Lignes parallèles. Les propriétés de projection parallèle sont les suivantes : les projections de deux lignes parallèles sont parallèles entre elles. Si (Fig. 78) la droite AB est parallèle à la droite CD, alors les plans saillants ? Et? sont parallèles entre eux et lorsque ces plans coupent le plan des projections π 0, on obtient des projections A 0 B 0 et C 0 D 0 parallèles entre elles.
Cependant, bien que A 0 B 0 || C 0 D 0 (Fig. 78), les lignes pour lesquelles A 0 B 0 et C 0 D 0 sont des projections peuvent ne pas être parallèles entre elles : par exemple, la ligne AB n'est pas parallèle à la ligne C 1 D 1.
Des propriétés indiquées de la projection parallèle, il s'ensuit que les projections horizontales de lignes parallèles sont parallèles entre elles, les projections frontales sont parallèles entre elles et les projections de profil sont parallèles entre elles.
La conclusion opposée est-elle vraie, c'est-à-dire deux droites dans l'espace seront-elles parallèles si dans le dessin leurs projections du même nom sont parallèles deux à deux ?
Oui, si des projections parallèles sont données sur chacun des trois plans de projection π 1, π 2 et π 3. Mais si les projections de droites parallèles entre elles sont données sur seulement deux plans de projection, alors le parallélisme des droites dans l'espace est toujours confirmé pour les droites en position générale et peut ne pas être confirmé pour les droites parallèles à l'un des plans de projection.
Un exemple est donné sur la Fig. 79. Bien que les lignes de profil AB et CD soient données par les projections A "B", A "B" et CD", C "D", parallèles entre elles, les lignes droites elles-mêmes ne sont pas parallèles - cela peut être vu de la position relative de leurs projections de profil, construites selon les projections données.
Donc, la question a été résolue en utilisant des projections de droites sur le plan de projection par rapport auquel les droites données sont parallèles.
Sur la fig. 80 montre un cas où il est possible d'établir que les lignes de profil AB et CD ne sont pas parallèles entre elles, sans recourir à la construction d'une troisième projection : il suffit de faire attention à l'alternance des désignations de lettres.
Si par un point A donné il faut tracer une droite parallèle à une droite donnée LM, alors (Fig. 81, à gauche) la construction se réduit à tracer une droite parallèle à L"M" passant par le point A" et un droite parallèle à L"M" passant par le point A" .
Dans le cas représenté sur la Fig. 81 à droite, des droites parallèles sont situées dans un plan de projection commun, perpendiculaire au carré. π 1. Les projections horizontales de ces lignes sont donc situées sur la même ligne.
Lignes qui se croisent.Si des lignes droites se coupent, alors leurs projections du même nom se coupent en un point qui est la projection du point d'intersection de ces lignes.
En effet (Fig. 82), si le point K appartient à la fois aux droites AB et CD, alors la projection de ce point doit être le point d'intersection des projections de ces droites.
La conclusion selon laquelle les lignes droites du dessin se coupent peut toujours être tirée par rapport à position générale directe, que les projections soient données sur trois ou deux plans de projection. Une condition nécessaire et suffisante est seulement que les points d'intersection homonyme
les projections étaient sur la même perpendiculaire à l'axe des projections correspondant (Fig. 83) ou, dans un dessin sans axe de projections (Fig. 84), ces points seraient sur la ligne de connexion de la direction établie pour lui. Mais si l'une de ces lignes est parallèle à l'un des plans de projection et que le dessin ne montre pas de projections sur ce plan, alors on ne peut pas affirmer que ces lignes se coupent, même si la condition ci-dessus est remplie. Par exemple, dans le cas donné sur la Fig. 85, les droites AB et CD, dont la droite CD est parallèle au carré π 3, ne se coupent pas ; cela peut être confirmé en construisant des projections de profil ou en appliquant la règle de division des segments à cet égard.
Montré sur la Fig. 84 lignes sécantes sont situées dans un plan saillant commun perpendiculaire au carré. π2. Les projections frontales de ces lignes sont donc situées sur la même ligne.
Traverser les lignes. Les lignes droites qui se croisent ne se coupent ni ne sont parallèles. Sur la fig. 86 montre deux lignes sécantes de position générale : bien que les projections du même nom se coupent, leurs points d'intersection ne peuvent pas être reliés par une ligne de connexion parallèle aux lignes de connexion L"L" et M"M", c'est-à-dire que ces lignes ne ne se croisent pas. Les lignes droites représentées sur la Fig. 79, 80 et 85, également croisés.
