Calculateur en ligne.
Isoler le carré d'un binôme et factoriser un trinôme carré.
Ce programme de mathématiques distingue un binôme carré d'un trinôme carré, c'est-à-dire fait une transformation comme : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) et factorise un trinôme quadratique: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Ceux. les problèmes se résument à trouver les nombres \(p, q\) et \(n, m\)
Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de résolution.
Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre.
Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.
De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.
Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un trinôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.
Règles de saisie d'un polynôme quadratique
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.
Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir des fractions décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.
Le dénominateur ne peut pas être négatif. /
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : &
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette :
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses
Par exemple : 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Exemple de solution détaillée
Isoler le carré d'un binôme.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorisation.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\gauche(x^2+x-2 \droite) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2 \gauche(x -1 \droite) \gauche(x +2 \droite) $$
Il a été découvert que certains scripts nécessaires à la résolution de ce problème n'étaient pas chargés et que le programme pouvait ne pas fonctionner.
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Un peu de théorie.
Isoler le carré d'un binôme d'un trinôme carré
Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté par a(x+p) 2 +q, où p et q sont des nombres réels, alors nous disons que de trinôme carré, le carré du binôme est mis en évidence.
Du trinôme 2x 2 +12x+14 on extrait le carré du binôme.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Pour ce faire, imaginez 6x comme un produit de 2*3*x, puis ajoutez et soustrayez 3 2. On obtient :
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Que. Nous extraire le binôme carré du trinôme carré, et a montré que :
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Factorisation d'un trinôme quadratique
Si le trinôme carré axe 2 +bx+c est représenté sous la forme a(x+n)(x+m), où n et m sont des nombres réels, alors l'opération est dite effectuée factorisation d'un trinôme quadratique.
Montrons avec un exemple comment se fait cette transformation.
Factorisons le trinôme quadratique 2x 2 +4x-6.
Prenons le coefficient a entre parenthèses, c'est-à-dire 2 :
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Transformons l'expression entre parenthèses.
Pour ce faire, imaginez 2x comme la différence 3x-1x et -3 comme -1*3. On obtient :
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Que. Nous factorisé le trinôme quadratique, et a montré que :
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
A noter que la factorisation d'un trinôme quadratique n'est possible que lorsque l'équation quadratique correspondant à ce trinôme a des racines.
Ceux. dans notre cas, il est possible de factoriser le trinôme 2x 2 +4x-6 si l'équation quadratique 2x 2 +4x-6 =0 a des racines. Au cours du processus de factorisation, nous avons établi que l'équation 2x 2 + 4x-6 = 0 a deux racines 1 et -3, car avec ces valeurs, l'équation 2(x-1)(x+3)=0 se transforme en une vraie égalité.
Définition
Les expressions de la forme 2 x 2 + 3 x + 5 sont appelées trinômes quadratiques. En général, un trinôme carré est une expression de la forme a x 2 + b x + c, où a, b, c a, b, c sont des nombres arbitraires et a ≠ 0.
Considérons le trinôme quadratique x 2 - 4 x + 5. Écrivons-le sous cette forme : x 2 - 2 · 2 · x + 5. Ajoutons 2 2 à cette expression et soustrayons 2 2, nous obtenons : x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Notez que x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, donc x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . La transformation que nous avons effectuée s'appelle "isoler un carré parfait d'un trinôme quadratique".
Déterminez le carré parfait à partir du trinôme quadratique 9 x 2 + 3 x + 1.
Notez que 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Puis `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Ajoutez et soustrayez `(1/2)^2` à l'expression résultante, nous obtenons
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Nous montrerons comment la méthode d'isolement d'un carré parfait d'un trinôme carré est utilisée pour factoriser un trinôme carré.
Factorisez le trinôme quadratique 4 x 2 - 12 x + 5.
Nous sélectionnons un carré parfait à partir d'un trinôme quadratique : 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Maintenant, nous appliquons la formule a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , nous obtenons : (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1) .
Factorisez le trinôme quadratique - 9 x 2 + 12 x + 5.
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Nous remarquons maintenant que 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.
