Supposons que l'échantillon aléatoire soit généré par la variable aléatoire observée ξ, l'espérance mathématique et la variance qui sont inconnus. Il a été proposé d'utiliser la moyenne de l'échantillon comme estimation de ces caractéristiques.

et variance de l'échantillon

. (3.14)

Considérons quelques propriétés des estimations de l'espérance mathématique et de la dispersion.

1. Calculez l'espérance mathématique de la moyenne de l'échantillon :

Par conséquent, la moyenne de l’échantillon est un estimateur sans biais pour .

2. Rappelons que les résultats les observations sont des variables aléatoires indépendantes, dont chacune a la même loi de distribution que la valeur, ce qui signifie , , . Nous supposerons que la variance est finie. Alors, selon le théorème de Chebyshev sur la loi des grands nombres, pour tout ε > 0 l’égalité est vraie ,

qui peut s'écrire ainsi : . (3.16) En comparant (3.16) avec la définition de la propriété de cohérence (3.11), nous voyons que l'estimation est une estimation cohérente de l'espérance mathématique.

3. Trouvez la variance de la moyenne de l'échantillon :

. (3.17)

Ainsi, la variance de l’estimation mathématique de l’espérance diminue de manière inversement proportionnelle à la taille de l’échantillon.

Il peut être prouvé que si la variable aléatoire ξ est normalement distribuée, alors la moyenne de l'échantillon est une estimation efficace de l'espérance mathématique, c'est-à-dire que la variance prend la plus petite valeur par rapport à toute autre estimation de l'espérance mathématique. Pour d’autres lois de distribution ξ, cela peut ne pas être le cas.

La variance de l'échantillon est une estimation biaisée de la variance car . (3.18)

En effet, en utilisant les propriétés de l’espérance mathématique et de la formule (3.17), on trouve

.

Pour obtenir une estimation non biaisée de la variance, l'estimation (3.14) doit être corrigée, c'est-à-dire multipliée par . Nous obtenons ensuite la variance de l'échantillon sans biais

. (3.19)

Notez que les formules (3.14) et (3.19) ne diffèrent que par le dénominateur, et pour les grandes valeurs, les variances d'échantillon et sans biais diffèrent peu. Cependant, avec un échantillon de petite taille, la relation (3.19) doit être utilisée.

Pour estimer l'écart type d'une variable aléatoire, on utilise l'écart type dit « corrigé », qui est égal à la racine carrée de la variance sans biais : .

Estimations d'intervalle

En statistique, il existe deux approches pour estimer les paramètres inconnus des distributions : le point et l'intervalle. Conformément à l'estimation ponctuelle évoquée dans la section précédente, seul le point autour duquel se situe le paramètre estimé est indiqué. Il est cependant souhaitable de savoir dans quelle mesure ce paramètre peut être réellement éloigné des réalisations possibles des estimations dans différentes séries d'observations.

La réponse à cette question - également approximative - est donnée par une autre méthode d'estimation des paramètres - l'intervalle. Conformément à cette méthode d'estimation, on trouve un intervalle qui, avec une probabilité proche de un, couvre la valeur numérique inconnue du paramètre.

Le concept d'estimation d'intervalle

Estimation ponctuelle est une variable aléatoire et, pour d'éventuelles exemples d'implémentations, prend des valeurs seulement approximativement égales à la vraie valeur du paramètre. Plus la différence est petite, plus l’estimation est précise. Ainsi, un nombre positif pour lequel , caractérise l'exactitude de l'estimation et est appelé erreur d’estimation (ou erreur marginale).

Probabilité de confiance(ou fiabilité) appelé probabilité β , avec lequel l'inégalité est réalisée , c'est à dire.

. (3.20)

Remplacer les inégalités double inégalité équivalente , ou , on a

Intervalle , couvrant avec probabilité β , , paramètre inconnu, est appelé Intervalle de confiance (ou estimation d'intervalle), probabilité de confiance correspondante β .

Une variable aléatoire n'est pas seulement une estimation, mais aussi une erreur : sa valeur dépend de la probabilité β et, en règle générale, à partir de l'échantillon. Par conséquent, l’intervalle de confiance est aléatoire et l’expression (3.21) doit être lue comme suit : « L’intervalle couvrira le paramètre avec probabilité β », et pas comme ceci : « Le paramètre tombera dans l'intervalle avec probabilité β ”.

La signification de l'intervalle de confiance est que lors de la répétition d'un volume d'échantillon plusieurs fois dans une proportion relative de cas égale à β , intervalle de confiance correspondant à la probabilité de confiance β , couvre la vraie valeur du paramètre estimé. Ainsi, la probabilité de confiance β caractérise fiabilitéévaluation de la confiance : plus β , plus il est probable que la mise en œuvre de l'intervalle de confiance contienne un paramètre inconnu.

OBJECTIF DE LA CONFÉRENCE : introduire le concept d'estimation d'un paramètre de distribution inconnu et donner une classification de ces estimations ; obtenir des estimations ponctuelles et par intervalles de l'espérance mathématique et de la dispersion.

En pratique, dans la plupart des cas, la loi de distribution d'une variable aléatoire est inconnue, et d'après les résultats des observations
il est nécessaire d'estimer des caractéristiques numériques (par exemple, une espérance mathématique, une dispersion ou d'autres moments) ou un paramètre inconnu , qui détermine la loi de distribution (densité de distribution)
variable aléatoire étudiée. Ainsi, pour une distribution exponentielle ou distribution de Poisson, il suffit d'estimer un paramètre, mais pour une distribution normale, deux paramètres doivent être estimés : l'espérance mathématique et la variance.

Types d'évaluations

Valeur aléatoire
a une densité de probabilité
, Où – paramètre de distribution inconnu. À la suite de l'expérience, les valeurs de cette variable aléatoire ont été obtenues :
. Faire une évaluation signifie essentiellement que les valeurs d'échantillon d'une variable aléatoire doivent être associées à une certaine valeur de paramètre , c'est-à-dire créer une fonction des résultats d'observation
, dont la valeur est considérée comme une estimation paramètre . Indice indique le nombre d’expériences réalisées.

Toute fonction qui dépend des résultats des observations est appelée statistiques. Puisque les résultats des observations sont des variables aléatoires, les statistiques seront également une variable aléatoire. Par conséquent, l’évaluation
paramètre inconnu doit être considérée comme une variable aléatoire, et sa valeur, calculée à partir de données expérimentales en volume , – comme l’une des valeurs possibles de cette variable aléatoire.

Les estimations des paramètres de distribution (caractéristiques numériques d'une variable aléatoire) sont divisées en points et en intervalles. Estimation ponctuelle paramètre déterminé par un nombre , et sa précision est caractérisée par la variance de l'estimation. Estimation d'intervalle appelé un score déterminé par deux nombres, Et – fins de l’intervalle couvrant le paramètre estimé avec une probabilité de confiance donnée.

Classification des estimations ponctuelles

Pour une estimation ponctuelle d'un paramètre inconnu
meilleur en termes de précision, il doit être cohérent, impartial et efficace.

Riche appelé évaluation
paramètre , s'il converge en probabilité vers le paramètre estimé, c'est-à-dire

. (8.8)

Sur la base de l’inégalité de Chebyshev, on peut montrer qu’une condition suffisante pour que la relation (8.8) soit remplie est l’égalité

.

La cohérence est une caractéristique asymptotique de l’estimation à
.

Impartial appelé évaluation
(estimation sans erreur systématique), dont l'espérance mathématique est égale au paramètre estimé, c'est-à-dire

. (8.9)

Si l’égalité (8.9) n’est pas satisfaite, alors l’estimation est dite biaisée. Différence
appelé biais ou erreur systématique d’estimation. Si l’égalité (8.9) n’est satisfaite que pour
, alors l'estimation correspondante est appelée asymptotiquement sans biais.

Il convient de noter que si la cohérence est une condition presque obligatoire pour toutes les estimations utilisées dans la pratique (les estimations incohérentes sont extrêmement rarement utilisées), alors la propriété d'impartialité n'est que souhaitable. De nombreuses estimations fréquemment utilisées ne possèdent pas la propriété d’impartialité.

En général, la précision de l'estimation de certains paramètres , obtenu sur la base de données expérimentales
, caractérisé par l'erreur quadratique moyenne

,

que l'on peut réduire à la forme

,

où est la variance,
– biais d’estimation au carré.

Si l'estimation est impartiale, alors

Au fini les estimations peuvent différer en raison de l'erreur quadratique moyenne . Naturellement, plus cette erreur est faible, plus les valeurs d'évaluation sont regroupées autour du paramètre estimé. Par conséquent, il est toujours souhaitable que l’erreur d’estimation soit aussi petite que possible, c’est-à-dire que la condition soit satisfaite.

. (8.10)

Évaluation , satisfaisant la condition (8.10), est appelée une estimation avec une erreur quadratique minimale.

Efficace appelé évaluation
, pour laquelle l'erreur quadratique moyenne n'est pas supérieure à l'erreur quadratique moyenne de toute autre estimation, c'est-à-dire

Où – toute autre estimation de paramètre .

On sait que la variance de toute estimation non biaisée d'un paramètre satisfait l'inégalité de Cramer – Rao

,

Où
– distribution de densité de probabilité conditionnelle des valeurs obtenues de la variable aléatoire à la vraie valeur du paramètre .

Ainsi, l’estimation impartiale
, pour laquelle l'inégalité de Cramer – Rao devient égalité, sera efficace, c'est-à-dire qu'une telle estimation a une variance minimale.

