Concepts de base de la théorie des processus aléatoires. Éléments de la théorie des processus aléatoires et de la théorie des files d'attente

Théorie processus aléatoires appelé une science mathématique qui étudie les modèles phénomènes aléatoires dans la dynamique de leur développement.

La théorie des processus aléatoires (dans une autre terminologie - théorie fonctions aléatoires) est une branche relativement nouvelle de la théorie des probabilités, qui se développe particulièrement rapidement dans dernières décennies en relation avec la gamme toujours croissante de ses applications pratiques.

Lorsque nous étudions les phénomènes du monde environnant, nous sommes souvent confrontés à des processus dont le déroulement ne peut être prédit avec précision à l'avance. Cette incertitude (imprévisibilité) est causée par l'influence de facteurs aléatoires affectant le déroulement du processus. Donnons quelques exemples de tels processus.

1. La tension dans le réseau électrique, nominalement constante et égale à 220 V, évolue en réalité dans le temps, fluctuant autour de la valeur nominale sous l'influence de facteurs aléatoires tels que le nombre et le type d'appareils connectés au réseau, les moments de leur allumer et éteindre, etc.

2. La population d'une ville (ou d'une région) évolue au fil du temps de manière aléatoire (imprévisible) sous l'influence de facteurs tels que la fécondité, la mortalité, la migration, etc.

3. Le niveau d'eau d'une rivière (ou d'un réservoir) change de manière aléatoire dans le temps en fonction de la météo, de la quantité de précipitations, de la fonte des neiges, de l'intensité des activités d'irrigation, etc.

4. Une particule subissant un mouvement brownien dans le champ de vision d'un microscope change de position de manière aléatoire à la suite de collisions avec des molécules liquides.

5. Il y a un vol d’une fusée spatiale qui doit être lancée dans l’espace. ce moment V point donné espaces avec une direction donnée et valeur absolue vecteur vitesse. Le mouvement réel de la fusée ne coïncide pas avec celui calculé en raison de facteurs aléatoires tels que les turbulences atmosphériques, l'hétérogénéité du carburant, les erreurs de traitement des commandes, etc.

6. Pendant le fonctionnement, un ordinateur peut passer aléatoirement d'un état à l'autre, par exemple :

S1- fonctionne correctement ;

S2- il y a un dysfonctionnement, mais il n'a pas été détecté ;

S3- un dysfonctionnement a été détecté et une recherche de sa source est en cours ;

S4- en réparation, etc.

Les transitions d'un état à l'autre se produisent sous l'influence de facteurs aléatoires, tels que des fluctuations de tension dans le réseau d'alimentation de l'ordinateur, une panne éléments individuels, le moment de détection des dysfonctionnements, le moment de leur élimination, etc.

À proprement parler, dans la nature, il n'existe pas de processus totalement non aléatoires, précisément déterministes, mais il existe des processus au cours desquels les facteurs aléatoires influencent si peu qu'ils peuvent être négligés lors de l'étude du phénomène (exemple : le processus de révolution planétaire autour du Soleil). Cependant, il existe également des processus dans lesquels le hasard joue un rôle majeur (exemple : le processus de mouvement brownien d'une particule discuté ci-dessus). Entre deux cas extrêmes il existe tout un spectre de processus dans lesquels le hasard joue un rôle plus ou moins important. La prise en compte (ou non) du caractère aléatoire du processus dépend aussi de ce que problème pratique nous décidons. Par exemple, lors de l'ordonnancement d'avions entre deux points, leurs trajectoires peuvent être considérées comme rectilignes et leur mouvement uniforme ; les mêmes hypothèses ne s'appliqueront pas si le problème de la conception d'un pilote automatique pour contrôler le vol d'un avion est résolu.

On peut distinguer deux grands types de problèmes dont la solution nécessite le recours à la théorie des fonctions aléatoires (processus aléatoires).

Tâche directe (analyse): les paramètres d'un certain appareil et ses caractéristiques probabilistes(espérances mathématiques, fonctions de corrélation, lois de distribution) de la fonction (signal, processus) arrivant à son « entrée » ; il est nécessaire de déterminer les caractéristiques à la « sortie » de l'appareil (elles servent à juger de la « qualité » du fonctionnement de l'appareil).