On ajoute le terme 2 2 à l'expression 9 x 2 - 12 x, on obtient :
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
On applique la formule de la différence des carrés, on a :
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Factorisez le trinôme quadratique 3 x 2 - 14 x - 5 .
Nous ne pouvons pas représenter l'expression 3 x 2 comme le carré d'une expression, car nous ne l'avons pas encore étudié à l'école. Vous en parlerez plus tard et dans la tâche n°4, nous étudierons les racines carrées. Montrons comment vous pouvez factoriser un trinôme quadratique donné :
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Nous allons vous montrer comment utiliser la méthode du carré parfait pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'un trinôme quadratique.
Considérons le trinôme quadratique x 2 - x + 3. Sélectionnez un carré complet :
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Notez que lorsque `x=1/2` la valeur du trinôme quadratique est `11/4`, et lorsque `x!=1/2` un nombre positif est ajouté à la valeur de `11/4`, donc nous obtenez un nombre supérieur à « 11/4 ». Ainsi, la plus petite valeur du trinôme quadratique est « 11/4 » et elle est obtenue lorsque « x=1/2 ».
Trouvez la plus grande valeur du trinôme quadratique - 16 2 + 8 x + 6.
On sélectionne un carré parfait à partir d'un trinôme quadratique : - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Lorsque `x=1/4` la valeur du trinôme quadratique est 7, et lorsque `x!=1/4` un nombre positif est soustrait du nombre 7, c'est-à-dire que nous obtenons un nombre inférieur à 7. Ainsi, le nombre 7 est la plus grande valeur du trinôme quadratique, et il est obtenu avec « x=1/4 ».
Factorisez le numérateur et le dénominateur de la fraction `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` et réduisez la fraction.
Notez que le dénominateur de la fraction x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Factorisons le numérateur de la fraction en utilisant la méthode d'isolement d'un carré complet d'un trinôme carré. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Cette fraction a été réduite à la forme `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` après réduction par (x - 3) nous obtenons `(x+5)/(x-3 )`.
Factorisez le polynôme x 4 - 13 x 2 + 36.
Appliquons la méthode d'isolement d'un carré complet à ce polynôme. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
x a appelé
1.2.3. Utiliser des identités de multiplication abrégées
Exemple. Facteur x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Factoriser un polynôme à l'aide de ses racines
Théorème. Laissez le polynôme P x avoir racine x 1 . Alors ce polynôme peut être factorisé comme suit : P x x x 1 S x , où S x est un polynôme dont le degré est un de moins
valeurs alternativement dans l'expression pour P x. Nous obtenons que lorsque x 2 vous-
l'expression deviendra 0, c'est-à-dire P 2 0, ce qui signifie que x 2 est la racine d'un multi-
membre. Divisez le polynôme P x par x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x32x2 | 24 10x | x2 x12 |
12x 2412x 24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x2 x3 x4
1.3. Sélection d'un carré complet
La méthode de sélection d'un carré complet est basée sur l'utilisation des formules : a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
L'isolement d'un carré complet est une transformation d'identité dans laquelle un trinôme donné est représenté par un b 2 la somme ou la différence du carré du binôme et une expression numérique ou alphabétique.
Un trinôme carré par rapport à une variable donne une expression de la forme
ax 2 bx c , où a , b et c reçoivent des nombres, et a 0 . | |||||||||||||
Transformons le trinôme quadratique axe 2 bx c comme suit. | x2 : |
||||||||||||
coefficient | |||||||||||||
Ensuite, nous représentons l'expression b x par 2b x (deux fois le produit
x ):une x | ||||||||||||||||
À l'expression entre parenthèses, nous y ajoutons et soustrayons le nombre
qui est le carré d'un nombre | En conséquence nous obtenons : | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Remarquant maintenant que | Nous obtenons | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemple. Sélectionnez un carré complet. | 2x12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 4x5 2x2 2x5 | 2x2 2x1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 et 2,
1.4. Polynômes à plusieurs variables
Les polynômes à plusieurs variables, comme les polynômes à une variable, peuvent être additionnés, multipliés et élevés à une puissance naturelle.