Estimations ponctuelles de l'espérance et de la variance

Si une variable aléatoire est considérée
, qui a une espérance mathématique et écart , alors ces deux paramètres sont considérés comme inconnus. Donc, sur une variable aléatoire
produit des expériences indépendantes qui donnent des résultats :
. Il est nécessaire de trouver des estimations cohérentes et impartiales des paramètres inconnus Et .

Comme estimations Et Habituellement, la moyenne statistique (échantillon) et la variance statistique (échantillon) sont choisies respectivement :

; (8.11)

. (8.12)

L’estimation de l’espérance mathématique (8.11) est cohérente selon la loi des grands nombres (théorème de Chebyshev) :

.

Attente d'une variable aléatoire

.

Par conséquent, l’estimation est impartial.

Dispersion de l'estimation de l'espérance mathématique :

Si la variable aléatoire
est distribué selon la loi normale, alors l'estimation est également efficace.

Estimation de la variance attendue

Dans le même temps

.

Parce que
, UN
, alors on obtient

. (8.13)

Ainsi,
– une évaluation biaisée, bien que cohérente et efficace.

De la formule (8.13), il s'ensuit que pour obtenir une estimation non biaisée
la variance de l'échantillon (8.12) doit être modifiée comme suit :

qui est considérée comme « meilleure » par rapport à l’estimation (8.12), bien que dans l’ensemble ces estimations sont presque égales les unes aux autres.

Méthodes d'obtention d'estimations des paramètres de distribution

Souvent en pratique, basé sur une analyse du mécanisme physique qui génère la variable aléatoire
, nous pouvons tirer une conclusion sur la loi de distribution de cette variable aléatoire. Cependant, les paramètres de cette distribution sont inconnus et doivent être estimés à partir des résultats expérimentaux, généralement présentés sous la forme d'un échantillon fini.
. Pour résoudre ce problème, deux méthodes sont le plus souvent utilisées : la méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance.

Méthode des moments. La méthode consiste à assimiler les moments théoriques aux moments empiriques correspondants du même ordre.

Points de départ empiriques -ième ordre sont déterminés par les formules :

,

et les moments initiaux théoriques correspondants -ème ordre - formules :

pour les variables aléatoires discrètes,

pour les variables aléatoires continues,

Où – paramètre de distribution estimé.

Pour obtenir des estimations des paramètres d'une distribution contenant deux paramètres inconnus Et , un système de deux équations est compilé

Où Et – des moments centraux théoriques et empiriques de second ordre.

La solution du système d'équations sont les estimations Et paramètres de distribution inconnus Et .

En égalisant les moments initiaux théoriques et empiriques du premier ordre, nous obtenons cela en estimant l'espérance mathématique d'une variable aléatoire
, ayant une distribution arbitraire, sera la moyenne de l'échantillon, c'est-à-dire
. Ensuite, en égalisant les moments centraux théoriques et empiriques du second ordre, on obtient que l'estimation de la variance de la variable aléatoire
, qui a une distribution arbitraire, est déterminé par la formule

.

De la même manière, on peut trouver des estimations de moments théoriques de n’importe quel ordre.

La méthode des moments est simple et ne nécessite pas de calculs complexes, mais les estimations obtenues par cette méthode sont souvent inefficaces.

Méthode du maximum de vraisemblance. La méthode du maximum de vraisemblance d'estimation ponctuelle de paramètres de distribution inconnus se réduit à trouver le maximum de la fonction d'un ou plusieurs paramètres estimés.

Laisser
est une variable aléatoire continue, qui par conséquent les tests ont pris des valeurs
. Pour obtenir une estimation d’un paramètre inconnu il faut trouver une telle valeur , auquel la probabilité de mettre en œuvre l'échantillon résultant serait maximale. Parce que
représentent des quantités mutuellement indépendantes avec la même densité de probabilité
, Que fonction de vraisemblance appeler la fonction argument :

Par estimation du maximum de vraisemblance du paramètre cette valeur est appelée , auquel la fonction de vraisemblance atteint un maximum, c'est-à-dire est une solution de l'équation

,

ce qui dépend clairement des résultats des tests
.

Puisque les fonctions
Et
atteindre un maximum aux mêmes valeurs
, puis pour simplifier les calculs, ils utilisent souvent la fonction de vraisemblance logarithmique et recherchent la racine de l'équation correspondante

,

qui est appelée équation de vraisemblance.

Si vous devez évaluer plusieurs paramètres
distribution
, alors la fonction de vraisemblance dépendra de ces paramètres. Pour trouver des estimations
paramètres de distribution il est nécessaire de résoudre le système équations de vraisemblance

.

La méthode du maximum de vraisemblance fournit des estimations cohérentes et asymptotiquement efficaces. Cependant, les estimations obtenues par la méthode du maximum de vraisemblance sont biaisées et, de plus, pour trouver des estimations, il est souvent nécessaire de résoudre des systèmes d'équations assez complexes.

Estimations des paramètres d'intervalle

L'exactitude des estimations ponctuelles est caractérisée par leur variance. Cependant, il n'existe aucune information sur la proximité des estimations obtenues avec les valeurs réelles des paramètres. Dans un certain nombre de tâches, vous devez non seulement rechercher le paramètre valeur numérique appropriée, mais également pour évaluer son exactitude et sa fiabilité. Vous devez savoir à quelles erreurs le remplacement d'un paramètre peut entraîner son estimation ponctuelle et avec quel degré de confiance devrions-nous nous attendre à ce que ces erreurs ne dépassent pas les limites connues.

De telles tâches sont particulièrement pertinentes lorsqu'il y a un petit nombre d'expériences. , lorsque l'estimation ponctuelle remplacement largement aléatoire et approximatif sur peut conduire à des erreurs importantes.

Un moyen plus complet et plus fiable d'estimer les paramètres de distribution consiste à déterminer non pas une valeur ponctuelle, mais un intervalle qui, avec une probabilité donnée, couvre la vraie valeur du paramètre estimé.

Laissez selon les résultats expériences, une estimation impartiale a été obtenue
paramètre . Il est nécessaire d'évaluer l'erreur possible. Une probabilité suffisamment grande est sélectionnée
(par exemple), de telle sorte qu'un événement avec cette probabilité puisse être considéré comme un événement pratiquement certain, et une telle valeur est trouvée , Pour qui

. (8.15)

Dans ce cas, la plage des valeurs pratiquement possibles de l'erreur qui se produit lors du remplacement sur , volonté
, et les erreurs importantes en valeur absolue n'apparaîtront qu'avec une faible probabilité .

L'expression (8.15) signifie qu'avec probabilité
valeur de paramètre inconnue tombe dans l'intervalle

. (8.16)

Probabilité
appelé probabilité de confiance, et l'intervalle , couvrant avec probabilité la vraie valeur du paramètre est appelée Intervalle de confiance. Notez qu'il est incorrect de dire que la valeur du paramètre se situe dans l'intervalle de confiance avec probabilité . La formulation utilisée (couvertures) signifie que bien que le paramètre estimé soit inconnu, il a une valeur constante et n'a donc pas d'étalement puisqu'il ne s'agit pas d'une variable aléatoire.

L'attente est la distribution de probabilité d'une variable aléatoire

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L'espérance mathématique est la définition

L'un des concepts les plus importants des statistiques mathématiques et de la théorie des probabilités, caractérisant la distribution des valeurs ou des probabilités d'une variable aléatoire. Généralement exprimé sous la forme d'une moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d'une variable aléatoire. Largement utilisé dans l'analyse technique, l'étude des séries de nombres et l'étude des processus continus et chronophages. Il est important pour évaluer les risques, prédire les indicateurs de prix lors des transactions sur les marchés financiers et est utilisé dans le développement de stratégies et de méthodes de tactiques de jeu dans la théorie du jeu.

L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire est prise en compte dans la théorie des probabilités.

L'espérance mathématique est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire dans la théorie des probabilités. Attente d'une variable aléatoire X désigné par M(x).

L'espérance mathématique est

L'espérance mathématique est en théorie des probabilités, moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire.

L'espérance mathématique est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs.

L'espérance mathématique est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des longues distances.

L'espérance mathématique est Dans la théorie du jeu, montant des gains qu'un joueur peut gagner ou perdre, en moyenne, pour chaque pari. Dans le langage des jeux de hasard, cela est parfois appelé « avantage du joueur » (s'il est positif pour le joueur) ou « avantage de la maison » (s'il est négatif pour le joueur).

L'espérance mathématique est le pourcentage de profit par gain multiplié par le profit moyen, moins la probabilité de perte multipliée par la perte moyenne.

Attente mathématique d'une variable aléatoire en théorie mathématique

L'une des caractéristiques numériques importantes d'une variable aléatoire est son espérance mathématique. Introduisons le concept de système de variables aléatoires. Considérons un ensemble de variables aléatoires qui sont les résultats de la même expérience aléatoire. Si est l’une des valeurs possibles du système, alors l’événement correspond à une certaine probabilité qui satisfait les axiomes de Kolmogorov. Une fonction définie pour toutes les valeurs possibles de variables aléatoires est appelée loi de distribution conjointe. Cette fonction vous permet de calculer les probabilités de tout événement à partir de. En particulier, la loi de distribution conjointe des variables aléatoires et, qui prennent des valeurs de l'ensemble et, est donnée par des probabilités.

Le terme « espérance mathématique » a été introduit par Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) et vient du concept de « valeur espérée des gains », apparu pour la première fois au XVIIe siècle dans la théorie du jeu dans les travaux de Blaise Pascal et Christiaan. Huygens. Cependant, la première compréhension théorique et évaluation complète de ce concept a été donnée par Pafnuty Lvovich Chebyshev (milieu du XIXe siècle).

