De nombreux problèmes nous amènent à rechercher un ensemble de valeurs de fonction sur un certain segment ou dans tout le domaine de définition. Ces tâches comprennent diverses évaluations d'expressions et la résolution d'inégalités.
Dans cet article, nous définirons la plage de valeurs d'une fonction, examinerons les méthodes pour la trouver et analyserons en détail la solution d'exemples du simple au plus complexe. Tout le matériel sera fourni avec des illustrations graphiques pour plus de clarté. Cet article est donc une réponse détaillée à la question de savoir comment trouver l’étendue d’une fonction.
Définition.
L'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur l'intervalle X est l'ensemble de toutes les valeurs d'une fonction qu'elle prend lors d'une itération sur tout .
Définition.
Plage de fonctions y = f(x) est l'ensemble de toutes les valeurs d'une fonction qu'elle prend lors d'une itération sur tous les x du domaine de définition.
La plage de la fonction est notée E(f) .
L'étendue d'une fonction et l'ensemble des valeurs d'une fonction ne sont pas la même chose. Nous considérerons ces concepts comme équivalents si l'intervalle X lors de la recherche de l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) coïncide avec le domaine de définition de la fonction.
Ne confondez pas non plus la plage de la fonction avec la variable x pour l'expression à droite de l'égalité y=f(x) . La plage des valeurs admissibles de la variable x pour l'expression f(x) est le domaine de définition de la fonction y=f(x) .
La figure montre plusieurs exemples.
Les graphiques de fonctions sont représentés par des lignes bleues épaisses, les lignes rouges fines sont des asymptotes, les points rouges et les lignes sur l'axe Oy montrent la plage de valeurs de la fonction correspondante.
Comme vous pouvez le constater, la plage de valeurs d'une fonction est obtenue en projetant le graphique de la fonction sur l'axe des y. Il peut s'agir d'un seul nombre (premier cas), d'un ensemble de nombres (deuxième cas), d'un segment (troisième cas), d'un intervalle (quatrième cas), d'un rayon ouvert (cinquième cas), d'une union (sixième cas), etc. .
Alors que faut-il faire pour trouver la plage de valeurs d'une fonction ?
Commençons par le cas le plus simple : nous allons montrer comment déterminer l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) sur le segment.
On sait qu'une fonction continue sur un intervalle atteint sur celui-ci ses valeurs maximale et minimale. Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur le segment sera le segment 
. Par conséquent, notre tâche consiste à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur le segment.
Par exemple, trouvons la plage de valeurs de la fonction arc sinus.
Exemple.
Spécifiez la plage de la fonction y = arcsinx .
Solution.
L'aire de définition de l'arc sinus est le segment [-1 ; 1]. Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur ce segment. 
La dérivée est positive pour tout x à partir de l'intervalle (-1 ; 1), c'est-à-dire que la fonction arc sinus augmente sur tout le domaine de définition. Par conséquent, il prend la plus petite valeur à x = -1 et la plus grande à x = 1. 
Nous avons obtenu la plage de la fonction arc sinus 
.
Exemple.
Trouver l'ensemble des valeurs de fonction 
sur le segment.
Solution.
Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur un segment donné.
Déterminons les points extremum appartenant au segment : 
Nous calculons les valeurs de la fonction d'origine aux extrémités du segment et aux points 
:
Par conséquent, l'ensemble des valeurs d'une fonction sur un intervalle est l'intervalle 
.
Nous allons maintenant montrer comment trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) dans les intervalles (a; b) , .
Dans un premier temps, on détermine les points extremum, extremum de la fonction, intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sur un intervalle donné. Ensuite, nous calculons les extrémités de l'intervalle et (ou) les limites à l'infini (c'est-à-dire que nous étudions le comportement de la fonction aux limites de l'intervalle ou à l'infini). Ces informations sont suffisantes pour trouver l'ensemble des valeurs de fonction sur de tels intervalles.
Exemple.
