Vous pouvez effectuer diverses opérations avec des fractions, par exemple ajouter des fractions. L'addition de fractions peut être divisée en plusieurs types. Chaque type d'addition de fractions a ses propres règles et algorithme d'actions. Examinons chaque type d'ajout en détail.
Additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs.
Regardons un exemple de la façon d'additionner des fractions avec un dénominateur commun.
Les touristes ont fait une randonnée du point A au point E. Le premier jour, ils ont marché du point A au point B ou \(\frac(1)(5)\) tout le trajet. Le deuxième jour, ils ont marché du point B au point D ou \(\frac(2)(5)\) tout le trajet. Quelle distance ont-ils parcourue depuis le début du voyage jusqu’au point D ?
Pour trouver la distance du point A au point D, vous devez additionner les fractions \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Ajouter des fractions ayant des dénominateurs similaires signifie que vous devez additionner les numérateurs de ces fractions, mais le dénominateur restera le même.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
Sous forme littérale, la somme des fractions avec les mêmes dénominateurs ressemblera à ceci :
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Réponse : les touristes ont marché \(\frac(3)(5)\) tout le long du trajet.
Additionner des fractions avec différents dénominateurs.
Regardons un exemple :
Vous devez ajouter deux fractions \(\frac(3)(4)\) et \(\frac(2)(7)\).
Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez d'abord trouver, puis utilisez la règle pour additionner des fractions avec des dénominateurs similaires.
Pour les dénominateurs 4 et 7, le dénominateur commun sera le nombre 28. La première fraction \(\frac(3)(4)\) doit être multipliée par 7. La deuxième fraction \(\frac(2)(7)\ ) doit être multiplié par 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ fois \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
Sous forme littérale, nous obtenons la formule suivante :
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Addition de nombres fractionnaires ou de fractions mixtes.
L'addition se produit selon la loi de l'addition.
Pour les fractions mixtes, on additionne les parties entières avec les parties entières et les parties fractionnaires avec les fractions.
Si les parties fractionnaires de nombres fractionnaires ont les mêmes dénominateurs, alors on additionne les numérateurs, mais le dénominateur reste le même.
Ajoutons les nombres mixtes \(3\frac(6)(11)\) et \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(rouge) (1) + \color(bleu) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( bleu) (\frac(6)(11)) + \color(bleu) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(bleu) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)
Si les parties fractionnaires de nombres fractionnaires ont des dénominateurs différents, alors nous trouvons le dénominateur commun.
Effectuons l'addition des nombres fractionnaires \(7\frac(1)(8)\) et \(2\frac(1)(6)\).
Le dénominateur est différent, il faut donc trouver le dénominateur commun, il est égal à 24. Multipliez la première fraction \(7\frac(1)(8)\) par un facteur supplémentaire de 3, et la deuxième fraction \( 2\frac(1)(6)\) par 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\times \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Questions connexes :
Comment additionner des fractions ?
Réponse : vous devez d'abord décider de quel type d'expression il s'agit : les fractions ont les mêmes dénominateurs, des dénominateurs différents ou des fractions mixtes. Selon le type d'expression, nous procédons à l'algorithme de solution.
Comment résoudre des fractions avec des dénominateurs différents ?
Réponse : vous devez trouver le dénominateur commun, puis suivre la règle d'addition de fractions avec les mêmes dénominateurs.
Comment résoudre des fractions mixtes ?
Réponse : on additionne les parties entières avec les entiers et les parties fractionnaires avec les fractions.
Exemple n°1 :
La somme de deux peut-elle donner une fraction appropriée ? Une fraction impropre ? Donnez des exemples.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
La fraction \(\frac(5)(7)\) est une fraction propre, elle est le résultat de la somme de deux fractions propres \(\frac(2)(7)\) et \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
La fraction \(\frac(58)(45)\) est une fraction impropre, elle est le résultat de la somme des fractions propres \(\frac(2)(5)\) et \(\frac(8) (9)\).
Réponse : La réponse aux deux questions est oui.
Exemple n°2 :
Additionnez les fractions : a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Exemple n°3 :
Écrivez la fraction mixte comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre : a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Exemple n°4 :
Calculez la somme : a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13)\)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\times 3)(5\times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Tâche n°1 :
Au déjeuner, nous avons mangé \(\frac(8)(11)\) du gâteau, et le soir au dîner, nous avons mangé \(\frac(3)(11)\). Pensez-vous que le gâteau a été complètement mangé ou non ?