La loi de distribution des variables numériques aléatoires (fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrit complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires sont l'espérance mathématique, la variance, le mode et la médiane.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités correspondantes. Parfois, l'espérance mathématique est appelée moyenne pondérée, car elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences. De la définition de l'espérance mathématique, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible d'une variable aléatoire et pas supérieure à la plus grande. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est une variable non aléatoire (constante).

L'espérance mathématique a une signification physique simple : si vous placez une unité de masse sur une ligne droite, en plaçant une certaine masse en certains points (pour une distribution discrète), ou si vous la « badigeonnez » d'une certaine densité (pour une distribution absolument continue) , alors le point correspondant à l'espérance mathématique sera la coordonnée "centre de gravité" droite.

La valeur moyenne d'une variable aléatoire est un certain nombre qui est en quelque sorte son « représentant » et le remplace dans des calculs à peu près approximatifs. Lorsque nous disons : « la durée moyenne de fonctionnement de la lampe est de 100 heures » ou « le point d'impact moyen est décalé par rapport à la cible de 2 m vers la droite », nous indiquons une certaine caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui décrit son emplacement. sur l'axe numérique, c'est-à-dire "caractéristiques du poste".

Parmi les caractéristiques d'une position dans la théorie des probabilités, le rôle le plus important est joué par l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, qui est parfois appelée simplement la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Considérons la variable aléatoire X, ayant des valeurs possibles x1, x2, …, xn avec probabilités p1, p2, …, pn. Nous devons caractériser avec un certain nombre la position des valeurs d'une variable aléatoire sur l'axe des x, en tenant compte du fait que ces valeurs ont des probabilités différentes. A cet effet, il est naturel d’utiliser ce que l’on appelle la « moyenne pondérée » des valeurs xi, et chaque valeur xi lors de la moyenne doit être prise en compte avec un « poids » proportionnel à la probabilité de cette valeur. Ainsi, nous calculerons la moyenne de la variable aléatoire X, que nous désignons M |X|:

Cette moyenne pondérée est appelée l’espérance mathématique de la variable aléatoire. Ainsi, nous avons introduit en considération l’un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités : le concept d’espérance mathématique. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et des probabilités de ces valeurs.

Qu'il soit produit N expériences indépendantes, dans chacune desquelles la valeur X prend une certaine valeur. Supposons que la valeur x1 apparu m1 fois, valeur x2 apparu m2 une fois, au sens général xi est apparu plusieurs fois. Calculons la moyenne arithmétique des valeurs observées de la valeur X, qui, contrairement à l'attente mathématique M|X| nous désignons M*|X| :

Avec un nombre croissant d'expériences N fréquences pi se rapprochera (convergera en probabilité) des probabilités correspondantes. Par conséquent, la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire M|X| avec une augmentation du nombre d'expériences, il se rapprochera (convergera en probabilité) de son espérance mathématique. Le lien entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique formulé ci-dessus constitue le contenu d'une des formes de la loi des grands nombres.

Nous savons déjà que toutes les formes de loi des grands nombres stipulent que certaines moyennes sont stables sur un grand nombre d’expériences. Nous parlons ici de la stabilité de la moyenne arithmétique d’une série d’observations de même quantité. Avec un petit nombre d'expériences, la moyenne arithmétique de leurs résultats est aléatoire ; avec une augmentation suffisante du nombre d'expériences, elle devient « presque non aléatoire » et, en se stabilisant, se rapproche d'une valeur constante - l'espérance mathématique.

La stabilité des moyennes sur un grand nombre d’expériences peut être facilement vérifiée expérimentalement. Par exemple, lors de la pesée d'un corps dans un laboratoire sur des balances précises, à la suite de la pesée, nous obtenons à chaque fois une nouvelle valeur ; Pour réduire les erreurs d'observation, nous pesons le corps plusieurs fois et utilisons la moyenne arithmétique des valeurs obtenues. Il est facile de voir qu'avec une nouvelle augmentation du nombre d'expériences (pesées), la moyenne arithmétique réagit de moins en moins à cette augmentation et, avec un nombre d'expériences suffisamment grand, cesse pratiquement de changer.

Il convient de noter que la caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire - l'espérance mathématique - n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Il est possible de composer des exemples de telles variables aléatoires pour lesquelles l'espérance mathématique n'existe pas, puisque la somme ou l'intégrale correspondante diverge. Cependant, de tels cas ne présentent pas un intérêt significatif pour la pratique. En règle générale, les variables aléatoires que nous traitons ont une plage limitée de valeurs possibles et, bien sûr, ont une espérance mathématique.

En plus des caractéristiques les plus importantes de la position d'une variable aléatoire - l'espérance mathématique - en pratique, d'autres caractéristiques de la position sont parfois utilisées, notamment le mode et la médiane de la variable aléatoire.

Le mode d'une variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Le terme « valeur la plus probable » ne s'applique à proprement parler qu'à des quantités discontinues ; pour une quantité continue, le mode est la valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale. Les figures montrent respectivement le mode pour les variables aléatoires discontinues et continues.

Si le polygone de répartition (courbe de répartition) comporte plus d'un maximum, la répartition est dite « multimodale ».

Parfois, certaines distributions ont un minimum au milieu plutôt qu'un maximum. De telles distributions sont dites « antimodales ».

Dans le cas général, le mode et l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans le cas particulier, lorsque la distribution est symétrique et modale (c'est-à-dire qu'elle a un mode) et qu'il existe une espérance mathématique, alors elle coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Une autre caractéristique de position est souvent utilisée : la médiane d'une variable aléatoire. Cette caractéristique n'est généralement utilisée que pour les variables aléatoires continues, bien qu'elle puisse être formellement définie pour une variable discontinue. Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire délimitée par la courbe de distribution est divisée en deux.

Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane coïncide avec l'espérance mathématique et le mode.

L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire - une caractéristique numérique de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire. De la manière la plus générale, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X(w) est défini comme l'intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. dans l'espace de probabilité d'origine :

L'espérance mathématique peut également être calculée comme l'intégrale de Lebesgue de X par distribution de probabilité px quantités X:

Le concept de variable aléatoire avec une espérance mathématique infinie peut être défini de manière naturelle. Un exemple typique est celui des temps de retour de certaines marches aléatoires.

À l'aide de l'espérance mathématique, de nombreuses caractéristiques numériques et fonctionnelles d'une distribution sont déterminées (comme l'espérance mathématique des fonctions correspondantes d'une variable aléatoire), par exemple la fonction génératrice, la fonction caractéristique, les moments de tout ordre, notamment la dispersion, la covariance. .

L'espérance mathématique est une caractéristique de la localisation des valeurs d'une variable aléatoire (la valeur moyenne de sa distribution). À ce titre, l'espérance mathématique sert de paramètre de distribution « typique » et son rôle est similaire à celui du moment statique - la coordonnée du centre de gravité de la distribution de masse - en mécanique. D'autres caractéristiques de l'emplacement à l'aide desquelles la distribution est décrite en termes généraux - médianes, modes, espérance mathématique diffèrent par la plus grande valeur qu'elle et la caractéristique de diffusion correspondante - dispersion - ont dans les théorèmes limites de la théorie des probabilités. Le sens de l'espérance mathématique est révélé plus pleinement par la loi des grands nombres (inégalité de Chebyshev) et la loi renforcée des grands nombres.

Attente d'une variable aléatoire discrète

Supposons qu'il y ait une variable aléatoire qui peut prendre l'une des nombreuses valeurs numériques (par exemple, le nombre de points lors du lancement d'un dé peut être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Souvent en pratique, pour une telle valeur, la question se pose : quelle valeur prend-on « en moyenne » avec un grand nombre de tests ? Quel sera notre revenu (ou perte) moyen pour chacune des transactions risquées ?

Disons qu'il y a une sorte de loterie. Nous voulons comprendre s’il est rentable ou non d’y participer (voire d’y participer de manière répétée, régulière). Disons qu'un billet sur quatre est gagnant, le prix sera de 300 roubles et le prix de n'importe quel billet sera de 100 roubles. Avec un nombre infini de participations, c'est ce qui se passe. Dans les trois quarts des cas, nous perdrons, toutes les trois pertes coûteront 300 roubles. Dans un cas sur quatre, nous gagnerons 200 roubles. (prix moins coût), c'est-à-dire que pour quatre participations, nous perdons en moyenne 100 roubles, pour une - en moyenne 25 roubles. Au total, le tarif moyen de notre ruine sera de 25 roubles par ticket.

Nous jetons les dés. S’il ne s’agit pas de tricher (sans déplacer le centre de gravité, etc.), alors combien de points aurons-nous en moyenne à la fois ? Puisque chaque option est également probable, nous prenons simplement la moyenne arithmétique et obtenons 3,5. Puisque c'est MOYEN, il n'y a pas lieu de s'indigner qu'aucun lancer spécifique ne donne 3,5 points - eh bien, ce cube n'a pas de face avec un tel chiffre !

Résumons maintenant nos exemples :

Regardons l'image qui vient d'être donnée. A gauche se trouve un tableau de la distribution d'une variable aléatoire. La valeur X peut prendre l'une des n valeurs possibles (affichées sur la ligne du haut). Il ne peut y avoir d’autres significations. Sous chaque valeur possible se trouve sa probabilité. À droite se trouve la formule, où M(X) est appelé l’espérance mathématique. La signification de cette valeur est qu’avec un grand nombre de tests (avec un grand échantillon), la valeur moyenne tendra vers cette même espérance mathématique.

