Fonction puissance et ses graphiques. Fonctions élémentaires de base : leurs propriétés et graphiques

Les fonctions élémentaires de base, leurs propriétés inhérentes et les graphiques correspondants constituent l'une des bases de la connaissance mathématique, d'une importance similaire à la table de multiplication. Les fonctions élémentaires sont la base, le support de l'étude de toutes les questions théoriques.

L'article ci-dessous fournit des éléments clés sur le thème des fonctions élémentaires de base. Nous allons introduire des termes, leur donner des définitions ; Étudions en détail chaque type de fonctions élémentaires et analysons leurs propriétés.

On distingue les types de fonctions élémentaires de base suivants :

Définition 1

fonction constante (constante);
nième racine;
fonction de puissance ;
fonction exponentielle ;
fonction logarithmique ;
fonctions trigonométriques ;
fonctions trigonométriques fraternelles.

Une fonction constante est définie par la formule : y = C (C est un certain nombre réel) et a également un nom : constante. Cette fonction détermine la correspondance de toute valeur réelle de la variable indépendante x avec la même valeur de la variable y - la valeur de C.

Le graphique d'une constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par un point de coordonnées (0, C). Pour plus de clarté, nous présentons des graphiques de fonctions constantes y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (indiquées respectivement en noir, rouge et bleu dans le dessin).

Définition 2

Cette fonction élémentaire est définie par la formule y = x n (n est un nombre naturel supérieur à un).

Considérons deux variantes de la fonction.

nième racine, n – nombre pair

Pour plus de clarté, nous indiquons un dessin qui montre des graphiques de telles fonctions : y = x, y = x 4 et y = x8. Ces caractéristiques sont codées par couleur : respectivement noir, rouge et bleu.

Les graphiques d'une fonction de degré pair ont une apparence similaire pour d'autres valeurs de l'exposant.

Définition 3

Propriétés de la nième fonction racine, n est un nombre pair

domaine de définition – l'ensemble de tous les nombres réels non négatifs [ 0 , + ∞) ;
quand x = 0, fonction y = x n a une valeur égale à zéro ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni paire ni impaire) ;
plage : [ 0 , + ∞) ;
cette fonction y = x n pour les exposants racine pairs augmente dans tout le domaine de définition ;
la fonction a une convexité avec une direction ascendante dans tout le domaine de définition ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
le graphique de la fonction pour n pair passe par les points (0 ; 0) et (1 ; 1).

nième racine, n – nombre impair

Une telle fonction est définie sur l’ensemble des nombres réels. Pour plus de clarté, considérons les graphiques des fonctions y = x 3 , y = x 5 et x9. Dans le dessin, elles sont indiquées par des couleurs : le noir, le rouge et le bleu sont respectivement les couleurs des courbes.

D'autres valeurs impaires de l'exposant racine de la fonction y = x n donneront un graphique d'un type similaire.

Définition 4

Propriétés de la nième fonction racine, n est un nombre impair

domaine de définition – l'ensemble de tous les nombres réels ;
cette fonction est étrange ;
plage de valeurs – l'ensemble de tous les nombres réels ;
la fonction y = x n pour les exposants racine impairs augmente sur tout le domaine de définition ;
la fonction a une concavité sur l'intervalle (- ∞ ; 0 ] et une convexité sur l'intervalle [ 0 , + ∞) ;
le point d'inflexion a des coordonnées (0 ; 0) ;
il n'y a pas d'asymptote ;
Le graphique de la fonction pour n impair passe par les points (- 1 ; - 1), (0 ; 0) et (1 ; 1).

Fonction d'alimentation

Définition 5

La fonction puissance est définie par la formule y = x a.

L'apparence des graphiques et les propriétés de la fonction dépendent de la valeur de l'exposant.

lorsqu'une fonction puissance a un exposant entier a, alors le type de graphique de la fonction puissance et ses propriétés dépendent du fait que l'exposant soit pair ou impair, ainsi que du signe de l'exposant. Examinons tous ces cas particuliers plus en détail ci-dessous ;
l'exposant peut être fractionnaire ou irrationnel - en fonction de cela, le type de graphiques et les propriétés de la fonction varient également. Nous analyserons des cas particuliers en posant plusieurs conditions : 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
une fonction puissance peut avoir un exposant nul ; nous analyserons également ce cas plus en détail ci-dessous.

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque a est un nombre positif impair, par exemple a = 1, 3, 5...

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de telles fonctions puissance : y = x (couleur graphique noir), y = x 3 (couleur bleue du graphique), y = x 5 (couleur rouge du graphique), y = x 7 (couleur graphique vert). Lorsque a = 1, on obtient la fonction linéaire y = x.

Définition 6

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est impair positif

la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et une concavité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) (hors fonction linéaire) ;
le point d'inflexion a des coordonnées (0 ; 0) (hors fonction linéaire) ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque a est un nombre pair positif, par exemple a = 2, 4, 6...

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de ces fonctions de puissance : y = x 2 (couleur graphique noir), y = x 4 (couleur bleue du graphique), y = x 8 (couleur rouge du graphique). Lorsque a = 2, on obtient une fonction quadratique dont le graphique est une parabole quadratique.

Définition 7

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est même positif :

domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
décroissant pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
la fonction a une concavité pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de fonction de puissance y = x a lorsque a est un nombre négatif impair : y = x - 9 (couleur graphique noir) ; y = x - 5 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 3 (couleur rouge du graphique) ; y = x - 1 (couleur graphique vert). Lorsque a = - 1, on obtient une proportionnalité inverse dont le graphique est une hyperbole.

Définition 8

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est impair négatif :

Lorsque x = 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 1, - 3, - 5, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

plage : y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
la fonction est étrange car y (- x) = - y (x) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0) et une concavité pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, quand a = - 1, - 3, - 5, . . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de la fonction puissance y = x a lorsque a est un nombre pair négatif : y = x - 8 (couleur graphique noir) ; y = x - 4 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 2 (couleur rouge du graphique).

Définition 9

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est pair négatif :

domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Lorsque x = 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 2, - 4, - 6, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

la fonction est paire car y(-x) = y(x);
la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; 0) et décroissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction a une concavité en x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0, car :

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quand a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Dès le début, faites attention à l'aspect suivant : dans le cas où a est une fraction positive de dénominateur impair, certains auteurs prennent l'intervalle - ∞ comme domaine de définition de cette fonction puissance ; + ∞ , stipulant que l'exposant a est une fraction irréductible. À l'heure actuelle, les auteurs de nombreuses publications pédagogiques sur l'algèbre et les principes d'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance, où l'exposant est une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous respecterons exactement cette position : nous prendrons l'ensemble [ 0 ; + ∞) . Recommandation aux étudiants : renseignez-vous sur l’avis de l’enseignant sur ce point afin d’éviter les désaccords.

Alors, regardons la fonction puissance y = x a , lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel, à condition que 0< a < 1 .

Illustrons les fonctions puissance avec des graphiques y = x a lorsque a = 11 12 (couleur graphique noir) ; a = 5 7 (couleur rouge du graphique) ; a = 1 3 (couleur bleue du graphique) ; a = 2 5 (couleur verte du graphique).

Autres valeurs de l'exposant a (à condition de 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Définition 10

Propriétés de la fonction puissance à 0< a < 1:

plage : y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction est convexe pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;

Analysons la fonction puissance y = x a, lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel non entier, à condition que a > 1.

Illustrons avec des graphiques la fonction puissance y = x a dans des conditions données en utilisant les fonctions suivantes comme exemple : y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (graphiques noir, rouge, bleu, vert, respectivement).

D'autres valeurs de l'exposant a, à condition que a > 1, donneront un graphique similaire.

Définition 11

Propriétés de la fonction puissance pour a > 1 :

domaine de définition : x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
plage : y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
la fonction a une concavité pour x ∈ (0 ; + ∞) (quand 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
points de passage de la fonction : (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Attention ! Lorsque a est une fraction négative avec un dénominateur impair, dans les travaux de certains auteurs, il existe une opinion selon laquelle le domaine de définition dans ce cas est l'intervalle - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) avec la mise en garde que l'exposant a est une fraction irréductible. À l'heure actuelle, les auteurs de matériel pédagogique sur l'algèbre et les principes d'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance avec un exposant sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous adhérons exactement à ce point de vue : nous prenons l’ensemble (0 ; + ∞) comme domaine de définition des fonctions puissance à exposants fractionnaires négatifs. Recommandation aux étudiants : Clarifiez la vision de votre professeur à ce stade pour éviter les désaccords.

Continuons le sujet et analysons la fonction puissance y = x a à condition : - 1< a < 0 .

Présentons un dessin de graphiques des fonctions suivantes : y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (couleur noir, rouge, bleu, vert de les lignes, respectivement).

Définition 12

Propriétés de la fonction puissance à - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quand - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage : y ∈ 0 ; + ∞ ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;

Le dessin ci-dessous montre des graphiques des fonctions de puissance y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (couleurs noir, rouge, bleu et vert des courbes, respectivement).

Définition 13

Propriétés de la fonction puissance pour un< - 1:

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quand a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction a une concavité pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – ligne droite y = 0 ;
point de passage de la fonction : (1 ; 1) .

Lorsque a = 0 et x ≠ 0, on obtient la fonction y = x 0 = 1, qui définit la droite dont le point (0 ; 1) est exclu (il a été convenu que l'expression 0 0 n'aura aucun sens ).

La fonction exponentielle a la forme y = a x, où a > 0 et a ≠ 1, et le graphique de cette fonction semble différent en fonction de la valeur de la base a. Considérons des cas particuliers.

Tout d'abord, regardons la situation où la base de la fonction exponentielle a une valeur de zéro à un (0< a < 1) . Un bon exemple sont les graphiques des fonctions pour a = 1 2 (couleur bleue de la courbe) et a = 5 6 (couleur rouge de la courbe).

Les graphiques de la fonction exponentielle auront une apparence similaire pour les autres valeurs de la base sous la condition 0< a < 1 .

Définition 14

Propriétés de la fonction exponentielle lorsque la base est inférieure à un :

plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
une fonction exponentielle dont la base est inférieure à un est décroissante sur tout le domaine de définition ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0 avec variable x tendant vers + ∞ ;

Considérons maintenant le cas où la base de la fonction exponentielle est supérieure à un (a > 1).

Illustrons ce cas particulier avec un graphique de fonctions exponentielles y = 3 2 x (couleur bleue de la courbe) et y = e x (couleur rouge du graphique).

D'autres valeurs de la base, des unités plus grandes, donneront un aspect similaire au graphique de la fonction exponentielle.

