L'espérance mathématique est la définition

L'attente de l'échec et mat est un des les notions les plus importantes V statistiques mathématiques et la théorie des probabilités, caractérisant la distribution des valeurs ou probabilités Variable aléatoire. Généralement exprimé sous la forme d'une moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d'une variable aléatoire. Largement utilisé dans l'analyse technique, la recherche série de nombres, l'étude des processus continus et à long terme. Il a important lors de l'évaluation des risques, la prévision des indicateurs de prix lors de la négociation sur les marchés financiers, est utilisée pour développer des stratégies et des méthodes de tactiques de jeu dans théories jeu d'argent .

Échec et mat en attente- Ce valeur moyenne d'une variable aléatoire, distribution probabilités la variable aléatoire est prise en compte dans la théorie des probabilités.

L'attente de l'échec et mat est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire dans la théorie des probabilités. Échec et mat l'attente d'une variable aléatoire X désigné par M(x).

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est

L'attente de l'échec et mat est en théorie des probabilités, la moyenne pondérée de tous valeurs possibles, que peut prendre cette variable aléatoire.

L'attente de l'échec et mat est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition que solution similaire peut être considéré dans le cadre de la théorie grands nombres et longue distance.

L'attente de l'échec et mat est dans la théorie du jeu, montant des gains qu'un spéculateur peut gagner ou perdre, en moyenne, sur chaque pari. Dans le langage du jeu spéculateurs c'est ce qu'on appelle parfois "avantage" spéculateur" (s'il est positif pour le spéculateur) ou "house edge" (s'il est négatif pour le spéculateur).

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

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Concept espérance mathématique peut être vu en utilisant l’exemple du lancer d’un dé. A chaque lancer, les points perdus sont enregistrés. Pour les exprimer, nous utilisons valeurs naturelles dans la plage 1 – 6.

Après un certain nombre de lancers, à l'aide de calculs simples, vous pouvez trouver la moyenne valeur arithmétique perdu des points.

Tout comme l'occurrence de l'une des valeurs de la plage, cette valeur sera aléatoire.

Et si vous augmentiez plusieurs fois le nombre de lancers ? À grandes quantités lance, la moyenne arithmétique des points se rapprochera d'un nombre spécifique, qui en théorie des probabilités est appelé l'espérance mathématique.

Ainsi, par attente mathématique, nous entendons la valeur moyenne d’une variable aléatoire. Cet indicateur peut également être présenté comme une somme pondérée de valeurs probables.

Ce concept a plusieurs synonymes :

• valeur moyenne;
• valeur moyenne;
• indicateur de tendance centrale ;
• premier instant.

En d’autres termes, ce n’est rien de plus qu’un nombre autour duquel sont réparties les valeurs d’une variable aléatoire.

DANS champs variés activité humaine les approches pour comprendre les attentes mathématiques seront quelque peu différentes.

Il peut être considéré comme :

• le bénéfice moyen obtenu en prenant une décision, lorsqu'une telle décision est considérée du point de vue de la théorie des grands nombres ;
• le montant possible de gain ou de perte (théorie du jeu), calculé en moyenne pour chaque pari. En argot, ils sonnent comme « avantage du joueur » (positif pour le joueur) ou « avantage du casino » (négatif pour le joueur) ;
• pourcentage de profit reçu des gains.

L'attente n'est pas obligatoire pour absolument toutes les variables aléatoires. Il est absent pour ceux qui ont un écart dans la somme ou intégrale correspondante.

Propriétés de l'espérance mathématique

Comme tout paramètre statistique, l'espérance mathématique a les propriétés suivantes :

Formules de base pour l'espérance mathématique

Le calcul de l'espérance mathématique peut être effectué à la fois pour des variables aléatoires caractérisées à la fois par la continuité (formule A) et la discrétion (formule B) :

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, où xi sont les valeurs de la variable aléatoire, pi sont les probabilités :
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, où f(x) – densité donnée probabilités.

Exemples de calcul d'espérance mathématique

Exemple A.