Problème inverse (la synthèse): les caractéristiques probabilistes des fonctions « entrée » et « sortie » sont précisées ; il est nécessaire de concevoir un dispositif optimal (trouver ses paramètres) qui transforme une fonction d'entrée donnée en une telle fonction de sortie, qui a les caractéristiques données. La solution à ce problème nécessite, en plus de l'appareil de fonctions aléatoires, des attractions et d'autres disciplines.

1. Le concept de fonction aléatoire, les processus stochastiques

Lorsqu’on étudie de nombreux phénomènes, on est systématiquement confronté à des variables aléatoires qui évoluent au cours du test sur un certain temps. Nous avons déjà rencontré des exemples de tels phénomènes dans les paragraphes 6.2. et 9.2. en relation avec la loi de distribution de Poisson.

Des exemples de tels r.v. sont : la désintégration d'une substance radioactive lors d'une réaction chimique, le signal à la sortie d'un récepteur radio sous l'influence d'interférences, la longueur de la file d'attente pour un ticket pour Match de football, fluctuations des prix dans le système commercial des biens essentiels, charge de travail des étudiants au cours du semestre universitaire, trajectoire des particules dans mouvement brownien, classement des candidats dans les processus électoraux, nombre d'appels reçus au central téléphonique, etc.

Ces variables aléatoires qui changent au cours du processus d'expérimentation (observation, test) sont appelées processus aléatoires (aléatoire les fonctions). Actuellement, un certain nombre de branches technologiques et scientifiques (statistiques physiques, processus de diffusion, processus de réaction chimique, etc.) ont posé de nouvelles tâches à la théorie des probabilités qui ne rentrent pas dans le cadre de la théorie des probabilités classique. À cette époque, de nombreuses branches de l’activité humaine s’intéressaient à l’étude des processus, c’est-à-dire des phénomènes se produisant au fil du temps. Ils exigeaient de la science de la théorie des probabilités le développement d'une théorie générale des processus dits aléatoires. En d’autres termes, le développement d’une théorie qui étudierait les variables aléatoires en fonction d’un ou plusieurs paramètres temporels en constante évolution. Donnons des exemples de tels problèmes qui illustrent la nécessité de construire une théorie des processus aléatoires.

Imaginons que nous souhaitions suivre le mouvement d'une molécule de gaz ou de liquide. Cette molécule dans moments aléatoires le temps entre en collision avec d’autres molécules et change de vitesse et de position. Il est évident que l’état de la molécule est sujet à des changements aléatoires à chaque instant. Pour leur étude, de nombreux phénomènes naturels nécessitent de pouvoir calculer la probabilité qu'un certain nombre de phénomènes (molécules, changements de prix, arrivée de signaux radio, etc.) changent de position. Toutes ces questions et bien d’autres trouvent leur réponse dans la théorie statistique des processus aléatoires ou, comme on l’appelle communément, «  théorie des processus stochastiques ». Évidemment, des problèmes similaires se posent en physique, chimie, astronomie, économie, génétique, etc. Par exemple, lorsqu'on étudie le processus d'une réaction chimique, une question légitime se pose :

Quelle partie de la molécule a déjà réagi ?

Comment cette réaction se produit-elle au fil du temps ?

Quand la réaction est-elle pratiquement terminée ?

Un grand nombre de phénomènes se déroulent selon le principe désintégration radioactive. L'essence de ce phénomène est que les atomes d'une substance radioactive se désintègrent instantanément pour se transformer en atomes d'un autre élément chimique. La désintégration de chaque atome se produit rapidement et à grande vitesse, comme une explosion, avec libération d'une certaine quantité d'énergie. En règle générale, de nombreuses observations montrent que la désintégration de divers atomes se produit pour l'observateur à des moments aléatoires. De plus, la localisation de ces instants ne dépend pas les unes des autres au sens de la théorie des probabilités. Pour étudier le processus de désintégration radioactive, il est essentiel de déterminer quelle est la probabilité qu’un certain nombre d’atomes se désintègrent sur une certaine période de temps ? Formellement, si vous essayez uniquement de clarifier l'image mathématique de tels phénomènes, vous pouvez alors trouver une solution simple aux problèmes mathématiques auxquels ces phénomènes conduisent.

Voyons brièvement comment, sur la base de la considération du problème des particules marchant en ligne droite, les scientifiques Planck et Fokker ont obtenu une équation différentielle dans la théorie de la diffusion.