Définition 15

Propriétés de la fonction exponentielle lorsque la base est supérieure à un :

domaine de définition – l'ensemble des nombres réels ;
plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
une fonction exponentielle dont la base est supérieure à un augmente à mesure que x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
la fonction a une concavité en x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
asymptote horizontale – droite y = 0 avec variable x tendant vers - ∞ ;
point de passage de la fonction : (0 ; 1) .

La fonction logarithmique a la forme y = log a (x), où a > 0, a ≠ 1.

Une telle fonction n'est définie que pour les valeurs positives de l'argument : pour x ∈ 0 ; + ∞ .

Le graphique d'une fonction logarithmique a une apparence différente, basée sur la valeur de la base a.

Considérons d'abord la situation où 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

D'autres valeurs de base, et non des unités plus grandes, donneront un type de graphique similaire.

Définition 16

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est inférieure à un :

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ . Comme x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers +∞ ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
logarithmique
la fonction a une concavité pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;

Regardons maintenant le cas particulier où la base de la fonction logarithmique est supérieure à un : a > 1 . Le dessin ci-dessous montre des graphiques des fonctions logarithmiques y = log 3 2 x et y = ln x (couleurs bleue et rouge des graphiques, respectivement).

D'autres valeurs de base supérieures à un donneront un type de graphique similaire.

Définition 17

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est supérieure à un :

domaine de définition : x ∈ 0 ; + ∞ . Comme x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers - ∞ ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'ensemble des nombres réels) ;
cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
la fonction logarithmique est croissante pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
la fonction est convexe pour x ∈ 0 ; + ∞ ;
il n'y a pas de points d'inflexion ;
il n'y a pas d'asymptote ;
point de passage de la fonction : (1 ; 0) .

Les fonctions trigonométriques sont sinus, cosinus, tangente et cotangente. Regardons les propriétés de chacun d'eux et les graphiques correspondants.

En général, toutes les fonctions trigonométriques sont caractérisées par la propriété de périodicité, c'est-à-dire lorsque les valeurs des fonctions sont répétées pour différentes valeurs de l'argument, différant les unes des autres par la période f (x + T) = f (x) (T est la période). Ainsi, l'item « plus petite période positive » est ajouté à la liste des propriétés des fonctions trigonométriques. De plus, nous indiquerons les valeurs de l'argument pour lesquelles la fonction correspondante devient nulle.

Fonction sinus : y = sin(x)

Le graphique de cette fonction est appelé onde sinusoïdale.

Définition 18

Propriétés de la fonction sinus :

domaine de définition : l'ensemble des nombres réels x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
la fonction disparaît lorsque x = π · k, où k ∈ Z (Z est l'ensemble des nombres entiers) ;
la fonction est croissante pour x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z et décroissant pour x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
la fonction sinusoïdale a des maxima locaux aux points π 2 + 2 π · k ; 1 et minima locaux aux points - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈Z;
la fonction sinus est concave lorsque x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z et convexe lorsque x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z ;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction cosinus : y = cos(x)

Le graphique de cette fonction s’appelle une onde cosinusoïdale.

Définition 19

Propriétés de la fonction cosinus :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plus petite période positive : T = 2 π ;
plage de valeurs : y ∈ - 1 ; 1 ;
cette fonction est paire, puisque y (- x) = y (x) ;
la fonction est croissante pour x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z et décroissant pour x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z ;
la fonction cosinus a des maxima locaux aux points 2 π · k ; 1, k ∈ Z et minima locaux aux points π + 2 π · k ; - 1, k ∈z;
la fonction cosinus est concave lorsque x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z et convexe lorsque x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈Z
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction tangente : y = t g (x)

Le graphique de cette fonction s'appelle tangente.

Définition 20

Propriétés de la fonction tangente :

domaine de définition : x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, où k ∈ Z (Z est l'ensemble des nombres entiers) ;
Comportement de la fonction tangente sur la frontière du domaine de définition lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Ainsi, les droites x = π 2 + π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;
la fonction disparaît lorsque x = π · k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction augmente comme - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z ;
la fonction tangente est concave pour x ∈ [π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z et convexe pour x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Fonction cotangente : y = c t g (x)

Le graphique de cette fonction est appelé cotangentoïde. .

Définition 21

Propriétés de la fonction cotangente :

domaine de définition : x ∈ (π · k ; π + π · k) , où k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;

Comportement de la fonction cotangente sur la frontière du domaine de définition lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Ainsi, les droites x = π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;

plus petite période positive : T = π ;
la fonction disparaît lorsque x = π 2 + π · k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction est décroissante pour x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z ;
la fonction cotangente est concave pour x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z et convexe pour x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
Il n’y a pas d’asymptote oblique ou horizontale.

Les fonctions trigonométriques inverses sont l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc cotangente. Souvent, en raison de la présence du préfixe « arc » dans le nom, les fonctions trigonométriques inverses sont appelées fonctions d'arc. .

Fonction arc sinus : y = a r c sin (x)

Définition 22

Propriétés de la fonction arc sinus :

cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction arc sinus a une concavité pour x ∈ 0 ; 1 et convexité pour x ∈ - 1 ; 0 ;
les points d'inflexion ont des coordonnées (0 ; 0), qui sont également le zéro de la fonction ;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction arc cosinus : y = a r c cos (x)

Définition 23

Propriétés de la fonction arc cosinus :

domaine de définition : x ∈ - 1 ; 1 ;
plage : y ∈ 0 ; π ;
cette fonction est de forme générale (ni paire, ni impaire) ;
la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arc cosinus a une concavité en x ∈ - 1 ; 0 et convexité pour x ∈ 0 ; 1 ;
les points d'inflexion ont pour coordonnées 0 ; π2;
il n'y a pas d'asymptote.

Fonction arc tangente : y = a r c t g (x)

Définition 24

Propriétés de la fonction arctangente :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plage de valeurs : y ∈ - π 2 ; π2;
cette fonction est étrange, puisque y (- x) = - y (x) ;
la fonction est croissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arctangente a une concavité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et une convexité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
le point d'inflexion a pour coordonnées (0 ; 0), qui est aussi le zéro de la fonction ;
les asymptotes horizontales sont des droites y = - π 2 comme x → - ∞ et y = π 2 comme x → + ∞ (sur la figure, les asymptotes sont des lignes vertes).

Fonction arc tangente : y = a r c c t g (x)

Définition 25

Propriétés de la fonction arccotangente :

domaine de définition : x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
plage : y ∈ (0; π) ;
cette fonction est d'une forme générale ;
la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
la fonction arc cotangente a une concavité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) et convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
le point d'inflexion a pour coordonnées 0 ; π2;
les asymptotes horizontales sont des droites y = π en x → - ∞ (ligne verte sur le dessin) et y = 0 en x → + ∞.

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Sur le domaine de définition de la fonction puissance y = x p les formules suivantes sont valables :
; ;
;
; ;
; ;
; .

Propriétés des fonctions puissance et leurs graphiques

Fonction puissance avec exposant égal à zéro, p = 0

Si l'exposant de la fonction puissance y = x p est égal à zéro, p = 0, alors la fonction puissance est définie pour tout x ≠ 0 et est une constante égale à un :
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Fonction puissance avec exposant impair naturel, p = n = 1, 3, 5, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant impair naturel n = 1, 3, 5, ... .

Cet indicateur peut également s'écrire sous la forme : n = 2k + 1, où k = 0, 1, 2, 3, ... est un entier non négatif. Vous trouverez ci-dessous les propriétés et les graphiques de ces fonctions.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: -∞ < y < ∞
Significations multiples : Parité:
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non
Convexe:< x < 0 выпукла вверх
à -∞< x < ∞ выпукла вниз
à 0 Points d'inflexion :
Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
Valeurs privées :
à x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = 1, la fonction est son inverse : x = y

pour n ≠ 1, la fonction inverse est la racine du degré n :

Fonction puissance avec exposant pair naturel, p = n = 2, 4, 6, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant pair naturel n = 2, 4, 6, ... .

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: Cet indicateur peut aussi s'écrire sous la forme : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... - naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.< ∞
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
0 ≤ oui
pair, y(-x) = y(x)
augmente de façon monotone pour x ≤ 0 diminue de façon monotone
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
convexe vers le bas Points d'intersection avec axes de coordonnées :
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
à x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1

pour n = 2, racine carrée :

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant entier négatif n = -1, -2, -3, ... .

Si nous mettons n = -k, où k = 1, 2, 3, ... est un nombre naturel, alors il peut être représenté comme suit :

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant entier négatif pour différentes valeurs de l'exposant n = -1, -2, -3, ....

Exposant impair, n = -1, -3, -5, ...

à n

Exposant pair, n = -2, -4, -6, ...

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif impair n = -1, -3, -5, ....
Portée: Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 : монотонно возрастает
y > 0
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Extrêmes :
pour x > 0 : convexe vers le bas Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Limites :
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
pour x > 0 : diminue de façon monotone
quand n = -1,< -2 ,

à n = -2,

Fonction puissance avec exposant rationnel (fractionnaire)

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel (fractionnaire), où n est un nombre entier, m > 1 est un nombre naturel. De plus, n, m n’ont pas de diviseurs communs.

Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est impair

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire impair : m = 3, 5, 7, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p est définie pour les valeurs positives et négatives de l'argument x.< 0

Considérons les propriétés de telles fonctions puissance lorsque l'exposant p se situe dans certaines limites.

La valeur p est négative, p

Soit l'exposant rationnel (de dénominateur impair m = 3, 5, 7, ...) inférieur à zéro : .

Graphiques de fonctions puissance avec un exposant rationnel négatif pour différentes valeurs de l'exposant, où m = 3, 5, 7, ... - impair.

Nous présentons les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel négatif, où n = -1, -3, -5, ... est un entier négatif impair, m = 3, 5, 7 ... est un entier naturel impair.

à x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif impair n = -1, -3, -5, ....
Portée: Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 : монотонно возрастает
y > 0
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Extrêmes :
pour x > 0 : convexe vers le bas Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Limites :
Numérateur pair, n = -2, -4, -6, ...
à x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

Propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel négatif, où n = -2, -4, -6, ... est un entier négatif pair, m = 3, 5, 7 ... est un entier naturel impair .< p < 1

à x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

La valeur p est positive, inférieure à un, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Portée: -∞ < y < +∞
Significations multiples : Parité:
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non
diminue de façon monotone< 0 : выпукла вниз
Graphique d'une fonction puissance avec exposant rationnel (0
à 0 Points d'inflexion :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
pour x > 0 : convexe vers le bas
diminue de façon monotone< 0, y < 0
Signe:
x = 0, y = 0
;
Limites :
Numérateur impair, n = 1, 3, 5, ...
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

à x = 0, y(0) = 0

pour x = 1, y(1) = 1< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Portée: Cet indicateur peut aussi s'écrire sous la forme : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... - naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.< +∞
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 : монотонно убывает
pour x > 0 : augmente de façon monotone
augmente de façon monotone minimum à x = 0, y = 0
Non convexe vers le haut pour x ≠ 0
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
pour x > 0 : convexe vers le bas pour x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Limites :
à x = -1, y(-1) = 1
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

L'indice p est supérieur à un, p > 1

Graphique d'une fonction puissance avec un exposant rationnel (p > 1) pour différentes valeurs de l'exposant, où m = 3, 5, 7, ... - impair.

