Résolution d'équations modulaires. Leçon parascolaire - Théorème de Vieta

Passons immédiatement à l'examen du système de paris, lorsque la seule option correcte pour le résultat du jeu au lieu de deux sera trois comme :
X - dessiner ;
W1 - victoire de l'équipe première ;
W2 - victoire de la deuxième équipe.

Comme vous l’avez peut-être deviné, la principale application de cette stratégie consiste à parier sur le football. Voici quelques exemples du système de paris 1-X-2, avec lequel vous pouvez éviter de perdre vos paris si vous ne parvenez pas à deviner l'issue des matchs.

Premier exemple. Disons qu'il y a plusieurs bons matchs, avec de bonnes cotes de 1,75 à 2,1, dans la plupart des résultats de tous les matchs pour lesquels vous serez confiant. En pariant sur plusieurs de ces matches, il y a un risque qu'au moins une des équipes de football fasse match nul et, à la fin, vous puissiez tout perdre.

Mais pour éviter cela, il vous suffit d'utiliser le système de paris 1-X-2, bien sûr les gains seront moindres, mais même si l'une des équipes sélectionnées ne joue pas votre pari, vous pourrez regagner l'argent que vous pariez. Mais, en règle générale, ce n'est pas très intéressant, car vous pouvez prendre en compte tous les matchs nuls possibles et avoir un très bon avantage.

Disons qu'il y en a trois matchs de football, avec des cotes allant de 1,8 à 2,0, où vous pensez que la première équipe devrait gagner. Ensuite, vous devrez miser sur 4 paris express (Fig. 1) :

Fig. 1 - Exemple de pari

Disons que pour tous les paris, au total, nous n'avons dépensé que 400 $, soit environ 10 pour chaque pari express. Une fois que toutes les équipes ont gagné, nous calculons le bénéfice selon le principe suivant : 1,8 * 1,8 * 1,8 * 100 USD. = 580,30 $, mais dans un scénario où l'un des jeux se termine par un match nul, nous calculons selon le schéma 1,8*1,8*2,7*100 USD. = 870 USD Ce n’est pas une mauvaise victoire, n’est-ce pas ?

Mais il y a toujours des risques, et vous ne devez pas oublier que si vos paris ne fonctionnent pas ou s'il y a plus d'un tirage, vous perdrez votre argent. A noter également que vous pouvez modifier ce système, ce qui augmentera à son tour les chances de gagner vos paris. Considérons un petit exemple, donné un peu plus bas, prenant en compte les possibilités de victoire de la deuxième équipe, mais uniquement pour une paire de football. Dans ce cas, l’ensemble suivant sera très pertinent (Fig. 2) :

Fig. 2 - Exemple de pari

Ainsi, dans chacun des cinq paris express que nous proposons, le coefficient doit simplement être d'au moins 5.

Le système de pari est 1-X-2, option deux. Il ressemble en partie au premier système ; un certain nombre de caractéristiques de cette option sont les suivantes : ce système vous permettra de répartir très efficacement tous les paris, notamment sur les équipes qui jouent le mieux en déplacement. Disons qu'il y a trois équipes au total qui jouent mieux que les autres sur la route, c'est-à-dire que nous placerons les paris de cette manière (Fig. 3) :

Fig. 3 - Exemple de pari

dessiner - "X"
victoire de l'équipe à l'extérieur - "2"

Si l'on tient compte du fait que tous les coefficients des équipes sont, en règle générale, très élevés, il ne sera pas difficile d'atteindre la rentabilité du système pour chaque pari express.

Il convient également de noter qu'en pratique ce système est très souvent appliqué spécifiquement aux matches avec grandes chances, puisque le premier système que nous avons décrit nous permet d'obtenir de bons résultats.

Mais il convient de noter que l'efficacité du système lui-même est très souvent remise en question, car en plaçant trois matchs de paris simples, vous pouvez obtenir non pas mauvais, mais peut-être très bon résultat que les paris express utilisant le premier des systèmes ci-dessus.

Mais le deuxième système, pour ainsi dire, est plus efficace pour parier directement sur les équipes qui perdent moins souvent en déplacement que les autres. Mais en règle générale, ce sera ici la même chose que dans le premier système ; il y aura souvent des cas où il sera beaucoup plus rentable pour vous de parier la totalité du montant sur un pari express au lieu de jouer selon le deuxième système.