Définir l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2; 2) .
Solution.
Trouvons les points extremum de la fonction tombant sur l'intervalle (-2 ; 2) : 
Point x = 0 est un point maximum, puisque la dérivée change de signe de plus à moins en le traversant, et le graphique de la fonction passe de croissant à décroissant. 
il y a un maximum correspondant de la fonction.
Découvrons le comportement de la fonction lorsque x tend vers -2 à droite et lorsque x tend vers 2 à gauche, c'est-à-dire que nous trouvons des limites unilatérales : 
Ce que nous avons obtenu : lorsque l'argument passe de -2 à zéro, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à moins un quart (le maximum de la fonction à x = 0), lorsque l'argument passe de zéro à 2, le les valeurs de la fonction diminuent jusqu'à moins l'infini. Ainsi, l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2 ; 2) est .
Exemple.
Spécifiez l'ensemble des valeurs de la fonction tangente y = tgx sur l'intervalle.
Solution.
La dérivée de la fonction tangente sur l'intervalle est positive 
, ce qui indique une augmentation de la fonction. Étudions le comportement de la fonction aux limites de l'intervalle : 
Ainsi, lorsque l'argument passe de à, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini, c'est-à-dire que l'ensemble des valeurs tangentes sur cet intervalle est l'ensemble de tous les nombres réels.
Exemple.
Trouvez l'étendue de la fonction logarithme népérien y = lnx.
Solution.
La fonction logarithme népérien est définie pour les valeurs positives de l'argument 
. Sur cet intervalle la dérivée est positive 
, cela indique une augmentation de la fonction dessus. Trouvons la limite unilatérale de la fonction lorsque l'argument tend vers zéro à droite, et la limite lorsque x tend vers plus l'infini : 
Nous voyons que lorsque x passe de zéro à plus l'infini, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini. Par conséquent, la plage de la fonction logarithme népérien correspond à l’ensemble des nombres réels.
Exemple.
Solution.
Cette fonction est définie pour toutes les valeurs réelles de x. Déterminons les points extremum, ainsi que les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction. 
Par conséquent, la fonction diminue en , augmente en , x = 0 est le point maximum, 
le maximum correspondant de la fonction.
Regardons le comportement de la fonction à l'infini : 
Ainsi, à l'infini les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de zéro.
Nous avons constaté que lorsque l'argument passe de moins l'infini à zéro (le point maximum), les valeurs de la fonction augmentent de zéro à neuf (jusqu'au maximum de la fonction), et lorsque x passe de zéro à plus l'infini, les valeurs de la fonction diminution de neuf à zéro.
Regardez le dessin schématique.
Il est maintenant clairement visible que la plage de valeurs de la fonction est .
Trouver l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur des intervalles nécessite des recherches similaires. Nous ne nous attarderons pas maintenant sur ces cas en détail. Nous les retrouverons dans les exemples ci-dessous.
Soit le domaine de définition de la fonction y = f(x) l'union de plusieurs intervalles. Lors de la recherche de la plage de valeurs d'une telle fonction, les ensembles de valeurs sur chaque intervalle sont déterminés et leur union est prise.
Exemple.
Trouvez la plage de la fonction.
Solution.
Le dénominateur de notre fonction ne doit pas aller vers zéro, c'est-à-dire .
Tout d'abord, trouvons l'ensemble des valeurs de fonction sur le rayon ouvert.
Dérivée d'une fonction 
est négatif sur cet intervalle, c'est-à-dire que la fonction y diminue. 
Nous avons constaté que lorsque l'argument tend vers moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de l'unité. Lorsque x passe de moins l'infini à deux, les valeurs de la fonction diminuent de un à moins l'infini, c'est-à-dire que sur l'intervalle considéré, la fonction prend un ensemble de valeurs. Nous n'incluons pas l'unité, puisque les valeurs de la fonction ne l'atteignent pas, mais tendent seulement asymptotiquement vers elle à moins l'infini.