Est-il possible de connaître la taille moyenne des nains dans le conte de Blanche-Neige. On sait que chacun des 7 nains avait une certaine taille : 1,25 ; 0,98 ; 1,05 ; 0,71 ; 0,56 ; 0,95 et 0,81 m.

L'algorithme de calcul est assez simple :

• on retrouve la somme de toutes les valeurs de l'indicateur de croissance (variable aléatoire) :
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Divisez le montant obtenu par le nombre de gnomes :
  6,31:7=0,90.

Ainsi, la taille moyenne des gnomes dans un conte de fées est de 90 cm. En d'autres termes, c'est l'espérance mathématique de la croissance des gnomes.

Formule de travail - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Mise en œuvre pratique de l'espérance mathématique

Vers le calcul indicateur statistique l'espérance mathématique est utilisée dans divers domaines activités pratiques. Tout d'abord nous parlons de sur la sphère commerciale. Après tout, l’introduction par Huygens de cet indicateur est associée à la détermination des chances qui peuvent être favorables ou, au contraire, défavorables pour un événement.

Ce paramètre est largement utilisé pour évaluer les risques, notamment lorsqu'il s'agit d'investissements financiers.
Ainsi, en entreprise, le calcul de l'espérance mathématique agit comme une méthode d'évaluation du risque lors du calcul des prix.

Aussi cet indicateur peut être utilisé pour calculer l'efficacité de certaines activités, par exemple la protection du travail. Grâce à lui, vous pouvez calculer la probabilité qu'un événement se produise.

Un autre domaine d'application de ce paramètre est la gestion. Il peut également être calculé lors du contrôle qualité du produit. Par exemple, en utilisant un tapis. les attentes peuvent être calculées quantité possible production de pièces défectueuses.

L'attente mathématique s'avère également irremplaçable lors de la réalisation traitement statistique reçu pendant recherche scientifique résultats. Il permet de calculer la probabilité d'un résultat souhaité ou indésirable d'une expérience ou d'une étude en fonction du niveau d'atteinte de l'objectif. Après tout, sa réalisation peut être associée à un gain et à un bénéfice, et son échec peut être associé à une perte ou à une perte.

Utiliser les attentes mathématiques sur le Forex

L'application pratique de ce paramètre statistique est possible lors de la réalisation de transactions sur le marché des changes. Avec son aide, vous pouvez analyser le succès des transactions commerciales. De plus, une augmentation de la valeur attendue indique une augmentation de leur succès.

Il est également important de rappeler que l’espérance mathématique ne doit pas être considérée comme le seul paramètre statistique utilisé pour analyser la performance d’un trader. L'utilisation de plusieurs paramètres statistiques ainsi que de la valeur moyenne augmente considérablement la précision de l'analyse.

Ce paramètre a fait ses preuves dans le suivi des observations des comptes de trading. Grâce à lui, une évaluation rapide du travail effectué sur le compte de dépôt est réalisée. Dans les cas où l’activité du commerçant réussit et évite les pertes, il n’est pas recommandé d’utiliser exclusivement le calcul de l’espérance mathématique. Dans ces cas, les risques ne sont pas pris en compte, ce qui réduit l'efficacité de l'analyse.

Les études menées sur les tactiques des traders indiquent que :

• Les tactiques les plus efficaces sont celles basées sur l’entrée aléatoire ;
• Les moins efficaces sont les tactiques basées sur des apports structurés.

Dans la réalisation résultats positifs non moins important :

• tactiques de gestion financière ;
• stratégies de sortie.

En utilisant un indicateur tel que l'espérance mathématique, vous pouvez prédire quel sera le profit ou la perte en investissant 1 dollar. On sait que cet indicateur, calculé pour l’ensemble des jeux pratiqués dans le casino, est en faveur de l’établissement. C'est ce qui vous permet de gagner de l'argent. Dans le cas d'une longue série de jeux, la probabilité qu'un client perde de l'argent augmente considérablement.

