Instructions
L'incertitude de la forme [∞-∞] est révélée si l'on entend la différence de fractions quelconques. En réduisant cette différence à un dénominateur commun, vous obtenez un certain rapport de fonctions.
Des incertitudes de type 0^∞, 1^∞, ∞^0 surviennent lors du calcul du type p(x)^q(x). Dans ce cas, une différenciation préalable est utilisée. La limite A souhaitée prendra alors la forme d'un produit, éventuellement avec un dénominateur tout fait. Sinon, vous pouvez utiliser la méthode de l'exemple 3. L'essentiel est de ne pas oublier d'écrire la réponse finale sous la forme e^A (voir Fig. 5).
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Sources :
- calculer la limite d'une fonction sans utiliser la règle de L'Hôpital en 2019
Instructions
Une limite est un certain nombre vers lequel tend une variable ou la valeur d’une expression. Habituellement, les variables ou les fonctions tendent vers zéro ou vers l'infini. A la limite zéro, la quantité est considérée comme infinitésimale. En d’autres termes, les quantités variables et proches de zéro sont dites infinitésimales. Si elle tend vers l’infini, alors on l’appelle la limite infinie. Il s'écrit généralement sous la forme :
limx=+∞.
Il possède de nombreuses propriétés, dont certaines sont . Voici les principaux.
- une quantité n'a qu'une seule limite ;
La limite d'une valeur constante est égale à la valeur de cette constante ;
La somme limite est égale à la somme des limites : lim(x+y)=lim x + lim y ;
La limite du produit est égale au produit des limites : lim(xy)=lim x * lim y
Le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite : lim(Cx) = C * lim x, où C=const ;
La limite du quotient est égale au quotient des limites : lim(x/y)=lim x / lim y.
Dans les problèmes avec limites, il existe à la fois des expressions numériques et ces expressions. Cela pourrait notamment ressembler à ceci :
lim xn=a (pour n→∞).
Vous trouverez ci-dessous une limite simple :
limite 3n +1 /n+1
n → ∞.
Pour résoudre cette limite, divisez l’expression entière par n unités. On sait que si l’unité est divisée par une certaine valeur n→∞, alors la limite 1/n est égale à zéro. L’inverse est également vrai : si n→0, alors 1/0=∞. En divisant l'exemple entier par n, écrivez-le sous la forme ci-dessous et obtenez :
limite 3+1/n/1+1/n=3
Lors de la résolution des limites, des résultats appelés incertitudes peuvent apparaître. Dans de tels cas, les règles de L'Hôpital s'appliquent. Pour ce faire, ils répètent la fonction, ce qui amènera l'exemple sous une forme dans laquelle il pourrait être résolu. Il existe deux types d'incertitudes : 0/0 et ∞/∞. Un exemple avec incertitude peut notamment se présenter comme suit :
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8
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Calcul des limites fonctions- le fondement de l'analyse mathématique, à laquelle de nombreuses pages sont consacrées dans les manuels. Cependant, parfois, non seulement la définition, mais aussi l’essence même de la limite ne sont pas claires. En termes simples, une limite est l’approche d’une quantité variable, qui dépend d’une autre, d’une valeur unique spécifique à mesure que cette autre quantité change. Pour réussir les calculs, il suffit de garder à l’esprit un algorithme de solution simple.
