Considérez le lien entre le personnage fonction de corrélation et la structure du processus aléatoire correspondant.

Nous utiliserons le concept de « spectre », largement utilisé non seulement dans la théorie des fonctions aléatoires, mais aussi en physique et en technologie. Si un processus oscillatoire est représenté comme une somme d’oscillations harmoniques de différentes fréquences (appelées « harmoniques »), alors le spectre processus oscillatoire appelée fonction qui décrit la distribution des amplitudes à différentes fréquences. Le spectre montre quel type d'oscillations prédominent dans un processus donné, quelle en est la nature. structure interne. Nous introduirons la description spectrale d’un processus aléatoire stationnaire de manière similaire.

Tout d’abord, considérons une fonction aléatoire stationnaire observée sur un intervalle fini (0, T). Soit la fonction de corrélation fonction aléatoire X(t)

Kx(t, t + τ ) = k x(τ ).

Nous savons que k x(τ ) est une fonction paire, donc son graphique est symétrique par rapport à l'axe 0Y courbe.

Lors du changement t 1 et t 2 de 0 à T argument τ varie de – Tà T.

On sait qu’une fonction paire sur l’intervalle (– T, T) peut être étendu en une série de Fourier en utilisant uniquement des harmoniques paires (cosinus) :

k x(τ ) = ,

ωk= kω 1 , ω 1 = ,

et les coefficients Ne sait pas déterminé par des formules

D 0 = ,

Ne sait pas = à k ≠ 0.

Considérant que les fonctions k x(τ ) et parce que ωk(τ ) sont pairs, vous pouvez transformer les expressions des coefficients comme suit :

Ne sait pas = à k ≠ 0.

On peut montrer que dans une telle notation, une fonction aléatoire peut être représentée comme une expansion canonique :

= , (2)

Où Royaume-Uni, VK– variables aléatoires non corrélées avec attentes mathématiques, égal à zéro, et des variances identiques pour chaque paire variables aléatoires avec le même indice k: D(Royaume-Uni) = D(VK) =Ne sait pas, et les écarts Ne sait pas sont déterminés par les formules (1).

L’expansion (2) est appelée décomposition spectrale fonction aléatoire stationnaire.

Décomposition spectrale représente une fonction aléatoire stationnaire décomposée en oscillations harmoniques de différentes fréquences ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, et les amplitudes de ces oscillations sont des variables aléatoires.

La variance de la fonction aléatoire donnée par la décomposition spectrale (2) est déterminée par la formule

Dx = = = , (3)

ceux. la variance d'une fonction aléatoire stationnaire est égale à la somme des variances de toutes les harmoniques de sa décomposition spectrale.

La formule (3) montre que la variance de la fonction est répartie de manière connue sur différentes fréquences : une fréquence correspond à b Ôécarts plus importants, autres – m e les plus petits. La distribution de fréquence des dispersions peut être illustrée graphiquement sous la forme de ce que l'on appelle spectre de dispersion . Pour ce faire, les fréquences sont portées selon l'axe des abscisses. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, et le long de l’axe des ordonnées – les dispersions correspondantes.

Évidemment, la somme de toutes les ordonnées du spectre ainsi construit est égale à la variance de la fonction aléatoire.

Il est clair que plus la période de temps considérée lors de la construction de la décomposition spectrale est longue, plus nos informations sur la fonction aléatoire seront complètes. Il est donc naturel d’essayer dans la décomposition spectrale d’essayer d’aller jusqu’à la limite à T→ ∞, et voyez en quoi se transforme le spectre de la fonction aléatoire. À T → ∞ ω 1 = , donc les distances entre fréquences ωk, diminuera indéfiniment. Dans ce cas, le spectre discret se rapprochera d'un spectre continu, dans lequel à chaque intervalle de fréquence arbitrairement petit correspondra une dispersion élémentaire.

Représentons graphiquement le spectre continu. Pour ce faire, nous tracerons sur l'axe des ordonnées et non la dispersion elle-même Ne sait pas, UN densité de dispersion moyenne, c'est-à-dire dispersion par unité de longueur d’un intervalle de fréquence donné. Notons la distance entre les fréquences adjacentes ∆ω , et sur chaque segment ∆ω , comme sur la base, nous allons construire un rectangle d'aire Ne sait pas. Nous obtenons un diagramme en étapes qui ressemble en principe à un histogramme d'une distribution statistique.

Cette courbe représente la densité de distribution des dispersions sur les fréquences d'un spectre continu et la fonction elle-même. Sexe(ω ) est appelée densité de dispersion spectrale ou densité spectrale fonction aléatoire stationnaire.

Évidemment, l'aire délimitée par la courbe Sexe(ω ), doit toujours être égal à la variance Dx fonction aléatoire :

Dx = . (4).

La formule (4) est le développement de la variance Dx pour la somme des termes élémentaires Sexe(ω )dω, dont chacun représente la dispersion par plage de fréquence élémentaire dω, adjacent au point ω .

Ainsi, une nouvelle caractéristique supplémentaire d'un processus aléatoire stationnaire a été introduite : la densité spectrale, qui décrit la composition fréquentielle processus stationnaire. Cependant, il n’est pas indépendant : il est entièrement déterminé par la fonction de corrélation. ce processus. Formule correspondante, provenant du développement de la fonction de corrélation k x(τ ) en une série de Fourier sur un intervalle fini, ressemble à ceci :

Sexe(ω ) = . (5)

Dans ce cas, la fonction de corrélation elle-même peut également être exprimée par densité spectrale:

k x(τ ) = . (6)

Les formules comme (5) et (6), reliant mutuellement deux fonctions, sont appelées transformées de Fourier.

