Construire une projection d'un point à l'aide de coordonnées. Construction d'un dessin complexe d'un point

Construire des traces du plan donné par ∆BCD et déterminer la distance du point A au plan donné en utilisant la méthode du triangle rectangle(pour les coordonnées des points A, B, C et D, voir le tableau 1 de la section Tâches) ;

1.2. Exemple de tâche n°1

La première tâche présente un ensemble de tâches sur les sujets suivants :

1. Projection orthogonale, diagramme de Monge, point, droite, plan: par coordonnées connues de trois points B, C, D construire des projections horizontales et frontales du plan donné par ∆ BCD;

2. Traces d'une droite, traces d'un plan, propriétés d'appartenance à un plan droit: construire des traces du plan donné par ∆ BCD;

3. Plans généraux et particuliers, intersection d'une droite et d'un plan, perpendiculaire d'une droite et d'un plan, intersection de plans, méthode du triangle rectangle: déterminer la distance à partir d'un point UN planer ∆ BCD.

1.2.1. Basé sur les coordonnées connues de trois points B, C, D construisons des projections horizontales et frontales du plan donné par ∆ BCD(Figure 1.1), pour laquelle il faut construire des projections horizontales et frontales des sommets ∆ BCD, puis connectez les projections des sommets du même nom.

On sait que suivre l'avion est une droite obtenue à la suite de l'intersection d'un plan donné avec le plan de projection .

Un avion en position générale possède 3 traces : horizontal, frontal et profil.

Pour construire des traces d'un plan, il suffit de construire des traces (horizontales et frontales) de deux droites quelconques situées dans ce plan et de les relier entre elles. Ainsi, la trace du plan (horizontale ou frontale) sera déterminée de manière unique, puisqu'à travers deux points du plan (dans ce cas, ces points seront les traces de droites) une droite peut être tracée, et une seule.

La base de cette construction est propriété d'appartenir à un plan droit: si une droite appartient à un plan donné, alors ses traces reposent sur des traces similaires de ce plan .

Le tracé d'une droite est le point d'intersection de cette droite avec le plan de projection. .

La trace horizontale d'une ligne droite se situe dans le plan horizontal des projections, la trace frontale - dans le plan frontal des projections.

Considérons la construction trace horizontale direct D.B., pour lequel il vous faut :

1. Continuez la projection frontale tout droit D.B. jusqu'à ce qu'il croise l'axe X, point d'intersection M2 est une projection frontale de la trace horizontale ;

2. D'un point de vue M2 restaurer la perpendiculaire (ligne de connexion de projection) jusqu'à ce qu'elle croise la projection horizontale de la ligne droite D.B. M1 et sera une projection horizontale de la trace horizontale (Figure 1.1), qui coïncide avec la trace elle-même M..

La trace horizontale du segment est construite de la même manière NE droit : pointe M'.

Pour construire trace frontale segment C.B. direct, il vous faut :

1. Continuez la projection horizontale de la ligne droite C.B. jusqu'à ce qu'il croise l'axe X, point d'intersection N°1 est une projection horizontale de la trace frontale ;

2. D'un point de vue N°1 restaurer la perpendiculaire (ligne de connexion de projection) jusqu'à ce qu'elle croise la projection frontale de la ligne droite C.B. ou sa suite. Point d'intersection N 2 et sera une projection frontale de la trace frontale, qui coïncide avec la trace elle-même N.

Relier les points M'1 Et M1 segment de droite, on obtient une trace horizontale du plan απ 1 . Point α x d'intersection de απ 1 avec l'axe X appelé point de fuite . Pour construire la trace frontale du plan απ 2, il faut relier la trace frontale N 2 avec le point de fuite des traces α x

Figure 1.1 — Construction de traces planes

L'algorithme pour résoudre ce problème peut être présenté comme suit :

1. (D 2 B 2 ∩ BŒUF) = M. 2 ;
2. (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M. 1 = M.;
3. (C 2 B 2 ∩ BŒUF) = M' 2 ;
4. (M' 2 M' 1 ∩ C 1 B 1) = M' 1 = M';
5. (CB∩ π 2) = N 2 = N;
6. (MM′) ≡ απ 1 ;
7. (αx N) ≡απ 2 .