Une transformation identitaire importante d'un polynôme en plusieurs variables est la factorisation. Ici, de telles méthodes de factorisation sont utilisées comme placer le facteur commun hors parenthèses, regrouper, utiliser des identités de multiplication abrégées, isoler un carré complet et introduire des variables auxiliaires.
1. Factoriser le polynôme P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. Facteur P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Appliquons la méthode de regroupement
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4x3 y5xz.
3. Facteur P x ,y x 4 4y 4 . Sélectionnons un carré complet :
x 4 ans 4x 44 x 2 ans 24 ans 24 x 2 ans 2x 22 ans 2 2 4 x 2 ans 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Propriétés d'un degré avec n'importe quel exposant rationnel
Un degré avec n'importe quel exposant rationnel a les propriétés suivantes :
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
une r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. une r 1r 2 une r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
un r 1 | le 1er |
|||||
frère 1 |
||||||
où a 0;b 0;r 1;r 2 sont des nombres rationnels arbitraires.
1. Multipliez 8 | x3 12x7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24x23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Factoriser | un 2x 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Exercices à faire soi-même
1. Effectuez des actions à l'aide de formules de multiplication abrégées. 1) un 52 ;
2) 3 à 72 ;
3) un nb n2 .
4) 1 x 3 ;
3 et 3 ans ; | |||||
7) 8 une 2 8 une 2 ;
8) un nb ka kb na nb ka kb n.
9) une 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) une 3a 2 3a 9 ;
11) une 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Calculez en utilisant des identités de multiplication abrégées :
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Prouvez les identités :
1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) une 2b 2 2 2 un b 2 une 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 hache by2 bx ay2 .
4. Factorisez les polynômes suivants :
1) 3 x a2 a2 ;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7 ;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24 ax38 bx12 a19 b;
7) 25 une 21 b 2q 2 ;
8) 9 5 une 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36 ;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6 x 3 36x 2 72x 48 ;
14) 15 axes 3 45 axes 2 45 axes 15 a ;
15) 9 une 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 une 7b 232 une 4b 5 ;
18) 7 x 24 ans 2 2 3 x 28 ans 2 2 ;
19) 1000 tonnes 3 27 tonnes 6 .
5. Calculez de la manière la plus simple :
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Trouver le quotient et le reste d'un polynôme P x par polynômeQ x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2 ; Q x x3 2 x2 x ; 3) Pxx6 1 ; Qxx4 4x2 .
7. Montrer que le polynôme x 2 2x 2 n’a pas de véritables racines.
8. Trouvez les racines du polynôme :
1) x 3 4 x ;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Facteur :
1) 6 une 2 une 5 5a 3 ;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Résolvez des équations en isolant un carré complet :
1) x 2 2 x 3 0 ;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Trouvez le sens des expressions :
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Calculez :
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
|
Dans cette leçon, nous rappellerons toutes les méthodes de factorisation d'un polynôme précédemment étudiées et examinerons des exemples de leur application. De plus, nous étudierons une nouvelle méthode - la méthode d'isolement d'un carré complet et apprendrons à l'utiliser pour résoudre divers problèmes. . Sujet:Factorisation de polynômes Leçon:Factorisation de polynômes. Méthode de sélection d'un carré complet. Combinaison de méthodes Rappelons les méthodes de base de factorisation d'un polynôme qui ont été étudiées précédemment : Méthode consistant à mettre entre parenthèses un facteur commun, c'est-à-dire un facteur présent dans tous les termes du polynôme. Regardons un exemple : Rappelons qu'un monôme est le produit de puissances et de nombres. Dans notre exemple, les deux termes ont des éléments communs et identiques. Alors, retirons le facteur commun entre parenthèses :