Notez qu'à partir de formule générale(6) à τ = 0, la décomposition de variance obtenue précédemment (4) est obtenue.

En pratique, au lieu de densité spectrale Sexe(ω ) utilisent souvent une densité spectrale normalisée :

s x(ω ) = ,

Où Dx est la variance de la fonction aléatoire.

Il est facile de vérifier que la fonction de corrélation normalisée ρ X( τ ) et densité spectrale normalisée s x(ω ) sont liés par des transformées de Fourier :

ρ X( τ ) = ,

s x(ω ) = .

En supposant dans la première de ces égalités τ = 0 et étant donné que ρ x (0) = 1, on a

ceux. superficie totale, limité par le calendrier la densité spectrale normalisée est égale à 1.

§ 7. Propriété ergodique des fonctions aléatoires stationnaires.

Considérons une fonction aléatoire stationnaire X(t) et supposons qu'il soit nécessaire d'estimer ses caractéristiques : espérance mathématique m x et fonction de corrélation k x(τ ). Ces caractéristiques, ou plutôt leurs estimations, et, comme déjà mentionné, peuvent être obtenues par expérience, ayant numéro connu implémentations de fonctions aléatoires X(t). En raison du nombre limité d'observations, la fonction ne sera pas strictement constante ; elle devra être moyennée et remplacée par une constante ; de même, en faisant la moyenne des valeurs pour différents τ = t 2 – t 1, on obtient la fonction de corrélation.

Cette méthode de traitement est évidemment assez complexe et lourde et comprend par ailleurs deux étapes : une détermination approximative des caractéristiques d'une fonction aléatoire et également une moyenne approximative de ces caractéristiques. La question se pose naturellement : est-il possible pour une fonction aléatoire stationnaire de remplacer ce processus par un processus plus simple, qui repose à l'avance sur l'hypothèse que l'espérance mathématique ne dépend pas du temps et que la fonction de corrélation ne dépend pas de l'origine .

De plus, la question se pose : lors du traitement des observations d’une fonction aléatoire stationnaire, est-il indispensable d’avoir plusieurs implémentations ? Puisque le processus aléatoire est stationnaire et se déroule uniformément dans le temps, il est naturel de supposer que une et unique mise en œuvre d'une durée suffisante peut servir de matériau suffisant pour obtenir les caractéristiques d'une fonction aléatoire.

Il s'est avéré qu'une telle opportunité existe, mais pas pour tout le monde processus aléatoires. Par exemple, considérons deux fonctions aléatoires stationnaires, représentées par un ensemble de leurs implémentations.

		Figure 1		Figure 2

Pour une fonction aléatoire X 1 (t) (Fig. 1) se caractérise par la particularité suivante : chacune de ses implémentations a le même traits caractéristiques: la valeur moyenne autour de laquelle se produisent les oscillations et l'étendue moyenne de ces oscillations. Choisissons arbitrairement l'une de ces réalisations et poursuivons mentalement l'expérience grâce à laquelle elle a été obtenue pendant un certain temps. T. Évidemment, pour une taille suffisamment grande T cette seule implémentation peut nous en donner assez bon spectacle sur les propriétés d'une fonction aléatoire dans son ensemble. En particulier, en faisant la moyenne des valeurs de cette implémentation le long de l'axe des x - au fil du temps, nous devons obtenir une valeur approximative de l'espérance mathématique d'une fonction aléatoire ; En faisant la moyenne des carrés des écarts par rapport à cette moyenne, on devrait obtenir une valeur approximative de la variance, etc.

On dit qu’une telle fonction a propriété ergodique . La propriété ergodique est que chaque implémentation individuelle d'une fonction aléatoire est, pour ainsi dire, un « représentant autorisé » de l'ensemble des implémentations possibles.

Si l'on considère la fonction X 2 (t) (Fig. 2), alors il est évident que pour chaque implémentation la valeur moyenne est différente et significativement différente des autres. Par conséquent, si vous construisez une valeur moyenne unique pour toutes les implémentations, elle différera considérablement de chaque implémentation individuelle.

Si la fonction aléatoire X(t) a la propriété ergodique, alors pour cela moyenne temporelle(sur une zone d'observation assez large) approximativement égal à la moyenne sur un ensemble d’observations. Il en sera de même pour X 2 (t), X(t)X(t+τ), etc. En particulier, pour une taille suffisamment grande T espérance mathématique m x peut être calculé à l'aide de la formule

. (1)

Dans cette formule, par souci de simplicité, le signe ~ est omis lors de la caractérisation d'une fonction aléatoire, ce qui signifie qu'il ne s'agit pas des caractéristiques elles-mêmes, mais de leurs estimations.

De même, on peut trouver la fonction de corrélation k x(τ ) pour tout τ . Parce que

k x(τ ) = ,

puis calculer cette valeur pour un temps donné τ , nous obtenons

k x(τ ) ≈ , (2)

Où - une mise en œuvre centrée. Après avoir calculé l'intégrale (2) pour un certain nombre de valeurs τ , il est possible de reproduire approximativement le déroulement de la fonction de corrélation point par point.

En pratique, les intégrales ci-dessus sont généralement remplacées par montants finis. Cela se fait comme suit. Divisons l'intervalle d'enregistrement de la fonction aléatoire en n parties égales de longueur ∆ t, et désignent les milieux des sections résultantes t 1 , t 2 , …, tn.