1.2.2. Pour résoudre la deuxième partie de la première tâche, vous devez savoir que :

• distance du point UN planer ∆ BCD déterminé par la longueur de la perpendiculaire restituée de ce point au plan ;
• toute droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes situées dans ce plan ;
• sur le schéma, les projections d'une droite perpendiculaire au plan sont perpendiculaires aux projections inclinées de l'horizontale et frontale de ce plan ou aux traces du même nom du plan (Fig. 1.2) (voir le Théorème sur la perpendiculaire à l'avion pendant les cours).

Pour trouver la base d'une perpendiculaire, il faut résoudre le problème de l'intersection d'une droite (dans ce problème, une telle droite est une perpendiculaire à un plan) avec un plan :

1. Enfermer la perpendiculaire dans un plan auxiliaire, qui doit être pris comme plan de position particulière (se projetant horizontalement ou se projetant frontalement ; dans l'exemple, γ se projetant horizontalement est pris comme plan auxiliaire, c'est-à-dire perpendiculaire à π 1, son la trace horizontale γ 1 coïncide avec une projection horizontale d'une perpendiculaire) ;

2. Trouver la ligne d'intersection du plan donné ∆ BCD avec auxiliaire γ ( MN sur la fig. 1.2);

3. Trouver le point d'intersection de la ligne d'intersection des plans MN avec une perpendiculaire (point À sur la fig. 1.2).

4. Pour déterminer la vraie distance d'un point UNà un plan donné ∆ BCD devrait être utilisé méthode du triangle rectangle: la vraie taille d'un segment est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont une branche est l'une des projections du segment, et l'autre est la différence des distances entre ses extrémités et le plan de projections dans lequel la construction est en cours effectué.

5. Déterminez la visibilité des sections perpendiculaires à l'aide de la méthode des points concurrents. Par exemple - points N Et 3 pour déterminer la visibilité sur π 1, les points 4 , 5 - déterminer la visibilité sur π 2.

Figure 1.2 - Construction d'une perpendiculaire au plan

Figure 1.3 — Exemple de conception de la tâche de contrôle n° 1

Exemple vidéo de réalisation de la tâche n°1

1.3. Options de tâche 1

Type de cours : leçon de généralisation et de systématisation des connaissances.

Méthodes : travail verbal, visuel, en binôme, autonome, questionnement frontal, contrôle et évaluation

Équipement: tableau blanc interactif, cartes pour le travail indépendant

Cible: consolider les compétences de recherche des coordonnées des points marqués et de construction de points selon des coordonnées données.

Objectifs de la leçon :

Pédagogique:

• généralisation des connaissances et des compétences des étudiants sur le thème « Plan de coordonnées » ;
• contrôle intermédiaire des connaissances et des compétences des étudiants.

Pédagogique:

• développement des compétences informatiques des étudiants;
• développement de la pensée logique;
• développement du discours et des perspectives mathématiques des étudiants ;
• développement de compétences de travail indépendant.

Pédagogique:

• inculquer la discipline dans l'organisation du travail en classe ;
• favoriser la précision lors de l’exécution des constructions.

Structure de la leçon :

1. Moment organisationnel.
2. Vérification des devoirs.
3. Actualisation des connaissances de base.
4. Diagnostic de l'acquisition des connaissances et des compétences des étudiants.
5. Résumer la leçon.
6. Devoirs.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

1. Moment organisationnel

Aujourd'hui, nous allons répéter ce que nous avons vu au cours de plusieurs leçons. Rappelez-vous ce que nous avons fait en classe, quels sujets nous avons étudiés, ce qui vous a le plus intéressé, ce dont vous vous souvenez, ce qui est resté incompréhensible sur le thème « Plan de coordonnées ». Construire un point à partir de ses coordonnées." Notre tâche : répéter, généraliser, systématiser les connaissances sur le thème « Plan de coordonnées ».

2. Vérification des devoirs

Voyons maintenant comment vous avez fait vos devoirs. En utilisant les coordonnées données, vous deviez construire une figure, reliant les points adjacents les uns aux autres au fur et à mesure de la construction. À la fin des travaux, vous devriez avoir un chiffre :

3. Actualisation des connaissances de base

La tâche « Résoudre les mots croisés » vous aidera à mémoriser les concepts de base sur le thème « Plan de coordonnées ».
Une grille de mots croisés apparaît sur l’écran du tableau blanc interactif et les élèves sont invités à la résoudre.