Numérateur impair, n = 5, 7, 9, ...

Propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : .

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: -∞ < y < ∞
Significations multiples : Parité:
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
augmente de façon monotone Extrêmes :
Non
Convexe:< x < 0 выпукла вверх
à -∞< x < ∞ выпукла вниз
à 0 Points d'inflexion :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
Numérateur impair, n = 1, 3, 5, ...
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

Où n = 5, 7, 9, ... - naturel impair, m = 3, 5, 7 ... - naturel impair.

Numérateur pair, n = 4, 6, 8, ...

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Portée: Cet indicateur peut aussi s'écrire sous la forme : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... - naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.< ∞
Significations multiples : Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
impair, y(-x) = - y(x)
diminue de façon monotone< 0 монотонно убывает
Propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : .
augmente de façon monotone minimum à x = 0, y = 0
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
;
Limites :
à x = -1, y(-1) = 1
pour x > 0 : convexe vers le haut
à x = -1, y(-1) = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1

Où n = 4, 6, 8, ... - pair naturel, m = 3, 5, 7 ... - impair naturel.

pour x > 0 augmente de façon monotone

Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est pair

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire pair : m = 2, 4, 6, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p n'est pas définie pour les valeurs négatives de l'argument. Ses propriétés coïncident avec les propriétés d’une fonction puissance à exposant irrationnel (voir la section suivante).

Fonction puissance avec exposant irrationnel

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant irrationnel p.< 0

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Les propriétés de ces fonctions diffèrent de celles évoquées ci-dessus en ce sens qu'elles ne sont pas définies pour les valeurs négatives de l'argument x.
Portée: Vous trouverez ci-dessous les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant pair négatif n = -2, -4, -6, ....
impair, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Extrêmes :
x = 0, y = 0 ;
Pour les valeurs positives de l'argument, les propriétés dépendent uniquement de la valeur de l'exposant p et ne dépendent pas du fait que p soit entier, rationnel ou irrationnel. y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

Fonction puissance avec exposant négatif p

x > 0< p < 1

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Signification privée :
Portée: Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
Non Fonction puissance avec exposant positif p > 0
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
Limites : Indicateur inférieur à un 0
y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

x ≥ 0

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, .... Signification privée :
Portée: Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1
impair, y(-x) = - y(x) Monotone:
Non pour x ≥ 0 augmente de façon monotone
à 0 Extrêmes :
minimum, x = 0, y = 0 Points d'inflexion :
x = 0, y = 0
Limites : Indicateur inférieur à un 0
y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

y ≥ 0
convexe vers le haut

Pour x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

L'indicateur est supérieur à un p > 1 Littérature utilisée : DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Voir aussi : Connaissance fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et graphiques

pas moins important que de connaître les tables de multiplication. Ils sont comme la fondation, tout repose sur eux, tout se construit à partir d'eux et tout dépend d'eux.
Dans cet article nous allons lister toutes les principales fonctions élémentaires, fournir leurs graphiques et donner sans conclusion ni preuve
intervalles de convexité (convexité vers le haut) et de concavité (convexité vers le bas), points d'inflexion (si nécessaire, voir l'article convexité d'une fonction, direction de convexité, points d'inflexion, conditions de convexité et d'inflexion) ;
asymptotes obliques et horizontales ;
points singuliers de fonctions ;
propriétés particulières de certaines fonctions (par exemple, la plus petite période positive des fonctions trigonométriques).

Si vous êtes intéressé par ou, vous pouvez consulter ces sections de la théorie.

Fonctions élémentaires de base sont : fonction constante (constante), racine nième, fonction puissance, fonction exponentielle, fonction logarithmique, fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Navigation dans les pages.

Fonction permanente.

Une fonction constante est définie sur l'ensemble de tous les nombres réels par la formule , où C est un nombre réel. Une fonction constante associe chaque valeur réelle de la variable indépendante x à la même valeur de la variable dépendante y - la valeur C. Une fonction constante est également appelée constante.

Le graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des x et passant par le point de coordonnées (0,C). Par exemple, montrons des graphiques de fonctions constantes y=5, y=-2 et, qui dans la figure ci-dessous correspondent respectivement aux lignes noire, rouge et bleue.

Propriétés d'une fonction constante.

Domaine : l'ensemble des nombres réels.
La fonction constante est paire.
Plage de valeurs : un ensemble constitué du nombre singulier C.
Une fonction constante est non croissante et non décroissante (c’est pourquoi elle est constante).
Cela n’a aucun sens de parler de convexité et de concavité d’une constante.
Il n'y a pas d'asymptote.
La fonction passe par le point (0,C) du plan de coordonnées.

Racine du nième degré.

Considérons la fonction élémentaire de base, donnée par la formule , où n est un nombre naturel supérieur à un.

Racine du nième degré, n est un nombre pair.

Commençons par la nième fonction racine pour les valeurs paires de l'exposant racine n.

A titre d'exemple, voici une image avec des images de graphiques de fonctions et , ils correspondent aux lignes noires, rouges et bleues.

Les graphiques des fonctions racine de degré pair ont une apparence similaire pour d'autres valeurs de l'exposant.

Propriétés de la nième fonction racine pour n pair.

Racine du nième degré, n est un nombre impair.

La nième fonction racine avec un exposant racine impair n est définie sur l’ensemble des nombres réels. Par exemple, voici les graphiques de fonctions et , elles correspondent aux courbes noire, rouge et bleue.

Pour les autres valeurs impaires de l'exposant racine, les graphiques de fonctions auront une apparence similaire.

Propriétés de la nième fonction racine pour n impair.

Fonction de puissance.

La fonction puissance est donnée par une formule de la forme .

Considérons la forme des graphiques d'une fonction puissance et les propriétés d'une fonction puissance en fonction de la valeur de l'exposant.

Commençons par une fonction puissance avec un exposant entier a. Dans ce cas, le type de graphiques des fonctions puissance et les propriétés des fonctions dépendent de la régularité ou de l'impair de l'exposant, ainsi que de son signe. Par conséquent, nous considérerons d'abord les fonctions puissance pour les valeurs positives impaires de l'exposant a, puis pour les exposants pairs positifs, puis pour les exposants négatifs impairs, et enfin, pour a pair négatif.

Les propriétés des fonctions puissance avec des exposants fractionnaires et irrationnels (ainsi que le type de graphiques de ces fonctions puissance) dépendent de la valeur de l'exposant a. Nous les considérerons, premièrement, pour a de zéro à un, deuxièmement, pour a supérieur à un, troisièmement, pour a de moins un à zéro, quatrièmement, pour a inférieur à moins un.

À la fin de cette section, par souci d’exhaustivité, nous décrirons une fonction puissance d’exposant nul.

Fonction puissance avec un exposant positif impair.

Considérons une fonction puissance avec un exposant positif impair, c'est-à-dire avec a = 1,3,5,....

La figure ci-dessous montre des graphiques de fonctions de puissance - ligne noire, - ligne bleue, - ligne rouge, - ligne verte. Pour a=1 on a fonction linéaire y=x.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant positif impair.

Fonction puissance avec un exposant même positif.

Considérons une fonction puissance avec un exposant pair positif, c'est-à-dire pour a = 2,4,6,....

A titre d'exemple, nous donnons des graphiques de fonctions puissance – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge. Pour a=2 on a une fonction quadratique dont le graphique est parabole quadratique.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant pair positif.

Fonction puissance avec un exposant négatif impair.

Regardez les graphiques de la fonction puissance pour les valeurs négatives impaires de l'exposant, c'est-à-dire pour a = -1, -3, -5,....

La figure montre des graphiques de fonctions de puissance à titre d'exemples - ligne noire, - ligne bleue, - ligne rouge, - ligne verte. Pour a=-1 on a proportionnalité inverse, dont le graphique est hyperbole.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant négatif impair.

Fonction puissance avec un exposant même négatif.

Passons à la fonction puissance pour a=-2,-4,-6,….

La figure montre des graphiques de fonctions de puissance – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant pair négatif.

Une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel dont la valeur est supérieure à zéro et inférieure à un.

Faites attention! Si a est une fraction positive avec un dénominateur impair, alors certains auteurs considèrent que le domaine de définition de la fonction puissance est l'intervalle. Il est précisé que l'exposant a est une fraction irréductible. Or, les auteurs de nombreux manuels d'algèbre et les débuts de l'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance avec un exposant sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. Nous nous en tiendrons précisément à ce point de vue, c'est-à-dire que nous considérerons l'ensemble des domaines de définition des fonctions puissance à exposants fractionnaires positifs. Nous recommandons aux élèves de se renseigner auprès de votre professeur sur ce point subtil afin d'éviter les désaccords.

Considérons une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel a, et .

Présentons des graphiques de fonctions puissance pour a=11/12 (ligne noire), a=5/7 (ligne rouge), (ligne bleue), a=2/5 (ligne verte).

Une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel non entier supérieur à un.

Considérons une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel non entier a, et .

Présentons des graphiques de fonctions puissance données par les formules (lignes noires, rouges, bleues et vertes respectivement).

Pour les autres valeurs de l'exposant a, les graphiques de la fonction auront un aspect similaire.

Propriétés de la fonction puissance en .

Une fonction puissance avec un exposant réel supérieur à moins un et inférieur à zéro.

Faites attention! Si a est une fraction négative de dénominateur impair, alors certains auteurs considèrent que le domaine de définition d'une fonction puissance est l'intervalle . Il est précisé que l'exposant a est une fraction irréductible. Or, les auteurs de nombreux manuels d'algèbre et les débuts de l'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions puissance avec un exposant sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. Nous adhérerons précisément à ce point de vue, c'est-à-dire que nous considérerons les domaines de définition des fonctions puissance avec des exposants négatifs fractionnaires comme étant un ensemble, respectivement. Nous recommandons aux élèves de se renseigner auprès de votre professeur sur ce point subtil afin d'éviter les désaccords.

Passons à la fonction puissance, kgod.

Pour avoir une bonne idée de la forme des graphiques de fonctions puissance pour , nous donnons des exemples de graphiques de fonctions (courbes noires, rouges, bleues et vertes, respectivement).

Propriétés d'une fonction puissance d'exposant a, .

