Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment nous utilisons vos informations personnelles :

Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter avec des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
Nous pouvons également utiliser les informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, d'analyses de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Exceptions :

Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, dans le cadre d'une procédure judiciaire et/ou sur la base de demandes publiques ou d'organismes gouvernementaux de la Fédération de Russie - divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Lycée MBOU n°17, Ivanovo

« Equations avec module"
Développement méthodologique

Compilé

professeur de mathématiques

Lebedeva N.V.

20010

Note explicative

Chapitre 1. Introduction

Section 2. Propriétés de base Section 3. Interprétation géométrique de la notion de module d'un nombre Section 4. Graphique de la fonction y = |x| Article 5. Conventions

Chapitre 2. Résolution d'équations contenant un module

Section 1. Équations de la forme |F(x)| = m (le plus simple) Section 2. Équations de la forme F(|x|) = m Section 3. Équations de la forme |F(x)| = G(x) Section 4. Équations de la forme |F(x)| = ± F(x) (le plus beau) Section 5. Équations de la forme |F(x)| = |G(x)| Section 6. Exemples de résolution d'équations non standard Section 7. Équations de la forme |F(x)| + |G(x)| = 0 Section 8. Équations de la forme |a 1 x ± b 1 | ± |une 2 x ± b 2 | ± …|a n x ± dans n | = m Section 9. Équations contenant plusieurs modules

Chapitre 3. Exemples de résolution de diverses équations avec module.

Section 1. Équations trigonométriques Section 2. Équations exponentielles Section 3. Équations logarithmiques Section 4. Équations irrationnelles Section 5. Tâches avancées Réponses aux exercices Références

Note explicative.

La notion de valeur absolue (module) d'un nombre réel est l'une de ses caractéristiques essentielles. Ce concept est répandu dans diverses sections des sciences physiques, mathématiques et techniques. Dans la pratique de l'enseignement des cours de mathématiques dans les écoles secondaires conformément au programme du ministère de la Défense de la Fédération de Russie, la notion de « valeur absolue d'un nombre » est rencontrée à plusieurs reprises : en 6e année, la définition d'un module et sa signification géométrique est introduite ; en 8e année, la notion d'erreur absolue est formée, la solution des équations et inégalités les plus simples contenant un module est envisagée et les propriétés de la racine carrée arithmétique sont étudiées ; en 11e, le concept se retrouve dans la section « Racine n-ème degré." L'expérience pédagogique montre que les étudiants rencontrent souvent des difficultés pour résoudre des tâches qui nécessitent la connaissance de cette matière, et les sautent souvent sans commencer à les terminer. Les textes des devoirs d'examen pour les cours de 9e et 11e années comprennent également des devoirs similaires. De plus, les exigences que les universités imposent aux diplômés des écoles sont différentes, à savoir à un niveau plus élevé que les exigences du programme scolaire.

Pour la vie dans la société moderne, la formation d'un style de pensée mathématique, se manifestant par certaines compétences mentales, est très importante. Dans le processus de résolution de problèmes avec les modules, la capacité d'utiliser des techniques telles que la généralisation et la spécification, l'analyse, la classification et la systématisation, ainsi que l'analogie est requise. Résoudre de telles tâches vous permet de tester vos connaissances des principales sections du cours scolaire, votre niveau de pensée logique et vos compétences de recherche initiales.

Ce travail est consacré à l'une des sections - résolution d'équations contenant un module. Il se compose de trois chapitres. Le premier chapitre introduit les concepts de base et les considérations théoriques les plus importantes. Le deuxième chapitre propose neuf principaux types d'équations contenant un module, discute des méthodes pour les résoudre et examine des exemples de différents niveaux de complexité. Le troisième chapitre propose des équations plus complexes et non standards (trigonométriques, exponentielles, logarithmiques et irrationnelles). Pour chaque type d'équation, il existe des exercices de résolution indépendante (les réponses et les instructions sont jointes). .