Revenons encore au même cube de jeu. L'espérance mathématique du nombre de points lors du lancer est de 3,5 (calculez-la vous-même en utilisant la formule si vous ne me croyez pas). Disons que vous l'avez lancé plusieurs fois. Les résultats étaient de 4 et 6. La moyenne était de 5, ce qui est loin de 3,5. Ils l'ont lancé une fois de plus, ils ont obtenu 3, c'est-à-dire en moyenne (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... En quelque sorte loin de l'attente mathématique. Maintenant, faites une expérience folle : lancez le cube 1000 fois ! Et même si la moyenne n’est pas exactement de 3,5, elle s’en rapprochera.

Calculons l'espérance mathématique pour la loterie décrite ci-dessus. La plaque ressemblera à ceci :

Alors l’espérance mathématique sera, comme nous l’avons établi ci-dessus :

Une autre chose est que le faire « sur les doigts », sans formule, serait difficile s'il y avait plus d'options. Bon, disons qu'il y aurait 75% de tickets perdants, 20% de tickets gagnants et 5% de tickets surtout gagnants.

Maintenant quelques propriétés de l'espérance mathématique.

C'est facile à prouver :

Le facteur constant peut être retiré comme signe de l’espérance mathématique, c’est-à-dire :

Il s’agit d’un cas particulier de la propriété de linéarité de l’espérance mathématique.

Autre conséquence de la linéarité de l’espérance mathématique :

c'est-à-dire que l'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des variables aléatoires.

Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes, Alors:

C'est aussi facile à prouver) Travail XY elle-même est une variable aléatoire, et si les valeurs initiales pouvaient prendre n Et m valeurs en conséquence, alors XY peut prendre des valeurs nm. La probabilité de chaque valeur est calculée sur la base du fait que les probabilités d'événements indépendants sont multipliées. En conséquence, nous obtenons ceci :

Attente d'une variable aléatoire continue

Les variables aléatoires continues ont une caractéristique telle que la densité de distribution (densité de probabilité). Cela caractérise essentiellement la situation dans laquelle une variable aléatoire prend plus souvent certaines valeurs de l'ensemble des nombres réels, et d'autres moins souvent. Par exemple, considérons ce graphique :

Ici X- variable aléatoire réelle, f(x)- densité de distribution. A en juger par ce graphique, lors des expériences, la valeur X sera souvent un nombre proche de zéro. Les chances sont dépassées 3 ou être plus petit -3 plutôt purement théorique.

Supposons par exemple une distribution uniforme :

Ceci est tout à fait cohérent avec une compréhension intuitive. Disons que si nous recevons de nombreux nombres réels aléatoires avec une distribution uniforme, chacun des segments |0; 1| , alors la moyenne arithmétique devrait être d'environ 0,5.

Les propriétés de l'espérance mathématique - linéarité, etc., applicables aux variables aléatoires discrètes, sont également applicables ici.

Relation entre l'espérance mathématique et d'autres indicateurs statistiques

Dans l'analyse statistique, outre l'espérance mathématique, il existe un système d'indicateurs interdépendants qui reflètent l'homogénéité des phénomènes et la stabilité des processus. Les indicateurs de variation n’ont souvent aucune signification indépendante et sont utilisés pour une analyse plus approfondie des données. L'exception est le coefficient de variation, qui caractérise l'homogénéité des données, qui constitue une caractéristique statistique précieuse.

Le degré de variabilité ou de stabilité des processus en science statistique peut être mesuré à l'aide de plusieurs indicateurs.

L'indicateur le plus important caractérisant la variabilité d'une variable aléatoire est Dispersion, qui est le plus étroitement et directement lié à l’espérance mathématique. Ce paramètre est activement utilisé dans d'autres types d'analyses statistiques (tests d'hypothèses, analyse des relations de cause à effet, etc.). Comme l’écart linéaire moyen, la variance reflète également l’étendue de la dispersion des données autour de la valeur moyenne.

Il est utile de traduire le langage des signes dans le langage des mots. Il s’avère que la dispersion est le carré moyen des écarts. Autrement dit, la valeur moyenne est d'abord calculée, puis la différence entre chaque valeur originale et moyenne est prise, mise au carré, ajoutée, puis divisée par le nombre de valeurs dans la population. La différence entre une valeur individuelle et la moyenne reflète la mesure de l'écart. Il est mis au carré pour que tous les écarts deviennent des nombres exclusivement positifs et pour éviter la destruction mutuelle des écarts positifs et négatifs lors de leur addition. Ensuite, étant donné les carrés des écarts, on calcule simplement la moyenne arithmétique. Moyenne - carré - écarts. Les écarts sont carrés et la moyenne est calculée. La réponse au mot magique « dispersion » tient en seulement trois mots.

Cependant, sous sa forme pure, comme la moyenne arithmétique ou l'indice, la dispersion n'est pas utilisée. Il s’agit plutôt d’un indicateur auxiliaire et intermédiaire utilisé pour d’autres types d’analyses statistiques. Il n’a même pas d’unité de mesure normale. À en juger par la formule, il s'agit du carré de l'unité de mesure des données originales.

Mesurons une variable aléatoire N Plusieurs fois, par exemple, nous mesurons la vitesse du vent dix fois et souhaitons trouver la valeur moyenne. Comment la valeur moyenne est-elle liée à la fonction de distribution ?

Ou bien nous lancerons les dés un grand nombre de fois. Le nombre de points qui apparaîtront sur les dés à chaque lancer est une variable aléatoire et peut prendre n'importe quelle valeur naturelle de 1 à 6. La moyenne arithmétique des points perdus calculée pour tous les lancers de dés est également une variable aléatoire, mais pour les grands N il tend vers un nombre très spécifique - espérance mathématique MX. Dans ce cas Mx = 3,5.

Comment as-tu obtenu cette valeur ? Laisser entrer N essais n1 une fois que vous obtenez 1 point, n2 une fois - 2 points et ainsi de suite. Ensuite, le nombre de résultats dans lesquels un point est tombé :

De même pour les résultats lorsque 2, 3, 4, 5 et 6 points sont obtenus.

Supposons maintenant que nous connaissions la loi de distribution de la variable aléatoire x, c'est-à-dire que nous savons que la variable aléatoire x peut prendre des valeurs x1, x2, ..., xk avec des probabilités p1, p2, ..., pk.

L'espérance mathématique Mx d'une variable aléatoire x est égale à :

L'espérance mathématique n'est pas toujours une estimation raisonnable d'une variable aléatoire. Ainsi, pour estimer le salaire moyen, il est plus raisonnable d'utiliser la notion de médiane, c'est-à-dire une valeur telle que le nombre de personnes percevant un salaire inférieur à la médiane et un salaire supérieur coïncide.

La probabilité p1 que la variable aléatoire x soit inférieure à x1/2 et la probabilité p2 que la variable aléatoire x soit supérieure à x1/2 sont identiques et égales à 1/2. La médiane n'est pas déterminée de manière unique pour toutes les distributions.

Standard ou écart type en statistique, le degré d'écart des données ou des ensembles d'observation par rapport à la valeur MOYENNE est appelé. Désigné par les lettres s ou s. Un petit écart type indique que les données se regroupent autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart type indique que les données initiales sont situées loin de celle-ci. L'écart type est égal à la racine carrée d'une quantité appelée variance. C'est la moyenne de la somme des carrés des différences des données initiales qui s'écartent de la valeur moyenne. L'écart type d'une variable aléatoire est la racine carrée de la variance :

Exemple. Dans des conditions de test lors du tir sur une cible, calculez la dispersion et l'écart type de la variable aléatoire :

Variation- fluctuation, variabilité de la valeur d'une caractéristique parmi les unités de la population. Les valeurs numériques individuelles d'une caractéristique trouvée dans la population étudiée sont appelées variantes de valeurs. L'insuffisance de la valeur moyenne pour caractériser pleinement la population nous oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs permettant d'évaluer la typicité de ces moyennes en mesurant la variabilité (variation) de la caractéristique étudiée. Le coefficient de variation est calculé à l'aide de la formule :

Plage de variation(R) représente la différence entre les valeurs maximales et minimales de l'attribut dans la population étudiée. Cet indicateur donne l'idée la plus générale de la variabilité de la caractéristique étudiée, puisqu'il montre la différence uniquement entre les valeurs maximales des options. La dépendance à l'égard des valeurs extrêmes d'une caractéristique confère à l'étendue de la variation un caractère instable et aléatoire.

Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des écarts absolus (modulo) de toutes les valeurs de la population analysée par rapport à leur valeur moyenne :

Espérance mathématique dans la théorie du jeu

L'espérance mathématique est Le montant moyen qu’un joueur peut gagner ou perdre sur un pari donné. Il s’agit d’une notion très importante pour le joueur car elle est fondamentale pour l’évaluation de la plupart des situations de jeu. L’espérance mathématique est également l’outil optimal pour analyser les dispositions de base des cartes et les situations de jeu.

Disons que vous jouez à un jeu de pièces avec un ami, en pariant 1 $ à chaque fois, quoi qu'il arrive. Face signifie que vous gagnez, face signifie que vous perdez. Les chances sont de une contre une que cela tombe face, vous pariez donc 1 $ contre 1 $. Ainsi, votre espérance mathématique est nulle, car D'un point de vue mathématique, vous ne pouvez pas savoir si vous allez mener ou perdre après deux lancers ou après 200.

Votre gain horaire est nul. Les gains horaires correspondent au montant d’argent que vous espérez gagner en une heure. Vous pouvez lancer une pièce 500 fois en une heure, mais vous ne gagnerez ni ne perdrez parce que... vos chances ne sont ni positives ni négatives. Si vous y regardez, du point de vue d’un joueur sérieux, ce système de paris n’est pas mauvais. Mais c'est tout simplement une perte de temps.