Laissez la particule à un moment donné au point
, en quelques instants
subit des chocs aléatoires, à la suite desquels il se déplace à chaque fois avec une probabilité par le montant à droite et avec probabilité
également par le montant À gauche.

Notons par
la probabilité qu'une particule résulte des chocs se produiront à ce moment-là
enceinte (il est clair qu'à nombre pair de chocs la valeur ne peut être égal qu'à un nombre pair de pas , et quand impair - seulement nombre impair pas . Si à travers
désigne le nombre de pas effectués par la particule vers la droite (alors

est le nombre de pas que la particule a fait vers la gauche), alors selon la formule de Bernoulli cette probabilité est égale à

Il est clair que ces quantités sont liées par l'égalité
Directement, vous pouvez vérifier que la fonction
satisfait l'équation de différence

avec conditions initiales
et à

. La nature physique du problème nous obligera à accepter certaines restrictions naturelles sur le rapport des paramètres
. Le non-respect de certaines conditions nécessaires, qui seront discutées plus loin, peut conduire au fait que dans une période de temps finie, une particule avec une probabilité égale à un peut aller à l'infini. Afin d'exclure cette possibilité, nous imposons aux paramètres conditions suivantesà

où est la valeur exprime vitesse courants, UN
coefficient de diffusion.

Soustrayons des deux côtés de l'égalité (1) la quantité
, on a

Supposons que la fonction
différenciable par rapport à deux fois et une fois . Ensuite nous avons

Après avoir substitué les égalités résultantes dans (3), nous avons

A partir de là, on passe à la limite
et sur la base des conditions (2) on obtient finalement

(4)

Ainsi, nous avons obtenu l'équation bien connue, qui dans la théorie de la diffusion est appelée Équations de Fokker – Planck.

Le début de la théorie générale des processus stochastiques a été posé dans les travaux fondamentaux d'A.N. Kolmogorov et A.Ya. Khinchin au début des années 30. Dans l'article d'A.N. Kolmogorov «Sur les méthodes analytiques de la théorie des probabilités» a donné une construction systématique et rigoureuse des fondements de la théorie des processus stochastiques sans séquelle ou, comme on le dit souvent, des processus de type Markov. Dans un certain nombre d'ouvrages de Khinchin, une théorie des processus dits stationnaires a été créée.

Ainsi, la branche des mathématiques qui étudie les phénomènes aléatoires dans leur dynamique

le développement s'appelle théorie des processus aléatoires(fonctions aléatoires). Ses méthodes sont souvent utilisées : dans la théorie du contrôle automatique, dans l'analyse et la planification des activités financières des entreprises et des exploitations agricoles, dans le traitement et la transmission des informations nécessaires (signaux dans les appareils radio, communications par satellite, etc.), en économie et en théorie. faire la queue.

Considérons brièvement les concepts de base de la théorie des processus aléatoires (SP).

Si chaque valeur
, Où désigne un certain ensemble de nombres réels, mis en correspondance avec r.v.
, puis ils disent ça sur le plateau une fonction aléatoire (s.f.) est donnée
. Processus aléatoires pour lesquels
, sont particulièrement importants dans les applications. Dans les cas où le paramètre interprétée comme un paramètre temporel, alors la fonction aléatoire est appelée processus aléatoire, c'est-à-dire processus aléatoire a appelé la famille de r.v.
en fonction du paramètre
et événements élémentaires définis sur le même espace
Désigné
ou

Un processus aléatoire peut être spécifié sous la forme d'une formule (notation analytique) si le type de fonction aléatoire est connu. Par exemple, s.f. est un r.p., où la variable aléatoire
Il a distribution uniforme. Pour une valeur fixe
, s.p.
, puis s.p. fait appel à s.v.
qui est appelée la section efficace du processus aléatoire.

Mise en œuvre ou trajectoire processus aléatoire
appelé non aléatoire fonction du temps
à fixe
, c'est à dire. à la suite de tests s.p. accepte type spécifique
, tandis que la mise en œuvre du s.p. désigné par
,
où les indices indiquent le numéro du test.

La figure 59 montre trois implémentations
processus aléatoire à
;

Ils rappellent types de trois phénomènes oscillatoires sinusoïdaux dans un certain processus mécanique, chacune de ces mises en œuvre (trajectoire) étant une fonction ordinaire

Fig.59 (Écrit).