C'est pourquoi l'efficacité de cette stratégie de pari 1-X-2 doit être calculée pour chaque pari spécifique que vous avez.

La somme des racines de ce qui est donné équation quadratiqueégal au deuxième coefficient c signe opposé, et le produit des racines est égal à membre gratuit.

(Rappel : une équation quadratique réduite est une équation dont le premier coefficient est 1).

Explication:

Soit l'équation quadratique hache 2 +boîte +c= 0 a des racines X 1 et X 2. Alors, d’après le théorème de Vieta :

Exemple 1 :

L'équation donnée x 2 – 7x + 10 = 0 a les racines 2 et 5.

La somme des racines est 7 et le produit est 10.

Et dans notre équation, le deuxième coefficient est -7 et le terme libre est 10.

Ainsi, la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Très souvent, il existe des équations quadratiques qui peuvent être facilement calculées à l'aide du théorème de Vieta - de plus, avec son aide, il est plus facile de les calculer. Ceci est facile à vérifier aussi bien dans l’exemple précédent que dans le suivant.

Exemple 2. Résoudre l'équation quadratique X 2 – 2X – 24 = 0.

Solution .

Nous appliquons le théorème de Vieta et notons deux identités :

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

On sélectionne les facteurs pour –24 pour que leur somme soit égale à 2. Après réflexion, on trouve : 6 et –4. Vérifions :

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Comme vous l'avez remarqué, en pratique, l'essence du théorème de Vieta est de décomposer le terme libre de l'équation quadratique donnée en facteurs dont la somme est égale au deuxième coefficient de signe opposé.

Ces facteurs seront les racines.

Cela signifie que les racines de notre équation quadratique sont 6 et –4. X 1 = 6, X 2 = –4.

Répondre:

Exemple 3. Résolvons l'équation quadratique 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Solution .

Nous n’avons pas ici affaire à une équation quadratique réduite. Mais de telles équations peuvent également être résolues à l'aide du théorème de Vieta si leurs coefficients sont équilibrés - par exemple, si la somme du premier et du troisième coefficient est égale au deuxième de signe opposé.

3 + (–5) = –2.

Les coefficients de l'équation sont équilibrés : la somme des premier et troisième termes est égale au deuxième de signe opposé :

Conformément au théorème de Vieta
x1 + x2 = –2/3

x1x2 = –5/3.

Nous devons trouver deux nombres dont la somme est –2/3 et dont le produit est –5/3. Ces nombres seront les racines de l’équation.
Le premier nombre est deviné tout de suite : c'est 1. Après tout, lorsque x = 1, l'équation se transforme en l'addition et la soustraction la plus simple :
3 + 2 – 5 = 0. Comment trouver la deuxième racine ? Représentons 1 par 3/3 pour que tous les nombres aient même dénominateur : C'est plus facile ainsi. Et ils demandent immédiatement d'autres actions

. Si x 1 = 3/3, alors :

3/3 + x2 = –2/3.

Résolvons une équation simple :

x2 = –2/3 – 3/3.

Réponse : x 1 = 1 ; x2 = –5/3 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 2 – 6Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 – 1 = 0.

x

Solution : X Une racine se révèle immédiatement - elle attire votre attention :

1 = 1 (car une arithmétique simple donne : 7 – 6 – 1 = 0).
7 + (– 1) = 6.

Les coefficients de l'équation sont équilibrés : la somme du premier et du troisième est égale au deuxième de signe opposé : Conformément au théorème de Vieta, nous composons deux identités (bien qu’en dans ce cas

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

un seul suffit) :

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Remplacez la valeur x 1 par l'une de ces deux expressions et trouvez x 2 : X 1 = 1; X 2 = –1/7

Répondre :

Discriminant de l'équation quadratique réduite. Le discriminant de l'équation quadratique réduite peut être calculé comme suit formule générale

, et de manière simplifiée :À

D = 0, les racines de l'équation ci-dessus peuvent être calculées à l'aide de la formule :< 0, то уравнение не имеет корней.

Si D

Si D = 0, alors l’équation a une racine.

Si D > 0, alors l’équation a deux racines. (Pariez 1x2parier sur le résultattête-à-tête) est l'un des paris de base chez les bookmakers. Il n'est pas nécessaire de calculer les points attendus, de compter les corners, de savoir qui marquera en premier, etc. Il suffit simplement de savoir si la première équipe gagnera, la seconde ou s'il y aura un match nul.

