Règles pour résoudre un système d'équations. Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations

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Dans cette leçon, nous examinerons les méthodes permettant de résoudre un système d'équations linéaires. Dans un cours de mathématiques supérieures, les systèmes d'équations linéaires doivent être résolus à la fois sous la forme de tâches distinctes, par exemple « Résoudre le système à l'aide des formules de Cramer », et au cours de la résolution d'autres problèmes. Les systèmes d’équations linéaires doivent être abordés dans presque toutes les branches des mathématiques supérieures.

Tout d’abord, un peu de théorie. Que signifie le mot mathématique « linéaire » dans ce cas ? Cela signifie que les équations du système Tous variables incluses au premier degré: sans trucs fantaisistes comme etc., dont seuls les participants aux Olympiades mathématiques sont ravis.

En mathématiques supérieures, non seulement les lettres familières de l'enfance sont utilisées pour désigner les variables.
Une option assez populaire est celle des variables avec index : .
Ou les premières lettres de l'alphabet latin, petites et grandes :
Il n'est pas si rare de trouver des lettres grecques : – connues par beaucoup sous le nom de « alpha, bêta, gamma ». Et aussi un ensemble d'indices, disons, avec la lettre « mu » :

L'utilisation de l'un ou l'autre ensemble de lettres dépend de la section de mathématiques supérieures dans laquelle nous sommes confrontés à un système d'équations linéaires. Ainsi, par exemple, dans les systèmes d'équations linéaires rencontrés lors de la résolution d'équations intégrales et différentielles, il est traditionnel d'utiliser la notation

Mais quelle que soit la façon dont les variables sont désignées, les principes, méthodes et méthodes de résolution d'un système d'équations linéaires ne changent pas. Ainsi, si vous tombez sur quelque chose d'effrayant comme , ne vous précipitez pas pour fermer le livre de problèmes de peur, après tout, vous pouvez dessiner le soleil à la place, un oiseau à la place et un visage (le professeur) à la place. Et aussi drôle que cela puisse paraître, un système d’équations linéaires avec ces notations peut également être résolu.

J'ai le sentiment que l'article va s'avérer assez long, donc une petite table des matières. Ainsi, le « débriefing » séquentiel ressemblera à ceci :

– Résolution d’un système d’équations linéaires par la méthode de substitution (« méthode scolaire »);
– Résolution du système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système;
– Solution du système à l’aide des formules de Cramer;
– Résolution du système à l’aide d’une matrice inverse;
– Résolution du système par la méthode gaussienne.

Tout le monde connaît les systèmes d'équations linéaires grâce aux cours de mathématiques à l'école. Essentiellement, nous commençons par la répétition.

Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de substitution

Cette méthode peut aussi être appelée « méthode scolaire » ou méthode d’élimination des inconnues. Au sens figuré, on peut aussi l’appeler « une méthode gaussienne inachevée ».

Exemple 1

On nous donne ici un système de deux équations à deux inconnues. Notez que les termes libres (numéros 5 et 7) sont situés sur le côté gauche de l'équation. D’une manière générale, peu importe où ils se trouvent, à gauche ou à droite, c’est juste que dans les problèmes de mathématiques supérieures, ils sont souvent situés ainsi. Et un tel enregistrement ne doit pas prêter à confusion ; si nécessaire, le système peut toujours être écrit « comme d'habitude » : . N’oubliez pas que lorsque vous déplacez un terme d’une partie à l’autre, il doit changer de signe.

Que signifie résoudre un système d’équations linéaires ? Résoudre un système d’équations signifie trouver plusieurs de ses solutions. La solution d'un système est un ensemble de valeurs de toutes les variables qu'il contient, ce qui transforme CHAQUE équation du système en une égalité correcte. De plus, le système peut être non conjoint (je n'ai pas de solutions).Ne soyez pas timide, c'est une définition générale =) Nous n'aurons qu'une seule valeur « x » et une seule valeur « y », qui satisfont chaque équation c-we.

Il existe une méthode graphique pour résoudre le système, avec laquelle vous pouvez vous familiariser en classe. Les problèmes les plus simples avec une ligne. Là, j'ai parlé sens géométrique systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues. Mais maintenant, c’est l’ère de l’algèbre, et des nombres-nombres, des actions-actions.

Décidons: à partir de la première équation on exprime :
Nous substituons l'expression résultante dans la deuxième équation :

Nous ouvrons les parenthèses, ajoutons des termes similaires et trouvons la valeur :

Ensuite, nous nous souvenons de ce pour quoi nous avons dansé :
On connaît déjà la valeur, il ne reste plus qu'à trouver :

Répondre:

Après que TOUT système d'équations ait été résolu de QUELQUE manière que ce soit, je recommande fortement de vérifier (oralement, sur un brouillon ou sur une calculatrice). Heureusement, cela se fait facilement et rapidement.

1) Remplacez la réponse trouvée dans la première équation :

– l'égalité correcte est obtenue.

2) Remplacez la réponse trouvée dans la deuxième équation :

– l'égalité correcte est obtenue.