1. Deux lignes de coordonnées forment une coordonnée... (plan)
2. Les lignes de coordonnées sont des coordonnées... (axes)
3. Quel angle se forme lorsque les lignes de coordonnées se croisent ? (direct)
4. Quel est le nom d'une paire de nombres qui déterminent la position d'un point sur un plan ? (coordonner)
5. Quel est le nom de la première coordonnée ? (abscisse)
6. Comment s’appelle la deuxième coordonnée ? (ordonnée)
7. Quel est le nom du segment de 0 à 1 ? (unité)
8. En combien de parties le plan de coordonnées est-il divisé par des lignes de coordonnées ? (quatre)

4. Diagnostic de l’assimilation des connaissances et des compétences par les étudiants

Marquez les points sur le plan de coordonnées :

UNE(-3 ; 0); B(2;-3); C(-4 ; 2); ré(0 ; 4); E(1 ; 3); O(0 ; 0)

Passons maintenant à la construction d'une figure à l'aide de points sur le plan de coordonnées. Les coordonnées des points sont données. Construisez une figure en reliant les points adjacents les uns aux autres au fur et à mesure que vous construisez.

Travail indépendant.
(vérification par vérification mutuelle)

5. Résumer la leçon

Questions pour les étudiants :

1) Qu'est-ce qu'un plan de coordonnées ?
2) Comment s'appellent les axes de coordonnées OX et OU ?
3) Quel angle se forme lorsque les lignes de coordonnées se croisent ?
4) Quel est le nom d'une paire de nombres qui déterminent la position d'un point sur un plan ?
5) Quel est le nom du premier numéro ?
6) Comment s’appelle le deuxième numéro ?

6. Devoirs

1. P(-1,5 ; 10),
2. (-1,5; 11),
3. (-2; 12),
4. (-3; 12),
5. (-3,5; 11),
6. (-3,5; 10),
7. (-5; 12),
8. (-9; 14),
9. (-14; 15),
10. (-12; 10),
11. (-10; 8),
12. (-8; 7),
13. (-4; 6),
14. (-6; 6),
15. (-9; 5),
16. (-12; 3),
17. (-14; 0),
18. (-14; -2),
19. (-12; -2),
20. (-7; -1),
21. (-3; 3),
22. (-4; 1),
23. (-3; 0),
24. (-4; -1),
25. (-2,5; -2),
26. (-1; -1),
27. (-2; 0),
28. (-1; 1),

1. (-2; 3),
2. (2; -1),
3. (7; -2),
4. (9; -2),
5. (9; 0),
6. (7; 3),
7. (4; 5),
8. (1; 6),
9. (-1; 6),
10. (3; 7),
11. (5; 8),
12. (7; 10),
13. (9; 15),
14. (4; 14),
15. (0; 12),
16. (-1,5; 10).
17. P (-3,5 ; 10),
18. (-4; 6),
19. (-3; 3),
20. P (-1,5 ; 10),
21. (-1; 6),
22. (-2; 3).

1. (-2; 11),
2. (-3; 11)

Durée: 1 cours (45 minutes).
Classe: 6ème année
Technologies:

• présentation multimédia Microsoft Office PowerPoint, Notebook;
• utilisation d'un tableau blanc interactif ;
• document destiné aux étudiants créé à l'aide de Microsoft Office Word et de Microsoft Office Excel.

Annotation:
En planification thématique, 6 heures sont allouées au thème « Coordonnées ». Il s'agit de la quatrième leçon sur le thème « Coordonnées ». Au moment du cours, les élèves connaissaient déjà la notion de « plan de coordonnées » et les règles de construction d'un point. L'actualisation des connaissances s'effectue sous la forme d'une enquête frontale. Dans les cours de révision, tous les élèves sont impliqués dans diverses activités. Dans ce cas, tous les canaux de perception et de reproduction du matériel sont utilisés.
L'assimilation de la théorie est également testée lors d'un travail oral (tâche de résoudre des mots croisés, dans quel quartier se trouve le point). Des tâches supplémentaires sont prévues pour les étudiants forts.
La leçon utilise un équipement multimédia et un tableau blanc interactif pour démontrer des présentations et des devoirs dans Microsoft Office PowerPoint et Notebook. Pour créer des tâches de test et des documents, les éléments suivants ont été utilisés : Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word.
L'utilisation d'un tableau blanc interactif élargit les possibilités de présentation du matériel. Dans le programme Notebook, les étudiants peuvent déplacer indépendamment des objets vers l'emplacement souhaité. Dans Microsoft Office PowerPoint, il est possible de définir le mouvement des objets, des exercices physiques pour les yeux sont donc proposés.

