Ajout de matrice$ A $ et $ B $ sont une opération arithmétique, à la suite de laquelle il faut obtenir la matrice $ C $, dont chaque élément est égal à la somme des éléments correspondants des matrices ajoutées :
$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$
Plus de détails La formule pour ajouter deux matrices ressemble à ceci :
$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$
$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ fin (pmatrice) = C$$
Veuillez noter que vous ne pouvez ajouter et soustraire que des matrices de même dimension. Avec la somme ou la différence, le résultat sera une matrice $ C $ de même dimension que les termes (soustraits) des matrices $ A $ et $ B $. Si les matrices $ A $ et $ B $ diffèrent les unes des autres en taille, alors ajouter (soustraire) de telles matrices sera une erreur !
La formule ajoute des matrices 3 par 3, ce qui signifie que le résultat doit être une matrice 3 par 3.
Soustraction de matrices complètement similaire à l'algorithme d'addition, uniquement avec un signe moins. Chaque élément de la matrice recherchée $C$ est obtenu en soustrayant les éléments correspondants des matrices $A$ et $B$ :
$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$
Écrivons le détail formule pour soustraire deux matrices :
$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$
$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ fin (pmatrice) = C$$
Il convient également de noter que vous ne pouvez pas ajouter et soustraire des matrices avec des nombres ordinaires, ainsi qu'avec certains autres éléments.
Il sera utile de connaître les propriétés de l'addition (soustraction) pour d'autres solutions aux problèmes liés aux matrices.
Propriétés
- Si les matrices $ A,B,C $ sont de même taille, alors la propriété d'associativité s'applique à elles : $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
- Pour chaque matrice il existe une matrice nulle, notée $ O $, lors de l'addition (soustraction) avec laquelle la matrice d'origine ne change pas : $$ A \pm O = A $$
- Pour chaque matrice $ A $ non nulle il existe une matrice opposée $ (-A) $ dont la somme est nulle : $ $ A + (-A) = 0 $ $
- Lors de l'ajout (soustraction) de matrices, la propriété de commutativité est autorisée, c'est-à-dire que les matrices $ A $ et $ B $ peuvent être interverties : $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$
Exemples de solutions
| Exemple 1 |
|
Matrices données $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ et $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. Effectuez une addition matricielle puis une soustraction. |
| Solution |
|
Tout d’abord, nous vérifions la dimension des matrices. La matrice $ A $ a une dimension $ 2 \times 2 $, la deuxième matrice $ B $ a une dimension $ 2 \times 2 $. Cela signifie qu’avec ces matrices il est possible d’effectuer une opération conjointe d’addition et de soustraction. Rappelons que pour la somme il faut effectuer l'addition par paire des éléments correspondants des matrices $ A \text( et ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmatrice)$$ De la même manière pour la somme, on retrouve la différence des matrices en remplaçant le signe « plus » par un « moins » : $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ fin (pmatrice) $$ Si vous ne parvenez pas à résoudre votre problème, envoyez-le-nous. Nous fournirons une solution détaillée. Vous pourrez visualiser la progression du calcul et obtenir des informations. Cela vous aidera à obtenir votre note de votre professeur en temps opportun ! |
| Répondre |
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$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); A - B = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$ |
Dans l'article : « Addition et soustraction de matrices » des définitions, des règles, des commentaires, des propriétés d'opérations et des exemples pratiques de solutions ont été donnés.
Il est à noter que seules des matrices de même taille peuvent être utilisées pour cette opération. Lors de l'ajout de deux matrices, tous leurs éléments sont additionnés par paires et lors de la soustraction, nous traitons en conséquence leur différence par paire. Après avoir reçu une solution détaillée et étape par étape, vous serez en mesure de mieux comprendre le processus de recherche de la somme et de la différence des matrices.
