Equations avec paramètres : méthode de résolution graphique

8e-9e années

L'article traite d'une méthode graphique pour résoudre certaines équations avec paramètres, qui est très efficace lorsque vous devez établir le nombre de racines d'une équation en fonction du paramètre. un.

Problème 1. Combien de racines l’équation a-t-elle ? | | X | – 2 | = un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | | X | – 2 | et y = un. Graphique de la fonction y = | | X | – 2 | montré sur la figure.

Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si un = 0).

D'après le dessin, on peut voir que :

Si un= 0, alors droite y = un coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | | X |
– 2 | deux points communs ; cela signifie que l'équation originale a deux racines (dans ce cas, les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = d 2).< un < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Si 0 un Si
Si 0 un= 2, alors la droite y = 2 a trois points communs avec le graphique de la fonction. L’équation originale a alors trois racines. un> 2, alors droite y =

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un < 0, то корней нет;
Si un = 0, un Si
Si un> 2, alors il y a deux racines ;
= 2, puis trois racines ;< un < 2, то четыре корня.

si 0 Problème 2. Combien de racines l’équation a-t-elle ? un en fonction du paramètre un?

| x2 – 2| X | – 3 | = un.

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | x2 – 2| X | – 3 | et y = un = 0).

Graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | montré sur la figure. Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à Ox ou coïncidant avec lui (quand

Si un= 0, alors droite y = un Sur le dessin, vous pouvez voir : un coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | deux points communs, ainsi que la droite y = un aura avec le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | deux points communs à un> 4. Alors, quand un= 0 et
– 2 | deux points communs ; cela signifie que l'équation originale a deux racines (dans ce cas, les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = d 2).< un < 3, то прямая y = un> 4 l'équation originale a deux racines. un a avec le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | un quatre points communs, ainsi que la droite y=< un < 3, un aura quatre points communs avec le graphe de la fonction construite à
Si 0 un= 4. Donc, à 0 un= 4 l'équation originale a quatre racines.
= 3, puis droite y =< un < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Si 0 un < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un < 0, то корней нет;
Si un = 0, un coupe le graphique d'une fonction en cinq points ; l’équation a donc cinq racines.
= 2, puis trois racines ;< un < 3, un Si 3
Si un> 4, alors il y a deux racines ;
= 4, alors il y a quatre racines ;< un < 4, то шесть корней.

= 3, puis cinq racines ;

si 3 un?

Solution. Construisons un graphique de la fonction dans le système de coordonnées (x; y) mais présentons-le d'abord sous la forme :

Les droites x = 1, y = 1 sont des asymptotes du graphique de la fonction. Graphique de la fonction y = | X | + un obtenu à partir du graphique de la fonction y = | X | déplacement d'unités a le long de l'axe Oy.

Graphiques de fonctions se croisent en un point à un> – 1 ; Cela signifie que l'équation (1) pour ces valeurs de paramètres a une solution.

À un = – 1, un= – 2 graphiques se coupent en deux points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation (1) a deux racines.
À – 2< un < – 1, un < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un> – 1, puis une solution ;
Si un = – 1, un= – 2, alors il y a deux solutions ;
si – 2< un < – 1, un < – 1, то три решения.

Commentaire. Lors de la résolution de l'équation (1) du problème 3, une attention particulière doit être accordée au cas où un= – 2, puisque le point (– 1 ; – 1) n'appartient pas au graphique de la fonction mais appartient au graphe de la fonction y = | X | + un.

Passons à la résolution d'un autre problème.

Problème 4. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

x + 2 = un| x – 1 |

si 3 un?

(2) un Solution. Notez que x = 1 n'est pas une racine de cette équation, puisque l'égalité 3 = un· 0 ne peut être vrai pour aucune valeur de paramètre . Divisons les deux côtés de l'équation par | x – 1 |(| x – 1 | No. 0), alors l'équation (2) prendra la forme

Dans le système de coordonnées xOy nous tracerons la fonction un Le graphique de cette fonction est présenté sur la figure. Graphique de la fonction y = un = 0).

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si
Ј – 1, alors il n’y a pas de racines ;< un si – 1
Si unЈ 1, puis une racine ;

> 1, alors il y a deux racines.

