Sur lequel nous avons examiné les dérivées les plus simples, et nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et certaines techniques techniques pour trouver des dérivées. Ainsi, si vous n'êtes pas très doué avec les dérivées de fonctions ou si certains points de cet article ne sont pas tout à fait clairs, lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, soyez d'humeur sérieuse - le matériel n'est pas simple, mais je vais quand même essayer de le présenter simplement et clairement.

En pratique, vous devez très souvent avoir affaire à la dérivée d'une fonction complexe, je dirais même presque toujours, lorsqu'on vous confie des tâches pour trouver des dérivées.

On regarde le tableau de la règle (n°5) de différenciation d'une fonction complexe :

Voyons cela. Tout d’abord, faisons attention à l’entrée. Ici, nous avons deux fonctions – et , et la fonction, au sens figuré, est imbriquée dans la fonction . Une fonction de ce type (lorsqu’une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée fonction complexe.

j'appellerai la fonction fonction externe, et la fonction – fonction interne (ou imbriquée).

! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas apparaître dans la conception finale des missions. J'utilise des expressions informelles « fonction externe », fonction « interne » uniquement pour vous faciliter la compréhension du matériel.

Pour clarifier la situation, considérons :

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction

Sous le sinus, nous n'avons pas seulement la lettre « X », mais une expression entière, donc trouver la dérivée directement à partir du tableau ne fonctionnera pas. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer ici les quatre premières règles, il semble y avoir une différence, mais le fait est que le sinus ne peut pas être « déchiré en morceaux » :

Dans cet exemple, il ressort déjà intuitivement de mes explications qu'une fonction est une fonction complexe et qu'un polynôme est une fonction interne (intégration) et une fonction externe.

Premier pas ce que vous devez faire pour trouver la dérivée d'une fonction complexe est de comprendre quelle fonction est interne et laquelle est externe.

Dans le cas d’exemples simples, il semble clair qu’un polynôme est intégré sous le sinus. Et si tout n’était pas évident ? Comment déterminer avec précision quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je propose d'utiliser la technique suivante, qui peut être réalisée mentalement ou par brouillon.

Imaginons que nous devions calculer la valeur de l'expression sur une calculatrice (au lieu d'une, il peut y avoir n'importe quel nombre).

Que va-t-on calculer en premier ? Tout d'abord vous devrez effectuer l'action suivante : , le polynôme sera donc une fonction interne :

Deuxièmement il faudra trouver, donc sinus – sera une fonction externe :

Après nous ÉPUISÉ avec les fonctions internes et externes, il est temps d’appliquer la règle de différenciation des fonctions complexes .

Commençons par décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception d'une solution à toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :

D'abord on trouve la dérivée de la fonction externe (sinus), regarde le tableau des dérivées des fonctions élémentaires et remarque que . Toutes les formules du tableau sont également applicables si « x » est remplacé par une expression complexe, dans ce cas:

Veuillez noter que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.

Eh bien, c'est bien évident que

Le résultat de l'application de la formule dans sa forme finale, cela ressemble à ceci :

Le facteur constant est généralement placé au début de l'expression :

En cas de malentendu, notez la solution sur papier et relisez les explications.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme toujours, nous écrivons :

Voyons où nous avons une fonction externe et où nous avons une fonction interne. Pour ce faire, on essaie (mentalement ou dans un brouillon) de calculer la valeur de l'expression en . Que devez-vous faire en premier ? Tout d'abord, il faut calculer à quoi est égale la base : le polynôme est donc la fonction interne :

Et seulement alors l'exponentiation est effectuée, donc la fonction puissance est une fonction externe :

D'après la formule , vous devez d’abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, le degré. On recherche la formule recherchée dans le tableau : . Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valable non seulement pour « X », mais aussi pour une expression complexe. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant:

J'insiste encore une fois sur le fait que lorsque nous prenons la dérivée de la fonction externe, notre fonction interne ne change pas :

Il ne reste plus qu'à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à peaufiner un peu le résultat :

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Pour consolider votre compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayer de le comprendre par vous-même, raisonner où se trouve la fonction externe et où se trouve la fonction interne, pourquoi les tâches sont résolues de cette façon ?