On procède de la même manière pour la poutre ouverte.
Sur cet intervalle la fonction diminue également. 
L'ensemble des valeurs de fonction sur cet intervalle est l'ensemble .
Ainsi, la plage de valeurs souhaitée de la fonction est l'union des ensembles et .
Illustration graphique.
Une attention particulière doit être accordée aux fonctions périodiques. La plage de valeurs des fonctions périodiques coïncide avec l'ensemble des valeurs sur l'intervalle correspondant à la période de cette fonction.
Exemple.
Trouvez l'étendue de la fonction sinusoïdale y = sinx.
Solution.
Cette fonction est périodique avec une période de deux pi. Prenons un segment et définissons l'ensemble des valeurssur celui-ci. 
Le segment contient deux points extremum et .
Nous calculons les valeurs de la fonction en ces points et sur les limites du segment, sélectionnons les valeurs les plus petites et les plus grandes : 
Ainsi, 
.
Exemple.
Trouver la plage d'une fonction 
.
Solution.
Nous savons que la plage de l'arc cosinus est le segment de zéro à pi, c'est-à-dire 
ou dans un autre post. Fonction 
peut être obtenu à partir de arccosx en décalant et en étirant le long de l'axe des abscisses. De telles transformations n'affectent pas la plage de valeurs, par conséquent, 
. Fonction 
obtenu de s'étendant trois fois le long de l'axe Oy, c'est-à-dire 
. Et la dernière étape de la transformation est un déplacement de quatre unités vers le bas le long de l'ordonnée. Cela nous amène à une double inégalité 
Ainsi, la plage de valeurs requise est 
.
Donnons la solution à un autre exemple, mais sans explications (elles ne sont pas obligatoires, car elles sont complètement similaires).
Exemple.
Définir la plage de fonctions 
.
Solution.
Écrivons la fonction originale sous la forme 
. La plage de valeurs de la fonction puissance est l'intervalle. C'est, . Alors 
Ainsi, 
.
Pour compléter le tableau, il faudrait parler de trouver la plage de valeurs d'une fonction qui n'est pas continue sur le domaine de définition. Dans ce cas, nous divisons le domaine de définition en intervalles par points d'arrêt, et trouvons des ensembles de valeurs sur chacun d'eux. En combinant les ensembles de valeurs résultants, nous obtenons la plage de valeurs de la fonction d'origine. Nous vous recommandons de vous rappeler
La dépendance d'une variable par rapport à une autre est appelée dépendance fonctionnelle. Variable de dépendance ouià partir d'une variable x appelé fonction, si chaque valeur x correspond à une seule valeur oui.
Désignation:
Variable x appelée variable indépendante ou argument, et la variable oui- dépendant. Ils disent que oui est une fonction de x. Signification oui, correspondant à la valeur spécifiée x, appelé valeur de la fonction.
Toutes les valeurs qu'il accepte x, formulaire domaine d'une fonction; toutes les valeurs qu'il faut oui, formulaire ensemble de valeurs de fonction.
Désignations : 
D(f)- les valeurs des arguments. E(f)- les valeurs des fonctions. Si une fonction est donnée par une formule, alors le domaine de définition est considéré comme constitué de toutes les valeurs de la variable pour lesquelles cette formule a un sens.
Graphique de fonction est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les abscisses sont égales aux valeurs de l'argument, et dont les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction. Si une certaine valeur x=x0 correspond à plusieurs valeurs (pas une seule) oui, alors une telle correspondance n'est pas une fonction. Pour qu'un ensemble de points sur un plan de coordonnées soit un graphique d'une certaine fonction, il est nécessaire et suffisant que toute ligne droite parallèle à l'axe Oy coupe le graphique en un point au maximum.
Méthodes de spécification d'une fonction
1) La fonction peut être définie analytiquement sous forme de formule. Par exemple, 
2) La fonction peut être spécifiée par un tableau de plusieurs paires (x; y).