Solution:
Le dénominateur de la fraction est 11, il indique en combien de parties le gâteau a été divisé. Au déjeuner nous avons mangé 8 parts de gâteau sur 11. Au dîner nous avons mangé 3 parts de gâteau sur 11. Ajoutons 8 + 3 = 11, nous avons mangé des parts de gâteau sur 11, c'est à dire le gâteau entier.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Réponse : tout le gâteau a été mangé.
Actions avec des fractions.
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très « pas très… »
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Alors, que sont les fractions, les types de fractions, les transformations - nous nous en sommes souvenus. Venons-en au problème principal.
Que peut-on faire avec les fractions ? Oui, tout est comme avec les nombres ordinaires. Additionner, soustraire, multiplier, diviser.
Toutes ces actions avec décimal travailler avec des fractions n'est pas différent de travailler avec des nombres entiers. En fait, c’est ce qui est bien avec eux, les décimaux. La seule chose est que vous devez mettre la virgule correctement.
Numéros mixtes, comme je l'ai déjà dit, sont de peu d'utilité pour la plupart des actions. Ils doivent encore être convertis en fractions ordinaires.
Mais les actions avec fractions ordinaires ils seront plus rusés. Et bien plus important ! Laissez-moi vous rappeler : toutes les actions avec des expressions fractionnaires avec des lettres, des sinus, des inconnues, etc., etc. ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires! Les opérations avec des fractions ordinaires sont la base de toute algèbre. C’est pour cette raison que nous analyserons ici en détail toute cette arithmétique.
Additionner et soustraire des fractions.
Tout le monde peut additionner (soustraire) des fractions avec les mêmes dénominateurs (j'espère vraiment !). Eh bien, permettez-moi de rappeler à ceux qui oublient complètement : lors de l'addition (soustraction), le dénominateur ne change pas. Les numérateurs sont ajoutés (soustraits) pour donner le numérateur du résultat. Taper:
Bref, en termes généraux :
Et si les dénominateurs sont différents ? Ensuite, en utilisant la propriété de base d’une fraction (là encore, c’est pratique !), nous rendons les dénominateurs identiques ! Par exemple:
Ici, nous avons dû faire la fraction 4/10 à partir de la fraction 2/5. Dans le seul but de rendre les dénominateurs identiques. Permettez-moi de noter, juste au cas où, que 2/5 et 4/10 sont la même fraction! Seulement 2/5 sont inconfortables pour nous, et 4/10 sont vraiment bien.
Soit dit en passant, c’est l’essence même de la résolution de tout problème mathématique. Quand nous venons de inconfortable nous faisons des expressions la même chose, mais plus pratique pour résoudre.
Autre exemple :
La situation est similaire. Ici on fait 48 à partir de 16. Par simple multiplication par 3. Tout est clair. Mais nous sommes tombés sur quelque chose comme :
Comment être ?! C'est difficile de faire un neuf sur sept ! Mais nous sommes intelligents, nous connaissons les règles ! Transformons-nous chaque fraction pour que les dénominateurs soient les mêmes. C’est ce qu’on appelle « réduire à un dénominateur commun » :
Ouah! Comment ai-je su pour 63 ? Très simple ! 63 est un nombre divisible par 7 et 9 à la fois. Un tel nombre peut toujours être obtenu en multipliant les dénominateurs. Si l’on multiplie un nombre par 7 par exemple, alors le résultat sera certainement divisible par 7 !
Si vous devez additionner (soustraire) plusieurs fractions, il n’est pas nécessaire de le faire par paires, étape par étape. Il suffit de trouver le dénominateur commun à toutes les fractions et de réduire chaque fraction à ce même dénominateur. Par exemple:
Et quel sera le dénominateur commun ? Vous pouvez bien sûr multiplier 2, 4, 8 et 16. Nous obtenons 1024. Cauchemar. Il est plus facile d’estimer que le nombre 16 est parfaitement divisible par 2, 4 et 8. Par conséquent, à partir de ces nombres, il est facile d’obtenir 16. Ce nombre sera le dénominateur commun. Transformons 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16, et ainsi de suite.