Ou, pour le dire plus simplement, « tout s’est mis en place »

La méthode de solution envisagée n'est pas la seule ; à partir de la première équation, il a été possible d'exprimer , et non .
Vous pouvez faire le contraire : exprimer quelque chose de la deuxième équation et le remplacer dans la première équation. A propos, notons que la plus désavantageuse des quatre méthodes est d'exprimer à partir de la deuxième équation :

Le résultat est des fractions, mais pourquoi ? Il existe une solution plus rationnelle.

Cependant, dans certains cas, on ne peut toujours pas se passer des fractions. À cet égard, je voudrais attirer votre attention sur COMMENT j'ai écrit l'expression. Pas comme ça : et en aucun cas comme ça : .

Si, en mathématiques supérieures, vous avez affaire à des nombres fractionnaires, essayez d'effectuer tous les calculs avec des fractions impropres ordinaires.

Exactement, et pas ou !

Une virgule ne peut être utilisée que parfois, en particulier si elle constitue la réponse finale à un problème, et aucune autre action ne doit être effectuée avec ce nombre.

De nombreux lecteurs se sont probablement demandé « pourquoi une explication aussi détaillée que pour un cours de correction, tout est clair ». Rien de tel, cela semble être un exemple scolaire si simple, mais il y a tellement de conclusions TRÈS importantes ! En voici un autre :

Vous devez vous efforcer d’accomplir n’importe quelle tâche de la manière la plus rationnelle. Ne serait-ce que parce que cela permet d'économiser du temps et des nerfs, et réduit également le risque de commettre une erreur.

Si, dans un problème de mathématiques supérieures, vous rencontrez un système de deux équations linéaires à deux inconnues, vous pouvez toujours utiliser la méthode de substitution (sauf s'il est indiqué que le système doit être résolu par une autre méthode, aucun enseignant ne pensera que vous l'êtes). une ventouse et réduira votre note pour avoir utilisé la « méthode scolaire » "
De plus, dans certains cas, il est conseillé d'utiliser la méthode de substitution avec un plus grand nombre de variables.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires à trois inconnues

Un système d'équations similaire apparaît souvent lors de l'utilisation de la méthode dite des coefficients indéfinis, lorsque l'on trouve l'intégrale d'une fonction rationnelle fractionnaire. Le système en question a été récupéré par moi.

Pour trouver l’intégrale, le but est rapide trouver les valeurs des coefficients, plutôt que d'utiliser les formules de Cramer, la méthode de la matrice inverse, etc. Par conséquent, dans ce cas, la méthode de substitution est appropriée.

Lorsqu'un système d'équations est donné, il est tout d'abord souhaitable de savoir s'il est possible de le simplifier IMMÉDIATEMENT d'une manière ou d'une autre ? En analysant les équations du système, nous remarquons que la deuxième équation du système peut être divisée par 2, ce que nous faisons :

Référence: le signe mathématique signifie « de ceci découle cela » et est souvent utilisé dans la résolution de problèmes.

Analysons maintenant les équations : nous devons exprimer une variable en fonction des autres. Quelle équation dois-je choisir ? Vous avez probablement déjà deviné que le moyen le plus simple pour cela est de prendre la première équation du système :

Ici, quelle que soit la variable à exprimer, on pourrait tout aussi bien exprimer ou .

Ensuite, nous substituons l'expression pour dans les deuxième et troisième équations du système :

Nous ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :

Divisez la troisième équation par 2 :

À partir de la deuxième équation, nous exprimons et substituons dans la troisième équation :

Presque tout est prêt, à partir de la troisième équation on trouve :
De la deuxième équation :
De la première équation :

Vérifier : Remplacez les valeurs trouvées des variables dans le côté gauche de chaque équation du système :

1)
2)
3)

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, la solution est donc trouvée correctement.

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires à 4 inconnues

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Résolution du système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système

Lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires, vous devez essayer d'utiliser non pas la « méthode scolaire », mais la méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations du système. Pourquoi? Cela fait gagner du temps et simplifie les calculs, cependant, tout deviendra désormais plus clair.

Exemple 4

Résoudre un système d'équations linéaires :

J'ai pris le même système que dans le premier exemple.
En analysant le système d'équations, on remarque que les coefficients de la variable sont identiques en grandeur et opposés en signe (–1 et 1). Dans une telle situation, les équations peuvent être additionnées terme par terme :

Les actions entourées en rouge sont réalisées MENTALEMENT.
Comme vous pouvez le constater, suite à l’addition terme par terme, nous avons perdu la variable. C'est en fait ce que l'essence de la méthode est de se débarrasser de l'une des variables.

Plus fiable que la méthode graphique évoquée dans le paragraphe précédent.

Méthode de substitution

Nous avons utilisé cette méthode en 7e année pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme développé en 7e année est tout à fait adapté pour résoudre des systèmes de deux équations quelconques (pas nécessairement linéaires) avec deux variables x et y (bien sûr, les variables peuvent être désignées par d'autres lettres, ce qui n'a pas d'importance). En fait, nous avons utilisé cet algorithme dans le paragraphe précédent, lorsque le problème d’un nombre à deux chiffres a conduit à un modèle mathématique, qui est un système d’équations. Nous avons résolu ce système d'équations ci-dessus en utilisant la méthode de substitution (voir exemple 1 du § 4).