Représentons l'intégrale (1) comme la somme des intégrales sur les sections élémentaires ∆ t et sur chacun d'eux nous dériverons la fonction x(t) sous le signe intégral par la valeur moyenne correspondant au centre de l'intervalle - x(je). On obtient environ

mx = = /

De même, vous pouvez calculer la fonction de corrélation pour les valeurs τ , égal à 0, ∆ t, 2∆t, ... Donnons, par exemple, la valeur τ signification

τ = 2∆t = .

Calculons l'intégrale (2) en divisant l'intervalle d'intégration

T - τ = =

sur n – m sections égales de longueur ∆ t et retirer la fonction du signe intégral sur chacun d'eux par la valeur moyenne. Nous obtenons

.

La fonction de corrélation est calculée à l'aide de la formule donnée pour m= 0, 1, 2,…. Constamment à la hauteur de ces valeurs m, auquel la fonction de corrélation devient presque égale à zéro ou commence à faire de petites fluctuations irrégulières autour de zéro. Déménagement général fonctions k x(τ ) est reproduit à certains endroits.

Pour que les caractéristiques soient déterminées avec une précision satisfaisante, il est nécessaire que le nombre de points nétait assez important (environ 100, et dans certains cas plus). Choisir la longueur de la section élémentaire ∆ t est déterminé par la nature de l'évolution de la fonction aléatoire : si elle évolue de manière relativement douce, la section ∆ t vous pouvez choisir plus que lorsqu'il subit des fluctuations brusques et fréquentes. A titre indicatif, il peut être recommandé de choisir une section élémentaire afin que période complète l'harmonique de fréquence la plus élevée dans la fonction aléatoire représentait environ 5 à 10 points de référence.

Solution tâches typiques

1. a) Fonction aléatoire X(t) = (t 3 + 1)U, Où U– une variable aléatoire dont les valeurs appartiennent à l'intervalle (0 ; 10). Rechercher des implémentations de fonctions X(t) dans deux tests dans lesquels la valeur U pris des valeurs toi 1 = 2, toi 2 = 3.

Solution. Depuis l'implémentation de la fonction aléatoire X(t) est appelée une fonction d'argument non aléatoire t, alors pour ces valeurs de quantité U les implémentations correspondantes de la fonction aléatoire seront

x 1 (t) = 2(t 3 + 1), x 2 (t) = 3(t 3 + 1).

b) Fonction aléatoire X(t) = U péché t, Où U– variable aléatoire.

Rechercher des rubriques X(t), correspondant à des valeurs d'argument fixes t 1 = , t 2 = .

Solution. Puisque la section efficace de la fonction aléatoire X(t) est une variable aléatoire correspondant à une valeur fixe de l'argument, alors pour des valeurs données de l'argument les sections efficaces correspondantes seront

X 1 = U· = , X 2 = U· = U.

2. Trouver l'espérance mathématique d'une fonction aléatoire X(t) = U· ℮t, Où U M(U) = 5.

Solution. Rappelons que espérance mathématique fonction aléatoire X(t) est appelée une fonction non aléatoire m x(t) = M[X(t)], qui pour chaque valeur de l'argument t est égal à l'espérance mathématique de la section correspondante de la fonction aléatoire. Ainsi

m x(t) = M[X(t)] = M[U· ℮t].

m x(t) =M[U· ℮t] = ℮ t M(U) = 5℮t.

3. Trouver l'espérance mathématique d'une fonction aléatoire a) X(t) = Utah 2 +2t+1 ; b) X(t) = U péché4 t + V · cos4 t, Où U Et V sont des variables aléatoires, et M(U) = M(V) = 1.

Solution. En utilisant les propriétés de m.o. fonction aléatoire, nous avons

UN) m x(t) = M(Utah 2 +2t+1) = M(Utah 2) +M(2t) + M(1) = M(U)t 2 +2t+1 = t 2 +2t+1.

b) m x(t) = M(U péché4 t + V · cos4 t) = M(U péché4 t) + M(V · cos4 t) = M(U)· péché4 t + M(V)· cos4 t= péché4 t+cos4 t.

4. La fonction de corrélation est connue Kx fonction aléatoire X(t). Trouver la fonction de corrélation d'une fonction aléatoire Oui(t) = X(t) + t 2, en utilisant les définitions de m.o. et fonction de corrélation.

Solution. Trouvons m.o. fonction aléatoire Oui(t):

mon(t) = M[Oui(t)] = M[X(t) + t 2 ] = M[X(t)] + t 2 = m x(t) + t 2 .

Trouvons la fonction centrée

= Oui(t) - mon(t) = [X(t) + t 2 ] – [m x(t) + t 2 ] = X(t) –m x(t) = .

K y = = = Kx.

5. La fonction de corrélation est connue Kx fonction aléatoire X(t). Trouver la fonction de corrélation de la fonction aléatoire a) Oui(t)=X(t)·( t+1); b) Z(t)=C· X(t), Où AVEC- constante.

Solution. a) Trouvons le m.o. fonction aléatoire Oui(t):

mon(t) = M[Oui(t)] = M[X(t) · ( t+1)] = (t+1) · M[X(t)].

Trouvons la fonction centrée

=Oui(t)-mon(t)=X(t)·( t+1) - (t+1)· M[X(t)] = (t+1)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+1)· .

Trouvons maintenant la fonction de corrélation

K y = = = (t 1 +1)(t 2 +1)Kx.

b) Comme dans le cas a), il peut être prouvé que

K y = AVEC 2 Kx.

6. L'écart est connu Dx(t) fonction aléatoire X(t Oui(t) =X(t)+2.

Solution. L'ajout d'un terme non aléatoire à une fonction aléatoire ne modifie pas la fonction de corrélation :

K y(t 1 , t 2) = Kx(t 1 , t 2).