D'ailleurs, si vous prenez 1024 comme dénominateur commun, tout s'arrangera, à la fin tout sera réduit. Mais tout le monde n’y parviendra pas, à cause des calculs…
Complétez l'exemple vous-même. Pas une sorte de logarithme... Cela devrait s'avérer être 29/16.
Alors, l'addition (soustraction) de fractions est claire, j'espère ? Bien entendu, il est plus simple de travailler dans une version raccourcie, avec des multiplicateurs supplémentaires. Mais ce plaisir est accessible à ceux qui ont travaillé honnêtement dans les classes inférieures... Et n'ont rien oublié.
Et maintenant nous allons faire les mêmes actions, mais pas avec des fractions, mais avec expressions fractionnaires. Un nouveau rake sera découvert ici, oui...
Nous devons donc ajouter deux expressions fractionnaires :
Nous devons rendre les dénominateurs identiques. Et seulement avec l'aide multiplication! C’est ce que dicte la propriété principale d’une fraction. Par conséquent, je ne peux pas ajouter un à X dans la première fraction du dénominateur. (ce serait bien !). Mais si vous multipliez les dénominateurs, vous voyez, tout grandit ensemble ! On note donc la ligne de la fraction, on laisse un espace vide en haut, puis on l'ajoute, et on écrit le produit des dénominateurs ci-dessous, pour ne pas oublier :
Et bien sûr, on ne multiplie rien du côté droit, on n’ouvre pas les parenthèses ! Et maintenant, en regardant le dénominateur commun du côté droit, on se rend compte : pour obtenir le dénominateur x(x+1) dans la première fraction, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par (x+1) . Et dans la deuxième fraction - à x. Voici ce que vous obtenez :
Faites attention! Voici les parenthèses ! C'est le râteau sur lequel beaucoup de gens marchent. Pas les parenthèses, bien sûr, mais leur absence. Les parenthèses apparaissent car on multiplie tous numérateur et tous dénominateur! Et pas leurs pièces individuelles...
Au numérateur du côté droit on écrit la somme des numérateurs, tout est comme dans les fractions numériques, puis on ouvre les parenthèses au numérateur du côté droit, c'est-à-dire Nous multiplions tout et donnons des semblables. Il n’est pas nécessaire d’ouvrir les parenthèses dans les dénominateurs ni de multiplier quoi que ce soit ! En général, en dénominateurs (n'importe lesquels) le produit est toujours plus agréable ! On obtient :
Nous avons donc eu la réponse. Le processus semble long et difficile, mais cela dépend de la pratique. Une fois que vous aurez résolu les exemples, habituez-vous, tout deviendra simple. Ceux qui ont maîtrisé les fractions en temps voulu font toutes ces opérations avec une seule main gauche, automatiquement !
Et encore une remarque. Beaucoup gèrent intelligemment les fractions, mais restent bloqués sur des exemples avec entier Nombres. Comme : 2 + 1/2 + 3/4= ? Où fixer le deux pièces ? Vous n'avez pas besoin de le fixer n'importe où, vous devez faire une fraction sur deux. Ce n'est pas facile, mais très simple ! 2=2/1. Comme ça. Tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction. Le numérateur est le nombre lui-même, le dénominateur est un. 7 est 7/1, 3 est 3/1 et ainsi de suite. C'est la même chose avec les lettres. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Et puis nous travaillons avec ces fractions selon toutes les règles.
Eh bien, les connaissances sur l’addition et la soustraction de fractions ont été rafraîchies. La conversion des fractions d'un type à un autre a été répétée. Vous pouvez également vous faire contrôler. On peut régler ça un peu ?)
Calculer:
Réponses (en désarroi) :
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplication/division de fractions - dans la prochaine leçon. Il existe également des tâches pour toutes les opérations avec des fractions.
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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
Contenu de la leçonAdditionner des fractions avec des dénominateurs similaires
Il existe deux types d'addition de fractions :
- Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
- Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :
Exemple 2. Ajoutez des fractions et .
La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :
Exemple 3. Ajoutez des fractions et .
Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :
Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;
Additionner des fractions avec différents dénominateurs
Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.
Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.
Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.
L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.
Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.
Exemple 1. Additionnons les fractions et
Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.
LCM (2 et 3) = 6
Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.
Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.
Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :
Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :
La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).
Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).
Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. Dans les établissements d’enseignement, il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :
Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.
Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :
- Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
- Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
- Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
- Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
.
Utilisons les instructions données ci-dessus.
Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions
Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4
Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction
Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :
Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :
Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :
Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :
L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.
Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière
Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :
Nous avons reçu une réponse
Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
Il existe deux types de soustraction de fractions :
- Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
- Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.
Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons ceci :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.
Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :
Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression 
Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :
- Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
- Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.
Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents
Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).
Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.
Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.
Exemple 1. Trouvez le sens de l’expression :
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).
Tout d’abord, nous trouvons le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.
LCM (3 et 4) = 12
Revenons maintenant aux fractions et
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :
On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :
Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :
Nous avons reçu une réponse
Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza
Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :
La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :
La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression 
Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).
Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.
Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.
Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. Le LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au dessus de la deuxième fraction :
Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. Le LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. On l'écrit au-dessus de la troisième fraction :
Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :
Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.
La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Que peut-on faire ? Vous pouvez raccourcir cette fraction.
Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.
On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :
Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10
Nous avons reçu une réponse
Multiplier une fraction par un nombre
Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur inchangé.
Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.
Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1
L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez des pizzas 1 fois, vous obtenez des pizzas
Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :
Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la fraction par 4
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières
Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :
Le nombre multiplié par la fraction et le dénominateur de la fraction sont résolus s'ils ont un facteur commun supérieur à un.
Par exemple, une expression peut être évaluée de deux manières.
Première façon. Multipliez le nombre 4 par le numérateur de la fraction et laissez le dénominateur de la fraction inchangé :
Deuxième façon. Le quatre étant multiplié et le quatre au dénominateur de la fraction peut être réduit. Ces quatre peuvent être réduits de 4, puisque le plus grand diviseur commun à deux quatre est le quatre lui-même :
Nous avons obtenu le même résultat 3. Après avoir réduit les quatre, de nouveaux nombres se forment à leur place : deux uns. Mais multiplier un par trois, puis diviser par un ne change rien. La solution peut donc s’écrire brièvement :
La réduction peut être effectuée même lorsque nous avons décidé d'utiliser la première méthode, mais au stade de la multiplication du nombre 4 et du numérateur 3 nous avons décidé d'utiliser la réduction :
Mais par exemple, l'expression ne peut être calculée que de la première manière - multipliez 7 par le dénominateur de la fraction et laissez le dénominateur inchangé :
Cela est dû au fait que le nombre 7 et le dénominateur de la fraction n'ont pas de diviseur commun supérieur à un et ne s'annulent donc pas.
Certains élèves raccourcissent par erreur le nombre à multiplier et le numérateur de la fraction. Vous ne pouvez pas faire ça. Par exemple, l'entrée suivante n'est pas correcte :
Réduire une fraction signifie que à la fois numérateur et dénominateur sera divisé par le même nombre. Dans le cas de l'expression, la division est effectuée uniquement au numérateur, car l'écrire équivaut à écrire . Nous voyons que la division s'effectue uniquement au numérateur et qu'aucune division ne se produit au dénominateur.
Multiplier des fractions
Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.
Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.
Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :
L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :
Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :
Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :
Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :
En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc
Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :
Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression
Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.
Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :
Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15
Représenter un nombre entier sous forme de fraction
Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :
Nombres réciproques
Nous allons maintenant nous familiariser avec un sujet très intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des "numéros inversés".
Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.
Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :
Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.
Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :
Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :
Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :
Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.
L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.
Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.
Diviser une fraction par un nombre
Disons que nous mangeons une demi-pizza :
Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?
On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.
Votre enfant a apporté des devoirs de l'école et vous ne savez pas comment les résoudre ? Alors cette mini-leçon est faite pour vous !
Comment ajouter des décimales
Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne. Pour ajouter des décimales, vous devez suivre une règle simple :
- Le lieu doit être sous le lieu, la virgule sous la virgule.
Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, les unités entières sont situées les unes sous les autres, les chiffres des dixièmes et des centièmes sont situés les uns sous les autres. Maintenant, nous additionnons les nombres en ignorant la virgule. Que faire de la virgule ? La virgule est déplacée à l'endroit où elle se trouvait dans la catégorie des nombres entiers.
Additionner des fractions avec des dénominateurs égaux
Pour effectuer une addition avec un dénominateur commun, vous devez garder le dénominateur inchangé, trouver la somme des numérateurs et obtenir une fraction qui sera la somme totale.