Un algorithme pour utiliser la méthode de substitution lors de la résolution d'un système de deux équations avec deux variables x, y.

1. Exprimez y en fonction de x à partir d’une équation du système.
2. Remplacez l'expression résultante au lieu de y dans une autre équation du système.
3. Résolvez l’équation résultante pour x.
4. Remplacez tour à tour chacune des racines de l'équation trouvée à la troisième étape au lieu de x par l'expression y par x obtenue à la première étape.
5. Écrivez la réponse sous la forme de paires de valeurs (x; y), qui ont été trouvées respectivement aux troisième et quatrième étapes.

4) Remplacez une par une chacune des valeurs trouvées de y dans la formule x = 5 - 3. Si alors
5) Paires (2 ; 1) et solutions à un système d'équations donné.

Réponse : (2 ; 1) ;

Méthode d'addition algébrique

Cette méthode, comme la méthode de substitution, vous est familière depuis le cours d'algèbre de 7e année, où elle était utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Rappelons l'essence de la méthode à l'aide de l'exemple suivant.

Exemple 2. Résoudre un système d'équations

Multiplions tous les termes de la première équation du système par 3 et laissons la deuxième équation inchangée :
Soustrayez la deuxième équation du système de sa première équation :

À la suite de l'addition algébrique de deux équations du système d'origine, une équation a été obtenue plus simple que les première et deuxième équations du système donné. Avec cette équation plus simple nous avons le droit de remplacer n'importe quelle équation d'un système donné, par exemple la seconde. Ensuite, le système d'équations donné sera remplacé par un système plus simple :

Ce système peut être résolu en utilisant la méthode de substitution. À partir de la deuxième équation, nous trouvons qu'en substituant cette expression au lieu de y dans la première équation du système, nous obtenons.

Il reste à substituer les valeurs trouvées de x dans la formule

Si x = 2 alors

Ainsi, nous avons trouvé deux solutions au système :

Méthode d'introduction de nouvelles variables

Vous avez découvert la méthode d'introduction d'une nouvelle variable lors de la résolution d'équations rationnelles avec une variable dans le cours d'algèbre de 8e année. L'essence de cette méthode de résolution de systèmes d'équations est la même, mais d'un point de vue technique, nous aborderons certaines fonctionnalités dans les exemples suivants.

Exemple 3. Résoudre un système d'équations

Introduisons une nouvelle variable. Ensuite, la première équation du système peut être réécrite sous une forme plus simple : Résolvons cette équation par rapport à la variable t :

Ces deux valeurs satisfont à la condition et sont donc les racines d'une équation rationnelle avec la variable t. Mais cela signifie soit où nous trouvons que x = 2y, soit
Ainsi, en utilisant la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, nous avons réussi à en quelque sorte « stratifier » la première équation du système, assez complexe en apparence, en deux équations plus simples :

x = 2 oui ; oui - 2x.

Quelle est la prochaine étape ? Et puis chacune des deux équations simples obtenues doit être considérée tour à tour dans un système d'équation x 2 - y 2 = 3, dont nous ne nous sommes pas encore souvenus. Autrement dit, le problème revient à résoudre deux systèmes d’équations :

Nous devons trouver des solutions au premier système, au deuxième système et inclure toutes les paires de valeurs résultantes dans la réponse. Résolvons le premier système d'équations :

Utilisons la méthode de substitution, d'autant plus que tout est prêt ici : remplaçons l'expression 2y au lieu de x dans la deuxième équation du système. Nous obtenons

Puisque x = 2y, on trouve respectivement x 1 = 2, x 2 = 2. Ainsi, deux solutions du système donné sont obtenues : (2 ; 1) et (-2 ; -1). Résolvons le deuxième système d'équations :

Utilisons à nouveau la méthode de substitution : remplacez l'expression 2x au lieu de y dans la deuxième équation du système. Nous obtenons

Cette équation n’a pas de racines, ce qui signifie que le système d’équations n’a pas de solution. Ainsi, seules les solutions du premier système doivent être incluses dans la réponse.

Réponse : (2 ; 1) ; (-2;-1).

La méthode d'introduction de nouvelles variables lors de la résolution de systèmes de deux équations à deux variables est utilisée en deux versions. Première option : une nouvelle variable est introduite et utilisée dans une seule équation du système. C'est exactement ce qui s'est passé dans l'exemple 3. Deuxième option : deux nouvelles variables sont introduites et utilisées simultanément dans les deux équations du système. Ce sera le cas dans l'exemple 4.

