Plus fiable que la méthode graphique évoquée dans le paragraphe précédent.

Méthode de substitution

Nous avons utilisé cette méthode en 7e année pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme développé en 7e année est tout à fait adapté pour résoudre des systèmes de deux équations quelconques (pas nécessairement linéaires) avec deux variables x et y (bien sûr, les variables peuvent être désignées par d'autres lettres, ce qui n'a pas d'importance). En fait, nous avons utilisé cet algorithme dans le paragraphe précédent, lorsque le problème d’un nombre à deux chiffres a conduit à un modèle mathématique, qui est un système d’équations. Nous avons résolu ce système d'équations ci-dessus en utilisant la méthode de substitution (voir exemple 1 du § 4).

Un algorithme pour utiliser la méthode de substitution lors de la résolution d'un système de deux équations avec deux variables x, y.

1. Exprimez y en fonction de x à partir d’une équation du système.
2. Remplacez l'expression résultante au lieu de y dans une autre équation du système.
3. Résolvez l’équation résultante pour x.
4. Remplacez tour à tour chacune des racines de l'équation trouvée à la troisième étape au lieu de x par l'expression y par x obtenue à la première étape.
5. Écrivez la réponse sous la forme de paires de valeurs (x; y), qui ont été trouvées respectivement aux troisième et quatrième étapes.

4) Remplacez une par une chacune des valeurs trouvées de y dans la formule x = 5 - 3. Si alors
5) Paires (2 ; 1) et solutions à un système d'équations donné.

Réponse : (2 ; 1) ;

Méthode d'addition algébrique

Cette méthode, comme la méthode de substitution, vous est familière depuis le cours d'algèbre de 7e année, où elle était utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Rappelons l'essence de la méthode à l'aide de l'exemple suivant.

Exemple 2. Résoudre un système d'équations

Multiplions tous les termes de la première équation du système par 3 et laissons la deuxième équation inchangée :
Soustrayez la deuxième équation du système de sa première équation :

À la suite de l'addition algébrique de deux équations du système d'origine, une équation a été obtenue plus simple que les première et deuxième équations du système donné. Avec cette équation plus simple nous avons le droit de remplacer n'importe quelle équation d'un système donné, par exemple la seconde. Ensuite, le système d'équations donné sera remplacé par un système plus simple :

Ce système peut être résolu en utilisant la méthode de substitution. À partir de la deuxième équation, nous trouvons qu'en substituant cette expression au lieu de y dans la première équation du système, nous obtenons.

Il reste à substituer les valeurs trouvées de x dans la formule

Si x = 2 alors

Ainsi, nous avons trouvé deux solutions au système :

Méthode d'introduction de nouvelles variables

Vous avez découvert la méthode d'introduction d'une nouvelle variable lors de la résolution d'équations rationnelles avec une variable dans le cours d'algèbre de 8e année. L'essence de cette méthode de résolution de systèmes d'équations est la même, mais d'un point de vue technique, nous aborderons certaines fonctionnalités dans les exemples suivants.

Exemple 3. Résoudre un système d'équations

Introduisons une nouvelle variable. Ensuite, la première équation du système peut être réécrite sous une forme plus simple : Résolvons cette équation par rapport à la variable t :

Ces deux valeurs satisfont à la condition et sont donc les racines d'une équation rationnelle avec la variable t. Mais cela signifie soit où nous trouvons que x = 2y, soit
Ainsi, en utilisant la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, nous avons réussi à en quelque sorte « stratifier » la première équation du système, assez complexe en apparence, en deux équations plus simples :

x = 2 oui ; oui - 2x.

Quelle est la prochaine étape ? Et puis chacune des deux équations simples obtenues doit être considérée tour à tour dans un système d'équation x 2 - y 2 = 3, dont nous ne nous sommes pas encore souvenus. Autrement dit, le problème revient à résoudre deux systèmes d’équations :

Nous devons trouver des solutions au premier système, au deuxième système et inclure toutes les paires de valeurs résultantes dans la réponse. Résolvons le premier système d'équations :

Utilisons la méthode de substitution, d'autant plus que tout est prêt ici : remplaçons l'expression 2y au lieu de x dans la deuxième équation du système. Nous obtenons

Puisque x = 2y, on trouve respectivement x 1 = 2, x 2 = 2. Ainsi, deux solutions du système donné sont obtenues : (2 ; 1) et (-2 ; -1). Résolvons le deuxième système d'équations :

Utilisons à nouveau la méthode de substitution : remplacez l'expression 2x au lieu de y dans la deuxième équation du système. Nous obtenons

Cette équation n’a pas de racines, ce qui signifie que le système d’équations n’a pas de solution. Ainsi, seules les solutions du premier système doivent être incluses dans la réponse.

