Généralement, deux triangles sont considérés comme similaires s’ils ont la même forme, même s’ils sont de tailles différentes, tournés ou même inversés.
La représentation mathématique de deux triangles similaires A 1 B 1 C 1 et A 2 B 2 C 2 représentés sur la figure s'écrit comme suit :
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Deux triangles sont semblables si :
1. Chaque angle d'un triangle est égal à l'angle correspondant d'un autre triangle :
∠UNE 1 = ∠UNE 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Et ∠C1 = ∠C2
2. Les rapports des côtés d'un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux les uns aux autres :
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. Relations deux côtés un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux les uns aux autres et en même temps
les angles entre ces côtés sont égaux :
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ et $\angle A_1 = \angle A_2$
ou
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ et $\angle B_1 = \angle B_2$
ou
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ et $\angle C_1 = \angle C_2$
Ne confondez pas les triangles semblables avec les triangles égaux. Les triangles congrus ont des longueurs de côtés correspondantes égales. Donc pour les triangles congrus :
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
Il s'ensuit que tous les triangles égaux sont semblables. Cependant, tous les triangles semblables ne sont pas égaux.
Bien que la notation ci-dessus montre que pour savoir si deux triangles sont similaires ou non, il faut connaître les valeurs des trois angles ou les longueurs des trois côtés de chaque triangle, pour résoudre des problèmes avec des triangles similaires, il suffit de savoir trois des valeurs mentionnées ci-dessus pour chaque triangle. Ces quantités peuvent être dans diverses combinaisons :
1) trois angles de chaque triangle (vous n’avez pas besoin de connaître les longueurs des côtés des triangles).
Ou au moins 2 angles d'un triangle doivent être égaux à 2 angles d'un autre triangle.
Puisque si 2 angles sont égaux, alors le troisième angle sera également égal (la valeur du troisième angle est 180 - angle1 - angle2).
2) les longueurs des côtés de chaque triangle (vous n’avez pas besoin de connaître les angles) ;
3) les longueurs des deux côtés et l'angle qui les sépare.
Nous verrons ensuite résoudre quelques problèmes avec des triangles similaires. Nous examinerons d’abord les problèmes qui peuvent être résolus directement en utilisant les règles ci-dessus, puis discuterons de quelques problèmes pratiques qui peuvent être résolus en utilisant la méthode du triangle similaire.
Pratiquez des problèmes avec des triangles similaires
Exemple n°1 :
Montrez que les deux triangles de la figure ci-dessous sont semblables. 
Solution:
Puisque les longueurs des côtés des deux triangles sont connues, la deuxième règle peut être appliquée ici :
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
Exemple n°2 :
Montrer que deux triangles donnés sont semblables et déterminer les longueurs des côtés PQ Et RP.
Solution:
∠A = ∠P Et ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(puisque ∠C = 180 - ∠A - ∠B et ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)
Il en résulte que les triangles ΔABC et ΔPQR sont semblables. Ainsi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ et
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$
Exemple n°3 :
Déterminer la longueur AB dans ce triangle. 
Solution:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Et ∠UNE général => triangles ΔABC Et ΔADE sont semblables.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$
Exemple n°4 :
Déterminer la longueur AD (x) figure géométrique sur la photo. 
Les triangles ΔABC et ΔCDE sont similaires car AB || DE et ils ont un coin supérieur commun C.
Nous voyons qu’un triangle est une version à l’échelle de l’autre. Cependant, nous devons le prouver mathématiquement.
AB || DE, CD || AC et Colombie-Britannique || C.E.
∠BAC = ∠EDC et ∠ABC = ∠DEC
Sur la base de ce qui précède et en tenant compte de la présence d'un angle commun C, on peut affirmer que les triangles ΔABC et ΔCDE sont similaires.
Ainsi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57
Exemples pratiques
Exemple n°5 :
L'usine utilise un tapis roulant incliné pour transporter les produits du niveau 1 au niveau 2, qui est 3 mètres plus haut que le niveau 1, comme le montre la figure. Le convoyeur incliné est desservi d'une extrémité au niveau 1 et de l'autre extrémité jusqu'à un lieu de travail situé à une distance de 8 mètres du point de fonctionnement du niveau 1. 