Dans cet exemple, r.v. dans trois expériences, il a pris respectivement trois valeurs : 1, 2, 0,5, c'est-à-dire Trois mises en œuvre de la coentreprise sont indiquées :. Les trois fonctions ne sont pas aléatoires. Si dans cet exemple nous fixons le moment dans le temps, à
, on obtient alors la section :
- variable aléatoire ou à
,-Variables aléatoires. Notez que ce qu'on appelle loi de distribution unidimensionnelle d'un processus aléatoire
n'est pas une description complète de la s.p. Processus aléatoire
représente la totalité de toutes les sections à différentes valeurs
, par conséquent, pour le décrire complètement, il convient de considérer la fonction de distribution conjointe des sections efficaces du processus :

la loi de distribution dite de dimension finie de s.p. en quelques instants
. En d’autres termes, des RV multidimensionnels apparaissent.

Ainsi, le concept de s.p. est une généralisation directe du concept de système de variables aléatoires, lorsqu'il existe un ensemble infini de ces variables.

Introduction

La théorie des processus aléatoires (fonctions aléatoires) est une section science mathématique, étudiant les modèles de phénomènes aléatoires dans la dynamique de leur développement.

Actuellement il y a un grand nombre de littérature consacrée directement à la théorie des files d'attente, au développement de ses aspects mathématiques, ainsi qu'à champs variés ses applications - militaires, médicales, transports, commerce, aviation, etc.

La théorie des files d'attente est basée sur la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques. Le développement initial de la théorie des files d'attente est associé au nom du scientifique danois A.K. Erlang (1878-1929), avec ses travaux dans le domaine de la conception et de l'exploitation de centraux téléphoniques.

La théorie des files d'attente est un domaine des mathématiques appliquées qui traite de l'analyse des processus dans les systèmes de production, de service et de gestion dans lesquels des événements homogènes se répètent plusieurs fois, par exemple dans les entreprises de services aux consommateurs ; dans les systèmes de réception, de traitement et de transmission d'informations ; lignes de production automatiques, etc. Une grande contribution au développement de cette théorie a été apportée par Mathématiciens russes ET MOI. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel et coll.

Le sujet de la théorie des files d'attente est d'établir des dépendances entre la nature du flux de demandes, le nombre de canaux de service, les performances d'un canal individuel et le service efficace afin de trouver les meilleurs moyens de gérer ces processus. Les problèmes de la théorie des files d'attente sont de nature optimisation et incluent en fin de compte aspect économique par définition, une option système qui garantira un minimum de coûts totaux liés à l'attente du service, à la perte de temps et de ressources pour le service et aux temps d'arrêt des canaux de service.

DANS Activités commerciales l’application de la théorie des files d’attente n’a pas encore trouvé la propagation souhaitée.

Cela est principalement dû à la difficulté de définir les tâches, à la nécessité d'une compréhension approfondie du contenu des activités commerciales, ainsi que d'outils fiables et précis permettant de calculer diverses conséquences possibles dans les activités commerciales. décisions de gestion.

1. Définition d'un processus aléatoire et de ses caractéristiques

Un processus aléatoire X(t) est un processus dont la valeur, pour toute valeur de l'argument t, est une variable aléatoire.

En d'autres termes, un processus aléatoire est une fonction qui, à la suite de tests, peut prendre l'une ou l'autre forme spécifique, inconnue à l'avance. Pour un t = to fixe, X(to) est une variable aléatoire ordinaire, c'est-à-dire coupe efficace d'un processus aléatoire au temps tо.

La mise en œuvre d'un processus aléatoire X (t, w) est une fonction non aléatoire x(t), dans laquelle le processus aléatoire X(t) se transforme à la suite de tests (pour un w fixe), c'est-à-dire la forme spécifique prise par le processus aléatoire X(t), sa trajectoire.

Ainsi, le processus aléatoire X (t, w) combine les caractéristiques Variable aléatoire et fonctions. Si nous fixons la valeur de l'argument t, le processus aléatoire se transforme en une variable aléatoire ordinaire ; si nous corrigeons w, alors à la suite de chaque test, il se transforme en une fonction ordinaire non aléatoire.

Comme une variable aléatoire, un processus aléatoire peut être décrit caractéristiques numériques.