Mais disons que quelqu'un veut parier 2 $ contre 1 $ sur le même jeu. Vous avez alors immédiatement une attente positive de 50 centimes pour chaque pari. Pourquoi 50 centimes ? En moyenne, vous gagnez un pari et perdez le second. Pariez le premier dollar et perdez 1 $ ; pariez le deuxième et gagnez 2 $. Vous pariez 1 $ deux fois et vous avancez de 1 $. Ainsi, chacun de vos paris d’un dollar vous rapportait 50 cents.

Si une pièce apparaît 500 fois en une heure, vos gains horaires seront déjà de 250 $, car... En moyenne, vous avez perdu un dollar 250 fois et gagné deux dollars 250 fois. 500 $ moins 250 $ équivaut à 250 $, soit le total des gains. Veuillez noter que la valeur attendue, qui correspond au montant moyen que vous gagnez par pari, est de 50 centimes. Vous avez gagné 250 $ en pariant un dollar 500 fois, ce qui équivaut à 50 cents par pari.

Les attentes mathématiques n'ont rien à voir avec les résultats à court terme. Votre adversaire, qui a décidé de parier 2 $ contre vous, pourrait vous battre sur les dix premiers lancers consécutifs, mais vous, bénéficiant d'un avantage de mise de 2 contre 1, toutes choses étant égales par ailleurs, gagnerez 50 cents sur chaque pari de 1 $ dans n'importe quelle situation. circonstances. Peu importe que vous gagniez ou perdiez un pari ou plusieurs paris, du moment que vous disposez de suffisamment d’argent pour couvrir confortablement les frais. Si vous continuez à parier de la même manière, vos gains atteindront sur une longue période la somme des attentes lors des lancers individuels.

Chaque fois que vous faites un meilleur pari (un pari qui peut s'avérer rentable à long terme), lorsque les chances sont en votre faveur, vous êtes assuré de gagner quelque chose, que vous le perdiez ou non dans le futur. donné la main. À l’inverse, si vous faites un pari outsider (un pari qui n’est pas rentable à long terme) alors que les chances sont contre vous, vous perdez quelque chose, que vous gagniez ou perdiez la main.

Vous placez un pari avec le meilleur résultat si vos attentes sont positives, et il est positif si les chances sont de votre côté. Lorsque vous placez un pari avec le pire résultat, vous avez une attente négative, ce qui se produit lorsque les chances sont contre vous. Les joueurs sérieux ne parient que sur le meilleur résultat ; si le pire se produit, ils se couchent. Que signifient les chances en votre faveur ? Vous pourriez finir par gagner plus que ce que les probabilités réelles vous apportent. Les chances réelles que des têtes atterrissent sont de 1 contre 1, mais vous obtenez 2 contre 1 en raison du rapport de cotes. Dans ce cas, les chances sont en votre faveur. Vous obtenez certainement le meilleur résultat avec une attente positive de 50 centimes par pari.

Voici un exemple plus complexe d’espérance mathématique. Un ami écrit les nombres de un à cinq et parie 5 $ contre 1 $ pour que vous ne deviniez pas le nombre. Faut-il accepter un tel pari ? Quelle est l’attente ici ?

En moyenne, vous vous tromperez quatre fois. Sur cette base, les chances que vous deviniez le nombre sont de 4 contre 1. Les chances que vous perdiez un dollar en une seule tentative. Cependant, vous gagnez 5 contre 1, avec la possibilité de perdre 4 contre 1. Les chances sont donc de votre côté, vous pouvez prendre le pari et espérer le meilleur résultat. Si vous faites ce pari cinq fois, en moyenne vous perdrez 1 $ quatre fois et gagnerez 5 $ une fois. Sur cette base, pour les cinq tentatives, vous gagnerez 1 $ avec une espérance mathématique positive de 20 cents par pari.

Un joueur qui va gagner plus que ce qu’il a misé, comme dans l’exemple ci-dessus, prend des risques. Au contraire, il ruine ses chances lorsqu’il espère gagner moins que ce qu’il a parié. Un parieur peut avoir une attente positive ou négative, selon qu'il gagne ou qu'il gâche les cotes.

Si vous pariez 50 $ pour gagner 10 $ avec une chance de gagner de 4 contre 1, vous obtiendrez une attente négative de 2 $ car En moyenne, vous gagnerez 10 $ quatre fois et perdrez 50 $ une fois, ce qui signifie que la perte par pari sera de 10 $. Mais si vous pariez 30 $ pour gagner 10 $, avec les mêmes chances de gagner 4 contre 1, alors dans ce cas, vous avez une attente positive de 2 $, car vous gagnez à nouveau 10 $ quatre fois et perdez 30 $ une fois, pour un bénéfice de 10 $. Ces exemples montrent que le premier pari est mauvais et le second est bon.

L'espérance mathématique est au centre de toute situation de jeu. Lorsqu'un bookmaker encourage les fans de football à parier 11 $ pour gagner 10 $, il s'attend à gagner 50 cents pour chaque 10 $. Si le casino verse l'argent de la ligne de passe au craps, alors l'attente positive du casino sera d'environ 1,40 $ pour chaque tranche de 100 $, car Ce jeu est structuré de telle sorte que quiconque parie sur cette ligne perd en moyenne 50,7 % et gagne 49,3 % du temps total. Sans aucun doute, c’est cette attente positive apparemment minime qui rapporte d’énormes profits aux propriétaires de casino du monde entier. Comme l’a noté Bob Stupak, propriétaire du casino Vegas World, « une probabilité négative d’un millième de pour cent sur une distance suffisamment longue ruinera l’homme le plus riche du monde ».

Attente en jouant au poker

Le jeu de poker est l'exemple le plus illustratif et le plus illustratif du point de vue de l'utilisation de la théorie et des propriétés de l'espérance mathématique.

La valeur attendue au poker est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et de la longue distance. Un jeu de poker réussi consiste à toujours accepter des mouvements avec une valeur attendue positive.

La signification mathématique de l'espérance mathématique lorsque l'on joue au poker est que nous rencontrons souvent des variables aléatoires lors de la prise de décisions (nous ne savons pas quelles cartes l'adversaire a en main, quelles cartes viendront lors des tours d'enchères suivants). Nous devons considérer chacune des solutions du point de vue de la théorie des grands nombres, qui stipule qu'avec un échantillon suffisamment grand, la valeur moyenne d'une variable aléatoire tendra vers son espérance mathématique.

Parmi les formules particulières pour calculer l'espérance mathématique, les suivantes sont les plus applicables au poker :

Lorsque vous jouez au poker, la valeur attendue peut être calculée à la fois pour les mises et pour les call. Dans le premier cas, le Fold Equity doit être pris en compte, dans le second, les propres cotes de la banque. Lorsque vous évaluez l'espérance mathématique d'un mouvement particulier, vous devez vous rappeler qu'un pli a toujours une espérance nulle. Ainsi, défausser des cartes sera toujours une décision plus rentable que n’importe quel mouvement négatif.

Les attentes vous indiquent à quoi vous pouvez vous attendre (bénéfice ou perte) pour chaque dollar que vous risquez. Les casinos gagnent de l’argent parce que les attentes mathématiques de tous les jeux qui y sont joués sont en faveur du casino. Avec une série de jeux suffisamment longue, on peut s'attendre à ce que le client perde son argent, puisque les « chances » sont en faveur du casino. Cependant, les joueurs de casino professionnels limitent leurs jeux à de courtes périodes, mettant ainsi toutes les chances de leur côté. Il en va de même pour l’investissement. Si vos attentes sont positives, vous pouvez gagner plus d’argent en effectuant de nombreuses transactions sur une courte période. L'attente est votre pourcentage de profit par victoire multiplié par votre profit moyen, moins votre probabilité de perte multipliée par votre perte moyenne.

Le poker peut également être considéré du point de vue des attentes mathématiques. Vous pouvez supposer qu’un certain mouvement est rentable, mais dans certains cas, ce n’est peut-être pas le meilleur car un autre mouvement est plus rentable. Disons que vous obtenez un full au poker à cinq cartes. Votre adversaire fait un pari. Vous savez que si vous relancez la mise, il répondra. Par conséquent, relancer semble être la meilleure tactique. Mais si vous relancez la mise, les deux joueurs restants se coucheront définitivement. Mais si vous suivez, vous avez la certitude que les deux autres joueurs derrière vous feront de même. Lorsque vous relancez votre mise, vous recevez une unité, et lorsque vous suivez, vous en recevez deux. Ainsi, suivre vous donne une valeur attendue positive plus élevée et constituera la meilleure tactique.

L'espérance mathématique peut également donner une idée des tactiques de poker les moins rentables et lesquelles sont les plus rentables. Par exemple, si vous jouez une certaine main et que vous pensez que votre perte sera en moyenne de 75 cents, mise comprise, alors vous devriez jouer cette main car c'est mieux que de se coucher lorsque l'ante est de 1 $.

Une autre raison importante pour comprendre le concept de valeur attendue est qu'il vous procure un sentiment de tranquillité d'esprit, que vous gagniez ou non le pari : si vous avez fait un bon pari ou vous êtes couché au bon moment, vous saurez que vous avez gagné ou non. a économisé une certaine somme d'argent que le joueur le plus faible ne pouvait pas économiser. Il est beaucoup plus difficile de se coucher si vous êtes contrarié parce que votre adversaire a tiré une main plus forte. Avec tout cela, l’argent que vous économisez en ne jouant pas au lieu de parier est ajouté à vos gains de la nuit ou du mois.