L'usine souhaite moderniser le convoyeur pour accéder au nouveau niveau, situé 9 mètres au-dessus du niveau 1, tout en conservant l'angle d'inclinaison du convoyeur.
Déterminez la distance à laquelle le nouveau poste de travail doit être installé pour garantir que le convoyeur fonctionnera à sa nouvelle extrémité au niveau 2. Calculez également la distance supplémentaire que le produit parcourra lors du déplacement vers le nouveau niveau.
Solution:
Tout d’abord, étiquetons chaque point d’intersection avec une lettre spécifique, comme le montre la figure.
Sur la base du raisonnement donné ci-dessus dans les exemples précédents, nous pouvons conclure que les triangles ΔABC et ΔADE sont similaires. Ainsi,
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 millions de dollars
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m
Ainsi, le nouveau point doit être installé à une distance de 16 mètres du point existant.
Et puisque la structure est constituée de triangles rectangles, nous pouvons calculer la distance de mouvement du produit comme suit :
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
De même, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
qui est la distance que le produit parcourt actuellement lorsqu'il atteint le niveau existant.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
c'est la distance supplémentaire que le produit doit parcourir pour atteindre un nouveau niveau.
Exemple n°6 :
Steve veut rendre visite à son ami qui a récemment emménagé dans une nouvelle maison. La feuille de route vers Steve et la maison de son ami, ainsi que les distances connues de Steve, sont présentées sur la figure. Aidez Steve à rejoindre la maison de son ami le plus rapidement possible. 
Solution:
La feuille de route peut être représentée géométriquement sous la forme suivante, comme le montre la figure. 
On voit que les triangles ΔABC et ΔCDE sont semblables, donc :
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
L'énoncé du problème indique que :
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km et DE = 5 km
En utilisant ces informations, nous pouvons calculer les distances suivantes :
$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$
Steve peut se rendre chez son ami en empruntant les itinéraires suivants :
A -> B -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
L’itinéraire n°3 est donc le plus court et peut être proposé à Steve.
Exemple 7 :
Trisha veut mesurer la hauteur de la maison, mais elle n'a pas les bons outils. Elle remarque qu'un arbre pousse devant la maison et décide d'utiliser son ingéniosité et ses connaissances en géométrie acquises à l'école pour déterminer la hauteur du bâtiment. Elle a mesuré la distance entre l'arbre et la maison, le résultat était de 30 m. Elle s'est ensuite placée devant l'arbre et a commencé à reculer jusqu'à ce que le bord supérieur du bâtiment devienne visible au-dessus de la cime de l'arbre. Trisha a marqué cet endroit et a mesuré la distance entre celui-ci et l'arbre. Cette distance était de 5 m.
La hauteur de l'arbre est de 2,8 m et la hauteur des yeux de Trisha est de 1,6 m. Aidez Trisha à déterminer la hauteur du bâtiment. 
Solution:
La représentation géométrique du problème est présentée sur la figure. 
Nous utilisons d’abord la similarité des triangles ΔABC et ΔADE.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$
$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$
On peut alors utiliser la similarité des triangles ΔACB et ΔAFG ou ΔADE et ΔAFG. Choisissons la première option.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Rightarrow H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 millions de dollars
Questions les plus fréquemment posées
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228. Dans ce chapitre on entendra principalement par les désignations des segments AB, AC, etc., les nombres les exprimant.
Nous savons (item 226) que si deux segments a et b sont donnés géométriquement, alors nous pouvons construire une moyenne proportionnelle entre eux. Supposons maintenant que les segments soient donnés non pas géométriquement, mais par des nombres, c'est-à-dire que par a et b nous entendons des nombres exprimant 2 segments donnés. Ensuite, trouver le segment proportionnel moyen sera réduit à trouver le nombre x à partir de la proportion a/x = x/b, où a, b et x sont des nombres. De cette proportion nous avons :
x 2 = ab
x = √ab
229. Disons un triangle rectangle ABC (dessin 224).
Déposons une perpendiculaire BD du sommet de son angle droit (∠B droit) jusqu'à l'hypoténuse AC. Ensuite, à partir du paragraphe 225, nous savons :
1) AC/AB = AB/AD et 2) AC/BC = BC/DC.