Ce pari peut être placé aussi bien en mode direct que pendant la période d'avant-match. Le plus souvent, cela concerne le football et le hockey, mais c'est également possible dans d'autres sports. Il faut dire que le pari en face-à-face dans son interprétation typique pas typique du tennis, du volley-ball, du baseball et d'autres sports, où une seule personne/équipe peut gagner (après tout, il n'y a pas de X). Dans ce cas, un seul pari est utilisé.

De plus, des paris de ce type peuvent être effectués soit sur le résultat final du match (victoire de l'équipe en fin de match), soit sur le résultat du match en première mi-temps (par exemple, victoire aux points de Liverpool après 45 minutes de jeu). jouer).

En fait, un pari sur le résultat prédit le résultat final du match. Et 1X2, on l'appelle parfois à cause de l'abréviation : 1 dans ce cas est une victoire pour les hôtes, X est un match nul et 2 est une victoire pour les invités (certaines personnes aiment l'abréviation Homes-Draw-Guests).

L’un des inconvénients de ce type de pari est qu’il existe parfois un écart important entre les cotes. Ainsi, la cote du favori du match peut être de 1,0, tandis que côté opposé 12 et plus.

Les gains d'un pari en face-à-face sont calculés en multipliant le montant du pari par la cote au moment où le pari a été placé. En conséquence, si les invités gagnent avec une cote de 10 et que le montant du pari est de 1 000 roubles. votre bénéfice sera de 10 000 roubles.

Vous ne savez toujours pas ce que signifie 1x2 dans les paris ? Donnons un exemple. Prenons le match Russie-Allemagne. Notons la Russie par le numéro 1, l'Allemagne par le numéro 2. Prenons un match nul comme X conditionnel. Les cotes du bookmaker pour une victoire de la Russie (5,3), de l'Allemagne (1,9), pour un match nul (2,4). Votre pari sur la victoire de la Russie est de 500 roubles. Si le pari (1) gagne, vous recevrez 500x5,3=2650 roubles sur votre compte. Si vous gagnez (2) ou X, vous ne recevrez rien et perdrez le montant de votre mise.

Ci-dessus, un exemple d'affichage d'un pari chez un bookmaker.

L'une des modifications du pari à trois est le pari "Double chance", qui réduisent le degré de risque et augmentent le pourcentage de victoire. Il existe les options 1X, 2X et 12. Que signifient ces désignations ? Prenons le même match Russie - Allemagne. Un pari 1X signifie que vous pariez sur la victoire de la première équipe (Russie) ou sur un match nul (X).

Ainsi, si le score est de 1 : 1, vous gagnerez le pari. 2X indique votre préférence pour l'Allemagne ou un match nul. Eh bien, le pari 12 indique une victoire soit pour la Russie, soit pour l'Allemagne ; en cas d'égalité, le pari sera perdu. Les inconvénients de parier sur ce type sont évidents : comme en fait vous ne pronostiquez pas 1 événement, mais 2 événements possibles, les bookmakers baissent les cotes. Ainsi, par exemple, si les chances de victoire de la Russie sont de 5,3, si vous décidez d'ajouter un match nul 1X, les chances tomberont probablement à 3,2 ou moins.

J'espère que nous vous avons aidé à comprendre la problématique de la valeur du pari 1X2. Osez et soyez gagnants.

Algorithme de résolution de l'équation akh 3 +bx 2 +cx+d=0 :

1. Trouver par sélection la racine de l'équation (parmi les diviseurs du terme libre) ;

2. Divisez le polynôme ah 3 + bx 2 + CX + d le x-x 1 , où x 1 - racine de l'équation ah 3 + bx 2 + CX + d =0;

3. Égalisez le quotient à zéro et résolvez l'équation résultante ;

4.Écrivez la réponse.

Résoudre l'équation -6x 3 -x 2 +5x+2=0

1. Trouvez les diviseurs du terme libre : ±1,±2,±3,±6.

2. x=1 est la racine de l'équation.

3. Divisez le polynôme -6x 3 -x 2 +5x+2 par le binôme

x-1 (par le corollaire 1 du théorème de Bezout).