Considérons l'équation la plus complexe. un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

unéquation

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

a trois solutions ? un Solution. 1. La valeur de contrôle du paramètre pour cette équation sera le nombre un= 0, auquel l'équation (3) prend la forme 0 + | x – 1 | = 0, d'où x = 1. Par conséquent, lorsque

= 0, l'équation (3) a une racine, ce qui ne satisfait pas aux conditions du problème. un № 0.

2. Considérons le cas où un Réécrivons l'équation (3) sous la forme suivante : un < 0.

x2 = – | x – 1 |. Notez que l'équation n'aura de solutions que lorsque un Dans le système de coordonnées xOy nous construirons des graphiques des fonctions y = | x – 1 | et y = un x2 . Graphique de la fonction y = | x – 1 | montré sur la figure. Graphique de la fonction y = un < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, puisque un L'équation (3) n'aura trois solutions que lorsque la droite y = – x + 1 est tangente au graphique de la fonction y=

x2 . un Soit x 0 l'abscisse du point de tangence de la droite y = – x + 1 avec la parabole y =

x2 . L'équation tangente a la forme

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Écrivons les conditions de tangence :

Considérons une autre méthode. Utilisons le fait que si la droite y = kx + b a un seul point commun avec la parabole y = un x 2 + px + q, alors l'équation un x 2 + px + q = kx + b doit avoir une solution unique, c'est-à-dire que son discriminant est nul. Dans notre cas, nous avons l'équation un x 2 = – x + 1 ( un n°0). Équation discriminante

Problèmes à résoudre de manière autonome

6. Combien de racines l'équation a-t-elle en fonction du paramètre un?

1)| | X | – 3 | = un;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = un;
3)| x2 – 4| X | + 3 | = un;
4)| x2 – 6| X | + 5 | = un.

1) si un<0, то корней нет; если un=0, un>3, puis deux racines ; Si un=3, puis trois racines ; si 0<un<3, то четыре корня;
2) si un<1, то корней нет; если un=1, alors il existe un ensemble infini de solutions de l'intervalle [– 2; un– 1]; Si
> 1, alors il y a deux solutions ; un<0, то корней нет; если un=0, un<3, то четыре корня; если 0<un<1, то восемь корней; если un 3) si un=1, puis six racines ; Si un=3, alors il y a trois solutions ; Si
>3, alors il y a deux solutions ; un<0, то корней нет; если un=0, 4<un<5, то четыре корня; если 0<un< 4, то восемь корней; если un 4) si un=4, puis six racines ; Si un=5, puis trois racines ; Si

>5, alors il y a deux racines. un 7. Combien de racines l'équation a-t-elle | x + 1 | = un?

(x – 1) selon le paramètre .

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Réponse : si un > 1, un J-1,<un<0, то два корня; если 0<un=0, puis une racine ; si – 1

Ј 1, alors il n’y a pas de racines. un 8. Combien de racines l’équation x + 1 = a-t-elle ? un?

| x – 1 |selon le paramètre

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Dessinez un graphique (voir image).<unЈ –1, alors il n’y a pas de racines ; si – 1 unЈ 1, puis une racine ; Si

>1, alors il y a deux racines.

9. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

si 3 un?

2| X | – 1 = une(x – 1)

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Note. Réduire l'équation pour former un>2, un J-2,<un<1, то два корня; если 1<un=1, puis une racine ; si –2

Ј 2, alors il n’y a pas de racines.

si 3 un?

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme unЈ 0, un 10. Combien de racines l’équation a-t-elle ?<un<2, то два корня.

je 2, puis une racine ; si 0 un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

11. A quelles valeurs du paramètre un x2 +

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 un Note. Réduisez l’équation à la forme x 2 = –

| x – 2 |. un Réponse : quand

J-8. un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

un 12. A quelles valeurs du paramètre

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

x2 + | x + 1 | = 0 un Note. Utilisez le problème 5. Cette équation a trois solutions seulement si l’équation un x 2 + x + 1 = 0 a une solution, et le cas

= 0 ne satisfait pas aux conditions du problème, c'est-à-dire que le cas demeure lorsque

13. Combien de racines l’équation a-t-elle ? un

si 3 un?