Exemple 5

a) Trouver la dérivée de la fonction

b) Trouver la dérivée de la fonction

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons ici une racine, et pour différencier la racine, il faut la représenter comme une puissance. Ainsi, nous mettons d’abord la fonction sous la forme appropriée à la différenciation :

En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme des trois termes est une fonction interne, et que l'élévation à une puissance est une fonction externe. Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes :

Nous représentons à nouveau le degré comme un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne nous appliquons une règle simple pour différencier la somme :

Prêt. Vous pouvez également réduire l'expression à un dénominateur commun entre parenthèses et tout écrire sous forme d'une seule fraction. C'est beau, bien sûr, mais quand on a des dérivées longues encombrantes, il vaut mieux ne pas faire ça (il est facile de se tromper, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Il est intéressant de noter que parfois au lieu de la règle de différenciation d'une fonction complexe, on peut utiliser la règle de différenciation d'un quotient , mais une telle solution ressemblera à une perversion inhabituelle. Voici un exemple typique :

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici vous pouvez utiliser la règle de différenciation du quotient , mais il est bien plus rentable de trouver la dérivée par la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous retirons le moins du signe dérivé et élevons le cosinus au numérateur :

Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Utilisons notre règle :

Nous trouvons la dérivée de la fonction interne et réinitialisons le cosinus :

Prêt. Dans l’exemple considéré, il est important de ne pas se tromper dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre en utilisant la règle , les réponses doivent correspondre.

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Jusqu’à présent, nous avons examiné des cas où nous n’avions qu’une seule imbrication dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées gigognes, les unes dans les autres, 3 voire 4 à 5 fonctions sont imbriquées à la fois.

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Comprenons les pièces jointes de cette fonction. Essayons de calculer l'expression en utilisant la valeur expérimentale. Comment pourrions-nous compter sur une calculatrice ?

Vous devez d’abord trouver , ce qui signifie que l’arc sinus est l’intégration la plus profonde :

Cet arc sinus de un doit alors être au carré :

Et enfin, on élève sept à la puissance :

Autrement dit, dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux incorporations, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.

Commençons par décider

Selon la règle Vous devez d’abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons le tableau des dérivées et trouvons la dérivée de la fonction exponentielle : la seule différence est qu'au lieu de « x », nous avons une expression complexe, ce qui n'annule pas la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant.

Preuve et dérivation des formules pour la dérivée de l'exponentielle (e à la puissance x) et de la fonction exponentielle (a à la puissance x). Exemples de calcul des dérivées de e^2x, e^3x et e^nx. Formules pour les dérivés d'ordres supérieurs.

La dérivée d'un exposant est égale à l'exposant lui-même (la dérivée de e à la puissance x est égale à e à la puissance x) :
(1) (e x )′ = e x.

La dérivée d'une fonction exponentielle de base a est égale à la fonction elle-même multipliée par le logarithme naturel de a :
(2) .

Dérivation de la formule de la dérivée de l'exponentielle, e à la puissance x

Une exponentielle est une fonction exponentielle dont la base est égale au nombre e, qui est la limite suivante :
.
Ici, il peut s'agir soit d'un nombre naturel, soit d'un nombre réel. Ensuite, nous dérivons la formule (1) pour la dérivée de l’exponentielle.

Dérivation de la formule dérivée exponentielle

Considérons l'exponentielle, e à la puissance x :
y = ex.
Cette fonction est définie pour tout le monde.
(3) .

Trouvons sa dérivée par rapport à la variable x.
Par définition, la dérivée est la limite suivante : Transformons cette expression pour la réduire à des propriétés et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous avons besoin des faits suivants :
(4) ;
UN) Propriété de l'exposant :
(5) ;
B) Propriété du logarithme :
(6) .
DANS)
Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue : Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
(7) .

G)
;
.

La signification de la deuxième limite remarquable :
Appliquons ces faits à notre limite (3). On utilise la propriété (4) :
.
Faisons une substitution.
.

Alors ; .
.

En raison de la continuité de l'exponentielle,
Par conséquent, lorsque , .
.

En conséquence nous obtenons :
.
Faisons une substitution.
.

Alors . À , . Et nous avons :

Appliquons la propriété logarithme (5) :

.
(8)
Alors

Appliquons la propriété (6). Puisqu’il existe une limite positive et que le logarithme est continu, alors : Ici, nous avons également utilisé la deuxième limite remarquable (7). Alors Ainsi, nous avons obtenu la formule (1) pour la dérivée de l'exponentielle.
;
.
Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction exponentielle
.