Une fonction puissance avec un exposant réel non entier inférieur à moins un.

Donnons des exemples de graphiques de fonctions puissance pour , ils sont représentés respectivement par des lignes noires, rouges, bleues et vertes.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant négatif non entier inférieur à moins un.

Lorsque a = 0 et que nous avons une fonction - il s'agit d'une ligne droite dont le point (0;1) est exclu (il a été convenu de n'attacher aucune signification à l'expression 0 0).

Fonction exponentielle.

L'une des principales fonctions élémentaires est la fonction exponentielle.

Le graphique de la fonction exponentielle, où et prend différentes formes selon la valeur de la base a. Voyons cela.

Considérons d’abord le cas où la base de la fonction exponentielle prend une valeur de zéro à un, c’est-à-dire .

A titre d'exemple, nous présentons des graphiques de la fonction exponentielle pour a = 1/2 – ligne bleue, a = 5/6 – ligne rouge. Les graphiques de la fonction exponentielle ont une apparence similaire pour les autres valeurs de la base de l'intervalle.

Propriétés d'une fonction exponentielle de base inférieure à un.

Passons au cas où la base de la fonction exponentielle est supérieure à un, c'est-à-dire .

A titre d'illustration, nous présentons des graphiques de fonctions exponentielles - ligne bleue et - ligne rouge. Pour d'autres valeurs de base supérieures à un, les graphiques de la fonction exponentielle auront un aspect similaire.

Propriétés d'une fonction exponentielle de base supérieure à un.

Fonction logarithmique.

La fonction élémentaire de base suivante est la fonction logarithmique, où , . La fonction logarithmique est définie uniquement pour les valeurs positives de l'argument, c'est-à-dire pour .

Le graphique d'une fonction logarithmique prend différentes formes selon la valeur de la base a.

Commençons par le cas où .

A titre d'exemple, nous présentons des graphiques de la fonction logarithmique pour a = 1/2 – ligne bleue, a = 5/6 – ligne rouge. Pour d'autres valeurs de base n'excédant pas un, les graphiques de la fonction logarithmique auront un aspect similaire.

Propriétés d'une fonction logarithmique de base inférieure à un.

Passons au cas où la base de la fonction logarithmique est supérieure à un ().

Montrons des graphiques de fonctions logarithmiques - ligne bleue, - ligne rouge. Pour d'autres valeurs de base supérieures à un, les graphiques de la fonction logarithmique auront un aspect similaire.

Propriétés d'une fonction logarithmique de base supérieure à un.

Fonctions trigonométriques, leurs propriétés et graphiques.

Toutes les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente et cotangente) appartiennent aux fonctions élémentaires de base. Nous allons maintenant examiner leurs graphiques et lister leurs propriétés.

Les fonctions trigonométriques ont le concept fréquence(récurrence des valeurs de fonction pour différentes valeurs de l'argument différant les unes des autres par la période , où T est le point), par conséquent, l'élément a été ajouté à la liste des propriétés des fonctions trigonométriques "la plus petite période positive". Aussi, pour chaque fonction trigonométrique, nous indiquerons les valeurs de l'argument pour lesquelles la fonction correspondante disparaît.

Traitons maintenant de toutes les fonctions trigonométriques dans l'ordre.

Fonction sinusoïdale y = sin(x) .

Traçons un graphique de la fonction sinusoïdale, on l'appelle une « onde sinusoïdale ».

Propriétés de la fonction sinusoïdale y = sinx.

Fonction cosinus y = cos(x) .

Le graphique de la fonction cosinus (appelée « cosinus ») ressemble à ceci :

Propriétés de la fonction cosinus y = cosx.

Fonction tangente y = tan(x) .

Le graphique de la fonction tangente (on l'appelle « tangentsoïde ») ressemble à ceci :

Propriétés de la fonction tangente y = tanx.

Fonction cotangente y = ctg(x) .

Traçons un graphique de la fonction cotangente (on l'appelle la « cotangentoïde ») :

Propriétés de la fonction cotangente y = ctgx.

Fonctions trigonométriques inverses, leurs propriétés et graphiques.

Les fonctions trigonométriques inverses (arc sinus, arc cosinus, arc tangente et arc cotangente) sont les fonctions élémentaires de base. Souvent, en raison du préfixe « arc », les fonctions trigonométriques inverses sont appelées fonctions d'arc. Nous allons maintenant examiner leurs graphiques et lister leurs propriétés.

Fonction arc sinus y = arcsin(x) .

Traçons la fonction arc sinus :

Propriétés de la fonction arccotangente y = arcctg(x) .

Références.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. pour les classes 10-11. établissements d'enseignement général.
Vygodsky M.Ya. Manuel de mathématiques élémentaires.
Novoselov S.I. Algèbre et fonctions élémentaires.
Tumanov S.I. Algèbre élémentaire. Un manuel d'auto-éducation.

Connaissez-vous les fonctions y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x etc. Toutes ces fonctions sont des cas particuliers de la fonction puissance, c'est à dire la fonction y = x p, où p est un nombre réel donné. Les propriétés et le graphique d'une fonction puissance dépendent significativement des propriétés d'une puissance à exposant réel, et notamment des valeurs pour lesquelles x Et p le diplôme a du sens x p. Procédons à une considération similaire de différents cas en fonction de l'exposant p.

Indicateur p=2n-un nombre naturel pair.

Dans ce cas, la fonction puissance y = x 2n, Où n- un nombre naturel, a la forme suivante

propriétés:

domaine de définition - tous les nombres réels, c'est-à-dire l'ensemble R ;

ensemble de valeurs - nombres non négatifs, c'est-à-dire y est supérieur ou égal à 0 ;

fonction y = x 2n même, parce que x 2n =(-x) 2n

la fonction est décroissante sur l'intervalle x<0 et augmentant sur l'intervalle x>0.

Graphique d'une fonction y = x 2n a la même forme que, par exemple, le graphique d'une fonction y = x 4 .

2. Indicateur p=2n-1- nombre naturel impair Dans ce cas, la fonction puissance y = x 2n-1, où est un nombre naturel, a les propriétés suivantes :

domaine de définition - ensemble R ;

ensemble de valeurs - définir R ;

fonction y = x 2n-1étrange parce que (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

la fonction est croissante sur tout l'axe réel.

Graphique d'une fonction y=x2n-1 a la même forme que, par exemple, le graphique d'une fonction y=x3.

3.Indicateur p=-2n, Où n- nombre naturel.

Dans ce cas, la fonction puissance y = x -2n =1/x 2n a les propriétés suivantes :

ensemble de valeurs - nombres positifs y>0 ;

fonction y =1/x 2n même, parce que 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

la fonction est croissante sur l'intervalle x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graphique de la fonction y =1/x 2n a la même forme que, par exemple, le graphique de la fonction y =1/x 2 .

4.Indicateur p=-(2n-1), Où n- nombre naturel. Dans ce cas, la fonction puissance y = x -(2n-1) a les propriétés suivantes :

domaine de définition - définir R, sauf x=0 ;

ensemble de valeurs - définir R, sauf y=0 ;

fonction y = x -(2n-1)étrange parce que (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

la fonction est décroissante à intervalles réguliers x<0 Et x>0.

Graphique d'une fonction y = x -(2n-1) a la même forme que, par exemple, le graphique d'une fonction y=1/x 3 .

Fonctions trigonométriques inverses, leurs propriétés et graphiques.

Fonctions trigonométriques inverses, leurs propriétés et graphiques.Fonctions trigonométriques inverses (fonctions circulaires, fonctions d'arc) - fonctions mathématiques qui sont l'inverse des fonctions trigonométriques.

fonction arcsin

Graphique d'une fonction .

arc sinus Nombres m cette valeur d'angle est appelée x, pour lequel

La fonction est continue et délimitée sur toute sa droite numérique. Fonction est strictement en augmentation.

[Edit]Propriétés de la fonction arcsin

[Edit]Obtenir la fonction arcsin

Compte tenu de la fonction Tout au long de sa domaine de définition elle est monotone par morceaux, et donc la correspondance inverse n'est pas une fonction. On considérera donc le segment sur lequel il augmente strictement et prend toutes les valeurs plage de valeurs- . Puisque pour une fonction sur un intervalle chaque valeur de l'argument correspond à une seule valeur de la fonction, alors sur cet intervalle il y a fonction inverse

dont le graphique est symétrique au graphique d'une fonction sur un segment par rapport à une droite

L'étude des fonctions puissance commence dès la 7e année, avec des cas particuliers, et se poursuit tout au long du cours d'algèbre. Jusqu'en 11e année, les connaissances sur la fonction de pouvoir sont généralisées, élargies et systématisées.

Une analyse de la littérature pédagogique doit être réalisée pour la 9e afin de construire le contenu d'un manuel didactique basé sur cette analyse de la littérature pédagogique.

Manuel : « Algèbre. 9e année. Mordkovitch A.G., Semenov P.V. (Mnemosyne, 2009)

Le manuel traite des fonctions puissance avec un exposant entier. Le matériel théorique sur le thème « Fonction puissance » est inclus dans le chapitre « Fonctions numériques » dans des paragraphes séparés, qui traitent à la fois des fonctions elles-mêmes, de leurs propriétés et de leurs graphiques.

La présentation du matériel est accessible aux écoliers ; un grand nombre d'exemples avec des solutions détaillées et approfondies sont inclus dans la 1ère partie (dans le manuel), et des exercices de travail autonome sont placés dans la 2ème partie (dans le cahier de problèmes).

Structure du matériel d'étude :

CHAPITRE 3. Fonctions numériques

§12. Fonctions, leurs propriétés et graphiques.

§13. Fonctions, leurs propriétés et graphiques.

§14. Fonction, ses propriétés et son graphique.

Ensuite, les fonctions puissance sont définies comme des fonctions avec un exposant naturel (d'abord, des cas particuliers de fonctions puissance sont donnés, puis la formule générale est révélée). Les fonctions puissance à exposant pair et leurs graphiques sont considérés, à partir desquels les propriétés sont ensuite révélées (la plage de valeurs et le domaine de définition de la fonction, pair et impair, monotonie, continuité, valeur la plus grande et la plus petite de la fonction, convexité ). Ensuite, nous considérons les fonctions puissance avec un exposant impair, ainsi que leurs graphiques et propriétés.