L'objectif principal de ce travail est d'apporter une assistance méthodologique aux enseignants dans la préparation des cours et dans l'organisation des cours au choix. Le matériel peut également être utilisé comme support pédagogique pour les élèves du secondaire. Les tâches proposées dans l'ouvrage sont intéressantes et pas toujours faciles à résoudre, ce qui permet de rendre plus consciente la motivation éducative des étudiants, de tester leurs capacités et d'augmenter le niveau de préparation des bacheliers à l'entrée à l'université. Une sélection différenciée des exercices proposés implique un passage du niveau reproductif d’assimilation du matériel au niveau créatif, ainsi que la possibilité d’enseigner comment appliquer ses connaissances lors de la résolution de problèmes non standard. : Chapitre 1. Introduction. Section 1. Détermination de la valeur absolue Définition Section 1. Détermination de la valeur absolue La valeur absolue (module) d'un nombre réel UN un nombre non négatif s'appelle : │ Section 1. Détermination de la valeur absolue │ ou

│ -UN.

│a│ = │ 0, si a = 0 (1)

│ - et, si un
Exemples : 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
Développez le module d'expression :
a) │x - 8│, si x > 12 b) │2x + 3│, si x ≤ -2 │x – 8│= x – 8 │ 2x + 3│= - 2x – 3
Section 2. Propriétés de base.
Considérons les propriétés fondamentales de la valeur absolue. Propriété n°1 : Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire │а│=│- а│ Montrons que l'égalité est correcte. Écrivons la définition du nombre - UN : │- un│= (2) Comparons les ensembles (1) et (2). Évidemment, les définitions des valeurs absolues des nombres Section 1. Détermination de la valeur absolue Et - UN correspondre. Ainsi, │а│=│- а│
En considérant les propriétés suivantes, nous nous limiterons à leur formulation, puisque leur preuve est donnée dans Propriété n°2 : La valeur absolue de la somme d'un nombre fini de nombres réels ne dépasse pas la somme des valeurs absolues des termes : │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │ + … + │а n │ Propriété n°3 : La valeur absolue de la différence entre deux nombres réels ne dépasse pas la somme de leurs valeurs absolues : │а - в│ ≤│а│+│в│ Propriété n°4 : La valeur absolue du produit d'un nombre fini de nombres réels est égale au produit des valeurs absolues des facteurs : │а·в│=│а│·│в│ Propriété n°5 : La valeur absolue du quotient des nombres réels est égale au quotient de leurs valeurs absolues :

Section 3. Interprétation géométrique de la notion de module d'un nombre.

Chaque nombre réel peut être associé à un point sur la droite numérique, qui sera une image géométrique de ce nombre réel. Chaque point de la droite numérique correspond à sa distance par rapport à l'origine, c'est-à-dire la longueur du segment depuis l'origine jusqu'à un point donné. Cette distance est toujours considérée comme une valeur non négative. Par conséquent, la longueur du segment correspondant sera l’interprétation géométrique de la valeur absolue d’un nombre réel donné.

L'illustration géométrique présentée confirme clairement la propriété n°1, c'est-à-dire les modules des nombres opposés sont égaux. De là, la validité de l'égalité est facilement comprise : │х – а│= │а – x│. La solution de l'équation │х│= m, où m ≥ 0, à savoir x 1,2 = ± m, devient également plus évidente. Exemples : 1) │х│= 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1

x 1,2 = 2 ; 4

Section 4. Graphique de la fonction y = │х│

Le domaine de cette fonction est constitué de tous les nombres réels.

Section 5. Conventions.

À l'avenir, lors de l'examen d'exemples de résolution d'équations, les conventions suivantes seront utilisées : ( - signe du système [ - signe de la totalité Lors de la résolution d'un système d'équations (inégalités), l'intersection des solutions des équations (inégalités) incluses dans le système est trouvée. Lors de la résolution d'un ensemble d'équations (inégalités), l'union des solutions incluses dans l'ensemble d'équations (inégalités) est trouvée.

