Théorie des probabilités : formules et exemples de résolution de problèmes. Théorie des probabilités

Classification des événements en possibles, probables et aléatoires. Concepts d'événements élémentaires simples et complexes. Opérations sur événements. Définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire et de ses propriétés. Éléments de combinatoire en théorie des probabilités. Probabilité géométrique. Axiomes de la théorie des probabilités.

Classement des événements

L’un des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités est le concept d’événement. Sous événement comprendre tout fait pouvant survenir à la suite d’une expérience ou d’un test. Sous expérience, ou test, fait référence à la mise en œuvre d’un certain ensemble de conditions.

Exemples d'événements :

D’innombrables exemples similaires peuvent être donnés. Les événements sont indiqués par des lettres majuscules de l'alphabet latin, etc.

Distinguer événements communs Et incompatible. Les événements sont dits conjoints si la survenance de l’un d’eux n’exclut pas la survenance de l’autre. Sinon, les événements sont dits incompatibles. Par exemple, on lance deux dés. Un événement est un jet de trois points au premier dé, un événement est un jet de trois points au deuxième dé. et - des événements conjoints. Laissez un magasin recevoir un lot de chaussures du même style et de la même taille, mais de couleurs différentes. Événement - une boîte prise au hasard contiendra des chaussures noires, un événement - la boîte contiendra des chaussures marron, et - des événements incompatibles.

L'événement s'appelle fiable, s'il est sûr de se produire dans les conditions d'une expérience donnée.

Un événement est dit impossible s’il ne peut se produire dans les conditions d’une expérience donnée. Par exemple, le cas où une pièce standard serait extraite d'un lot de pièces standard est fiable, mais une pièce non standard est impossible.

L'événement s'appelle possible, ou aléatoire, si à la suite de l'expérience cela peut apparaître, mais cela peut ne pas apparaître. Un exemple d'événement aléatoire pourrait être l'identification de défauts de produit lors de l'inspection d'un lot de produits finis, un écart entre la taille du produit traité et celui spécifié, ou la défaillance de l'un des liens du système de contrôle automatisé. .

Les événements sont appelés tout aussi possible, si, d'après les conditions du test, aucun de ces événements n'est objectivement plus possible que les autres. Par exemple, supposons qu'un magasin soit approvisionné en ampoules (en quantités égales) par plusieurs usines de fabrication. Des événements impliquant l’achat d’une ampoule auprès de l’une de ces usines sont également possibles.

Un concept important est groupe complet d'événements. Plusieurs événements dans une expérience donnée forment un groupe complet si au moins l'un d'entre eux est sûr d'apparaître à la suite de l'expérience. Par exemple, une urne contient dix boules, six d’entre elles sont rouges, quatre blanches et cinq boules portent des chiffres. - l'apparition d'une boule rouge lors d'un tirage, - l'apparition d'une boule blanche, - l'apparition d'une boule numérotée. Les événements forment un groupe complet d’événements communs.

Introduisons la notion d'événement opposé ou supplémentaire. Sous opposé Un événement s'entend comme un événement qui doit nécessairement se produire si un événement ne se produit pas. Les événements opposés sont incompatibles et les seuls possibles. Ils forment un ensemble complet d'événements. Par exemple, si un lot de produits manufacturés est constitué de produits bons et défectueux, alors lorsqu'un produit est retiré, il peut s'agir soit d'un bon événement, soit d'un événement défectueux.

Opérations sur événements

Lors du développement d'un appareil et d'une méthodologie pour étudier les événements aléatoires en théorie des probabilités, le concept de somme et de produit des événements est très important.

La somme, ou l'union, de plusieurs événements est un événement constitué par la survenance d'au moins un de ces événements.

La somme des événements est indiquée comme suit :

Par exemple, si un événement atteint la cible avec le premier tir, un événement avec le second, alors l'événement atteint la cible en général, peu importe avec quel tir - le premier, le deuxième ou les deux ensemble.

Le produit, ou l'intersection, de plusieurs événements est un événement constitué de la survenance conjointe de tous ces événements.

La production d'événements est indiquée

Par exemple, si l'événement est que la cible est touchée avec le premier tir, l'événement est que la cible est touchée avec le deuxième tir, alors l'événement est que la cible a été touchée avec les deux tirs.

Les concepts de somme et de produit d'événements ont une interprétation géométrique claire. Supposons que l'événement consiste en un point entrant dans la région, l'événement consiste à entrer dans la région, alors l'événement consiste en le point entrant dans la région ombrée sur la figure. 1, et l'événement se produit lorsqu'un point atteint la zone ombrée sur la Fig. 2.

Définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire

Pour comparer quantitativement les événements en fonction du degré de possibilité de leur apparition, une mesure numérique est introduite, appelée probabilité d'un événement.

La probabilité d'un événement est un nombre qui exprime la mesure de la possibilité objective qu'un événement se produise.

La probabilité d'un événement sera indiquée par le symbole.

La probabilité d'un événement est égale au rapport du nombre de cas qui lui sont favorables, sur le nombre total de cas uniquement possibles, également possibles et incompatibles, sur le nombre c'est-à-dire

C'est la définition classique de la probabilité. Ainsi, pour trouver la probabilité d'un événement, il faut, après avoir considéré les différents résultats du test, trouver un ensemble de cas uniquement possibles, également possibles et incompatibles, calculer leur nombre total, le nombre de cas favorables à un événement donné. événement, puis effectuez le calcul à l’aide de la formule (1.1).

De la formule (1.1), il résulte que la probabilité d'un événement est un nombre non négatif et peut varier de zéro à un en fonction de la proportion du nombre favorable de cas par rapport au nombre total de cas :

Propriétés de probabilité

Propriété 1. Si tous les cas sont favorables à un événement donné, alors cet événement se produira certainement. Par conséquent, l'événement en question est fiable, et la probabilité de son apparition est de , puisque dans ce cas

Propriété 2. S'il n'existe pas un seul cas favorable à un événement donné, alors cet événement ne peut pas survenir à la suite de l'expérience. Par conséquent, l'événement en question est impossible, et la probabilité de sa survenance est de , puisque dans ce cas :

Propriété 3. La probabilité d'apparition d'événements formant un groupe complet est égale à un.

Propriété 4. La probabilité d'occurrence de l'événement opposé est déterminée de la même manière que la probabilité d'occurrence de l'événement :

où est le nombre de cas favorables à la survenance de l'événement inverse. La probabilité que l’événement opposé se produise est donc égale à la différence entre l’unité et la probabilité que l’événement se produise :

Un avantage important de la définition classique de la probabilité d'un événement est qu'avec son aide, la probabilité d'un événement peut être déterminée sans recourir à l'expérience, mais sur la base d'un raisonnement logique.

Exemple 1. En composant un numéro de téléphone, l'abonné a oublié un chiffre et l'a composé au hasard. Trouvez la probabilité que le bon numéro soit composé.