Réponse : (2 ; 1) ; (-2;-1).

La méthode d'introduction de nouvelles variables lors de la résolution de systèmes de deux équations à deux variables est utilisée en deux versions. Première option : une nouvelle variable est introduite et utilisée dans une seule équation du système. C'est exactement ce qui s'est passé dans l'exemple 3. Deuxième option : deux nouvelles variables sont introduites et utilisées simultanément dans les deux équations du système. Ce sera le cas dans l'exemple 4.

Exemple 4. Résoudre un système d'équations

Introduisons deux nouvelles variables :

Prenons en compte cela alors

Cela vous permettra de réécrire le système donné sous une forme beaucoup plus simple, mais en respectant les nouvelles variables a et b :

Puisque a = 1, alors à partir de l'équation a + 6 = 2 on trouve : 1 + 6 = 2 ; 6=1. Ainsi, concernant les variables a et b, nous avons une solution :

En revenant aux variables x et y, on obtient un système d'équations

Appliquons la méthode d'addition algébrique pour résoudre ce système :

Depuis lors à partir de l’équation 2x + y = 3 on trouve :
Ainsi, concernant les variables x et y, nous avons une solution :

Concluons ce paragraphe par une discussion théorique brève mais assez sérieuse. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution de diverses équations : linéaires, quadratiques, rationnelles, irrationnelles. Vous savez que l'idée principale pour résoudre une équation est de passer progressivement d'une équation à une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée. Dans le paragraphe précédent, nous avons introduit la notion d'équivalence pour les équations à deux variables. Ce concept est également utilisé pour les systèmes d'équations.

Définition.

Deux systèmes d'équations avec des variables x et y sont dits équivalents s'ils ont les mêmes solutions ou si les deux systèmes n'ont pas de solutions.

Les trois méthodes (substitution, addition algébrique et introduction de nouvelles variables) dont nous avons parlé dans cette section sont absolument correctes du point de vue de l'équivalence. Autrement dit, grâce à ces méthodes, on remplace un système d’équations par un autre, plus simple, mais équivalent au système d’origine.

Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations

Nous avons déjà appris à résoudre des systèmes d'équations de manière aussi courante et fiable que la méthode de substitution, l'addition algébrique et l'introduction de nouvelles variables. Rappelons maintenant la méthode que vous avez déjà étudiée dans la leçon précédente. Autrement dit, répétons ce que vous savez sur la méthode de résolution graphique.

La méthode de résolution graphique de systèmes d'équations consiste à construire un graphique pour chacune des équations spécifiques qui sont incluses dans un système donné et sont situées dans le même plan de coordonnées, ainsi que là où il est nécessaire de trouver les intersections des points de ces graphiques. Pour résoudre ce système d'équations, il faut les coordonnées de ce point (x; y).

Il ne faut pas oublier qu'il est courant qu'un système graphique d'équations ait soit une seule solution correcte, soit un nombre infini de solutions, soit qu'il n'y ait aucune solution du tout.

Examinons maintenant chacune de ces solutions plus en détail. Ainsi, un système d’équations peut avoir une solution unique si les lignes qui constituent les graphiques des équations du système se croisent. Si ces droites sont parallèles, alors un tel système d’équations n’a absolument aucune solution. Si les graphiques directs des équations du système coïncident, alors un tel système permet de trouver de nombreuses solutions.

Eh bien, regardons maintenant l'algorithme pour résoudre un système de deux équations à 2 inconnues à l'aide d'une méthode graphique :

Tout d'abord, nous construisons d'abord un graphique de la 1ère équation ;
La deuxième étape consistera à construire un graphique relatif à la deuxième équation ;
Troisièmement, nous devons trouver les points d’intersection des graphiques.
Et en conséquence, nous obtenons les coordonnées de chaque point d'intersection, qui seront la solution du système d'équations.