Au § 13 sont définies les fonctions puissance à exposants négatifs : d'abord les fonctions paires, puis les impaires. Semblables aux fonctions puissance avec un exposant naturel, des cas particuliers sont donnés :

Après quoi la formule générale est révélée, les graphiques et les propriétés sont également pris en compte

Au § 14 la fonction est introduite

ses propriétés et son graphique, comme cas particulier d'une fonction puissance avec un exposant rationnel n =

La transformation des graphiques (symétrie) se résume au fait que le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et le graphique d'une fonction impaire par rapport à l'origine. Par conséquent, pour les fonctions steppiques, une fonction donnée est considérée sur un certain rayon, son graphique est construit et, en utilisant la symétrie, un graphique est construit sur toute la droite numérique. Ensuite, le graphique est lu, c'est-à-dire le graphique répertorie les propriétés de la fonction selon le schéma :

1) portée de la définition ;

2) pair, impair ;

3) monotonie ;

4) limitation par le bas, par le haut ;

5) les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction ;

6) continuité ;

7) plage de valeurs ;

8) convexité.

a) va au système de coordonnées auxiliaire avec l'origine au point auquel les valeurs à x = 0 et y = 0 sont obtenues.

b) « lie » la fonction à un nouveau système de coordonnées.

Exemple 3. Représenter graphiquement une fonction

Solution. Passons au système de coordonnées auxiliaire avec l'origine au point (-1;-2) (lignes pointillées sur la Fig. 117) et « lions » la fonction au nouveau système de coordonnées. Nous obtenons le graphique requis (Fig. 117)

Dans le livre de problèmes « Algèbre. 9e année. édité par Mordkovich A. G. et Semenov P. V., un système varié d'exercices est présenté. L'ensemble d'exercices est divisé en deux blocs : le premier contient des tâches de deux niveaux de base : orales (semi-orales) et des tâches de difficulté moyenne ; le deuxième bloc contient des tâches d'un niveau supérieur à la moyenne ou de difficulté accrue. Des réponses sont fournies pour la plupart des problèmes des deuxième et troisième niveaux. Le cahier de problèmes contient un grand nombre de tâches différentes pour construire des graphiques de différents types de fonctions de puissance et déterminer les propriétés d'une fonction à partir de son graphique. Par exemple:

N° 12.10. Représentez graphiquement la fonction :

N° 12.15. Résoudre l'équation graphiquement

N° 12.19. Tracer et lire le graphique de la fonction

Tracer et lire le graphique de la fonction

Manuel : « Algèbre. 9e année. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. (Lumières, 2006)

Ce manuel est également destiné aux cours d'enseignement général, dans lesquels il n'est pas nécessaire de prendre en compte du matériel supplémentaire et des tâches complexes. S'il y a suffisamment d'heures, si la classe montre un intérêt pour les mathématiques, alors en raison des ajouts à la fin des chapitres du manuel, ainsi que des points et des tâches individuelles avec un astérisque, qui sont facultatifs dans les classes ordinaires d'enseignement général, il est possible d'élargir et d'approfondir le contenu de la matière étudiée dans la mesure prévue par le programme pour les classes avec une étude approfondie des mathématiques. Autrement dit, le manuel peut être utilisé dans les cours de mathématiques réguliers et avancés.

Structure du matériel d'étude :

CHAPITRE II. Le pouvoir du nombre

§4. Degré racine

4.1 Propriétés de la fonction

4.2 Graphique d'une fonction

4.3 Notion de racine de diplôme

4.4 Racines des puissances paires et impaires

4.5 Racine arithmétique

4.6 Propriétés des racines des degrés

4.7 *Racine d'un nombre naturel

4.8 *Fonction

L'étude du sujet commence par les propriétés de la fonction (en prenant l'exemple de n = 2 et n = 3) et de son graphique. Ensuite, la racine n, la racine arithmétique et les propriétés des racines n sont explorées, ainsi que leur application à la transformation d'expression. Dans les cours avec une étude approfondie des mathématiques, les sujets suivants sont en outre abordés : « Fonction », « Exposant avec un exposant rationnel et ses propriétés ».

On soutient que les fonctions ont un certain nombre de propriétés identiques (domaine de définition, zéros de la fonction, parité, impair, continuité, intervalles de monotonie). Par conséquent, il est conseillé de considérer dans le cas général la fonction, où est un nombre naturel, . La définition du graphe d'une fonction est introduite à travers la définition d'une parabole. Autrement dit, selon le fait bien connu que le graphique d'une fonction est une parabole, alors ce graphique est appelé une parabole du deuxième degré, le graphique d'une fonction est appelé une parabole du 1er degré ou, en bref, une parabole. Les propriétés de fonction ne sont prises en compte que pour les propriétés non négatives avec quelques preuves.

L'étude de la construction d'un graphique d'une fonction commence par la représentation de graphiques de fonctions sur un plan de coordonnées uniquement pour des valeurs non négatives.

L'étude d'une fonction s'appuie sur des connaissances préalablement acquises sur la racine arithmétique d'un degré. Le graphique d'une fonction est tracé dans un système de coordonnées cartésiennes. Pour commencer, considérons une fonction puissance et la construction de son graphe dans le système de coordonnées O. Ainsi, il est prouvé que le graphe de la fonction fait partie d’une parabole puissance.

1) Si x = 0, alors y = 0.

2) Si, alors.

3) La fonction augmente.

4) Si, alors.

5) La fonction est continue.

Le système d'exercices sur le thème « Fonction de puissance » est varié. Il contient des tâches de formation, tant orales qu'écrites. Par exemple:

N° 316. Fonction donnée

Explorez cette fonction et représentez-la graphiquement.

N° 318. Représenter graphiquement la fonction

N° 321. Dans un système de coordonnées, construisez des graphiques de fonctions

N° 441. Tracez un graphique de la fonction pour :

N° 442. Tracez un graphique de la fonction pour :

Manuel : « Algèbre. 9e année." Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Lumières, 2009)

Ce manuel est destiné aux écoles secondaires.

Structure du matériel d'étude :

CHAPITRE IV. Puissance avec exposant rationnel

§9. Fonction d'alimentation

21. Fonctions paires et impaires

22. Fonction

§10. nième racine

23. Détermination de la nième racine

24. Propriétés de la racine arithmétique du nième degré

§11. Puissance avec exposant rationnel et ses propriétés

25. Détermination du degré avec exposant fractionnaire

26. Propriétés avec un exposant rationnel

27. Conversion d'expressions contenant des puissances avec des exposants fractionnaires

L'étude de la fonction puissance commence par l'introduction des notions de fonctions paires et impaires à l'aide d'exemples de comparaison des valeurs d'une fonction avec deux valeurs opposées de l'argument. Ensuite, la définition des fonctions paires et impaires est donnée avec la construction des graphiques correspondants.

On dit que les fonctions puissance pour = 1, 2 et 3 (c'est-à-dire les fonctions), leurs propriétés et leurs graphiques ont été étudiés précédemment. Ensuite, les propriétés de la fonction puissance et les caractéristiques de son graphique pour tout nombre naturel sont clarifiées. Considérez les fonctions lorsque l'exposant n est un nombre pair, alors n est un nombre impair. Les propriétés sont analysées à l'aide d'exemples, selon le schéma :

1. Portée de la définition ;

2. Gamme de significations ;

3. Zéros de fonction ;

4. Parité ;

5. Parité impaire ;

6. Monotonie de la fonction.

Le paragraphe suivant du chapitre est consacré à la nième racine, dans lequel la définition est introduite et les propriétés sont discutées.

La définition est répétée : la racine carrée d'un nombre est un nombre dont le carré est égal à a. La racine de toute puissance naturelle n est définie de la même manière : la nième racine d'un nombre a est un nombre dont la nième puissance est égale à a. Pour ce faire, considérons d'abord une fonction puissance avec un exposant impair n et son graphique, qui montre que pour tout nombre a il existe une valeur unique de x dont la nième puissance est égale à a. Ensuite, une fonction puissance avec un exposant pair n est considérée et, si, alors il y a deux valeurs opposées de x, car il existe un tel nombre (numéro 0), car car il n'y a pas de tels nombres.

A la fin du chapitre, un degré à exposant rationnel et ses propriétés sont considérés.

Le système d'exercices est varié. Par exemple:

N° 503. Esquissez le graphique de la fonction

N° 508. Résoudre l'équation graphiquement

N° 513. À l'aide du graphique de la fonction, résolvez l'équation

N° 580. Représenter graphiquement la fonction

N° 644. Tracer un graphique de la fonction f, sachant qu'elle est impaire et que sa valeur a peut être trouvée à l'aide de la formule

N° 643. Représenter graphiquement la fonction

N° 663. Représentez graphiquement la fonction. A l'aide du graphique, comparez les valeurs des racines

N° 669. Représenter graphiquement la fonction

Manuel : « Algèbre. 9e année." Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov et autres (Lumières, 2009)

Lors de l'étude de ce sujet, une attention particulière est portée aux propriétés des fonctions et à l'affichage de ces propriétés sur des graphiques. Parallèlement, des compétences initiales sont développées pour effectuer des transformations simples de graphes de fonctions.

Structure du matériel d'étude :

CHAPITRE III. Fonction d'alimentation

§12. Domaine de fonction

§13. Fonction croissante et décroissante

§14. Fonction paire et impaire

§15. Fonction

§16. Inégalités et équations contenant des degrés

L'objectif principal de ce chapitre est non seulement de présenter aux étudiants la fonction puissance, mais aussi d'élargir les informations connues sur les propriétés de la fonction dans son ensemble (domaine de définition, monotonie, fonctions paires et impaires), de développer la capacité étudier des fonctions à l'aide d'un graphe donné,

Lors de l'étude du matériel de ce chapitre, la compréhension fonctionnelle des étudiants est approfondie et considérablement élargie.

Au §12 la définition d'une fonction, l'argument et le domaine de définition d'une fonction sont formulés. La définition d'un graphe d'une fonction et les méthodes pour sa construction, incluant l'utilisation de transformations élémentaires, sont rappelées.

Au §13 nous introduisons le concept de fonction puissance. Les exemples révèlent la portée de la définition ; les définitions des fonctions croissantes et décroissantes sont rappelées, et les définitions des fonctions puissances croissantes et décroissantes sont données.

L'idée des fonctions paires et impaires est donnée aux élèves au niveau visuel. Le manuel aborde deux problèmes dans lesquels vous devez construire des graphiques de la fonction et. Les propriétés de ces fonctions sont étudiées et, sur la base de la symétrie, des concepts sur la régularité ou l'impair d'une fonction sont donnés.

Au §15, les élèves acquièrent une compréhension d'une fonction pour différentes valeurs de k, apprennent à tracer un graphique d'une fonction et à le lire (c'est-à-dire déterminer les propriétés d'une fonction à partir de son graphique). Grâce à la fonction, le concept de proportionnalité inverse, qui n'était évoqué que dans le cours d'algèbre de 8e année, est clarifié.

Lorsqu'on étudie une fonction pour k > 0, la fonction est d'abord présentée comme un cas particulier de fonction puissance : prise en compte des évolutions du paramètre k.