Les jeux joués par des joueurs professionnels sont limités à de courtes périodes, ce qui augmente les chances de gagner et réduit le risque de perdre. Le même schéma est observé lors de la réalisation d’opérations d’investissement.

Un investisseur peut gagner un montant important avec une anticipation et une exécution positives. grande quantité transactions sur une courte période.

L'espérance peut être considérée comme la différence entre le pourcentage de profit (PW) multiplié par le profit moyen (AW) et la probabilité de perte (PL) multipliée par la perte moyenne (AL).

A titre d'exemple, nous pouvons considérer ce qui suit : position – 12,5 mille dollars, portefeuille – 100 mille dollars, risque de dépôt – 1%. La rentabilité des transactions est de 40% des cas avec un profit moyen de 20%. En cas de sinistre, la perte moyenne est de 5%. Le calcul de l'espérance mathématique de la transaction donne une valeur de 625 $.

La théorie des probabilités est une branche particulière des mathématiques étudiée uniquement par les étudiants des établissements d'enseignement supérieur. Vous aimez les calculs et les formules ? Avez-vous peur de la perspective de connaître la distribution normale, l'entropie d'ensemble, l'espérance mathématique et la dispersion d'une variable aléatoire discrète ? Alors ce sujet vous intéressera beaucoup. Jetons un coup d'œil à quelques-uns des plus importants concepts de base cette branche de la science.

Rappelons les bases

Même si tu te souviens le plus notions simples théorie des probabilités, ne négligez pas les premiers paragraphes de l’article. Le fait est que sans une compréhension claire des bases, vous ne pourrez pas travailler avec les formules décrites ci-dessous.

Donc il se passe des choses Événement aléatoire, une sorte d'expérience. Grâce aux actions que nous entreprenons, nous pouvons obtenir plusieurs résultats – certains d’entre eux se produisent plus souvent, d’autres moins souvent. La probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de résultats d'un type effectivement obtenus et nombre total possible. Sachant seulement définition classique Ce concept, vous pouvez commencer à étudier l'espérance mathématique et la dispersion de variables aléatoires continues.

Moyenne

De retour à l’école, pendant les cours de mathématiques, vous avez commencé à travailler avec la moyenne arithmétique. Ce concept est largement utilisé en théorie des probabilités et ne peut donc être ignoré. L'essentiel pour nous est ce moment c'est que nous le rencontrerons dans les formules d'espérance mathématique et de dispersion d'une variable aléatoire.

Nous avons une suite de nombres et voulons trouver la moyenne arithmétique. Tout ce qui nous est demandé est de résumer tout ce qui est disponible et de diviser par le nombre d'éléments de la séquence. Ayons des nombres de 1 à 9. La somme des éléments sera égale à 45, et nous diviserons cette valeur par 9. Réponse : - 5.

Dispersion

Parlant langage scientifique, la dispersion est le carré moyen des écarts des valeurs caractéristiques obtenues par rapport à la moyenne arithmétique. Il est désigné par une lettre latine majuscule D. Que faut-il pour le calculer ? Pour chaque élément de la séquence, nous calculons la différence entre le nombre existant et la moyenne arithmétique et la mettons au carré. Il y aura exactement autant de valeurs qu'il peut y avoir de résultats pour l'événement que nous envisageons. Ensuite, nous résumons tout ce qui a été reçu et divisons par le nombre d'éléments de la séquence. Si nous avons cinq résultats possibles, divisez par cinq.

La dispersion a également des propriétés dont il faut se souvenir afin d'être utilisées lors de la résolution de problèmes. Par exemple, lorsque l’on augmente une variable aléatoire de X fois, la variance augmente de X fois au carré (c’est-à-dire X*X). Elle n'arrive jamais moins que zéro et ne dépend pas du déplacement des valeurs par valeur égale haut ou bas. De plus, pour tests indépendants la variance de la somme est égale à la somme des variances.

Nous devons maintenant absolument considérer des exemples de variance d’une variable aléatoire discrète et l’espérance mathématique.