Dérivées d'ordre supérieur de e à la puissance x

Trouvons maintenant les dérivées d'ordres supérieurs. Regardons d'abord l'exposant :
(14) .
(1) .

On voit que la dérivée de la fonction (14) est égale à la fonction (14) elle-même. En différenciant (1), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :
;
.

Cela montre que la dérivée d'ordre n est également égale à la fonction d'origine :
.

Dérivées d'ordre supérieur de la fonction exponentielle

Considérons maintenant une fonction exponentielle de base de degré a :
.
Nous avons trouvé sa dérivée du premier ordre :
(15) .

En différenciant (15), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :
;
.

On voit que chaque différenciation conduit à la multiplication de la fonction originale par .
.

Par conséquent, la dérivée d’ordre n a la forme suivante :

Depuis votre arrivée ici, vous avez probablement déjà vu cette formule dans le manuel

et fais une grimace comme celle-ci : Ami, ne t'inquiète pas ! En fait, tout est tout simplement scandaleux. Vous comprendrez certainement tout. Une seule demande - lisez l'article prendre son temps

, essayez de comprendre chaque étape. J'ai écrit aussi simplement et clairement que possible, mais encore faut-il comprendre l'idée. Et assurez-vous de résoudre les tâches de l'article.

Qu'est-ce qu'une fonction complexe ?

Imaginez que vous déménagez dans un autre appartement et que vous emballez donc vos affaires dans de grandes cartons. Supposons que vous ayez besoin de collecter quelques petits objets, par exemple du matériel d'écriture scolaire. Si vous les jetez simplement dans une énorme boîte, ils se perdront entre autres. Pour éviter cela, vous les mettez d'abord, par exemple, dans un sac, que vous mettez ensuite dans une grande boîte, après quoi vous la scellez. Ce processus « complexe » est présenté dans le schéma ci-dessous :

Il semblerait, qu'est-ce que les mathématiques ont à voir là-dedans ? Oui, malgré le fait qu’une fonction complexe se forme EXACTEMENT DE LA MÊME manière ! Seulement, nous « emballons » non pas des cahiers et des stylos, mais des \(x\), alors que les « paquets » et les « boîtes » sont différents.

Par exemple, prenons x et « emballons-le » dans une fonction :

En conséquence, nous obtenons, bien sûr, \(\cos⁡x\). C'est notre « sac de choses ». Maintenant, mettons-le dans une « boîte » - emballons-le, par exemple, dans une fonction cubique.

Que va-t-il se passer à la fin ? Oui, c’est vrai, il y aura un « sac de choses dans une boîte », c’est-à-dire un « cosinus de X au cube ». La conception qui en résulte est une fonction complexe. Il diffère du simple en ce sens PLUSIEURS « influences » (packages) sont appliquées à un X à la suite

et cela se passe comme si « fonction de fonction » - « emballage dans emballage ».

Dans le cursus scolaire, il existe très peu de types de ces « packages », seulement quatre :

"Emballons" maintenant X d'abord dans une fonction exponentielle de base 7, puis dans une fonction trigonométrique. On obtient :

Maintenant, « regroupons » x deux fois dans des fonctions trigonométriques, d'abord dans, puis dans :

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Simple, non ?

Maintenant, écrivez vous-même les fonctions, où x :
- il est d'abord « emballé » dans un cosinus, puis dans une fonction exponentielle de base \(3\) ;
- d'abord à la puissance cinquième, puis à la tangente ;
- d'abord au logarithme en base \(4\) , puis à la puissance \(-2\).

Trouvez les réponses à cette tâche à la fin de l'article.

Pouvons-nous « emballer » X non pas deux, mais trois fois ? Oui, pas de problème ! Et quatre, cinq et vingt-cinq fois. Voici, par exemple, une fonction dans laquelle x est « compressé » \(4\) fois :

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Mais de telles formules ne se retrouvent pas dans la pratique scolaire (les étudiants ont plus de chance - la leur peut être plus compliquée☺).

"Déballer" une fonction complexe

Regardez à nouveau la fonction précédente. Pouvez-vous comprendre la séquence « emballage » ? Dans quoi X a été inséré en premier, dans quoi ensuite, et ainsi de suite jusqu'à la toute fin. Autrement dit, quelle fonction est imbriquée dans laquelle ? Prenez une feuille de papier et écrivez ce que vous pensez. Vous pouvez le faire avec une chaîne avec des flèches comme nous l'avons écrit ci-dessus ou de toute autre manière.