La leçon utilise :

• vérifier les devoirs;
• travail frontal;
• travail individuel des étudiants;
• présentation du rapport de l'étudiant;
• effectuer des exercices oraux et écrits;
• travail des étudiants avec un tableau blanc interactif ;
• travail indépendant.

Résumé de la leçon.

Cible: consolider les compétences de recherche des coordonnées des points marqués et de construction de points selon des coordonnées données.
Objectifs de la leçon :
pédagogique:

• généralisation des connaissances et des compétences des étudiants sur le thème « Plan de coordonnées » ;
• contrôle intermédiaire des connaissances et des compétences des étudiants ;

développement:

• développement de la compétence communicative des étudiants;
• développement des compétences informatiques des étudiants;
• développement de la pensée logique;
• développer l'intérêt des étudiants pour la matière à travers une forme d'enseignement non traditionnelle ;
• développement du discours et des perspectives mathématiques des étudiants ;
• développer la capacité de travailler de manière indépendante avec un manuel et de la littérature supplémentaire ;
• développement des sentiments esthétiques des étudiants;

pédagogique:

• inculquer la discipline dans l'organisation du travail en classe ;
• favoriser l'activité cognitive, le sens des responsabilités et une culture de la communication ;
• favoriser la précision lors de l’exécution des constructions.

Déroulement de la leçon.

• Moment organisationnel.

Accueillir les étudiants. Présentation du sujet et du but de la leçon. Vérifier l'état de préparation de la classe pour la leçon. La tâche est fixée : répéter, généraliser, systématiser les connaissances sur le sujet annoncé.

2. Actualisation des connaissances.

Comptage oral.
1) Travail individuel : plusieurs personnes effectuent le travail sur les cartes.

2) Travaillez avec la classe : calculez des exemples et inventez un mot. Le tableau est sur l'écran du tableau interactif, les lettres sont inscrites dans le tableau avec un marqueur électronique du tableau interactif.

À tour de rôle, les élèves se rendent au tableau et écrivent les lettres. Le résultat est le mot « Prométhée ». L'un des étudiants, qui a préparé un rapport à l'avance, explique ce que signifie ce mot. (L'astronome grec Claudius Ptolémée, qui utilisait déjà la latitude et la longitude comme coordonnées au IIe siècle.)

Travail de façade.

La tâche « Résoudre les mots croisés » vous aidera à mémoriser les concepts de base sur le thème « Plan de coordonnées ».
L'enseignant montre une grille de mots croisés sur l'écran du tableau interactif et demande aux élèves de la résoudre. Les élèves utilisent des marqueurs électroniques pour écrire des mots dans des mots croisés.
1. Deux lignes de coordonnées forment une ligne de coordonnées....
2. Les lignes de coordonnées sont des coordonnées….
3. Quel angle se forme lorsque les lignes de coordonnées se croisent ?
4. Quel est le nom d'une paire de nombres qui déterminent la position d'un point sur un plan ?
5. Quel est le nom du premier numéro ?
6. Comment s’appelle le deuxième numéro ?
7. Quel est le nom du segment de 0 à 1 ?
8. En combien de parties le plan de coordonnées est-il divisé par des lignes de coordonnées ?

3. Consolidation des compétences et des capacités pour construire une figure géométrique selon les coordonnées données de ses sommets.

Construction de figures géométriques. Travailler avec un manuel dans des cahiers.

• N° 1054a « Construire un triangle si les coordonnées de ses sommets sont connues : A(0;-3), B(6:2), C(5:2). Indiquez les coordonnées des points où les côtés du triangle coupent l’axe des x.
• Construire un quadrilatère ABCD si A(-3;1), B(1;1), C(1;-2), D(-3;-2). Déterminez le type de quadrilatère. Trouvez les coordonnées de l'intersection des diagonales.

4. Exercice pour les yeux.

Sur la diapositive, les élèves doivent suivre du regard les mouvements de l’objet. A la fin de la séance physique, une question est posée sur les formes géométriques obtenues grâce aux mouvements oculaires.

5. Contrôle de la capacité à construire des points sur le plan de coordonnées en fonction de coordonnées données.

Travail indépendant. Concours d'artistes.
Les coordonnées des points sont enregistrées sur la diapositive. Des cartes sont également imprimées pour chaque élève. Si vous marquez correctement les points sur le plan de coordonnées et les connectez séquentiellement, vous obtiendrez un dessin. Chaque élève accomplit la tâche de manière indépendante. Une fois le travail terminé, le dessin correct s'ouvre à l'écran. Chaque étudiant reçoit une note pour son travail indépendant.