Solution. Désignons l'événement selon lequel le numéro requis est composé. L'abonné peut composer n'importe lequel des 10 chiffres, le nombre total de résultats possibles est donc de 10. Ces résultats sont les seuls possibles (l'un des chiffres doit être composé) et également possibles (le chiffre est composé au hasard). Un seul résultat favorise l’événement (il n’y a qu’un seul chiffre requis). La probabilité requise est égale au rapport du nombre d'issues favorables à l'événement sur le nombre de toutes les issues :

Éléments de combinatoire

En théorie des probabilités, les placements, les permutations et les combinaisons sont souvent utilisés. Si un ensemble est donné, alors placement (combinaison) des éléments par est tout sous-ensemble ordonné (non ordonné) des éléments de l'ensemble. Lorsqu'il est placé, il est appelé réarrangementà partir d'éléments.

Prenons par exemple un ensemble. Les emplacements des trois éléments de cet ensemble de deux sont , , , , , ; combinaisons - , , .

Deux combinaisons diffèrent dans au moins un élément, et les emplacements diffèrent soit par les éléments eux-mêmes, soit par l'ordre dans lequel ils apparaissent. Le nombre de combinaisons d'éléments par est calculé par la formule

est le nombre de placements d'éléments par ; - nombre de permutations d'éléments.

Exemple 2. Dans un lot de 10 pièces, il y en a 7 standards. Trouvez la probabilité que parmi 6 pièces prises au hasard, il y en ait exactement 4 standards.

Solution. Le nombre total d'issues possibles du test est égal au nombre de manières dont 6 parties peuvent être extraites de 10, c'est-à-dire égal au nombre de combinaisons de 10 éléments de 6. Le nombre d'issues favorables à l'événement (parmi les 6 pièces prélevées, il y en a exactement 4 pièces standards) est déterminé comme suit : 4 pièces standards peuvent être prélevées de 7 pièces standards de différentes manières ; dans ce cas, les pièces restantes doivent être non standards ; Il existe des moyens de prélever 2 pièces non standard à partir de pièces non standard. Le nombre d’issues favorables est donc égal à . La probabilité initiale est égale au rapport du nombre d'issues favorables à l'événement sur le nombre de toutes les issues :

Définition statistique de la probabilité

La formule (1.1) est utilisée pour calculer directement les probabilités d'événements uniquement lorsque l'expérience est réduite à un ensemble de cas. En pratique, la définition classique de la probabilité n’est souvent pas applicable pour deux raisons : premièrement, la définition classique de la probabilité suppose que le nombre total de cas doit être fini. En fait, ce n’est souvent pas limité. Deuxièmement, il est souvent impossible d’imaginer les résultats d’une expérience sous la forme d’événements également possibles et incompatibles.

La fréquence d'apparition des événements au cours d'expériences répétées tend à se stabiliser autour d'une valeur constante. Ainsi, une certaine valeur constante peut être associée à l'événement considéré, autour de laquelle se regroupent les fréquences et qui est caractéristique du lien objectif entre l'ensemble des conditions dans lesquelles les expérimentations sont réalisées et l'événement.

La probabilité d'un événement aléatoire est le nombre autour duquel se regroupent les fréquences de cet événement à mesure que le nombre d'essais augmente.

Cette définition de la probabilité s'appelle statistique.

L’avantage de la méthode statistique de détermination des probabilités est qu’elle repose sur une expérience réelle. Cependant, son inconvénient majeur est que pour déterminer la probabilité, il est nécessaire de réaliser un grand nombre d'expériences, qui sont très souvent associées à des coûts matériels. La détermination statistique de la probabilité d'un événement, bien qu'elle révèle assez pleinement le contenu de cette notion, ne permet pas de calculer réellement la probabilité.

La définition classique de la probabilité considère le groupe complet d’un nombre fini d’événements également possibles. En pratique, le nombre de résultats possibles aux tests est très souvent infini. Dans de tels cas, la définition classique de la probabilité n’est pas applicable. Cependant, dans de tels cas, vous pouvez parfois utiliser une autre méthode de calcul de probabilité. Pour plus de précision, nous nous limitons au cas bidimensionnel.

Supposons qu'une certaine région d'aire , qui contient une autre région d'aire, soit donnée sur le plan (Fig. 3). Un point est lancé au hasard dans la zone. Quelle est la probabilité qu’un point tombe dans la région ? On suppose qu'un point lancé au hasard peut toucher n'importe quel point de la région, et la probabilité de toucher n'importe quelle partie de la région est proportionnelle à la surface de la pièce et ne dépend pas de son emplacement et de sa forme. Dans ce cas, la probabilité d'entrer dans la zone

Ainsi, dans le cas général, si la possibilité d'apparition aléatoire d'un point à l'intérieur d'une certaine zone sur une ligne, un plan ou dans l'espace est déterminée non pas par la position de cette zone et ses limites, mais uniquement par sa taille, c'est-à-dire sa longueur , surface ou volume, alors la probabilité qu'un point aléatoire tombe à l'intérieur d'une certaine région est définie comme le rapport entre la taille de cette région et la taille de la région entière dans laquelle un point donné peut apparaître. C'est la définition géométrique de la probabilité.

Exemple 3. Une cible ronde tourne à une vitesse angulaire constante. Un cinquième de la cible est peint en vert et le reste est en blanc (Fig. 4). Un tir est tiré sur la cible de telle manière que toucher la cible est un événement fiable. Vous devez déterminer la probabilité d’atteindre le secteur cible coloré en vert.

Solution. Notons « le tir a touché le secteur coloré en vert ». Alors . La probabilité est obtenue comme le rapport de la surface de la partie de la cible peinte en vert à la surface entière de la cible, car toucher n'importe quelle partie de la cible est également possible.

Axiomes de la théorie des probabilités

De la définition statistique de la probabilité d'un événement aléatoire, il résulte que la probabilité d'un événement est le nombre autour duquel sont regroupées les fréquences de cet événement observées expérimentalement. Par conséquent, les axiomes de la théorie des probabilités sont introduits de manière à ce que la probabilité d’un événement possède les propriétés fondamentales de la fréquence.

Axiome 1. Chaque événement correspond à un certain nombre qui satisfait à la condition et est appelé sa probabilité.

Université technique d'État de Nijni Novgorod

eux. A.E. Alekseeva

Résumé sur la théorie disciplinaire des probabilités

Complété par : Ruchina N.A gr 10MEnz

Vérifié par : Gladkov V.V.

Nijni Novgorod, 2011

Théorie des probabilités……………………………………

Sujet de théorie des probabilités……………………………

Concepts de base de la théorie des probabilités……………

Événements aléatoires, probabilités d'événements………………………………………………………………

Théorèmes limites……………………………………

Processus aléatoires………………………………………………………

Contexte historique……………………………………………………

Littérature utilisée……………………………………………………………

Théorie des probabilités

Théorie des probabilités - une science mathématique qui permet, à partir des probabilités de certains événements aléatoires, de trouver les probabilités d'autres événements aléatoires liés d'une manière ou d'une autre au premier.