N'oubliez pas que si vous aviez changé de main, votre adversaire vous aurait suivi, et comme vous le verrez dans l'article sur le Théorème fondamental du poker, ce n'est qu'un de vos avantages. Vous devriez être heureux quand cela arrive. Vous pouvez même apprendre à aimer perdre une main car vous savez que d’autres joueurs dans votre position auraient perdu beaucoup plus.

Comme mentionné dans l'exemple du jeu de pièces au début, le taux de profit horaire est lié à l'espérance mathématique, et ce concept est particulièrement important pour les joueurs professionnels. Lorsque vous allez jouer au poker, vous devez estimer mentalement combien vous pouvez gagner en une heure de jeu. Dans la plupart des cas, vous devrez vous fier à votre intuition et à votre expérience, mais vous pouvez également recourir à quelques mathématiques. Par exemple, vous jouez au draw lowball et vous voyez trois joueurs miser 10 $ puis échanger deux cartes, ce qui est une très mauvaise tactique, vous pouvez comprendre que chaque fois qu'ils parient 10 $, ils perdent environ 2 $. Chacun d’eux fait cela huit fois par heure, ce qui signifie qu’ils perdent tous les trois environ 48 dollars de l’heure. Vous êtes l'un des quatre joueurs restants qui sont à peu près égaux, donc ces quatre joueurs (et vous parmi eux) doivent se partager 48 $, chacun réalisant un bénéfice de 12 $ de l'heure. Dans ce cas, vos cotes horaires sont simplement égales à votre part du montant d’argent perdu par trois mauvais joueurs en une heure.

Sur une longue période, les gains totaux du joueur sont la somme de ses attentes mathématiques dans les mains individuelles. Plus vous jouez de mains avec une attente positive, plus vous gagnez, et inversement, plus vous jouez de mains avec une attente négative, plus vous perdez. Par conséquent, vous devez choisir un jeu qui peut maximiser votre anticipation positive ou annuler votre anticipation négative afin que vous puissiez maximiser vos gains horaires.

Attente mathématique positive dans la stratégie de jeu

Si vous savez compter les cartes, vous pouvez avoir un avantage sur le casino, à condition qu'ils ne le remarquent pas et ne vous jettent pas. Les casinos aiment les joueurs ivres et ne tolèrent pas les joueurs qui comptent les cartes. Un avantage vous permettra de gagner plus de fois que vous n’en perdrez au fil du temps. Une bonne gestion financière utilisant des calculs de valeur attendue peut vous aider à tirer davantage de profit de votre avantage et à réduire vos pertes. Sans avantage, il vaut mieux donner l’argent à une œuvre caritative. Dans le jeu boursier, l'avantage est donné par le système de jeu, qui crée des profits supérieurs aux pertes, aux différences de prix et aux commissions. Aucune gestion financière ne peut sauver un mauvais système de jeu.

Une attente positive est définie comme une valeur supérieure à zéro. Plus ce nombre est élevé, plus l’espérance statistique est forte. Si la valeur est inférieure à zéro, alors l’espérance mathématique sera également négative. Plus le module de la valeur négative est grand, plus la situation est mauvaise. Si le résultat est nul, alors l’attente est à l’équilibre. Vous ne pouvez gagner que lorsque vous avez des attentes mathématiques positives et un système de jeu raisonnable. Jouer par intuition mène au désastre.

Espérance mathématique et négociation d'actions

L'espérance mathématique est un indicateur statistique assez largement utilisé et populaire lors des transactions boursières sur les marchés financiers. Tout d’abord, ce paramètre est utilisé pour analyser le succès du trading. Il n'est pas difficile de deviner que plus cette valeur est élevée, plus il y a de raisons de considérer le métier étudié comme réussi. Bien entendu, l’analyse du travail d’un trader ne peut être réalisée à partir de ce seul paramètre. Cependant, la valeur calculée, en combinaison avec d'autres méthodes d'évaluation de la qualité du travail, peut augmenter considérablement la précision de l'analyse.

L'espérance mathématique est souvent calculée dans les services de surveillance des comptes de trading, ce qui vous permet d'évaluer rapidement le travail effectué sur le dépôt. Les exceptions incluent les stratégies qui utilisent des transactions non rentables « s’absentant ». Un commerçant peut avoir de la chance pendant un certain temps et il se peut donc qu'il n'y ait aucune perte dans son travail. Dans ce cas, il ne sera pas possible de se laisser guider uniquement par l'attente mathématique, car les risques utilisés dans le travail ne seront pas pris en compte.

Dans le trading sur le marché, l'espérance mathématique est le plus souvent utilisée pour prédire la rentabilité de toute stratégie de trading ou pour prédire les revenus d'un trader sur la base des données statistiques de ses transactions précédentes.

En ce qui concerne la gestion de l’argent, il est très important de comprendre que lors de transactions avec des attentes négatives, il n’existe aucun système de gestion de l’argent qui puisse certainement générer des profits élevés. Si vous continuez à jouer en bourse dans ces conditions, quelle que soit la façon dont vous gérez votre argent, vous perdrez la totalité de votre compte, quelle que soit sa taille au départ.

Cet axiome est vrai non seulement pour les jeux ou les échanges avec des attentes négatives, mais également pour les jeux avec des chances égales. Par conséquent, le seul moment où vous avez une chance de réaliser des bénéfices à long terme est si vous effectuez des transactions avec une valeur attendue positive.

La différence entre une attente négative et une attente positive est la différence entre la vie et la mort. Peu importe à quel point les attentes sont positives ou négatives ; Tout ce qui compte c'est si c'est positif ou négatif. Par conséquent, avant d’envisager la gestion de l’argent, vous devez trouver un jeu avec des attentes positives.

Si vous n'avez pas un tel jeu, alors toute la gestion de l'argent du monde ne vous sauvera pas. D’un autre côté, si vous avez une attente positive, vous pouvez, grâce à une bonne gestion financière, la transformer en une fonction de croissance exponentielle. Peu importe que les attentes positives soient minimes ! En d’autres termes, peu importe la rentabilité d’un système commercial basé sur un seul contrat. Si vous disposez d'un système qui gagne 10 $ par contrat et par transaction (après commissions et dérapages), vous pouvez utiliser des techniques de gestion financière pour le rendre plus rentable qu'un système qui gagne en moyenne 1 000 $ par transaction (après déduction des commissions et des dérapages).

Ce qui compte n’est pas la rentabilité du système, mais la certitude qu’il générera au moins un bénéfice minimal à l’avenir. Par conséquent, la préparation la plus importante qu'un trader puisse faire est de s'assurer que le système affichera une valeur attendue positive à l'avenir.

Afin d’avoir une valeur attendue positive dans le futur, il est très important de ne pas limiter les degrés de liberté de votre système. Ceci est réalisé non seulement en éliminant ou en réduisant le nombre de paramètres à optimiser, mais également en réduisant autant de règles système que possible. Chaque paramètre que vous ajoutez, chaque règle que vous établissez, chaque petite modification que vous apportez au système réduit le nombre de degrés de liberté. Idéalement, vous devez construire un système assez primitif et simple qui générera systématiquement de petits bénéfices sur presque tous les marchés. Encore une fois, il est important que vous compreniez que la rentabilité du système n’a pas d’importance, du moment qu’il est rentable. L’argent que vous gagnerez en trading le sera grâce à une gestion efficace de votre argent.

Un système commercial est simplement un outil qui vous donne une valeur attendue positive afin que vous puissiez utiliser la gestion de l'argent. Les systèmes qui fonctionnent (montrent au moins des bénéfices minimes) sur un ou quelques marchés seulement, ou qui ont des règles ou des paramètres différents pour différents marchés, ne fonctionneront probablement pas en temps réel pendant longtemps. Le problème avec la plupart des traders orientés vers la technique est qu'ils consacrent trop de temps et d'efforts à optimiser les différentes règles et valeurs des paramètres du système commercial. Cela donne des résultats complètement opposés. Au lieu de gaspiller de l'énergie et du temps informatique pour augmenter les bénéfices du système commercial, consacrez votre énergie à augmenter le niveau de fiabilité pour obtenir un profit minimum.

Sachant que la gestion financière n'est qu'un jeu de chiffres qui nécessite l'utilisation d'attentes positives, un trader peut arrêter de chercher le « Saint Graal » du trading d'actions. Au lieu de cela, il peut commencer à tester sa méthode de trading, découvrir à quel point cette méthode est logique et si elle donne des attentes positives. Des méthodes appropriées de gestion financière, appliquées à toutes les méthodes de trading, même très médiocres, feront elles-mêmes le reste du travail.

Pour que tout commerçant réussisse dans son travail, il doit résoudre trois tâches les plus importantes : . S'assurer que le nombre de transactions réussies dépasse les inévitables erreurs et erreurs de calcul ; Configurez votre système de trading pour avoir la possibilité de gagner de l'argent le plus souvent possible ; Obtenez des résultats positifs et stables de vos opérations.

Et ici, pour nous, commerçants, les attentes mathématiques peuvent être d’une grande aide. Ce terme est l’un des termes clés de la théorie des probabilités. Avec son aide, vous pouvez donner une estimation moyenne d'une valeur aléatoire. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est similaire au centre de gravité, si vous imaginez toutes les probabilités possibles comme des points avec des masses différentes.

En ce qui concerne une stratégie de trading, l'espérance mathématique de profit (ou de perte) est le plus souvent utilisée pour évaluer son efficacité. Ce paramètre est défini comme la somme des produits de niveaux de profits et de pertes donnés et de la probabilité de leur apparition. Par exemple, la stratégie de trading développée suppose que 37 % de toutes les transactions généreront des bénéfices et que la partie restante - 63 % - ne sera pas rentable. Dans le même temps, le revenu moyen d'une transaction réussie sera de 7 $ et la perte moyenne sera de 1,4 $. Calculons l'espérance mathématique du trading en utilisant ce système :

Que signifie ce numéro ? Il dit que, selon les règles de ce système, nous recevrons en moyenne 1 708 $ pour chaque transaction clôturée. Étant donné que l’indice d’efficacité qui en résulte est supérieur à zéro, un tel système peut être utilisé pour un travail réel. Si, à la suite du calcul, l'espérance mathématique s'avère négative, cela indique déjà une perte moyenne et un tel trading conduira à la ruine.