Nous savons que Kx(t, t) = Dx(t), c'est pourquoi

D(t) = K y(t, t) = Kx(t, t) = Dx(t).

7. L'écart est connu Dx(t) fonction aléatoire X(t). Trouver la variance d'une fonction aléatoire Oui(t) = (t+3) · X(t).

Solution. Trouvons m.o. fonction aléatoire Oui(t):

mon(t) = M[Oui(t)] = M[X(t) · ( t+3)] = (t+3) · M[X(t)].

Trouvons la fonction centrée

=Oui(t)-mon(t)=X(t)·( t+3) - (t+3)· M[X(t)] = (t+3)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+3)· .

Trouvons la fonction de corrélation

K y = = = (t 1 +3)(t 2 +3)Kx.

Maintenant trouvons la variance

D(t) = K y(t, t) = (t+3)(t+3)Kx(t, t) = (t+3) 2 Dx(t).

8. Étant donné une fonction aléatoire X(t) = U cos2 t, Où U est une variable aléatoire, et M(U) = 5, D(U) = 6. Trouvez l'espérance mathématique, la fonction de corrélation et la variance de la fonction aléatoire X(t).

Solution. Trouvons l'espérance mathématique requise en retirant le facteur non aléatoire cos2 t pour le signe m.o. :

M[X(t)] = M[U cos2 t] = cos2 t·M(U) = 5cos2 t.

Trouvons la fonction centrée :

= X(t) - m x(t) = U cos2 t- 5cos2 t = (U – 5) cos2 t.

Trouvons la fonction de corrélation souhaitée :

Kx(t 1 , t 2) = = M{[(U- 5)· cos2 t 1 ] [(U- 5)· cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M(U- 5) 2 .

De plus, en tenant compte du fait que pour une variable aléatoire U la variance par définition est égale à D(U) = M[(U-M((U)] 2 = M((U- 5) 2 , on obtient ça M((U- 5) 2 = 6. Par conséquent, pour la fonction de corrélation nous avons finalement

Kx(t 1 , t 2) = 6cos2 t 1 cos2 t 2 .

Trouvons maintenant la dispersion recherchée, pour laquelle nous mettons t 1 = t 2 = t:

Dx(t) = Kx(t, t) = 6cos 2 2 t.

9. La fonction de corrélation est donnée Kx(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Trouvez la fonction de corrélation normalisée.

Solution. Par définition, la fonction de corrélation normalisée

ρx(t 1 , t 2) = = = .

Le signe de l'expression résultante dépend du fait que les arguments ont ou non t 1 et t 2 signes identiques ou différent. Le dénominateur est toujours positif, on a donc finalement

ρx(t 1 , t 2) =

10. L'espérance mathématique est donnée m x(t) = t 2 + 4 fonctions aléatoires X(t). Trouver l'espérance mathématique d'une fonction aléatoire Oui(t) = TX´( t) + t 2 .

Solution. L'espérance mathématique de la dérivée d'une fonction aléatoire est égale à la dérivée de son espérance mathématique. C'est pourquoi

mon(t) = M(Oui(t)) = M(TX´( t) + t 2) = M(TX´( t)) + M(t 2) =

= t∙M(X´( t)) + t 2 = t∙(m x(t))´ + t 2 = t∙(t 2 + 4)´ + t 2 = 3t 2 .

11. La fonction de corrélation est donnée Kx= fonction aléatoire X(t). Trouvez la fonction de corrélation à partir de sa dérivée.

Solution. Pour trouver la fonction de corrélation de la dérivée, vous devez différencier deux fois la fonction de corrélation de la fonction aléatoire d'origine, d'abord par rapport à un argument, puis par rapport à l'autre.

= .

+ =

= .

12. Fonction aléatoire donnée X(t) = U℮3 tonnes cos2 t, Où U est une variable aléatoire, et M(U) = 4, D(U) = 1. Trouvez l'espérance mathématique et la fonction de corrélation de sa dérivée.

Solution. m x(t) = M(X(t)) = M(U℮3 tonnes cos2 t) = M(U)℮3 tonnes cos2 t = 4℮3 tonnes cos2 t.

M(X(t)) = (m x(t))´ = 4(3℮ 3 tonnes cos2 t – 2℮3 tonnes péché2 t) = 4℮3 tonnes(3cos2 t– 2péché2 t).

Trouvons la fonction de corrélation de la fonction aléatoire d'origine. La fonction aléatoire centrée est

= X(t) - m x(t) = U℮3 tonnes cos2 t- 4℮3 tonnes cos2 t = (U – 4)℮3 tonnes cos2 t.

Kx(t 1 , t 2) = = M{[(U- 4) cos2 t 1 ] [(U- 4) cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M((U- 4) 2)= cos2 t 1 cos2 t 2 D(U)=cos2 t 1 cos2 t 2 .

Trouvons la dérivée partielle de la fonction de corrélation par rapport au premier argument

Cos2 t 2 =

Cos2 t 2 (3cos2 t 1 – 2péché2 t 1).

Trouvons la dérivée seconde mixte de la fonction de corrélation

= (3cos2 t 1 – 2péché2 t 1) =

= (3cos2 t 1 – 2péché2 t 1) (3cos2 t 2 – 2péché2 t 2).

13. Fonction aléatoire donnée X(t), ayant une espérance mathématique

m x(t) = 3t 2 + 1. Trouver l'espérance mathématique d'une fonction aléatoire Oui(t)= .

Solution. L'espérance mathématique requise

mon(t) = = = t 2 + t.