Une déclaration selon laquelle un événement se produit avec probabilité , égal par exemple à 0,75, ne représente pas en soi une valeur finale, puisque nous recherchons une connaissance fiable. La valeur cognitive finale sont les résultats de la théorie des probabilités qui nous permettent d'affirmer que la probabilité d'occurrence de tout événement UN très proche de l'unité ou (ce qui revient au même) la probabilité que l'événement ne se produise pas UN très petit. Conformément au principe de « négliger des probabilités suffisamment faibles », un tel événement est à juste titre considéré comme pratiquement certain. De telles conclusions, qui présentent un intérêt scientifique et pratique, reposent généralement sur l'hypothèse que la survenance ou la non-survenance d'un événement UN dépend d'un grand nombre de facteurs aléatoires, peu liés les uns aux autres . Par conséquent, nous pouvons également dire que la théorie des probabilités est une science mathématique qui élucide les modèles qui surviennent lors de l'interaction d'un grand nombre de facteurs aléatoires.

Sujet de théorie des probabilités

Sujet de théorie des probabilités. Décrire la relation naturelle entre certaines conditions S et événement UN, dont l'apparition ou la non-apparition dans des conditions données peut être déterminée avec précision, les sciences naturelles utilisent généralement l'un des deux schémas suivants :

a) chaque fois que les conditions sont remplies S un événement arrive UN. Cette forme, par exemple, possède toutes les lois de la mécanique classique, qui stipulent que, étant donné les conditions initiales et les forces agissant sur un corps ou un système de corps, le mouvement se produira d'une manière définie de manière unique.

b) Sous conditions Sévénement UN a une certaine probabilité P.(COMME), égal à r. Ainsi, par exemple, les lois du rayonnement radioactif stipulent que pour chaque substance radioactive, il existe une certaine probabilité qu'à partir d'une quantité donnée de substance au cours d'une période de temps donnée, une certaine quantité se désintègre. N atomes.

Appelons cela la fréquence de l'événement UN dans cette série de n tests (c'est-à-dire de n mise en œuvre répétée des conditions S) attitude h = m/n Nombres m ces tests dans lesquels UN sont venus, à leur nombre total n. Disponibilité des événements UN dans des conditions S une certaine probabilité égale à p, se manifeste par le fait que dans presque toutes les séries de tests suffisamment longues, la fréquence de l'événement UN approximativement égal à r.

Les modèles statistiques, c'est-à-dire les modèles décrits par un schéma de type (b), ont été découverts pour la première fois dans les jeux de hasard comme les dés. Les schémas statistiques de naissance et de décès sont également connus depuis très longtemps (par exemple, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est de 0,515). Fin du 19ème siècle et 1ère moitié du 20ème siècle. marqué par la découverte d'un grand nombre de lois statistiques en physique, chimie, biologie, etc.

La possibilité d'appliquer les méthodes de la théorie des probabilités à l'étude de modèles statistiques liés à des domaines scientifiques très éloignés les uns des autres repose sur le fait que les probabilités d'événements satisfont toujours à certaines relations simples. L'étude des propriétés des probabilités d'événements sur la base de ces relations simples fait l'objet de la théorie des probabilités.

Concepts de base de la théorie des probabilités

Concepts de base de la théorie des probabilités. Les concepts de base de la théorie des probabilités, en tant que discipline mathématique, sont définis le plus simplement dans le cadre de la théorie dite des probabilités élémentaires. Chaque essai T, considéré dans la théorie des probabilités élémentaires est tel qu'il se termine par un et un seul des événements E 1 , E 2 ,...,E S (d'une manière ou d'une autre, selon les cas). Ces événements sont appelés résultats des essais. Avec chaque résultat E k nombre positif associé r À - la probabilité de ce résultat. Nombres p k doit totaliser un. Ensuite, les événements sont considérés UN, consistant dans le fait que « cela se produit ou E je , ou E j ,..., ou E k" Résultats E je , E j ,...,E k sont appelés favorables UN, et par définition ils supposent la probabilité R.(UN) événements UN, égal à la somme des probabilités d'issues qui lui sont favorables :

P.(UN) =p je +p s +… +p k . (1)

Cas particulier p 1 =p 2 =...p s = 1/S conduit à la formule

R.(UN) =r/s.(2)

La formule (2) exprime la définition dite classique de la probabilité, selon laquelle la probabilité d'un événement UNégal au rapport du nombre r résultats favorables UN, au numéro s tous les résultats « également possibles ». La définition classique de la probabilité ne fait que réduire le concept de « probabilité » au concept d’« possibilité égale », qui reste sans définition claire.

Exemple. Lorsque vous lancez deux dés, chacun des 36 résultats possibles peut être indiqué par ( je,j), Où je- le nombre de points obtenus au premier dé, j- sur la seconde. Les résultats sont supposés être également probables. Événement UN -« la somme des points est de 4 », trois résultats sont favorables (1 ; 3), (2 ; 2), (3 ; 1). Ainsi, R.(UN) = 3/36= 1/12.

Sur la base d'événements donnés, deux nouveaux événements peuvent être déterminés : leur union (somme) et leur combinaison (produit).

Événement DANS appelé pooling d'événements UN 1 , UN 2 ,..., UN r ,-, s'il a la forme : « vient ou UN 1 , ou UN 2 ,..., ou UN r ».

L'événement C est appelé une combinaison d'événements UN 1 , UN. 2 ,..., UN r , s'il a la forme : « vient et UN 1 , Et UN 2 ,..., Et UN r » . La fusion d'événements est désignée par le signe, et la combinaison par le signe. Ainsi, ils écrivent :

B = Un 1  UN 2  …  UN r , C = UN 1  UN 2  …  UN r .

Événements UN Et DANS sont dits incompatibles si leur mise en œuvre simultanée est impossible, c'est-à-dire s'il n'y en a pas un seul favorable parmi les résultats du test et UN Et DANS.

Les opérations introduites de combinaison et de combinaison d'événements sont associées à deux théorèmes principaux de la théorie des probabilités - les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités.

Théorème d'addition de probabilité : Si les événements UN 1 ,UN 2 ,...,UN r sont tels que tous deux sont incompatibles, alors la probabilité de leur union est égale à la somme de leurs probabilités.

Ainsi, dans l’exemple ci-dessus de lancer de deux dés, l’événement DANS -"la somme des points ne dépasse pas 4", il y a une union de trois événements incompatibles UN 2 ,UN 3 ,UN 4, consistant dans le fait que la somme des points est respectivement égale à 2, 3, 4. La probabilité de ces événements est de 1/36 ; 2/36 ; 3/36. D'après le théorème d'addition, la probabilité R.(DANS) égal à

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Événements UN 1 ,UN 2 ,...,UN r sont dits indépendants si la probabilité conditionnelle de chacun d’eux, à condition que l’un des autres se soit produit, est égale à sa probabilité « inconditionnelle ».