Vous avez donc deux matrices devant vous, et vous devez connaître leur somme, ou leur différence. Vous pouvez faire les deux facilement et rapidement si vous utilisez notre calculateur en ligne. Il vous sera très utile si vous souhaitez comprendre l'algorithme de ces opérations. La théorie n'est pas toujours en mesure de donner une réponse claire à toutes les questions ; les calculs pratiques s'acquittent beaucoup mieux de cette tâche. À l'aide d'une calculatrice en ligne, vous recevrez un diagramme détaillé de la façon dont les matrices sont soustraites ou ajoutées. De plus, vous pouvez d'abord essayer de tout calculer vous-même, puis revérifier ici.
Ce calculateur en ligne contient des instructions extrêmement simples. Vous pouvez indiquer les dimensions de chacune des matrices en cliquant sur les icônes « + » ou « - » à gauche des matrices et en dessous d'elles. Ensuite, vous devrez saisir tous les éléments. Et puis, en cliquant sur le bouton « Calculer », vous pouvez obtenir rapidement la valeur souhaitée ainsi qu'un algorithme de calcul détaillé.
1ère année, mathématiques supérieures, études matrices et les actions de base sur eux. Nous systématisons ici les opérations de base qui peuvent être effectuées avec des matrices. Par où commencer à se familiariser avec les matrices ? Bien sûr, à partir des choses les plus simples : définitions, concepts de base et opérations simples. Nous vous assurons que les matrices seront comprises par tous ceux qui y consacreront au moins un peu de temps !
Définition de la matrice
Matrice est une table rectangulaire d'éléments. Eh bien, en termes simples – un tableau de nombres.
En règle générale, les matrices sont désignées par des lettres latines majuscules. Par exemple, la matrice UN , matrice B et ainsi de suite. Les matrices peuvent être de différentes tailles : rectangulaires, carrées, et il existe également des matrices de lignes et de colonnes appelées vecteurs. La taille de la matrice est déterminée par le nombre de lignes et de colonnes. Par exemple, écrivons une matrice rectangulaire de taille m sur n , Où m – nombre de lignes, et n – nombre de colonnes.
Articles pour lesquels je = j (a11, a22, .. ) forment la diagonale principale de la matrice et sont appelés diagonales.
Que peut-on faire avec les matrices ? Ajouter/Soustraire, multiplier par un nombre, se multiplient entre eux, transposer. Parlons maintenant de toutes ces opérations de base sur les matrices dans l'ordre.
Opérations d'addition et de soustraction matricielles
Prévenons-nous immédiatement : vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille. Le résultat sera une matrice de même taille. Ajouter (ou soustraire) des matrices est simple - il vous suffit d'ajouter leurs éléments correspondants . Donnons un exemple. Effectuons l'addition de deux matrices A et B de taille deux à deux.
La soustraction s'effectue par analogie, uniquement avec le signe opposé.
N'importe quelle matrice peut être multipliée par un nombre arbitraire. Pour faire ça vous devez multiplier chacun de ses éléments par ce nombre. Par exemple, multiplions la matrice A du premier exemple par le nombre 5 :
Opération de multiplication matricielle
Toutes les matrices ne peuvent pas être multipliées ensemble. Par exemple, nous avons deux matrices - A et B. Elles ne peuvent être multipliées l'une par l'autre que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B. Dans ce cas chaque élément de la matrice résultante, situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne, sera égal à la somme des produits des éléments correspondants dans la i-ème ligne du premier facteur et la j-ème colonne de la deuxième. Pour comprendre cet algorithme, écrivons comment deux matrices carrées sont multipliées :
Et un exemple avec des chiffres réels. Multiplions les matrices :
Opération de transposition matricielle
La transposition matricielle est une opération où les lignes et colonnes correspondantes sont permutées. Par exemple, transposons la matrice A du premier exemple :
Déterminant matriciel
Le déterminant, ou déterminant, est l'un des concepts de base de l'algèbre linéaire. Il était une fois des équations linéaires, puis un déterminant. En fin de compte, c’est à vous de gérer tout cela, alors, dernier coup de pouce !
Le déterminant est une caractéristique numérique d’une matrice carrée, nécessaire pour résoudre de nombreux problèmes.
Pour calculer le déterminant de la matrice carrée la plus simple, vous devez calculer la différence entre les produits des éléments des diagonales principale et secondaire.