Examinons cette méthode plus en détail à l'aide d'un exemple. On nous donne un système d'équations qu'il faut résoudre :

Résoudre des équations

1. Tout d’abord, nous allons construire un graphique de cette équation : x2+y2=9.

Mais il convient de noter que ce graphique des équations sera un cercle dont le centre est à l'origine et dont le rayon sera égal à trois.

2. Notre prochaine étape consistera à tracer graphiquement une équation telle que : y = x – 3.

Dans ce cas, il faut construire une droite et trouver les points (0;−3) et (3;0).

3. Voyons ce que nous avons. On voit que la droite coupe le cercle en deux de ses points A et B.

Nous recherchons maintenant les coordonnées de ces points. On voit que les coordonnées (3;0) correspondent au point A, et les coordonnées (0;−3) correspondent au point B.

Et qu’obtient-on en conséquence ?

Les nombres (3;0) et (0;−3) obtenus lorsque la droite coupe le cercle sont précisément les solutions des deux équations du système. Et il s'ensuit que ces nombres sont aussi des solutions à ce système d'équations.

Autrement dit, la réponse à cette solution est les nombres : (3;0) et (0;−3).

Nous connaissons déjà le concept d’équation linéaire à deux inconnues. Les équations peuvent être présentes dans un problème soit individuellement, soit dans plusieurs équations à la fois. Dans de tels cas, les équations sont combinées en un système d’équations.

Qu'est-ce qu'un système d'équations linéaires

Système d'équations- ce sont deux ou plusieurs équations pour lesquelles il faut trouver toutes leurs solutions communes. Habituellement, pour écrire un système d’équations, elles sont écrites dans une colonne et une accolade commune est dessinée. Un enregistrement du système d’équations linéaires est présenté ci-dessous.

( 4x + 3 ans = 6
( 2x + y = 4

Cette entrée signifie qu'un système de deux équations à deux variables est donné. S’il y avait trois équations dans le système, nous parlerions alors d’un système de trois équations. Et ainsi de suite pour n’importe quel nombre d’équations.

Si toutes les équations présentes dans un système sont linéaires, alors on dit qu'un système d'équations linéaires est donné. Dans l'exemple ci-dessus, un système de deux équations linéaires est présenté. Comme indiqué ci-dessus, le système peut avoir des solutions générales. Nous parlerons ci-dessous du terme « solution générale ».

Quelle est la solution ?

Une solution d'un système de deux équations à deux inconnues est une paire de nombres (x, y) tels que si l'on substitue ces nombres dans les équations du système, alors chacune des équations du système se transforme en une véritable égalité.

Par exemple, nous avons un système de deux équations linéaires. La solution de la première équation sera toutes les paires de nombres qui satisfont cette équation.

Pour la deuxième équation, la solution sera constituée de paires de nombres qui satisfont à cette équation. S’il existe une paire de nombres qui satisfait à la fois la première et la deuxième équation, alors cette paire de nombres sera la solution d’un système de deux équations linéaires à deux inconnues.

Solution graphique

Graphiquement, la solution d'une équation linéaire correspond à tous les points d'une certaine ligne sur le plan.

Pour un système d'équations linéaires, on aura plusieurs droites (selon le nombre d'équations). Et la solution du système d’équations sera le point où TOUTES les lignes se coupent. Si cela n’existe pas, le système n’aura aucune solution. Le point d'intersection de toutes les droites appartient à chacune de ces droites, c'est pourquoi la solution est dite générale.

Soit dit en passant, tracer des graphiques des équations d'un système et trouver leur point commun est l'un des moyens de résoudre un système d'équations. Cette méthode est dite graphique.

Autres façons de résoudre des équations linéaires

Il existe d'autres façons de résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux variables. Méthodes de base pour résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues.

Instructions

Méthode d'addition.
Vous devez en écrire deux strictement l'un en dessous de l'autre :

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dans une équation arbitrairement choisie (dans le système), insérez le nombre 11 à la place du « jeu » déjà trouvé et calculez la deuxième inconnue :

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
La réponse à ce système d'équations est x=116, y=11.

