Raisons de l'apparition de racines étrangères lors de la résolution d'équations. Leçon « Equivalence des équations Vérification des racines

Peut conduire à l’apparition de racines dites étrangères. Dans cet article, nous analyserons dans un premier temps en détail ce qu’est racines étrangères. Deuxièmement, parlons des raisons de leur apparition. Et troisièmement, à l'aide d'exemples, nous examinerons les principales méthodes de filtrage des racines étrangères, c'est-à-dire vérifier les racines pour la présence de racines étrangères parmi elles afin de les exclure de la réponse.

Racines étrangères de l'équation, définition, exemples

Les manuels scolaires d'algèbre ne fournissent pas de définition d'une racine étrangère. Là, l'idée d'une racine étrangère se forme en décrivant la situation suivante : à l'aide de quelques transformations de l'équation, une transition est effectuée de l'équation d'origine à l'équation corollaire, les racines de l'équation corollaire résultante sont trouvées , et les racines trouvées sont vérifiées en les remplaçant dans l'équation d'origine, ce qui montre que certaines des racines trouvées ne sont pas des racines de l'équation d'origine, ces racines sont appelées racines étrangères à l'équation d'origine.

À partir de cette base, vous pouvez accepter la définition suivante d’une racine étrangère :

Définition

Racines étrangères- ce sont les racines de l'équation corollaire obtenues grâce à des transformations, qui ne sont pas les racines de l'équation d'origine.

Donnons un exemple. Considérons l'équation et la conséquence de cette équation x·(x−1)=0, obtenue en remplaçant l'expression par l'expression identiquement égale x·(x−1) . L’équation originale a une seule racine 1. L'équation obtenue à la suite de la transformation a deux racines 0 et 1. Cela signifie que 0 est une racine étrangère à l’équation d’origine.

Raisons de l'apparition possible de racines étrangères

Si pour obtenir l'équation corollaire vous n'utilisez aucune transformation « exotique », mais utilisez uniquement des transformations de base des équations, alors des racines superflues ne peuvent survenir que pour deux raisons :

• en raison de l'expansion d'ODZ et
• en raison de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance égale.

Il convient de rappeler ici que l'expansion de l'ODZ résultant de la transformation de l'équation se produit principalement

• Lors de la réduction de fractions ;
• Lors du remplacement d'un produit par un ou plusieurs facteurs zéro par zéro ;
• Lors du remplacement d'une fraction par un numérateur nul par zéro ;
• Lors de l'utilisation de certaines propriétés de puissances, racines, logarithmes ;
• Lors de l'utilisation de certaines formules trigonométriques ;
• Lorsque les deux côtés d'une équation sont multipliés par la même expression, celle-ci disparaît de l'ODZ pour cette équation ;
• Lors de la libération des signes logarithmiques dans le processus de solution.

L'exemple du paragraphe précédent de l'article illustre l'apparition d'une racine étrangère due à l'expansion de l'ODZ, qui se produit lors du passage de l'équation à l'équation corollaire x·(x−1)=0. L'ODZ pour l'équation d'origine est l'ensemble de tous les nombres réels, à l'exception de zéro, l'ODZ pour l'équation résultante est l'ensemble R, c'est-à-dire que l'ODZ est développé du nombre zéro. Ce nombre s’avère finalement être une racine étrangère.

Nous donnerons également un exemple de l'apparition d'une racine étrangère due à l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance paire. L'équation irrationnelle a une racine unique de 4, et la conséquence de cette équation, obtenue en mettant au carré les deux côtés de l'équation, c'est-à-dire l'équation , a deux racines 1 et 4. Il ressort clairement de cela que la mise au carré des deux côtés de l’équation a conduit à l’apparition d’une racine étrangère à l’équation originale.

Notez que l'expansion de l'ODZ et l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance égale ne conduisent pas toujours à l'apparition de racines superflues. Par exemple, lorsque l'on passe de l'équation à l'équation corollaire x=2, l'ODZ s'étend de l'ensemble de tous les nombres non négatifs à l'ensemble de tous les nombres réels, mais aucune racine superflue n'apparaît. 2 est la seule racine des première et deuxième équations. De plus, aucune racine étrangère n’apparaît lors du passage d’une équation à une équation corollaire. La seule racine des première et deuxième équations est x=16. C'est pourquoi nous ne parlons pas des raisons de l'apparition de racines étrangères, mais des raisons de l'apparition possible de racines étrangères.

Qu’est-ce qui élimine les racines étrangères ?

Le terme « filtrer les racines étrangères » ne peut être qualifié d'établi qu'avec un certain étirement ; on ne le trouve pas dans tous les manuels d'algèbre, mais il est intuitif, c'est pourquoi il est généralement utilisé. Ce que l'on entend par filtrer les racines étrangères ressort clairement de la phrase suivante : "... la vérification est une étape obligatoire dans la résolution d'une équation, qui aidera à détecter les racines étrangères, le cas échéant, et à les éliminer (généralement, ils disent "éliminer" ).”

Ainsi,

Définition

Filtrer les racines étrangères- c'est la détection et l'élimination des racines étrangères.

Vous pouvez maintenant passer aux méthodes de filtrage des racines étrangères.

Méthodes pour éliminer les racines étrangères

Contrôle de remplacement

Le principal moyen de filtrer les racines étrangères est un test de substitution. Il vous permet d'éliminer les racines superflues qui pourraient survenir à la fois en raison de l'expansion de l'ODZ et en raison de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance égale.

Le test de substitution est le suivant : les racines trouvées de l'équation corollaire sont substituées à leur tour dans l'équation d'origine ou dans toute équation équivalente, celles qui donnent l'égalité numérique correcte sont les racines de l'équation d'origine, et celles qui donnent la une égalité ou une expression numérique incorrecte sont les racines de l'équation d'origine qui n'ont aucun sens, sont des racines superflues pour l'équation d'origine.

Montrons avec un exemple comment filtrer les racines superflues par substitution dans l'équation d'origine.

Dans certains cas, il est plus judicieux de filtrer les racines étrangères en utilisant d'autres méthodes. Cela s'applique principalement aux cas où la vérification par substitution est associée à des difficultés de calcul importantes ou lorsque la méthode standard de résolution d'équations d'un certain type nécessite une autre vérification (par exemple, la sélection des racines superflues lors de la résolution d'équations rationnelles fractionnaires est effectuée selon le condition que le dénominateur de la fraction ne soit pas égal à zéro). Examinons d'autres moyens d'éliminer les racines étrangères.

D'après DL

Contrairement aux tests par substitution, le filtrage des racines superflues à l’aide d’ODZ n’est pas toujours approprié. Le fait est que cette méthode vous permet de filtrer uniquement les racines étrangères qui surviennent en raison de l'expansion de l'ODZ, et elle ne garantit pas le filtrage des racines étrangères qui pourraient survenir pour d'autres raisons, par exemple en raison de l'élévation des deux côtés. de l'équation à la même puissance paire. De plus, il n’est pas toujours facile de trouver la DO de l’équation à résoudre. Néanmoins, la méthode de filtrage des racines étrangères à l’aide d’ODZ mérite d’être maintenue, car son utilisation nécessite souvent moins de travail de calcul que l’utilisation d’autres méthodes.

La sélection des racines étrangères à l'aide de l'ODZ s'effectue comme suit : toutes les racines trouvées de l'équation corollaire sont vérifiées pour voir si elles appartiennent à la plage de valeurs admissibles de la variable pour l'équation d'origine ou à toute équation équivalente à celles-ci ; qui appartiennent à l'ODZ sont des racines de l'équation d'origine, et ceux qui appartiennent à l'ODZ sont des racines de l'équation d'origine, et ceux qui n'appartiennent pas à l'ODZ sont des racines étrangères à l'équation d'origine.

L'analyse des informations fournies conduit à la conclusion qu'il est conseillé d'éliminer les racines étrangères à l'aide d'ODZ si en même temps :

• il est facile de trouver l'ODZ pour l'équation d'origine,
• des racines étrangères n'ont pu apparaître qu'en raison de l'expansion de l'ODZ,
• Les tests de substitution sont associés à d'importantes difficultés de calcul.

Nous montrerons comment l'élimination des racines étrangères est réalisée dans la pratique.

Selon les termes du DL

Comme nous l'avons dit dans le paragraphe précédent, si des racines superflues pouvaient apparaître uniquement en raison de l'expansion de l'ODZ, elles peuvent alors être éliminées en utilisant l'ODZ pour l'équation d'origine. Mais il n’est pas toujours facile de retrouver l’ODZ sous la forme d’un ensemble numérique. Dans de tels cas, il est possible d'éliminer les racines étrangères non pas selon l'ODZ, mais selon les conditions qui déterminent l'ODZ. Expliquons comment s'effectue le désherbage des racines étrangères dans les conditions d'ODZ.