6. Devoirs.

• N° 1054b, n° 1057a.
• Tâche créative : dessinez une image de points sur un plan de coordonnées et notez les coordonnées de ces points.

7. Résumer la leçon.

Questions pour les étudiants :

• Qu'est-ce qu'un plan de coordonnées ?
• Comment s'appellent les axes de coordonnées OX et OU ?
• Quel angle se forme lorsque les lignes de coordonnées se croisent ?
• Quel est le nom d’une paire de nombres qui déterminent la position d’un point sur un plan ?
• Quel est le nom du premier numéro ?
• Comment s'appelle le deuxième numéro ?

Littérature et ressources :

• G.V. Dorofeev, S.B. Suvorova, I.F. Sharygin « Mathématiques. 6kl”
• Mathématiques. 6e année : Plans de cours (d'après le manuel de G.V. Dorofeev et autres)
• http://www.pereplet.ru/nauka/almagest/alm-cat/Ptolemy.htm

Plans de projection V,H, W sont pris comme plans de coordonnées, et les axes de projection X,Oui,Z pour les axes de coordonnées, positifs et négatifs (Fig. 10).

La position d'un point dans l'espace est spécifiée par trois coordonnées - X,Oui,Z. Les projections d'un point sont spécifiées par deux coordonnées : UN(X, oui),UN'(X, z),UN''(oui, z).

Connaissant la direction des valeurs positives et négatives des axes de coordonnées, en tenant compte des propriétés des projections du point, il est possible de construire des projections du point à partir des coordonnées. Considérons plusieurs problèmes sur ce sujet.

Tâche. Construire des projections d'un point UN(–10 ; 40 ; –30) (Fig.10).

Riz. 10. Construction de projections d'un point UN par coordonnées

Construire une projection frontale UN' points UNà droite du point À PROPOS sur l'axe X mettre de côté la valeur X= –10. En bas du point À PROPOS le long de l'axe Z mettre de côté la valeur Z= –30. Intersection de perpendiculaires à partir de points et X Et et Z,restitué aux axes correspondants X Et Z, déterminez le point UN'.

Pour construire une projection horizontale UN points UN le long de l'axe Oui en bas du point À PROPOS mettre de côté la valeur oui= – 40. Par un point et Oui tracer une perpendiculaire jusqu'à ce qu'elle croise la ligne de communication a'a X. Marquer un point UN– projection horizontale d'un point UN. Selon l'emplacement des projections frontales et horizontales du point UN nous déterminons que le point UN situé dans l'octant VΙΙΙ.

Pour construire une projection de profil UN'' points UNà travers sa projection frontale UN' tracer une ligne de communication a'a Z et dessus, à droite du point et Z, mettez de côté la valeur oui= 40. Marquez le point UN''– projection de profil d'un point UN.

Tâche. Construire des projections de points selon des coordonnées et indiquer l'octant dans lequel se trouve chacun d'eux.

Données initiales : UN(10; –30; 40), DANS(70; 50; –10), AVEC(20; 15; 0), D(60; 35; 40), E(50; –10; –25).

Solution. L'ordre d'exécution de la partie graphique de la tâche (Fig. 11) :

1. Dessinez les axes de coordonnées X,Oui,Z. Nous indiquons leurs directions positives et négatives.

2. Nous construisons des points sur une échelle de 1:1.

Point A(10; –30; 40):

Projection frontale UN' points UN déterminé par les coordonnées X,Z; le long de l'axe X réserver 10 mm, le long de l'axe Z– 40mm.

Projection horizontale UN points UN déterminé par les coordonnées X,(–Oui), une distance de 30 mm est prévue le long de l'axe (– Oui Z.

Projection de profil UN'' points UN déterminé par les coordonnées (– Oui), Z. Dans ce cas, une distance de 30 mm est prévue le long de l'axe (– Oui), coïncidant avec la direction positive de l'axe X. Par conséquent, le point UN est dans l'octant ΙΙ.

Point B(70; 50; –10):

Construire une projection frontale b′(X= 70; Oui= –10) points UN. Une distance de 10 mm doit être prévue dans le sens négatif de l'axe Z. Préciser : frontal b′ et horizontale b projection ponctuelle DANS sera situé sur la ligne de communication en dessous de l'axe X. Projection de profil b' points DANS situé à droite de l'axe Z et en dessous de l'axe X. En analysant les signes de coordonnées (+ + –) et l'emplacement des projections du point, nous concluons que le point DANS est dans l'octant ΙV.