Rappelons qu'en multipliant le facteur retiré par une parenthèse, vous pouvez vérifier l'exactitude du facteur retiré. Méthode de regroupement. Il n’est pas toujours possible d’extraire un facteur commun dans un polynôme. Dans ce cas, vous devez diviser ses membres en groupes de manière à ce que dans chaque groupe vous puissiez retirer un facteur commun et essayer de le décomposer de sorte qu'après avoir retiré les facteurs des groupes, un facteur commun apparaisse dans le expression entière, et vous pouvez continuer la décomposition. Regardons un exemple : Regroupons le premier terme avec le quatrième, le deuxième avec le cinquième et le troisième avec le sixième : Sortons les facteurs communs aux groupes : L’expression a désormais un facteur commun. Sortons-le : Application de formules de multiplication abrégées. Regardons un exemple :
Écrivons l'expression en détail : Évidemment, nous avons devant nous la formule de la différence au carré, puisqu'il s'agit de la somme des carrés de deux expressions et que leur double produit en est soustrait. Utilisons la formule : Aujourd'hui, nous allons apprendre une autre méthode : la méthode de sélection d'un carré complet. Il est basé sur les formules du carré de la somme et du carré de la différence. Rappelons-leur : Formule du carré de la somme (différence) ; La particularité de ces formules est qu'elles contiennent les carrés de deux expressions et leur produit double. Regardons un exemple : Écrivons l'expression : Ainsi, la première expression est , et la seconde est . Pour créer une formule pour le carré d’une somme ou d’une différence, il ne suffit pas de doubler le produit des expressions. Il faut ajouter et soustraire : Complétons le carré de la somme : Transformons l'expression résultante : Appliquons la formule de la différence des carrés, rappelons que la différence des carrés de deux expressions est le produit et la somme de leur différence : Ainsi, cette méthode consiste tout d'abord à identifier les expressions a et b qui sont au carré, c'est-à-dire à déterminer quelles expressions sont au carré dans cet exemple. Après cela, vous devez vérifier la présence d'un produit doublé et s'il n'y est pas, alors l'ajouter et le soustraire, cela ne changera pas le sens de l'exemple, mais le polynôme peut être factorisé à l'aide des formules du carré de la somme ou la différence et la différence des carrés, si possible. Passons à la résolution d'exemples. Exemple 1 - factoriser : Trouvons des expressions au carré : Écrivons ce que devrait être leur double produit : Ajoutons et soustrayons le double du produit : Complétons le carré de la somme et donnons des carrés similaires : Écrivons-le en utilisant la formule de la différence des carrés : Exemple 2 - résoudre l'équation :
Du côté gauche de l’équation se trouve un trinôme. Vous devez en tenir compte dans les facteurs. Nous utilisons la formule de différence au carré : Nous avons le carré de la première expression et le produit double, il manque le carré de la deuxième expression, ajoutons-le et soustrayons-le : Plions un carré complet et donnons des termes similaires : Appliquons la formule de la différence des carrés : On a donc l'équation On sait qu’un produit n’est égal à zéro que si au moins un des facteurs est égal à zéro. Créons les équations suivantes sur cette base : Résolvons la première équation : Résolvons la deuxième équation : Réponse : ou
Nous procédons de la même manière que dans l'exemple précédent : sélectionnons le carré de la différence. Comme je l'ai déjà noté, dans le calcul intégral, il n'existe pas de formule pratique pour intégrer une fraction. Et donc, il y a une triste tendance : plus la fraction est sophistiquée, plus il est difficile de trouver son intégrale. À cet égard, vous devez recourir à diverses astuces, dont je vais maintenant vous parler. Les lecteurs avertis peuvent immédiatement profiter de table des matières:
Méthode de conversion du numérateur artificielExemple 1 À propos, l'intégrale considérée peut également être résolue par la méthode du changement de variable, notant , mais l'écriture de la solution sera beaucoup plus longue. Exemple 2 Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification. Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il est à noter que la méthode de remplacement de variable ne fonctionnera plus ici. Attention, important ! Les exemples n°1, 2 sont typiques et surviennent fréquemment. En particulier, de telles intégrales apparaissent souvent lors de la solution d'autres intégrales, en particulier lors de l'intégration de fonctions irrationnelles (racines). La technique considérée fonctionne également dans le cas si le plus haut degré du numérateur est supérieur au plus haut degré du dénominateur. Exemple 3 Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification. Nous commençons à sélectionner le numérateur. L'algorithme de sélection du numérateur ressemble à ceci : 1) Au numérateur, je dois organiser , mais là . Ce qu'il faut faire? Je le mets entre parenthèses et multiplie par : . 