Le montant du bénéfice par transaction peut également être exprimé en valeur relative sous forme de %. Par exemple:

– pourcentage de revenu pour 1 transaction - 5% ;

– pourcentage d'opérations commerciales réussies - 62% ;

– pourcentage de perte pour 1 transaction - 3% ;

– pourcentage de transactions infructueuses - 38% ;

Autrement dit, le commerce moyen rapportera 1,96%.

Il est possible de développer un système qui, malgré la prédominance des métiers non rentables, donnera un résultat positif, puisque son MO>0.

Cependant, attendre seul ne suffit pas. Il est difficile de gagner de l'argent si le système donne très peu de signaux de trading. Dans ce cas, sa rentabilité sera comparable aux intérêts bancaires. Supposons que chaque opération produise en moyenne seulement 0,5 dollar, mais que se passe-t-il si le système implique 1 000 opérations par an ? Cela représentera une somme très importante dans un laps de temps relativement court. Il s'ensuit logiquement qu'une autre caractéristique distinctive d'un bon système commercial peut être considérée comme une courte période de détention des positions.

Sources et liens

dic.academic.ru – dictionnaire académique en ligne

maths.ru – site Web éducatif en mathématiques

nsu.ru – site Web éducatif de l'Université d'État de Novossibirsk

webmath.ru est un portail éducatif destiné aux étudiants, aux candidats et aux écoliers.

Site Web éducatif mathématique exponenta.ru

ru.tradimo.com – école de commerce en ligne gratuite

crypto.hut2.ru – ressource d'information multidisciplinaire

poker-wiki.ru – encyclopédie gratuite du poker

sernam.ru – Bibliothèque scientifique de publications sélectionnées en sciences naturelles

reshim.su – site Web NOUS RÉSOUDRONS les problèmes de cours de test

unfx.ru – Forex sur UNFX : formation, signaux de trading, gestion de la confiance

slovopedia.com – Grand dictionnaire encyclopédique Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Votre guide dans le monde du poker

statanaliz.info – blog d'information « Analyse des données statistiques »

forex-trader.rf – Portail Forex-Trader

megafx.ru – analyses Forex actuelles

fx-by.com – tout pour un trader

Paramètres de distribution et statistiques

Tous les paramètres de la distribution d'une variable aléatoire, par exemple, tels que l'espérance mathématique ou la variance, sont des quantités théoriques qui ne peuvent pas être mesurées directement, bien qu'elles puissent être estimées. Ils représentent une caractéristique quantitative population et ne peuvent elles-mêmes être déterminées que lors d'une modélisation théorique en tant que valeurs hypothétiques, puisqu'elles décrivent les caractéristiques de la distribution d'une variable aléatoire dans la population générale elle-même. Afin de les déterminer concrètement, le chercheur menant l'expérimentation en procède à une évaluation sélective. Cette évaluation implique un calcul statistique.

Statistiques est une caractéristique quantitative des paramètres étudiés caractérisant la distribution d'une variable aléatoire obtenue sur la base d'une étude de valeurs d'échantillon. Les statistiques sont utilisées soit pour décrire l'échantillon lui-même, soit, ce qui est d'une importance capitale dans la recherche expérimentale fondamentale, pour estimer les paramètres de distribution d'une variable aléatoire dans la population étudiée.

Séparation des concepts "paramètre" Et "statistiques" est très important, car cela permet d'éviter un certain nombre d'erreurs liées à une interprétation incorrecte des données obtenues dans l'expérience. Le fait est que lorsque nous estimons les paramètres de distribution à l'aide de données statistiques, nous obtenons des valeurs qui ne sont proches que dans une certaine mesure des paramètres estimés. Il existe presque toujours une certaine différence entre les paramètres et les statistiques, et nous ne pouvons généralement pas déterminer l’ampleur de cette différence. Théoriquement, plus l’échantillon est grand, plus les paramètres estimés sont proches des caractéristiques de leur échantillon. Cependant, cela ne signifie pas qu'en augmentant la taille de l'échantillon, nous nous rapprocherons inévitablement du paramètre estimé et réduirons la différence entre celui-ci et les statistiques calculées. En pratique, tout peut s’avérer bien plus compliqué.

Si, en théorie, la valeur attendue de la statistique coïncide avec le paramètre estimé, alors une telle estimation est appelée non déplacé. Une estimation dans laquelle la valeur attendue du paramètre estimé diffère du paramètre lui-même d'un certain montant est appelée déplacé.

Il est également nécessaire de faire la distinction entre les estimations ponctuelles et intervalles des paramètres de distribution. Place appelé une évaluation en utilisant un numéro. Par exemple, si l'on dit que la valeur du seuil spatial de sensibilité tactile pour un sujet donné dans des conditions données et sur une zone de peau donnée est de 21,8 mm, alors une telle estimation sera ponctuelle. De la même manière, une estimation ponctuelle se produit lorsque la météo nous indique qu'il fait 25°C en dehors de la fenêtre. Estimation d'intervalle implique l’utilisation d’un ensemble ou d’une plage de nombres dans une évaluation. En évaluant le seuil spatial de sensibilité tactile, on peut dire qu'il était compris entre 20 et 25 mm. De même, les météorologues peuvent signaler que, selon leurs prévisions, la température de l'air au cours des prochaines 24 heures atteindra 22 à 24°C. L'estimation par intervalle d'une variable aléatoire permet non seulement de déterminer la valeur souhaitée de cette quantité, mais également de définir la précision possible d'une telle estimation.

L'espérance mathématique et son évaluation

Revenons à notre expérience de tirage au sort.

Essayons de répondre à la question : combien de fois « face » doit-il apparaître si l'on lance une pièce dix fois ? La réponse semble évidente. Si les probabilités de chacun des deux résultats sont égales, alors les résultats eux-mêmes doivent être également distribués. En d’autres termes, lorsqu’on lance dix fois une pièce de monnaie ordinaire, on peut s’attendre à ce que l’une de ses faces, par exemple « face », atterrisse exactement cinq fois. De même, lorsque vous lancez une pièce de monnaie 100 fois, « face » devrait apparaître exactement 50 fois, et si la pièce est lancée 4236 fois, alors le côté qui nous intéresse devrait apparaître 2118 fois, ni plus ni moins.

Ainsi, la signification théorique d'un événement aléatoire est généralement appelée espérance mathématique. La valeur attendue peut être trouvée en multipliant la probabilité théorique de la variable aléatoire par le nombre d'essais. Mais plus formellement, il est défini comme un moment central de premier ordre. Ainsi, l'espérance mathématique est la valeur d'une variable aléatoire vers laquelle elle tend théoriquement lors de tests répétés, autour desquels elle varie.

Il est clair que la valeur théorique de l'espérance mathématique en tant que paramètre de distribution n'est pas toujours égale à la valeur empirique de la variable aléatoire qui nous intéresse, exprimée en statistique. Si nous faisons une expérience de tirage au sort, il est fort probable que sur dix résultats, « face » n'apparaîtra que quatre ou trois fois, ou peut-être, au contraire, huit fois, ou peut-être ne viendra jamais du tout. Il est clair que certains de ces résultats s’avèrent plus probables, d’autres moins probables. Si nous utilisons la loi de la distribution normale, nous pouvons conclure que plus le résultat s'écarte de celui théoriquement attendu, spécifié par la valeur de l'espérance mathématique, moins il est probable en pratique.

Supposons en outre que nous ayons effectué plusieurs fois une procédure similaire et que nous n'ayons jamais observé la valeur théoriquement attendue. Nous pouvons alors avoir des doutes sur l’authenticité de la pièce. Nous pouvons supposer que pour notre pièce, la probabilité d’obtenir face n’est pas en réalité de 50 %. Dans ce cas, il peut être nécessaire d'estimer la probabilité de cet événement et, par conséquent, la valeur de l'espérance mathématique. Ce besoin se fait sentir chaque fois que, dans une expérience, nous étudions la distribution d’une variable aléatoire continue, telle que le temps de réaction, sans disposer au préalable d’un modèle théorique. En règle générale, il s'agit de la première étape obligatoire du traitement quantitatif des résultats expérimentaux.

L'espérance mathématique peut être estimée de trois manières, qui en pratique peuvent donner des résultats légèrement différents, mais en théorie elles devraient certainement nous conduire à la valeur de l'espérance mathématique.

La logique d’une telle évaluation est illustrée dans la Fig. 1.2. La valeur attendue peut être considérée comme la tendance centrale de la distribution d'une variable aléatoire X, comme sa valeur la plus probable et donc la plus fréquente et comme un point divisant la distribution en deux parties égales.

Riz. 1.2.

Continuons nos expériences imaginaires avec une pièce de monnaie et effectuons trois expériences en la lançant dix fois. Supposons que dans la première expérience, les « têtes » sont apparus quatre fois, la même chose s'est produite dans la deuxième expérience, dans la troisième expérience, les « têtes » sont apparus plus d'une fois et demie plus souvent - sept fois. Il est logique de supposer que l’espérance mathématique de l’événement qui nous intéresse se situe en réalité quelque part entre ces valeurs.