Comment considérer le point d’intersection des mêmes projections de lignes sécantes ? Il représente des projections de deux points, dont l'un
appartient à la première, et l’autre appartient à la seconde de ces lignes qui se croisent. Par exemple, sur la Fig. 87, le point avec les projections K" et K" appartient à la droite AB, et le point avec les projections L" et L" appartient à la droite CD. Ces points sont également éloignés de la zone π 2, mais leurs distances par rapport à la zone π 1 sont différents : le point avec les projections L " et L " sont plus éloignés de π 1 que le point avec les projections K" et K" (Fig. 88).
Les points avec des projections M", M" et N", N" sont à égale distance de la zone π 1, mais les distances de ces points par rapport à la zone π 2 sont différentes.
Un point avec les projections L" et L", appartenant à la droite CD, recouvre le point avec les projections K" et K" de la droite AB par rapport au carré. π 1 ; la direction de vue correspondante est indiquée par une flèche au niveau de la projection L". Par rapport au carré π 2, le point aux projections N" et N" de la droite CD recouvre le point aux projections M" et M" de la droite AB ; la direction du regard est indiquée par la flèche ci-dessous, au niveau de la projection N" .
Les désignations des projections de points « fermés » sont placées entre parenthèses 1).
Définition des lignes parallèles. Deux lignes droites sont parallèles et se situent dans le même plan et ne se coupent pas sur toute leur longueur.
Les droites AB et CD (Fig. 57) seront parallèles. Le fait qu'ils soient parallèles s'exprime parfois par écrit : AB || CD.
Théorème 34. Deux droites perpendiculaires au même tiers sont parallèles.
Étant donné les droites CD et EF perpendiculaires à AB (Fig. 58)
CD ⊥ AB et EF ⊥ AB.
Nous devons prouver que CD || E.F.
Preuve. Si les droites CD et EF n'étaient pas parallèles, elles se couperaient en un point M. Dans ce cas, deux perpendiculaires tomberaient du point M à la droite AB, ce qui est impossible (Théorème 11), d'où la droite CD || EF (ChTD).
Théorème 35. Deux lignes droites, dont l'une perpendiculaire et l'autre inclinée par rapport à la troisième, se coupent toujours.
Deux droites EF et CG sont données, dont EF ⊥ AB, et CG est inclinée vers AB (Fig. 59).
Il faut prouver que CG rencontrera la droite EF ou que CG n'est pas parallèle à EF.
Preuve. A partir du point C on construit une perpendiculaire CD à la droite AB, puis au point C se forme un angle DCG, que l'on répétera tant de fois que la droite CK tombe en dessous de la droite AB. Supposons que pour cela on répète n fois l’angle DCG, comme ce
De la même manière, nous traçons la ligne CE sur la ligne AB n fois également, de sorte que CN = nCE.
A partir des points C, E, L, M, N on construit les perpendiculaires LL", MM", NN". L'espace contenu entre les deux segments parallèles CD, NN" et le segment CN sera n fois plus grand que l'espace contenu entre les deux perpendiculaires CD, EF et le segment CE, donc DCNN" = nDCEF.
L'espace contenu dans l'angle DCK contient l'espace DCNN", donc,
DCK > CDNN" ou
nDCG > nDCEF, d'où
DCG > DCEF.
La dernière inégalité ne peut se produire que lorsque la droite CG quitte l'espace DCEF lors de sa continuation, c'est-à-dire lorsque la droite CG rencontre la droite EF, donc la droite CG n'est pas parallèle à CF (CHT).
Théorème 36. Une droite perpendiculaire à l’une des parallèles est également perpendiculaire à l’autre.
Soient deux droites parallèles AB et CD et une droite EF perpendiculaire à CD (Fig. 60).
AB || CD, FE ⊥ CD
Nous devons prouver que EF ⊥ AB.
Preuve. Si la droite AB était inclinée vers EF, alors deux droites CD et AB se couperaient, car CD ⊥ EF et AB sont inclinés vers EF (Théorème 35), et les droites AB et CD ne seraient pas parallèles, ce qui contredirait donc cette condition, la ligne EF est perpendiculaire à CD (CHT).
Angles formés par l'intersection de deux droites par une troisième droite. Lorsque deux droites AB et CD coupent une troisième droite EF (dessin 61), huit angles se forment α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. Ces angles reçoivent des noms spéciaux.
Les quatre angles α, β, ν et ρ sont appelés externe.
Les quatre angles γ, δ, λ, μ sont appelés interne.
Les quatre angles β, γ, μ, ν et les quatre angles α, δ, λ, ρ sont appelés unilatéral, car ils se trouvent d’un côté de la droite EF.