Les racines trouvées sont à leur tour remplacées par les conditions qui déterminent l'ODZ pour l'équation d'origine ou toute équation équivalente. Celles qui satisfont à toutes les conditions sont les racines de l’équation. Et celles d’entre elles qui ne satisfont pas à au moins une condition ou donnent une expression qui n’a pas de sens sont des racines étrangères à l’équation originale.

Donnons un exemple de filtrage des racines étrangères selon les conditions de l'ODZ.

Filtrage des racines superflues résultant de l'élévation des deux côtés de l'équation à une puissance égale

Il est clair que l'élimination des racines superflues résultant de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance paire peut être effectuée en les substituant dans l'équation d'origine ou dans toute équation équivalente. Mais une telle vérification peut impliquer d’importantes difficultés de calcul. Dans ce cas, il vaut la peine de connaître une méthode alternative pour éliminer les racines étrangères, dont nous parlerons maintenant.

Éliminer les racines superflues qui peuvent survenir lors de l'élévation des deux côtés d'équations irrationnelles de la forme à la même puissance égale , où n est un nombre pair, peut être effectué selon la condition g(x)≥0. Cela découle de la définition d'une racine de degré pair : une racine de degré pair n est un nombre non négatif dont la puissance n est égale au nombre radical, d'où . Ainsi, l'approche exprimée est une sorte de symbiose de la méthode consistant à élever les deux côtés de l'équation à la même puissance et à la méthode de résolution d'équations irrationnelles par détermination de la racine. Autrement dit, l'équation , où n est un nombre pair, est résolu en élevant les deux côtés de l'équation à la même puissance paire, et l'élimination des racines superflues est effectuée selon la condition g(x)≥0, tirée de la méthode de résolution d'équations irrationnelles par déterminer la racine.

Méthodes de base pour résoudre des équations

Quelle est la solution d’une équation ?

Transformation identique. Basique

types de transformations identitaires.

Racine étrangère. Perte de racines.

Résoudre l'équation est un processus consistant principalement à remplacer une équation donnée par une autre équation qui lui est équivalente . Ce remplacement s'appelletransformation identique . Les principales transformations identitaires sont les suivantes :

1.

Remplacer une expression par une autre qui lui est identiquement égale. Par exemple, l'équation (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 peut être remplacé par l'équivalent suivant :9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Transférer les termes d'une équation d'un côté à l'autre avec des signes inverses. Ainsi, dans l’équation précédente on peut transférer tous ses termes du côté droit vers la gauche avec le signe « - » : 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, après quoi on obtient :9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

3.

Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par la même expression (nombre) autre que zéro. C'est très important parce quela nouvelle équation peut ne pas être équivalente à la précédente si l'expression par laquelle nous multiplions ou divisons peut être égale à zéro.

EXEMPLE Équationx – 1 = 0 a une seule racineX = 1.

En multipliant les deux côtés parx – 3 , on obtient l'équation

( x – 1)( x – 3) = 0, qui a deux racines :X = 1 etx = 3.

La dernière valeur n'est pas la racine de l'équation donnée

x – 1 = 0. C'est ce qu'on appelleracine étrangère .

À l’inverse, la division peut conduire àperte de racines . Donc

dans notre cas, si (x – 1 )( x – 3 ) = 0 est l'original

équation, puis la racineX = 3 seront perdus en division

les deux côtés de l'équation surx – 3 .

Dans la dernière équation (item 2), on peut diviser tous ses termes par 3 (et non zéro !) et finalement obtenir :

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Cette équation est équivalente à celle d'origine :

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Peutélever les deux côtés de l'équation à une puissance impaire ouextraire la racine impaire des deux côtés de l'équation . Il faut rappeler que :

a) construction enmême degré peut conduireà l'acquisition de racines étrangères ;

b)faux extractionmême racine peut conduire àperte de racines .

EXEMPLES. Équation 7x = 35 a une seule racinex = 5 .

En mettant au carré les deux côtés de cette équation, on obtient

équation:

49 x 2 = 1225 .

ayant deux racines :x = 5 Etx = – 5. Dernière valeur

est une racine étrangère.

Incorrect en prenant la racine carrée des deux

parties de l'équation 49x 2 = 1225 résultats en 7x = 35,

et nous perdons nos racinesx = – 5.

Correct prendre la racine carrée donne

équation : | 7x | = 35, UN d'où deux cas :

1) 7 x = 35, Alorsx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Alorsx = – 5 .

Par conséquent, quandcorrect extraction du carré

racines, nous ne perdons pas les racines de l’équation.

Qu'est-ce que ça veut direDroite extraire la racine ? C'est ici que nous nous rencontrons

avec un concept très importantracine arithmétique

(cm. ).

Le thème des équations trigonométriques commence par un cours magistral structuré sous la forme d'une conversation heuristique. La conférence traite du matériel théorique et des exemples de résolution de tous les problèmes typiques selon le plan :

• Les équations trigonométriques les plus simples.
• Méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.
• Équations homogènes.

Dans les leçons suivantes, commence le développement autonome des compétences, basé sur l'application du principe de l'activité conjointe entre l'enseignant et l'élève. Premièrement, des objectifs sont fixés pour les étudiants, c'est-à-dire il s'agit de déterminer qui ne veut savoir que ce qui est exigé par la norme de l'État et qui est prêt à faire plus.

Le diagnostic final est établi en tenant compte de la différenciation des niveaux, ce qui permet aux étudiants de déterminer consciemment les connaissances minimales nécessaires pour recevoir la note « 3 ». Sur cette base, des matériaux à plusieurs niveaux sont sélectionnés pour diagnostiquer les connaissances des étudiants. Un tel travail permet une approche individuelle des étudiants, en incluant chacun dans des activités d'apprentissage conscient, en développant des compétences d'auto-organisation et d'auto-apprentissage et en assurant une transition vers une pensée active et indépendante.

Le séminaire se déroule après avoir pratiqué les compétences de base de la résolution d'équations trigonométriques. Plusieurs cours avant le séminaire, les étudiants se voient poser des questions qui seront abordées lors du séminaire.

Le séminaire se compose de trois parties.

1. La partie introductive couvre tout le matériel théorique, y compris une introduction aux problèmes qui se poseront lors de la résolution d'équations complexes.

2. La deuxième partie discute de la solution d’équations de la forme :

• et cosx + bsinx = c.
• une (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• équations résolubles en réduisant le degré.

Ces équations utilisent la substitution universelle, les formules de réduction de degré et la méthode des arguments auxiliaires.

3. La troisième partie traite des problèmes de perte de racines et d'acquisition de racines étrangères. Montre comment sélectionner les racines.

Les élèves travaillent en groupes. Pour résoudre les exemples, on fait appel à des gars bien formés qui peuvent montrer et expliquer le matériel.

Le séminaire est conçu pour un étudiant bien préparé, car... il aborde des questions qui dépassent quelque peu la portée du matériel du programme. Il comprend des équations de forme plus complexe et aborde notamment les problèmes rencontrés lors de la résolution d'équations trigonométriques complexes.

Le séminaire était organisé pour les élèves de la 10e à la 11e année. Chaque étudiant a eu l'occasion d'élargir et d'approfondir ses connaissances sur ce sujet, de comparer le niveau de ses connaissances non seulement avec les exigences d'un diplômé de l'école, mais également avec les exigences de ceux qui entrent au V.U.Z.

SÉMINAIRE

Sujet:"Résoudre des équations trigonométriques"

Objectifs:

• Généraliser les connaissances sur la résolution d'équations trigonométriques de tous types.
• Concentrez-vous sur les problèmes : perte de racines ;

racines étrangères; sélection des racines.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON.

I. Partie introductive

• 1. Méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques
• Factorisation.
• Introduction d'une nouvelle variable.

Méthode fonctionnelle-graphique.

• 2. Certains types d'équations trigonométriques.

Équations qui se réduisent à des équations quadratiques par rapport à cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0 ; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

• Ils sont résolus en introduisant une nouvelle variable.

Équations homogènes du premier et du deuxième degré Équation du premier degré :

Asinx + Bcosx = 0 diviser par cos x, on obtient Atg x + B = 0 Équation du deuxième degré :

Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 diviser par cos 2 x, on obtient Atg 2 x + Btgx + C = 0

Ils sont résolus par factorisation et en introduisant une nouvelle variable.