Solution limites des fonctions en ligne. Trouver la valeur limite d'une fonction ou d'une séquence fonctionnelle en un point, calculer ultime la valeur de la fonction à l'infini. déterminer la convergence d'une série de nombres et bien plus encore peut être fait grâce à notre service en ligne -. Nous vous permettons de trouver en ligne les limites de fonction de manière rapide et précise. Vous saisissez vous-même la variable de fonction et la limite vers laquelle elle tend, et notre service effectue pour vous tous les calculs, en donnant une réponse précise et simple. Et pour trouver la limite en ligne vous pouvez saisir à la fois des séries numériques et des fonctions analytiques contenant des constantes en expression littérale. Dans ce cas, la limite trouvée de la fonction contiendra ces constantes comme arguments constants dans l'expression. Notre service résout tous les problèmes complexes de recherche limites en ligne, il suffit d'indiquer la fonction et le point où il faut calculer valeur limite de la fonction. Calculateur limites en ligne, vous pouvez utiliser diverses méthodes et règles pour les résoudre, tout en vérifiant le résultat obtenu avec résoudre les limites en ligne sur le site www.site, ce qui mènera à la réussite de la tâche - vous éviterez vos propres erreurs et erreurs d'écriture. Ou vous pouvez nous faire entièrement confiance et utiliser notre résultat dans votre travail, sans consacrer d'efforts ni de temps supplémentaires au calcul indépendant de la limite de la fonction. Nous autorisons la saisie de valeurs limites telles que l'infini. Il est nécessaire de saisir un membre commun d'une séquence de numéros et www.site calculera la valeur limite en ligneà plus ou moins l'infini.
L'un des concepts de base de l'analyse mathématique est limite de fonction Et limite de séquence en un point et à l'infini, il est important de pouvoir résoudre correctement limites. Avec notre service, cela ne sera pas difficile. Une décision est prise limites en ligne en quelques secondes, la réponse est précise et complète. L'étude de l'analyse mathématique commence par passage à la limite, limites sont utilisés dans presque tous les domaines des mathématiques supérieures, il est donc utile d'avoir un serveur à portée de main pour solutions de limites en ligne, qui est le site.
Instructions
Le calcul direct des limites est associé tout d'abord aux limites du rationnel Qm(x)/Rn(x), où Q et R sont des polynômes. Si la limite est calculée comme x → a (a est un nombre), alors une incertitude peut survenir, par exemple. Pour l'éliminer, divisez le numérateur et le dénominateur par (x-a). Répétez l'opération jusqu'à ce que l'incertitude disparaisse. La division des polynômes s'effectue presque de la même manière que la division des nombres. Elle repose sur le fait que la division et la multiplication sont des opérations inverses. Un exemple est montré sur la Fig. 1.
Application de la première limite remarquable. La formule pour la première limite remarquable est présentée sur la figure. 2a. Pour l'utiliser, convertissez votre exemple d'expression au formulaire approprié. Cela peut toujours être fait de manière purement algébrique ou en modifiant une variable. L'essentiel est de ne pas oublier que si le sinus est kx, alors le dénominateur est également kx. Un exemple est montré sur la Fig. 2e.De plus, si l'on tient compte du fait que tgx=sinx/cosx, cos0=1, alors, en conséquence, apparaît (voir Fig. 2b). arcsin(sinx)=x et arctg(tgx)=x. Il y a donc deux autres conséquences (Fig. 2c. et 2d). Une gamme assez large de méthodes a émergé.
L'utilisation de la deuxième limite est remarquable (voir Fig. 3a). Des limites de ce type sont utilisées pour éliminer le type. Pour résoudre les problèmes correspondants, transformez simplement la condition en une structure correspondant au type de limite. N'oubliez pas que lorsque vous élevez une expression à une puissance qui est déjà dans une certaine puissance, elles sont multipliées. Celui correspondant est montré sur la Fig. 2f Appliquez la substitution α = 1/х et obtenez une conséquence de la deuxième limite remarquable (Fig. 2b). En prenant le logarithme des deux côtés de ce corollaire à la base a, vous arriverez au deuxième corollaire, dans et pour a = e (voir Fig. 2c). Effectuez le remplacement a^x-1=y. Alors x=log(a)(1+y). Comme x tend vers zéro, y tend également vers zéro. Par conséquent, une troisième conséquence apparaît (voir Fig. 2d).
Application des infinitésimaux équivalents. Les fonctions infinitésimales sont équivalentes à x → a si la limite de leur rapport α(x)/γ(x) est égale à un. Lors du calcul des limites à l'aide de tels infinitésimaux, écrivez simplement γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) est un infinitésimal d'un ordre de petitesse supérieur à α(x). Pour cela lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Pour connaître l'équivalence, utilisez le même merveilleux limites. La méthode vous permet de simplifier considérablement le processus, le rendant plus transparent.