Cette section aborde quatre problèmes dans lesquels il est nécessaire de construire des graphes de fonctions. Dans le problème 1, pour construire un graphique d'une fonction, toutes les propriétés de la fonction étudiée dans les paragraphes précédents sont utilisées. Dans la tâche 2, lors de la construction de graphiques de fonctions, l'étirement déjà connu du graphique de fonctions le long de l'axe des abscisses de 2 fois est utilisé. Et, à partir de ces deux problèmes, les propriétés de la fonction pour et sont formulées.

Dans la tâche 4, il est nécessaire de construire un graphique d'une fonction (basé sur les tâches 1-2), c'est-à-dire que le graphique de cette fonction peut être construit en décalant le graphique de la fonction le long de l'axe Ox vers la droite d'un et le long de l'axe Oy vers le bas de 2 unités.

Le système d'exercices présente différents types de tâches : des tâches obligatoires et supplémentaires de complexité accrue.

Parmi les tâches de construction de graphiques de fonctions puissance, on peut distinguer les exercices suivants :

N° 164. Construire un graphique et trouver les intervalles des fonctions croissantes et décroissantes

N° 166. Dessinez un croquis du graphique de la fonction à

N° 171. Construire un graphique et trouver les intervalles des fonctions croissantes et décroissantes

N° 174. Esquissez le graphique de la fonction

N°179. Découvrez les propriétés de la fonction et construisez son graphique

N° 180. Représenter graphiquement la fonction

N° 191. Représenter graphiquement la fonction

N°218. Découvrez si une fonction est paire ou impaire

Les étudiants qui étudient la matière maîtrisent des concepts tels que le domaine de définition, les fonctions paires et impaires, les fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle.

Les étudiants ont rencontré le concept de fonctions croissantes et décroissantes dans le cours d'algèbre de 8e année, mais ce n'est qu'en étudiant ce sujet que les définitions de ces concepts se forment et, par conséquent, il devient possible de prouver analytiquement l'augmentation ou la diminution d'une fonction spécifique sur un intervalle. (cependant, réaliser de telles preuves ne fait pas partie des compétences requises) . Les élèves apprennent à trouver les intervalles croissants d'une fonction à l'aide d'un graphique de la fonction en question.

Lors de l'étude du sujet, les exemples de fonction puissance avec un exposant fractionnaire ne sont pas pris en compte, car le concept de puissance avec un exposant rationnel n'est pas introduit dans ce cours.

Lors de l'étude de chaque fonction spécifique (y compris les fonctions), les élèves seront capables de dessiner un croquis du graphique de la fonction en question et d'énumérer ses propriétés à partir du graphique.

Manuel : « Algèbre. Etude approfondie. 9e année. Mordkovich A.G. (Mnemosyne, 2006)

Nous avons pris le manuel de 2006, car ce manuel, contrairement aux éditions ultérieures, incluait le thème du diplôme avec un exposant rationnel. D'une manière générale, à l'heure actuelle, ce sujet est étudié au lycée, mais dans le manuel multimédia, nous l'avons inclus comme matériel propédeutique.

Le livre est destiné à une étude approfondie des mathématiques en 9e année du lycée. Ce manuel est rédigé sur la base d'un manuel de 9e année destiné aux établissements d'enseignement général (A. G. Mordkovich. Algebra-9). Il met en œuvre le même programme, mais la différence réside dans une étude plus approfondie des questions pertinentes du cours : des exemples simples sont remplacés par des exemples plus complexes et intéressants.

Structure du matériel d'étude :

CHAPITRE 4. Fonctions de puissance. Pouvoirs et racines

§17. Puissance avec exposant entier négatif

§18. Fonctions, leurs propriétés et graphiques

§19. Le concept de racine nième d'un nombre réel

§20. Fonctions, leurs propriétés et graphiques

§21. Propriétés de la nième racine

§22. Conversion d'expressions contenant des radicaux

§23. Généralisation de la notion d'exposant

§24. Fonctions, leurs propriétés et graphiques

Au § 18, nous parlons de fonctions puissance à exposant entier, c'est-à-dire de fonctions, etc. Cette section est divisée en paragraphes :

L'auteur rappelle que le cas le plus simple d'une telle fonction a été envisagé en 7e année : c'était une fonction. Ce paragraphe commence par une considération de la fonction. Un graphe est construit et les propriétés de cette fonction sont répertoriées dans un certain ordre : 1) domaine de définition ; 2) pair, impair ; 3) monotonie ; 4) limitation par le bas, par le haut ; 5) les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction ; 6) continuité ; 7) plage de valeurs ; 8) convexité.

Les propriétés ont été lues à partir d'un graphique ; il est maintenant proposé de prouver analytiquement l'existence d'un certain nombre de ces propriétés.

L'auteur conclut que le graphique de toute fonction puissance est similaire au graphique d'une fonction, seules ses branches sont fortement dirigées vers le haut et davantage pressées vers l'axe des x sur le segment et note que la courbe touche l'axe des x au point (0;0).

A la fin du paragraphe se trouve un exemple de construction d'un graphe de la fonction Construction : 1) transition vers un système de coordonnées auxiliaire avec le début au point (1 ; -2) ; 2) tracer une courbe.

1) Fonction

Les propriétés et le graphique d'une fonction puissance avec un exposant impair sont d'abord examinés à l'aide de l'exemple d'une fonction dont le graphique est une parabole cubique.

L'auteur conclut que le graphique de toute fonction puissance est similaire au graphique d'une fonction, seulement plus l'exposant est grand, plus les branches du graphique sont dirigées vers le haut (et, par conséquent, vers le bas) et note que la courbe touche le Axe des x au point (0;0).

Voici un exemple d'utilisation du graphique d'une fonction puissance pour résoudre une équation. La solution se déroule en 4 étapes : 1) deux fonctions sont considérées : et ; 2) tracer la fonction ; 2) tracer une fonction linéaire ; 4) trouvez le point d'intersection et effectuez une vérification.

2) Fonction

Nous parlons de fonctions puissance avec un exposant entier négatif (pair). Nous regardons d’abord un exemple de fonction. Un graphique est construit et les propriétés de cette fonction sont répertoriées. En particulier, nous prouvons la propriété à laquelle la fonction décroît.

multimédia fonction visuelle école mathématiques

3) Fonction

Dans ce cas, nous considérons des fonctions puissance avec un exposant entier négatif (impair) : etc. L'auteur rappelle qu'une de ces fonctions était déjà étudiée en 8e année - celle-ci. Ses propriétés et son graphique (hyperbole) sont rappelés, et la conclusion est tirée que le graphique de toute fonction est similaire à une hyperbole.

Au § 19 est donnée la notion de racine nième d'un nombre réel et, en particulier, il est noté que de tout nombre non négatif on peut extraire la racine de n'importe quel degré (deuxième, troisième, quatrième, etc.), et à partir d’un nombre négatif, on peut extraire la racine de n’importe quel degré impair.

Au § 20 nous parlons d'une fonction donnée à, et examinons son graphique et ses propriétés à l'aide d'un exemple particulier (at). A partir de la figure représentant le graphique d'une fonction et le graphique d'une fonction, la symétrie de ces graphiques est déterminée puis confirmée analytiquement.

Cette section traite également de la fonction en cas d'impair pour toutes les valeurs. Les propriétés de cette fonction sont discutées et un graphique est dessiné.

· s'il s'agit d'un nombre pair, alors le graphique de la fonction a la forme montrée sur la Fig. 1 ;

· s'il s'agit d'un nombre impair, alors le graphique de la fonction a la forme montrée sur la Fig. 2.

Au § 24 on considère une fonction de la forme - tout nombre réel (on se limite aux cas d'exposant rationnel).

1. Si est un nombre naturel, alors nous obtenons une fonction (les graphiques et les propriétés sont connus)

2. Si, alors nous obtenons la fonction, c'est-à-dire . Dans le cas pair, le graphique a la forme montrée sur la Fig. 3a, dans le cas d'impair, le graphique a la forme montrée sur la Fig. 3b

riz.

3. Si nous parlons d’une fonction, alors c’est une fonction où

La situation est à peu près la même pour toute fonction puissance de la forme où :

1. - fraction impropre (le numérateur est supérieur au dénominateur). Son graphique est une courbe semblable à la branche d'une parabole. Plus l'indicateur est élevé, plus cette courbe est « raide » vers le haut. Un graphique est construit et les propriétés sont données.

2. - fraction propre () (§ 20). Un graphique est construit et les propriétés sont données.

Un graphique est construit et les propriétés sont données.

Dans le livre de problèmes « Algèbre. Etude approfondie. 9e année. Zavich L.I., Ryazanovsky A.R. présente un système d'exercices varié. La complexité des tâches augmente à mesure que leurs numéros de série augmentent. Le livre de problèmes contient un grand nombre d'exercices différents sur la construction de graphiques de différents types de fonctions de puissance, l'étude et l'application de ses propriétés.

Par exemple:

N° 17.05. Construire des graphiques de fonctions sur un seul dessin

Graphiques de fonctions de tracé

N° 17.35. Représenter graphiquement la fonction

et à l'aide d'un graphique, indiquer les intervalles de sa monotonie, les points extremum, les extrema et le nombre de ses zéros.

Représentez graphiquement les fonctions :

N° 19.01. Construire des graphiques de fonctions sur un seul dessin

N° 19.04. Graphiques de fonctions de tracé

N° 19.22. Tracer des graphiques et effectuer des recherches de fonctions

N° 21.01. Construire des graphiques de fonctions sur un dessin, pour et, pour et lister les propriétés de la fonction : a) domaine de définition D(y) ; b) ensemble de valeurs E(y) ; c) les zéros de la fonction ; d) intervalles de monotonie ; e) intervalles de convexité ; f) points extrêmes ; g) les extrêmes ; h) pair ou impair ; i) les valeurs les plus grandes et les plus petites.

N° 21.03. Tracez et explorez les fonctions suivantes

N° 21.11. Créer des graphiques de fonctions sur un seul dessin

sur le segment

N° 21.17. Fonctions graphiques

N° 25.01. Construire des croquis graphiques des paires de fonctions suivantes sur le même dessin

N° 25.05. Tracer des graphiques de fonctions et décrire leurs propriétés

N° 25.06. Construire des graphiques de fonctions sur des dessins adjacents

N° 25.18. Fonctions graphiques

N° 25h30. Graphiques de fonctions de tracé

L'analyse de la littérature pédagogique permet de tirer quelques conclusions

Compte tenu du niveau de la formation générale de base en mathématiques, nous constatons que les élèves doivent étudier les types de fonctions puissance suivants :

Cas particuliers (directe, proportionnalité inverse, fonction quadratique),

Avec un indicateur naturel,

Avec tout un indicateur

Avec un exposant rationnel positif,

Avec un indicateur rationnel,

Avec un indicateur irrationnel,

Avec un indicateur valide.