Point C(20; 15; 0):

Lors de la construction de ce point, il est évident que la projection frontale Avec' points AVEC se trouve sur l'axe X, et sa projection de profil UN'' se trouve sur l'axe Oui, coïncidant avec la direction négative de l'axe X. Supprimer un point AVEC du plan de projection N est égal à zéro ( oui= 0), d'où le point AVEC se trouve dans un avion N, à la frontière des octants Ι et ΙV.

Point D(60; 35; 40):

Toutes les valeurs de coordonnées sont positives, donc le point D est dans le 1er octant.

Point E(50; –10; –25):

Pour les valeurs négatives Oui Et Z le point est situé dans l'octant ΙΙΙ. Les projections d'un tel point se situent :

Projection frontale e' points E situé sous l'axe X, à gauche de l'axe Oui;

Projection horizontale e points E situé au dessus de l'axe X, à gauche de l'axe Z;

Projection de profil e' points E situé à gauche de l'axe Z, en dessous de l'axe X.

Conclusion. La position d'un point dans l'espace est complètement définie si ses trois coordonnées ou deux projections orthogonales sont connues. En conséquence, en utilisant deux projections orthogonales données d'un point, vous pouvez toujours construire sa troisième projection orthogonale manquante.

Riz. 11. Construire des points par coordonnées indiquant des octants

Envisagez de construire un point à partir de deux projections orthogonales données.

Tâche.À l'aide de deux projections orthogonales données, construisez la projection manquante du point DANS(Fig. 12).

Riz. 12. État graphique du problème

Solution. Nous analysons la condition graphique du problème : les projections frontale et de profil du point sont données DANS. Cela signifie que les trois coordonnées du point sont données DANS. Il est donc nécessaire de construire sa projection horizontale.

1. Construire une projection horizontale d'un point DANS besoin de savoir XB Et UV. On retrouve ces coordonnées dans le dessin.

2. Nous mesurons У В = b Z b′′ et tracez cette coordonnée le long de la ligne de connexion à partir de l'axe OH du point bX.

3. Construire une projection horizontale d'un point DANS(Fig. 13).

Riz. 13. Construire la projection manquante d'un point DANS

LIGNE DROITE

En projection orthogonale sur des plans de projection, une ligne droite est projetée comme une ligne droite. Construire des projections de cette droite passant par des points donnés UN Et DANS, vous devez construire des projections de ces points et tracer des lignes droites passant par leurs projections du même nom (Fig. 14). On obtient :

un ab– projection horizontale d'un segment de droite ;

un'b'– projection frontale d’un segment de droite.

Riz. 14. Projections d'un segment de droite passant par deux points

Traces d'une ligne droite

La ligne droite coupe les plans de projection en des points appelés traces direct.

Point d'intersection de la ligne N avec plan de projection horizontal N(P 1) s’appelle trace horizontale N H .

Le point d'intersection de la droite avec le plan de projection frontale V(P2) – trace frontale N V.

Point d'intersection de la ligne N avec plan de projection de profil W(P3) – trace de profil N W direct.

Conclusion:

· trace horizontale droite est un point qui appartient simultanément à une ligne donnée et se situe dans le plan horizontal des projections H(P1);

· trace frontale droite est un point qui appartient simultanément à une ligne donnée et se situe dans le plan frontal des projections V(P2);

· trace de profil droite est un point qui appartient simultanément à une ligne donnée et se trouve dans le plan de profil des projections W(P3).

Tâche. Construire des points d'intersection de lignes N de l'horizontale N(P 1) et frontal V(P 2) plans de projection (Fig. 15 un ab).

En analysant le problème, nous arrivons à la conclusion qu'il est nécessaire de construire des traces horizontales et frontales d'une ligne droite.

1. Construction de la trace frontale N V .

N et plan frontal de projections. Selon le matériel présenté précédemment, la projection horizontale du point souhaité doit :

- s'allonger sur l'axe X;

– appartiennent à la projection horizontale de la ligne N.

L'ordre d'exécution de la partie graphique de la tâche :

1.1. Marquez le point d'intersection de la projection horizontale n direct N avec essieu X, nous comprenons le point nV– projection horizontale de la trace frontale.

1.2. À travers le point nV X.