Addition de fractions avec différents dénominateurs en utilisant la méthode multiple commune
La première chose à laquelle vous devez faire attention, ce sont les dénominateurs. Les dénominateurs sont différents, que l'un soit divisible par l'autre ou qu'il s'agisse de nombres premiers. Vous devez d’abord le ramener à un dénominateur commun ; il existe plusieurs façons de procéder :
- 1/3 + 3/4 = 13/12, pour résoudre cet exemple nous devons trouver le plus petit commun multiple (LCM) qui sera divisible par 2 dénominateurs. Pour désigner le plus petit multiple de a et b – LCM (a;b). Dans cet exemple LCM (3;4)=12. On vérifie : 12:3=4 ; 12:4=3.
- Nous multiplions les facteurs et additionnons les nombres résultants, nous obtenons 13/12 - une fraction impropre.
- Afin de convertir une fraction impropre en fraction propre, divisez le numérateur par le dénominateur, nous obtenons l'entier 1, le reste 1 est le numérateur et 12 est le dénominateur.
Addition de fractions à l'aide de la méthode de multiplication croisée
Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, il existe une autre méthode utilisant la formule « cross to cross ». C'est un moyen garanti d'égaliser les dénominateurs ; pour ce faire, vous devez multiplier les numérateurs par le dénominateur d'une fraction et vice versa. Si vous n'en êtes qu'au stade initial de l'apprentissage des fractions, cette méthode est le moyen le plus simple et le plus précis d'obtenir le résultat correct lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs différents.
Additionner et soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs
Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs
Concept de CNO
Réduire des fractions au même dénominateur
Comment additionner un nombre entier et une fraction
1 Additionner et soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs
Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs, mais laisser le dénominateur identique, par exemple :
Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur identique, par exemple :
Pour ajouter des fractions mixtes, vous devez ajouter séparément leurs parties entières, puis ajouter leurs parties fractionnaires et écrire le résultat sous forme de fraction mixte,
Si, lors de l'ajout de parties fractionnaires, vous obtenez une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière et ajoutez-la à la partie entière, par exemple :
2 Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs
Afin d'ajouter ou de soustraire des fractions de dénominateurs différents, vous devez d'abord les réduire au même dénominateur, puis procéder comme indiqué au début de cet article. Le dénominateur commun de plusieurs fractions est le LCM (plus petit commun multiple). Pour le numérateur de chaque fraction, des facteurs supplémentaires sont trouvés en divisant le LCM par le dénominateur de cette fraction. Nous examinerons un exemple plus tard, après avoir compris ce qu'est un CNO.
3 Plus petit commun multiple (LCM)
Le plus petit commun multiple de deux nombres (LCM) est le plus petit nombre naturel divisible par les deux nombres sans laisser de reste. Parfois, le LCM peut être trouvé oralement, mais le plus souvent, surtout lorsque l'on travaille avec de grands nombres, il faut trouver le LCM par écrit, en utilisant l'algorithme suivant :
Afin de trouver le LCM de plusieurs numéros, il vous faut :
- Factorisez ces nombres en facteurs premiers
- Prenez la plus grande expansion et écrivez ces nombres sous forme de produit
- Sélectionnez les nombres dans d'autres extensions qui n'apparaissent pas dans l'extension la plus grande (ou qui y apparaissent moins de fois) et ajoutez-les au produit.
- Multipliez tous les nombres du produit, ce sera le LCM.
Par exemple, trouvons le LCM des nombres 28 et 21 :
4Réduire des fractions au même dénominateur
Revenons à l'addition de fractions avec des dénominateurs différents.
Lorsqu'on réduit des fractions au même dénominateur, qui est égal au LCM des deux dénominateurs, il faut multiplier les numérateurs de ces fractions par multiplicateurs supplémentaires. Vous pouvez les trouver en divisant le LCM par le dénominateur de la fraction correspondante, par exemple :
Ainsi, pour réduire des fractions au même exposant, il faut d'abord trouver le LCM (c'est-à-dire le plus petit nombre divisible par les deux dénominateurs) des dénominateurs de ces fractions, puis ajouter des facteurs supplémentaires aux numérateurs des fractions. Vous pouvez les trouver en divisant le dénominateur commun (CLD) par le dénominateur de la fraction correspondante. Ensuite, vous devez multiplier le numérateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire et mettre le LCM comme dénominateur.
5Comment additionner un nombre entier et une fraction
Pour additionner un nombre entier et une fraction, il suffit d'ajouter ce nombre devant la fraction, ce qui donnera par exemple une fraction mixte.