Sources :
- Shipachev V.S. Mathématiques supérieures. Manuel pour les universités. - 3e éd., effacée. - M. : Plus haut. école, 1996. - 496 pp. : ill.
La fonction est l'un des concepts mathématiques fondamentaux. Son limite– c'est la valeur à laquelle l'argument tend vers o limite cette taille. Vous pouvez le calculer en utilisant certaines techniques, par exemple la règle de Bernoulli-L'Hôpital.
Instructions
Pour calculer limiteà un point donné x0, vous devez remplacer cette valeur d'argument dans l'expression de fonction sous le signe lim. Il n'est pas du tout nécessaire que cela appartienne à la zone o limite changements de fonction. Si limiteÔ limite est égal à un nombre à un chiffre, alors la fonction est dite converger. S'il ne peut pas être là limite fr, ou infini en un point précis, alors il y a une divergence.
Solution : Remplacez la valeur x = -2 dans l'expression : lim (x² – 6 x - 14)/(2 x² + 3 x - 6) = -1/2.
La solution n’est pas toujours aussi évidente et simple, surtout si l’expression est trop lourde. Dans ce cas, il faut d'abord simplifier sa réduction, son regroupement ou son remplacement de variable : lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 ans³ - 1)/(2 ans³ + y) = 9/2.
Souvent des situations d'impossibilité limite lénia limite et, surtout si l'argument tend vers l'infini ou zéro. La substitution n'apporte pas le résultat escompté, conduisant à un néo limite propriétés de la forme ou [∞/∞]. Alors L'Hopital-Bernoulli est applicable, ce qui implique de trouver la dérivée première. Par exemple, calculez limite lim (x² – 5 x -14)/(2 x²+ x - 6) à x→-2.
Solution.lim (x² – 5 x -14)/(2 x² + x - 6) = .
Trouvez la dérivée : lim (2 x - 5)/(4 x + 1) = 9/7.
lim (sinx/x) = 1 pour x → 0, l'inverse est également vrai : lim (x/sinx) = 1 ; x → 0. L'argument peut être n'importe quelle construction, l'essentiel est que sa valeur tende vers zéro : lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1 ; x → 0.
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Théorie limites est un domaine assez étendu de l'analyse mathématique. Ce concept s'applique à une fonction et est une construction de trois éléments : la notation lim, l'expression sous le signe limite et la valeur limite de l'argument.
Instructions
Pour calculer la limite, il faut à quoi la fonction est égale au point correspondant à la valeur limite de l'argument. Dans certains cas, il n'y a pas de solution finale, et la substitution de la valeur vers laquelle tend la variable donne la forme « zéro à zéro » ou « de l'infini à l'infini ». Dans ce cas, s'applique , dérivé de Bernoulli et L'Hopital, ce qui implique de prendre la dérivée première.
Comme toute mathématique, une limite peut contenir sous son signe une expression de fonction trop lourde ou peu pratique pour une simple substitution. Ensuite, il faut d'abord le simplifier, en utilisant les méthodes habituelles, en regroupant, en ajoutant un facteur commun et en remplaçant la variable, ce qui modifie la valeur limite de l'argument.
Vous avez de la chance, l'expression de la fonction a du sens pour la valeur limite donnée de l'argument. C'est le cas le plus simple de calcul de la limite. Résolvez maintenant le problème suivant, qui implique le concept ambigu d'infini : lim_(x→∞) (5 - x).
Règle de Bernoulli-L'Hôpital : lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = . lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.
Remplacement de variable : lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/( 125 + 5) = 27/26.
La lettre grecque π (pi, pi) désigne généralement le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Ce nombre, apparaissant à l’origine dans les travaux des géomètres anciens, s’est avéré plus tard très important dans de nombreuses branches des mathématiques. Cela signifie que vous devez être capable de le calculer.