X | x – 2 | = 1 – Note. Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 =

si 3 un?

un

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un<0, un Note. Construisez des graphiques des côtés gauche et droit de cette équation. un>2, alors il y a deux racines ; si 0Ј

Ј 2, puis une racine.

si 3 un?

16. Combien de racines l’équation a-t-elle ? Note. Construisez des graphiques des côtés gauche et droit de cette équation. Pour représenter graphiquement une fonction

Note. Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Trouvons les intervalles de signe constant des expressions x + 2 et x : un>– 1, puis une solution ; Si<un<–1, то четыре решения; если un= – 1, alors il y a deux solutions ; si – 3

Ј –3, alors il y a trois solutions.

Ce sujet fait partie intégrante du cours d'algèbre scolaire. Le but de ce travail est d'étudier ce sujet plus en profondeur, d'identifier la solution la plus rationnelle qui conduit rapidement à une réponse. Cet essai aidera les autres étudiants à comprendre l'utilisation de la méthode graphique pour résoudre des équations avec paramètres, à découvrir l'origine et le développement de cette méthode.

Télécharger:

Aperçu :

Introduction2

Chapitre 1. Équations avec un paramètre

Histoire de l'émergence des équations avec paramètre3

Théorème de Vieta4

Concepts de base5

Chapitre 2. Types d'équations avec paramètres.

Équations linéaires6

Équations quadratiques……………………………………………………………......7

Chapitre 3. Méthodes de résolution d'équations avec un paramètre

Méthode analytique….…………………………………………......8

Méthode graphique. Histoire d'origine….…………………………9

Algorithme de solution par méthode graphique..……………....…………….10

Solution de l'équation de module………………...…………………………….11

Partie pratique…………………...……………………………………12

Conclusion………………………………………………………………………………….19

Références……………………………………………………………20

Introduction.

J'ai choisi ce sujet car il fait partie intégrante du cours d'algèbre scolaire. En préparant ce travail, je me suis fixé pour objectif une étude plus approfondie de ce sujet, en identifiant la solution la plus rationnelle qui mène rapidement à une réponse. Mon essai aidera d'autres étudiants à comprendre l'utilisation de la méthode graphique pour résoudre des équations avec paramètres, à découvrir l'origine et le développement de cette méthode.

Dans la vie moderne, l'étude de nombreux processus physiques et modèles géométriques conduit souvent à résoudre des problèmes liés aux paramètres.

Pour résoudre de telles équations, la méthode graphique est très efficace lorsqu'il est nécessaire de déterminer le nombre de racines de l'équation en fonction du paramètre α.

Les problèmes avec des paramètres ont un intérêt purement mathématique, contribuent au développement intellectuel des étudiants et constituent un bon matériel pour mettre en pratique les compétences. Ils ont une valeur diagnostique, car ils peuvent être utilisés pour tester les connaissances des principales branches des mathématiques, le niveau de pensée mathématique et logique, les compétences initiales en recherche et les opportunités prometteuses pour maîtriser avec succès un cours de mathématiques dans les établissements d'enseignement supérieur.

Mon essai traite des types d'équations fréquemment rencontrés et j'espère que les connaissances que j'ai acquises au cours du travail m'aideront lors de la réussite des examens scolaires, caréquations avec paramètressont à juste titre considérés comme l'un des problèmes les plus difficiles des mathématiques scolaires. Ce sont précisément ces tâches qui sont incluses dans la liste des tâches de l'examen d'État unifié.

Histoire de l'émergence des équations avec un paramètre

Des problèmes sur les équations avec un paramètre ont déjà été rencontrés dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

αx 2 + bx = c, α>0

Les coefficients de l'équation, à l'exception du paramètre, peut aussi être négatif.

Équations quadratiques par al-Khwarizmi.

Dans le traité algébrique, al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques avec le paramètre a. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire αx 2 = boîte.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire αx 2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire αx = c.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire αx 2 + c = bx.

5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire αx 2 + bx = c.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = αx 2 .

Les formules permettant de résoudre les équations quadratiques selon al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre du Boulier », écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique avec un paramètre sous forme générale est disponible auprès de Vieta, mais Vieta n'a reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XIIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques a acquis sa forme moderne.

Théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les paramètres, coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591. Comme suit : « Si b + d multiplié par α moins α 2 , est égal à bc, alors α est égal à b et égal à d.

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que α, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre x), tandis que les voyelles b, d sont des coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie :

S'il y a

(α + b)x - x 2 = αb,

Autrement dit, x 2 - (α -b)x + αb =0,

alors x 1 = α, x 2 = b.

En exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations avec des formules générales écrites à l'aide de symboles, Vieta a établi l'uniformité des méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin de sa forme moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

Concepts de base

Paramètre - une variable indépendante dont la valeur est considérée comme un nombre fixe ou arbitraire, ou un nombre appartenant à l'intervalle spécifié par la condition du problème.

Équation avec paramètre— mathématiqueéquation, apparence et dont la solution dépend des valeurs d'un ou plusieurs paramètres.

Décider équation avec des moyennes de paramètres pour chaque valeurtrouver les valeurs de x qui satisfont cette équation, et aussi :

1. 1. Recherchez à quelles valeurs de paramètres l'équation a des racines et combien il y en a pour différentes valeurs de paramètres.
2. 2. Trouvez toutes les expressions pour les racines et indiquez pour chacune d'elles les valeurs des paramètres pour lesquelles cette expression détermine réellement la racine de l'équation.

Considérons l'équation α(x+k)= α +c, où α, c, k, x sont des quantités variables.

Système de valeurs admissibles des variables α, c, k, xest tout système de valeurs variables dans lequel les côtés gauche et droit de cette équation prennent des valeurs réelles.

Soit A l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de α, K l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de k, X l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de x, C l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de c. Si pour chacun des ensembles A, K, C, X nous sélectionnons et fixons, respectivement, une valeur α, k, c et les substituons dans l'équation, alors nous obtenons une équation pour x, c'est-à-dire équation à une inconnue.

Les variables α, k, c, qui sont considérées comme constantes lors de la résolution d'une équation, sont appelées paramètres, et l'équation elle-même est appelée une équation contenant des paramètres.

Les paramètres sont désignés par les premières lettres de l'alphabet latin : α, b, c, d, ..., k, l, m, n, et les inconnues sont désignées par les lettres x, y, z.

Deux équations contenant les mêmes paramètres sont appeléeséquivalent si :

a) ils ont un sens pour les mêmes valeurs de paramètres ;

b) toute solution de la première équation est une solution de la seconde et vice versa.

Types d'équations avec paramètres

Les équations avec paramètres sont : linéaires et carré.

1) Équation linéaire. Vue générale :

α x = b, où x est inconnu ;α, b - paramètres.

Pour cette équation, la valeur spéciale ou de contrôle du paramètre est celle à laquelle le coefficient de l'inconnue devient nul.

Lors de la résolution d'une équation linéaire avec un paramètre, les cas sont pris en compte lorsque le paramètre est égal à sa valeur spéciale et différent de celle-ci.

Une valeur spéciale du paramètre α est la valeurα = 0.

1.Si, et ≠0, alors pour toute paire de paramètresα et b il a une solution unique x = .

2.Si, et =0, alors l'équation prend la forme :0 x = b . Dans ce cas la valeur b = 0 est une valeur de paramètre spécial b.

2.1. À b ≠ 0 l'équation n'a pas de solution.

2.2. À b =0 l'équation prendra la forme :0 x =0.

La solution de cette équation est n’importe quel nombre réel.

Équation quadratique avec paramètre.

Vue générale :

α x 2 + bx + c = 0

où paramètre α ≠0, b et c - nombres arbitraires

Si α =1, alors l’équation est appelée équation quadratique réduite.

Les racines d'une équation quadratique se trouvent à l'aide des formules

Expression D = b 2 - 4 αc est appelé discriminant.

1. Si D> 0, l'équation a deux racines différentes.

2. Si D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Si D = 0, l'équation a deux racines égales.

Méthodes de résolution d'équations avec un paramètre :

1. Analytique - une méthode de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse dans une équation sans paramètres.
2. Graphique - en fonction des conditions du problème, la position du graphique de la fonction quadratique correspondante dans le système de coordonnées est prise en compte.