Disons que nous avons mené 21 expériences et obtenu 7 résultats différents. Nous avons observé chacun d’eux respectivement 1, 2, 2, 3, 4, 4 et 5 fois. A quoi sera égale la variance ?

Tout d'abord, calculons la moyenne arithmétique : la somme des éléments, bien sûr, est de 21. Divisez-la par 7, vous obtenez 3. Soustrayez maintenant 3 de chaque nombre de la séquence d'origine, mettez chaque valeur au carré et additionnez les résultats. Le résultat est 12. Il ne reste plus qu’à diviser le nombre par le nombre d’éléments, et, semble-t-il, c’est tout. Mais il y a un piège ! Discutons-en.

Dépendance au nombre d'expériences

Il s'avère que lors du calcul de la variance, le dénominateur peut contenir l'un des deux nombres suivants : soit N, soit N-1. Ici, N est le nombre d'expériences réalisées ou le nombre d'éléments dans la séquence (ce qui est essentiellement la même chose). De quoi cela dépend ?

Si le nombre de tests se mesure en centaines, alors il faut mettre N au dénominateur. Si en unités, alors N-1. Les scientifiques ont décidé de tracer la frontière de manière assez symbolique : elle passe aujourd'hui par le nombre 30. Si nous avons mené moins de 30 expériences, alors nous diviserons le montant par N-1, et si plus, alors par N.

Tâche

Revenons à notre exemple de résolution du problème de la variance et de l'espérance mathématique. Nous avons obtenu un nombre intermédiaire 12, qu'il fallait diviser par N ou N-1. Puisque nous avons mené 21 expériences, soit moins de 30, nous choisirons la deuxième option. La réponse est donc : la variance est 12 / 2 = 2.

Valeur attendue

Passons au deuxième concept, que nous devons considérer dans cet article. L'espérance mathématique est le résultat de l'addition de tous les résultats possibles multipliés par les probabilités correspondantes. Il est important de comprendre que la valeur obtenue, ainsi que le résultat du calcul de la variance, ne sont obtenus qu'une seule fois pour toute la tâche, quel que soit le nombre de résultats pris en compte.

La formule de l'espérance mathématique est assez simple : on prend le résultat, on le multiplie par sa probabilité, on ajoute la même chose pour le deuxième, le troisième résultat, etc. Tout ce qui touche à ce concept n'est pas difficile à calculer. Par exemple, la somme des valeurs attendues est égale à la valeur attendue de la somme. Il en va de même pour le travail. Tel opérations simples Toutes les quantités de la théorie des probabilités ne vous permettent pas de le faire. Prenons le problème et calculons la signification de deux concepts que nous avons étudiés à la fois. De plus, nous avons été distraits par la théorie : il est temps de pratiquer.

Encore un exemple

Nous avons mené 50 essais et obtenu 10 types de résultats - des nombres de 0 à 9 - apparaissant sous différentes formes. pourcentage. Il s'agit respectivement de : 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Rappelons que pour obtenir des probabilités, il faut diviser les valeurs en pourcentage par 100. Ainsi, on obtient 0,02 ; 0,1, etc. Présentons un exemple de résolution du problème de la variance d'une variable aléatoire et de l'espérance mathématique.

Nous calculons la moyenne arithmétique en utilisant la formule dont nous nous souvenons école primaire: 50/10 = 5.

Convertissons maintenant les probabilités en nombre de résultats « en morceaux » pour faciliter le décompte. Nous obtenons 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 et 9. De chaque valeur obtenue, nous soustrayons la moyenne arithmétique, après quoi nous mettons au carré chacun des résultats obtenus. Voyez comment procéder en utilisant le premier élément comme exemple : 1 - 5 = (-4). Suivant : (-4) * (-4) = 16. Pour les autres valeurs, effectuez ces opérations vous-même. Si vous avez tout fait correctement, après les avoir tous additionnés, vous obtiendrez 90.