Maintenant, la bonne réponse est : d’abord, x a été « compressé » dans la \(4\)ième puissance, puis le résultat a été compressé dans le sinus, lui-même a été placé dans le logarithme à la base \(2\) , et à la fin toute cette construction a été poussée dans la puissance cinq.

Autrement dit, vous devez dérouler la séquence DANS L'ORDRE INVERSE. Et voici un indice pour y parvenir plus facilement : regardez immédiatement le X – vous devriez danser dessus. Regardons quelques exemples.

Par exemple, voici la fonction suivante : \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Nous regardons X - que lui arrive-t-il en premier ? Pris de lui. Et puis? La tangente du résultat est prise. La séquence sera la même :

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Autre exemple : \(y=\cos⁡((x^3))\). Analysons - nous avons d'abord divisé X au cube, puis avons pris le cosinus du résultat. Cela signifie que la séquence sera : \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Attention, la fonction semble être similaire à la toute première (où elle a des images). Mais c'est une fonction complètement différente : ici dans le cube se trouve x (c'est-à-dire \(\cos⁡((x·x·x)))\), et là dans le cube se trouve le cosinus \(x\) ( c'est-à-dire \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Cette différence provient de différentes séquences de « packing ».

Le dernier exemple (contenant des informations importantes) : \(y=\sin⁡((2x+5))\). Il est clair qu'ici nous avons d'abord fait des opérations arithmétiques avec x, puis pris le sinus du résultat : \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Et c'est un point important : malgré le fait que les opérations arithmétiques ne sont pas des fonctions en elles-mêmes, elles agissent ici aussi comme un moyen de « packaging ». Approfondissons un peu cette subtilité.

Comme je l'ai dit ci-dessus, dans les fonctions simples, x est « compressé » une fois, et dans les fonctions complexes, deux ou plus. De plus, toute combinaison de fonctions simples (c'est-à-dire leur somme, leur différence, leur multiplication ou leur division) est également une fonction simple. Par exemple, \(x^7\) est une fonction simple, tout comme \(ctg x\). Cela signifie que toutes leurs combinaisons sont des fonctions simples :

\(x^7+ ctg x\) - simple,
\(x^7· lit bébé x\) – simple,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – simple, etc.

Cependant, si une fonction supplémentaire est appliquée à une telle combinaison, elle deviendra une fonction complexe, puisqu'il y aura deux « packages ». Voir schéma :

OK, vas-y maintenant. Écrivez la séquence de fonctions de « wrapping » :
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Les réponses se trouvent à nouveau à la fin de l'article.

Fonctions internes et externes

Pourquoi devons-nous comprendre l’imbrication des fonctions ? Qu'est-ce que cela nous donne ? Le fait est que sans une telle analyse, nous ne pourrons pas trouver de manière fiable les dérivées des fonctions évoquées ci-dessus.

Et pour avancer, nous aurons besoin de deux autres concepts : les fonctions internes et externes. C'est une chose très simple, d'ailleurs, en fait, nous les avons déjà analysés plus haut : si l'on se souvient de notre analogie du tout début, alors la fonction interne est un « package », et la fonction externe est une « boîte ». Ceux. ce dans quoi X est « enveloppé » en premier est une fonction interne, et ce dans quoi la fonction interne est « enveloppée » est déjà externe. Eh bien, c'est clair pourquoi - elle est dehors, ça veut dire externe.

Dans cet exemple : \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la fonction \(\log_2⁡x\) est interne, et
- externe.

Et en ceci : \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) est interne, et
- externe.

Terminez la dernière pratique d'analyse de fonctions complexes, et passons enfin à ce pour quoi nous avons tous commencé - nous trouverons les dérivées de fonctions complexes :

Remplissez les espaces vides du tableau :

Dérivée d'une fonction complexe

Bravo à nous, nous sommes enfin arrivés au « patron » de ce sujet - en fait, la dérivée d'une fonction complexe, et plus précisément, à cette très terrible formule du début de l'article.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Cette formule se lit ainsi :

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction externe par rapport à une fonction interne constante et de la dérivée de la fonction interne.

Et regardez immédiatement le diagramme d'analyse, selon les mots, pour comprendre quoi faire avec quoi :

J'espère que les termes « dérivé » et « produit » ne posent aucune difficulté. "Fonction complexe" - nous l'avons déjà réglé. Le problème réside dans la « dérivée d’une fonction externe par rapport à une fonction interne constante ». Qu'est-ce que c'est?