Méthode analytique

Algorithme de solution :

1. Avant de commencer à résoudre un problème avec des paramètres à l'aide de la méthode analytique, vous devez comprendre la situation pour une valeur numérique spécifique du paramètre. Par exemple, prenons la valeur du paramètre α =1 et répondez à la question : la valeur du paramètre α =1 est-elle requise pour cette tâche.

Exemple 1. Résoudre relativement X équation linéaire avec paramètre m:

D'après la signification du problème (m-1)(x+3) = 0, soit m= 1, x = -3.

En multipliant les deux côtés de l'équation par (m-1)(x+3), on obtient l'équation

Nous obtenons

Donc à m= 2,25.

Nous devons maintenant vérifier s'il existe des valeurs de m pour lesquelles

la valeur de x trouvée est -3.

en résolvant cette équation, nous trouvons que x est égal à -3 avec m = -0,4.

Réponse : avec m=1, m =2,25.

Méthode graphique. Histoire d'origine

L'étude des dépendances communes débute au XIVe siècle. La science médiévale était scolastique. Avec cette nature, il n'y avait plus de place pour l'étude des dépendances quantitatives ; il s'agissait uniquement des qualités des objets et de leurs connexions les uns avec les autres. Mais parmi les scolastiques est née une école qui soutenait que les qualités peuvent être plus ou moins intenses (le vêtement d'une personne tombée dans une rivière est plus mouillé que celui de quelqu'un qui vient d'être surpris sous la pluie).

Le scientifique français Nikolai Oresme a commencé à représenter l'intensité avec la longueur des segments. Lorsqu'il plaçait ces segments perpendiculairement à une certaine ligne droite, leurs extrémités formaient une ligne, qu'il appelait la « ligne d'intensité » ou la « ligne du bord supérieur » (le graphique de la dépendance fonctionnelle correspondante qu'Oresme a même étudié « planaire »). » et des qualités « physiques », c'est-à-dire des fonctions, dépendant de deux ou trois variables.

La réalisation importante d'Oresme fut sa tentative de classifier les graphiques résultants. Il a identifié trois types de qualités : Uniforme (à intensité constante), uniforme-inégale (avec un taux de changement d'intensité constant) et inégale-inégale (tous les autres), ainsi que les propriétés caractéristiques des graphiques de ces qualités.

Pour créer un appareil mathématique permettant d'étudier les graphiques de fonctions, le concept de variable était nécessaire. Ce concept a été introduit dans la science par le philosophe et mathématicien français René Descartes (1596-1650). C'est Descartes qui a eu l'idée de l'unité de l'algèbre et de la géométrie et du rôle des variables ; Descartes a introduit un segment unitaire fixe et a commencé à considérer les relations des autres segments avec celui-ci.

Ainsi, les graphiques de fonctions sur toute la période de leur existence ont subi un certain nombre de transformations fondamentales, qui les ont conduits à la forme à laquelle nous sommes habitués. Chaque étape ou étape du développement des graphes de fonctions fait partie intégrante de l'histoire de l'algèbre et de la géométrie modernes.

La méthode graphique permettant de déterminer le nombre de racines d'une équation en fonction du paramètre qu'elle contient est plus pratique que la méthode analytique.

Algorithme de résolution par méthode graphique

Graphique d'une fonction - un ensemble de points auxquelsabscissesont des valeurs d'argument valides, UN ordonnées- valeurs correspondantesfonctions.

Algorithme de résolution graphique d'équations avec un paramètre :

1. Trouvez le domaine de définition de l'équation.
2. On exprime α en fonction de x.
3. Dans le système de coordonnées, nous construisons un graphique de la fonctionα (x) pour les valeurs de x qui sont incluses dans le domaine de définition de cette équation.
4. Trouver les points d'intersection d'une ligneα =с, avec le graphique de la fonction

α(x). Si la droite α =с traverse le graphiqueα (x), puis on détermine les abscisses des points d'intersection. Pour ce faire, il suffit de résoudre l'équation c = α (x) par rapport à x.

1. Écrivez la réponse

Résolution d'équations avec module

Lors de la résolution graphique d'équations avec un module contenant un paramètre, il est nécessaire de construire des graphiques de fonctions et de considérer tous les cas possibles pour différentes valeurs du paramètre.