14. Trouver l'espérance mathématique de l'intégrale Oui(t)= , connaissant l'espérance mathématique de la fonction aléatoire X(t):

UN) m x(t) = t–cos2 t; b) m x(t) = 4cos 2 t.

Solution. UN) mon(t) = = = .

b) mon(t) = = = = + =

2t+ péché2 t.

15. Fonction aléatoire donnée X(t) = U℮2t cos3 t, Où U est une variable aléatoire, et M(U) = 5. Trouver l'espérance mathématique de l'intégrale Oui(t)= .

Solution. Tout d’abord, trouvons l’espérance mathématique de la fonction aléatoire elle-même.

m x(t) = M(U℮2t cos3 t) = M(U)℮2t cos3 t = 5℮2t cos3 t.

mon(t) = = 5 = =

= ℮2t péché3 t - = =

= ℮2t péché3 t – =

= ℮2t péché3 t + ℮2t cos3 t – .

Nous avons obtenu une intégrale circulaire, donc

5 + = ℮2t péché3 t + ℮2t cos3 t.

ou = ℮2t( péché3 t+cos3 t).

Enfin mon(t) = ℮2t( péché3 t+cos3 t).

16. Trouver l'espérance mathématique de l'intégrale Oui(t) = , connaissant la fonction aléatoire X(t) =U℮3 tonnes péché t, Où U est une variable aléatoire, et M(U)=2.

Solution. Trouvons l'espérance mathématique de la fonction aléatoire elle-même.

m x(t) = M(U℮3t péché t) = M(U)℮3t péché t = 2℮3t péché t.

mon(t) = = 2 = =

= – 2℮3t parce que t + = =

= – 2℮3t parce que t + ℮3t péché t – .

Nous avons = – ℮3t parce que t + ℮3t péché t.

Enfin mon(t) = – ℮2t parce que t + ℮2t péché t.

17. Fonction aléatoire donnée X(t), ayant une fonction de corrélation

Kx(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Trouver la fonction de corrélation de l'intégrale Oui(t)= .

Solution. On trouve d’abord la fonction de corrélation de l’intégrale, qui est égale à double intégraleà partir d’une fonction de corrélation donnée. Ainsi,

K y(t 1 , t 2) = = = = .

Alors la variance Dy(t) = K y(t, t) = .

18. La fonction de corrélation est donnée Kx(t 1 , t 2) = fonction aléatoire X(t). Trouver la variance de l'intégrale Oui(t)= .

Solution. Trouvons la fonction de corrélation de l'intégrale

K y(t 1 , t 2) = = =

= = .

Alors la variance

Dy(t) = K y(t, t) = .

19. Trouver la variance de l'intégrale Oui(t) = , connaissant la fonction de corrélation de la fonction aléatoire X(t):

UN) Kx(t 1 ,t 2) = ; b) Kx(t 1 , t 2) = .

Solution. UN) K y(t 1 , t 2) = = .

Construire l'expansion spectrale d'une fonction aléatoire stationnaire

X(t) dans une période de temps finie (Oh, T), nous avons obtenu le spectre des variances d'une fonction aléatoire sous la forme d'une série de raies distinctes individuelles séparées par des intervalles égaux (spectre dit « discontinu » ou « raie »).

Évidemment, plus la période considérée est longue, plus nos informations sur la fonction aléatoire seront complètes. Il est donc naturel de chercher à aller jusqu'à la limite dans la décomposition spectrale à T-> oo et vois ce que devient le spectre

fonction aléatoire. Avec donc des distances

entre les fréquences des ods sur lesquelles le spectre est construit sera à T-> oo diminuer indéfiniment. Dans ce cas, le spectre discret se rapprochera d'un spectre continu, dans lequel à chaque intervalle de fréquence arbitrairement petit Aco correspondra une dispersion élémentaire ADco.

Essayons de représenter graphiquement un spectre continu. Pour ce faire, il faut réarranger légèrement le graphique du spectre discret à fini T.À savoir, nous tracerons sur l’axe des ordonnées et non la dispersion elle-même Ne sait pas(qui diminue infiniment avec T-"ooo), et densité de dispersion moyenne, ceux. dispersion par unité de longueur d’un intervalle de fréquence donné. Notons la distance entre fréquences adjacentes ACO :

et sur chaque segment Aso comme base on construit un rectangle d'aire D k ( riz. 17.3.1). On obtient un diagramme en étapes qui s'apparente au principe de construction d'un histogramme d'une distribution statistique.

La hauteur du diagramme dans la section Aco adjacente au point sod est égale à.

Riz. 17.3.1

et représente la densité de dispersion moyenne dans cette zone. L'aire totale de l'ensemble du diagramme est évidemment égale à la variance de la fonction aléatoire.

Nous augmenterons l'intervalle indéfiniment T. Dans ce cas, Du -> O, et la courbe en escalier se rapprochera indéfiniment de la courbe lisse S x (с) (Fig. 17.3.2). Cette courbe représente la densité de distribution des dispersions sur les fréquences d'un spectre continu, et la fonction D x.(a>) elle-même est appelée densité de dispersion spectrale, ou, en bref, densité spectrale fonction aléatoire stationnaire X(t).

Riz. 17.3.2

Évidemment, l'aire délimitée par la courbe D g (co) doit encore être égale à la dispersion Dx fonction aléatoire X(t):

La formule (17.3.2) n'est rien d'autre que l'expansion de la variance Dx par la somme des termes élémentaires L'Dso) s/co dont chacun représente la dispersion par plage de fréquence élémentaire déco, adjacent au point с (Fig. 17.3.2).