2) Maintenant, j'essaie d'ouvrir ces supports, que se passe-t-il ? . Hmm... c'est mieux, mais il n'y a pas deux au numérateur au départ. Ce qu'il faut faire? Il faut multiplier par : 3) J'ouvre à nouveau les parenthèses : . Et voici le premier succès ! Cela s'est avéré parfait ! Mais le problème est qu’un terme supplémentaire est apparu. Ce qu'il faut faire? Pour éviter que l'expression ne change, je dois ajouter la même chose à ma construction : 4) C'est possible. Essayons : 5) Encore une fois, pour vérifier, j'ouvre les parenthèses au deuxième terme : Si tout est fait correctement, alors lorsque nous ouvrons toutes les parenthèses, nous devrions obtenir le numérateur d'origine de l'intégrande. Nous vérifions : Ainsi: Prêt. Au cours du dernier trimestre, j'ai utilisé la méthode consistant à subsumer une fonction sous un différentiel. Si nous trouvons la dérivée de la réponse et réduisons l’expression à un dénominateur commun, alors nous obtiendrons exactement la fonction intégrande d’origine. La méthode de décomposition envisagée en une somme n'est rien de plus que l'action inverse consistant à ramener une expression à un dénominateur commun. L'algorithme de sélection du numérateur dans de tels exemples est mieux réalisé sous forme de projet. Avec quelques compétences, cela fonctionnera mentalement. Je me souviens d'un cas record où j'effectuais une sélection pour la puissance 11, et l'expansion du numérateur occupait près de deux lignes de Verd. Exemple 4 Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification. Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Méthode de subsumation du signe différentiel pour les fractions simplesPassons à l'examen du prochain type de fractions. En fait, quelques cas avec arc sinus et arc tangente ont déjà été mentionnés dans la leçon Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie. De tels exemples sont résolus en subsumant la fonction sous le signe différentiel et en intégrant davantage à l'aide d'un tableau. Voici des exemples plus typiques avec des logarithmes longs et élevés : Exemple 5 Exemple 6
Ici, il est conseillé de prendre un tableau des intégrales et de voir quelles formules et Comment la transformation s’opère. Veuillez noter comment et pourquoi Les carrés de ces exemples sont mis en évidence. En particulier, dans l'exemple 6, nous devons d'abord représenter le dénominateur sous la forme Pourquoi chercher, essayez de résoudre vous-même les exemples n°7 et 8, d'autant plus qu'ils sont assez courts : Exemple 7 Exemple 8 Trouvez l'intégrale indéfinie : Si vous parvenez également à vérifier ces exemples, alors grand respect : vos capacités de différenciation sont excellentes. Méthode de sélection par carré completIntégrales de la forme En fait, de telles intégrales se réduisent à l’une des quatre intégrales tabulaires que nous venons d’examiner. Et cela est réalisé à l'aide de formules de multiplication abrégées familières : Les formules sont appliquées précisément dans cette direction, c'est-à-dire que l'idée de la méthode est d'organiser artificiellement les expressions soit au dénominateur, puis de les convertir en conséquence dans l'un ou l'autre. Exemple 9 Trouver l'intégrale indéfinie C'est l'exemple le plus simple dans lequel avec le terme – coefficient unitaire(pas un nombre ou un moins). Regardons le dénominateur, ici toute l'affaire relève clairement du hasard. Commençons par convertir le dénominateur : Évidemment, il faut en ajouter 4. Et, pour que l'expression ne change pas, soustraire les mêmes quatre : Vous pouvez maintenant appliquer la formule : Une fois la conversion terminée TOUJOURS Il est conseillé d'effectuer le mouvement inverse : tout va bien, il n'y a pas d'erreurs. La conception finale de l'exemple en question devrait ressembler à ceci : Prêt. Subsumer une fonction complexe « libre » sous le signe différentiel : , en principe, pourrait être négligé Exemple 10 Trouvez l'intégrale indéfinie : Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, la réponse se trouve à la fin de la leçon Exemple 11 Trouvez l'intégrale indéfinie : Que faire quand il y a un moins devant ? Dans ce cas, nous devons retirer le moins des parenthèses et organiser les termes dans l'ordre souhaité : . Constante(« deux » dans ce cas) ne touchez pas ! Maintenant, nous en ajoutons un entre parenthèses. En analysant l'expression, nous arrivons à la conclusion qu'il faut en ajouter une en dehors des parenthèses : Ici, nous obtenons la formule, appliquez : TOUJOURS Nous vérifions le brouillon : L'exemple propre ressemble à ceci : Rendre la tâche plus difficile Exemple 12 Trouvez l'intégrale indéfinie : Ici, le terme n'est plus un coefficient unitaire, mais un « cinq ».