L'espérance mathématique d'un processus aléatoire X(t) est une fonction non aléatoire a X (t), qui pour toute valeur de la variable t est égale à l'espérance mathématique de la section efficace correspondante du processus aléatoire X(t), c'est-à-dire hache (t) = M.

La variance d'un processus aléatoire X(t) est une fonction non aléatoire. D X (t), pour toute valeur de la variable t égal à la variance la section correspondante du processus aléatoire X(t), c'est-à-dire Dx (t) = D.

Écart-type le processus aléatoire X(t) est appelé valeur arithmétique la racine carrée de sa variance, c'est-à-dire

L'espérance mathématique d'un processus aléatoire caractérise la trajectoire moyenne de toutes ses implémentations possibles, et sa dispersion ou écart type caractérise la dispersion des implémentations par rapport à la trajectoire moyenne.

La fonction de corrélation d'un processus aléatoire X(t) est une fonction non aléatoire

deux variables t1 et t 2, qui pour chaque paire de variables t1 et t2 est égale à la covariance des sections correspondantes X(t1) et X(t 2) processus aléatoire.

Normalisé fonction de corrélation le processus aléatoire X(t) est appelé la fonction

Les processus aléatoires peuvent être classés selon que les états du système dans lequel ils se produisent changent doucement ou brusquement, selon que l'ensemble de ces états est fini (dénombrable) ou infini, etc. Parmi les processus aléatoires endroit spécial appartient à un processus aléatoire de Markov. Mais d'abord, familiarisons-nous avec les concepts de base de la théorie des files d'attente.

2. Notions de base théorie des files d'attente

Dans la pratique, on rencontre souvent des systèmes conçus pour être réutilisables lors de la résolution de problèmes similaires. Les processus qui en résultent sont appelés processus de service et les systèmes sont appelés systèmes de file d'attente (QS). Des exemples de tels systèmes sont les systèmes téléphoniques, les ateliers de réparation, les complexes informatiques, les billetteries, les magasins, les coiffeurs, etc.

Chaque SMO est composé de un certain nombre unités de service (appareils, appareils, points, stations), que nous appellerons canaux de service. Les canaux peuvent être des lignes de communication, des points de fonctionnement, machines informatiques, vendeurs, etc. En fonction du nombre de canaux, les CMO sont divisés en monocanal et multicanal.

Les candidatures ne sont généralement pas reçues par le QS de manière régulière, mais de manière aléatoire, formant ce que l'on appelle un flux aléatoire de candidatures (exigences). La signification des demandes, en général, se poursuit également pendant un certain temps. heure aléatoire. La nature aléatoire du flux de candidatures et du temps de service conduit au fait que le QS est inégalement chargé : à certaines périodes, un très grand nombre de candidatures s'accumulent (soit elles sont mises en file d'attente, soit elles laissent le QS non desservi), à d'autres périodes, le QS fonctionne en sous-charge ou au ralenti.

Le sujet de la théorie des files d'attente est la construction de modèles mathématiques reliant conditions données fonctionnement du QS (nombre de canaux, leur productivité, nature du flux de demandes, etc.) avec des indicateurs de performance du QS, décrivant sa capacité à faire face au flux de demandes.

Les éléments suivants sont utilisés comme indicateurs de l'efficacité du QS : le nombre moyen d'applications traitées par unité de temps ; nombre moyen de candidatures en file d'attente ; temps d'attente moyen pour le service ; la possibilité de déni de service sans attendre ; la probabilité que le nombre de candidatures dans la file d'attente dépasse une certaine valeur, etc.

QS est divisé en deux types principaux (classes) : QS avec échecs et QS avec attente (file d'attente). Dans un QS avec refus, une candidature reçue à un moment où tous les canaux sont occupés reçoit un refus, quitte le QS et ne participe pas à la suite du processus de service (par exemple, une demande de conversation téléphonique au moment où tous les canaux sont occupés, il reçoit un refus et laisse le QS sans service). Dans un QS en attente, une requête qui arrive à un moment où tous les canaux sont occupés ne part pas, mais est mise en file d'attente pour le service.

Les QS avec attente sont divisés en différents types selon l'organisation de la file d'attente : avec une longueur de file d'attente limitée ou illimitée, avec temps limité attentes, etc.

3. Le concept de processus aléatoire de Markov

Le processus QS est un processus aléatoire.

