Leçon sur le thème : "Graphique et propriétés de la fonction $y=x^3$. Exemples de tracé de graphiques"
Matériel supplémentaire
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, avis, souhaits. Tous les documents ont été vérifiés par un programme antivirus.
Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 7e année
Manuel électronique pour la 7e année "L'algèbre en 10 minutes"
Complexe pédagogique 1C "Algèbre, 7e à 9e années"
Propriétés de la fonction $y=x^3$
Décrivons les propriétés de cette fonction :
1. x est une variable indépendante, y est une variable dépendante.
2. Domaine de définition : il est évident que pour toute valeur de l'argument (x) la valeur de la fonction (y) peut être calculée. En conséquence, le domaine de définition de cette fonction est la droite numérique entière.
3. Plage de valeurs : y peut être n'importe quoi. En conséquence, la plage de valeurs correspond également à la droite numérique entière.
4. Si x= 0, alors y= 0.
Graphique de la fonction $y=x^3$
1. Créons une table de valeurs :
2. Pour valeurs positives x, le graphique de la fonction $y=x^3$ est très similaire à une parabole dont les branches sont plus « pressées » vers l'axe OY.
3. Parce que pour valeurs négatives La fonction x $y=x^3$ a sens opposés, alors le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.
Maintenant, marquons les points sur plan de coordonnées et construisez un graphique (voir Fig. 1).
Cette courbe s'appelle une parabole cubique.
Exemples
I. Sur un petit bateau, c'était complètement fini eau douce. Il faut apporter quantité suffisante l'eau de la ville. L'eau est commandée à l'avance et payée au cube plein, même si vous la remplissez un peu moins. Combien de cubes dois-je commander pour ne pas payer trop cher un cube supplémentaire et remplir complètement le réservoir ? On sait que le réservoir a la même longueur, largeur et hauteur, qui sont égales à 1,5 m. Résolvons ce problème sans effectuer de calculs.
Solution:
1. Traçons la fonction $y=x^3$.
2. Trouvez le point A, coordonnée x, qui est égale à 1,5. On voit que la coordonnée de la fonction est comprise entre les valeurs 3 et 4 (voir Fig. 2). Il faut donc commander 4 cubes.
La construction de graphiques de fonctions contenant des modules pose généralement des difficultés considérables aux écoliers. Cependant, tout n'est pas si mal. Il suffit de mémoriser quelques algorithmes pour résoudre de tels problèmes, et vous pouvez facilement créer un graphique même pour les plus apparemment fonction complexe. Voyons de quel type d'algorithmes il s'agit.
1. Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)|
Notez que l'ensemble des valeurs de fonction y = |f(x)| : y ≥ 0. Ainsi, les graphiques de telles fonctions sont toujours situés entièrement dans le demi-plan supérieur.
Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)| se compose des quatre étapes simples suivantes.
1) Construisez soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = f(x).
2) Laissez inchangés tous les points du graphique qui se trouvent au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Affichez la partie du graphique qui se trouve sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
Exemple 1. Tracez un graphique de la fonction y = |x 2 – 4x + 3|
1) On construit un graphe de la fonction y = x 2 – 4x + 3. Évidemment, le graphe de cette fonction est une parabole. Trouvons les coordonnées de tous les points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées et les coordonnées du sommet de la parabole.
x2 – 4x + 3 = 0.
x1 = 3, x2 = 1.
Par conséquent, la parabole coupe l'axe 0x aux points (3, 0) et (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Par conséquent, la parabole coupe l’axe 0y au point (0, 3).
Coordonnées du sommet de la parabole :
x dans = -(-4/2) = 2, y dans = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Le point (2, -1) est donc le sommet de cette parabole.
Dessinez une parabole en utilisant les données obtenues (Fig.1)
2) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à l'axe 0x.
3) On obtient un graphique de la fonction originale ( riz. 2, représenté en pointillé).
2. Tracer la fonction y = f(|x|)
Notez que les fonctions de la forme y = f(|x|) sont paires :
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont symétriques par rapport à l’axe 0y.
Tracer un graphique de la fonction y = f(|x|) consiste en la chaîne d'actions simple suivante.
1) Représentez graphiquement la fonction y = f(x).
2) Laissez la partie du graphique pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphique située dans le demi-plan droit.
3) Afficher la partie du graphique spécifiée au point (2) symétriquement à l'axe 0y.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 2. Tracez un graphique de la fonction y = x 2 – 4 · |x| + 3
Puisque x 2 = |x| 2, alors la fonction originale peut être réécrite sous la forme suivante : y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Nous pouvons maintenant appliquer l'algorithme proposé ci-dessus.
1) Nous construisons soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = x 2 – 4 x + 3 (voir aussi riz. 1).
2) On laisse la partie du graphe pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphe située dans le demi-plan droit.
3) Affichage côté droit les graphiques sont symétriques à l’axe 0y.
(Fig.3).
Exemple 3. Tracez un graphique de la fonction y = log 2 |x|
Nous appliquons le schéma donné ci-dessus.
1) Représentez graphiquement la fonction y = log 2 x (Fig.4).
3. Tracer la fonction y = |f(|x|)|
Notez que les fonctions de la forme y = |f(|x|)| sont également pairs. En effet, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), et par conséquent, leurs graphiques sont symétriques par rapport à l'axe 0y. L'ensemble des valeurs de telles fonctions : y ≥ 0. Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont entièrement situés dans le demi-plan supérieur.
Pour tracer la fonction y = |f(|x|)|, vous devez :
1) Construisez soigneusement un graphique de la fonction y = f(|x|).
2) Laissez inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Afficher la partie du graphique située sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 4. Tracez un graphique de la fonction y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Notez que x 2 = |x| 2. Cela signifie qu'au lieu de la fonction originale y = -x 2 + 2|x| – 1
vous pouvez utiliser la fonction y = -|x| 2 + 2|x| – 1, puisque leurs graphiques coïncident.