3) La fonction peut être spécifiée graphiquement. Paires de valeurs (x; y) sont représentés sur le plan de coordonnées.
Monotonie de la fonction
Fonction f(x) appelé croissant sur un intervalle numérique donné, si une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction. Imaginez qu'un certain point se déplace le long du graphique de gauche à droite. Le point semblera alors « grimper » sur le graphique.
Fonction f(x) appelé décroissant sur un intervalle numérique donné, si une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus petite valeur de la fonction. Imaginez qu'un certain point se déplace le long du graphique de gauche à droite. Ensuite, le point semblera « rouler » vers le bas du graphique.
Une fonction qui ne fait qu'augmenter ou diminuer que sur un intervalle numérique donné est appelée monotone sur cet intervalle.
Zéros de la fonction et intervalles de signe constant
Valeurs X, à laquelle y=0, appelé zéros de fonction. Ce sont les abscisses des points d'intersection du graphe de fonctions avec l'axe Ox.
De telles plages de valeurs x, sur lequel la fonction valeurs oui soit seuls les positifs, soit uniquement les négatifs sont appelés intervalles de signe constant de la fonction.
Fonctions paires et impaires
Même fonction
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0), c'est-à-dire si le point un appartient au domaine de la définition, alors le point -un appartient également au domaine de la définition.
2) Pour n'importe quelle valeur x f(-x)=f(x)
3) Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Oy.
Fonction étrange a les propriétés suivantes :
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0).
2) pour n'importe quelle valeur x, appartenant au domaine de définition, l'égalité f(-x)=-f(x)
3) Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (0 ; 0).
Toutes les fonctions ne sont pas paires ou impaires. Fonctions vue générale ne sont ni pairs ni impairs.
Fonctions périodiques
Fonction f est appelé périodique s'il existe un nombre tel que pour tout x du domaine de la définition l'égalité f(x)=f(x-T)=f(x+T). T est la période de la fonction.
Chaque fonction périodique a un nombre infini de périodes. En pratique, on considère généralement la plus petite période positive.
Les valeurs d'une fonction périodique se répètent après un intervalle égal à la période. Ceci est utilisé lors de la construction de graphiques.
Voyons comment examiner une fonction à l'aide d'un graphique. Il s'avère qu'en regardant le graphique, on peut découvrir tout ce qui nous intéresse, à savoir :
- domaine d'une fonction
- plage de fonctions
- fonction zéros
- intervalles d'augmentation et de diminution
- points maximum et minimum
- la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment.
Clarifions la terminologie :
Abscisse est la coordonnée horizontale du point.
Ordonnée- coordonnée verticale.
Axe des abscisses- l'axe horizontal, appelé le plus souvent axe.
Axe Y- axe vertical, ou axe.
Argument- une variable indépendante dont dépendent les valeurs de la fonction. Le plus souvent indiqué.
En d’autres termes, nous choisissons , substituons des fonctions dans la formule et obtenons .
Domaine de définition fonctions - l'ensemble de ces (et seulement celles) valeurs d'argument pour lesquelles la fonction existe.
Indiqué par : ou .
Dans notre figure, le domaine de définition de la fonction est le segment. C'est sur ce segment que est tracé le graphique de la fonction. C'est le seul endroit où cette fonction existe.
Plage de fonctions est l'ensemble des valeurs que prend une variable. Dans notre figure, il s'agit d'un segment - de la valeur la plus basse à la plus élevée.
Zéros de fonction- les points où la valeur de la fonction est nulle, c'est-à-dire. Dans notre figure, ce sont des points et .
Les valeurs de fonction sont positives où . Dans notre figure, ce sont les intervalles et .
Les valeurs de fonction sont négatives où . Pour nous, il s'agit de l'intervalle (ou intervalle) de à .
Les notions les plus importantes - fonction croissante et décroissante sur certains plateaux. En tant qu'ensemble, vous pouvez prendre un segment, un intervalle, une union d'intervalles ou la droite numérique entière.