• Toutes les méthodes s'appliquent.

Rétrograder:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C ; Acos2x + Bsin2x = C.

Résolu par méthode de factorisation.

• 2). Asin2x + Bsin2x = C ; Asin2x + Bcos2x = C. Équation de la forme :

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Réduit au carré par rapport à t = sinx + cosx ;

sin2x = t 2 – 1.

• 3. Formules.
• x + 2n ; Une vérification s'impose !

Puissance décroissante : cos 2 x = (1 + cos2x) : 2 ; péché 2 x = (1 – cos 2x) : 2

Méthode d'argumentation auxiliaire.

Remplaçons Acosx + Bsinx par Csin (x + ), où sin = a/C ; cos=v/c;

• – argument auxiliaire.
• 4. Règles.
• Si vous voyez un carré, diminuez le degré.

Si vous voyez un morceau, faites une somme.

• Perte de racines : diviser par g(x) ; formules dangereuses (substitution universelle). Avec ces opérations, nous réduisons la portée de la définition.

• Racines en excès : élevées à une puissance égale ; multiplier par g(x) (se débarrasser du dénominateur).

Avec ces opérations, nous élargissons la portée de la définition.

II. Exemples d'équations trigonométriques

1) 1. Équations de la forme Asinx + Bcosx = C

Substitution universelle.O.D.Z. x – n'importe lequel.

3 péché 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = vous. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z. Examen:

3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. Répondre:

2) x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

Méthode fonctionnelle-graphique. O.D.Z. x – n'importe lequel.
Sinx – cosx = 1

Sinx = cosx + 1.

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. Traçons les fonctions : y = sinx, y = cosx + 1.

3) x = /2 + 2 n, Z ; x = + 2k, kZ.

Introduction d'un argument auxiliaire. O.D.Z. : x – n’importe lequel.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, car (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, alors il existe tel que sin = 8/17,

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. cos = 15/17, ce qui signifie sin cosx + sinx cos = 1 ; = arcsin 8/17.

x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Réduire la commande : Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z. : x – quelconque.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

les séries sont les mêmes.

3. Réduction à l'homogénéité. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ : x – quelconque.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) ne peut pas être divisé par cos 2 x, puisque nous perdons des racines.
cos 2 x = 0 satisfait l'équation.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Équation de la forme : A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z. : x – quelconque.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1. < 2
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t |
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = péché(x + /2),
sinx + péché(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
péché(x + /4) = 1/22;

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Factorisation.
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, pas de racines.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. x = arctan(1/2) + n, nZ.

III. Problèmes découlant de la résolution d'équations trigonométriques

1. Perte de racines : diviser par g(x) ; Nous utilisons des formules dangereuses.

1) Trouvez l'erreur.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin formule 2 x/2.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 diviser par 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n"Z.
Racines perdues sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Bonne solution : 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

2. Racines étrangères : on se débarrasse du dénominateur ; élever à une puissance égale.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z. : sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

x = /2 + n, n e Z. Est la racine de l'équation. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. RACINES PERDUES ET EXTRAÎNÉES LORS DE LA RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS (PAR EXEMPLES)

MATÉRIEL DE RÉFÉRENCE

1. Deux théorèmes du § 3 du chapitre VII expliquaient quelles actions sur les équations ne violaient pas leur équivalence.

2. Considérons maintenant de telles opérations sur des équations qui peuvent conduire à une nouvelle équation inégale à l'équation d'origine. Au lieu de considérations générales, nous nous limiterons à considérer uniquement des exemples spécifiques.

3. Exemple 1. Étant donné une équation. Ouvrons les parenthèses dans cette équation, déplaçons tous les termes vers la gauche et résolvons l'équation quadratique. Ses racines sont

Si vous réduisez les deux côtés de l'équation par un facteur commun, vous obtenez une équation inégale à l'originale, car elle n'a qu'une seule racine

Ainsi, réduire les deux côtés de l’équation par un facteur contenant l’inconnue peut entraîner la perte des racines de l’équation.

4. Exemple 2. Étant donné une équation. Cette équation a une racine unique. Mettons au carré les deux côtés de cette équation, et nous obtenons deux racines :

On voit que la nouvelle équation n'est pas équivalente à l'équation originale. La racine est la racine de l'équation qui, après avoir élevé les deux côtés au carré, conduit à l'équation.

5. Des racines étrangères peuvent également apparaître lorsque les deux côtés de l'équation sont multipliés par un facteur contenant une inconnue, si ce facteur disparaît pour les valeurs réelles de x.

Exemple 3. Si nous multiplions les deux côtés de l'équation par alors, nous obtenons une nouvelle équation qui, après avoir transféré le terme du côté droit vers la gauche et l'avoir factorisé, donne une équation de l'un ou l'autre

La racine ne satisfait pas une équation qui n'a qu'une seule racine

De là, nous concluons : lors de la mise au carré des deux côtés de l'équation (en général à une puissance paire), ainsi que lors de la multiplication par un facteur contenant une inconnue et disparaissant aux valeurs réelles de l'inconnue, des racines étrangères peuvent apparaître.

Toutes les considérations exprimées ici sur la question de la perte et de l'apparition de racines superflues d'une équation s'appliquent également à toutes les équations (algébriques, trigonométriques, etc.).

6. Une équation est dite algébrique si seules des opérations algébriques sont effectuées sur l'inconnue - addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation et extraction de racine avec un exposant naturel (et le nombre de ces opérations est fini).

Ainsi, par exemple, les équations

sont algébriques, et les équations

Les transformations suivantes sont le plus souvent utilisées lors de la résolution d'équations :

Autres transformations

Dans la liste présentée dans le paragraphe précédent, nous n'avons délibérément pas inclus de transformations telles que l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance naturelle, le même logarithme, la potentialisation des deux côtés de l'équation, l'extraction de la racine d'un degré des deux côtés de l'équation. , se libérant d'une fonction externe, et autres. Le fait est que ces transformations ne sont pas si générales : les transformations de la liste ci-dessus sont utilisées pour résoudre des équations de tous types, et les transformations que nous venons de mentionner sont utilisées pour résoudre certains types d'équations (irrationnelles, exponentielles, logarithmiques, etc.). Ils sont discutés en détail dans le cadre des méthodes correspondantes de résolution des types d'équations correspondants. Voici des liens vers leurs descriptions détaillées :

• Élever les deux côtés d’une équation à la même puissance naturelle.
• Prendre les logarithmes des deux côtés de l'équation.
• Potentialiser les deux côtés de l’équation.
• Extraire la racine d'une même puissance des deux côtés d'une équation.
• Remplacement d'une expression correspondant à l'une des parties de l'équation d'origine par une expression d'une autre partie de l'équation d'origine.

Les liens fournis contiennent des informations complètes sur les transformations répertoriées. Nous ne nous y attarderons donc plus dans cet article. Toutes les informations suivantes s'appliquent aux transformations de la liste des transformations de base.

Que se passe-t-il suite à la transformation de l’équation ?

Effectuer toutes les transformations ci-dessus peut donner soit une équation qui a les mêmes racines que l'équation d'origine, soit une équation dont les racines contiennent toutes les racines de l'équation d'origine, mais qui peut aussi avoir d'autres racines, soit une équation dont les racines ne seront pas inclure toutes les racines de l’équation transformée. Dans les paragraphes suivants, nous analyserons lesquelles de ces transformations, dans quelles conditions, conduisent à quelles équations. Ceci est extrêmement important à savoir pour réussir à résoudre des équations.

Transformations équivalentes d'équations

Les transformations d'équations qui aboutissent à des équations équivalentes, c'est-à-dire des équations qui ont le même ensemble de racines que l'équation d'origine, sont particulièrement intéressantes. De telles transformations sont appelées transformations équivalentes. Dans les manuels scolaires, la définition correspondante n'est pas donnée explicitement, mais elle est facile à lire à partir du contexte :

Définition

Transformations équivalentes d'équations sont des transformations qui donnent des équations équivalentes.

Alors pourquoi les transformations équivalentes sont-elles intéressantes ? Le fait est que si, avec leur aide, il est possible de passer de l'équation à résoudre à une équation équivalente assez simple, alors la résolution de cette équation donnera la solution souhaitée à l'équation d'origine.