Méthode graphique.
Elle consiste à trouver pratiquement les coordonnées du point où les lignes sont écrites mathématiquement dans un système d'équations. Les graphiques des deux lignes doivent être tracés séparément dans le même système de coordonnées. Vue générale : – y=khx+b. Pour construire une droite, il suffit de trouver les coordonnées de deux points, et x est choisi arbitrairement.
Soit le système : 2x – y=4

Y=-3x+1.
Une ligne droite est construite à partir de la première, pour plus de commodité elle doit s'écrire : y=2x-4. Trouvez des valeurs (plus faciles) pour x, en les remplaçant dans l'équation, en les résolvant et en trouvant y. Nous obtenons deux points le long desquels une ligne droite est construite. (voir photo)
x0 1

y-4-2
Une ligne droite est construite à l'aide de la deuxième équation : y=-3x+1.
Construisez également une ligne droite. (voir photo)

et 1 -5
Trouvez les coordonnées du point d'intersection de deux lignes construites sur le graphique (si les lignes ne se coupent pas, alors le système d'équations n'a pas - donc).

Vidéo sur le sujet

Conseils utiles

Si vous résolvez le même système d’équations de trois manières différentes, la réponse sera la même (si la solution est correcte).

Sources :

• Algèbre de 8e année
• résoudre une équation à deux inconnues en ligne
• Exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires avec deux

Système équations est une collection d'enregistrements mathématiques, dont chacun contient un certain nombre de variables. Il existe plusieurs façons de les résoudre.

Vous aurez besoin

• -une règle et un crayon ;
• -calculatrice.

Instructions

Considérons la séquence de résolution du système, qui consiste en des équations linéaires ayant la forme : a1x + b1y = c1 et a2x + b2y = c2. Où x et y sont des variables inconnues et b,c sont des termes libres. Lors de l'application de cette méthode, chaque système représente les coordonnées des points correspondant à chaque équation. Pour commencer, dans chaque cas, exprimez une variable en fonction d’une autre. Définissez ensuite la variable x sur n'importe quel nombre de valeurs. Deux suffisent. Remplacez dans l’équation et trouvez y. Construisez un système de coordonnées, marquez les points résultants dessus et tracez une ligne à travers eux. Des calculs similaires doivent être effectués pour d’autres parties du système.

Le système a une solution unique si les lignes construites se croisent et ont un point commun. Ils sont incompatibles s'ils sont parallèles les uns aux autres. Et il existe une infinité de solutions lorsque les lignes se confondent.

Cette méthode est considérée comme très visuelle. Le principal inconvénient est que les inconnues calculées ont des valeurs approximatives. Des résultats plus précis sont fournis par les méthodes dites algébriques.

Toute solution à un système d’équations mérite d’être vérifiée. Pour ce faire, remplacez les valeurs obtenues par les variables. Vous pouvez également trouver sa solution en utilisant plusieurs méthodes. Si la solution du système est correcte, alors tout le monde devrait avoir le même résultat.

Il existe souvent des équations dans lesquelles l’un des termes est inconnu. Pour résoudre une équation, vous devez vous souvenir et effectuer un certain ensemble d'actions avec ces nombres.

Vous aurez besoin

• - une feuille de papier ;
• - un stylo ou un crayon.

Instructions

Imaginez qu'il y a 8 lapins devant vous et que vous n'avez que 5 carottes. Pensez-y, vous devez encore acheter plus de carottes pour que chaque lapin en reçoive une.

Présentons ce problème sous la forme d'une équation : 5 + x = 8. Remplaçons le nombre 3 à la place de x En effet, 5 + 3 = 8.

Lorsque vous remplacez x par un nombre, vous faites la même chose que lorsque vous soustrayez 5 de 8. Donc, pour trouver inconnu terme, soustrayez le terme connu de la somme.

Disons que vous avez 20 lapins et seulement 5 carottes. Réparons-le. Une équation est une égalité qui n'est valable que pour certaines valeurs des lettres qu'elle contient. Les lettres dont il faut trouver la signification sont appelées . Écrivez une équation à une inconnue, appelez-la x. En résolvant notre problème du lapin, nous obtenons l’équation suivante : 5 + x = 20.

Trouvons la différence entre 20 et 5. Lors de la soustraction, le nombre auquel il est soustrait est celui qui est réduit. Le nombre soustrait s’appelle , et le résultat final s’appelle la différence. Donc, x = 20 – 5 ; x = 15. Vous devez acheter 15 carottes pour les lapins.