Théorème de multiplication de probabilité : Probabilité de combiner des événements UN 1 ,UN 2 ,...,UN r est égal à la probabilité de l'événement UN 1 , multiplié par la probabilité de l'événement UN 2 pris à la condition que UN 1 s'est produit,..., multiplié par la probabilité de l'événement UN r à condition que UN 1 ,UN 2 ,...,UN r-1 est arrivé. Pour les événements indépendants, le théorème de multiplication conduit à la formule :

P.(UN 1 UN 2 …UN r) =P.(UN 1 )P.(UN 2 )· … · P.(UN r), (3)

c'est-à-dire que la probabilité de combiner des événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements. La formule (3) reste valable si dans ses deux parties certains événements sont remplacés par leurs opposés.

Exemple. 4 coups sont tirés sur la cible avec une probabilité de réussite de 0,2 par coup. Les cibles touchées par différents tirs sont supposées être des événements indépendants. Quelle est la probabilité d’atteindre la cible exactement trois fois ?

Chaque résultat de test peut être indiqué par une séquence de quatre lettres [par exemple, (y, n, n, y) signifie que les premier et quatrième coups ont touché (succès) et que les deuxième et troisième coups n'ont pas touché (échec)]. Il y aura un total de 2·2·2·2 = 16 résultats. Conformément à l'hypothèse d'indépendance des résultats des tirs individuels, la formule (3) et une note y relative doivent être utilisées pour déterminer les probabilités de ces résultats. Ainsi, la probabilité du résultat (y, n. n, n) doit être fixée à 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024 ; ici 0,8 = 1-0,2 est la probabilité d'un échec avec un seul tir. L'événement « la cible est touchée trois fois » est favorisé par les résultats (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), la probabilité de chacun est la même :

0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064 ;

par conséquent, la probabilité requise est égale à

4·0,0064 = 0,0256.

En résumant le raisonnement de l'exemple analysé, nous pouvons déduire l'une des formules de base de la théorie des probabilités : si les événements UN 1 , UN 2 ,..., UN n sont indépendants et ont chaque probabilité p, alors la probabilité d'occurrence est exactement m dont est égal

P. n (m)=C n m p m (1-p) n-m ; (4)

Ici C n m désigne le nombre de combinaisons de néléments par m. En liberté n les calculs utilisant la formule (4) deviennent difficiles.

Parmi les formules de base de la théorie élémentaire des probabilités, on trouve également ce qu'on appelle formule de probabilité totale: si événements UN 1 , UN 2 ,..., UN r sont incompatibles par paires et leur union est un événement fiable, alors pour tout événement DANS sa probabilité est égale à leur somme.

Le théorème de multiplication des probabilités est particulièrement utile lorsqu’on considère des tests composés. Ils disent que c'est un test T constitué d'épreuves T 1 , T. 2 ,...,T n-1 , T. n, Si chaque résultat de test T il y a une combinaison de certains résultats UN je ,B j ,...,X k ,Y je tests pertinents T 1 , T. 2 ,...,T n-1 , T. n. Pour une raison ou une autre, les probabilités sont souvent connues

P.(UN je),P(B j /UN je), …,P.(Oui je /UN je B j …X k). (5)

A partir des probabilités (5) utilisant le théorème de multiplication, les probabilités peuvent être déterminées R.(E) pour tous les résultats E test composite, et en même temps la probabilité de tous les événements associés à ce test. D'un point de vue pratique, deux types d'épreuves composites semblent les plus significatives :

a) les composantes du test sont indépendantes, c'est-à-dire que les probabilités (5) sont égales aux probabilités inconditionnelles P.(UN je),P(B j),...,P(Oui je);

b) les probabilités des résultats de tout test ne sont influencées que par les résultats du test immédiatement précédent, c'est-à-dire que les probabilités (5) sont respectivement égales : P.(UN je),P(B j /UN je),...,P(Oui je /X k). Dans ce cas, on parle de tests connectés dans une chaîne de Markov. Les probabilités de tous les événements associés à un test composite sont ici entièrement déterminées par les probabilités initiales R.(UN je) et probabilités de transition P.(B j /UN je),...,P(Oui je /X k).

Formules de base en théorie des probabilités

Formules de théorie des probabilités.

1. Formules de base de la combinatoire

a) les réarrangements.

\b) emplacement

c) combinaisons .

2. Définition classique de la probabilité.

Où est le nombre d'issues favorables à l'événement, est le nombre de toutes les issues élémentaires également possibles.

3. Probabilité de la somme des événements

Théorème d'addition des probabilités d'événements incompatibles :

Théorème d'addition des probabilités d'événements conjoints :

4. Probabilité que les événements se produisent

Théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants :

Probabilité conditionnelle d'un événement étant donné que l'événement s'est produit

La probabilité conditionnelle d'un événement étant donné que l'événement s'est produit.

La combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie la question du nombre de combinaisons différentes, soumises à certaines conditions, qui peuvent être réalisées à partir d'objets donnés. Les bases de la combinatoire sont très importantes pour estimer les probabilités d’événements aléatoires, car Ce sont eux qui permettent de calculer le nombre fondamentalement possible d'options différentes pour le développement des événements.

Formule de base de la combinatoire

Soit k groupes d'éléments, et le i-ème groupe est constitué de ni éléments. Sélectionnons un élément de chaque groupe. Alors le nombre total N de façons dont un tel choix peut être fait est déterminé par la relation N=n1*n2*n3**...*nk.

Exemple 1. Expliquons cette règle avec un exemple simple. Supposons qu'il y ait deux groupes d'éléments, le premier groupe étant constitué de n1 éléments et le second de n2 éléments. Combien de paires d’éléments différentes peuvent être constituées à partir de ces deux groupes, de telle sorte que la paire contienne un élément de chaque groupe ? Disons que nous prenons le premier élément du premier groupe et, sans le modifier, parcourons toutes les paires possibles, en modifiant uniquement les éléments du deuxième groupe. Il existe n2 paires de ce type pour cet élément. Ensuite, nous prenons le deuxième élément du premier groupe et formons également toutes les paires possibles. Il y aura également n2 de ces paires. Puisqu’il n’y a que n1 éléments dans le premier groupe, le total des options possibles sera n1*n2.

Exemple 2. Combien de nombres pairs à trois chiffres peut-on former à partir des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si les chiffres peuvent être répétés ?

Solution : n1=6 (car vous pouvez prendre n'importe quel nombre parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 comme premier chiffre), n2=7 (car vous pouvez prendre n'importe quel nombre entre 0 et comme deuxième chiffre, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (puisque n'importe quel nombre entre 0, 2, 4, 6 peut être pris comme troisième chiffre).

Donc, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Dans le cas où tous les groupes sont constitués du même nombre d'éléments, c'est-à-dire n1=n2=...nk=n nous pouvons supposer que chaque sélection est effectuée dans le même groupe et que l'élément après sélection est renvoyé dans le groupe. Alors le nombre de toutes les méthodes de sélection est égal à nk. Cette méthode de sélection est appelée échantillonnage avec retour.

Exemple. Combien de nombres à quatre chiffres peut-on former à partir des chiffres 1, 5, 6, 7, 8 ?

Solution. Pour chaque chiffre d'un nombre à quatre chiffres, il existe cinq possibilités, ce qui signifie N=5*5*5*5=54=625.