Parmi les transformations répertoriées dans le paragraphe précédent, toutes ne sont pas toujours équivalentes. Certaines transformations ne sont équivalentes que sous certaines conditions. Faisons une liste d'énoncés qui déterminent quelles transformations et dans quelles conditions sont des transformations équivalentes de l'équation. Pour ce faire, nous nous baserons sur la liste ci-dessus, et aux transformations qui ne sont pas toujours équivalentes, nous ajouterons des conditions qui leur donnent l'équivalence. Voici la liste :

• Remplacer une expression du côté gauche ou droit d'une équation par une expression qui ne modifie pas les variables de l'équation est une transformation équivalente de l'équation.

Expliquons pourquoi il en est ainsi. Pour ce faire, on prend une équation à une variable (un raisonnement similaire peut être effectué pour des équations à plusieurs variables) de la forme A(x)=B(x), on a noté les expressions de ses côtés gauche et droit comme A( x) et B(x), respectivement . Soit l'expression C(x) identiquement égale à l'expression A(x), et l'ODZ de la variable x de l'équation C(x)=B(x) coïncide avec l'ODZ de la variable x pour l'équation d'origine. Montrons que la transformation de l'équation A(x)=B(x) en l'équation C(x)=B(x) est une transformation équivalente, c'est-à-dire que nous prouverons que les équations A(x)=B (x) et C(x) =B(x) sont équivalents.

Pour ce faire, il suffit de montrer que toute racine de l'équation d'origine est une racine de l'équation C(x)=B(x), et toute racine de l'équation C(x)=B(x) est une racine de l’équation originale.

Commençons par la première partie. Soit q la racine de l'équation A(x)=B(x), alors lorsque nous le substituons à x, nous obtiendrons l'égalité numérique correcte A(q)=B(q) . Puisque les expressions A(x) et C(x) sont identiquement égales et que l’expression C(q) a un sens (cela découle de la condition que la OD de l’équation C(x)=B(x) coïncide avec la OD de l'équation d'origine), alors l'égalité numérique A(q)=C(q) est vraie. Nous utilisons ensuite les propriétés des égalités numériques. En raison de la propriété de symétrie, l'égalité A(q)=C(q) peut être réécrite sous la forme C(q)=A(q) . Alors, en raison de la propriété de transitivité, les égalités C(q)=A(q) et A(q)=B(q) impliquent l'égalité C(q)=B(q). Cela prouve que q est la racine de l'équation C(x)=B(x) .

La deuxième partie, et avec elle l’ensemble de l’énoncé, se démontre d’une manière absolument analogue.

L'essence de la transformation équivalente analysée est la suivante : elle vous permet de travailler séparément avec des expressions sur les côtés gauche et droit des équations, en les remplaçant par des expressions identiquement égales sur l'ODZ d'origine des variables.

L'exemple le plus trivial : on peut remplacer la somme des nombres du côté droit de l'équation x=2+1 par sa valeur, ce qui donnera une équation équivalente de la forme x=3. En effet, nous avons remplacé l’expression 2+1 par l’expression identiquement égale 3, et l’ODZ de l’équation n’a pas changé. Autre exemple : à gauche de l'équation 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 on peut, et à droite – , ce qui nous amènera à l'équation équivalente 3·x+ 6=5·x+ 3. L'équation résultante est en effet équivalente, puisque nous avons remplacé les expressions par des expressions identiquement égales et en même temps obtenu une équation qui a une OD qui coïncide avec la OD de l'équation d'origine.

• Ajouter le même nombre des deux côtés d’une équation ou soustraire le même nombre des deux côtés d’une équation est une transformation équivalente de l’équation.

Montrons qu'ajouter le même nombre c aux deux côtés de l'équation A(x)=B(x) donne l'équation équivalente A(x)+c=B(x)+c et qu'en soustrayant des deux côtés de l'équation A(x) =B(x) du même nombre c donne l'équation équivalente A(x)−c=B(x)−c.

Soit q la racine de l'équation A(x)=B(x), alors l'égalité A(q)=B(q) est vraie. Les propriétés des égalités numériques nous permettent d'ajouter aux deux côtés d'une véritable égalité numérique ou de soustraire le même nombre de ses parties. Notons ce nombre c, alors les égalités A(q)+c=B(q)+c et A(q)−c=B(q)−c sont valides. De ces égalités, il s'ensuit que q est la racine de l'équation A(x)+c=B(x)+c et de l'équation A(x)−c=B(x)−c.

Maintenant de retour. Soit q la racine de l'équation A(x)+c=B(x)+c et l'équation A(x)−c=B(x)−c, alors A(q)+c=B(q) +c et A (q)−c=B(q)−c . Nous savons que soustraire le même nombre des deux côtés d’une véritable égalité numérique produit une véritable égalité numérique. Nous savons également qu’ajouter l’égalité numérique correcte aux deux côtés donne l’égalité numérique correcte. Soustrayons le nombre c des deux côtés de l'égalité numérique correcte A(q)+c=B(q)+c, et ajoutons le nombre c aux deux côtés de l'égalité A(x)−c=B(x) −c. Cela nous donnera les égalités numériques correctes A(q)+c−c=B(q)+c−c et A(q)−c+c=B(q)+c−c, d'où nous concluons que A (q) =B(q) . De la dernière égalité, il s'ensuit que q est la racine de l'équation A(x)=B(x) .

Cela prouve la déclaration originale dans son ensemble.

Donnons un exemple d'une telle transformation d'équations. Prenons l'équation x−3=1, et transformons-la en ajoutant le nombre 3 des deux côtés, après quoi nous obtenons l'équation x−3+3=1+3, qui est équivalente à celle d'origine. Il est clair que dans l'équation résultante, vous pouvez effectuer des opérations avec des nombres, comme nous l'avons vu dans l'élément précédent de la liste, nous avons donc l'équation x=4. Ainsi, en effectuant des transformations équivalentes, nous avons accidentellement résolu l'équation x−3=1, sa racine est le nombre 4. La transformation équivalente considérée est très souvent utilisée pour se débarrasser de termes numériques identiques situés dans différentes parties de l'équation. Par exemple, dans les côtés gauche et droit de l'équation x 2 +1=x+1 il y a le même terme 1, soustraire le nombre 1 des deux côtés de l'équation nous permet de passer à l'équation équivalente x 2 + 1−1=x+1−1 et ensuite à l'équation équivalente x 2 =x, et ainsi se débarrasser de ces termes identiques.

• Ajouter aux deux côtés de l'équation ou soustraire des deux côtés de l'équation une expression pour laquelle l'ODZ n'est pas plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine est une transformation équivalente.

Prouvons cette affirmation. Autrement dit, nous prouvons que les équations A(x)=B(x) et A(x)+C(x)=B(x)+C(x) sont équivalentes, à condition que l'ODZ pour l'expression C(x ) n'est pas déjà , que ODZ pour l'équation A(x)=B(x) .

Nous démontrons d’abord un point auxiliaire. Montrons que dans les conditions spécifiées, les équations ODZ avant et après la transformation sont les mêmes. En effet, l'ODZ pour l'équation A(x)+C(x)=B(x)+C(x) peut être considérée comme l'intersection de l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x) et de l'ODZ pour l’expression C(x). De cela et du fait que l'ODZ pour l'expression C(x) n'est pas plus étroite par condition que l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x), il s'ensuit que l'ODZ pour les équations A(x)= B(x) et A (x)+C(x)=B(x)+C(x) sont identiques.

Nous allons maintenant prouver l'équivalence des équations A(x)=B(x) et A(x)+C(x)=B(x)+C(x), à condition que les plages de valeurs acceptables pour ces les équations sont les mêmes. Nous ne donnerons pas de preuve de l'équivalence des équations A(x)=B(x) et A(x)−C(x)=B(x)−C(x) sous la condition spécifiée, car elle est similaire .

Soit q la racine de l'équation A(x)=B(x), alors l'égalité numérique A(q)=B(q) est vraie. Puisque les ODZ des équations A(x)=B(x) et A(x)+C(x)=B(x)+C(x) sont les mêmes, alors l'expression C(x) a du sens à x =q, ce qui signifie que C(q) est un nombre. Si nous ajoutons C(q) aux deux côtés de l'égalité numérique correcte A(q)=B(q) , cela donnera l'inégalité numérique correcte A(q)+C(q)=B(q)+C(q ) , d'où il résulte que q est la racine de l'équation A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Dos. Soit q la racine de l'équation A(x)+C(x)=B(x)+C(x), alors A(q)+C(q)=B(q)+C(q) est un véritable égalité numérique. Nous savons que soustraire le même nombre des deux côtés d’une véritable égalité numérique produit une véritable égalité numérique. Soustraire C(q) des deux côtés de l'égalité A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , cela donne UNE(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) et en outre A(q)=B(q) . Par conséquent, q est la racine de l’équation A(x)=B(x) .