Vérifiez : 5 + 15 = 20. L'équation est résolue correctement. Bien entendu, lorsqu’il s’agit de cas aussi simples, une vérification n’est pas nécessaire. Cependant, lorsque vous avez des équations avec des nombres à trois, quatre chiffres, etc., vous devez absolument vérifier pour être absolument sûr du résultat de votre travail.

Vidéo sur le sujet

Conseils utiles

Pour trouver le menu inconnu, vous devez ajouter le sous-titre à la différence.

Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la fin du menu.

Astuce 4 : Comment résoudre un système de trois équations à trois inconnues

Un système de trois équations à trois inconnues peut ne pas avoir de solutions, malgré un nombre suffisant d'équations. Vous pouvez essayer de le résoudre en utilisant la méthode de substitution ou en utilisant la méthode de Cramer. La méthode de Cramer, en plus de résoudre le système, permet d'évaluer si le système est résoluble avant de trouver les valeurs des inconnues.

Instructions

La méthode de substitution consiste à passer séquentiellement d'une inconnue à travers deux autres et à substituer le résultat résultant dans les équations du système. Soit un système de trois équations sous forme générale :

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Exprimez x à partir de la première équation : x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - et remplacez-le dans les deuxième et troisième équations, puis exprimez y à partir de la deuxième équation et remplacez-le par la troisième. Vous obtiendrez une expression linéaire pour z grâce aux coefficients des équations du système. Maintenant, allez « en arrière » : remplacez z dans la deuxième équation et trouvez y, puis remplacez z et y dans la première et résolvez x. Le processus est généralement représenté sur la figure avant de trouver z. Écrire davantage sous forme générale sera trop fastidieux ; en pratique, en remplaçant , vous pouvez assez facilement trouver les trois inconnues.

La méthode de Cramer consiste à construire une matrice système et à calculer le déterminant de cette matrice, ainsi que trois autres matrices auxiliaires. La matrice système est composée de coefficients pour les termes inconnus des équations. Une colonne contenant les nombres des membres droits des équations, une colonne des membres droits. Il n’est pas utilisé dans le système, mais est utilisé lors de la résolution du système.

Vidéo sur le sujet

Veuillez noter

Toutes les équations du système doivent fournir des informations supplémentaires indépendantes des autres équations. Autrement, le système sera sous-déterminé et il ne sera pas possible de trouver une solution univoque.

Conseils utiles

Après avoir résolu le système d'équations, remplacez les valeurs trouvées dans le système d'origine et vérifiez qu'elles satisfont à toutes les équations.

Par lui-même équation avec trois inconnu a de nombreuses solutions, il est donc le plus souvent complété par deux autres équations ou conditions. L'évolution de la décision dépendra en grande partie des données initiales.

Vous aurez besoin

• - un système de trois équations à trois inconnues.

Instructions

Si deux des trois systèmes n'ont que deux des trois inconnues, essayez d'exprimer certaines variables en fonction des autres et de les substituer dans équation avec trois inconnu. Votre objectif dans ce cas est de le transformer en normal équation avec un inconnu. Si tel est le cas, la solution supplémentaire est assez simple : remplacez la valeur trouvée dans d'autres équations et trouvez toutes les autres inconnues.

Certains systèmes d'équations peuvent être soustraits d'une équation par une autre. Voyez s'il est possible de multiplier une ou une variable pour que deux inconnues s'annulent à la fois. S'il existe une telle opportunité, profitez-en ; la solution ultérieure ne sera probablement pas difficile. N'oubliez pas que lorsque vous multipliez par un nombre, vous devez multiplier à la fois le côté gauche et le côté droit. De même, lorsque vous soustrayez des équations, vous devez vous rappeler que le membre de droite doit également être soustrait.

Si les méthodes précédentes ne vous ont pas aidé, utilisez la méthode générale de résolution d'équations à trois inconnu. Pour ce faire, réécrivez les équations sous la forme a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Créez maintenant une matrice de coefficients pour x (A), une matrice d'inconnues (X) et une matrice de variables libres (B). Attention, en multipliant la matrice des coefficients par la matrice des inconnues, vous obtiendrez une matrice de termes libres, c'est-à-dire A*X=B.