Considérons un ensemble composé de n éléments. Nous appellerons cet ensemble la population générale.

Définition 1. Un arrangement de n éléments par m est tout ensemble ordonné de m éléments différents sélectionnés parmi une population de n éléments.

Exemple. Différents arrangements de trois éléments (1, 2, 3) par deux seront les ensembles (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Les emplacements peuvent différer les uns des autres tant par les éléments que par leur ordre.

Le nombre de placements est noté A, m à partir de n et est calculé par la formule :

Remarque : n!=1*2*3*...*n (lire : "en factoriel"), de plus, on suppose que 0!=1.

Exemple 5. Combien y a-t-il de nombres à deux chiffres dans lesquels le chiffre des dizaines et celui des unités sont différents et impairs ?

Solution : parce que S'il y a cinq chiffres impairs, à savoir 1, 3, 5, 7, 9, alors cette tâche revient à sélectionner et à placer deux des cinq chiffres différents dans deux positions différentes, c'est-à-dire les numéros indiqués seront :

Définition 2. Une combinaison de n éléments de m est tout ensemble non ordonné de m éléments différents sélectionnés parmi une population de n éléments.

Exemple 6. Pour un ensemble (1, 2, 3), les combinaisons sont (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Le nombre de combinaisons est noté Cnm et est calculé par la formule :

Définition 3. Une permutation de n éléments est tout ensemble ordonné de ces éléments.

Exemple 7a. Toutes les permutations possibles d'un ensemble composé de trois éléments (1, 2, 3) sont : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Le nombre de permutations différentes de n éléments est noté Pn et est calculé par la formule Pn=n!.

Exemple 8. De combien de manières peut-on disposer sept livres d'auteurs différents sur une rangée sur une étagère ?

Solution : Ce problème concerne le nombre de permutations de sept livres différents. Il existe P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 façons d’organiser les livres.

Discussion. On voit que le nombre de combinaisons possibles peut être calculé selon différentes règles (permutations, combinaisons, placements) et le résultat sera différent, car Le principe de calcul et les formules elles-mêmes sont différentes. En regardant attentivement les définitions, vous remarquerez que le résultat dépend de plusieurs facteurs simultanément.

Premièrement, à partir de combien d’éléments nous pouvons combiner leurs ensembles (quelle est la taille de la totalité des éléments).

Deuxièmement, le résultat dépend de la taille des ensembles d’éléments dont nous avons besoin.

Enfin, il est important de savoir si l’ordre des éléments dans l’ensemble est significatif pour nous. Expliquons le dernier facteur à l'aide de l'exemple suivant.

Exemple. Il y a 20 personnes présentes à la réunion des parents. Combien d'options différentes existe-t-il pour la composition du comité de parents s'il doit comprendre 5 personnes ?

Solution : Dans cet exemple, nous ne nous intéressons pas à l'ordre des noms sur la liste du comité. Si, en conséquence, les mêmes personnes en font partie, alors, pour nous, c'est la même option. On peut donc utiliser une formule pour compter le nombre de combinaisons de 20 éléments de 5.

Les choses seront différentes si chaque membre du comité est initialement responsable d'un domaine de travail précis. Alors, avec la même composition de liste du comité, il y en a peut-être 5 au sein de celui-ci ! permutations qui comptent. Le nombre d'options différentes (tant en composition qu'en domaine de responsabilité) est déterminé dans ce cas par le nombre de placements de 20 éléments sur 5.

Définition géométrique de la probabilité

Imaginons un test aléatoire comme le fait de jeter un point au hasard dans une région géométrique G (sur une ligne droite, un plan ou un espace). Les résultats élémentaires sont des points individuels de G, tout événement est un sous-ensemble de cette zone, l'espace des résultats élémentaires de G. Nous pouvons supposer que tous les points de G sont « égaux » et alors la probabilité qu'un point tombe dans un certain sous-ensemble est proportionnel à sa mesure (longueur, surface, volume) et ne dépend pas de son emplacement et de sa forme.

La probabilité géométrique de l'événement A est déterminée par la relation : , où m(G), m(A) sont des mesures géométriques (longueurs, aires ou volumes) de l'espace entier des résultats élémentaires et de l'événement A.

Exemple. Un cercle de rayon r() est lancé au hasard sur un plan tracé par des bandes parallèles de largeur 2d dont la distance entre les lignes axiales est égale à 2D. Trouvez la probabilité que le cercle coupe une certaine bande.

Solution. Comme résultat élémentaire de ce test, nous considérerons la distance x du centre du cercle à la ligne médiane de la bande la plus proche du cercle. Alors tout l’espace des résultats élémentaires est un segment. L'intersection d'un cercle avec une bande se produira si son centre tombe dans la bande, c'est-à-dire ou est situé du bord de la bande à une distance inférieure au rayon, c'est-à-dire

Pour la probabilité souhaitée on obtient : .

1. Classement des événements

L’un des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités est le concept d’événement. Un événement est tout fait pouvant survenir à la suite d’une expérience ou d’un test. Par expérience, ou test, nous entendons la mise en œuvre d’un certain ensemble de conditions.

Exemples d'événements :

– toucher la cible lors d'un tir avec une arme à feu (expérience - tirer ; événement - toucher la cible) ;

– la perte de deux emblèmes en lançant une pièce trois fois (expérience - lancer une pièce trois fois ; événement - la perte de deux emblèmes) ;

– l'apparition d'une erreur de mesure dans des limites spécifiées lors de la mesure de la distance par rapport à une cible (expérience - mesure de la distance ; événement - erreur de mesure).

D’innombrables exemples similaires peuvent être donnés. Les événements sont indiqués par des lettres majuscules de l'alphabet latin, etc.

Une distinction est faite entre les événements conjoints et non conjoints. Les événements sont dits conjoints si la survenance de l’un d’eux n’exclut pas la survenance de l’autre. Sinon, les événements sont dits incompatibles. Par exemple, on lance deux dés. Événement - trois points tombant au premier dé, événement - trois points tombant au deuxième dé et - événements conjoints. Laissez un magasin recevoir un lot de chaussures du même style et de la même taille, mais de couleurs différentes. Événement - une boîte prise au hasard contiendra des chaussures noires, un événement - la boîte se révélera contenir des chaussures marron, et - des événements incompatibles.

Un événement est dit fiable s’il est certain qu’il se produira dans les conditions d’une expérience donnée.

Un événement est dit possible, ou aléatoire, si, à la suite de l'expérience, il peut apparaître, mais peut ne pas apparaître. Un exemple d'événement aléatoire pourrait être l'identification de défauts de produit lors de l'inspection d'un lot de produits finis, un écart entre la taille du produit traité et celui spécifié, ou la défaillance de l'un des liens du système de contrôle automatisé. .

Des événements sont dits également possibles si, d'après les conditions du test, aucun de ces événements n'est objectivement plus possible que les autres. Par exemple, supposons qu'un magasin soit approvisionné en ampoules (en quantités égales) par plusieurs usines de fabrication. Des événements impliquant l’achat d’une ampoule auprès de l’une de ces usines sont également possibles.