Le déterminant d'une matrice du premier ordre, c'est-à-dire constituée d'un élément, est égal à cet élément.
Et si la matrice était de trois par trois ? C'est plus difficile, mais vous pouvez y arriver.
Pour une telle matrice, la valeur du déterminant est égale à la somme des produits des éléments de la diagonale principale et des produits des éléments situés sur les triangles à face parallèle à la diagonale principale, d'où le produit de les éléments de la diagonale secondaire et le produit des éléments situés sur les triangles avec la face de la diagonale secondaire parallèle sont soustraits.
Heureusement, en pratique, il est rarement nécessaire de calculer des déterminants de matrices de grandes tailles.
Ici, nous avons examiné les opérations de base sur les matrices. Bien sûr, dans la vraie vie, vous ne rencontrerez peut-être jamais la moindre trace d'un système d'équations matricielles, ou, au contraire, vous pourrez rencontrer des cas beaucoup plus complexes où vous devrez vraiment vous creuser la tête. C'est pour de tels cas que des services professionnels aux étudiants existent. Demandez de l'aide, obtenez une solution détaillée et de haute qualité, profitez de la réussite scolaire et du temps libre.
Ce manuel vous aidera à apprendre à effectuer opérations avec des matrices: addition (soustraction) de matrices, transposition d'une matrice, multiplication de matrices, trouver la matrice inverse. Tout le matériel est présenté sous une forme simple et accessible, des exemples pertinents sont donnés, afin que même une personne non préparée puisse apprendre à effectuer des actions avec des matrices.
Pour l'autosurveillance et l'autotest, vous pouvez télécharger gratuitement un calculateur matriciel >>>. J'essaierai de minimiser les calculs théoriques ; à certains endroits, des explications « sur les doigts » et l'utilisation de termes non scientifiques sont possibles. Amateurs de théorie solide, ne vous lancez pas dans la critique, notre tâche est.
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Matrice, déterminant et test ! Une matrice est une table rectangulaire de certainséléments Une matrice est une table rectangulaire de certains. Comme nous considérerons des nombres, c'est-à-dire des matrices numériques.ÉLÉMENT
est un terme. Il est conseillé de retenir le terme, il apparaîtra souvent, ce n’est pas un hasard si j’ai utilisé des caractères gras pour le mettre en valeur. Désignation:
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules Exemple:
Considérons une matrice deux par trois : Une matrice est une table rectangulaire de certains:
Cette matrice est composée de six 
Tous les nombres (éléments) à l'intérieur de la matrice existent par eux-mêmes, c'est-à-dire qu'il n'est question d'aucune soustraction :
C'est juste un tableau (ensemble) de chiffres ! Nous serons également d'accord ne pas réorganiser
chiffres, sauf indication contraire dans les explications. Chaque numéro a son propre emplacement et ne peut pas être mélangé ! 
La matrice en question comporte deux lignes : 
et trois colonnes : STANDARD : quand on parle de tailles de matrice, alors d'abord
indiquez le nombre de lignes, et ensuite seulement le nombre de colonnes. Nous venons de décomposer la matrice deux par trois. Si le nombre de lignes et de colonnes d'une matrice est le même, alors la matrice s'appelle carré 
, Par exemple:
– une matrice trois par trois. Si une matrice a une colonne ou une ligne, alors ces matrices sont également appelées.
vecteurs
En fait, nous connaissons le concept de matrice depuis l'école ; considérons, par exemple, un point de coordonnées « x » et « y » : . Essentiellement, les coordonnées d’un point sont écrites dans une matrice un par deux. Au fait, voici un exemple de la raison pour laquelle l'ordre des nombres est important : et ce sont deux points complètement différents sur le plan. Passons maintenant à l'étude:
opérations avec des matrices.
1) Acte un. Supprimer un moins de la matrice (introduire un moins dans la matrice) 
. Comme vous l’avez probablement remarqué, il y a trop de nombres négatifs dans cette matrice. C'est très gênant du point de vue de l'exécution de diverses actions avec la matrice, il n'est pas pratique d'écrire autant d'inconvénients et cela a tout simplement l'air moche dans sa conception.