Exemple 4. Résoudre un système d'équations

Introduisons deux nouvelles variables :

Prenons en compte cela alors

Cela vous permettra de réécrire le système donné sous une forme beaucoup plus simple, mais en respectant les nouvelles variables a et b :

Puisque a = 1, alors à partir de l'équation a + 6 = 2 on trouve : 1 + 6 = 2 ; 6=1. Ainsi, concernant les variables a et b, nous avons une solution :

En revenant aux variables x et y, on obtient un système d'équations

Appliquons la méthode d'addition algébrique pour résoudre ce système :

Depuis lors à partir de l’équation 2x + y = 3 on trouve :
Ainsi, concernant les variables x et y, nous avons une solution :

Concluons ce paragraphe par une conversation théorique brève mais assez sérieuse. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution de diverses équations : linéaires, quadratiques, rationnelles, irrationnelles. Vous savez que l'idée principale pour résoudre une équation est de passer progressivement d'une équation à une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée. Dans le paragraphe précédent, nous avons introduit la notion d'équivalence pour les équations à deux variables. Ce concept est également utilisé pour les systèmes d'équations.

Définition.

Deux systèmes d'équations avec des variables x et y sont dits équivalents s'ils ont les mêmes solutions ou si les deux systèmes n'ont pas de solutions.

Les trois méthodes (substitution, addition algébrique et introduction de nouvelles variables) dont nous avons parlé dans cette section sont absolument correctes du point de vue de l'équivalence. Autrement dit, grâce à ces méthodes, on remplace un système d’équations par un autre, plus simple, mais équivalent au système d’origine.

Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations

Nous avons déjà appris à résoudre des systèmes d'équations de manière aussi courante et fiable que la méthode de substitution, l'addition algébrique et l'introduction de nouvelles variables. Rappelons maintenant la méthode que vous avez déjà étudiée dans la leçon précédente. Autrement dit, répétons ce que vous savez sur la méthode de résolution graphique.

La méthode de résolution graphique de systèmes d'équations consiste à construire un graphique pour chacune des équations spécifiques qui sont incluses dans un système donné et sont situées dans le même plan de coordonnées, ainsi que là où il est nécessaire de trouver les intersections des points de ces graphiques. Pour résoudre ce système d'équations, il faut les coordonnées de ce point (x; y).

Il ne faut pas oublier qu'il est courant qu'un système graphique d'équations ait soit une seule solution correcte, soit un nombre infini de solutions, soit qu'il n'y ait aucune solution du tout.

Examinons maintenant chacune de ces solutions plus en détail. Ainsi, un système d’équations peut avoir une solution unique si les lignes qui constituent les graphiques des équations du système se croisent. Si ces droites sont parallèles, alors un tel système d’équations n’a absolument aucune solution. Si les graphiques directs des équations du système coïncident, alors un tel système permet de trouver de nombreuses solutions.

Eh bien, regardons maintenant l'algorithme pour résoudre un système de deux équations à 2 inconnues à l'aide d'une méthode graphique :

Tout d'abord, nous construisons d'abord un graphique de la 1ère équation ;
La deuxième étape consistera à construire un graphique relatif à la deuxième équation ;
Troisièmement, nous devons trouver les points d’intersection des graphiques.
Et en conséquence, nous obtenons les coordonnées de chaque point d'intersection, qui seront la solution du système d'équations.

Examinons cette méthode plus en détail à l'aide d'un exemple. On nous donne un système d'équations qu'il faut résoudre :

Résoudre des équations

1. Tout d’abord, nous allons construire un graphique de cette équation : x2+y2=9.

Mais il convient de noter que ce graphique des équations sera un cercle dont le centre est à l'origine et dont le rayon sera égal à trois.

2. Notre prochaine étape consistera à tracer graphiquement une équation telle que : y = x – 3.

Dans ce cas, il faut construire une droite et trouver les points (0;−3) et (3;0).

3. Voyons ce que nous avons. On voit que la droite coupe le cercle en deux de ses points A et B.

Nous recherchons maintenant les coordonnées de ces points. On voit que les coordonnées (3;0) correspondent au point A, et les coordonnées (0;−3) correspondent au point B.

Et qu’obtient-on en conséquence ?

Les nombres (3;0) et (0;−3) obtenus lorsque la droite coupe le cercle sont précisément les solutions des deux équations du système. Et il s'ensuit que ces nombres sont aussi des solutions à ce système d'équations.

Autrement dit, la réponse à cette solution est les nombres : (3;0) et (0;−3).

Les systèmes d'équations sont largement utilisés dans le secteur économique pour la modélisation mathématique de divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, d'itinéraires logistiques (problème de transport) ou de placement d'équipements.

Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement en mathématiques, mais également en physique, en chimie et en biologie, pour résoudre des problèmes liés à la détermination de la taille d'une population.

Un système d'équations linéaires est constitué de deux ou plusieurs équations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution commune. Une telle séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.

Équation linéaire

Les équations de la forme ax+by=c sont dites linéaires. Les désignations x, y sont les inconnues dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
Résoudre une équation en la traçant ressemblera à une ligne droite dont tous les points sont des solutions du polynôme.

Types de systèmes d'équations linéaires

Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.

F1(x, y) = 0 et F2(x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.

Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver des valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir que les valeurs appropriées de x et y n'existent pas.