Un processus est appelé processus à états discrets si ses états possibles S1, S2, S3... peuvent être répertoriés à l'avance et que la transition du système d'un état à l'autre se produit instantanément (dans un saut). Le processus est appelé un processus avec temps continu, si les moments des transitions possibles du système d'un état à l'autre ne sont pas fixés à l'avance, mais sont aléatoires.

Le processus de fonctionnement QS est un processus aléatoire avec des états discrets et un temps continu. Cela signifie que l'état du QS change brusquement à des moments aléatoires lorsque certains événements se produisent (par exemple, l'arrivée d'une nouvelle requête, la fin du service, etc.).

Analyse mathematique Le travail du QS est considérablement simplifié si le processus de ce travail est markovien. Un processus aléatoire est appelé processus de Markov ou processus aléatoire sans séquelle si, à un moment donné, les caractéristiques probabilistes du processus dans le futur dépendent uniquement de son état à un moment donné et ne dépendent pas du moment et de la manière dont le système est arrivé à cet état.

Exemple Processus de Markov: système S - taximètre. L'état du système à l'instant t est caractérisé par le nombre de kilomètres (dixièmes de kilomètres) parcourus par la voiture jusqu'à cet instant. Laissez le compteur afficher Donc pour le moment. La probabilité qu'à l'instant t > le compteur indique tel ou tel nombre de kilomètres (plus précisément, le nombre correspondant de roubles) S1 dépend de So, mais ne dépend pas des moments dans lesquels les lectures du compteur ont changé avant le moment à.

De nombreux processus peuvent être approximativement considérés comme markoviens. Par exemple, le processus consistant à jouer aux échecs ; le système S est un groupe de pièces d’échecs. L'état du système est caractérisé par le nombre de pièces ennemies restant sur le plateau à l'heure actuelle. La probabilité qu'à l'instant t > l'avantage matériel soit du côté de l'un des adversaires dépend principalement de l'état dans lequel se trouve le système à ce moment-là, et non du moment et dans quel ordre les pièces ont disparu du bord à moment.

Dans certains cas, la préhistoire des processus considérés peut être simplement négligée et des modèles de Markov peuvent être utilisés pour les étudier.

Lors de l'analyse de processus aléatoires avec des états discrets, il est pratique d'utiliser un schéma géométrique - ce qu'on appelle le graphe d'état. Habituellement, les états du système sont représentés par des rectangles (cercles) et les transitions possibles d'un état à l'autre - par des flèches (arcs orientés), États connectés.

Pour une description mathématique d’un processus aléatoire de Markov avec des états discrets et un temps continu, circulant dans un QS, faisons connaissance avec l’un des notions importantes théorie des probabilités - le concept de flux d'événements.

. Flux d'événements

Un flux d'événements s'entend comme une séquence d'événements homogènes se succédant les uns après les autres à des instants aléatoires (par exemple, un flux d'appels à échange de téléphone, flux de pannes informatiques, flux clients, etc.).

Le flux est caractérisé par l'intensité X - la fréquence d'apparition des événements ou le nombre moyen d'événements entrant dans le QS par unité de temps.

Le flux des événements est dit régulier si les événements se succèdent à certains intervalles de temps égaux. Par exemple, le flux de produits sur une chaîne de montage (avec vitesse constante mouvement) est régulier.

Un flux d’événements est dit stationnaire si ses caractéristiques probabilistes ne dépendent pas du temps. En particulier, l'intensité d'un flux stationnaire est une valeur constante : Par exemple, le flux de voitures sur une avenue de la ville n'est pas stationnaire en journée, mais ce flux peut être considéré comme stationnaire pendant la journée. certaine heure jours, disons, aux heures de pointe. Dans ce cas, le nombre réel de voitures passant par unité de temps (par exemple, chaque minute) peut varier considérablement, mais leur nombre moyen est constant et ne dépendra pas du temps.

Un flux d'événements est appelé flux sans séquelle si pour deux périodes temporelles T1 et T2 quelconques non superposées, le nombre d'événements tombant sur l'une d'elles ne dépend pas du nombre d'événements tombant sur les autres. Par exemple, le flux de passagers entrant dans le métro n’a pratiquement aucune conséquence. Et, disons, le flux de clients sortant du comptoir avec des achats a déjà un effet secondaire (ne serait-ce que parce que l'intervalle de temps entre les clients individuels ne peut pas être inférieur au temps de service minimum pour chacun d'eux).