Par exemple, │x│= une,

Réponse : si un < 0, то нет корней, a > 0, alors x = a, x = - a, si a = 0, alors x = 0.

Résolution de problèmes.

Problème 1. Combien de racines l’équation a-t-elle ?| | X | - 2 | = un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | | X | - 2 | et y = un . Graphique de la fonction y = | | X | - 2 | montré sur la figure.

Graphique de la fonction y =α a = 0).

Sur le graphique, on peut voir que :

Si a = 0, alors la droite y = a coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | | X | - 2 | deux points communs ; cela signifie que l'équation originale a deux racines (dans ce cas, les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = + 2).
Si 0< a < 2, то прямая y = α a avec le graphique de la fonction y = | | X | - 2 | quatre points communs et, par conséquent, l’équation originale a quatre racines.
Si un = 2, alors la droite y = 2 a trois points communs avec le graphique de la fonction. L’équation originale a alors trois racines.
Si a > 2, alors droite y = a aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines.

Réponse : si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 2, alors il y a deux racines ;
si a = 2, alors il y a trois racines ;
si 0< a < 2, то четыре корня.

Problème 2. Combien de racines l’équation a-t-elle ?| x2 - 2| X | - 3 | = un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | x 2 - 2| X | - 3 | et y = une.

Graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 | montré sur la figure. Graphique de la fonction y =α est une droite parallèle à Ox ou coïncidant avec lui (quand une = 0).

Sur le graphique, vous pouvez voir :

Si a = 0, alors la droite y = a coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | x2 - 2| X | - 3 | deux points communs, ainsi que la droite y = un aura avec le graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 | deux points communs à a > 4. Donc, pour a = 0 et a > 4 l'équation originale a deux racines.
Si 0< un< 3, то прямая y = a a avec le graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 | quatre points communs, ainsi que la droite y= un aura quatre points communs avec le graphe de la fonction construite à a = 4. Donc, à 0< a < 3, a = 4 l'équation originale a quatre racines.
Si a = 3, puis droite y = a coupe le graphique d'une fonction en cinq points ; l’équation a donc cinq racines.
Si 3< un< 4, прямая y = α coupe le graphique de la fonction construite en six points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation d'origine a six racines.
Si un < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ne coupe pas le graphique de la fonction y = | x 2 - 2| X | - 3 |.

Réponse : si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 4, alors il y a deux racines ;
si 0< a < 3, a = 4, alors il y a quatre racines ;

si un = 3, puis cinq racines ;
si 3< a < 4, то шесть корней.

Problème 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

en fonction du paramètre un?

Solution. Construisons un graphique de la fonction dans le système de coordonnées (x; y)

mais présentons-le d'abord sous la forme :

Les droites x = 1, y = 1 sont des asymptotes du graphique de la fonction. Graphique de la fonction y = | X | + un obtenu à partir du graphique de la fonction y = | X | déplacement d'unités a le long de l'axe Oy.

Graphiques de fonctions se croisent en un point à un > - 1 ; Cela signifie que l'équation (1) pour ces valeurs de paramètres a une solution.

Lorsque a = - 1, a = - 2 graphiques se coupent en deux points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation (1) a deux racines.
À - 2< un< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Réponse : si un > - 1, puis une solution ;
si a = - 1, a = - 2, alors il y a deux solutions ;
si - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Commentaire. Lors de la résolution de l'équation du problème, une attention particulière doit être accordée au cas où un = - 2, puisque le point (- 1 ; - 1) n'appartient pas au graphe de la fonctionmais appartient au graphe de la fonction y = | X | + un.

Problème 4. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

x + 2 = une | x-1 |

en fonction du paramètre un?

Solution. Notez que x = 1 n'est pas une racine de cette équation, puisque l'égalité 3 = un 0 ne peut pas être vrai pour aucune valeur de paramètre un . Divisons les deux côtés de l'équation par | x-1 |(| x-1 |0), alors l’équation prend la formeDans le système de coordonnées xOy nous tracerons la fonction

Le graphique de cette fonction est présenté sur la figure. Graphique de la fonction y = un est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si une = 0).