Réponse : Il s'agit de la dérivée habituelle d'une fonction externe, dans laquelle seule la fonction externe change et la fonction interne reste la même. Ce n'est toujours pas clair ? D'accord, utilisons un exemple.

Ayons une fonction \(y=\sin⁡(x^3)\). Il est clair que la fonction interne est ici \(x^3\), et la fonction externe
. Trouvons maintenant la dérivée de l'extérieur par rapport à l'intérieur constant.

Qu'est-ce qu'un dérivé ?

Tableau des dérivés.

La dérivée est l'un des principaux concepts des mathématiques supérieures. Dans cette leçon, nous présenterons ce concept. Faisons connaissance, sans formulations ni preuves mathématiques strictes.

Cette connaissance vous permettra de :

Comprendre l'essence des tâches simples avec des dérivés ;

Résolvez avec succès ces tâches les plus simples ;

Préparez-vous à des leçons plus sérieuses sur les produits dérivés.

Tout d'abord, une agréable surprise.)

La définition stricte de la dérivée repose sur la théorie des limites et la chose est assez compliquée. C'est bouleversant. Mais l'application pratique des dérivés, en règle générale, ne nécessite pas des connaissances aussi étendues et approfondies !

Pour réussir la plupart des tâches à l'école et à l'université, il suffit de savoir juste quelques termes- comprendre la tâche, et juste quelques règles- pour le résoudre. C'est tout. Cela me rend heureux.

Commençons par faire connaissance ?)

Termes et désignations.

Il existe de nombreuses opérations mathématiques différentes en mathématiques élémentaires. Addition, soustraction, multiplication, exponentiation, logarithme, etc. Si vous ajoutez une opération supplémentaire à ces opérations, les mathématiques élémentaires deviennent plus élevées. Cette nouvelle opération s'appelle différenciation. La définition et la signification de cette opération seront discutées dans des leçons séparées.

Il est important de comprendre ici que la différenciation est simplement une opération mathématique sur une fonction. Nous prenons n'importe quelle fonction et, selon certaines règles, la transformons. Le résultat sera une nouvelle fonction. Cette nouvelle fonction s'appelle : dérivé.

Différenciation- action sur une fonction.

Dérivé- le résultat de cette action.

Tout comme, par exemple, somme- le résultat de l'addition. Ou privé- le résultat de la division.

Connaissant les termes, vous pouvez au moins comprendre les tâches.) Les formulations sont les suivantes : trouver la dérivée d'une fonction ; prenons la dérivée ; différencier la fonction ; calculer la dérivée etc. C'est tout une seule et même chose. Bien entendu, il existe également des tâches plus complexes, dans lesquelles la recherche de la dérivée (différenciation) ne sera qu'une des étapes de la résolution du problème.

La dérivée est indiquée par un tiret en haut à droite de la fonction. Comme ça: oui" ou f"(x) ou St) et ainsi de suite.

En lisant igrek coup, ef coup de x, es coup de te, eh bien, tu comprends...)

Un nombre premier peut également indiquer la dérivée d'une fonction particulière, par exemple : (2x+3)", (x 3 )" , (péché)" etc. Les dérivées sont souvent notées à l'aide de différentielles, mais nous ne considérerons pas une telle notation dans cette leçon.

Supposons que nous ayons appris à comprendre les tâches. Il ne reste plus qu'à apprendre à les résoudre.) Je vous le rappelle encore une fois : trouver la dérivée est transformation d'une fonction selon certaines règles.Étonnamment, ces règles sont très peu nombreuses.

Pour trouver la dérivée d’une fonction, il suffit de connaître trois choses. Trois piliers sur lesquels repose toute différenciation. Voici ces trois piliers :

1. Tableau des dérivées (formules de différenciation).

3. Dérivée d'une fonction complexe.

Commençons dans l'ordre. Dans cette leçon, nous examinerons le tableau des dérivées.

Tableau des dérivés.

Il existe un nombre infini de fonctions dans le monde. Parmi cet ensemble se trouvent les fonctions les plus importantes pour une utilisation pratique. Ces fonctions se retrouvent dans toutes les lois de la nature. A partir de ces fonctions, comme à partir de briques, on peut construire toutes les autres. Cette classe de fonctions est appelée fonctions élémentaires. Ce sont ces fonctions qui sont étudiées à l'école - linéaire, quadratique, hyperbole, etc.