Un flux d'événements est dit ordinaire si la probabilité l'apparition de deux événements ou plus dans un petit intervalle de temps (élémentaire) At est négligeable en comparaison Avecla probabilité qu'un événement se produise. En d’autres termes, un flux d’événements est ordinaire si les événements y apparaissent individuellement et non en groupes. Par exemple, le flux des trains à l’approche d’une gare est ordinaire, mais le flux des voitures n’est pas ordinaire.

Le flux d'événements est appelé le plus simple(ou Poisson stationnaire), s'il est à la fois stationnaire, ordinaire et sans séquelle. Le nom « le plus simple » s’explique par le fait que le QS avec les flux les plus simples a le description mathématique. Un flux régulier n'est pas le plus simple, puisqu'il a une séquelle : les moments d'apparition des événements dans un tel flux sont strictement fixés.

Le flux le plus simple en tant que limite apparaît aussi naturellement dans la théorie des processus aléatoires que dans la théorie des probabilités. distribution normale est obtenu comme limite pour la somme des variables aléatoires : lors de l'imposition (superposition) il suffit grand nombre n flux indépendants, stationnaires et ordinaires (comparables entre eux en termes d'intensités Ai (i = 1,2...n)) on obtient un flux proche du plus simple d'intensité X, égal au montant intensités des flux entrants, soit :

Loi binomiale répartitions :

avec paramètres

La distribution binomiale tend vers la distribution de Poisson avec le paramètre

Pour qui valeur attendue d'une variable aléatoire est égale à sa variance :

En particulier, la probabilité qu'aucun événement ne se produise pendant le temps t (t = 0) est égale à

La distribution donnée par la densité de probabilité ou fonction de distribution est exponentielle. Ainsi, l'intervalle de temps entre deux événements arbitraires adjacents du flux le plus simple a une distribution exponentielle, pour laquelle l'espérance mathématique est égale à la moyenne écart carré Variable aléatoire:

et vice versa selon l'intensité du débit

La propriété la plus importante La distribution exponentielle (inhérente uniquement à la distribution exponentielle) est la suivante : si une période de temps distribuée selon la loi exponentielle a déjà duré un certain temps t, alors cela n'affecte en rien la loi de distribution de la partie restante de la intervalle (T - t) : ce sera le même que et la loi de distribution de tout l'intervalle T.

Autrement dit, pour un intervalle de temps T entre deux événements voisins consécutifs d'un flux ayant une distribution exponentielle, toute information sur la durée de cet intervalle n'affecte pas la loi de distribution de la partie restante. Cette propriété loi démonstrative est, en substance, une autre formulation de « l’absence de séquelles » – la propriété principale de l’écoulement le plus simple.

Pour l'écoulement d'intensité le plus simple, la probabilité qu'au moins un événement d'écoulement se produise dans un (petit) intervalle de temps élémentaire At est égale à :

(Cette formule approximative, obtenue en remplaçant la fonction par seulement les deux premiers termes de son développement en puissances de At, est d'autant plus précise que At est petit).

5. Équations de Kolmogorov. Limiter les probabilités des états

Le graphique d'état du processus correspondant est présenté sur la figure. à la tâche. Nous supposerons que toutes les transitions du système de l'état Si à Sj se produisent sous l'influence de simples flux d'événements d'intensités (je , j = 0, 1, 2,3); Ainsi, le passage du système de l’état S0 à S1 se produira sous l'influence du flux de pannes du premier nœud, et la transition inverse de l'état S0 à S1 se produira sous l'influence du flux « d'achèvement des réparations » du premier nœud, etc.

Le graphique des états du système avec les intensités marquées au niveau des flèches sera appelé étiqueté (voir la figure ci-dessus). Le système S considéré comporte quatre états possibles:S0 , S1 S2, S3. La probabilité du i-ième état est la probabilité pi(t) qu'à l'instant t le système soit dans l'état Si. Évidemment, à tout instant t, la somme des probabilités de tous les états est égale à un :

Considérons le système au temps t et, en fixant un petit intervalle At, trouvons la probabilité po (t + At) que le système au temps t+At soit dans l'état S0. Ceci est réalisé différentes façons.

1.Le système à l'instant t avec probabilité po(t) était dans l'état S0, mais ne l'a pas quitté pendant l'instant At.