Une paire de valeurs (x, y), écrites sous la forme des coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.

Si les systèmes ont une solution commune ou qu’aucune solution n’existe, ils sont appelés équivalents.

Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre droit est égal à zéro. Si la partie droite après le signe égal a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.

Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, nous devrions alors parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.

Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d’équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d’inconnues, mais ce n’est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables ; il peut y en avoir autant que l'on souhaite.

Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations

Il n'existe pas de méthode analytique générale pour résoudre de tels systèmes ; toutes les méthodes sont basées sur des solutions numériques. Le cours de mathématiques scolaires décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que les méthodes graphiques et matricielles, solution par la méthode gaussienne.

La tâche principale lors de l'enseignement des méthodes de résolution est d'enseigner comment analyser correctement le système et trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser un système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'utilisation d'une méthode particulière

La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires dans le programme d'enseignement général de 7e année est assez simple et expliquée de manière très détaillée. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.

Résolution de systèmes par la méthode de substitution

Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable en fonction de la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme à une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système

Donnons une solution à un exemple de système d'équations linéaires de classe 7 utilisant la méthode de substitution :

Comme le montre l'exemple, la variable x a été exprimée par F(X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2ème équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2ème équation . La résolution de cet exemple est simple et permet d'obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.

Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être complexes et exprimer la variable en termes de seconde inconnue sera trop fastidieux pour des calculs ultérieurs. Lorsqu’il y a plus de 3 inconnues dans le système, la résolution par substitution est également peu pratique.

Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :

Solution utilisant l'addition algébrique

Lors de la recherche de solutions de systèmes à l'aide de la méthode d'addition, les équations sont ajoutées terme par terme et multipliées par différents nombres. Le but ultime des opérations mathématiques est une équation à une variable.

L'application de cette méthode nécessite de la pratique et de l'observation. Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition lorsqu'il y a 3 variables ou plus n'est pas facile. L'addition algébrique est pratique à utiliser lorsque les équations contiennent des fractions et des décimales.

Algorithme de solution :

1. Multipliez les deux côtés de l’équation par un certain nombre. À la suite de l'opération arithmétique, l'un des coefficients de la variable devrait devenir égal à 1.
2. Ajoutez l'expression obtenue terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
3. Remplacez la valeur résultante dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.

Méthode de solution en introduisant une nouvelle variable

Une nouvelle variable peut être introduite si le système nécessite de trouver une solution pour pas plus de deux équations ; le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.

La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue pour l'inconnue introduite et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.

L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à un trinôme quadratique standard. Vous pouvez résoudre un polynôme en trouvant le discriminant.

Il faut trouver la valeur du discriminant à l'aide de la formule bien connue : D = b2 - 4*a*c, où D est le discriminant souhaité, b, a, c sont les facteurs du polynôme. Dans l'exemple donné, a=1, b=16, c=39, donc D=100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il existe deux solutions : t = -b±√D / 2*a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il existe une solution : x = -b / 2*a.

La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d’addition.

Méthode visuelle pour résoudre des systèmes

Convient pour 3 systèmes d'équations. La méthode consiste à construire des graphiques de chaque équation incluse dans le système sur l'axe des coordonnées. Les coordonnées des points d'intersection des courbes seront la solution générale du système.

La méthode graphique présente un certain nombre de nuances. Examinons plusieurs exemples de résolution visuelle de systèmes d'équations linéaires.

Comme le montre l'exemple, pour chaque ligne deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.

Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d’intersection des droites est la solution du système.

L'exemple suivant nécessite de trouver une solution graphique à un système d'équations linéaires : 0,5x-y+2=0 et 0,5x-y-1=0.

Comme le montre l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.

Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais une fois construits, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il ne faut pas oublier qu’il n’est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non ; il faut toujours construire un graphe ;

La matrice et ses variétés

Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d’équations linéaires. Une matrice est un type spécial de tableau rempli de nombres. n*m a n lignes et m colonnes.

Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes sont égaux. Une matrice-vecteur est une matrice d'une colonne avec un nombre infini de lignes. Une matrice avec des uns le long d’une des diagonales et d’autres éléments nuls est appelée identité.

Une matrice inverse est une matrice lorsqu'elle est multipliée par laquelle celle d'origine se transforme en une matrice unitaire ; une telle matrice n'existe que pour la matrice carrée d'origine ;

Règles pour convertir un système d'équations en matrice

En ce qui concerne les systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits sous forme de nombres matriciels ; une équation correspond à une ligne de la matrice.

Une ligne matricielle est dite non nulle si au moins un élément de la ligne est non nul. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est alors nécessaire d'entrer zéro à la place de l'inconnue manquante.

Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.

Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.

Options pour trouver la matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / |K|, où K -1 est la matrice inverse, et |K| est le déterminant de la matrice. |K| ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.

Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux ; il suffit de multiplier les éléments diagonaux les uns par les autres. Pour l'option « trois par trois », il existe une formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + une 3 b 2 c 1 . Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le travail.