Ainsi, nous avons pris en compte une nouvelle caractéristique supplémentaire d’un processus aléatoire stationnaire : la densité spectrale, qui décrit la composition fréquentielle du processus stationnaire. Cependant, cette caractéristique n’est pas indépendante ; il est entièrement déterminé par la fonction de corrélation de ce processus. Tout comme les ordonnées d'un spectre discret Ne sait pas sont exprimés par les formules (17.2.4) via la fonction de corrélation kx ( t), densité spectrale Sx(a) peut également être exprimé par une fonction de corrélation.

Dérivons cette expression. Pour ce faire, allons à expansion canonique fonction de corrélation à la limite à T-> oh et voyons ce que ça donne. Nous partirons du développement (17.2.1) de la fonction de corrélation en une série de Fourier sur un intervalle fini (-T, 7):

où la dispersion correspondant à la fréquence w/( est exprimée par la formule

Avant de passer à la limite comme Г -> oo, passons dans la formule (17.3.3) de la dispersion Ne sait pasà la densité de dispersion moyenne

Puisque cette densité est calculée même à valeur finale T et dépend de T, Notons-le :

En divisant l'expression (17.3.4) par on obtient :

De (17.3.5) il résulte que

Remplaçons l'expression (17.3.7) par la formule (17.3.3) ; on obtient :

Voyons en quoi l'expression (17.3.8) se transforme lorsque T-> ouh. Évidemment, dans ce cas Aso -> 0; l'argument discret ω/(se transforme en un argument ω en constante évolution ; la somme se transforme en intégrale sur la variable ω ; densité moyenneécarts S X T) ( avec A.) tend vers la densité de dispersion A L.(ω), et l'expression (17.3.8) à la limite prend la forme :

Où S x (с) -densité spectrale d'une fonction aléatoire stationnaire.

En passant à la limite comme Γ -> oo dans la formule (17.3.6), on obtient une expression de la densité spectrale grâce à la fonction de corrélation :

Une expression comme (17.3.9) est connue en mathématiques sous le nom Intégrale de Fourier. L'intégrale de Fourier est une généralisation du développement en série de Fourier pour le cas d'une fonction non périodique considérée sur un intervalle infini, et représente le développement de la fonction en la somme des oscillations harmoniques élémentaires à spectre continu 1.

Tout comme la série de Fourier exprime la fonction expansible à travers les coefficients de la série, qui à leur tour sont exprimés à travers la fonction expansible, les formules (17.3.9) et (17.3.10) expriment les fonctions kx ( m) et A x (k>) sont mutuels : l'un par l'autre. La formule (17.3.9) exprime la fonction de corrélation en termes de densité spectrale ; formule

(17.3.10), au contraire, exprime la densité spectrale à travers la fonction de corrélation. Les formules comme (17.3.9) et (17.3.10) qui relient mutuellement deux fonctions sont appelées Transformées de Fourier.

Ainsi, la fonction de corrélation et la densité spectrale sont exprimées l'une par rapport à l'autre à l'aide de transformées de Fourier.

Notez qu'à partir de la formule générale (17.3.9) à m = 0, la décomposition de la dispersion en fréquences obtenue précédemment (17.3.2) est dérivée.

En pratique, au lieu de densité spectrale S x ( co) utilise souvent normalisé densité spectrale :

Où Dx- variance de la fonction aléatoire.

Il est facile de vérifier que la fonction de corrélation normalisée p l (m) et la densité spectrale normalisée l A (ω) sont liées par les mêmes transformées de Fourier :

En supposant la première équation (17.3.12) t = 0 et en tenant compte du fait que p t (0) = 1, on a :

ceux. la surface totale délimitée par le graphique de densité spectrale normalisée est égale à l'unité.

Exemple 1. Fonction de corrélation normalisée p x (m) d'une fonction aléatoire X(t) diminue de loi linéaire de un à zéro à 0 t 0 r l.(t) = 0 (Fig. 17.3.3). Déterminer la densité spectrale normalisée d'une fonction aléatoire X(t).

Solution. La fonction de corrélation normalisée est exprimée par

formules :

A partir des formules (17.3.12) on a :

Riz. 17.3.3

Riz. 17.3.4

Le graphique de densité spectrale normalisé est présenté sur la figure. 17.3.4. La première densité spectrale maximale absolue est atteinte à co = 0 ; révélateur d'une incertitude

la densité spectrale atteint un certain nombre de maxima relatifs dont la hauteur diminue avec l'augmentation de co ; quand ω -> oo l A. (o>) -> 0. La nature du changement de densité spectrale s x (с) (diminution rapide ou lente) dépend du paramètre m 0. Superficie totale, délimité par une courbe s x(co), est constant et égal à l’unité. Un changement de m 0 équivaut à un changement de l'échelle de la courbe, s" A .(co) le long des deux axes tout en conservant son aire. Avec une augmentation de m 0, l'échelle le long de l'axe des ordonnées augmente, le long de l'abscisse axe il diminue ; la prédominance de la fonction aléatoire de fréquence nulle dans le spectre devient plus prononcée Dans la limite, comme m -> oo, la fonction aléatoire dégénère en une variable aléatoire ordinaire dans ce cas, p d (m) = I, et le spectre devient discret avec une seule fréquence avec 0 = 0.

Riz. 17.3.5

Exemple 2. Densité spectrale normalisée.v v (co) d'une fonction aléatoire X(t) est constant sur un certain intervalle de fréquence a>b a>2 et est égal à zéro en dehors de cet intervalle (Fig. 17.3.5).

Déterminer la fonction de corrélation normalisée d'une fonction aléatoire X(t).