De plus, les angles, pris par paires, reçoivent les noms suivants :
Les angles β et μ sont appelés approprié . En plus de ce couple, les mêmes angles correspondants seront des couples d'angles :γ et ν, α et λ, δ et ρ.
Les paires d'angles δ et μ, ainsi que γ et λ sont appelées position transversale interne .
Les paires d'angles β et ρ, ainsi que α et ν sont appelées position transversale externe .
Les paires d'angles γ et μ, ainsi que δ et λ sont appelées interne unilatéral .
Les paires d'angles β et ν, ainsi que α et ρ sont appelées externe unilatéral .
Conditions de parallélisme de deux droites
Théorème 37. Deux droites sont parallèles si, lorsqu'elles coupent une troisième, elles ont égaux : 1) les angles correspondants, 2) les angles transversaux internes, 3) les angles transversaux externes et, enfin, si 4) la somme des angles internes unilatéraux est égal à deux angles droits, 5) la somme des angles externes unilatéraux est égale à deux droites.
Démontrons séparément chacune de ces parties du théorème.
1er cas. Les angles correspondants sont égaux(Figure 62).
Donné. Les angles β et μ sont égaux.
Preuve. Si les droites AB et CD se coupent au point Q, alors nous obtiendrons un triangle GQH, dont l'angle externe β serait égal à l'angle interne μ, ce qui contredirait le théorème 22, donc les droites AB et CD ne se coupent pas ou AB || CD (CHD).
2ème cas. Les angles transversaux internes sont égaux, c'est-à-dire δ = μ.
Preuve. δ = β comme vertical, δ = μ par condition, donc β = μ. C'est-à-dire que les angles correspondants sont égaux, et dans ce cas les droites sont parallèles (1er cas).
3ème cas. Les angles transversaux externes sont égaux, c'est-à-dire β = ρ.
Preuve. β = ρ par condition, μ = ρ comme vertical, donc β = μ, puisque les angles correspondants sont égaux. Il s’ensuit que AB || CD (1er coffret).
4ème cas. La somme des unilatéraux internes est égale à deux directs ou γ + μ = 2d.
Preuve. β + γ = 2d comme somme des adjacents, γ + μ = 2d par condition. Par conséquent, β + γ = γ + μ, d’où β = μ. Les angles correspondants sont égaux, donc AB || CD.
5ème cas. La somme des externes unilatéraux est égale à deux directs, c'est-à-dire β + ν = 2d.
Preuve. μ + ν = 2d comme somme des adjacents, β + ν = 2d par condition. Par conséquent, μ + ν = β + ν, d’où μ = β. Les angles correspondants sont égaux, donc AB || CD.
Ainsi, dans tous les cas AB || CD (CHD).
Théorème 38(revers 37). Si deux droites sont parallèles, alors lorsqu'elles coupent une troisième droite, les éléments suivants seront égaux : 1) les angles transversaux internes, 2) les angles transversaux externes, 3) les angles correspondants et sont égaux à deux angles droits, 4) la somme des angles internes unilatéraux et 5) la somme des angles externes unilatéraux.
Étant donné deux droites parallèles AB et CD, c'est-à-dire AB || CD (Fig. 63).
Il est nécessaire de prouver que toutes les conditions ci-dessus sont remplies.
1er cas. Coupons deux droites parallèles AB et CD avec une troisième droite inclinée EF. Notons G et H les points d'intersection des droites AB et CD de la droite EF. A partir du point O du milieu de la droite GH, on abaisse une perpendiculaire à la droite CD et on la continue jusqu'à ce qu'elle coupe la droite AB au point P. La droite OQ perpendiculaire à CD est également perpendiculaire à AB (Théorème 36). Les triangles rectangles OPG et OHQ sont égaux, car OG = OH par construction, ∠ QG= ∠ POG sous forme d'angles verticaux, donc OP = OQ.
Il s'ensuit que δ = μ, c'est-à-dire les angles transversaux internes sont égaux.
2ème cas. Si AB || CD, alors δ = μ, et puisque δ = β, et μ = ρ, alors β = ρ, c'est-à-dire les angles transversaux externes sont égaux.
3ème cas. Si AB || CD, alors δ = μ, et puisque δ = β, alors β = μ, donc, les angles correspondants sont égaux.
4ème cas. Si AB || CD, alors δ = μ, et puisque δ + γ = 2d, alors μ + γ = 2d, c'est-à-dire la somme des unilatéraux internes est égale à deux directs.
5ème cas. Si AB || CD, alors δ = μ.