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

La méthode matricielle de recherche d'une solution vous permet de réduire les saisies fastidieuses lors de la résolution de systèmes comportant un grand nombre de variables et d'équations.

Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables et b n sont des termes libres.

Résolution de systèmes par la méthode gaussienne

En mathématiques supérieures, la méthode gaussienne est étudiée avec la méthode Cramer, et le processus de recherche de solutions aux systèmes est appelé méthode de solution Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver des variables de systèmes comportant un grand nombre d'équations linéaires.

La méthode de Gauss est très similaire aux solutions par substitution et addition algébrique, mais est plus systématique. Dans le cours scolaire, la solution par la méthode gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de réduire le système à la forme d'un trapèze inversé. Au moyen de transformations algébriques et de substitutions, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, tandis que 3 et 4 sont respectivement à 3 et 4 variables.

Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.

Dans les manuels scolaires de la 7e année, un exemple de solution par la méthode Gauss est décrit comme suit :

Comme le montre l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 =11 et 3x 3 +2x 4 =7. La résolution de l'une des équations vous permettra de connaître l'une des variables x n.

Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à celui d'origine.

La méthode gaussienne est difficile à comprendre pour les collégiens, mais c'est l'un des moyens les plus intéressants pour développer l'ingéniosité des enfants inscrits dans les programmes d'apprentissage avancé des cours de mathématiques et de physique.

Pour faciliter l'enregistrement, les calculs sont généralement effectués comme suit :

Les coefficients des équations et les termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice correspond à l'une des équations du système. sépare le côté gauche de l’équation du côté droit. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations du système.

Notez d’abord la matrice à travailler, puis toutes les actions réalisées avec l’une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe "flèche" et les opérations algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit obtenu.

Le résultat devrait être une matrice dans laquelle l'une des diagonales est égale à 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est réduite à une forme unitaire. Il ne faut pas oublier d'effectuer des calculs avec des nombres des deux côtés de l'équation.

Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par la liste de nombreuses inconnues.

L'utilisation gratuite de n'importe quelle méthode de résolution nécessitera de la prudence et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines méthodes pour trouver des solutions sont plus préférables dans un domaine particulier de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.

Avec cette vidéo je commence une série de leçons dédiées aux systèmes d'équations. Aujourd'hui, nous allons parler de la résolution de systèmes d'équations linéaires méthode d'addition- C'est l'une des méthodes les plus simples, mais en même temps l'une des plus efficaces.

La méthode d'addition comprend trois étapes simples :

1. Regardez le système et choisissez une variable qui a des coefficients identiques (ou opposés) dans chaque équation ;
2. Effectuer une soustraction algébrique (pour les nombres opposés - addition) d'équations les unes des autres, puis rapprocher des termes similaires ;
3. Résolvez la nouvelle équation obtenue après la deuxième étape.

Si tout est fait correctement, alors en sortie nous obtiendrons une seule équation avec une variable— il ne sera pas difficile de le résoudre. Il ne reste plus qu'à substituer la racine trouvée dans le système d'origine et à obtenir la réponse finale.

Cependant, dans la pratique, tout n'est pas si simple. Il y a plusieurs raisons à cela :

• La résolution d'équations à l'aide de la méthode d'addition implique que toutes les lignes doivent contenir des variables avec des coefficients égaux/opposés. Que faire si cette condition n’est pas remplie ?
• Pas toujours, après avoir ajouté/soustrait des équations de la manière indiquée, nous obtenons une belle construction qui peut être facilement résolue. Est-il possible d'une manière ou d'une autre de simplifier les calculs et d'accélérer les calculs ?

Pour obtenir la réponse à ces questions, et en même temps comprendre quelques subtilités supplémentaires sur lesquelles de nombreux étudiants échouent, regardez ma leçon vidéo :

Avec cette leçon, nous commençons une série de cours consacrés aux systèmes d'équations. Et nous partirons du plus simple d’entre eux, à savoir ceux qui contiennent deux équations et deux variables. Chacun d'eux sera linéaire.

Les systèmes sont du matériel de 7e année, mais cette leçon sera également utile aux élèves du secondaire qui souhaitent parfaire leurs connaissances sur ce sujet.

En général, il existe deux méthodes pour résoudre de tels systèmes :

1. Méthode d'addition ;
2. Une méthode pour exprimer une variable en fonction d’une autre.

Aujourd'hui, nous traiterons de la première méthode - nous utiliserons la méthode de soustraction et d'addition. Mais pour ce faire, vous devez comprendre le fait suivant : une fois que vous avez deux équations ou plus, vous pouvez en prendre deux et les additionner les unes aux autres. Ils sont ajoutés membre par membre, c'est-à-dire Les « X » sont ajoutés aux « X » et les similaires sont donnés, les « Y » avec les « Y » sont à nouveau similaires, et ce qui est à droite du signe égal est également ajouté les uns aux autres, et des similaires y sont également donnés. .

Le résultat de telles machinations sera une nouvelle équation qui, si elle a des racines, sera certainement parmi les racines de l’équation originale. Par conséquent, notre tâche est d'effectuer la soustraction ou l'addition de telle manière que $x$ ou $y$ disparaissent.