Ainsi, la déclaration en question est complètement prouvée.

Donnons un exemple de cette transformation. Prenons l'équation 2 x+1=5 x+2. On peut ajouter aux deux côtés, par exemple, l'expression −x−1. L'ajout de cette expression ne changera pas l'ODZ, ce qui signifie qu'une telle transformation est équivalente. En conséquence, nous obtenons l’équation équivalente 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Cette équation peut être transformée davantage : ouvrez les parenthèses et réduisez les termes similaires sur ses côtés gauche et droit (voir le premier élément de la liste). Après avoir effectué ces actions, nous obtenons l'équation équivalente x=4·x+1. La transformation des équations souvent envisagée permet de se débarrasser des termes identiques qui se trouvent simultanément à gauche et à droite de l'équation.

• Si vous déplacez un terme d'une équation d'une partie à une autre, en changeant le signe de ce terme en sens opposé, vous obtiendrez une équation équivalente à celle donnée.

Cette affirmation est une conséquence des précédentes.

Montrons comment s'effectue cette transformation équivalente de l'équation. Prenons l'équation 3·x−1=2·x+3. Déplaçons le terme, par exemple, 2 x du côté droit vers la gauche, en changeant son signe. Dans ce cas, nous obtenons l'équation équivalente 3·x−1−2·x=3. Vous pouvez également déplacer moins un du côté gauche de l’équation vers la droite, en changeant le signe en plus : 3 x−2 x=3+1. Finalement, rapprocher des termes similaires nous amène à l’équation équivalente x=4.

• Multiplier ou diviser les deux côtés d’une équation par le même nombre non nul est une transformation équivalente.

Donnons-en une preuve.

Soit A(x)=B(x) une équation et c un nombre différent de zéro. Montrons que multiplier ou diviser les deux côtés de l'équation A(x)=B(x) par le nombre c est une transformation équivalente de l'équation. Pour ce faire, nous prouvons que les équations A(x)=B(x) et A(x) c=B(x) c, ainsi que les équations A(x)=B(x) et A(x) :c= B(x):c - équivalent. Cela peut être fait de cette façon : prouver que toute racine de l'équation A(x)=B(x) est une racine de l'équation A(x) c=B(x) c et une racine de l'équation A(x) :c=B(x) :c , puis prouver que toute racine de l'équation A(x) c=B(x) c , comme toute racine de l'équation A(x):c=B(x):c , est une racine de l'équation A(x) =B(x) . Faisons ça.

Soit q la racine de l'équation A(x)=B(x) . Alors l’égalité numérique A(q)=B(q) est vraie. Après avoir étudié les propriétés des égalités numériques, nous avons appris que multiplier ou diviser les deux côtés d’une véritable égalité numérique par le même nombre autre que zéro conduit à une véritable égalité numérique. En multipliant les deux côtés de l'égalité A(q)=B(q) par c, nous obtenons l'égalité numérique correcte A(q) c=B(q) c, d'où il résulte que q est la racine de l'équation A( x) c= B(x)·c . Et en divisant les deux côtés de l'égalité A(q)=B(q) par c, nous obtenons l'égalité numérique correcte A(q):c=B(q):c, d'où il résulte que q est la racine de équation A(x):c =B(x):c .

Maintenant dans l'autre sens. Soit q la racine de l'équation A(x) c=B(x) c. Alors A(q)·c=B(q)·c est une vraie égalité numérique. En divisant les deux parties par un nombre c non nul, nous obtenons l'égalité numérique correcte A(q)·c:c=B(q)·c:c et en outre A(q)=B(q) . Il s’ensuit que q est la racine de l’équation A(x)=B(x) . Si q est la racine de l'équation A(x):c=B(x):c . Alors A(q):c=B(q):c est une vraie égalité numérique. En multipliant les deux parties par un nombre c non nul, nous obtenons l'égalité numérique correcte A(q):c·c=B(q):c·c et en outre A(q)=B(q) . Il s’ensuit que q est la racine de l’équation A(x)=B(x) .

La déclaration a été prouvée.

Donnons un exemple de cette transformation. Avec son aide, vous pouvez, par exemple, vous débarrasser des fractions de l'équation. Pour ce faire, vous pouvez multiplier les deux côtés de l’équation par 12. Le résultat est une équation équivalente de la forme , qui peut ensuite être transformée en l'équation équivalente 7 x−3=10, qui ne contient pas de fractions dans sa notation.

• Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par la même expression, dont la OD n'est pas plus étroite que la OD de l'équation d'origine et ne disparaît pas par la OD de l'équation d'origine, est une transformation équivalente.

Prouvons cette affirmation. Pour ce faire, nous prouvons que si l’ODZ pour l’expression C(x) n’est pas plus étroite que l’ODZ pour l’équation A(x)=B(x), et que C(x) ne disparaît pas sur l’ODZ pour l’équation A(x)=B( x) , puis les équations A(x)=B(x) et A(x) C(x)=B(x) C(x), ainsi que les équations A(x) =B(x) et A( x):C(x)=B(x):C(x) - équivalent.

Soit q la racine de l'équation A(x)=B(x) . Alors A(q)=B(q) est une vraie égalité numérique. Du fait que l'ODZ pour l'expression C(x) n'est pas la même ODZ pour l'équation A(x)=B(x), il s'ensuit que l'expression C(x) a un sens lorsque x=q. Cela signifie que C(q) est un nombre. De plus, C(q) est non nul, ce qui découle de la condition que l’expression C(x) ne s’annule pas. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité A(q)=B(q) par un nombre non nul C(q), cela donnera l'égalité numérique correcte A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , d'où il résulte que q est la racine de l'équation A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Si nous divisons les deux côtés de l'égalité A(q)=B(q) par un nombre non nul C(q), cela donnera l'égalité numérique correcte A(q) :C(q)=B(q) : C(q) , d'où il résulte que q est la racine de l'équation A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Dos. Soit q la racine de l'équation A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Alors A(q)·C(q)=B(q)·C(q) est une vraie égalité numérique. Notez que l'ODZ pour l'équation A(x) C(x)=B(x) C(x) est la même que l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x) (nous l'avons justifié dans l'un des liste actuelle des paragraphes précédents). Puisque C(x) par condition ne disparaît pas sur l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x), alors C(q) est un nombre non nul. En divisant les deux côtés de l'égalité A(q)·C(q)=B(q)·C(q) par un nombre non nul C(q) , on obtient l'égalité numérique correcte A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) et en outre A(q)=B(q) . Il s’ensuit que q est la racine de l’équation A(x)=B(x) . Si q est la racine de l'équation A(x):C(x)=B(x):C(x) . Alors A(q):C(q)=B(q):C(q) est une vraie égalité numérique. En multipliant les deux côtés de l'égalité A(q):C(q)=B(q):C(q) par un nombre non nul C(q) nous obtenons l'égalité numérique correcte A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) et en outre A(q)=B(q) . Il s’ensuit que q est la racine de l’équation A(x)=B(x) .

La déclaration a été prouvée.

Pour plus de clarté, nous donnons un exemple de réalisation d'une transformation démontée. Divisons les deux côtés de l'équation x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) par l'expression x 2 +1. Cette transformation est équivalente, puisque l'expression x 2 +1 ne disparaît pas sur la OD de l'équation d'origine et que la OD de cette expression n'est pas plus étroite que la OD de l'équation d'origine. À la suite de cette transformation, nous obtenons l'équation équivalente x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), qui peut être ensuite transformée en l'équation équivalente x 3 =8.

Transformations conduisant à des équations corollaires

Dans le paragraphe précédent, nous avons examiné quelles transformations de la liste des transformations de base et dans quelles conditions sont équivalentes. Voyons maintenant laquelle de ces transformations et dans quelles conditions conduisent à des équations corollaires, c'est-à-dire à des équations qui contiennent toutes les racines de l'équation transformée, mais en plus d'elles peuvent également avoir d'autres racines - des racines étrangères à l'équation d'origine.

Les transformations conduisant à des équations corollaires ne sont pas moins demandées que les transformations équivalentes. Si, avec leur aide, il est possible d'obtenir une équation assez simple en termes de solution, alors sa solution et l'élimination ultérieure des racines superflues donneront une solution à l'équation d'origine.