De là, nous obtenons :
AB 2 = AC AD et BC 2 = AC DC.
En additionnant les égalités résultantes morceau par morceau, on obtient :
AB 2 + BC 2 = AC AD + AC DC = AC(AD + DC).
c'est-à-dire le carré du nombre exprimant l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des nombres exprimant les jambes du triangle rectangle.
En bref, ils disent : Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des jambes.
Si nous donnons à la formule résultante une interprétation géométrique, nous obtiendrons le théorème de Pythagore déjà connu (item 161) :
un carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur les pattes.
A partir de l'équation AB 2 + BC 2 = AC 2, il faut parfois trouver une branche d'un triangle rectangle en utilisant l'hypoténuse et une autre branche. On obtient par exemple :
AB 2 = AC 2 – BC 2 et ainsi de suite
230. La relation numérique trouvée entre les côtés d'un triangle rectangle nous permet de résoudre de nombreux problèmes informatiques. Résolvons certains d'entre eux :
1. Calculer l'aire d'un triangle équilatéral étant donné son côté.
Soit ∆ABC (dessin 225) équilatéral et chaque côté exprimé par un nombre a (AB = BC = AC = a). Pour calculer l'aire de ce triangle, il faut d'abord connaître sa hauteur BD, que nous appellerons h. On sait que dans un triangle équilatéral, la hauteur BD coupe la base AC en deux, c'est-à-dire AD = DC = a/2. Du triangle rectangle DBC on a donc :
BD2 = BC2 – DC2,
h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (effectuer une soustraction).
De là, nous avons :
(on retire le multiplicateur sous la racine).
Par conséquent, en appelant le nombre exprimant l'aire de notre triangle en fonction de Q et sachant que l'aire ∆ABC = (AC BD)/2, on trouve :
Nous pouvons considérer cette formule comme l'un des moyens de mesurer l'aire d'un triangle équilatéral : nous devons mesurer son côté en unités linéaires, mettre le nombre trouvé au carré, multiplier le nombre obtenu par √3 et diviser par 4 - nous obtenez l’expression de l’aire en unités carrées (correspondantes).
2. Les côtés du triangle sont 10, 17 et 21 lignes. unité Calculer sa superficie.
Abaissons la hauteur h dans notre triangle (dessin 226) vers le plus grand côté - il passera certainement à l'intérieur du triangle, puisque dans un triangle un angle obtus ne peut être situé qu'en face du plus grand côté. Ensuite, le plus grand côté, = 21, sera divisé en 2 segments, dont l'un sera noté x (voir dessin) - puis l'autre = 21 – x. On obtient deux triangles rectangles, dont on a :
h 2 = 10 2 – x 2 et h 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Puisque les côtés gauches de ces équations sont les mêmes, alors
10 2 – x 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Réaliser les actions que nous obtenons :
10 2 – x 2 = 289 – 441 + 42x – x 2
En simplifiant cette équation, on trouve :
Alors à partir de l'équation h 2 = 10 2 – x 2, on obtient :
h 2 = 10 2 – 6 2 = 64
et donc
Ensuite, la zone requise sera trouvée :
Q = (21 8)/2 carré. unité = 84 m² unité
3. Vous pouvez résoudre un problème général :
comment calculer l'aire d'un triangle en fonction de ses côtés ?
Soit les côtés du triangle ABC exprimés par les nombres BC = a, AC = b et AB = c (dessin 227). Supposons que AC soit le côté le plus grand ; alors la hauteur BD ira à l’intérieur de ∆ABC. Appelons : BD = h, DC = x puis AD = b – x.
D'après ∆BDC nous avons : h 2 = a 2 – x 2 .
De ∆ABD nous avons : h 2 = c 2 – (b – x) 2,
d'où a 2 – x 2 = c 2 – (b – x) 2.