(1) S'il y a une constante à, alors nous la retirons immédiatement des parenthèses. (2) En général, il est toujours préférable de déplacer cette constante en dehors de l'intégrale afin qu'elle ne gêne pas. (3) Évidemment, tout se résumera à la formule. Il faut comprendre le terme, à savoir obtenir le « deux » (4) Ouais, . Cela signifie que nous ajoutons à l’expression et soustrayons la même fraction. (5) Sélectionnez maintenant un carré complet. Dans le cas général, il faut aussi calculer , mais ici nous avons la formule d'un logarithme long (6) En fait, on peut appliquer la formule (7) Dans la réponse sous la racine, il est conseillé d'élargir toutes les parenthèses : Difficile? Ce n’est pas la partie la plus difficile du calcul intégral. Cependant, les exemples considérés ne sont pas tellement complexes car ils nécessitent de bonnes techniques informatiques. Exemple 13 Trouvez l'intégrale indéfinie : Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La réponse se trouve à la fin de la leçon. Il existe des intégrales avec des racines au dénominateur, qui, par substitution, sont réduites à des intégrales du type considéré que vous pouvez lire à leur sujet dans l'article ; Intégrales complexes, mais il est conçu pour des étudiants très préparés. Subsumer le numérateur sous le signe différentielC'est la dernière partie de la leçon, cependant, les intégrales de ce type sont assez courantes ! Si vous êtes fatigué, peut-être vaut-il mieux lire demain ? ;) Les intégrales que nous considérerons sont similaires aux intégrales du paragraphe précédent, elles ont la forme : ou Autrement dit, nous avons maintenant une fonction linéaire au numérateur. Comment résoudre de telles intégrales ? Avez-vous aimé l'article? Partagez avec vos amis !
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. La vie est devenue plus facile. Est-il possible de s'organiser à nouveau au numérateur ?
. Ouvrez les parenthèses du deuxième terme : 
. Désolé, mais à l'étape précédente, je n'avais pas . Ce qu'il faut faire? Il faut multiplier le deuxième terme par : 
. Maintenant c'est normal : dérivé de la construction finale du point 3 ! Mais encore une fois il y a un petit « mais », un terme supplémentaire est apparu, ce qui fait que je dois ajouter à mon expression : 
, puis placez-le sous le signe différentiel. Et tout cela doit être fait pour utiliser la formule tabulaire standard 
.
(les coefficients et ne sont pas égaux à zéro) sont résolus méthode d'extraction de carrés complets, qui est déjà apparu dans la leçon Transformations géométriques des graphiques.
, et cela ne sert à rien d'effectuer l'action ; pourquoi deviendra clair ci-dessous.
, seulement au lieu de « X » nous avons , ce qui n'annule pas la validité de l'intégrale du tableau. À proprement parler, une étape a été manquée : avant l'intégration, la fonction aurait dû être englobée sous le signe différentiel : 
, mais, comme je l’ai souligné à plusieurs reprises, cela est souvent négligé.
(coefficients , et ne sont pas égaux à zéro).