1.3. Trouver le point d'intersection de la ligne de communication avec la projection frontale n' direct N, nous comprenons le point NV– projection frontale de la trace frontale. Par ce point, la ligne droite mène au deuxième quart (Fig. 15 UN) et au troisième trimestre (Fig. 15 b).

2. Construction de la trace horizontale N H .

Il faut construire un point appartenant à une droite N et plan de projection horizontal N. D'après le matériel présenté précédemment, la projection frontale du point souhaité doit :

- s'allonger sur l'axe X;

– appartiennent à la projection frontale de la droite N.

L'ordre d'exécution de la partie graphique de la tâche :

2.1. Marquez le point d'intersection de la projection frontale n' droit N avec essieu X, nous comprenons le point nH– projection frontale de la trace horizontale.

2.2. À travers le point nH tracer une ligne de connexion perpendiculaire à l'axe X.

2.3. Trouver le point d'intersection de la ligne de connexion avec la projection horizontale n direct N, on obtient une projection frontale de la trace frontale. À ce stade, la ligne droite coupe le plan horizontal et pénètre dans le quatrième quart (Fig. 15). UN,b).

Riz. 15. Construire des traces d'une ligne droite N:

UN– la ligne droite entre dans le deuxième quart-temps ; b– la ligne droite entre dans le troisième quart-temps

3.2. Position du point par rapport aux plans de projection

La position d'un point dans l'espace par rapport aux plans de projection est déterminée par ses coordonnées. La coordonnée X détermine la distance d'un point au plan P 3 (projection sur P 2 ou P 1), la coordonnée Y – la distance au plan P 2 (projection sur P 3 ou P 1), la coordonnée Z – la distance du plan P 1 (projection sur P 3 ou P 2). En fonction de la valeur de ces coordonnées, un point peut occuper à la fois une position générale et une position particulière dans l'espace par rapport aux plans de projection (Fig. 3.1).

Riz. 3.1. Classement par points

Tpointsgénéraldispositions. Les coordonnées d'un point générique ne sont pas égales à zéro ( x≠0, oui≠0, z≠0 ), et selon le signe de la coordonnée, le point peut être localisé dans l'un des huit octants (Tableau 2.1).

Sur la fig. 3.2 fournit des dessins de points en position générale. L'analyse de leurs images permet de conclure qu'ils se situent dans les octants d'espace suivants : A(+X;+Y; +Z(  Ioctant;B(+X;+Y;-Z(  IVoctant;C(-X;+Y; +Z(  Votant;D(+X;+Y; +Z(  IIoctant.

Points de position particulière. L'une des coordonnées en un point d'une position particulière est égale à zéro, donc la projection du point se trouve sur le champ de projection correspondant, les deux autres sur les axes de projection. Sur la fig. 3.3 ces points sont les points A, B, C, D, G.A  P 3, alors le point X A = 0 ; DANS  P 3, alors point X B = 0 ; AVEC  П 2, alors pointY C =0;D  P 1, alors le point Z D = 0.

Un point peut appartenir à deux plans de projection à la fois s'il se trouve sur la ligne d'intersection de ces plans - l'axe de projection. Pour de tels points, seule la coordonnée sur cet axe n'est pas nulle. Sur la fig. 3.3 un tel point est le point G(G  OZ, alors point X G =0,Y G =0).

3.3. Position relative des points dans l'espace

Considérons trois options pour la disposition relative des points en fonction du rapport des coordonnées qui déterminent leur position dans l'espace.

Sur la fig. 3.4 Les points A et B ont des coordonnées différentes.

Leur position relative peut être appréciée par leur distance aux plans de projection : Y A > Y B, alors le point A est situé plus loin du plan P 2 et plus proche de l'observateur que le point B ; Z A > Z B, alors le point A est situé plus loin du plan P 1 et plus proche de l'observateur que le point B ;

XA

Sur la fig. 3.5 montre les points A, B, C, D, pour lesquels l'une des coordonnées est la même et les deux autres sont différentes.

Leur position relative peut être évaluée par leur distance aux plans de projection comme suit :

Z A =Z B =Z C, alors les points A, B et C sont équidistants du plan P 1, et leurs projections frontales et de profil sont situées respectivement sur les droites [A 2 B 2 ]llОХ et [A 3 C 3 ] llOY. L'emplacement géométrique de tels points est un plan parallèle à P 1 ;

X A =X C =X D, alors les points A, C et D sont équidistants du plan P 3 et leurs projections horizontale et frontale sont situées respectivement sur les droites [A 1 C 1 ]llOY et [A 2 D 2 ]llOZ . La localisation géométrique de tels points est un plan parallèle à P3.