En résolvant cette équation, on obtient systématiquement :
2bx = a 2 + b 2 – c 2 et x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.
(Ce dernier s'écrit sur la base que le numérateur 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 peut être considéré comme une égalité de carrés, que l'on décompose en produit de la somme et de la différence).
Cette formule se transforme en introduisant le périmètre du triangle, que l'on note 2p, soit
En soustrayant 2c des deux côtés de l'égalité, on obtient :
a + b + c – 2c = 2p – 2c ou a + b – c = 2(p – c) :
Nous retrouverons également :
c + a – b = 2(p – b) et c – a + b = 2(p – a).
On obtient alors :
(p exprime le demi-périmètre du triangle).
Cette formule peut être utilisée pour calculer l'aire d'un triangle en fonction de ses trois côtés.
231. Exercices.
232. Au paragraphe 229, nous avons trouvé la relation entre les côtés d'un triangle rectangle. Vous pouvez trouver une relation similaire pour les côtés (avec l’ajout d’un autre segment) d’un triangle oblique.
Disons d'abord ∆ABC (dessin 228) tel que ∠A soit aigu. Essayons de trouver une expression pour le carré du côté BC situé en face de cet angle aigu (de la même manière qu'au paragraphe 229 nous avons trouvé l'expression du carré de l'hypoténuse).
En construisant BD ⊥ AC, on obtient du triangle rectangle BDC :
BC 2 = BD 2 + DC 2
Remplaçons BD2 par le définissant à partir de ABD, d'où nous avons :
BD 2 = AB 2 – AD 2,
et remplacez le segment DC par AC – AD (évidemment, DC = AC – AD). On obtient alors :
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 – 2AC AD + AD 2
En réduisant les termes similaires, on trouve :
BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC AD.
Cette formule s'écrit : le carré du côté d'un triangle opposé à l'angle aigu est égal à la somme des carrés de ses deux autres côtés, moins le double du produit de l'un de ces côtés par son segment depuis le sommet de l'angle aigu jusqu'à la hauteur.
233. Soit maintenant ∠A et ∆ABC (dessin 229) obtus. Trouvons une expression du carré du côté BC opposé à l'angle obtus.
Ayant construit la hauteur BD, elle sera maintenant située légèrement différemment : sur 228 où ∠A est pointu, les points D et C sont situés d'un côté de A, et ici, où ∠A est obtus, les points D et C seront situés sur les côtés opposés de A. Alors à partir du rectangulaire ∆BDC on obtient :
BC 2 = BD 2 + DC 2
On peut remplacer BD2 en le définissant à partir du rectangulaire ∆BDA :
BD 2 = AB 2 – AD 2,
et le segment DC = AC + AD, ce qui est évident. En remplaçant, on obtient :
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
En effectuant la réduction de termes similaires, nous trouvons :
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
c'est-à-dire le carré du côté d'un triangle opposé à l'angle obtus est égal à la somme des carrés de ses deux autres côtés, plus le double du produit de l'un d'eux par son segment depuis le sommet de l'angle obtus jusqu'à la hauteur.
Cette formule, ainsi que la formule du paragraphe 232, admettent une interprétation géométrique facile à trouver.
234. Utiliser les propriétés des paragraphes. 229, 232, 233, nous pouvons, si l'on connaît les côtés d'un triangle en chiffres, découvrir si le triangle a un angle droit ou un angle obtus.
Un angle droit ou obtus dans un triangle ne peut être situé qu'en face du plus grand côté ; quel est l'angle opposé, il est facile de le savoir : cet angle est aigu, droit ou obtus, selon que le carré du plus grand côté est inférieur à , égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres côtés .
Découvrez si les triangles suivants, définis par leurs côtés, ont un angle droit ou obtus :
1) 15 heures, 13 heures. et 14 po ; 2) 20, 29 et 21 ; 3) 11, 8 et 13 ; 4) 7, 11 et 15.
235. Disons un parallélogramme ABCD (dessin 230) ; Construisons ses diagonales AC et BD et ses altitudes BK ⊥ AD et CL ⊥ AD.