Instructions
π - irrationnel nombre. C’est qu’il ne peut pas être représenté comme une fraction avec un entier et un dénominateur. De plus, π est transcendantal nombre, c’est-à-dire qu’il ne peut servir d’équation algébrique. Ainsi, la valeur exacte du nombre π ne peut pas être écrite. Cependant, il existe des méthodes qui vous permettent de le calculer avec le degré de précision requis.
Les anciens, utilisés par les géomètres en Grèce et en Égypte, disent que π est approximativement égal à la racine carrée de 10 ou à la fraction 256/81. Mais ces formules donnent une valeur de π égale à 3,16, et ce n'est clairement pas suffisant.
Avec le développement du calcul différentiel et d’autres nouvelles disciplines mathématiques, les scientifiques disposent d’un nouvel outil : les séries entières. Gottfried Wilhelm Leibniz découvrit en 1674 que la série
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
converge dans la limite égale à π/4. Le calcul de cette somme est simple, mais il faut plusieurs étapes pour obtenir une précision suffisante car la série converge très lentement.
Par la suite, d'autres séries de puissances ont été découvertes qui ont permis de calculer π plus rapidement qu'en utilisant la série de Leibniz. Par exemple, on sait que tan(π/6) = 1/√3, donc arctan(1/√3) = π/6.
La fonction arctangente est développée en une série entière, et pour une valeur donnée, nous obtenons le résultat :
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
Utiliser cette formule et d'autres formules similaires nombreπ a déjà été calculé avec une précision de plusieurs millions de décimales.
Veuillez noter
Il existe de nombreuses façons de calculer Pi. La plus simple et la plus compréhensible est la méthode numérique de Monte Carlo, dont l'essence se résume à l'énumération la plus simple de points sur une zone. double y=rayon*rayon-x*x ; retourner y ; ) Le programme affiche les valeurs de Pi en fonction du rayon et du nombre de points. Il ne reste plus au lecteur qu'à le compiler lui-même et à l'exécuter avec les paramètres qu'il souhaite.
Conseils utiles
Mais les scientifiques infatigables ont continué et continué à calculer les chiffres décimaux de pi, ce qui est en fait une tâche extrêmement non triviale, car on ne peut pas simplement le calculer dans une colonne : ce nombre est non seulement irrationnel, mais aussi transcendantal (ce sont juste les nombres qui ne sont pas calculés à l'aide d'équations simples). Des scientifiques de l'Université de Tokyo ont réussi à établir un record mondial en calculant le nombre Pi à 12 411 milliards de chiffres.
Sources :
- Histoire de Pi
Les méthodes mathématiques sont utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. Cette affirmation concerne notamment le calcul différentiel. Par exemple, si vous calculez la seconde dérivé en fonction de la distance à la variable temps, vous pouvez alors trouver l'accélération du point matériel.
Instructions
Les règles et méthodes de différenciation sont conservées pour les dérivés d'ordres supérieurs. Ceci s'applique à certaines fonctions élémentaires, opérations d'addition et de division, ainsi qu'aux fonctions complexes de la forme u(g(x)) : u' = C' = 0 – dérivée d'une constante ; u' = x' = 1 – le plus simple d'un argument ; u' = (x^a)' = a x^(a-1); u' = (а^х)' = а^х ln а – fonction exponentielle ;
Opérations arithmétiques d'une paire de fonctions u(x) et g(x) : (u + g)' = u' + g'; (u g)' = u' g + g' u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².
Assez difficile le deuxième dérivé fonction complexe. Pour cela, les méthodes de différenciation numérique, bien que le résultat soit approximatif, il existe une erreur dite d'approximation α:u''(x) = (u(x + h) – 2 u(x) + u(x - h) )/h² + α (h²) – Polynôme d'interpolation de Newton ;u''(x) = (-u(x + 2 h) + 16 u(x + h) – 30 u(x) + 16 u(x - h ) – u(x – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Striling.
Ces formules contiennent une certaine valeur h. C'est ce qu'on appelle une approximation dont le choix doit être optimal afin de minimiser l'erreur de calcul. La sélection de la valeur correcte de h est appelée régulation pas à pas : |u(x + h) – u(x)| > ε, où ε est infinitésimal.