Continuons à calculer la variance et la valeur attendue en divisant 90 par N. Pourquoi choisissons-nous N plutôt que N-1 ? Correct, car le nombre d'expériences réalisées dépasse 30. Donc : 90/10 = 9. Nous avons obtenu la variance. Si vous obtenez un numéro différent, ne désespérez pas. Très probablement, vous avez commis une simple erreur dans les calculs. Vérifiez ce que vous avez écrit et tout se mettra probablement en place.

Enfin, rappelez-vous la formule de l’espérance mathématique. Nous ne donnerons pas tous les calculs, nous rédigerons uniquement une réponse que vous pourrez vérifier après avoir effectué toutes les procédures requises. La valeur attendue sera de 5,48. Rappelons seulement comment réaliser les opérations, en prenant comme exemple les premiers éléments : 0*0.02 + 1*0.1... et ainsi de suite. Comme vous pouvez le constater, nous multiplions simplement la valeur du résultat par sa probabilité.

Déviation

Un autre concept étroitement lié à la dispersion et à l’espérance mathématique est l’écart type. Il est désigné soit avec des lettres latines sd, ou « sigma » grec minuscule. Ce concept montre à quel point les valeurs s'écartent en moyenne de la caractéristique centrale. Pour trouver sa valeur, il faut calculer Racine carrée de la dispersion.

Si vous tracez distribution normale et je veux le voir directement écart carré, cela peut se faire en plusieurs étapes. Prenez la moitié de l'image à gauche ou à droite du mode (valeur centrale), tracez une perpendiculaire à l'axe horizontal pour que les aires des figures résultantes soient égales. La taille du segment entre le milieu de la distribution et la projection résultante sur axe horizontal et représentera l’écart type.

Logiciel

Comme le montrent les descriptions des formules et les exemples présentés, le calcul de la variance et de l’espérance mathématique n’est pas la procédure la plus simple d’un point de vue arithmétique. Afin de ne pas perdre de temps, il est judicieux d'utiliser le programme utilisé dans l'enseignement supérieur les établissements d'enseignement- ça s'appelle "R". Il possède des fonctions qui vous permettent de calculer les valeurs de nombreux concepts issus des statistiques et de la théorie des probabilités.

Par exemple, vous spécifiez un vecteur de valeurs. Cela se fait comme suit : vecteur<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Enfin

La dispersion et l'espérance mathématique sont sans lesquelles il est difficile de calculer quoi que ce soit dans le futur. Dans le cours principal des cours universitaires, ils sont abordés dès les premiers mois d'étude du sujet. C’est précisément à cause du manque de compréhension de ces concepts simples et de l’incapacité de les calculer que de nombreux étudiants commencent immédiatement à prendre du retard dans le programme et reçoivent plus tard de mauvaises notes à la fin de la session, ce qui les prive de bourses.

Entraînez-vous pendant au moins une semaine, une demi-heure par jour, en résolvant des tâches similaires à celles présentées dans cet article. Ensuite, sur n'importe quel test de théorie des probabilités, vous serez en mesure de gérer les exemples sans astuces ni aide-mémoire superflus.

01.02.2018

Valeur attendue. Juste quelque chose de compliqué. Bases du trading.

Lorsque vous placez des paris, quel qu’en soit le type, il existe toujours une certaine probabilité de réaliser un profit et un risque d’échec. Le résultat positif de la transaction et le risque de perdre de l'argent sont inextricablement liés à l'attente mathématique. Dans cet article, nous nous attarderons en détail sur ces deux aspects du trading.

Valeur attendue- lorsque le nombre d'échantillons ou le nombre de ses mesures (on dit parfois - le nombre de tests) tend vers l'infini.

L’idée est qu’une valeur attendue positive conduit à des échanges positifs (améliorant les bénéfices), tandis qu’une valeur attendue nulle ou négative signifie aucune négociation du tout.

Pour mieux comprendre ce problème, examinons le concept d'espérance mathématique lorsque l'on joue à la roulette. L’exemple de la roulette est très simple à comprendre.

Roulette- (Le croupier lance la boule dans le sens opposé de rotation de la roue, à partir du numéro sur lequel la boule est tombée la fois précédente, qui doit tomber dans l'une des alvéoles numérotées, en faisant au moins trois tours complets sur la roue.