D'abord, le plus simple Procédé d'évaluation l'espérance mathématique sera de trouver moyenne arithmétique. Ensuite, l'estimation de la valeur attendue basée sur les trois mesures ci-dessus sera (4 + 4 + 7)/3 = 5. De même, dans les expériences de temps de réaction, la valeur attendue peut être estimée en prenant la moyenne arithmétique de toutes les valeurs obtenues. X. Donc, si nous dépensions P. mesures du temps de réaction X, alors nous pouvons utiliser la formule suivante, qui nous montre que pour calculer la moyenne arithmétique X il faut additionner toutes les valeurs obtenues empiriquement et les diviser par le nombre d'observations :

Dans la formule (1.2), la mesure de l'espérance mathématique est généralement notée ̅ X (lire comme "X avec une barre"), bien que parfois cela puisse être écrit comme M (de l'anglais signifier - moyenne).

La moyenne arithmétique est l’estimation de l’espérance mathématique la plus couramment utilisée. Dans de tels cas, on suppose que la variable aléatoire est mesurée en métrique échelle. Il est clair que le résultat obtenu peut coïncider ou non avec la vraie valeur de l'espérance mathématique, que l'on ne connaît jamais. Il est cependant important que cette méthode soit impartial estimation de l’espérance mathématique. Cela signifie que l'espérance mathématique de la valeur estimée est égale à son espérance mathématique : .

Deuxième méthode d'évaluation L’espérance mathématique consiste à prendre comme valeur la valeur la plus fréquente de la variable qui nous intéresse. Cette valeur est appelée mode de répartition. Par exemple, dans le cas du lancer d'une pièce de monnaie que nous venons d'examiner, « quatre » peut être pris comme valeur de l'espérance mathématique, puisque dans les trois tests effectués, cette valeur est apparue deux fois ; C'est pourquoi le mode de distribution dans ce cas s'est avéré égal à quatre. L'estimation de mode est principalement utilisée lorsque l'expérimentateur traite des variables qui prennent des valeurs discrètes spécifiées dans non métrique échelle.

Par exemple, en décrivant la répartition des notes des étudiants à un examen, on peut construire une distribution de fréquence des notes reçues par les étudiants. Cette distribution de fréquence est appelée histogramme. Dans ce cas, l'estimation la plus courante peut être considérée comme la valeur de la tendance centrale (espérance mathématique). Lors de l'étude de variables caractérisées par des valeurs continues, cette mesure n'est pratiquement pas utilisée ou est rarement utilisée. Si la distribution de fréquence des résultats obtenus est néanmoins construite, elle ne concerne en règle générale pas les valeurs obtenues expérimentalement de la caractéristique étudiée, mais certains intervalles de sa manifestation. Par exemple, en étudiant la taille des personnes, vous pouvez voir combien de personnes se situent dans la plage de hauteur allant jusqu'à 150 cm, combien se situent dans la plage de 150 à 155 cm, etc. Dans ce cas, le mode sera lié aux valeurs d'intervalle de la caractéristique étudiée, en l'occurrence la hauteur.

Il est clair que le mode, comme la moyenne arithmétique, peut ou non coïncider avec la valeur réelle de l'espérance mathématique. Mais tout comme la moyenne arithmétique, le mode est une estimation impartiale de l’espérance mathématique.

Ajoutons que si deux valeurs dans l'échantillon apparaissent également souvent, alors une telle distribution est appelée bimodal. Si trois valeurs ou plus dans un échantillon apparaissent également souvent, alors un tel échantillon est dit n'avoir aucun mode. De tels cas, avec un nombre d'observations suffisamment important, indiquent en règle générale que les données sont extraites d'une population générale dont la nature de la distribution diffère de la normale.

Enfin, troisième méthode d'évaluation l'attente mathématique est de diviser l'échantillon de sujets en fonction du paramètre qui nous intéresse exactement en deux. La quantité caractérisant cette frontière est appelée médian distributions.

Supposons que nous soyons présents à une compétition de ski et qu'une fois celle-ci terminée, nous souhaitions évaluer lesquels des athlètes ont montré des résultats supérieurs à la moyenne et lesquels sont inférieurs. Si la composition des participants est plus ou moins égale, il est alors logique de calculer la moyenne arithmétique lors de l'évaluation du résultat moyen. Supposons cependant que parmi les participants professionnels il y ait plusieurs amateurs. Il y en a peu, mais ils montrent des résultats nettement inférieurs aux autres. Dans ce cas, il se peut que sur 100 participants au concours, par exemple, 87 aient obtenu des résultats supérieurs à la moyenne. Il est clair qu'une telle évaluation de la tendance moyenne ne peut pas toujours nous satisfaire. Dans ce cas, il est logique de supposer que le résultat moyen a été affiché par les participants qui se sont classés quelque part à la 50e ou à la 51e place. Ce sera la médiane de la distribution. Avant le 50ème finaliste, 49 participants ont terminé, après le 51ème – 49 également. Il n'est cependant pas clair quel résultat parmi eux doit être pris comme moyenne. Bien sûr, il se peut qu’ils aient terminé en même temps. Il n'y a alors aucun problème. Le problème ne se pose pas lorsque le nombre d’observations est impair. Dans d’autres cas, vous pouvez toutefois utiliser la moyenne des résultats de deux participants.

La médiane est un cas particulier du quantile d'une distribution. Quantile fait partie de la distribution. Formellement, elle peut être définie comme la valeur intégrale de la distribution entre deux valeurs d'une variable X. Ainsi, la valeur X sera la médiane de la distribution si la valeur intégrale de la distribution (densité de probabilité) est de -∞ à X égale à la valeur intégrale de la distribution de X à +∞. De même, la distribution peut être divisée en quatre, dix ou 100 parties. Ces quantiles sont appelés en conséquence quartiles, déciles Et percentiles. Il existe d'autres types de quantiles.

Tout comme les deux méthodes précédentes d’estimation des espérances mathématiques, la médiane est une estimation impartiale de l’espérance mathématique.

Théoriquement, on suppose que si nous avons réellement affaire à une distribution normale d'une variable aléatoire, alors les trois estimations de l'espérance mathématique devraient donner le même résultat, puisqu'elles représentent toutes une variante impartial estimations du même paramètre de distribution de la variable aléatoire estimée (voir Fig. 1.2). Toutefois, dans la pratique, cela se produit rarement. Cela peut être dû notamment au fait que la distribution analysée diffère de la normale. Mais la principale raison de ces écarts, en règle générale, est qu'en estimant la valeur de l'espérance mathématique, on peut obtenir une valeur qui diffère très sensiblement de sa vraie valeur. Cependant, comme indiqué ci-dessus, il a été prouvé en statistique mathématique que plus des tests indépendants de la variable considérée sont effectués, plus la valeur estimée doit être proche de la valeur réelle.

Ainsi, en pratique, le choix de la méthode d'estimation de l'espérance mathématique n'est pas déterminé par le désir d'obtenir une estimation plus précise et plus fiable de ce paramètre, mais uniquement par des considérations de commodité. En outre, un certain rôle dans le choix d'une méthode d'estimation de l'espérance mathématique est joué par l'échelle de mesure, qui reflète les observations de la variable aléatoire évaluée.

Qu'il y ait une variable aléatoire X avec une espérance mathématique m et écart D, alors que ces deux paramètres sont inconnus. Au-dessus de la valeur X produit N expériences indépendantes, à la suite desquelles un ensemble de N résultats numériques x 1 , x 2 , …, xN. Comme estimation de l'espérance mathématique, il est naturel de proposer la moyenne arithmétique des valeurs observées

Ici comme x je les valeurs spécifiques (nombres) obtenues en conséquence sont prises en compte N expériences. Si on en prend d'autres (indépendants des précédents) N expériences, alors évidemment nous obtiendrons une valeur différente. Si tu prends plus N expériences, nous obtiendrons alors une autre nouvelle valeur. Notons par X je variable aléatoire résultant de je l'expérience, puis les implémentations X je seront les nombres obtenus à partir de ces expériences. Évidemment, la variable aléatoire X je aura la même fonction de densité de probabilité que la variable aléatoire d'origine X. Nous pensons également que les variables aléatoires X je Et Xj sont indépendants lorsque je, inégal j(diverses expériences indépendantes les unes des autres). Par conséquent, nous réécrivons la formule (1) sous une forme (statistique) différente :

Montrons que l'estimation est impartiale :

Ainsi, l’espérance mathématique de la moyenne de l’échantillon est égale à la véritable espérance mathématique de la variable aléatoire. m. C'est un fait assez prévisible et compréhensible. Par conséquent, la moyenne de l'échantillon (2) peut être considérée comme une estimation de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Maintenant, la question se pose : qu’arrive-t-il à la variance de l’estimation de l’espérance mathématique à mesure que le nombre d’expériences augmente ? Les calculs analytiques montrent que

où est la variance de l'estimation de l'espérance mathématique (2), et D- vraie variance de la variable aléatoire X.

De ce qui précède, il s'ensuit qu'avec l'augmentation N(nombre d'expériences) la variance de l'estimation diminue, c'est-à-dire Plus nous résumons les réalisations indépendantes, plus nous obtenons une estimation proche de l’espérance mathématique.

Estimations de la variance mathématique

À première vue, l’évaluation la plus naturelle semble être

où est calculé à l'aide de la formule (2). Vérifions si l'estimation est impartiale. La formule (3) peut s'écrire comme suit :

Remplaçons l'expression (2) dans cette formule :

Trouvons l'espérance mathématique de l'estimation de la variance :

Puisque la variance d'une variable aléatoire ne dépend pas de l'espérance mathématique de la variable aléatoire, prenons l'espérance mathématique égale à 0, c'est-à-dire m = 0.