement a désormais pris une forme familière.
Lorsque la tâche est rédigée à la main, il convient de marquer la première limite remarquable avec un simple crayon :

Ce qui s'est passé? En fait, notre expression encerclée s'est transformée en une unité et a disparu dans l'œuvre :

Il ne reste plus qu'à se débarrasser de la fraction à trois étages :

Qui a oublié la simplification des fractions à plusieurs niveaux, veuillez actualiser le matériel dans l'ouvrage de référence Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école .

Prêt. Réponse finale :

Si vous ne souhaitez pas utiliser de traits de crayon, la solution peut s'écrire comme ceci :

“

Utilisons la première limite merveilleuse

“

Exemple 2

Trouver la limite

Encore une fois, nous voyons une fraction et un sinus dans la limite. Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

En effet, nous sommes dans l’incertitude et nous devons donc essayer d’organiser la première limite merveilleuse. En classe Limites. Exemples de solutions nous avons considéré la règle selon laquelle, en cas d'incertitude, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur. Ici c’est la même chose, on représentera les diplômes comme un produit (multiplicateurs) :

Semblable à l'exemple précédent, on dessine au crayon autour des limites remarquables (ici il y en a deux), et on indique qu'elles tendent vers l'unité :

En fait, la réponse est prête :

Dans les exemples suivants, je ne ferai pas d'art dans Paint, je pense que comment rédiger correctement une solution dans un cahier - vous l'avez déjà compris.

Exemple 3

Trouver la limite

On substitue zéro dans l'expression sous le signe limite :

Une incertitude a été obtenue et doit être divulguée. S'il y a une tangente dans la limite, alors elle est presque toujours convertie en sinus et cosinus en utilisant la formule trigonométrique bien connue (d'ailleurs, ils font à peu près la même chose avec la cotangente, voir matériel méthodologique Formules trigonométriques chaudes sur la page Formules mathématiques, tableaux et documents de référence).

Dans ce cas:

Le cosinus de zéro est égal à un, et il est facile de s'en débarrasser (n'oubliez pas de marquer qu'il tend vers un) :

Ainsi, si à la limite le cosinus est un MULTIPLICATEUR, alors, grosso modo, il faut le transformer en une unité qui disparaît dans le produit.

Ici, tout s'est avéré plus simple, sans multiplications ni divisions. La première limite remarquable se transforme également en une et disparaît dans le produit :

En conséquence, l'infini est obtenu, et cela se produit.

Exemple 4

Trouver la limite

Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

L'incertitude est obtenue (le cosinus de zéro, on s'en souvient, est égal à un)

Nous utilisons la formule trigonométrique. Attention ! Pour une raison quelconque, les limites utilisant cette formule sont très courantes.

Déplaçons les facteurs constants au-delà de l'icône de limite :

Organisons la première merveilleuse limite :

Nous n’avons ici qu’une seule limite remarquable, qui se transforme en une et disparaît dans le produit :

Débarrassons-nous de la structure à trois étages :

La limite étant effectivement résolue, on indique que le sinus restant tend vers zéro :

Exemple 5

Trouver la limite

Cet exemple est plus compliqué, essayez de le comprendre vous-même :

Certaines limites peuvent être réduites à la 1ère limite remarquable en changeant une variable, vous pourrez lire cela un peu plus loin dans l'article Méthodes pour résoudre les limites.

Deuxième merveilleuse limite

Dans la théorie de l’analyse mathématique, il a été prouvé que :

Ce fait est appelé deuxième limite merveilleuse.

Référence: est un nombre irrationnel.

Le paramètre peut être non seulement une variable, mais aussi une fonction complexe. La seule chose importante c'est qu'il vise l'infini.

Exemple 6

Trouver la limite

Lorsque l'expression sous le signe limite est en degré, c'est le premier signe que vous devez essayer d'appliquer la deuxième limite merveilleuse.

Mais d'abord, comme toujours, nous essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression, le principe par lequel cela est fait est discuté dans la leçon Limites. Exemples de solutions.

Il est facile de remarquer que lorsque la base du degré est , et l'exposant est , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude de la forme :

Cette incertitude est précisément révélée à l'aide de la deuxième limite remarquable. Mais, comme cela arrive souvent, la deuxième limite merveilleuse ne se trouve pas sur un plateau d’argent et doit être organisée artificiellement. Vous pouvez raisonner ainsi : dans cet exemple le paramètre est , ce qui signifie qu'il faut aussi s'organiser dans l'indicateur. Pour ce faire, on élève la base à la puissance, et pour que l'expression ne change pas, on l'élève à la puissance :

Lorsque la tâche est terminée à la main, on marque au crayon :

Presque tout est prêt, le terrible diplôme s'est transformé en une jolie lettre :

Dans ce cas, nous déplaçons l'icône de limite elle-même vers l'indicateur:

Exemple 7

Trouver la limite

Attention! Ce type de limite se produit très souvent, merci d'étudier cet exemple très attentivement.

Essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression sous le signe limite :

Le résultat est l’incertitude. Mais la deuxième limite remarquable concerne l’incertitude de la forme. Ce qu'il faut faire? Nous devons convertir la base du diplôme. On raisonne ainsi : au dénominateur on a , ce qui veut dire qu'au numérateur il faut aussi organiser .