Le concept important est l’ensemble complet des événements. Plusieurs événements dans une expérience donnée forment un groupe complet si au moins l'un d'entre eux est sûr d'apparaître à la suite de l'expérience. Par exemple, une urne contient dix boules, six d’entre elles sont rouges, quatre blanches et cinq boules portent des chiffres. - l'apparition d'une boule rouge lors d'un tirage, - l'apparition d'une boule blanche, - l'apparition d'une boule numérotée. Les événements forment un groupe complet d’événements communs.

Introduisons la notion d'événement opposé ou supplémentaire. Un événement opposé est un événement qui doit nécessairement se produire si un événement ne se produit pas. Les événements opposés sont incompatibles et les seuls possibles. Ils forment un ensemble complet d'événements. Par exemple, si un lot de produits manufacturés est composé de produits bons et défectueux, alors lorsqu'un produit est retiré, il peut s'avérer soit bon - un événement, soit défectueux - un événement.

2. Opérations sur événements

L’émergence de la théorie des probabilités remonte au milieu du XVIIe siècle, lorsque les mathématiciens se sont intéressés aux problèmes posés par les joueurs et jusqu’alors non étudiés en mathématiques. Dans le processus de résolution de ces problèmes, des concepts tels que la probabilité et l’espérance mathématique se sont cristallisés. Dans le même temps, les scientifiques de l'époque - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) et Bernoulli (1654-1705) étaient convaincus que des modèles clairs pouvaient apparaître sur la base d'un phénomène aléatoire massif. événements. Et seul l'état des sciences naturelles a conduit au fait que pendant longtemps, le jeu est resté presque le seul matériau concret sur la base duquel les concepts et les méthodes de la théorie des probabilités ont été créés. Cette circonstance a également laissé sa marque sur l'appareil mathématique formel par lequel les problèmes posés par la théorie des probabilités étaient résolus : il était réduit exclusivement aux méthodes arithmétiques et combinatoires élémentaires.

Les exigences sérieuses des sciences naturelles et de la pratique sociale (théorie des erreurs d'observation, problèmes de théorie du tir, problèmes de statistiques, principalement statistiques démographiques) ont conduit à la nécessité de développer davantage la théorie des probabilités et d'utiliser un appareil analytique plus développé. Un rôle particulièrement important dans le développement des méthodes analytiques de la théorie des probabilités a été joué par Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840). Du côté analytique formel, l'œuvre du créateur de la géométrie non euclidienne Lobatchevsky (1792-1856), consacrée à la théorie des erreurs de mesure sur une sphère et réalisée dans le but d'établir le système géométrique qui domine l'univers. , est adjacent à cette même direction.

La théorie des probabilités, comme d'autres branches des mathématiques, s'est développée à partir des besoins de la pratique : sous une forme abstraite, elle reflète les modèles inhérents aux événements aléatoires de nature massive. Ces modèles jouent un rôle extrêmement important en physique et dans d’autres domaines des sciences naturelles, dans diverses disciplines techniques, en économie, en sociologie et en biologie. Dans le cadre du développement généralisé des entreprises produisant des produits de masse, les résultats de la théorie des probabilités ont commencé à être utilisés non seulement pour rejeter des produits déjà fabriqués, mais également pour organiser le processus de production lui-même (contrôle statistique de la production).

Concepts de base de la théorie des probabilités

La théorie des probabilités explique et explore les différents modèles qui régissent les événements aléatoires et les variables aléatoires. Événement est tout fait qui peut être énoncé à la suite d’une observation ou d’une expérience. L'observation ou l'expérience est la réalisation de certaines conditions dans lesquelles un événement peut se produire.

L'expérience signifie que l'ensemble des circonstances mentionnées a été créé consciemment. Lors de l'observation, le complexe d'observation de ces conditions ne la crée ni ne l'influence. Il est créé soit par les forces de la nature, soit par d’autres personnes.

Ce qu'il faut savoir pour déterminer les probabilités d'événements

Tous les événements que les gens observent ou créent eux-mêmes sont divisés en :

événements fiables;
événements impossibles;
événements aléatoires.

Des événements fiables se produisent toujours lorsqu’un certain ensemble de circonstances est créé. Par exemple, si nous travaillons, nous recevons une récompense ; si nous réussissons les examens et les concours, nous pouvons compter de manière fiable sur le nombre d'étudiants. Des événements fiables peuvent être observés en physique et en chimie. En économie, les événements fiables sont associés à la structure sociale et à la législation existantes. Par exemple, si nous déposons de l’argent dans une banque et exprimons le désir de le recevoir dans un certain délai, nous recevrons alors l’argent. Cela peut être considéré comme un événement fiable.

Événements impossibles ne se produira certainement pas si un certain ensemble de conditions a été créé. Par exemple, l'eau ne gèle pas si la température est de plus de 15 degrés Celsius, la production ne se fait pas sans électricité.

Événements aléatoires Lorsqu’un certain ensemble de conditions est réalisé, elles peuvent se produire ou non. Par exemple, si nous jetons une pièce de monnaie une fois, les armoiries peuvent tomber ou non, un billet de loterie peut gagner ou non, un produit manufacturé peut ou non être défectueux. L’apparition d’un produit défectueux est un événement aléatoire, plus rare que la fabrication de produits adaptés.

La fréquence attendue d’occurrence d’événements aléatoires est étroitement liée au concept de probabilité. Les modèles d'occurrence et de non-occurrence d'événements aléatoires sont étudiés par la théorie des probabilités.

Si un ensemble de conditions nécessaires n’est réalisé qu’une seule fois, nous recevons alors des informations insuffisantes sur un événement aléatoire, puisqu’il peut se produire ou non. Si un ensemble de conditions est mis en œuvre plusieurs fois, des modèles connus apparaissent. Par exemple, il n'est jamais possible de savoir de quelle machine à café dans un magasin le prochain client aura besoin, mais si les marques de machines à café les plus demandées depuis longtemps sont connues, alors sur la base de ces données, il est possible de organiser la production ou l’offre pour répondre à la demande.

La connaissance des modèles qui régissent les événements aléatoires de masse nous permet de prédire quand ces événements se produiront. Par exemple, comme indiqué précédemment, il est impossible de prédire à l'avance le résultat du lancer d'une pièce de monnaie, mais si la pièce est lancée plusieurs fois, il est alors possible de prédire que les armoiries tomberont. L'erreur peut être minime.

Les méthodes de théorie des probabilités sont largement utilisées dans diverses branches des sciences naturelles, de la physique théorique, de la géodésie, de l'astronomie, de la théorie du contrôle automatisé, de la théorie de l'observation des erreurs et dans de nombreuses autres sciences théoriques et pratiques. La théorie des probabilités est largement utilisée dans la planification et l'organisation de la production, l'analyse de la qualité des produits, l'analyse des processus technologiques, les assurances, les statistiques démographiques, la biologie, la balistique et d'autres industries.

Les événements aléatoires sont généralement désignés par les lettres majuscules de l'alphabet latin A, B, C, etc.