3. Si les points ont deux coordonnées égales du même nom, alors ils sont appelés en compétition. Les points concurrents sont situés sur la même ligne de projection. Sur la fig. 3.3 il existe trois paires de tels points pour lesquels : X A = X D ; Y A = Y D ; ZD > ZA ;

XA = XC ; Z A = Z C ; YC > YA ;

Oui A = Oui B ; Z A = Z B ; XB > XUNE .

Il y a des points A et D en concurrence horizontale, situés sur la ligne de projection horizontale AD, des points A et C en concurrence frontale, situés sur la ligne de projection frontale AC, des points en compétition de profil A et B, situés sur la ligne de projection de profil AB.

Conclusions sur le sujet

1. Un point est une image géométrique linéaire, l'un des concepts de base de la géométrie descriptive. La position d'un point dans l'espace peut être déterminée par ses coordonnées. Chacune des trois projections d'un point est caractérisée par deux coordonnées, leurs noms correspondent aux noms des axes qui forment le plan de projection correspondant : horizontal – A 1 (XA ; YA) ; frontal – A 2 (XA ; ZA) ; profil – A 3 (YA; ZA). La traduction des coordonnées entre les projections s'effectue à l'aide de lignes de communication. À l'aide de deux projections, vous pouvez construire des projections d'un point en utilisant des coordonnées ou graphiquement.

3. Un point par rapport aux plans de projection peut occuper à la fois une position générale et une position particulière dans l'espace.

4. Un point en position générale est un point qui n'appartient à aucun des plans de projection, c'est-à-dire situé dans l'espace entre les plans de projection. Les coordonnées d'un point générique ne sont pas égales à zéro (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Un point de position particulière est un point appartenant à un ou deux plans de projection. L'une des coordonnées au point d'une position particulière est égale à zéro, donc la projection du point se trouve sur le champ correspondant du plan de projection, les deux autres - sur les axes de projection.

6. Points concurrents – points dont les coordonnées du même nom coïncident. Il y a des points en concurrence horizontale, des points en concurrence frontale, des points en compétition de profil.

Mots-clés

Coordonnées des points

Points concurrents

Méthodes d'activité nécessaires pour résoudre les problèmes

– construction d'un point selon des coordonnées données dans un système de trois plans de projection dans l'espace ;

– construction d'un point selon des coordonnées données dans un système de trois plans de projection sur un dessin complexe.

Questions d'auto-test

1. Comment s'établit le lien entre l'emplacement des coordonnées sur un dessin complexe dans le système de trois plans de projection P 1 P 2 P 3 avec les coordonnées des projections ponctuelles ?

2. Quelles coordonnées déterminent la distance des points aux plans de projection horizontaux, frontaux et de profil ?

3. Quelles coordonnées et projections du point changeront si le point se déplace dans la direction perpendiculaire au plan de profil des projections P 3 ?

4. Quelles coordonnées et projections d'un point changeront si le point se déplace dans une direction parallèle à l'axe OZ ?

5. Quelles coordonnées déterminent la projection horizontale (frontale, de profil) d'un point ?

7. Dans quel cas la projection d'un point coïncide-t-elle avec le point dans l'espace lui-même et où se situent les deux autres projections de ce point ?

8. Un point peut-il appartenir simultanément à trois plans de projection et dans quel cas ?

9. Quels sont les noms des points dont les projections du même nom coïncident ?

10. Comment pouvez-vous déterminer lequel de deux points est le plus proche de l'observateur si leurs projections frontales coïncident ?

Tâches pour une solution indépendante

2. Construire des projections des points A et B selon leurs coordonnées sur une image visuelle et un dessin complexe : A(13,5 ; 20), B(6,5 ; –20). Construire une projection du point C, situé symétriquement au point A par rapport au plan frontal des projections P 2.

3. Construire des projections des points A, B, C selon leurs coordonnées sur une image visuelle et un dessin complexe : A(–20 ; 0 ; 0), B(–30 ; -20 ; 10), C(–10, –15, 0 ). Construisez le point D, situé symétriquement au point C par rapport à l'axe OX.

Un exemple de résolution d'un problème typique

Tâche 1. Les coordonnées X, Y, Z des points A, B, C, D, E, F sont données (Tableau 3.3)