Solution. La valeur de xl (co) en « t 2 est déterminée à partir de la condition que l'aire limitée par la courbe s x(co), égal à un :

De (17.3.12) nous avons :

La vue générale de la fonction p d (t) est représentée sur la Fig. 17.3.6. Il a le caractère d'oscillations décroissantes en amplitude avec un certain nombre de nœuds auxquels la fonction disparaît. Vue spécifique Les graphismes dépendent évidemment des valeurs de a>a>2.

Riz. 17.3.6

La forme limite de la fonction p x (m) telle que « t -> ω 2 » est intéressante. Évidemment, lorsque ω 2 = ω = ω, le spectre de la fonction aléatoire devient discret avec une seule raie correspondant à la fréquence ω ; dans ce cas, la fonction de corrélation se transforme en un simple cosinus :

Voyons quelle forme a la fonction aléatoire elle-même dans ce cas X(t). Avec un spectre discret avec une seule raie

expansion spectrale d'une fonction aléatoire stationnaire X(t) a l'apparence;

Où U vlV - variables aléatoires non corrélées avec des attentes mathématiques égales à zéro et des variances égales :

Montrons qu'une fonction aléatoire de type (17.3.14) peut être représentée comme une oscillation harmonique de fréquence c avec une amplitude et une phase aléatoires. Désignation

on réduit l'expression (17.3.14) à la forme :

Dans cette expression - amplitude aléatoire ; F - phase aléatoire vibration harmonique.

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que le cas où la distribution fréquentielle des dispersions est continue, c'est-à-dire quand une gamme de fréquences infiniment petite explique une dispersion infinitésimale. En pratique, il arrive parfois qu'une fonction aléatoire contienne une composante purement périodique de fréquence o>a avec une amplitude aléatoire. Ensuite, dans l'expansion spectrale de la fonction aléatoire, en plus du spectre continu de fréquences, une fréquence distincte co* apparaîtra, avec une dispersion finie Ne sais pas. Dans le cas général, il peut y avoir plusieurs de ces composantes périodiques. Ensuite, l'expansion spectrale de la fonction de corrélation sera composée de deux parties : spectre discret et continu :

Les cas de fonctions aléatoires stationnaires avec un spectre aussi « mixte » sont assez rares en pratique. Dans ces cas-là, il est toujours logique de diviser la fonction aléatoire en deux termes – avec un spectre continu et discret – et d’étudier ces termes séparément.

Nous devons souvent faire face au cas particulier où la dispersion finale dans l’expansion spectrale d’une fonction aléatoire se produit à fréquence nulle (ω = 0). Cela signifie que la fonction aléatoire inclut comme terme une variable aléatoire ordinaire avec une variance D0. DANS cas similaires il est également logique d’isoler ce terme aléatoire et d’opérer avec lui séparément.

• La formule (17.3.9) est une forme particulière de l'intégrale de Fourier, généralisant le développement en série de Fourier d'une fonction paire dans les harmoniques cosinus. Une expression similaire peut être écrite pour plus cas général.
• Nous avons ici affaire à un cas particulier de transformées de Fourier, appelées « transformées en cosinus de Fourier ».

Nécessaire et état suffisant ergodicité ξ (t) en

La relation avec la dispersion est la formule (2.5) et la condition suffisante est (2.6).

Généralement, un processus aléatoire stationnaire est non ergodique lorsqu’il se déroule de manière non uniforme. Par exemple, la non-ergodicité

ξ (t) peut être dû au fait qu'il contient comme terme une variable aléatoire X avec les caractéristiques m x et D x. Alors, puisqueξ 1 (t) = ξ (t) + X, alors m ξ 1 = m ξ + m x,K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x

et τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Décomposition spectrale d'un processus aléatoire stationnaire et transformée de Fourier. Densité spectrale

L'idée principale de la représentation spectrale des processus aléatoires est qu'ils peuvent être représentés comme une somme de certaines harmoniques. Cette représentation permet d'effectuer relativement facilement diverses transformations, tant linéaires que non linéaires, sur des processus aléatoires. On peut par exemple étudier comment se répartit la dispersion d’un processus aléatoire sur les fréquences de ses harmoniques constitutives. L'utilisation de ces informations constitue l'essence théorie spectrale processus aléatoires stationnaires.

La théorie spectrale permet d'utiliser l'image de Fourier d'un processus aléatoire dans les calculs. Dans certains cas, cela simplifie considérablement les calculs et est largement utilisé, notamment dans les études théoriques.

Un processus aléatoire stationnaire ξ (t) peut être spécifié à sa manière

les par décomposition canonique ou spectrale :

k = 0

où ψ k est la phase de l'oscillation harmonique d'un élément aléatoire élémentaire

processus, qui est une variable aléatoire distribuée uniformément sur un intervalle dans l'intervalle (0,2π),z k – am-

amplitude d'oscillation harmonique d'un processus aléatoire élémentaire, et z k est également une variable aléatoire avec certains

m z et D z.

En effet, soit ξ k (t) = x k cos ω k t + y k sin ω k t, alors m ξ k = 0,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

ré k cosω k (t 2 − t 1 ) = ré k cosω k τ .