Un rôle important dans ce sujet est joué par la formation d'une image de graphiques de fonctions. Les élèves devraient également être capables de : déterminer les propriétés d'une fonction à partir de son graphique ; décrire les propriétés des fonctions étudiées, construire leurs graphiques. L'examen de la norme nous permet de conclure que le thème « Fonction de pouvoir » est inclus dans le minimum obligatoire de connaissances, de compétences et d'aptitudes des écoliers et, par conséquent, notre attention à ce sujet est tout à fait justifiée.

Afin de développer de solides compétences sur la fonction puissance, il est nécessaire d'étudier la méthodologie du thème « Propriétés de la fonction puissance », auquel nous passons.

2. Bases méthodologiques pour l'étude du thème « Propriétés d'une fonction pouvoir » à l'école

Une fonction puissance appartient à la classe des fonctions élémentaires.

Le but de son étude n'est pas seulement de familiariser les étudiants avec la fonction puissance, mais également d'élargir les informations qu'ils connaissent sur les propriétés des fonctions en général.

Lors de l'étude du thème « Fonction puissance », ils utilisent principalement la méthode analytique et graphique d'étude des fonctions. Dans les cas où la recherche analytique est difficile à comprendre pour les étudiants, des méthodes graphiques sont utilisées, mais ces dernières ne peuvent servir de preuve.

Les étudiants réalisent un grand nombre de travaux graphiques et une attention est portée non seulement à l'exactitude et à la précision de leur mise en œuvre, mais également aux techniques rationnelles de construction de graphiques.

Il est possible de développer de solides compétences dans la construction et la lecture de graphiques de fonctions de puissance et de garantir que chaque élève puisse effectuer des tâches de base de manière indépendante uniquement s'il effectue un nombre suffisant d'exercices de formation.

Par exemple, dans la revue « Mathématiques à l'école » Lopatina, L.V. propose la leçon d’atelier suivante :

La leçon-atelier vise à ce que les étudiants acquièrent des connaissances par leur propre travail. C’est le principal leitmotiv de la pédagogie développementale. Le sujet « Fonction puissance » est très approprié pour le travail créatif de toute la classe, car une fonction puissance (, où est n'importe quel nombre rationnel) est en fait un ensemble de fonctions qui ont des propriétés différentes en fonction de l'exposant.

Il est préférable d'organiser la discussion sur ces propriétés en groupes. Pour ce faire, il est conseillé de diviser la classe en six groupes.

Tout d'abord, l'enseignant doit imaginer la séquence de travail dans « l'atelier » :

Étape I - induction - appel à l'expérience antérieure ;

Stade III - lacune - le moment où les étudiants doivent se rendre compte qu'il existe des lacunes dans leurs connaissances qu'ils doivent eux-mêmes combler ;

Étape IV - réflexion - détermination du degré d'assimilation.

Décrivons plus en détail chacune des étapes de la leçon.

Étape I - induction. L'enseignant rappelle que les fonctions, leurs propriétés et leurs graphiques ont déjà été étudiés en classe. Ces fonctions peuvent généralement être spécifiées par la formule : , où - est un nombre entier. Une telle fonction est appelée fonction puissance. La classe se voit confier la tâche suivante : lister les questions auxquelles nous devons répondre lors de l'apprentissage d'une nouvelle fonctionnalité.

La classe discute de ces questions en groupes, puis toutes les questions des groupes sont rassemblées dans une seule liste :

· Quelles propriétés possède cette fonction ?

· Quel est son emploi du temps ?

· Dans quelles situations est-il utilisé ?

Commençons par répondre à la dernière question. Donnons des exemples de plusieurs situations dans lesquelles une fonction puissance apparaît.

Trois élèves viennent à tour de rôle au tableau et réalisent des messages préparés à la maison.

Le premier étudiant considère la fonction où est l'aire de la section transversale du diamètre du fil. Les élèves remarqueront que cette fonction puissance est en réalité une fonction quadratique, mais avec des restrictions sur la valeur de l’argument.

Le deuxième élève parle du fait que la force d'attraction entre deux corps de masse s'exprime par la formule. Ceci est fonction de la distance entre ces corps. Il y aura un élève dans la classe qui remarquera que nous avons déjà tracé une fonction de ce type, même si nous ne l’avons pas étudié spécifiquement.

Le troisième élève analyse la distance de l'horizon à l'observateur : . Ceci dépend de la hauteur à laquelle l'observateur est élevé au-dessus du niveau de la mer. Si les enfants eux-mêmes ne l'ont pas remarqué, l'enseignant doit alors souligner qu'ici, la valeur ne peut pas augmenter indéfiniment. En effet, quelle que soit la hauteur de l'observateur, il ne peut voir plus que ce que lui permettent les capacités de sa vision et la convexité du globe. Cet exemple est particulièrement indicatif, puisqu'il permet de juger de l'opportunité des restrictions sur les valeurs de la fonction. Ici, nous devons imposer certaines restrictions sur les valeurs de la fonction, bien que les valeurs, en théorie, puissent augmenter de manière illimitée.

Étape II - discussion du sujet. Les élèves disposent d'un peu de temps pour examiner les propriétés de l'une de leurs fonctions puissance choisies. Le principal problème ici est le choix de la fonction. Un groupe a tendance à simplifier le problème en se limitant à une fonction type bien connue de tous les étudiants. Un autre groupe rend leur travail trop compliqué en se concentrant sur la fonction de l'espèce ou, peut-être, sur les deux ensemble, même si l'approche générale de la question n'est pas encore claire pour les étudiants.

En fin de compte, il existe des groupes qui ont choisi des fonctions dont les graphiques ont déjà été examinés précédemment, même si l'accent nécessaire n'y a pas été mis.

Le premier groupe a examiné la fonction de l'espèce ; a noté le domaine de sa définition : et la valeur nulle de la fonction à. Les gars se sont particulièrement concentrés sur le fait que la fonction augmente dans tout le domaine de définition. Nous avons identifié des intervalles où la fonction est supérieure ou inférieure à zéro. Les intervenants ont souligné que cette fonction est étrange et n'a ni la plus grande ni la moindre valeur.

Un élève de ce groupe s'adresse à la classe et parle des résultats des recherches du groupe.

Le deuxième groupe a choisi une fonctionnalité à prendre en compte. Les gars ont remarqué qu'ils devront désormais exclure le nombre 0 du domaine de définition de la fonction, c'est-à-dire . Contrairement à la précédente, cette fonction n’a pas de zéros. Mais, comme celle évoquée ci-dessus, cette fonction est positive à et négative à. Elle diminue dans tout le domaine de définition.

Le représentant de ce groupe souligne les différences entre les fonctions et.

Deux autres étudiants parlent de fonctions.

Au cours de leurs présentations, tous les présentateurs doivent démontrer des graphiques des fonctions discutées.

Lors de l'étape III du cours, l'élève doit résumer ses connaissances. Et ils doivent le faire seuls, surpris par la variété des fonctions envisagées. « Pourquoi leur donne-t-on un seul nom s’ils sont si nombreux et qu’ils sont différents ? - c'est la question que les étudiants devraient se poser. La tâche de l'enseignant est d'amener tranquillement les élèves à aborder cette question. Il arrive un moment de soi-disant écart, où les gars doivent se rendre compte des lacunes de leurs connaissances, de leurs limites ou de leur caractère incomplet. En effet, l’une des fonctions considérées possède des zéros, l’autre non. L'un augmente sur tout le domaine de définition, l'autre augmente et diminue. Quelle caractérisation donner à l’ensemble de la fonction puissance pour qu’elle couvre le plus de cas particuliers possible ?

En cherchant une réponse à cette question, l'un des gars finit par deviner que le type de fonction puissance peut être commodément associé à la régularité ou à l'impair de l'exposant.

Il convient maintenant de demander à nouveau aux groupes de discuter des propriétés des fonctions.

où - impair ;

où -- même ;

où -- impair ;

où est pair.

On note encore une fois le plan de recherche de fonction :

Précisez la portée de la définition.

Déterminez si une fonction est paire ou impaire (ou notez qu’elle n’est ni paire ni impaire).

1. Trouvez les zéros de la fonction, le cas échéant.

2. Marquez les intervalles de constance du signe.

3. Trouvez les intervalles d'augmentation et de diminution.

4. Spécifiez la valeur la plus grande ou la plus petite de la fonction.

A la fin, les élèves se voient présenter des graphiques des fonctions considérées, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ces graphiques sont réalisée par des représentants de chaque groupe.

Maintenant, avec la classe, nous construisons des graphiques de la fonction, où l'entier naturel et.

On note une propriété commune à ces fonctions : elles ont toutes deux un domaine de définition - un intervalle. Ils ne sont ni pairs ni impairs. Ils sont tous deux supérieurs à zéro.

Mais ces fonctions présentent aussi des différences. Les gars les appellent spécialement : la fonction d'une espèce augmente dans son domaine de définition, et la fonction d'une espèce diminue dans le même domaine. Une fonction de la forme a une valeur nulle à, et une fonction de la forme n'a pas de zéros.

Au stade IV, les élèves doivent engager une réflexion, c'est-à-dire déterminer le degré de maîtrise de la matière. Toute la classe reçoit la tâche suivante selon la Fig. 3.

Sur la fig. 3, a-h, les graphiques des fonctions données par les formules sont représentés schématiquement

Déterminez quelle formule de cette liste correspond approximativement à chacun des graphiques a-z.

Dans la revue « Mathématiques à l'école » Petrova, N.P. propose le projet « Étudier les propriétés des fonctions puissance à l'aide d'Excel » :

Le projet pédagogique décrit dans l'article sur le thème « Étudier les propriétés des fonctions à l'aide de feuilles de calcul Excel » a été réalisé par des professeurs de mathématiques et d'informatique de notre lycée en 9e et a été conçu pour cinq leçons.

L'objectif du projet était de fournir aux étudiants indépendance et initiative lorsqu'ils étudient un nouveau sujet et appliquent dans la pratique le matériel précédemment étudié.

Au cours du projet, les élèves de neuvième année devaient montrer :

· capacité à formuler correctement les objectifs du projet ;

· capacité d'analyser des informations et de tirer des conclusions ;

· capacité à interpréter correctement les résultats obtenus et à les appliquer dans des activités pratiques.

Les étudiants ont été confrontés à la tâche d'examiner le comportement des graphiques de fonctions à l'aide d'Excel, puis, sur la base des données obtenues, de décrire les propriétés des fonctions.

Sur la base des résultats du projet, les élèves de neuvième année ont dû apprendre la forme générale des graphiques de fonctions et apprendre à construire et « lire » ces graphiques, ainsi qu'à résoudre graphiquement des équations de la forme = f(x).