Notez que toutes les transformations équivalentes peuvent être considérées comme des cas particuliers de transformations conduisant à des équations corollaires. Cela est compréhensible, car une équation équivalente est un cas particulier d’équation corollaire. Mais d'un point de vue pratique, il est plus utile de savoir que la transformation considérée est précisément équivalente, et ne conduit pas à une équation corollaire. Expliquons pourquoi il en est ainsi. Si nous savons que la transformation est équivalente, alors l'équation résultante n'aura certainement pas de racines étrangères à l'équation d'origine. Et la transformation conduisant à l'équation corollaire peut être à l'origine de l'apparition de racines étrangères, ce qui nous oblige à l'avenir à effectuer une action supplémentaire : trier les racines étrangères. Par conséquent, dans cette section de l'article, nous nous concentrerons sur les transformations, à la suite desquelles des racines superflues peuvent apparaître pour l'équation d'origine. Et il est vraiment important de pouvoir distinguer de telles transformations des transformations équivalentes afin de comprendre clairement quand il est nécessaire de filtrer les racines superflues, et quand cela n'est pas nécessaire.

Analysons la liste complète des transformations de base des équations données dans le deuxième paragraphe de cet article afin de rechercher des transformations à la suite desquelles des racines superflues peuvent apparaître.

• Remplacement des expressions sur les côtés gauche et droit de l’équation par des expressions identiquement égales.

Nous avons prouvé que cette transformation est équivalente si sa mise en œuvre ne modifie pas l'ODZ. Et si le DL change, que se passera-t-il ? Le rétrécissement de l'ODZ peut entraîner la perte des racines ; cela sera discuté plus en détail dans le paragraphe suivant. Et avec l'expansion de l'ODZ, des racines étrangères peuvent apparaître. Il n'est pas difficile de justifier cela. Présentons le raisonnement correspondant.

Soit l'expression C(x) telle qu'elle soit identiquement égale à l'expression A(x) et que le OD de l'équation C(x)=B(x) soit plus large que le OD de l'équation A(x)=B. (x). Montrons que l'équation C(x)=B(x) est une conséquence de l'équation A(x)=B(x), et que parmi les racines de l'équation C(x)=B(x) il peut être des racines étrangères à l'équation A( x)=B(x) .

Soit q la racine de l'équation A(x)=B(x) . Alors A(q)=B(q) est une vraie égalité numérique. Puisque l'ODZ pour l'équation C(x)=B(x) est plus large que l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x), alors l'expression C(x) est définie à x=q. Puis, compte tenu de l'égalité identique des expressions C(x) et A(x) , on conclut que C(q)=A(q) . Des égalités C(q)=A(q) et A(q)=B(q), en raison de la propriété de transitivité, découle l'égalité C(q)=B(q). De cette égalité il résulte que q est la racine de l'équation C(x)=B(x) . Cela prouve que dans les conditions spécifiées, l'équation C(x)=B(x) est une conséquence de l'équation A(x)=B(x) .

Il reste à prouver que l'équation C(x)=B(x) peut avoir des racines différentes des racines de l'équation A(x)=B(x). Montrons que toute racine de l'équation C(x)=B(x) de l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x) est une racine de l'équation A(x)=B(x). Le chemin p est la racine de l'équation C(x)=B(x), appartenant à l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x). Alors C(p)=B(p) est une vraie égalité numérique. Puisque p appartient à l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x), alors l'expression A(x) est définie pour x=p. De là et de l'égalité identique des expressions A(x) et C(x) il résulte que A(p)=C(p) . Des égalités A(p)=C(p) et C(p)=B(p), en raison de la propriété de transitivité, il s'ensuit que A(p)=B(p), ce qui signifie que p est la racine de équation A(x)= B(x) . Cela prouve que toute racine de l'équation C(x)=B(x) de l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x) est une racine de l'équation A(x)=B(x). En d'autres termes, sur l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x) il ne peut pas y avoir de racines de l'équation C(x)=B(x), qui sont des racines superflues pour l'équation A(x)=B( x). Mais selon la condition, l'ODZ pour l'équation C(x)=B(x) est plus large que l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x). Et cela permet l'existence d'un nombre r qui appartient à l'ODZ pour l'équation C(x)=B(x) et n'appartient pas à l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x), qui est la racine de l'équation C(x)=B(x). Autrement dit, l'équation C(x)=B(x) peut avoir des racines étrangères à l'équation A(x)=B(x), et toutes appartiendront à l'ensemble auquel l'ODZ pour l'équation A (x)=B est étendu (x) en remplaçant l'expression A(x) par l'expression identiquement égale C(x).

Ainsi, remplacer les expressions des côtés gauche et droit de l'équation par des expressions identiquement égales, à la suite de quoi l'ODZ est développée, conduit dans le cas général à une équation corollaire (c'est-à-dire qu'elle peut conduire à l'apparition de superflus racines) et seulement dans un cas particulier conduit à une équation équivalente (dans le cas où l'équation résultante n'a pas de racines étrangères à l'équation d'origine).

Donnons un exemple de réalisation d'une transformation analysée. Remplacement de l'expression du côté gauche de l'équation identiquement égal à celui-ci par l'expression x·(x−1) conduit à l'équation x·(x−1)=0, dans ce cas l'expansion de l'ODZ se produit - le nombre 0 y est ajouté. L'équation résultante a deux racines 0 et 1, et la substitution de ces racines dans l'équation d'origine montre que 0 est une racine étrangère à l'équation d'origine et que 1 est la racine de l'équation d'origine. En effet, remplacer zéro dans l’équation originale donne l’expression dénuée de sens , puisqu'il contient une division par zéro et que le remplacement par un donne l'égalité numérique correcte , ce qui équivaut à 0=0 .

Notez qu'une transformation similaire d'une équation similaire dans l'équation (x−1)·(x−2)=0, à la suite de laquelle l'ODZ se dilate également, ne conduit pas à l'apparition de racines étrangères. En effet, les deux racines de l'équation résultante (x−1)·(x−2)=0 - nombres 1 et 2, sont des racines de l'équation originale, ce qui est facile à vérifier par vérification par substitution. Avec ces exemples, nous avons voulu souligner une fois de plus que le remplacement d'une expression du côté gauche ou droit d'une équation par une expression identiquement égale, qui élargit l'ODZ, ne conduit pas nécessairement à l'apparition de racines superflues. Mais cela peut aussi conduire à leur apparition. Ainsi, si une telle transformation a eu lieu lors du processus de résolution de l'équation, il est alors nécessaire d'effectuer un contrôle afin d'identifier et de filtrer les racines superflues.

Le plus souvent, l'ODZ d'une équation peut s'étendre et des racines superflues peuvent apparaître en raison du remplacement par zéro de la différence d'expressions identiques ou de la somme d'expressions de signes opposés, en raison du remplacement par zéro de produits par un ou plusieurs facteurs nuls. , grâce à la réduction des fractions et à l'utilisation de propriétés racines, puissances, logarithmes, etc.

• Ajouter le même nombre des deux côtés d’une équation ou soustraire le même nombre des deux côtés d’une équation.

Nous avons montré plus haut que cette transformation est toujours équivalente, c'est-à-dire conduisant à une équation équivalente. Passons à autre chose.

• Ajouter la même expression des deux côtés d’une équation ou soustraire la même expression des deux côtés d’une équation.

Dans le paragraphe précédent, nous avons ajouté une condition selon laquelle l'ODZ de l'expression ajoutée ou soustraite ne doit pas être plus étroite que l'ODZ de l'équation en cours de transformation. Cette condition rendait équivalente la transformation en question. Il y a ici des arguments similaires à ceux donnés au début de ce paragraphe de l'article concernant le fait qu'une équation équivalente est un cas particulier d'équation corollaire et que la connaissance de l'équivalence d'une transformation est pratiquement plus utile que la connaissance de la même transformation, mais du point de vue du fait qu’elle conduit à une équation corollaire.

Est-il possible, en ajoutant ou en soustrayant la même expression des deux côtés d’une équation, d’obtenir une équation qui, en plus de toutes les racines de l’équation originale, aura d’autres racines ? Non, ce n'est pas possible. Si l'ODZ de l'expression ajoutée ou soustraite n'est pas plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine, alors à la suite de l'addition ou de la soustraction, une équation équivalente sera obtenue. Si l'ODZ de l'expression ajoutée ou soustraite est plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine, cela peut entraîner la perte de racines et non l'apparition de racines superflues. Nous en parlerons davantage dans le paragraphe suivant.

• Transférer un terme d’une partie de l’équation à une autre avec le signe changé en opposé.

Cette transformation de l'équation est toujours équivalente. Cela n’a donc aucun sens de la considérer comme une transformation conduisant à une équation-conséquence, pour les raisons évoquées ci-dessus.

• Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par le même nombre.

Dans le paragraphe précédent, nous avons prouvé que si la multiplication ou la division des deux côtés d'une équation est effectuée par un nombre non nul, alors il s'agit d'une transformation équivalente de l'équation. Donc, encore une fois, cela ne sert à rien d’en parler comme d’une transformation conduisant à une équation corollaire.

Mais ici, il convient de prêter attention à l'avertissement concernant la différence par rapport à zéro du nombre par lequel les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés. Pour la division, cette réserve est compréhensible - dès l'école primaire on a compris que Tu ne peux pas diviser par zéro. Pourquoi cette clause de multiplication ? Pensons à ce que donne la multiplication des deux côtés de l’équation par zéro. Pour plus de clarté, prenons une équation spécifique, par exemple 2 x+1=x+5. Il s’agit d’une équation linéaire qui a une seule racine, qui est le nombre 4. Écrivons l'équation qui sera obtenue en multipliant les deux côtés de cette équation par zéro : (2 x+1) 0=(x+5) 0. Évidemment, la racine de cette équation est n’importe quel nombre, car lorsque vous remplacez n’importe quel nombre dans cette équation au lieu de la variable x, vous obtenez l’égalité numérique correcte 0=0. Autrement dit, dans notre exemple, la multiplication des deux côtés de l'équation par zéro a conduit à une équation corollaire, qui a provoqué l'apparition d'un nombre infini de racines superflues pour l'équation d'origine. De plus, il convient de noter que dans ce cas, les méthodes habituelles d’élimination des racines étrangères ne remplissent pas leur tâche. Cela signifie que la transformation effectuée est inutile pour résoudre l’équation d’origine. Et c'est une situation typique pour la transformation considérée. C'est pourquoi une transformation telle que multiplier les deux côtés d'une équation par zéro n'est pas utilisée pour résoudre des équations. Nous devons encore examiner cette transformation et d'autres transformations qui ne devraient pas être utilisées pour résoudre les équations du dernier paragraphe.

• Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par la même expression.

Dans le paragraphe précédent, nous avons prouvé que cette transformation est équivalente si deux conditions sont remplies. Rappelons-le. La première condition : la OD de cette expression ne doit pas être plus étroite que la OD de l'équation d'origine. Deuxième condition : l'expression par laquelle la multiplication ou la division est effectuée ne doit pas disparaître sur l'ODZ de l'équation d'origine.

Changeons la première condition, c'est-à-dire que nous supposerons que la DO de l'expression par laquelle nous prévoyons de multiplier ou de diviser les deux côtés de l'équation est plus étroite que la DO de l'équation d'origine. À la suite d'une telle transformation, une équation sera obtenue pour laquelle l'ODZ sera plus étroite que l'ODZ pour l'équation d'origine. De telles transformations peuvent conduire à la perte de racines ; nous en parlerons dans le paragraphe suivant.

Que se passera-t-il si nous supprimons la deuxième condition concernant les valeurs non nulles de l'expression par laquelle les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par l'ODZ pour l'équation d'origine ?

En divisant les deux côtés de l'équation par la même expression, qui disparaît par la DO de l'équation d'origine, on obtiendra une équation dont la DO est plus étroite que la DO de l'équation d'origine. En effet, des nombres en tomberont, transformant à zéro l'expression par laquelle la division a été effectuée. Cela peut entraîner une perte de racines.

Qu'en est-il de la multiplication des deux côtés de l'équation par la même expression, qui disparaît sur l'ODZ pour l'équation d'origine ? On peut montrer que lorsque les deux côtés de l'équation A(x)=B(x) sont multipliés par l'expression C(x) , dont l'ODZ n'est pas plus étroite que l'ODZ pour l'équation d'origine, et qui disparaît par le ODZ pour l'équation originale, l'équation est obtenue est une conséquence qu'en plus de toutes les racines de l'équation A(x)=B(x), elle peut également avoir d'autres racines. Faisons-le, d'autant plus que ce paragraphe de l'article est justement consacré aux transformations conduisant aux équations corollaires.

Soit l'expression C(x) telle que l'ODZ pour elle n'est pas plus étroite que l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x) , et elle disparaît sur l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x ) . Montrons que dans ce cas l'équation A(x)·C(x)=B(x)·C(x) est une conséquence de l'équation A(x)=B(x) .

Soit q la racine de l'équation A(x)=B(x) . Alors A(q)=B(q) est une vraie égalité numérique. Puisque l'ODZ pour l'expression C(x) n'est pas plus étroite que l'ODZ pour l'équation A(x)=B(x), alors l'expression C(x) est définie en x=q, ce qui signifie que C(q) est un certain nombre. Multiplier les deux côtés d'une vraie égalité numérique par n'importe quel nombre donne une vraie égalité numérique, donc A(q)·C(q)=B(q)·C(q) est une vraie égalité numérique. Cela signifie que q est la racine de l'équation A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Cela prouve que toute racine de l’équation A(x)=B(x) est une racine de l’équation A(x) C(x)=B(x) C(x), ce qui signifie que l’équation A(x) C (x)=B(x)·C(x) est une conséquence de l'équation A(x)=B(x) .

Notez que dans les conditions spécifiées, l'équation A(x)·C(x)=B(x)·C(x) peut avoir des racines étrangères à l'équation d'origine A(x)=B(x). Ce sont tous des nombres de l'ODZ pour l'équation d'origine qui transforment l'expression C(x) à zéro (tous les nombres qui transforment l'expression C(x) à zéro sont les racines de l'équation A(x) C(x)=B (x) C(x) , puisque leur substitution dans l'équation indiquée donne l'égalité numérique correcte 0=0 ), mais qui ne sont pas des racines de l'équation A(x)=B(x) . Les équations A(x)=B(x) et A(x)·C(x)=B(x)·C(x) dans les conditions spécifiées seront équivalentes lorsque tous les nombres de l'ODZ pour l'équation A(x )=B (x) , qui font disparaître l'expression C(x), sont les racines de l'équation A(x)=B(x) .

Ainsi, en multipliant les deux côtés de l'équation par la même expression, dont l'ODZ pour l'équation d'origine n'est pas plus étroite que l'ODZ pour l'équation d'origine, et qui s'annule par l'ODZ pour l'équation d'origine, on obtient dans le cas général une équation corollaire, qui c'est-à-dire que cela peut conduire à l'apparition de racines étrangères.

Donnons un exemple pour illustrer. Prenons l'équation x+3=4. Sa seule racine est le chiffre 1. Multiplions les deux côtés de cette équation par la même expression, qui disparaît par l'ODZ pour l'équation d'origine, par exemple par x·(x−1) . Cette expression disparaît à x=0 et x=1. En multipliant les deux côtés de l'équation par cette expression, nous obtenons l'équation (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). L’équation résultante a deux racines : 1 et 0. Le nombre 0 est une racine étrangère à l'équation originale apparue à la suite de la transformation.

Transformations pouvant entraîner une perte de racines

Certaines conversions sous certaines conditions peuvent entraîner une perte de racines. Par exemple, lorsque l'on divise les deux côtés de l'équation x·(x−2)=x−2 par la même expression x−2, la racine est perdue. En effet, grâce à une telle transformation, l'équation x=1 est obtenue avec une seule racine, qui est le nombre 1, et l'équation originale a deux racines 1 et 2.

Il est nécessaire de comprendre clairement quand les racines sont perdues à la suite de transformations, afin de ne pas perdre de racines lors de la résolution d'équations. Voyons cela.

À la suite de ces transformations, une perte de racines peut survenir si et seulement si l’ODZ de l’équation transformée s’avère plus étroite que l’ODZ de l’équation d’origine.

Pour prouver cette affirmation, deux points doivent être justifiés. Tout d'abord, il est nécessaire de prouver que si, à la suite des transformations indiquées de l'équation, l'ODZ est rétrécie, une perte de racines peut alors se produire. Et, deuxièmement, il est nécessaire de justifier que si, à la suite de ces transformations, une perte de racines se produit, alors l'ODZ de l'équation résultante est plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine.

Si l'ODZ de l'équation obtenue à la suite de la transformation est plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine, alors, naturellement, aucune racine de l'équation d'origine située en dehors de l'ODZ de l'équation résultante ne peut être la racine de l'équation. obtenu à la suite de la transformation. Cela signifie que toutes ces racines seront perdues lors du passage de l'équation d'origine à une équation pour laquelle l'ODZ est plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine.