Chapitre 2. Résolution d'équations contenant un module.

Dans ce chapitre, nous examinerons les méthodes algébriques pour résoudre des équations contenant un ou plusieurs modules.

Section 1. Équations de la forme │F (x)│= m

Une équation de ce type est dite la plus simple. Elle a une solution si et seulement si m ≥ 0. Par définition du module, l'équation originale est équivalente à un ensemble de deux équations : │ F(x)│=m

Exemples :
№1. Résolvez l'équation : │7х - 2│= 9

Réponse : x 1 = - 1 ; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 +3x = 0 x 1 = -1 ; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0 ; x2 = -3 Réponse : la somme des racines est - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 – 5x 2 = 0 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 – 5) = 0 notons x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m2 – 5 m + 4 = 0 m = 1 ; 4 – les deux valeurs satisfont à la condition m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Réponse : nombre de racines de l'équation 7. Exercices :
№1. Résolvez l'équation et indiquez la somme des racines : │х - 5│= 3 №2 . Résolvez l'équation et indiquez la racine la plus petite : │x 2 + x│= 0 №3 . Résolvez l'équation et indiquez la plus grande racine : │x 2 – 5x + 4│= 4 №4 .Résolvez l'équation et indiquez la racine entière : │2x 2 – 7x + 6│= 1 №5 .Résolvez l'équation et indiquez le nombre de racines : │x 4 – 13x 2 + 50│= 14

Section 2. Équations de la forme F(│х│) = m

L'argument de la fonction sur le côté gauche est sous le signe du module et le côté droit est indépendant de la variable. Considérons deux manières de résoudre des équations de ce type. 1 manière : Par définition de valeur absolue, l'équation originale équivaut à la combinaison de deux systèmes. Dans chacun d'entre eux, une condition est imposée à une expression sous-modulaire. F(│х│) =m

Puisque la fonction F(│x│) est paire dans tout le domaine de définition, les racines des équations F(x) = m et F(- x) = m sont des paires de nombres opposés. Par conséquent, il suffit de résoudre l'un des systèmes (en considérant des exemples de cette manière, la solution d'un système sera donnée). Méthode 2 : Application de la méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Dans ce cas, la désignation │x│= a est introduite, où a ≥ 0. Cette méthode est de conception moins volumineuse.
Exemples : №1 . Résolvez l’équation : 3x 2 – 4│x│= - 1 Utilisons l’introduction d’une nouvelle variable. Notons │x│= a, où a ≥ 0. On obtient l'équation 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Retour à la variable d'origine : │ x│=1 et │х│= 1/3. Chaque équation a deux racines. Réponse : x 1 = 1 ; X 2 = - 1 ; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Résolvez l'équation : 5x 2 + 3│x│- 1 = 1 / 2 │x│ + 3x 2

Trouvons la solution du premier système de la population : 4x 2 + 5x – 2 =0 D = 57 x 1 = -5+√57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Notez que x 2 ne satisfait pas la condition x ≥ 0. Solution le deuxième système sera le nombre opposé à la valeur x 1. Réponse : x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Résolvez l'équation : x 4 – │х│= 0 Notons │х│= a, où a ≥ 0. On obtient l'équation a 4 – a = 0 a · (a 3 – 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Retour à la variable d'origine : │х│=0 et │х│= 1 x = 0 ; ± 1 Réponse : x 1 = 0 ; X 2 = 1 ; X 3 = - 1.
Exercices : №6. Résolvez l'équation : 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Résolvez l'équation, indiquez le nombre de racines dans votre réponse : 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Résolvez l'équation, indiquez les solutions entières dans votre réponse : x 4 + │x│ - 2 = 0

Section 3. Équations de la forme │F(x)│ = G(x)