Il convient de noter que les travaux sur ce projet ont été conçus pour favoriser le développement de la capacité des écoliers à comparer, à identifier les caractéristiques communes et les différences dans les graphiques de fonctions de puissance pour différentes valeurs.

Voici une description étape par étape du projet.

Étape I. Préparation (étape de recherche)

L'éveil de l'intérêt des étudiants pour le sujet du projet se produit au cours de la conversation. Les élèves sont invités à résoudre des équations en utilisant des méthodes qu'ils connaissent

Il s'avère que les gars peuvent résoudre l'équation de deux manières : analytique et graphique, l'équation - graphiquement. Ils ont du mal à résoudre les équations restantes, mais s’ils étaient familiers avec les graphiques de fonctions, ils résoudraient le problème graphiquement.

Le résultat de la conversation est la formulation d'une question problématique : à quoi ressemblent les graphiques de fonctions et où ? Après cela, des orientations pour les travaux ultérieurs sont déterminées et des tâches sont formulées :

1. À l’aide d’Excel, découvrez à quoi ressemble le graphique d’une fonction lorsque n est pair et décrivez les propriétés de cette fonction.

2. À l'aide d'Excel, découvrez à quoi ressemble le graphique d'une fonction lorsque n est impair et décrivez les propriétés de cette fonction.

3. À l'aide d'Excel, découvrez à quoi ressemble le graphique d'une fonction lorsque n est pair et décrivez les propriétés de cette fonction.

4. À l'aide d'Excel, découvrez à quoi ressemble le graphique d'une fonction lorsque n est impair et décrivez les propriétés de cette fonction.

Ensuite, la classe est divisée en groupes de travail. L'enseignant invite les élèves à se diviser indépendamment en quatre groupes (facultatif) et à choisir un leader dans chaque groupe. Lorsque les groupes sont constitués, ils choisissent un des domaines de travail du projet (selon les tâches listées ci-dessus).

Étape II. Planification (étape analytique)

L'enseignant aide les groupes à élaborer un plan de travail pour résoudre le problème choisi et recommande des sources d'information. Les élèves attribuent indépendamment des rôles en groupes. La répartition approximative des rôles dans le groupe est présentée dans le tableau suivant. Le nombre d'élèves dans un groupe dépend du nombre d'élèves dans la classe.

Au même stade, la forme de présentation des résultats des travaux est discutée. Dans ce cas, une présentation informatique utilisant PowerPoint a été choisie.

Stade III. Recherche (stade pratique)

Les étudiants accomplissent leurs devoirs conformément au plan de travail prévu. L'enseignant surveille leurs activités et, si nécessaire, conseille les élèves.

A titre d’exemple, prenons le plan de travail du groupe n°1.

1. Tracer des graphiques de fonctions à l'aide d'Excel.

2. Comparaison de graphiques, formulation de variantes de recommandations pour construire un graphique d'une fonction pour un nombre pair naturel.

3. Déterminer les propriétés d'une fonction à partir d'un graphique.

4. Analyse d'exemples d'application pratique du graphe d'une fonction.

Sur la base de la recherche, les étudiants concluent que les graphiques de fonctions de la forme pour naturel pair n sont des courbes similaires à une parabole, et donnent des recommandations pour construire un graphique : il faut tenir compte du fait que le graphique est symétrique par rapport à l'axe Oy, donc il suffit de créer un tableau de valeurs de fonction pour les valeurs positives de l'argument X.

De plus, à cette étape, un scénario de présentation générale est créé, qui sera affiné au fur et à mesure de l'avancée du projet. Dans ce script, en particulier, le nombre de diapositives, le but de chacune d'elles, ainsi que les principaux objets qui doivent être placés sur les diapositives sont déterminés.

Étapes IV et V. Soutenance du projet, évaluation des résultats (étapes de présentation et de contrôle)

La soutenance des projets (en groupe) a lieu au dernier des cours programmés.

Présentons maintenant le planning des cours pour travailler sur ce projet et le contenu de chaque cours.

Leçon 1 (mathématiques)

· Énoncé de la problématique du projet. Déterminer les domaines de travail, formuler les objectifs du projet.

· Division en groupes de travail, sélection d'un leader dans les groupes.

· Élaborer un plan de travail pour résoudre les tâches assignées, répartir les rôles en groupes, choisir une forme de présentation des résultats.

Leçon 2 (informatique)

· Parlez du but des feuilles de calcul Excel.

· Répéter la construction de graphiques de diverses fonctions à l'aide d'Excel.

· Tracer des graphiques des fonctions étudiées à l'aide d'Excel. Analyse des informations reçues, conclusion.

Leçon 3 (mathématiques)

· Construction et « lecture » de graphiques de fonctions et

· Résoudre des équations de la forme où graphiquement.

· Création d'un script de présentation.

Leçon 4 (informatique)

· Réitération du but et des principes de fonctionnement du programme Power Point.

· Création d'une présentation.

Leçon 5 (mathématiques)

· Protection du projet.

Nous fournissons également un plan de cours général pour défendre le projet.

1. Moment organisationnel.

2. Motivation à appliquer les connaissances en identifiant un problème.

Discours d'ouverture du professeur

Dans la leçon d'aujourd'hui, l'objet principal d'étude sont les fonctions et, où, leurs propriétés et leurs graphiques. Vous savez déjà comment résoudre des équations du premier degré (linéaire) et du deuxième degré (quadratique) à l'aide de formules racine. Pour les équations du 3ème degré, il existe également des formules spéciales pour les racines, mais elles sont très lourdes et rarement utilisées dans la pratique. Pour les équations dont le degré est supérieur au tiers, il n'existe pas de formules générales pour les racines. Le problème se pose : comment résoudre de telles équations ? Il s'avère que, sinon analytiquement, du moins graphiquement. Et pour utiliser la méthode graphique pour résoudre des équations de la forme et, vous devez être capable de construire des graphiques des fonctions et, où.

Quatre groupes ont étudié les graphiques de ces fonctions. Chacun d'eux va maintenant nous présenter les résultats du travail effectué.

3. Performances de groupe.

Présentation (défense) du projet par chaque groupe, réponses aux questions des opposants.

4. Auto-évaluation et évaluation de chaque performance par d'autres groupes (sur une échelle de cinq points).

Nous listons les principaux critères d'évaluation :

· correspondance du contenu avec le sujet indiqué, exactitude, exhaustivité de la présentation ;

· aucune erreur ;

· conception (design) : dans quelle mesure la disposition des diapositives répond aux exigences esthétiques ;

· Le texte est-il facile à lire ? l'image correspond-elle au contenu, etc. ;

· force de persuasion, argumentation du discours ; maîtrise de la parole, connaissance de la terminologie;

· exhaustivité des réponses aux questions.

L'interaction au sein du groupe est évaluée séparément : capacités de communication, respect et attention envers les autres participants, activité.

Le nombre total de points gagnés et le score de notation (score moyen arithmétique) sont calculés ; Sur leur base, une note de participation au projet est attribuée.

5. Discussion sur la contribution de chaque élève au projet et notation.

6. Résumer (réflexion).

7. Derniers mots du professeur

Au cours des activités du projet sur ce sujet, vous avez répondu à la question de savoir ce que sont les graphiques de fonctions et avez donné des recommandations pour leur construction. Vous pouvez maintenant résoudre certaines équations de la forme et graphiquement. Nous remercions tous les étudiants pour leur travail créatif et fructueux, qui a contribué à atteindre les objectifs du projet.

Compte tenu de ce qui précède, dans notre manuel, nous avons essayé de refléter une approche systématique de l'étude des fonctions de puissance. Afin de minimiser les difficultés liées au travail avec un ordinateur, nous avons essayé de rendre la navigation pratique et naturelle et de prendre en compte les exigences des logiciels didactiques.

Fonction puissance et ses graphiques. Fonctions élémentaires de base : leurs propriétés et graphiques

Fonction d'alimentation

Propriétés des fonctions puissance et leurs graphiques

Fonction puissance avec exposant égal à zéro, p = 0

Fonction puissance avec exposant impair naturel, p = n = 1, 3, 5, ...

pour n ≠ 1, la fonction inverse est la racine du degré n :

pour n = 2, racine carrée :

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant entier négatif pour différentes valeurs de l'exposant n = -1, -2, -3, ....

à n

à n = -2,

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel (fractionnaire), où n est un nombre entier, m > 1 est un nombre naturel. De plus, n, m n’ont pas de diviseurs communs.

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire impair : m = 3, 5, 7, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p est définie pour les valeurs positives et négatives de l'argument x.< 0

Soit l'exposant rationnel (de dénominateur impair m = 3, 5, 7, ...) inférieur à zéro : .

Nous présentons les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel négatif, où n = -1, -3, -5, ... est un entier négatif impair, m = 3, 5, 7 ... est un entier naturel impair.

Propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel négatif, où n = -2, -4, -6, ... est un entier négatif pair, m = 3, 5, 7 ... est un entier naturel impair .< p < 1

La valeur p est positive, inférieure à un, 0

à x = 0, y(0) = 0

L'indice p est supérieur à un, p > 1

Numérateur impair, n = 5, 7, 9, ...

Où n = 5, 7, 9, ... - naturel impair, m = 3, 5, 7 ... - naturel impair.

Où n = 4, 6, 8, ... - pair naturel, m = 3, 5, 7 ... - impair naturel.

Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est pair

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant irrationnel p.< 0

Fonction puissance avec exposant négatif p

x > 0< p < 1

x ≥ 0

Fonction permanente.

Racine du nième degré.

Racine du nième degré, n est un nombre pair.

Racine du nième degré, n est un nombre impair.

Fonction de puissance.

Fonction puissance avec un exposant positif impair.

Fonction puissance avec un exposant même positif.

Fonction puissance avec un exposant négatif impair.

Fonction puissance avec un exposant même négatif.

Une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel dont la valeur est supérieure à zéro et inférieure à un.

Une fonction puissance avec un exposant rationnel ou irrationnel non entier supérieur à un.

Une fonction puissance avec un exposant réel supérieur à moins un et inférieur à zéro.

Une fonction puissance avec un exposant réel non entier inférieur à moins un.

Fonction exponentielle.

Fonction logarithmique.

Fonctions trigonométriques, leurs propriétés et graphiques.

Fonction sinusoïdale y = sin(x) .

Fonction cosinus y = cos(x) .

Fonction tangente y = tan(x) .

Fonction cotangente y = ctg(x) .

Fonctions trigonométriques inverses, leurs propriétés et graphiques.

Fonction arc sinus y = arcsin(x) .

Fonctions trigonométriques inverses, leurs propriétés et graphiques.

fonction arcsin

[Edit]Propriétés de la fonction arcsin

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