Fonction augmente
En d'autres termes, plus, plus, c'est-à-dire que le graphique va vers la droite et vers le haut.
Fonction diminue sur un ensemble si pour tout et appartenant à l'ensemble, l'inégalité implique l'inégalité .
Pour une fonction décroissante, une valeur plus grande correspond à une valeur plus petite. Le graphique va vers la droite et vers le bas.
Dans notre figure, la fonction augmente sur l'intervalle et diminue sur les intervalles et .
Définissons ce que c'est points maximum et minimum de la fonction.
Point maximum- c'est un point interne au domaine de définition, tel que la valeur de la fonction en lui est plus grande qu'en tous les points suffisamment proches de lui.
En d’autres termes, un point maximum est un point auquel la valeur de la fonction plus que chez les voisins. Il s'agit d'une « colline » locale sur la carte.
Dans notre figure, il y a un point maximum.
Point minimum- un point interne au domaine de définition, tel que la valeur de la fonction en lui est moindre qu'en tous points suffisamment proches de lui.
C'est-à-dire que le point minimum est tel que la valeur de la fonction qu'il contient est inférieure à celle de ses voisins. Il s’agit d’un « trou » local sur le graphique.
Dans notre figure, il y a un point minimum.
Le point est la frontière. Ce n'est pas un point interne au domaine de définition et ne rentre donc pas dans la définition d'un point maximum. Après tout, elle n’a pas de voisins à gauche. De la même manière, sur notre carte il ne peut y avoir de point minimum.
Les points maximum et minimum ensemble sont appelés points extrêmes de la fonction. Dans notre cas, c'est et .
Que faire si vous avez besoin de trouver, par exemple, fonction minimale sur le segment ? Dans ce cas, la réponse est : . Parce que fonction minimale est sa valeur au point minimum.
De même, le maximum de notre fonction est . Il est atteint au point .
On peut dire que les extrema de la fonction sont égaux à et .
Parfois, les problèmes nécessitent d'être trouvés valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment donné. Ils ne coïncident pas nécessairement avec les extrêmes.
Dans notre cas plus petite valeur de fonction sur le segment est égal et coïncide avec le minimum de la fonction. Mais sa plus grande valeur sur ce segment est égale à . On l'atteint à l'extrémité gauche du segment.
Dans tous les cas, les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment sont atteintes soit aux points extrêmes, soit aux extrémités du segment.
MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION DE LA RÉGION DE SAKHALINE
GBPOU "TECHNIQUE DE CONSTRUCTION"
Travaux pratiques
Dans la discipline "Mathématiques"
Chapitre : " Fonctions, leurs propriétés et graphiques.
Sujet: Fonctions. Domaine et ensemble de valeurs d'une fonction. Fonctions paires et impaires.
(matériel didactique)
Compilé par :
Professeur
Kazantseva N.A.
Ioujno-Sakhalinsk-2017
Travaux pratiques en mathématiquespar section« et méthodologiqueles instructions pour leur mise en œuvre sont destinées aux étudiantsGBPOU "Collège de construction de Sakhaline"
Compilé par : Kazantseva N. A., professeur de mathématiques
Le matériel contient des travaux pratiques en mathématiques« Fonctions, leurs propriétés et graphiques" Et instructions pour leur mise en œuvre. Les lignes directrices sont élaborées conformément au programme de travail en mathématiques et sont destinées aux étudiants du Sakhalin Construction College., étudiants qui étudient programmes de formation générale.
1) Leçon pratique n°1. Fonctions. Domaine de définition et ensemble de valeurs d'une fonction.……………………………………………………………...4
2)Leçon pratique n°2 . Fonctions paires et impaires……………….6
Leçon pratique n°1
Fonctions. Domaine et ensemble de valeurs d'une fonction.
Objectifs: consolider les compétences et les compétences en résolution de problèmes sur le thème : « Le domaine de définition et l'ensemble des valeurs d'une fonction.