Différenciation des fonctions « from scratch », c'est-à-dire Basé sur la définition de la dérivée et la théorie des limites, c'est une chose qui demande beaucoup de travail. Et les mathématiciens sont aussi des gens, oui, oui !) Alors ils ont simplifié leur vie (et celle de nous). Ils ont calculé avant nous les dérivées des fonctions élémentaires. Le résultat est un tableau de dérivées, où tout est prêt.)

La voici, cette plaque pour les fonctions les plus populaires. A gauche se trouve une fonction élémentaire, à droite sa dérivée.

	Fonction oui	Dérivée de la fonction y oui"
1	C (valeur constante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - n'importe quel nombre)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x2)" = 2x
4	péché x	(péché x)" = cosx
	parce que x	(cos x)" = - péché x
	tgx
	ctg x
5	arc péché x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	un x
	e x
5	enregistrer un x
	lnx ( une = e)

Je recommande de prêter attention au troisième groupe de fonctions dans ce tableau de dérivées. La dérivée d’une fonction puissance est l’une des formules les plus courantes, sinon la plus courante ! Comprenez-vous l'indice ?) Oui, il est conseillé de connaître le tableau des dérivées par cœur. Soit dit en passant, ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Essayez de résoudre plus d'exemples, le tableau lui-même sera mémorisé !)

Comme vous le comprenez, trouver la valeur de table de la dérivée n'est pas la tâche la plus difficile. Par conséquent, très souvent, de telles tâches nécessitent des puces supplémentaires. Soit dans le libellé de la tâche, soit dans la fonction originale, qui ne semble pas être dans le tableau...

Regardons quelques exemples :

1. Trouvez la dérivée de la fonction y = x 3

Il n'y a pas une telle fonction dans le tableau. Mais il existe une dérivée d'une fonction puissance sous forme générale (troisième groupe). Dans notre cas n=3. Nous substituons donc trois au lieu de n et notons soigneusement le résultat :

(x 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

C'est ça.

Répondre: y" = 3x 2

2. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction y = sinx au point x = 0.

Cette tâche signifie que vous devez d'abord trouver la dérivée du sinus, puis substituer la valeur x = 0 dans ce même dérivé. Exactement dans cet ordre ! Sinon, il arrive qu'ils substituent immédiatement zéro dans la fonction d'origine... On nous demande de trouver non pas la valeur de la fonction d'origine, mais la valeur son dérivé. Permettez-moi de vous rappeler que la dérivée est une nouvelle fonction.

A l'aide de la tablette on trouve le sinus et la dérivée correspondante :

y" = (péché x)" = cosx

Nous substituons zéro dans la dérivée :

y"(0) = cos 0 = 1

Ce sera la réponse.

3. Différencier la fonction :

Quoi, ça inspire ?) Une telle fonction n'existe pas dans le tableau des dérivées.

Je vous rappelle que différencier une fonction, c'est simplement trouver la dérivée de cette fonction. Si vous oubliez la trigonométrie élémentaire, rechercher la dérivée de notre fonction est assez fastidieux. Le tableau n'aide pas...

Mais si nous voyons que notre fonction est cosinus double angle, alors tout s'améliore tout de suite !

Oui, oui ! N'oubliez pas que transformer la fonction d'origine avant différenciation tout à fait acceptable ! Et cela rend la vie beaucoup plus facile. En utilisant la formule du cosinus à double angle :

Ceux. notre fonction délicate n'est rien de plus que y = cosx. Et c'est une fonction de table. On obtient immédiatement :

Répondre: y" = - péché x.

Exemple pour les diplômés avancés et les étudiants :

4. Trouvez la dérivée de la fonction :

Bien entendu, une telle fonction n’existe pas dans le tableau des dérivées. Mais si vous vous souvenez des mathématiques élémentaires, des opérations avec des puissances... Alors il est tout à fait possible de simplifier cette fonction. Comme ça:

Et x à la puissance un dixième est déjà une fonction tabulaire ! Troisième groupe, n=1/10. On écrit directement selon la formule :

C'est ça. Ce sera la réponse.

J'espère que tout est clair avec le premier pilier de différenciation - le tableau des dérivés. Reste à s'occuper des deux baleines restantes. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons les règles de différenciation.