Le système peut être sorti de cet état (voir le graphique dans la figure du problème) en utilisant le débit total avec intensité le plus simple , avec une probabilité approximativement égale à

Et la probabilité que le système ne quitte pas l’état S0 est égale à . La probabilité que le système soit dans l'état S0 et ne le quitte pas pendant le temps At est égale, selon le théorème de multiplication des probabilités :

Le système à l'instant t avec probabilité p1 (t) (ou p2 (t)) était dans l'état S1 ou S2 et pendant le temps At est passé à l'état

Intensité du débit le système passera dans l'état So avec une probabilité approximativement égale à . La probabilité que le système soit dans l'état So, selon cette méthode, est égale à (ou )

En appliquant le théorème d’addition de probabilité, on obtient :

Passage à la limite à At 0 (égalités approximatives devenir exact), on obtient la dérivée du côté gauche de l'équation (notons-le pour plus de simplicité) :

Une équation différentielle du premier ordre est obtenue, c'est-à-dire une équation contenant à la fois la fonction inconnue elle-même et sa dérivée du premier ordre.

En raisonnant de la même manière pour les autres états du système S, on peut obtenir le système équations différentielles Kolmogorov pour les probabilités d'état :

Formulons une règle pour composer les équations de Kolmogorov. Sur le côté gauche de chacun d’eux se trouve la dérivée de la probabilité du i-ème état. Sur le côté droit se trouve la somme des produits des probabilités de tous les états (à partir desquels les flèches vont vers un état donné) et l'intensité des flux d'événements correspondants moins l'intensité totale de tous les flux qui conduisent le système hors de cet état, multiplié par la probabilité d'un (i-ième état) donné

Dans le système indiqué ci-dessus, il y a une équation indépendante en moins nombre totaléquations. Par conséquent, pour résoudre le système, il faut ajouter l’équation

La particularité de la résolution des équations différentielles en général est qu'il est nécessaire de poser les conditions dites initiales, en dans ce cas- probabilités d'états du système dans moment de départ t = 0. Ainsi, par exemple, il est naturel de résoudre un système d'équations à condition qu'au moment initial les deux commandes fonctionnent correctement et que le système soit dans l'état So, c'est-à-dire à conditions initiales

Les équations de Kolmogorov permettent de retrouver toutes les probabilités d'états en fonction du temps. Un intérêt particulier représentent les probabilités du système p je (t) dans le mode stationnaire limite, c'est-à-dire à , qui sont appelées probabilités limites (finales) d'états.

Dans la théorie des processus aléatoires, il est prouvé que si le nombre d'états d'un système est fini et qu'à partir de chacun d'eux il est possible (par exemple numéro finalétapes) allez dans n’importe quel autre état, puis probabilités marginales exister.

La probabilité marginale de l’état Si a une signification claire : elle montre la moyenne temps relatif le système reste dans cet état. Par exemple, si la probabilité marginale de l'état So, c'est-à-dire p0=0,5, cela signifie qu'en moyenne la moitié du temps le système est dans l'état S0.

Puisque les probabilités limites sont constantes, alors, en remplaçant leurs dérivées dans les équations de Kolmogorov par des valeurs nulles, nous obtenons un système de probabilités linéaires équations algébriques, décrivant le régime stationnaire.

Processus de mort et de reproduction

Dans la théorie des files d'attente, une classe spéciale de processus aléatoires est répandue - ce qu'on appelle processus de mort et de reproduction.Ce nom est associé à un numéro problèmes biologiques où ce processus sert modèle mathématique changements dans le nombre de populations biologiques.

Considérons l'ensemble ordonné des états du système S 0, S1, S2,…, Sans. Les transitions peuvent être effectuées de n'importe quel état uniquement vers des états avec des numéros adjacents, c'est-à-dire à partir de l'état Sk-1, les transitions sont possibles soit vers l'état, soit vers l'état Sk+11 .

Conformément à la règle de composition de telles équations (équation de Kolmogorov), on obtient : pour l'état S0

Conclusion

Ce résumé révèle les concepts menant aux éléments système de la théorie d'un processus de file d'attente aléatoire, à savoir : processus aléatoire, service, système de service, système de file d'attente.

Les références

masse aléatoire markovienne Kolmogorov

1. N.Sh. Kremer "Théorie des probabilités et statistiques mathématiques» Unité, Moscou, 2003

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