3. Résolvez l'équation : -6x 2 -7x-2=0,

6x 2 -7x-2+0, x 1 = -, x 2 = -.

4. Répondre. x=1, x = -, x = -.

Cette méthode de résolution d'équations est universelle. Il peut être utilisé pour résoudre les équations quatre, cinq, etc. degrés, en les abaissant progressivement jusqu'au deuxième degré.

Exemple 1.

Résolvez l'équation x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

1. Parmi les diviseurs du terme libre, on retrouve les racines de l'équation. Ce sont 2 et -5.

2. D'après le corollaire 1 du théorème de Bezout, le polynôme x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 est divisible par x-2 et x+5, et est donc divisible par (x-2)(x+5)= x2 + 3x-10.

3. Divisons les polynômes : x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 par x 2 +3x-10.

4.Résolvez l'équation x 2 -3=0, x 1,2 =
.

Répondre. X =
, x = -, x = -5, x = 2.

Résolvez l'équation 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4=0.

1. Parmi les diviseurs du terme libre, on retrouve les racines de l'équation. Ce sont 1, -1, 2 et -2

2. D'après le corollaire 1 du théorème de Bezout, le polynôme 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 est divisible par x-1, x+1, x-2 et x+2, et donc est divisible par (x- 1)(x+1)(x-2)(x+2)=

(x 2 -1)(x 2 -4) = x 4 -5x 2 +4.

3. Divisons les polynômes : 3x 5 +x 4 -15x 3 -5x 2 +12x+4 par x 4 -5x 2 +4.

4. Résolvez l'équation 3x+1 =0, x=-.

5. Répondre. x=-2, x=-1, x=-, x=1, x=2.

Résoudre l'équation

(2x 2 -1) 2 +x(2x-1) 2 =(x+1) 2 +16x 2 -6

Déplaçons tous les membres vers côté gauche, ouvrez les parenthèses et présentez des termes similaires.

4x 4 -4x 2 +1+4x 3 -4x 2 +x-x 2 -2x-1-16x 2 +6+0, 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6=0.(1)

Diviseurs du membre libre : ±1;±2;±3;±6. Si l’équation a des racines entières, alors c’est l’un des diviseurs. La substitution a montré que cela vaut 2. D'après le théorème de Bezout, le polynôme 4x 4 +4x 3 -25x 2 –x+6 est divisible par x-2 sans reste. Dans le quotient on obtient : 4x 3 +12x 2 –x – 3.

On réécrit l'équation (1) sous la forme : (x-2)(4x 3 +12x 2 –x – 3)=0.

Résolvons l'équation 4x 3 +12x 2 –x – 3=0. -3 est la racine de cette équation, car lorsqu'elle est substituée à x, l'équation se transforme en une égalité numérique correcte. Divisez le polynôme 4x 3 +12x 2 –x – 3 par x+3, nous obtenons 4x 2 -1. L'équation quadratique 4x 2 -1=0 a des racines x= ±.

Répondre. x = 2, x = -3, x = ±.

S'il n'y a pas de racines de l'équation parmi les diviseurs du terme libre, utilisez alors la relation entre les coefficients et les racines de l'équation.

Si racine de l'équation a 0 X n + un 1 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 n -1 + un 2 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 n -2 ...+ un n -1 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7+ un n =0, alorsmest le diviseur du terme libre et c est le diviseur du coefficient dominant.

Algorithme pour résoudre de telles équations :

1. Trouver les diviseurs du terme libre et le coefficient dominant ;

2. Composez différentes fractions, oùmsont des diviseurs du terme libre, et c sont des diviseurs du coefficient dominant ;

3. À l'aide de la substitution, déterminez quelle fraction est la racine de l'équation ;

4. Divisez un polynôme par un polynôme ;

5.Résolvez l'équation en équivalant le quotient à zéro ;

6. Écrivez la réponse.

Résolvez l'équation 6x 3 -3x 2 -5x - 1=0.

1. Diviseurs du terme libre : ±1. Ces chiffres ne sont pas les racines de l’équation. On retrouve les diviseurs du coefficient dominant : ±1, ±2, ±3, ±6.

2. Créons différentes fractions :

3. - est la racine de l'équation.