Équipement:
Note. Tout d'abord, vous devez revoir le matériel théorique sur le sujet : « Le domaine de définition et l'ensemble des valeurs d'une fonction », après quoi vous pourrez commencer à terminer la partie pratique.
Lignes directrices :
Définition: Domaine de fonction– c'est l'ensemble de toutes les valeurs de l'argument x sur lequel la fonction est spécifiée (ou l'ensemble des x pour lesquels la fonction a du sens).
Désignation:D(o),D( f)- domaine de définition d’une fonction.
Règle : Pour trouver oblastiPour déterminer une fonction à partir d’un graphe, il faut concevoir le graphe sur OX.
Définition:Plage de fonctionsest l'ensemble de y pour lequel la fonction a un sens.
Désignation : E(y), E(f)- la portée de la fonction.
Règle : Pour trouver oblastivaleurs de fonction selon le graphique, le graphique doit être projeté sur l'ampli-op.
№ 1.Trouvez les valeurs de la fonction :
un) f(x) = 4 x+ aux points 2;20 ;
b) f(x) = 2 · parce que(x) aux points ; 0 ;
V) f(x) = aux points 1;0; 2 ;
G) f(x) = 6 péché 4 x aux points; 0 ;
e) f(x) = 2 9 x+ 10 aux points 2 ; 0 ; 5.
№ 2. Trouvez le domaine de la fonction :
une) f(x) = ; b ) f(x) = ; V ) f(x) = ;
G) f(x) = ; d) f(x) = ; e) f (x) = 6 x +1;
et) f(x) = ; h) f(x) = .
№3. Recherchez la plage de la fonction :
UN) f(x) = 2+3 x; b) f(x) = 2 7 x + 3.
№ 4. Trouver le domaine de définition et le domaine de valeur de la fonction dont le graphique est représenté sur la figure :
Leçon pratique n°2
Fonctions paires et impaires.
Objectifs: consolider les compétences et les compétences en résolution de problèmes sur le thème : « Fonctions paires et impaires ».
Équipement: cahier pour les travaux pratiques, stylo, lignes directrices pour terminer le travail
Note. Tout d'abord, vous devez revoir le matériel théorique sur le sujet : « Fonctions paires et impaires », après quoi vous pourrez commencer à effectuer la partie pratique.
N'oubliez pas le formatage correct de la solution.
Lignes directrices :
Les propriétés les plus importantes des fonctions incluent la régularité et l'impair.
Définition: La fonction s'appelleimpair changements son sens à son contraire,
ceux. f (x)= f (x).
Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (0;0).
Exemples : les fonctions impaires sont y=x, y=, y= péché x et autres
Par exemple, le graphe y= est bien symétrique par rapport à l'origine (voir Fig. 1) :
Figure 1. G graphique y= (parabole cubique)
Définition: La fonction s'appellemême , si en changeant le signe de l'argument, ilne change pas sa signification, c'est-à-dire f (x)= f (x).
Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe de l'ampli-op.
Exemples : les fonctions paires sont des fonctions y=, y= ,
y= parce quex etc.
Par exemple, montrons la symétrie du graphique y= par rapport à l'axe de l'ampli-op :
Figure 2. Graphique =
Tâches de travaux pratiques :
№1. Étudiez analytiquement la fonction paire ou impaire :
1) f (x) = 2 x 3 – 3 ; 2) f (x) = 5 x 2 + 3 ;
3) g (x) = – + ; 4) g (x) = –2 x 3 + 3 ;
5) y(x)= 7xc tgx; 6) y(x)= + parce quex;
7) t(x)= tgx 3; 8) t(x)= + péchéx.
№2. Examinez analytiquement la fonction paire ou impaire :
1) f (x) = ; 2) f (x) = 6 + · péché 2 x· parce quex;
3) f (x) = ; 4) f (x) = 2 + · parce que 2 x· péchéx;
5) f (x) = ; 6) f (x) = 3 + · péché 4 x· parce quex;
7) f (x) = ; 8) f (x) = 3 + · parce que 4 x· péchéx.