Déplaçons le moins en dehors de la matrice, en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:
A zéro, comme vous le comprenez, le signe ne change pas ; zéro c'est aussi zéro en Afrique.
Exemple inverse : 
. Ça a l'air moche.
Introduisons un moins dans la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:
Eh bien, cela s'est avéré beaucoup plus agréable. Et surtout, il sera PLUS FACILE d'effectuer des actions avec la matrice. Parce qu'il existe un tel signe populaire mathématique : plus il y a d'inconvénients, plus il y a de confusion et d'erreurs.
2) Acte deux. Multiplier une matrice par un nombre.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
C'est simple, pour multiplier une matrice par un nombre, il faut chaqueélément de matrice multiplié par un nombre donné. Dans ce cas – un trois.
Autre exemple utile :
– multiplier une matrice par une fraction
Voyons d'abord quoi faire PAS BESOIN:
Il n'est PAS BESOIN d'entrer une fraction dans la matrice ; d'une part, cela ne fait que compliquer les actions ultérieures avec la matrice, et d'autre part, cela rend difficile pour l'enseignant de vérifier la solution (surtout si 
– réponse finale de la tâche).
Et, plus encore, PAS BESOIN divisez chaque élément de la matrice par moins sept :
De l'article Mathématiques pour les nuls ou par où commencer, nous nous souvenons qu'en mathématiques supérieures, ils essaient d'éviter de toutes les manières possibles les fractions décimales avec des virgules.
La seule chose est de préférence Que faire dans cet exemple est d'ajouter un moins à la matrice :
Mais si seulement TOUS les éléments de la matrice ont été divisés par 7 sans laisser de trace, alors il serait possible (et nécessaire !) de diviser.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Dans ce cas, vous pouvez BESOIN DE multiplier tous les éléments de la matrice par , puisque tous les nombres de la matrice sont divisibles par 2 sans laisser de trace.
Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « division ». Au lieu de dire « ceci divisé par cela », vous pouvez toujours dire « ceci multiplié par une fraction ». Autrement dit, la division est un cas particulier de multiplication.
3) Acte trois. Transposition matricielle.
Pour transposer une matrice, vous devez écrire ses lignes dans les colonnes de la matrice transposée.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Transposer la matrice
Il n'y a qu'une seule ligne ici et, selon la règle, elle doit être écrite dans une colonne :
– matrice transposée.
Une matrice transposée est généralement indiquée par un exposant ou un nombre premier en haut à droite.
Exemple étape par étape :
Transposer la matrice 
Nous réécrivons d’abord la première ligne dans la première colonne :
Ensuite, nous réécrivons la deuxième ligne dans la deuxième colonne : 
Et enfin, on réécrit la troisième ligne dans la troisième colonne :
Prêt. En gros, transposer signifie retourner la matrice sur le côté.
4) Acte quatre. Somme (différence) des matrices.
La somme des matrices est une opération simple.
TOUTES LES MATRICES NE PEUVENT PAS ÊTRE PLIÉES. Pour effectuer une addition (soustraction) de matrices, il faut qu'elles soient de MÊME TAILLE.
Par exemple, si une matrice deux par deux est donnée, alors elle ne peut être ajoutée qu'avec une matrice deux par deux et aucune autre ! 
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Ajouter des matrices 
Et 
Afin d'ajouter des matrices, vous devez ajouter leurs éléments correspondants:
Pour la différence des matrices, la règle est similaire, il faut trouver la différence des éléments correspondants.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Trouver la différence matricielle 
, 
Comment résoudre cet exemple plus facilement, pour ne pas se tromper ? Il est conseillé de se débarrasser des moins inutiles ; pour ce faire, ajoutez un moins à la matrice :
Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « soustraction ». Au lieu de dire « soustrayez ceci de ceci », vous pouvez toujours dire « ajoutez un nombre négatif à ceci ». Autrement dit, la soustraction est un cas particulier d’addition.
5) Acte cinq. Multiplication matricielle.
Quelles matrices peuvent être multipliées ?