Trouvez la matrice A à la puissance (-1) en trouvant d'abord, notez qu'elle ne doit pas être égale à zéro. Après cela, multipliez la matrice résultante par la matrice B, vous obtiendrez ainsi la matrice X souhaitée, indiquant toutes les valeurs.

Vous pouvez également trouver une solution à un système de trois équations en utilisant la méthode de Cramer. Pour ce faire, trouvez le déterminant du troisième ordre ∆ correspondant à la matrice système. Trouvez ensuite successivement trois autres déterminants ∆1, ∆2 et ∆3, en substituant les valeurs des termes libres au lieu des valeurs des colonnes correspondantes. Trouvez maintenant x : x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sources :

• solutions aux équations à trois inconnues

Lorsque vous commencez à résoudre un système d’équations, déterminez de quel type d’équations il s’agit. Les méthodes de résolution d'équations linéaires ont été assez bien étudiées. Les équations non linéaires ne sont le plus souvent pas résolues. Il n'existe qu'un seul cas particulier, chacun étant pratiquement individuel. Par conséquent, l’étude des techniques de résolution doit commencer par des équations linéaires. De telles équations peuvent même être résolues de manière purement algorithmique.

Instructions

Commencez votre processus d'apprentissage en apprenant à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues X et Y par élimination. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Les coefficients des équations sont indiqués par des indices indiquant leurs emplacements. Ainsi, le coefficient a21 souligne le fait qu'il s'écrit en premier lieu dans la deuxième équation. Dans la notation généralement acceptée, le système est écrit par des équations situées les unes en dessous des autres et désignées conjointement par une accolade à droite ou à gauche (pour plus de détails, voir la Fig. 1a).

La numérotation des équations est arbitraire. Choisissez le plus simple, comme celui dans lequel l'une des variables est précédée d'un coefficient de 1 ou au moins d'un nombre entier. S'il s'agit de l'équation (1), exprimez en outre, disons, l'inconnue Y en termes de X (cas de l'exclusion de Y). Pour ce faire, transformez (1) sous la forme a12*Y=b1-a11*X (ou a11*X=b1-a12*Y en excluant X)), puis Y=(b1-a11*X)/a12 . En remplaçant ce dernier dans l'équation (2), écrivez a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Résolvez cette équation pour X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) ou X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
En utilisant la connexion trouvée entre Y et X, vous obtiendrez enfin la deuxième inconnue Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Si le système avait été spécifié avec des coefficients numériques spécifiques, les calculs auraient été moins fastidieux. Mais la solution générale permet de considérer le fait que les inconnues trouvées sont exactement les mêmes. Oui, et les numérateurs montrent certaines tendances dans leur construction. Si la dimension du système d’équations était supérieure à deux, alors la méthode d’élimination conduirait à des calculs très fastidieux. Pour les éviter, des solutions purement algorithmiques ont été développées. Le plus simple d'entre eux est l'algorithme de Cramer (formules de Cramer). Car vous devriez découvrir le système général d’équations de n équations.

Un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues a la forme (voir Fig. 1a). Dans celui-ci, aij sont les coefficients du système,
xj – inconnues, bi – termes libres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Un tel système peut être écrit de manière compacte sous forme matricielle AX=B. Ici A est la matrice des coefficients du système, X est la matrice colonne des inconnues, B est la matrice colonne des termes libres (voir Figure 1b). D'après la méthode de Cramer, chaque inconnue xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Le déterminant ∆ de la matrice des coefficients est appelé le principal, et ∆i l'auxiliaire. Pour chaque inconnue, le déterminant auxiliaire est trouvé en remplaçant la i-ème colonne du déterminant principal par une colonne de termes libres. La méthode Cramer pour le cas des systèmes du deuxième et du troisième ordre est présentée en détail dans la Fig. 2.

Le système est une combinaison de deux ou plusieurs égalités, chacune contenant deux ou plusieurs inconnues. Il existe deux manières principales de résoudre des systèmes d'équations linéaires utilisés dans le programme scolaire. L'une d'elles s'appelle la méthode, l'autre la méthode d'addition.