Les événements aléatoires peuvent être :

incompatible;
articulation.

Les événements A, B, C... sont appelés incompatible , si à la suite d'un test, un de ces événements peut se produire, mais que deux événements ou plus ne peuvent pas se produire.

Si la survenance d'un événement aléatoire n'exclut pas la survenance d'un autre événement, alors ces événements sont appelés articulation . Par exemple, si une autre pièce est retirée d'un tapis roulant et que l'événement A signifie « la pièce est conforme à la norme » et que l'événement B signifie « la pièce ne répond pas à la norme », alors A et B sont des événements incompatibles. Si l’événement C signifie « une partie du grade II est prise », alors cet événement est conjoint à l’événement A, mais incompatible avec l’événement B.

Si dans chaque observation (test) un et un seul des événements aléatoires incompatibles devait se produire, alors ces événements constituent ensemble complet (système) d'événements .

Un événement fiable est l’occurrence d’au moins un événement parmi un ensemble complet d’événements.

Si les événements qui forment l'ensemble complet des événements incohérent par paire , alors à la suite de l'observation, un seul de ces événements peut se produire. Par exemple, un étudiant doit résoudre deux problèmes de test. Un et un seul des événements suivants se produira certainement :

le premier problème sera résolu et le deuxième problème ne sera pas résolu ;
le deuxième problème sera résolu et le premier problème ne sera pas résolu ;
les deux problèmes seront résolus ;
aucun des problèmes ne sera résolu.

Ces événements forment un ensemble complet d'événements incompatibles .

Si l’ensemble complet des événements ne comprend que deux événements incompatibles, alors ils sont appelés mutuellement opposés ou alternative événements.

L'événement opposé à l'événement est noté . Par exemple, dans le cas d'un tirage au sort, la dénomination () ou les armoiries () peuvent apparaître.

Les événements sont appelés tout aussi possible , si aucun d’entre eux ne présente d’avantages objectifs. De tels événements constituent également l'ensemble complet des événements. Cela signifie qu'à la suite d'une observation ou d'un test, au moins un des événements également possibles doit se produire de manière certaine.

Par exemple, un groupe complet d'événements est formé par la perte de la dénomination et de l'emblème lors d'un tirage au sort, la présence de 0, 1, 2, 3 et plus de 3 erreurs sur une page de texte imprimée.

Définitions et propriétés de la probabilité

Définition classique de la probabilité. Une opportunité ou un cas favorable est un cas où, lors de la mise en œuvre d'un certain ensemble de circonstances, un événement UN arriver. La définition classique de la probabilité consiste à calculer directement le nombre de cas ou d’opportunités favorables.

Probabilité classique et statistique. Formules de probabilité : classiques et statistiques

Probabilité de l'événement UN appeler le rapport du nombre d'opportunités favorables à cet événement au nombre de tous les événements incompatibles également possibles N qui peut survenir à la suite d’un seul essai ou d’une seule observation. Formule de probabilité événements UN:

S'il est tout à fait clair de quelle probabilité d'un événement nous parlons, alors la probabilité est indiquée par une petite lettre p, sans préciser la désignation de l'événement.

Pour calculer la probabilité selon la définition classique, il faut trouver le nombre de tous les événements incompatibles également possibles et déterminer combien d'entre eux sont favorables à la définition de l'événement. UN.

Exemple 1. Trouvez la probabilité d’obtenir le chiffre 5 en lançant un dé.

Solution. On sait que les six visages ont les mêmes chances de finir au sommet. Le chiffre 5 est marqué sur un seul côté. Le nombre de tous les événements incompatibles également possibles est 6, dont une seule possibilité favorable est le chiffre 5 ( M= 1). Cela signifie que la probabilité souhaitée d'obtenir le chiffre 5

Exemple 2. Une boîte contient 3 boules rouges et 12 boules blanches de même taille. Une balle a été prise sans regarder. Trouvez la probabilité que la boule rouge soit prise.

Solution. Probabilité requise

Trouvez vous-même les probabilités et voyez ensuite la solution

Exemple 3. Les dés sont lancés. Événement B- rouler un nombre pair. Calculez la probabilité de cet événement.

Exemple 5. Il y a 5 boules blanches et 7 boules noires dans une urne. 1 boule est tirée au sort. Événement UN- une boule blanche est tirée. Événement B- une boule noire est tirée. Calculez les probabilités de ces événements.

La probabilité classique est également appelée probabilité a priori car elle est calculée avant de commencer un test ou une observation. De la nature a priori de la probabilité classique découle son principal inconvénient : ce n'est que dans de rares cas, avant le début de l'observation, que l'on peut calculer tous les événements incompatibles également possibles, y compris les événements favorables. De telles opportunités se présentent généralement dans des situations proches des jeux.

Combinaisons. Si la séquence d'événements n'est pas importante, le nombre d'événements possibles est calculé comme le nombre de combinaisons :

Exemple 6. Il y a 30 étudiants dans le groupe. Trois étudiants doivent se rendre au département d'informatique pour récupérer et apporter un ordinateur et un projecteur. Calculez la probabilité que trois élèves spécifiques fassent cela.

Solution. Nous calculons le nombre d'événements possibles à l'aide de la formule (2) :

La probabilité que trois étudiants spécifiques entrent dans le département :

Exemple 7. 10 téléphones portables à vendre. 3 d'entre eux présentent des défauts. L'acheteur a choisi 2 téléphones. Calculez la probabilité que les deux téléphones sélectionnés présentent des défauts.

Solution. Le nombre de tous les événements également possibles est trouvé à l'aide de la formule (2) :

En utilisant la même formule, on trouve le nombre d'opportunités favorables à un événement :

La probabilité souhaitée que les deux téléphones sélectionnés présentent des défauts.

La doctrine des lois qui régissent ce qu'on appelle. phénomènes aléatoires. Dictionnaire de mots étrangers inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe

théorie des probabilités- - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Thèmes technologies de l'information en général EN théorie des probabilités théorie des chancescalcul de probabilité... Guide du traducteur technique

Théorie des probabilités- fait partie des mathématiques qui étudie les relations entre les probabilités (voir Probabilités et statistiques) de divers événements. Listons les théorèmes les plus importants liés à cette science. La probabilité d'apparition d'un événement incompatible parmi plusieurs événements incompatibles est égale à... ... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron

THÉORIE DES PROBABILITÉS- mathématique une science qui permet, à partir des probabilités de certains événements aléatoires (voir), de trouver les probabilités d'événements aléatoires associés à l. façon avec les premiers. Télévision moderne basé sur l'axiomatique (voir Méthode axiomatique) par A. N. Kolmogorov. Sur... ... Encyclopédie sociologique russe

Théorie des probabilités- une branche des mathématiques dans laquelle, sur la base des probabilités données de certains événements aléatoires, on trouve les probabilités d'autres événements liés d'une manière ou d'une autre au premier. La théorie des probabilités étudie également les variables aléatoires et les processus aléatoires. L'un des principaux... ... Concepts des sciences naturelles modernes. Glossaire des termes de base

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Théorie des probabilités- ... Wikipédia

Théorie des probabilités- une discipline mathématique qui étudie les modèles de phénomènes aléatoires... Les débuts des sciences naturelles modernes

THÉORIE DES PROBABILITÉS- (théorie des probabilités) voir Probabilité... Grand dictionnaire sociologique explicatif

Théorie des probabilités et ses applications- (« Théorie des probabilités et ses applications ») revue scientifique du Département de mathématiques de l'Académie des sciences de l'URSS. Publie des articles originaux et de courtes communications sur la théorie des probabilités, les questions générales de statistiques mathématiques et leurs applications dans les sciences naturelles et... ... Grande Encyclopédie Soviétique

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Par exemple, lorsque vous lancez une pièce de monnaie, vous ne pouvez pas prédire de quel côté elle atterrira. Le résultat du tirage au sort est aléatoire. Mais avec un nombre suffisamment grand de lancers de pièces, il existe un certain modèle (les armoiries et le dièse tomberont à peu près le même nombre de fois).