2. D’après le corollaire 1 du théorème de Bezout, le polynôme 6x 3 -3x 2 -5x – 1 est divisible par x+.

3. Divisons les polynômes :

4. Résolvez l'équation 6x 2 -6x-2=0, 3x 2 -3x-1=0, D = 21, x 1,2 =
,

5. Répondre. x 1,2 =, x = -.

Diviser un polynôme par un polynôme
peut être fait d'une autre manière.

Soit =
∙(x- une)+ R .

Laisser Pour trouver les coefficients d'un polynôme et le nombre
, ouvrez les parenthèses à droite des égalités : et égalisez les coefficients aux mêmes degrés à gauche et à droite. Nous arrivons à
.[ 4]

.

Il s'ensuit que lorsque Les coefficients du polynôme et du reste sont calculés à l'aide du tableau suivant :.

Exemple 1.

Ce tableau s'appelle

Le plan de Horner

Divisez 2x 3 -3x+5 par x-4.

Utilisons le schéma de Horner pour calculer les coefficients de quotient et de reste. Ainsi, Le schéma de Horner donne

3.2 méthode générale

factorisation de n’importe quel polynôme.

Le polynôme du côté gauche de l’équation est représenté comme le produit de deux polynômes à coefficients inconnus :

1.Pour équation cubique: x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, x 3 +bx 2 +cx+d=(x 2 +рх+g)(x+t)=x 3 +x 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

Puisque les polynômes sont égaux, alors les coefficients pour degrés égaux sont égaux. On obtient un système d'équations :

2. Pour une équation du quatrième degré : x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0

x 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Puisque les polynômes sont égaux, les coefficients pour les mêmes puissances sont égaux. On obtient un système d'équations :
En résolvant le système, on trouve les coefficients inconnus.

Résolvez l'équation x 4 -2x 2 - 8x - 3=0.

Imaginons le polynôme x 4 -2x 2 - 8x -3 comme un produit de deux trinômes à coefficients inconnus : x 4 -2x 2 - 8x -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

On obtient un système d'équations :
De l'équation nt=-3, il s'ensuit que nous devons considérer les cas suivants : 1 .n=3,t=-1; 2. n = -3, t = 1 ; 3. n = 1, t = -3 ; 4 . n=-1,t=3.

En substituant ces paires dans les équations restantes du système, nous obtenons cela avec n=3,t=-1 x 4 -2x 2 - 8x -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1) =0. Résolvons les équations x 2 +2x+3=0 et x 2 -2x-1=0. Le discriminant de la première équation est négatif, ce qui signifie qu’elle n’a pas de véritable racine. Le discriminant de la deuxième équation est 8, x 1,2 =1±
.

Répondre. x 1,2 = 1 ±.

3.4. Pour résoudre équations biquadratiques et les équations se réduisant aux équations quadratiques, la méthode d'introduction de nouvelles variables est souvent utilisée. Il peut également être utilisé pour les équations diplômes supérieurs.

Résolvez l'équation x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0.

Puisque x=0 n’est pas une racine de l’équation, les deux côtés de l’équation peuvent être divisés par x2 sans perdre leurs racines. On obtient l'équation

x2 +2x-22++ =0, regroupons les termes

(x2 +)+2(x+)-22=0.

Faisons le changement x +=t, alors (x +) 2 =t 2.

x 2 +2+= t 2, x 2 += t 2 -2 L'équation originale est réduite à l'équation t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =- 6, t 2 =4 Revenons à la variable d'origine : 1). x +=-6, 2). x+=4.
Résolvons chaque équation. 1). x +=-6, x 2 +6x+1=0, D=32, x 1,2 =

Répondre., x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

x1 = -3+2, x2 = -3-2.

Équation de la forme :

Exemple 1.

(x + une)(x + b)(x + c)(x + d) = E;

Résolvez l’équation (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40.

Regroupons les facteurs ((x+1)(x+5))∙((x+4)(x+2))=40, effectuons la multiplication entre parenthèses (x 2 +6x+5)(x 2 +6x +8) =40, Appliquer le remplacement : x 2 +6x=t, alors (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0 , t 2 ( t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 n'a pas de vraies racines.

Répondre. x=0, x= -6.

Exemple 1.

Résoudre l'équation

(x 2 -3x+ 1)(x 2 +3x+2)(x 2 -9x+20)=-30.