Maintenant de retour. Montrons que si, à la suite de ces transformations, les racines sont perdues, alors la OD de l'équation résultante est plus étroite que la OD de l'équation d'origine. Cela peut être fait par la méthode inverse. L'hypothèse selon laquelle à la suite de ces transformations les racines sont perdues, mais l'ODZ n'est pas rétrécie, contredit les affirmations prouvées dans les paragraphes précédents. En effet, de ces déclarations, il résulte que si, lors de la réalisation des transformations indiquées, l'ODZ n'est pas rétréci, alors soit des équations équivalentes, soit des équations corollaires sont obtenues, ce qui signifie qu'il ne peut y avoir de perte de racines.

Ainsi, la raison de la perte possible de racines lors de la réalisation de transformations de base des équations est le rétrécissement de l'ODZ. Il est clair que lors de la résolution d’équations, nous ne devons pas perdre nos racines. Ici, bien sûr, la question se pose : « Que devons-nous faire pour éviter de perdre des racines lors de la transformation d’équations ? » Nous y répondrons dans le paragraphe suivant. Parcourons maintenant la liste des transformations de base des équations pour voir plus en détail quelles transformations peuvent conduire à la perte de racines.

• Remplacement des expressions sur les côtés gauche et droit de l’équation par des expressions identiquement égales.

Si vous remplacez l'expression du côté gauche ou droit de l'équation par une expression identiquement égale, dont l'ODZ est plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine, cela entraînera un rétrécissement de l'ODZ, et de ce fait, les racines peut être perdu. Le plus souvent, le remplacement des expressions du côté gauche ou droit des équations par des expressions identiquement égales, effectué sur la base de certaines propriétés de racines, de puissances, de logarithmes et de certaines formules trigonométriques, conduit à un rétrécissement de l'ODZ et, par conséquent , à la perte possible de racines. Par exemple, remplacer l’expression du côté gauche de l’équation par une expression identiquement égale rétrécit l’ODZ et entraîne la perte de la racine −16. De même, remplacer l'expression du côté gauche de l'équation par une expression identiquement égale conduit à l'équation dont l'ODZ est plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine, ce qui entraîne la perte de la racine −3.

• Ajouter le même nombre des deux côtés d’une équation ou soustraire le même nombre des deux côtés d’une équation.

Cette transformation est équivalente, donc les racines ne peuvent pas être perdues lors de sa mise en œuvre.

• Ajouter la même expression des deux côtés d’une équation ou soustraire la même expression des deux côtés d’une équation.

Si vous ajoutez ou soustrayez une expression dont l'ODZ est plus étroite que l'ODZ pour l'équation d'origine, cela entraînera un rétrécissement de l'ODZ et, par conséquent, une éventuelle perte de racines. Cela vaut la peine de garder cela à l'esprit. Mais ici, il convient de noter qu'en pratique, il est généralement nécessaire de recourir à l'ajout ou à la soustraction d'expressions présentes dans l'enregistrement de l'équation originale, ce qui n'entraîne pas de modification de l'ODZ et n'entraîne pas de perte de racines.

• Transférer un terme d’une partie de l’équation à une autre avec le signe changé en opposé.

Cette transformation de l'équation est équivalente, donc du fait de sa mise en œuvre, les racines ne sont pas perdues.

• Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par le même nombre autre que zéro.

Cette transformation est également équivalente et, de ce fait, la perte de racines ne se produit pas.

• Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par la même expression.

Cette transformation peut conduire à un rétrécissement de la OD dans deux cas : lorsque la OD de l'expression par laquelle la multiplication ou la division est effectuée est plus étroite que la OD de l'équation d'origine, et lorsque la division est effectuée par une expression qui devient zéro sur l'OD pour l'équation d'origine. Notez qu'en pratique, il n'est généralement pas nécessaire de recourir à la multiplication et à la division des deux côtés de l'équation par une expression avec un VA plus étroit. Mais il faut composer avec une division par une expression qui devient zéro pour l'équation d'origine. Il existe une méthode qui permet de faire face à la perte de racines lors d'une telle division, nous en parlerons dans le prochain paragraphe de cet article.

Comment éviter la perte des racines ?

Si vous utilisez uniquement des transformations de pour transformer les équations et en même temps ne permettez pas le rétrécissement de l'ODZ, alors la perte de racines ne se produira pas.

Cela signifie-t-il qu’aucune autre transformation des équations ne peut être effectuée ? Non, ça ne veut pas dire ça. Si vous proposez une autre transformation de l'équation et la décrivez complètement, c'est-à-dire indiquez quand elle conduit à des équations équivalentes, quand à des équations corollaires et quand elle peut conduire à la perte de racines, alors elle pourrait très bien être adoptée.

Devons-nous abandonner complètement les réformes qui réduiraient le DPD ? Tu ne devrais pas faire ça. Cela ne ferait pas de mal de conserver dans votre arsenal des transformations dans lesquelles un nombre fini de nombres sortent de l'ODZ pour l'équation d'origine. Pourquoi de telles transformations ne devraient-elles pas être abandonnées ? Parce qu’il existe une méthode pour éviter la perte des racines dans de tels cas. Il s'agit d'une vérification séparée des nombres sortant de l'ODZ pour voir s'il y a parmi eux des racines de l'équation originale. Vous pouvez le vérifier en remplaçant ces nombres dans l’équation originale. Ceux d’entre eux qui, une fois substitués, donnent l’égalité numérique correcte sont les racines de l’équation originale. Ils doivent être inclus dans la réponse. Après un tel contrôle, vous pourrez réaliser en toute sécurité la transformation prévue sans craindre de perdre vos racines.

Une transformation typique dans laquelle l'ODZ d'une équation est réduite à plusieurs nombres consiste à diviser les deux côtés de l'équation par la même expression, qui devient nulle en plusieurs points par rapport à l'ODZ de l'équation d'origine. Cette transformation est à la base de la méthode de solution équations réciproques. Mais il est également utilisé pour résoudre d’autres types d’équations. Donnons un exemple.

L'équation peut être résolue en introduisant une nouvelle variable. Pour introduire une nouvelle variable, vous devez diviser les deux côtés de l’équation par 1+x. Mais avec une telle division, une perte de racine peut se produire, car bien que l'ODZ de l'expression 1+x ne soit pas plus étroite que l'ODZ de l'équation d'origine, l'expression 1+x devient nulle à x=−1, et ce nombre appartient à l'ODZ pour l'équation d'origine. Cela signifie que la racine −1 peut être perdue. Pour éliminer la perte d'une racine, vous devez vérifier séparément si −1 est une racine de l'équation d'origine. Pour ce faire, vous pouvez remplacer −1 dans l’équation d’origine et voir quelle égalité vous obtenez. Dans notre cas, la substitution donne l’égalité, qui équivaut à 4=0. Cette égalité est fausse, ce qui signifie que −1 n'est pas la racine de l'équation d'origine. Après une telle vérification, vous pouvez effectuer la division prévue des deux côtés de l'équation par 1 + x, sans craindre une perte de racines.

Pour conclure ce paragraphe, revenons une fois de plus aux équations du paragraphe précédent et. Transformation de ces équations basées sur les identités et conduit à un rétrécissement de l'ODZ, ce qui entraîne la perte des racines. À ce stade, nous avons dit que pour ne pas perdre nos racines, nous devions abandonner les réformes qui rétrécissent la ZD. Cela signifie que ces transformations doivent être abandonnées. Mais que devons-nous faire ? Il est possible d'effectuer des transformations non basées sur les identités et , grâce à quoi l'ODZ est rétrécie, et sur la base des identités et . À la suite de la transition des équations originales aux équations et il n'y a pas de rétrécissement de l'ODZ, ce qui signifie que les racines ne seront pas perdues.

Ici, nous notons particulièrement que lorsque vous remplacez des expressions par des expressions identiquement égales, vous devez soigneusement vous assurer que les expressions sont exactement identiquement égales. Par exemple, dans l'équation. il est impossible de remplacer l'expression x+3 par une expression afin de simplifier l'apparence du côté gauche pour , puisque les expressions x+3 et ne sont pas identiquement égales, car leurs valeurs ne coïncident pas en x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Transformations d'équations à ne pas utiliser

Les transformations mentionnées dans cet article sont généralement suffisantes pour les besoins pratiques. Autrement dit, vous ne devriez pas trop vous soucier de proposer d’autres transformations ; il est préférable de vous concentrer sur l’utilisation correcte de celles déjà éprouvées.

Littérature

1. Mordkovitch A.G. Algèbre et débuts de l'analyse mathématique. 11e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2008. - 287 p. : ill. ISBN978-5-346-01027-2.
2. Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.