Le membre de droite d’une équation de ce type dépend d’une variable et a donc une solution si et seulement si le membre de droite est une fonction G(x) ≥ 0. L’équation originale peut être résolue de deux manières : 1 manière : Standard, basé sur la divulgation d'un module basé sur sa définition et consiste en une transition équivalente vers une combinaison de deux systèmes. │ F(x)│ =G(X)

Cette méthode peut être utilisée rationnellement dans le cas d’une expression complexe pour la fonction G(x) et moins complexe pour la fonction F(x), puisqu’on suppose que les inégalités avec la fonction F(x) seront résolues. Méthode 2 : Consiste en le passage à un système équivalent dans lequel une condition est imposée au côté droit. │ F(x)│= G(x)

Cette méthode est plus pratique à utiliser si l'expression de la fonction G(x) est moins complexe que celle de la fonction F(x), puisque la solution de l'inégalité G(x) ≥ 0 est supposée de plus, dans le cas. de plusieurs modules, il est recommandé d'utiliser la deuxième option. Exemples : №1. Résolvez l'équation : │x + 2│= 6 -2x

(1 voie) Réponse : x = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(x + 1)

(2 voies) Réponse : Le produit des racines est 3.
№3. Résolvez l’équation et indiquez la somme des racines dans votre réponse :
│x - 6│= x 2 - 5x + 9

Réponse : la somme des racines est 4.
Exercices : №9. │x + 4│= - 3x №10. Résolvez l'équation, indiquez le nombre de solutions dans votre réponse :│x 2 + x - 1│= 2x – 1 №11 . Résolvez l'équation, indiquez le produit des racines dans votre réponse :│x + 3│= x 2 + x – 6

Section 4. Équations de la forme │F(x)│= F(x) et │F(x)│= - F(x)

Les équations de ce type sont parfois appelées « les plus belles ». Puisque le membre de droite des équations dépend de la variable, des solutions existent si et seulement si le membre de droite est non négatif. Par conséquent, les équations originales sont équivalentes aux inégalités :
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 et │F(x)│= - F(x) F(x) Exemples : №1 . Résolvez l'équation, indiquez la plus petite racine entière dans votre réponse : │5x - 3│= 5x – 3 5x – 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Réponse : x = 1№2. Résolvez l'équation, indiquez la longueur de l'intervalle dans votre réponse : │х 2 - 9│= 9 – x 2 x 2 – 9 ≤ 0 (x – 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3 ; 3] Réponse : la longueur de l’écart est de 6.№3 . Résolvez l'équation et indiquez le nombre de solutions entières dans votre réponse : │2 + x – x 2 │= 2 + x – x 2 2 + x – x 2 ≥ 0 x 2 – x – 2 ≤ 0 [- 1 ; 2] Réponse : 4 solutions entières.№4 . Résolvez l'équation et indiquez la plus grande racine dans votre réponse :
│4 – x-

│= 4 – x –

x 2 – 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =

≈ 1,4

Réponse : x = 3.

Exercices : №12. Résolvez l'équation, indiquez la racine entière dans la réponse : │x 2 + 6x + 8│= x 2 + 6x + 8 №13. Résolvez l'équation et indiquez le nombre de solutions entières dans votre réponse : │13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14. Résolvez l'équation ; dans votre réponse, indiquez un entier qui n'est pas la racine de l'équation :

Section 5. Équations de la forme │F(x)│= │G(x)│

Puisque les deux côtés de l’équation sont non négatifs, la solution implique de considérer deux cas : les expressions sous-modulaires sont de signe égal ou opposé. L’équation originale est donc équivalente à la combinaison de deux équations : │ F(x)│= │ G(x)│

Exemples : №1. Résolvez l'équation, indiquez la racine entière dans votre réponse : │x + 3│=│2x - 1│

Réponse : racine entière x = 4.№2. Résolvez l'équation : │ x – x 2 - 1│=│2x – 3 – x 2 │