Factorisons les deuxième et troisième trinômes ; pour ce faire, trouvons les racines des polynômes en résolvant trois équations :

x 2 +3x+2=0, x 1 = -1, x 2 = -2.

x 2 -9x+20=0, x 1 = 4, x 2 = 5. On obtient l'équation

(x 2 -3x+ 1)(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=-30,

(x 2 -3x+ 1)((x+1)∙(x-4))((x+2)∙(x -_5))=-30,

(x 2 -3x+ 1)(x 2 -3x-4)(x 2 -3x-10)=-30, Introduisons une nouvelle variable. Laisser

x 2 -3x+ 1=t, alors t(t-5)(t-11)=-30, t=6 est la racine de cette équation. Ouvrons les parenthèses et obtenons t 3 -16t 2 +55t+30=0,

Divisez le polynôme t 3 -16t 2 +55t+30 par t-6, et dans le quotient nous obtenons t 2 -10t-5.

Résolvons l'équation t 2 -10t-5=0, t 1 =5+
, t 2 =5-.

Revenons à la variable d'origine, pour ce faire nous résolvons trois équations :

Répondre. x 1,2 =, x 3,4 =
, x 5,6 =
.

Équation de la forme (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

Résolvez l'équation :

(x – 4)(x 2 + 15 + 50)(x – 2) = 18x 2

Factorisons x 2 + 15 + 50.

x 2 + 15 + 50 = 0, x 1 = -5, x 2 = -10, puis x 2 + 15x + 50 = (x + 5)(x + 10). L'équation prendra la forme :

(x – 4)(x + 5)(x + 10)(x – 2) = 18x 2,

(x 2 + x – 20)(x 2 + 8x – 20) = 18x 2. Puisque x = 0 n'est pas une racine de l'équation, alors en divisant les deux côtés de l'équation par x 2, on obtient

(x+1- )(x+8-)=18.

Introduisons une nouvelle variable. Soit t= x-, alors (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0, t 1 =10, t 2 =-1 Revenons à la variable d'origine :

Répondre. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, X= -5 +3.

Équation de la forme hache 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, hache 6 + bx 5 + cx 4 + dx 3 + cx 2 + bx + a = 0, etc. De telles équations sont appelées consigné Ils ont une sorte de « symétrie » : le coefficient en x 6 est égal au terme libre, le coefficient en x 5 et x, en x 4 et x 2 sont égaux. Les équations réciproques sont résolues en utilisant la substitution x +=t.

L'équation x 4 +2x 3 – 22x 2 +2x+1=0 n'a pas de racines entières (les diviseurs du terme libre ±1 ne sont pas les racines de l'équation).

Puisque x = 0 n'est pas une racine de l'équation, alors en divisant les deux côtés de l'équation par x 2, nous obtenons (x 2 + ) -2(x+)-22=0.

Introduisons une nouvelle variable. Soit t= x+, alors x 2 +2+ =t 2, on obtient l'équation t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Revenons à la variable d'origine :

Répondre. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.

3.5.. Pour résoudre des équations quadratiques, la méthode d'isolement d'un carré complet est utilisée. Pour résoudre des équations du troisième et du quatrième degré, vous pouvez également utiliser des formules binomiales.

Formules de multiplication abrégées que vous connaissez :

(x±a) 2 =x 2 ±2x+a 2 ;

(x±a) 3 =x 3 ±3x 2 a+3xa 2 ±a 3;

(x+a)(x-a)=x 2 -a 2;

(x+une)(x 2 -x+une 2)= x 3 +une 3;

(x-une)(x 2 +x+une 2)= x 3 -une 3;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

La formule (x+a) 4 peut être obtenue comme suit : (x+a) 4 = (x+a) 3 (x+3)= (x 3 +3x 2 a+3xa 2 +a 3) (x+ une) = x 4 +4x 3 une+6x 2 une 2 +4x 3 +une 4.

Les coefficients de dilatation peuvent être trouvés à l'aide du triangle de Pascal

(par nom mathématicien français Blaise Pascal):

Dans chaque ligne de ce triangle, les coefficients de degré, à l'exception du premier et du dernier, sont obtenus par addition deux à deux des coefficients les plus proches de la ligne précédente.

Exemple.1.