Forme standard d'un système de deux équations

Résoudre le système en utilisant la méthode d'addition

Par exemple, supposons qu’un système composé de deux équations soit donné. Le premier d’entre eux a la forme 2x+4y=8, le second a la forme 6x+2y=6. L'une des options pour accomplir la tâche consiste à multiplier la deuxième équation par un coefficient de -2, ce qui la conduira à la forme -12x-4y=-12. Le choix correct du coefficient est l'une des tâches clés du processus de résolution d'un système à l'aide de la méthode d'addition, car il détermine toute la suite de la procédure de recherche d'inconnues.

Il faut maintenant additionner les deux équations du système. Évidemment, la destruction mutuelle de variables de coefficients égaux en valeur mais de signe opposé conduira à la forme -10x=-4. Après cela, il faut résoudre cette équation simple, d'où il résulte clairement que x = 0,4.

La dernière étape du processus de résolution consiste à remplacer la valeur trouvée de l'une des variables par l'une des égalités originales disponibles dans le système. Par exemple, en remplaçant x=0,4 dans la première équation, vous pouvez obtenir l’expression 2*0,4+4y=8, à partir de laquelle y=1,8. Ainsi, x=0,4 et y=1,8 sont les racines du système exemple.

Afin de s'assurer que les racines ont été trouvées correctement, il est utile de vérifier en substituant les valeurs trouvées dans la deuxième équation du système. Par exemple, dans ce cas, nous obtenons une égalité de la forme 0,4*6+1,8*2=6, ce qui est vrai.

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Une équation linéaire à deux variables a la forme générale ax + by + c = 0. Dans celle-ci, a, b et c sont des coefficients - des nombres ; et x et y sont des variables – des nombres inconnus qui doivent être trouvés.

La solution d'une équation linéaire à deux variables est une paire de nombres x et y, pour lesquels ax + by + c = 0 est une vraie égalité.

Une équation linéaire donnée à deux variables (par exemple, 3x + 2y – 1 = 0) possède un ensemble de solutions, c'est-à-dire un ensemble de paires de nombres pour lesquelles l'équation est vraie. Une équation linéaire à deux variables est transformée en une fonction linéaire de la forme y = kx + m, qui est une ligne droite sur le plan de coordonnées. Les coordonnées de tous les points situés sur cette droite sont des solutions d'une équation linéaire à deux variables.

Si deux équations linéaires de la forme ax + by + c = 0 sont données et qu'il faut trouver des valeurs de x et y pour lesquelles toutes deux auront des solutions, alors on dit qu'il faut résoudre un système d'équations. Un système d’équations est écrit sous une accolade commune. Exemple:

Un système d’équations ne peut avoir aucune solution si les droites qui sont les graphiques des fonctions linéaires correspondantes ne se coupent pas (c’est-à-dire parallèles les unes aux autres). Pour conclure qu'il n'y a pas de solution, il suffit de transformer les deux équations linéaires à deux variables sous la forme y = kx + m. Si k est le même nombre dans les deux équations, alors le système n’a pas de solution.

Si un système d'équations s'avère être constitué de deux équations identiques (ce qui peut ne pas être évident immédiatement, mais après transformations), alors il a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, nous parlons d'incertitude.

Dans tous les autres cas, le système propose une solution. Cette conclusion peut être tirée du fait que deux lignes non parallèles ne peuvent se couper qu’en un seul point. C'est ce point d'intersection qui se trouvera à la fois sur la première ligne et sur la seconde, c'est-à-dire qu'il sera une solution à la fois à la première équation et à la seconde. C’est donc une solution à un système d’équations. Cependant, il est nécessaire de prévoir des situations dans lesquelles certaines restrictions sont imposées sur les valeurs de x et y (généralement en fonction des conditions du problème). Par exemple, x > 0, y > 0. Dans ce cas, même si le système d'équations a une solution, mais qu'il ne satisfait pas la condition, alors on conclut que le système d'équations n'a pas de solution dans les conditions données.

Il existe trois manières de résoudre un système d’équations :

1. Par méthode de sélection. Le plus souvent, cela est très difficile à réaliser.
2. Méthode graphique. Lorsque deux lignes droites (graphiques des fonctions des équations correspondantes) sont tracées sur le plan de coordonnées et que leur point d'intersection est trouvé. Cette méthode peut ne pas donner de résultats précis si les coordonnées du point d'intersection sont des nombres fractionnaires.
3. Méthodes algébriques. Ils sont polyvalents et fiables.