Réponse : x = 2.№3 . Résolvez l’équation et indiquez le produit des racines dans votre réponse :

Équations racine 4x 2 + 2x – 1 = 0 x 1,2 = - 1±√5 / 4 Réponse : le produit des racines est de – 0,25. Exercices : №15 . Résolvez l'équation et indiquez la solution complète dans votre réponse : │x 2 – 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16. Résolvez l'équation, indiquez la racine la plus petite dans votre réponse :│5x - 3│=│7 - x│ №17 . Résolvez l’équation et indiquez la somme des racines dans votre réponse :

Section 6. Exemples de résolution d'équations non standard

Dans cette section, nous examinerons des exemples d'équations non standard, lors de la résolution desquelles la valeur absolue de l'expression est révélée par définition. Exemples :

№1. Résolvez l'équation, indiquez la somme des racines dans votre réponse : x · │x│- 5x – 6 = 0
Réponse : la somme des racines est 1 №2. . Résolvez l'équation, indiquez la racine la plus petite dans votre réponse : x 2 - 4x ·
- 5 = 0
Réponse : racine plus petite x = - 5. №3. Résolvez l'équation :

Réponse : x = -1. Exercices : №18. Résolvez l'équation et indiquez la somme des racines : x · │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Résolvez l'équation : x 2 – 3x =

№20. Résolvez l'équation :

Section 7. Équations de la forme │F(x)│+│G(x)│=0

Il est facile de remarquer que du côté gauche de l’équation de ce type se trouve la somme des quantités non négatives. Par conséquent, l’équation originale a une solution si et seulement si les deux termes sont égaux à zéro en même temps. L'équation est équivalente au système d'équations : │ F(x)│+│ G(x)│=0
Exemples : №1 . Résolvez l'équation :

Réponse : x = 2. №2. Résolvez l'équation : Réponse : x = 1. Exercices : №21. Résolvez l'équation : №22 . Résolvez l’équation et indiquez la somme des racines dans votre réponse : №23 . Résolvez l'équation et indiquez le nombre de solutions dans votre réponse :

Section 8. Équations de la forme │a 1 x + b 1 │±│a 2 x + b 2 │± … │a n x +b n │= m

Pour résoudre des équations de ce type, la méthode des intervalles est utilisée. Si nous le résolvons par expansion séquentielle des modules, nous obtenons n ensembles de systèmes, ce qui est très lourd et peu pratique. Considérons l'algorithme de la méthode des intervalles : 1). Rechercher des valeurs de variables X, pour lequel chaque module est égal à zéro (zéros des expressions sous-modulaires) :

2). Marquez les valeurs trouvées sur une droite numérique divisée en intervalles (le nombre d'intervalles est respectivement égal à n+1 ) 3). Déterminez avec quel signe chaque module est révélé à chacun des intervalles résultants (lors de l'élaboration d'une solution, vous pouvez utiliser une droite numérique en marquant les signes dessus) 4). L'équation originale est équivalente à l'agrégat n+1 systèmes, dans chacun desquels la variable appartient X l'un des intervalles. Exemples : №1 . Résolvez l’équation et indiquez la plus grande racine dans votre réponse :

1). Trouvons les zéros des expressions sous-modulaires : x = 2 ; x = -3 2). Marquons les valeurs trouvées sur la droite numérique et déterminons avec quel signe chaque module se révèle sur les intervalles obtenus :
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)

- pas de solutions L'équation a deux racines. Réponse : la plus grande racine x = 2. №2. Résolvez l’équation et fournissez la racine entière dans votre réponse :

1). Trouvons les zéros des expressions sous-modulaires : x = 1,5 ; x = - 1 2). Marquons les valeurs trouvées sur la droite numérique et déterminons avec quel signe chaque module est révélé sur les intervalles résultants : x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 x 2x – 3 2x – 3 2x – 3 - - +
3).