Alors, si ∠A (∠BAD) est pointu, alors ∠D (∠ADC) est certainement obtus (puisque leur somme = 2d). A partir de ∆ABD, où ∠A est considéré comme aigu, on a :
BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD AK,
et de ∆ACD, où ∠D est obtus, on a :
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Dans la dernière formule, remplaçons le segment AD par le segment BC qui lui est égal et DL par le segment AK qui lui est égal (DL = AK, car ∆ABK = ∆DCL, ce qui est facile à voir). On obtient alors :
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.
En additionnant l'expression pour BD2 avec la dernière expression pour AC 2, on trouve :
BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
puisque les termes –2AD · AK et +2AD · AK s'annulent. On peut lire l’égalité résultante :
La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés.
236. Calculer la médiane et la bissectrice d'un triangle à partir de ses côtés. Soit la médiane BM construite dans le triangle ABC (dessin 231) (c'est-à-dire AM = MC). Connaissant les côtés ∆ABC : BC = a, AC = b et AB = c, calculez la médiane BM.
Continuons BM et mettons de côté le segment MD = BM. En connectant D avec A et D avec C, on obtient le parallélogramme ABCD (c'est facile à comprendre, puisque ∆AMD = ∆BMC et ∆AMB = ∆DMC).
En appelant la médiane BM en fonction de m, on obtient BD = 2m puis, en utilisant le paragraphe précédent, on a :
237. Calcul du rayon circonscrit à un triangle d'un cercle. Soit un cercle O autour de ∆ABC (dessin 233). Construisons le diamètre du cercle BD, la corde AD et la hauteur du triangle BH.
Alors ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - l'angle A est un angle droit, car il est inscrit, basé sur le diamètre BD et ∠D = ∠C, tel qu'inscrit, basé sur un arc AB). Nous avons donc :
ou, en appelant le rayon OB par R, la hauteur BH par h, et les côtés AB et BC, comme précédemment, respectivement par c et a :
mais aire ∆ABC = Q = bh/2, d'où h = 2Q/b.
Par conséquent, R = (abc) / (4Q).
On peut (item 230 du problème 3) calculer l'aire du triangle Q en fonction de ses côtés. De là, nous pouvons calculer R à partir des trois côtés du triangle.
238. Calcul du rayon d'un cercle inscrit dans un triangle. Écrivons dans ∆ABC dont les côtés sont donnés (dessin 234), un cercle O. Reliant son centre O aux sommets du triangle et aux points tangents D, E et F des côtés au cercle, on constatez que les rayons du cercle OD, OE et OF servent de hauteurs aux triangles BOC, COA et AOB.
En appelant le rayon du cercle inscrit passant par r, on a :
1.4.1. Quatre points merveilleux dans un triangle
Les médianes d'un triangle se coupent en un point et s'y divisent selon un rapport partant du sommet. Ce point est appelé centre de gravité.
Les altitudes d'un triangle se coupent en un point. Ce point est appelé orthocentre.
Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point. Ce point est le centre du cercle inscrit.
Les perpendiculaires tracées aux côtés d'un triangle passant par leurs milieux se coupent en un point. Ce point est le centre du cercle circonscrit.
1.4.2. Ligne médiane du triangle
Parallèle à la base.
Égal à la moitié de la base.
Divise en deux tout segment reliant le sommet d'un triangle à n'importe quel point à la base.
1.4.3. Propriété de la bissectrice du triangle
Dessinons ensuite une bissectrice dans un triangle (la bissectrice divise la base en parties proportionnelles aux côtés).
1.4.4. Déterminer le type de triangle en fonction de ses côtés
Soit c le plus grand des trois côtés du triangle.
Si alors le triangle est aigu.
Si le triangle est rectangle.
Si le triangle est obtus.
1.4.5. Carré
1.4.6. Formules de calcul des rayons R et r
1.4.7. Relations entre côtés et angles
(théorème du cosinus).
(théorème du sinus).
1.4.8. Trois théorèmes d'aire importants
Si deux triangles sont semblables, alors leurs aires sont les mêmes que les carrés de leurs côtés correspondants.
Si deux triangles ont des bases égales, alors les aires sont liées par les hauteurs correspondantes.