Comment trouver la dérivée, comment prendre la dérivée ? Dans cette leçon, nous apprendrons comment trouver les dérivées de fonctions. Mais avant d'étudier cette page, je vous recommande fortement de vous familiariser avec le matériel méthodologiqueFormules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école. Le manuel de référence peut être ouvert ou téléchargé sur la page Formules et tableaux mathématiques . À partir de là également, nous aurons besoinTableau des dérivés, il est préférable de l'imprimer ; vous devrez souvent vous y référer, non seulement maintenant, mais aussi hors ligne.

Manger? Commençons. J'ai deux nouvelles pour vous : une bonne et une très bonne. La bonne nouvelle est la suivante : pour apprendre à trouver des dérivés, vous n'avez pas besoin de savoir ou de comprendre ce qu'est un dérivé. De plus, il est plus opportun d'assimiler plus tard la définition de la dérivée d'une fonction, la signification mathématique, physique et géométrique de la dérivée, puisqu'une étude de qualité de la théorie nécessite, à mon avis, l'étude d'un certain nombre de d'autres sujets, ainsi qu'une certaine expérience pratique.

Et maintenant, notre tâche est de maîtriser techniquement ces mêmes dérivés. La très bonne nouvelle est qu'apprendre à prendre des dérivées n'est pas si difficile : il existe un algorithme assez clair pour résoudre (et expliquer) cette tâche ; les intégrales ou les limites, par exemple, sont plus difficiles à maîtriser ;

Je vous conseille d'étudier le sujet dans l'ordre suivant : d'abord, Cet article. Ensuite, vous devez lire la leçon la plus importante Dérivée d'une fonction complexe . Ces deux cours de base vous permettront de développer vos compétences à partir de zéro. Ensuite, vous pourrez vous familiariser avec des dérivés plus complexes dans l'article Dérivés complexes.

Dérivée logarithmique. Si la barre est trop haute, lisez d'abord la chose Les problèmes typiques les plus simples avec les dérivés. En plus du nouveau matériel, la leçon couvre d'autres types de dérivés plus simples et constitue une excellente occasion d'améliorer votre technique de différenciation. De plus, les épreuves contiennent presque toujours des tâches visant à trouver des dérivées de fonctions spécifiées implicitement ou paramétriquement. Il y a aussi une telle leçon : Dérivées de fonctions implicites et définies paramétriquement.

Je vais essayer sous une forme accessible, étape par étape, de vous apprendre à trouver des dérivées de fonctions. Toutes les informations sont présentées en détail, avec des mots simples.

En fait, regardons tout de suite un exemple : Exemple 1

Trouver la dérivée de la fonction Solution :

C'est l'exemple le plus simple, veuillez le retrouver dans le tableau des dérivées des fonctions élémentaires. Regardons maintenant la solution et analysons ce qui s'est passé ? Et la chose suivante s'est produite :

nous avions une fonction qui, suite à la solution, s'est transformée en fonction.

Pour le dire tout simplement, trouver la dérivée

fonction, vous devez la transformer en une autre fonction selon certaines règles . Regardez à nouveau le tableau des dérivées - là, les fonctions se transforment en d'autres fonctions. Le seul

l'exception est la fonction exponentielle, qui

se transforme en lui-même. L'opération de recherche de la dérivée s'appelledifférenciation.

Notation : La dérivée est notée ou.

ATTENTION, IMPORTANT ! Oublier de mettre un trait (là où c'est nécessaire), ou de dessiner un trait supplémentaire (là où ce n'est pas nécessaire) est une GRAVE ERREUR ! Une fonction et sa dérivée sont deux fonctions différentes !

Revenons à notre tableau des dérivées. De ce tableau, il est souhaitable mémoriser: règles de différenciation et dérivées de certaines fonctions élémentaires, notamment :

dérivée de la constante :

Où est un nombre constant ; dérivée d'une fonction puissance :

En particulier:,,.

Pourquoi se souvenir ? Cette connaissance est une connaissance de base sur les produits dérivés. Et si vous ne pouvez pas répondre à la question du professeur « Quelle est la dérivée d'un nombre ? », alors vos études à l'université pourraient se terminer pour vous (je connais personnellement deux cas réels). De plus, ce sont les formules les plus courantes que nous devons utiliser presque chaque fois que nous rencontrons des produits dérivés.