Comment y parvenir et quel outil utiliser pour cela - nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant la méthode d'addition

Ainsi, nous apprenons à utiliser la méthode d'addition en utilisant l'exemple de deux expressions simples.

Tâche n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Notez que $y$ a un coefficient de $-4$ dans la première équation, et $+4$ dans la seconde. Ils sont mutuellement opposés, il est donc logique de supposer que si nous les additionnons, alors dans la somme résultante, les « jeux » seront mutuellement détruits. Additionnez-le et obtenez :

Résolvons la construction la plus simple :

Super, nous avons trouvé le "x". Que devrions-nous en faire maintenant ? Nous avons le droit de le substituer dans n’importe quelle équation. Remplaçons par le premier :

\[-4y=12\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(2;-3 \right)$.

Problème n°2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situation ici est complètement similaire, sauf avec les « X ». Additionnons-les :

Nous avons l'équation linéaire la plus simple, résolvons-la :

Trouvons maintenant $x$ :

Réponse : $\left(-3;3 \right)$.

Points importants

Nous venons donc de résoudre deux systèmes simples d’équations linéaires en utilisant la méthode d’addition. Encore des points clés :

1. S'il existe des coefficients opposés pour l'une des variables, alors il est nécessaire d'ajouter toutes les variables de l'équation. Dans ce cas, l’un d’eux sera détruit.
2. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des équations du système pour trouver la seconde.
3. Le dossier de réponse final peut être présenté de différentes manières. Par exemple, comme ceci - $x=...,y=...$, ou sous forme de coordonnées de points - $\left(...;... \right)$. La deuxième option est préférable. La principale chose à retenir est que la première coordonnée est $x$ et la seconde est $y$.
4. La règle consistant à écrire la réponse sous forme de coordonnées de points n'est pas toujours applicable. Par exemple, il ne peut pas être utilisé lorsque les variables ne sont pas $x$ et $y$, mais, par exemple, $a$ et $b$.

Dans les problèmes suivants nous considérerons la technique de soustraction lorsque les coefficients ne sont pas opposés.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant la méthode de soustraction

Tâche n°1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Notez qu'il n'y a pas ici de coefficients opposés, mais il y en a des identiques. Par conséquent, nous soustrayons la seconde de la première équation :

Maintenant, nous remplaçons la valeur $x$ dans l'une des équations du système. Commençons par :

Réponse : $\left(2;5\right)$.

Problème n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nous voyons à nouveau le même coefficient de 5$ pour $x$ dans la première et la deuxième équations. Par conséquent, il est logique de supposer que vous devez soustraire la seconde de la première équation :

Nous avons calculé une variable. Trouvons maintenant la seconde, par exemple, en substituant la valeur $y$ dans la deuxième construction :

Réponse : $\left(-3;-2 \right)$.

Nuances de la solution

Alors que voit-on ? Fondamentalement, le schéma n’est pas différent de la solution des systèmes précédents. La seule différence est que nous n’ajoutons pas d’équations, mais les soustrayons. Nous faisons une soustraction algébrique.

En d’autres termes, dès que vous voyez un système composé de deux équations à deux inconnues, la première chose que vous devez examiner, ce sont les coefficients. Si elles sont identiques quelque part, les équations sont soustraites, et si elles sont opposées, la méthode d'addition est utilisée. Ceci est toujours fait pour que l'un d'eux disparaisse, et dans l'équation finale, qui reste après soustraction, il ne reste qu'une seule variable.

Bien sûr, ce n'est pas tout. Nous allons maintenant considérer des systèmes dans lesquels les équations sont généralement incohérentes. Ceux. Il n’y a pas de variables identiques ou opposées. Dans ce cas, pour résoudre de tels systèmes, une technique supplémentaire est utilisée, à savoir multiplier chacune des équations par un coefficient spécial. Comment le trouver et comment résoudre de tels systèmes en général, nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes en multipliant par un coefficient

Exemple n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

On voit que ni pour $x$ ni pour $y$ les coefficients ne sont non seulement opposés entre eux, mais aussi nullement corrélés avec l'autre équation. Ces coefficients ne disparaîtront en aucun cas, même si l'on ajoute ou soustrait les équations les unes aux autres. Il est donc nécessaire d’appliquer la multiplication. Essayons de nous débarrasser de la variable $y$. Pour ce faire, on multiplie la première équation par le coefficient de $y$ de la deuxième équation, et la deuxième équation par le coefficient de $y$ de la première équation, sans toucher au signe. On multiplie et obtient un nouveau système :

\[\gauche\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Regardons ça : à $y$ les coefficients sont opposés. Dans une telle situation, il est nécessaire d’utiliser la méthode de l’addition. Ajoutons :

Nous devons maintenant trouver $y$. Pour ce faire, remplacez $x$ dans la première expression :

\[-9y=18\gauche| :\gauche(-9 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(4;-2 \right)$.