On construit un graphe y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pour cela nous utilisons l’algorithme 2.
a) Représentez graphiquement la fonction y = -x 2 + 2x – 1 (Fig.6).
b) On laisse la partie du graphique qui se situe dans le demi-plan droit.
c) Nous affichons la partie résultante du graphique symétriquement à l'axe 0y.
d) Le graphique résultant est représenté par la ligne pointillée sur la figure (Fig.7).
2) Il n'y a aucun point au-dessus de l'axe 0x ; nous laissons les points sur l'axe 0x inchangés.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique résultant est représenté sur la figure avec une ligne pointillée (Fig.8).
Exemple 5. Représentez graphiquement la fonction y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Vous devez d’abord tracer la fonction y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pour ce faire, nous revenons à l'algorithme 2.
a) Tracez soigneusement la fonction y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig.9).
Noter que cette fonction est fractionnaire linéaire et son graphique est une hyperbole. Pour tracer une courbe, vous devez d’abord trouver les asymptotes du graphique. Horizontal – y = 2/1 (le rapport des coefficients de x au numérateur et au dénominateur de la fraction), vertical – x = -3.
2) Nous laisserons inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus de l’axe 0x ou sur celui-ci.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x sera affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique final est présenté dans la figure (Fig.11).
site Web, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.
Voyons comment construire un graphique avec un module.
Trouvons les points à la transition desquels le signe des modules change.
Nous assimilons chaque expression sous le module à 0. Nous en avons deux x-3 et x+3.
x-3=0 et x+3=0
x=3 et x=-3
Notre droite numérique sera divisée en trois intervalles (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). A chaque intervalle, vous devez déterminer le signe des expressions modulaires.
1. C'est très simple à faire, considérons le premier intervalle (-∞;-3). Prenons n'importe quelle valeur de ce segment, par exemple -4 et remplaçons-la dans chaque équation modulaire au lieu de la valeur x.
x=-4
x-3=-4-3=-7 et x+3=-4+3=-1
Les deux expressions ont des signes négatifs, ce qui signifie que nous mettons un moins avant le signe du module dans l'équation, et au lieu du signe du module, nous mettons des parenthèses et nous obtenons l'équation requise sur l'intervalle (-∞;-3).
y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6
Sur l'intervalle (-∞;-3) le graphique a été obtenu fonction linéaire(direct) y=6
2. Considérons le deuxième intervalle (-3 ; 3). Voyons à quoi ressemblera l'équation graphique sur ce segment. Prenons n'importe quel nombre compris entre -3 et 3, par exemple 0. Remplacez la valeur 0 par la valeur x.
x=0
x-3=0-3=-3 et x+3=0+3=3
La première expression x-3 a un signe négatif et la deuxième expression x+3 a un signe positif. Par conséquent, avant l'expression x-3, nous écrivons un signe moins et avant la deuxième expression un signe plus.
y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x
Sur l'intervalle (-3;3) nous avons obtenu un graphique d'une fonction linéaire (droite) y=-2x
3. Considérons le troisième intervalle (3;+∞). Prenons n'importe quelle valeur de ce segment, par exemple 5, et remplaçons la valeur x dans chacune des équations modulaires.
x=5
x-3=5-3=2 et x+3=5+3=8
Pour les deux expressions, les signes se sont avérés positifs, ce qui signifie que nous mettons un plus devant le signe du module dans l'équation, et au lieu du signe du module, nous mettons des parenthèses et nous obtenons l'équation requise sur l'intervalle (3;+ ∞).
y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6
Sur l'intervalle (3;+∞) nous avons obtenu un graphique d'une fonction linéaire (ligne droite) у=-6
4. Résumons maintenant. Traçons le graphique y=|x-3|-|x+3|.
Sur l'intervalle (-∞;-3) on construit un graphique de la fonction linéaire (ligne droite) y=6.
Sur l'intervalle (-3;3) on construit un graphique de la fonction linéaire (ligne droite) y=-2x.
Pour construire un graphique de y = -2x, on sélectionne plusieurs points.
x=-3 y=-2*(-3)=6 le résultat est un point (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 le résultat est un point (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 le résultat est le point (3;-6)
Sur l'intervalle (3;+∞) on construit un graphique de la fonction linéaire (ligne droite) у=-6.
5. Analysons maintenant le résultat et répondons à la question, trouvons la valeur de k à laquelle la droite y=kx a avec le graphique y=|x-3|-|x+3| une fonction donnée a exactement un point commun.
La droite y=kx pour toute valeur de k passera toujours par le point (0;0). Par conséquent, on ne peut changer que la pente de cette droite y=kx, et le coefficient k est responsable de la pente.
Si k est quelconque nombre positif, alors il y aura une intersection de la droite y=kx avec le graphique y=|x-3|-|x+3|. Cette option nous convient. 
Si k prend la valeur (-2;0), alors l'intersection de la droite y=kx avec le graphe y=|x-3|-|x+3| il y en aura trois. Cette option ne nous convient pas. 
Si k=-2, il y aura plusieurs solutions [-2;2], car la droite y=kx coïncidera avec le graphique y=|x-3|-|x+3| dans ce domaine. Cette option ne nous convient pas. 
Si k est inférieur à -2, alors la droite y=kx avec le graphique y=|x-3|-|x+3| aura une intersection. Cette option nous convient. 
Si k=0, alors l'intersection de la droite y=kx avec le graphe y=|x-3|-|x+3| il y en aura aussi un. Cette option nous convient. 
Réponse : lorsque k appartient à l'intervalle (-∞;-2)U et augmente sur l'intervalle )