Le dernier système n’a pas de solution, donc l’équation a deux racines. Lors de la résolution de l'équation, vous devez faire attention au signe « - » devant le deuxième module. Réponse : racine entière x = 7. №3. Résolvez l'équation, indiquez la somme des racines dans votre réponse : 1). Trouvons les zéros des expressions sous-modulaires : x = 5 ; x = 1 ; x = - 2 2). Marquons les valeurs trouvées sur la droite numérique et déterminons avec quel signe chaque module est révélé aux intervalles résultants : x – 5 x – 5 x – 5 x – 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).

L'équation a deux racines x = 0 et 2. Réponse : la somme des racines est 2. №4 . Résolvez l'équation : 1). Trouvons les zéros des expressions sous-modulaires : x = 1 ; x = 2 ; x = 3.2). Déterminons avec quel signe chaque module se révèle sur les intervalles résultants. 3).

Combinons les solutions des trois premiers systèmes. Répondre: ; x = 5.
Exercices : №24. Résolvez l'équation :

№25. Résolvez l’équation et indiquez la somme des racines dans votre réponse : №26. Résolvez l’équation et indiquez la racine la plus petite dans votre réponse : №27. Résolvez l’équation et indiquez la plus grande racine dans votre réponse :

Section 9. Équations contenant plusieurs modules

Les équations contenant plusieurs modules supposent la présence de valeurs absolues dans les expressions sous-modulaires. Le principe de base pour résoudre des équations de ce type est la divulgation séquentielle des modules, en commençant par celui « externe ». Lors de la résolution, les techniques abordées dans les sections n° 1, n° 3 sont utilisées.

Exemples : №1. Résolvez l'équation :
Réponse : x = 1 ; - 11. №2. Résolvez l'équation :
Réponse : x = 0 ; 4 ; - 4. №3. Résolvez l’équation et indiquez le produit des racines dans votre réponse :
Réponse : le produit des racines est – 8. №4. Résolvez l'équation :
Notons les équations de la population (1) Et (2) et considérez la solution pour chacun d’eux séparément pour faciliter la conception. Étant donné que les deux équations contiennent plus d’un module, il est plus pratique d’effectuer une transition équivalente vers des ensembles de systèmes. (1)

(2)

Répondre:
Exercices : №36. Résolvez l'équation, indiquez la somme des racines dans votre réponse : 5 │3x-5│ = 25 x №37. Résolvez l'équation, s'il y a plus d'une racine, indiquez la somme des racines dans votre réponse : │x + 2│ x – 3x – 10 = 1 №38. Résolvez l'équation : 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Résolvez l'équation et indiquez le nombre de racines dans votre réponse : 2 │ sin x│ = √2 №40 . Résolvez l'équation et indiquez le nombre de racines dans votre réponse :

Section 3. Équations logarithmiques.

Avant de résoudre les équations suivantes, il est nécessaire de revoir les propriétés des logarithmes et de la fonction logarithmique. Exemples : №1. Résolvez l'équation, indiquez le produit des racines dans votre réponse : log 2 (x+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Cas 1 : si x ≥ - 1, alors log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – satisfait la condition x ≥ - 1 2 cas : si x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – satisfait à la condition x - 1
Réponse : le produit des racines est – 15.
№2. Résolvez l'équation, indiquez la somme des racines dans votre réponse : lg
O.D.Z.

Réponse : la somme des racines est de 0,5.
№3. Résoudre l'équation : log 5
O.D.Z.

Réponse : x = 9. №4. Résolvez l'équation : │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Utilisons la formule pour passer à une autre base. │2 - journal 5 x│+ 3 = │1 + journal 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Trouvons les zéros des expressions sous-modulaires : x = 25 ; x = Ces nombres divisent la plage de valeurs acceptables en trois intervalles, l'équation équivaut donc à un ensemble de trois systèmes.
Répondre: )