Concepts de base de la théorie des probabilités

Test (expérience, expérience) - la mise en œuvre d'un certain ensemble de conditions dans lesquelles tel ou tel phénomène est observé et tel ou tel résultat est enregistré.

Par exemple : lancer un dé et obtenir un certain nombre de points ; différence de température de l'air; méthode de traitement de la maladie; une période de la vie d'une personne.

Événement aléatoire (ou juste un événement) – résultat du test.

Exemples d'événements aléatoires :

obtenir un point en lançant un dé ;

exacerbation des maladies coronariennes avec une forte augmentation de la température de l'air en été ;

développement de complications de la maladie dues à un mauvais choix de méthode de traitement;

admission dans une université après des études scolaires réussies.

Les événements sont désignés par les lettres majuscules de l'alphabet latin : UN , B , C , …

L'événement s'appelle fiable , si à la suite du test cela doit nécessairement se produire.

L'événement s'appelle impossible , si à la suite du test, cela ne peut pas se produire du tout.

Par exemple, si tous les produits d’un lot sont standards, alors en extraire un produit standard est un événement fiable, mais extraire un produit défectueux dans les mêmes conditions est un événement impossible.

DÉFINITION CLASSIQUE DE LA PROBABILITÉ

La probabilité est l'un des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités.

Probabilité d'événement classique s'appelle le rapport du nombre de cas favorisant un événement , au nombre total de cas, soit

, (5.1)

Où
- probabilité d'événement ,

- nombre de cas favorables à l'événement ,

- nombre total de cas.

Propriétés de la probabilité d'un événement

La probabilité de tout événement est comprise entre zéro et un, c'est-à-dire

La probabilité d'un événement fiable est égale à un, c'est-à-dire

La probabilité d'un événement impossible est nulle, c'est-à-dire

(Proposez de résoudre oralement plusieurs problèmes simples).

DÉTERMINATION STATISTIQUE DE LA PROBABILITÉ

En pratique, l’estimation des probabilités d’événements repose souvent sur la fréquence à laquelle un événement donné se produira dans les tests effectués. Dans ce cas, la définition statistique de la probabilité est utilisée.

Probabilité statistique d'un événement appelée limite de fréquence relative (le rapport du nombre de cas m, favorable à la survenance d'un événement , au nombre total tests effectués), lorsque le nombre de tests tend vers l'infini, c'est-à-dire

Où
- probabilité statistique d'un événement ,
- nombre d'essais dans lesquels l'événement est apparu , - nombre total de tests.

Contrairement à la probabilité classique, la probabilité statistique est une caractéristique de la probabilité expérimentale. La probabilité classique est utilisée pour calculer théoriquement la probabilité d'un événement dans des conditions données et ne nécessite pas que des tests soient effectués dans la réalité. La formule de probabilité statistique est utilisée pour déterminer expérimentalement la probabilité d'un événement, c'est-à-dire on suppose que les tests ont été réellement effectués.

La probabilité statistique est approximativement égale à la fréquence relative d'un événement aléatoire. Par conséquent, en pratique, la fréquence relative est considérée comme la probabilité statistique, car la probabilité statistique est pratiquement impossible à trouver.

La définition statistique de la probabilité s'applique aux événements aléatoires qui ont les propriétés suivantes :

Théorèmes d'addition et de multiplication de probabilité

Concepts de base

a) Les seuls événements possibles

Événements
Ils sont appelés les seuls possibles si, à la suite de chaque test, au moins l'un d'entre eux se produira certainement.

Ces événements forment un groupe complet d'événements.

Par exemple, lors du lancement d'un dé, les seuls événements possibles sont les camps avec un, deux, trois, quatre, cinq et six points. Ils forment un ensemble complet d'événements.

b) Les événements sont dits incompatibles, si la survenance de l’un d’eux exclut la survenance d’autres événements dans le même procès. Sinon, ils sont appelés conjoints.

c) En face nommez deux événements uniquement possibles qui forment un groupe complet. Désigner Et .

G) Les événements sont dits indépendants, si la probabilité de survenance de l'un d'eux ne dépend pas de la commission ou de la non-réalisation des autres.

Actions sur les événements

La somme de plusieurs événements est un événement constitué par la survenance d'au moins un de ces événements.

Si Et – les événements communs, puis leur somme
ou
désigne l'occurrence de l'un ou l'autre de l'événement A, ou de l'événement B, ou des deux événements ensemble.

Si Et – les événements incompatibles, puis leur somme
désigne une occurrence ou des événements , ou des événements .

Montant les événements signifient :

Le produit (intersection) de plusieurs événements est un événement constitué de la survenance conjointe de tous ces événements.

Le produit de deux événements est noté
ou
.

Travail les événements représentent

Théorème pour ajouter des probabilités d'événements incompatibles

La probabilité de la somme de deux ou plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de ces événements :

Pour deux événements ;

- Pour événements.

Conséquences:

a) Somme des probabilités d'événements opposés Et égal à un :

La probabilité de l’événement opposé est notée :
.

b) Somme des probabilités d'événements formant un ensemble complet d'événements est égal à un : ou
.

Théorème d'addition de probabilités d'événements conjoints

La probabilité de la somme de deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements sans les probabilités de leur intersection, c'est-à-dire

Théorème de multiplication de probabilité

a) Pour deux événements indépendants :

b) Pour deux événements dépendants

Où
– probabilité conditionnelle d’un événement , c'est-à-dire probabilité d'un événement , calculé sous la condition que l'événement arrivé.

c) Pour événements indépendants :

d) Probabilité qu'au moins un des événements se produise , formant un ensemble complet d'événements indépendants :

Probabilité conditionnelle

Probabilité de l'événement , calculé en supposant que l'événement s'est produit , est appelée probabilité conditionnelle de l'événement et est désigné
ou
.

Lors du calcul de la probabilité conditionnelle à l'aide de la formule de probabilité classique, le nombre de résultats Et
calculé en tenant compte du fait qu'avant que l'événement ne se produise un événement s'est produit .