Pour (x+a) 7 : exposant égal au nombre 7, ce qui signifie que ses coefficients sont dans la huitième ligne, ce sont 1,7,21,35,35,21,7,1, qui sont obtenus à partir de la ligne précédente comme ceci :

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

On obtient : (x+a) 7 =x 7 +7x 6 a+21x 5 a 2 +35x 4 a 3 +35x 3 a 4 +21x 2 a 5 +7x 6 +a 7.

Lors de l'écriture de formules de multiplication abrégée de puissances supérieures, les principes suivants existent :

Nombre de termes du polynôme résultant par unité plus que l'indicateur diplômes;

Exposant X chaque terme suivant en a un de moins, et l'exposant un− un de plus ;

La somme des exposants de x et a est constante et égale à l'exposant du polynôme ;

Les coefficients d'un polynôme équidistant du début et de la fin sont égaux.

Résolvez l'équation x 3 +6x 2 +12x-16=0.

Solution : utilisez la formule (x+a) 3 = 1∙x 3 +3x 2 a+3xa 2 +1∙a 3.

x 3 +6x 2 +12x+16=0, (x 3 +3∙2x 2 +3∙2 2 x+2 3) +8=0, (x+2) 3 +2 3 =0, (x+ 2 +2)((x+2) 2 -2 (x+2)+4)=0, 1. x=-4, 2. (x+2) 2 -2 (x+2)+ 4=0 ,

x 2 +2x +4=0, D=-12, pas de vraies racines.

Répondre. x = -4.

Résoudre l'équation x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48=0, x 4 -12x 3 +54x 2 -108x+48= (x 4 -4x 3 ∙3+6x 2 3 2 -4x3 3 + 4 4 ) -4 4 +48= (x-3) 4 -64+48=0, (x-3) 4 - 16=0. Appliquons la différence des carrés (x-3-4)(x-3+4)=0, (x-7)(x+1)=0, x=7, x=-1.

Répondre: x=-1, x=7.

3.6. Application du théorème de Vieta.

1.Théorème de Vieta pour l'équation cubique:

si x 1, x 2, x 3 ─ racines de l'équation x 3 +bx 2 +cx+d=0, a≠0, Que

X 1 +x 2 +x 3 =- b,

Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 X 2 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 2 X 3 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 3 = c,

X 1 X 2 X 3 = - d.

2.Théorème de Vieta pour les équations du quatrième degré:

si x 1, x 2, x 3, x 4 sont les racines de l'équation x 4 + b x 3 +cx 2 +x+dx+e=0, Que

X 1 +x 2 +x 3 +x 4 =- b,

Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 X 2 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 X 3 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 X 4 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 2 X 3 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 2 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 4 +x 3 X 4 = c,

X 1 X 2 X 3 X 4 = e,

Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 X 2 X 3 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 X 2 X 4 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 1 X 3 X 4 + Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 2 X 3 Exemple 4 : Résoudre l'équation quadratique 7 4 = - d.

Résolvez l'équation x 3 -4 x 2 +x+6=0.

soit x 1, x 2, x 3, x 4 ─ racines de l'équation, alors x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. Vérifions lequel des nombres ±1, ±2, ±3, ±6 satisfont aux conditions : x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 =1, x 1 x 2 x 3 = -6. Ce sont x=-1, x=2 et x=3.

Application de formules de multiplication abrégées.

Littérature

1. Vygodsky M.Ya. Manuel de mathématiques élémentaires. – M. Maison d'édition d'État de littérature physique et mathématique, 1970.

2. Galitsky M.L., Goldman M., Zvavich L.I. Recueil de problèmes d'algèbre pour les classes 8-9 : un manuel pour les élèves des écoles et des classes avec une étude approfondie des mathématiques : 4e éd. - M. : Prosveshchenie, 1997.

3. Yu.M. Koliaguine. Algèbre et débuts de l'analyse : manuel (profil et niveau de base) pour la 10e année des établissements d'enseignement général - M. : Mnemosyna 2006.

4. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Chapitres supplémentaires pour le manuel scolaire. 8e année M., Éducation, 1996.

5. K.S. Mouravine. Algèbre 8 : manuel pour les établissements d'enseignement - M : Drofa, 2008

6. Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien. – M. : Pédagogie, 2007.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

CONTACTS :

347611, région de Rostov, district de Salsky, x. Mayak, st. Centrale, 4

Avec une inconnue, c'est équations de la forme (*) Pn(x)= ...