Puisque μ + ν = 2d, μ = δ = β, donc ν + β = 2d, c'est-à-dire la somme des externes unilatéraux est égale à deux directes.
De ces théorèmes il résulte conséquence. Par un point, vous ne pouvez tracer qu’une seule ligne droite parallèle à une autre ligne droite.
Théorème 39. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.
Étant donné trois lignes (Fig. 64) AB, CD et EF, dont AB || EF, CD || E.F.
Nous devons prouver que AB || CD.
Preuve. Coupons ces droites avec la quatrième droite GH.
Si AB || EF, alors ∠ α = ∠ γ le cas échéant. Si CD || EF, alors ∠ β = ∠ γ ainsi que correspondant. Ainsi, ∠ α = ∠ β .
Si les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles, donc AB || CD (CHD).
Théorème 40. Les angles du même nom ayant des côtés parallèles sont égaux.
Les angles ABC et DEF du même nom (tous deux aigus ou tous deux obtus) sont donnés ; leurs côtés sont parallèles, c'est-à-dire AB || DE, C.-B. || EF (Fig. 65).
Il est nécessaire de prouver que ∠ B= ∠ E.
Preuve. Continuons le côté DE jusqu'à ce qu'il coupe la ligne BC au point G, puis
∠ E = ∠ G comme correspondant à l'intersection des côtés parallèles à BC et EF de la troisième droite DG.
∠ B = ∠ G comme correspondant à l'intersection des côtés parallèles AB et DG de la droite BC, donc,
∠ E = ∠ B (CHD).
Théorème 41. Les angles opposés avec des côtés parallèles se complètent en deux angles droits.
Étant donné deux angles opposés ABC et DEF (Fig. 66) avec des côtés parallèles, donc AB || DE et Colombie-Britannique || E.F.
Nous devons prouver que ABC + DEF = 2d.
Preuve. Continuons la ligne DE jusqu'à ce qu'elle coupe la ligne BC au point G.
∠B+ ∠ DGB = 2d comme somme des angles internes unilatéraux formés par l'intersection des parallèles AB et DG de la troisième droite BC.
∠ DGB = ∠ DEF comme correspondant donc,
∠B+ ∠ DEF = 2j (CHD).
Théorème 42. Les angles du même nom dont les côtés sont perpendiculaires sont égaux et les angles opposés se complètent jusqu'à deux lignes droites.
Considérons deux cas : lorsque A) les angles sont les mêmes et lorsque B) ils sont opposés.
1er cas. Les côtés de deux angles du même nom DEF et ABC (Fig. 67) sont perpendiculaires, c'est-à-dire DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
Nous devons prouver que ∠ DEF = ∠ ABC.
Preuve. Traçons les droites BM et BN du point B parallèlement aux droites DE et EF de telle sorte que
BM || DE, BN || E.F.
Ces droites sont également perpendiculaires aux côtés d'un angle ABC donné, c'est-à-dire :
BM ⊥ AB et BN ⊥ BC.
Parce que ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, alors
∠ CNB = ∠ MBA (a)
En soustrayant des deux côtés de l'égalité (a) par l'angle NBA, on trouve
∠ MBN = ∠ ABC
Puisque les angles MBN et DEF sont identiques et ont des côtés parallèles, ils sont égaux (Théorème 40).
∠ MBN = ∠ DEF (b)
Les égalités (a) et (b) impliquent l'égalité
∠ ABC = ∠ DEF
2ème cas. Les angles GED et ABC à côtés perpendiculaires sont opposés.
Il faut prouver que ∠ GED + ∠ ABC = 2d (Fig. 67).
Preuve. La somme des angles GED et DEF est égale à deux angles droits.
GED + DEF = 2j
DEF = ABC donc
GED + ABC = 2j (CTD).
Théorème 43. Les parties des lignes parallèles entre autres lignes parallèles sont égales.
Étant donné quatre droites AB, BD, CD, AC (Fig. 68), dont AB || CD et BD || CA.
Nous devons prouver que AB = CD et BD = AC.
Preuve. En reliant le point C au point B par le segment BC, on obtient deux triangles égaux ABC et BCD, car
BC - côté commun,
∠ α = ∠ β (comme les lignes transversales internes issues de l'intersection des lignes parallèles AB et CD de la troisième ligne BC),
∠ γ = ∠ δ (comme les lignes transversales internes issues de l'intersection des lignes parallèles BD et AC de la ligne BC).
Ainsi, les triangles ont un côté égal et deux angles égaux.
Des angles égaux opposés α et β se trouvent des côtés égaux AC et BD, et des angles égaux opposés γ et δ se trouvent des côtés égaux AB et CD, donc,
AC = BD, AB = CD (CHD).