Si une hauteur d'un triangle est égale à une hauteur d'un autre triangle, alors les aires sont liées comme les côtés sur lesquels ces hauteurs sont dessinées.
Mesuré par une unité, alors le carré du nombre exprimant l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des nombres exprimés en appuyant sur les jambes.
Ce théorème est généralement exprimé de manière abrégée comme suit :
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.
Cette relation a été remarquée pour la première fois par le géomètre grec Pythagore (VIe siècle avant JC) et porte donc son nom - Théorème de Pythagore .
Théorème.
angle aigu, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés sans le double du produit de l'un de ces côtés par son segment depuis le sommet de l'angle aigu jusqu'à la hauteur.
Laisser BAVEC- côté du triangle ABAVEC(Fig. 1 et Fig. 2), situé à l'opposé de l'angle aigu UN, Et BD- hauteur abaissée sur l'un des autres côtés, par exemple sur UNAVEC(ou sa suite). Il est nécessaire de prouver que :
Colombie-Britannique 2 = AB 2 + UNC2-2UNS.A.D.
Des triangles rectangles BDC Et ABD nous sortons :
avant JC 2= BD2+DAVEC 2 [ 1 ] ;
BD2= AB2-AD 2 [ 2] .
De l'autre côté : DAVEC= AC-AD(Fig.1) ou DAVEC= UND-COMME(Fig.2). Dans les deux cas pour DAVEC 2 on obtient la même expression :
DAVEC 2 = (UNAVEC-UND) 2 = UNAVEC 2 -2AAVEC . UND + UND 2 ;
DAVEC 2 = (UND-UNAVEC) 2 = UND 2 -2AD . UNAVEC + UNAVEC 2 .
Remplacer par l'égalité à la place BD2 Et DC2 leurs expressions à partir des égalités et , on obtient :
avant JC 2= AB2 - UN D 2 + UNAVEC 2 - 2 AAVEC . UND + UN D 2 .
C'est l'égalité, après la réduction des membres -UND 2 Et + UND 2 , et c’est précisément ce qui devait être prouvé.
Commentaire. Le théorème prouvé reste vrai même lorsque l'angle AVEC direct. Ensuite, le segment CD ira à zéro, c'est-à-dire AC deviendra égal à AD, et on aura :
avant JC 2= AB2+ UNAVEC 2 -2AAVEC 2 = AB2-AAVEC 2 .
Ce qui est cohérent avec le théorème sur hypoténuse carrée.
Théorème.
Dans un triangle, le carré du côté opposé à l'angle obtus est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, ajoutée au double du produit de l'un de ces côtés par le segment de sa continuation à partir du sommet de l'angle obtus à l'altitude. La preuve est similaire à la précédente.
Conséquence.
Des trois derniers théorèmes on déduit que le carré d'un côté d'un triangle est égal, inférieur ou supérieur à la somme des carrés des autres côtés, selon que l'angle opposé est droit, aigu ou obtus.
Cela implique la proposition inverse : l'angle d'un triangle sera droit, aigu ou obtus, selon que le carré du côté opposé est égal, inférieur ou supérieur à la somme des carrés des autres côtés.
Calculer la hauteur d'un triangle en fonction de ses côtés.
Notons la hauteur tombée du côté a du triangle ABAVEC, à travers ha un. Pour le calculer, d'abord à partir de l'équation :
b 2 = un 2 + de 2 à 2unAvec’ .
trouver le segment de base c’ :
.
Ensuite, à partir de DABD, nous déterminons la hauteur en tant que jambe :
.
De la même manière, vous pouvez déterminer les hauteurs h b et h c, abaissées sur les côtés b et c.
Calcul des médianes d'un triangle en fonction de ses côtés.
Soit les côtés du triangle ABAVEC et vous devez calculer sa médiane BD. Pour ce faire, étendons-le à distance DE = BD et période E se connecter avec UN Et AVEC. On obtient alors un parallélogramme ABCE.
En lui appliquant le théorème précédent, on trouve : ÊTRE 2 = 2 AB 2 + 2 BC2 -UNC2.