DANS En réalité, les exemples tabulaires simples sont rares ; généralement, lors de la recherche de dérivées, on utilise d'abord des règles de différenciation, puis un tableau de dérivées de fonctions élémentaires.

DANS de cette connexion, nous procédons à considérerrègles de différenciation:

1) Un nombre constant peut (et doit) être retiré du signe dérivé

Où est un nombre constant (constant) Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Regardons le tableau des dérivés. La dérivée du cosinus est là, mais nous avons .

Il est temps d'utiliser la règle, on retire le facteur constant du signe de la dérivée :

Maintenant, nous convertissons notre cosinus selon le tableau :

Eh bien, il est conseillé de « peigner » un peu le résultat - mettez le signe moins en premier, tout en supprimant les parenthèses :

2) La dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées

Trouver la dérivée d'une fonction

Décidons. Comme vous l'avez probablement déjà remarqué, la première étape qui est toujours effectuée lors de la recherche d'une dérivée est de mettre l'expression entière entre parenthèses et de mettre un nombre premier en haut à droite :

Appliquons la deuxième règle :

Veuillez noter que pour la différenciation, toutes les racines et puissances doivent être représentées sous la forme , et si elles sont au dénominateur, alors

déplacez-les vers le haut. Comment procéder est expliqué dans mon matériel pédagogique.

Rappelons maintenant la première règle de différenciation : nous prenons les facteurs constants (nombres) en dehors du signe de la dérivée :

Habituellement, lors de la résolution, ces deux règles sont appliquées simultanément (afin de ne pas réécrire une expression longue).

Toutes les fonctions situées sous les traits sont des fonctions de tableau élémentaires ; à l'aide du tableau on effectue la transformation :

Vous pouvez tout laisser tel quel, puisqu'il n'y a plus de traits et que la dérivée a été trouvée. Cependant, des expressions comme celle-ci simplifient généralement :

Il convient de représenter à nouveau toutes les puissances de la forme sous forme de racines,

puissances avec des exposants négatifs – jetez-les dans le dénominateur. Même si vous n’êtes pas obligé de le faire, ce ne sera pas une erreur.

Trouver la dérivée d'une fonction

Essayez de résoudre cet exemple vous-même (réponse à la fin de la leçon).

3) Dérivée du produit de fonctions

Il semble que l'analogie suggère la formule ...., mais la surprise est que :

C'est une règle inhabituelle(comme d'ailleurs d'autres) découle de définitions dérivées. Mais nous allons nous attarder sur la théorie pour le moment – ​​il est désormais plus important d’apprendre à résoudre :

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons ici le produit de deux fonctions dépendant de . Nous appliquons d’abord notre étrange règle, puis nous transformons les fonctions à l’aide de la table dérivée :

Difficile? Pas du tout, tout à fait accessible même pour une théière.

Trouver la dérivée d'une fonction

Cette fonction contient la somme et le produit de deux fonctions : un trinôme carré et un logarithme. Depuis l'école, on retient que la multiplication et la division ont priorité sur l'addition et la soustraction.

C'est la même chose ici. PREMIÈREMENT, nous utilisons la règle de différenciation des produits :

Maintenant, pour le support, nous utilisons les deux premières règles :

Du fait de l'application des règles de différenciation sous les traits, on se retrouve avec uniquement des fonctions élémentaires à l'aide du tableau des dérivées, on les transforme en d'autres fonctions :

Avec une certaine expérience dans la recherche de dérivées, les dérivées simples ne semblent pas avoir besoin d’être décrites avec autant de détails. En général, elles sont décidées oralement et il est immédiatement écrit que .

Trouver la dérivée d'une fonction Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon)

4) Dérivée des fonctions quotient

Une trappe ouverte au plafond, ne vous inquiétez pas, c'est un bug. Mais voici la dure réalité :

Trouver la dérivée d'une fonction

Ce qui manque ici – somme, différence, produit, fraction…. Par où commencer ?! Il y a des doutes, il n'y a pas de doutes, mais, DANS TOUS LES CAS, on dessine d'abord des parenthèses et on met un trait en haut à droite :

Examinons maintenant l’expression entre parenthèses, comment pouvons-nous la simplifier ? Dans ce cas, on remarque un facteur qui, selon la première règle, convient de retirer le signe de la dérivée :

En même temps, on supprime les parenthèses au numérateur, qui ne sont plus nécessaires. D'une manière générale, les facteurs constants lors de la recherche de la dérivée