La méthode de calcul de la dérivée seconde est utilisée pour un différentiel total du second ordre. Dans ce cas, il est calculé de manière privée pour chaque argument et participe à l'expression finale sous la forme d'un multiplicateur du différentiel correspondant dх, dy, etc. : d² u = ∂u'/∂х d²х + ∂u'/∂ y d²у + ∂u' /∂z d²z.
Exemple : trouver la seconde dérivé fonctions u = 2 x sin x – 7 x³ + x^5/tg x.
Solutionu' = 2 sin x + 2 x cos x – 21 x² + 5 x^4/tg x – x²/sin² x;u'' = 4 cos x – 2 x sin x – 42 x + 20 x³/tg x – 5 x^4/sin² x – 2 x/sin² x + 2 x² cos x/sin³ x.
Les méthodes de calcul différentiel sont utilisées pour étudier la nature du comportement fonctions en analyse mathématique. Cependant, ce n'est pas le seul domaine de leur application qu'il faut souvent trouver ; dérivé pour calculer des valeurs limites en économie, pour calculer la vitesse ou l'accélération en physique.
- La règle de L'Hôpital et la divulgation des incertitudes
- Divulgation des incertitudes de type « zéro divisé par zéro » et « infini divisé par l'infini »
- Divulgation des incertitudes de la forme « zéro fois l'infini »
- Divulgation des incertitudes de type « zéro à la puissance zéro », « l'infini à la puissance zéro » et « un à la puissance l'infini »
- Divulgation des incertitudes de la forme « infini moins infini »
La règle de L'Hôpital et la divulgation des incertitudes
La divulgation des incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞ et de certaines autres incertitudes est grandement simplifiée à l'aide de la règle de L'Hôpital.
L'essentiel Le règlement de L'Hôpital est que dans le cas où le calcul de la limite du rapport de deux fonctions donne des incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞, la limite du rapport de deux fonctions peut être remplacée par la limite du rapport de leurs dérivées et, ainsi, obtenez un certain résultat.
En général, les règles de L'Hôpital impliquent plusieurs théorèmes qui peuvent être exprimés dans la formulation unique suivante.
La règle de l'Hôpital. Si les fonctions f(x) Et g(x) sont différentiables dans un certain voisinage du point , à l'exception possible du point lui-même, et dans ce voisinage
(1)
Autrement dit, pour des incertitudes de la forme 0/0 ou ∞/∞, la limite du rapport de deux fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées, si cette dernière existe (finie ou infinie).
Dans l'égalité (1), la valeur vers laquelle tend la variable peut être soit un nombre fini, soit l'infini, soit moins l'infini.
Les incertitudes d'autres types peuvent également être réduites à des incertitudes des types 0/0 et ∞/∞.
Divulgation des incertitudes de type « zéro divisé par zéro » et « infini divisé par l'infini »
Exemple 1. Calculer
x=2 conduit à une incertitude de la forme 0/0. Nous appliquons donc la règle de L'Hôpital :
Exemple 2. Calculer
Solution. Substituer une valeur dans une fonction donnée x
Exemple 3. Calculer
Solution. Substituer une valeur dans une fonction donnée x=0 conduit à une incertitude de la forme 0/0. Nous appliquons donc la règle de L'Hôpital :
Exemple 4. Calculer
Solution. Remplacer la valeur x égale à plus l'infini dans une fonction donnée conduit à une incertitude de la forme ∞/∞. Nous appliquons donc la règle de L'Hôpital :
Commentaire. Si la limite du rapport dérivé est une incertitude de la forme 0/0 ou ∞/∞, alors la règle de L'Hopital peut être à nouveau appliquée, c'est-à-dire aller à la limite du rapport des dérivées secondes, etc.
Exemple 5. Calculer
Solution. Nous trouvons
Ici, la règle de L'Hôpital est appliquée deux fois, puisque toutes deux la limite du rapport des fonctions et la limite du rapport des dérivées donnent une incertitude de la forme ∞/∞.
Exemple 6. Calculer