Pour qu’une matrice soit multipliée par une matrice, il faut de sorte que le nombre de colonnes de la matrice soit égal au nombre de lignes de la matrice.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Est-il possible de multiplier une matrice par une matrice ?
Cela signifie que les données matricielles peuvent être multipliées.
Mais si les matrices sont réarrangées, alors, dans ce cas, la multiplication n'est plus possible !
La multiplication n’est donc pas possible :
Il n'est pas si rare de rencontrer des tâches astucieuses, lorsqu'il est demandé à l'élève de multiplier des matrices dont la multiplication est évidemment impossible.
Il convient de noter que dans certains cas, il est possible de multiplier des matrices dans les deux sens.
Par exemple, pour les matrices, la multiplication et la multiplication sont possibles
Instructions. Pour une solution en ligne, vous devez spécifier une expression matricielle. Dans un deuxième temps, il faudra préciser la dimension des matrices.
Opérations valides : multiplication (*), addition (+), soustraction (-), matrice inverse A^(-1), exponentiation (A^2, B^3), transposition matricielle (A^T).Opérations valides : multiplication (*), addition (+), soustraction (-), matrice inverse A^(-1), exponentiation (A^2, B^3), transposition matricielle (A^T).
Pour effectuer une liste d'opérations, utilisez un séparateur point-virgule (;). Par exemple, pour effectuer trois opérations :
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (AB) -1
vous devrez l'écrire comme ceci : 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Une matrice est un tableau numérique rectangulaire avec m lignes et n colonnes, la matrice peut donc être représentée schématiquement comme un rectangle.
Matrice zéro (matrice nulle) est une matrice dont les éléments sont tous égaux à zéro et sont notés 0.
Matrice d'identité est appelée une matrice carrée de la forme
Deux matrices A et B sont égales, s'ils sont de même taille et que leurs éléments correspondants sont égaux.
Matrice singulière est une matrice dont le déterminant est égal à zéro (Δ = 0).
Définissons opérations de base sur les matrices.
Ajout de matrice
Définition . La somme de deux matrices de même taille est une matrice de mêmes dimensions dont les éléments se trouvent selon la formule
. Noté C = A+B. Exemple 6. .
L’opération d’addition matricielle s’étend au cas d’un nombre quelconque de termes. Évidemment A+0=A .
Soulignons encore une fois que seules des matrices de même taille peuvent être ajoutées ; Pour des matrices de tailles différentes, l'opération d'addition n'est pas définie.
Soustraction de matrices
Définition . La différence B-A des matrices B et A de même taille est une matrice C telle que A+ C = B.Multiplication matricielle
Définition . Le produit d'une matrice par un nombre α est une matrice obtenue à partir de A en multipliant tous ses éléments par α, .Définition . Soit deux matrices
et , et le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le produit de A par B est une matrice dont les éléments se trouvent selon la formule 
.
Noté C = A·B.
Schématiquement, l’opération de multiplication matricielle peut être représentée comme suit :
et la règle de calcul d'un élément dans un produit :
Soulignons encore une fois que le produit A·B a un sens si et seulement si le nombre de colonnes du premier facteur est égal au nombre de lignes du second, et que le produit produit une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de lignes du premier facteur, et le nombre de colonnes est égal au nombre de colonnes du second. Vous pouvez vérifier le résultat de la multiplication à l'aide d'une calculatrice en ligne spéciale.
Exemple 7. Matrices données 
Et 
. Trouvez les matrices C = A·B et D = B·A.
Solution.
Tout d’abord, notons que le produit A·B existe car le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Notez que dans le cas général A·B≠B·A, c'est-à-dire le produit des matrices est anticommutatif.
Trouvons B·A (la multiplication est possible).
Exemple 8. Étant donné une matrice 
. Trouvez 3A 2 – 2A.
Solution.
.
; 
.
.
Notons le fait intéressant suivant.
Comme vous le savez, le produit de deux nombres non nuls n’est pas égal à zéro. Pour les matrices, une circonstance similaire peut ne pas se produire, c'est-à-dire que le produit de matrices non nulles peut s'avérer égal à la matrice nulle.