Exemple n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Encore une fois, les coefficients d’aucune des variables ne sont cohérents. Multiplions par les coefficients de $y$ :

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\gauche\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Notre nouveau système est équivalent au précédent, mais les coefficients de $y$ sont mutuellement opposés, et il est donc facile d'appliquer ici la méthode d'addition :

Trouvons maintenant $y$ en substituant $x$ dans la première équation :

Réponse : $\left(-2;1 \right)$.

Nuances de la solution

La règle clé ici est la suivante : nous multiplions toujours uniquement par des nombres positifs - cela vous évitera des erreurs stupides et offensantes associées au changement de signes. En général, le schéma de solution est assez simple :

1. Nous examinons le système et analysons chaque équation.
2. Si on voit que ni $y$ ni $x$ les coefficients ne sont cohérents, c'est-à-dire ils ne sont ni égaux ni opposés, alors on fait ce qui suit : on sélectionne la variable dont on doit se débarrasser, puis on regarde les coefficients de ces équations. Si nous multiplions la première équation par le coefficient de la seconde et que la seconde, en conséquence, multiplions par le coefficient de la première, nous obtiendrons finalement un système complètement équivalent au précédent, et les coefficients de $ y$ sera cohérent. Toutes nos actions ou transformations visent uniquement à obtenir une variable dans une équation.
3. Nous trouvons une variable.
4. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des deux équations du système et trouvons la seconde.
5. On écrit la réponse sous forme de coordonnées de points si on a les variables $x$ et $y$.

Mais même un algorithme aussi simple a ses propres subtilités, par exemple, les coefficients de $x$ ou $y$ peuvent être des fractions et d'autres nombres « laids ». Nous allons maintenant considérer ces cas séparément, car vous pouvez y agir quelque peu différemment que selon l'algorithme standard.

Résoudre des problèmes avec des fractions

Exemple n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Tout d’abord, notez que la deuxième équation contient des fractions. Mais notez que vous pouvez diviser 4$ par 0,8$. Nous recevrons 5$. Multiplions la deuxième équation par 5$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

On soustrait les équations les unes des autres :

Nous avons trouvé $n$, comptons maintenant $m$ :

Réponse : $n=-4;m=5$

Exemple n°2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ droite.\]

Ici, comme dans le système précédent, il existe des coefficients fractionnaires, mais pour aucune des variables, les coefficients ne s'emboîtent pas un nombre entier de fois. Nous utilisons donc l’algorithme standard. Débarrassez-vous de $p$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Nous utilisons la méthode de soustraction :

Trouvons $p$ en substituant $k$ dans la deuxième construction :

Réponse : $p=-4;k=-2$.

Nuances de la solution

C'est toute l'optimisation. Dans la première équation, nous n'avons pas multiplié par quoi que ce soit, mais nous avons multiplié la deuxième équation par 5$. En conséquence, nous avons obtenu une équation cohérente et même identique pour la première variable. Dans le deuxième système, nous avons suivi un algorithme standard.

Mais comment trouver les nombres par lesquels multiplier les équations ? Après tout, si nous multiplions par des fractions, nous obtenons de nouvelles fractions. Par conséquent, les fractions doivent être multipliées par un nombre qui donnerait un nouvel entier, puis les variables doivent être multipliées par des coefficients, en suivant l'algorithme standard.

En conclusion, j'aimerais attirer votre attention sur le format d'enregistrement de la réponse. Comme je l'ai déjà dit, puisque ici nous n'avons pas $x$ et $y$, mais d'autres valeurs, nous utilisons une notation non standard de la forme :

Résolution de systèmes d'équations complexes

Pour conclure le didacticiel vidéo d'aujourd'hui, examinons quelques systèmes vraiment complexes. Leur complexité résidera dans le fait qu’ils auront des variables à gauche et à droite. Par conséquent, pour les résoudre, nous devrons appliquer un prétraitement.

Système n°1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Chaque équation comporte une certaine complexité. Par conséquent, traitons chaque expression comme une construction linéaire régulière.

Au total, nous obtenons le système final, qui est équivalent à celui d'origine :

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Regardons les coefficients de $y$ : $3$ rentre deux fois dans $6$, multiplions donc la première équation par $2$ :

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Les coefficients de $y$ sont maintenant égaux, on soustrait donc la seconde de la première équation : $$

Trouvons maintenant $y$ :

Réponse : $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Système n°2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformons la première expression :

Passons au deuxième :

\[-3\gauche(b-2a \droite)-12=2\gauche(a-5 \droite)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Au total, notre système initial prendra la forme suivante :

\[\gauche\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

En regardant les coefficients de $a$, nous voyons que la première équation doit être multipliée par $2$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Soustrayez la seconde de la première construction :

Trouvons maintenant $a$ :

Réponse : $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

C'est tout. J'espère que ce didacticiel vidéo vous aidera à comprendre ce sujet difficile, à savoir la résolution de systèmes d'équations linéaires simples. Il y aura bien d'autres leçons sur ce sujet à l'avenir : nous examinerons des exemples plus complexes, où il y aura plus de variables, et les équations elles-mêmes seront non linéaires. A bientôt !