D'où m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Ainsi, sous les hypothèses faites dans les formules (2.8) et (2.10) sur les propriétés incluses dans ces formules de variables aléatoires, les représentations (2.8) et (2.10) sont équivalentes. Dans ce cas,

les quantités de thé z i et ψ i ,i = 1,∞ sont dépendantes, puisque, évidemment, les relations sont vraies

Puisque la fonction de covariance d’un processus aléatoire stationnaire est même fonction, alors il peut varier sur l'intervalle (− T ,T )

mettre dans une série de Fourier en termes de cosinus, c'est-à-dire K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

Puisque ω k peut être interprété comme des harmoniques de la

développement classique du processus aléatoire stationnaire (2.8), alors écart total d'un processus aléatoire stationnaire, représenté par sa décomposition canonique (spectrale), est égal à la somme des dispersions de toutes les harmoniques de sa décomposition spectrale. Sur la fig. 2.1

montre un ensemble de dispersions D k correspondant à différentes harmoniques ω i . Plus l'intervalle de décomposition selon la formule est long

(2.9) sera pris, plus le développement selon cette formule sera précis. Si on prend T′ = 2T, alors le spectre de dispersion de la décomposition spectrale

La quantité S ξ (ω k ) ∆ω = D k fait partie du total

variance du processus aléatoire stationnaire ξ (t) attribuable à la kième harmonique. Comme T → ∞ (ou comme ∆ω→ 0), la fonction S ξ (ω k) se rapprochera indéfiniment de la courbe S ξ (ω), qui

le paradis s'appelle la densité spectrale du cas stationnaire -

processus ξ (t) (Fig. 2.2). De (2.13) il résulte que les fonctions K ξ (τ) et S ξ (ω) sont liées entre elles par la transformée en cosinus de Fourier. Ainsi,

Riz. 2.2. Graphiques des fonctions S ξ (ω k) Et Sξ (ω )

La densité spectrale, par analogie avec la fonction de densité de probabilité, a les propriétés suivantes :

1. Sξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ Sξ (ω ) dω = ∞ ∫ Sξ (ω ) parce que(0 ω ) dω = Kξ (0 ) =Dξ .

Si vous entrez la fonction Sξ (ω ) , défini comme suit :

Sξ (ω ) =Sξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

appelé densité spectrale d'un processus aléatoire stationnaire dans forme complexe, alors cette fonction, en plus des deux propriétés ci-dessus, a une troisième propriété - la propriété de parité (Fig. 2.3).

3. Sξ (ω ) =Sξ (− ω ) .

Riz. 2.3. Tracés de fonction de densité spectrale

Réécrivons (2.8) sous la forme suivante :

peut être obtenu représentation canonique intégrale cent

processus aléatoire national :

lavé " bruit blanc" (voir sous-section 2.4). Caractéristiques statistiques

l'expansion spectrale d'un processus aléatoire stationnaire sous forme complexe a la forme

Des actions similaires peuvent être réalisées avec la fonction de covariance présentée sous la forme (2.9), et obtenir

K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k e jeω kt.

k=−∞

La formule (2.13), tenant compte de l'introduction de la fonction, peut être réécrite sous la forme suivante :

Sξ (ω ) vous pouvez re-

Les formules (2.18) et (2.19) représentent la transformée de Fourier de la densité spectrale Sξ (ω ) et fonction de covariance Kξ (τ ) sous une forme complexe.

Puisque la densité spectrale Sξ (ω ) représente

densité de distribution de la dispersion d'un processus aléatoire sur les fréquences de ses harmoniques, puis dans certaines applications de la théorie aléatoire

processus finaux Kξ ( 0) = Dξ (t) interprété comme l'énergie d'un processus aléatoire stationnaire, et Sξ (ω ) - quelle est la densité de ceci

énergie par unité de fréquence. Cette interprétation est apparue après l'application de la théorie des processus aléatoires stationnaires en génie électrique.

Exemple 5. Trouver la densité spectrale Sξ (ω ) processus aléatoire élémentaire ξ k(t) = xk parce que ω kt+ ouik péché ω kt.

= Dk∞ ∫ [ parce que(ω− ω k) τ + parce que(ω+ ω k) τ ] dτ =

π 0

= Dk∞ ∫ [ eje(ω−ω

Sξ k (ω ) =

−je(ω−ω k) τ d(− τ ) + ∫ eje(ω−ω k) τ dτ +

k(− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−je(ω+ω k) τ d(− τ ) + ∫ eje(ω+ω k) τ dτ

k∫

eje(ω−ω k)(−τ ) d(− τ ) + ∫ eje(ω−ω k) τ dτ + (− 1 ) ∫ eje(ω+ω k)(−τ ) d(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ eje(ω+ω k) τ dτ

k∫ eje(ω−ω k) τ dτ +

∫eje

(ω+ω k) τ dτ

2 π −∞

= Dk[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] ,

Où δ (ω ) = 1 ∞ ∫ ejeωτ dτ – représentation intégrale sous forme de pré-

2 π −∞

Éducation de Fourier δ -Fonctions Dirac. Expression pour Sξ k(ω )

aurait pu rester ainsi, mais pour le positif ω (parce que ω k> 0), en tenant compte des propriétés δ -fonctions, (voir Tableau 6

nous. 141), δ (ω+ ω k) ≡ 0 . Ainsi, Sξ (ω ) = Dkδ (ω− ω k) .

AlorsSξ k(ω ) =1 2 Sξ k(ω ) =D2 k[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] .

Trouvons maintenant la densité spectrale donnée sous forme complexe. Fonctions Sξ (ω ) Et Sξ k(ω ) – valide non-

fonctions négatives. Sξ k(ω ) – une fonction paire définie sur l'intervalle (− ∞ ,∞ ) ,Sξ (ω ) – défini sur l’intervalle ( 0,∞ ) , Et

sur cet intervalle Sξ k(ω ) = 1 2 Sξ k(ω ) (voir Fig. 2.3). D'après la formule (2.19)