№3. Examinez la fonction paire ou impaire selon le graphique :
№4. Vérifiez si la fonction est paire ou impaire ?
Instructions
Rappelons qu'une fonction est une dépendance de la variable Y sur la variable X telle que chaque valeur de la variable X correspond à une seule valeur de la variable Y.
La variable X est la variable indépendante ou l'argument. La variable Y est la variable dépendante. On pense également que la variable Y est fonction de la variable X. Les valeurs de la fonction sont égales aux valeurs de la variable dépendante.
Pour plus de clarté, notez les expressions. Si la dépendance de la variable Y sur la variable X est une fonction, alors elle s'écrit ainsi : y=f(x). (Lire : y est égal à f de x.) Utilisez le symbole f(x) pour désigner la valeur de la fonction correspondant à la valeur de l'argument égal à x.
Etude de la fonction sur parité ou impair- une des étapes de l'algorithme général d'étude d'une fonction, nécessaire à la construction d'un graphe de la fonction et à l'étude de ses propriétés. Dans cette étape, vous devez déterminer si la fonction est paire ou impaire. Si une fonction ne peut être dite paire ou impaire, alors on dit qu’elle est une fonction de forme générale.
Instructions
Remplacez l'argument x (-x) et voyez ce que vous obtenez. Comparez avec la fonction d'origine y(x). Si y(-x)=y(x), nous avons une fonction paire. Si y(-x)=-y(x), nous avons une fonction impaire. Si y(-x) n'est pas égal à y(x) et n'est pas égal à -y(x), nous avons une fonction de forme générale.
Toutes les opérations avec une fonction ne peuvent être effectuées que dans l'ensemble où elle est définie. Par conséquent, lors de l'étude d'une fonction et de la construction de son graphique, le premier rôle est joué par la recherche du domaine de définition.
Instructions
Si la fonction est y=g(x)/f(x), résolvez f(x)≠0 car le dénominateur de la fraction ne peut pas être nul. Par exemple, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. Autrement dit, le domaine de définition sera l'ensemble (-∞; 4)∪(4; +∞).
Lorsqu'une racine paire est présente dans la définition d'une fonction, résolvez l'inégalité dont la valeur est supérieure ou égale à zéro. Une racine paire ne peut être extraite que d’un nombre non négatif. Par exemple, y=√(x−2), x−2≥0. Alors le domaine de définition est l'ensemble , c'est-à-dire que si y=arcsin(f(x)) ou y=arccos(f(x)), vous devez résoudre la double inégalité -1≤f(x)≤1. Par exemple, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Le domaine de définition sera le segment [-3 ; -1].
Enfin, si une combinaison de différentes fonctions est donnée, alors le domaine de définition est l'intersection des domaines de définition de toutes ces fonctions. Par exemple, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). Tout d’abord, trouvez le domaine de définition de tous les termes. Sin(2*x) est défini sur toute la droite numérique. Pour la fonction x/√(x+2), résolvez l'inégalité x+2>0 et le domaine de définition sera (-2 ; +∞). Le domaine de définition de la fonction arcsin(x−6) est donné par la double inégalité -1≤x-6≤1, c'est-à-dire que le segment est obtenu. Pour le logarithme, l'inégalité x−6>0 est vraie, et c'est l'intervalle (6 ; +∞). Ainsi, le domaine de définition de la fonction sera l'ensemble (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), c'est-à-dire (6; 7].
Vidéo sur le sujet
Sources :
- domaine d'une fonction avec logarithme
Une fonction est un concept qui reflète la relation entre les éléments d'ensembles, ou en d'autres termes, c'est une « loi » selon laquelle chaque élément d'un ensemble (appelé domaine de définition) est associé à un élément d'un autre ensemble (appelé le domaine des valeurs).