Les cellules numérotées de 1 à 36 sont colorées en noir et rouge. Les nombres ne sont pas dans l'ordre, bien que les couleurs des cellules alternent strictement, en commençant par 1 - rouge. La cellule marquée du chiffre 0 est colorée en vert et est appelée zéro

La roulette est un jeu avec des attentes mathématiques négatives. Tout cela est dû au champ zéro, qui n'est ni noir ni rouge.

Parce que (en général) si le changement de mise n'est pas appliqué, le joueur perd 1 $ tous les 37 tours de roue (avec une mise de 1 $ à la fois), ce qui entraîne une perte linéaire de -2,7 %, qui augmente avec le nombre. des paris augmente (moyenne).

Bien entendu, sur un intervalle de 1 000 parties, par exemple, un joueur peut connaître une série de victoires, et une personne peut commencer à croire à tort qu'elle peut gagner de l'argent en battant le casino, ainsi qu'une série de défaites. Dans ce cas, une série de victoires peut augmenter le capital du joueur d'une valeur supérieure à celle qu'il avait initialement. Dans ce cas, si le joueur avait 1 000 $, après 10 parties à 1 $ chacune, il devrait lui rester en moyenne 973 $. Mais si dans un tel scénario le joueur se retrouve avec moins ou plus d’argent, nous appellerons cette différence la variance actuelle du capital. Vous ne pouvez gagner de l'argent en jouant à la roulette que dans le cadre de la variance. Si le joueur continue à suivre cette stratégie, la personne se retrouvera finalement sans argent et le casino gagnera de l'argent.

Le deuxième exemple est celui des fameuses options binaires. Ils vous permettent de parier, si le résultat est positif, vous prenez jusqu'à 90 pour cent de votre pari en plus, et si cela échoue, vous perdez les 100. Et puis les propriétaires de BO n'ont qu'à attendre, le marché et le une attente négative d'échec et mat fera son travail. Et la dispersion temporelle donnera l'espoir au trader d'options binaires qu'il est possible de gagner de l'argent sur ce marché. Mais c'est temporaire.

Quel est l’avantage du trading de cryptomonnaies (ainsi que du trading en bourse) ?

Une personne peut créer un système pour elle-même. Lui-même peut limiter son risque et essayer de tirer le maximum de profit possible du marché. (Et si la situation concernant le second est assez controversée, alors le risque doit être contrôlé très clairement.)

Pour comprendre dans quelle direction votre stratégie vous mène, vous devez tenir des statistiques. Un commerçant doit savoir :

1. Le nombre de vos transactions. Plus le nombre de transactions pour une stratégie donnée est élevé, plus l'espérance mathématique sera précise.
2. Fréquence des entrées réussies. (Probabilité) (R)
3. Votre bénéfice pour chaque transaction positive.
4. Biais (taux de victoire) (B)
5. Taille moyenne de votre mise (ordre stop) (S)

Espérance mathématique (E) = B * R – (1 – B) = B * (1 + R) –1

Pour connaître approximativement vos gains ou pertes totaux sur votre compte (EE), par exemple sur une distance de 1000 transactions, nous utiliserons la formule.

Où N est le nombre de transactions que nous prévoyons d'exécuter.

Par exemple, prenons les données initiales :

stop-loss - 30 $.

bénéfice - 100 dollars.

Nombre de transactions 30

L'espérance mathématique n'est négative que si le ratio des transactions rentables et perdantes (R) est de 20 %/80 % ou pire. Dans les autres cas, elle est positive.

Supposons maintenant que le profit soit de 150. Ensuite, l'espérance d'échec et mat sera négative dans un rapport de 16 %/84 %. Ou plus bas.

Conclusion.

Que faire à ce sujet ? Commencez à tenir des statistiques si ce n’est pas déjà fait. Vérifiez vos échanges, déterminez vos attentes en matière d'échec et mat. Trouver ce qui peut être amélioré (nombre d'entrées correctes, gain de profit, réduction des pertes)

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