Théorème 44. Les lignes parallèles sont à égale distance les unes des autres sur toute leur longueur.
La distance d'un point à une ligne est déterminée par la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne. Pour déterminer la distance de deux points A et B parallèles AB à CD, nous déposons les perpendiculaires AC et BD à partir des points A et B.
Étant donné une droite AB parallèle à CD, les segments AC et BD sont perpendiculaires à la droite CD, c'est-à-dire AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (Fig. 69).
Nous devons prouver que AC = BD.
Preuve. Les droites AC et BD, étant toutes deux perpendiculaires à CD, sont parallèles, et donc AC et BD en tant que parties de parallèles entre parallèles sont égales, c'est-à-dire AC = BD (CHD).
Théorème 45(revers 43). Si les parties opposées de quatre lignes sécantes sont égales, alors ces parties sont parallèles.
Étant donné quatre droites sécantes dont les parties opposées sont égales : AB = CD et BD = AC (Fig. 68).
Nous devons prouver que AB || CD et BD || CA.
Preuve. Reliez les points B et C avec la ligne BC. Les triangles ABC et BDC sont congrus car
BC - côté commun,
AB = CD et BD = AC par condition.
D'ici
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
Ainsi,
CA || BD, Alberta || CD (CHD).
Théorème 46. La somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits.
Étant donné un triangle ABC (Fig. 70).
Nous devons prouver que A + B + C = 2d.
Preuve. Traçons une droite CF partant du point C parallèle au côté AB. Au point C, trois angles BCA, α et β sont formés. Leur somme est égale à deux droites :
AC+ α + β = 2d
α = B (en tant qu'angles transversaux internes à l'intersection des droites parallèles AB et CF de la droite BC) ;
β = A (comme les angles correspondants à l'intersection des droites AB et CF de la droite AD).
Remplacement des angles α et β leurs valeurs, on obtient :
BCA + A + B = 2j (CHD).
Les corollaires suivants découlent de ce théorème :
Corollaire 1. L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.
Preuve. En effet, à partir du dessin 70,
∠BCD = ∠ α + ∠ β
Puisque ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, alors
∠BCD = ∠A + ∠B.
Corollaire 2. Dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus est égale à l’angle droit.
En effet, dans un triangle rectangle (Fig. 40)
A + B + C = 2d, A = d, donc
B + C = d.
Corollaire 3. Un triangle ne peut pas avoir plus d’un angle droit ou un angle obtus.
Corollaire 4. Dans un triangle équilatéral, chaque angle vaut 2/3 d .
En effet, dans un triangle équilatéral
A + B + C = 2j.
Puisque A = B = C, alors
3A = 2d, A = 2/3d.
Lignes qui se croisent- des lignes droites qui ont un point commun. Dans le diagramme, les projections du même nom de ces droites se coupent en des points situés sur la même ligne de connexion de projection (Fig. 200, UN).
Si les projections de lignes du même nom se croisent, mais que les points d'intersection se trouvent sur différentes lignes de connexion de projection (Fig. 200, b), alors les lignes ne se coupent pas, mais se coupent. Points d'intersection des projections du même nom (Fig. 200, b, points 1 " Et 2) représentent des projections de différents points qui se trouvent sur le même rayon projeté et appartiennent à des lignes droites différentes.
Sur la fig. 201 montre comment positionner deux lignes qui se croisent AB Et CD par rapport à l'avion V pour que leurs projections frontales un"b" Et CD" intersecté et le point d'intersection serait la projection frontale de deux points simultanément M Et N. Le point d'intersection des projections horizontales de ces lignes est simultanément la projection du point E, allongé sur la ligne droite CD, et des points situés sur une ligne AB
La position relative de deux points dont les projections sur l'un des plans de projection coïncident peut être déterminée en comparant leurs troisièmes coordonnées. Sur la fig. Projections frontales 201,6 T" Et p" points M Et N coïncidé. Leurs coordonnées X Et Z ont la même taille. Comparer les coordonnées Oui ces points ( Oui N> Oui M), on voit que le point N est plus éloigné du plan K que le point M. Point N par rapport à l'avion V- point visible.
Visibilité des points E Et F par rapport au plan horizontal des projections est déterminé en comparant leurs coordonnées Z.
Les points dont les projections coïncident, c'est-à-dire que les points sont sur le même rayon projeté, sont appelés points concurrents, et la méthode de détermination de la visibilité des éléments géométriques sur un diagramme utilisant ces points est appelée méthode des points concurrents.
Lignes parallèles sont représentés sur le diagramme de manière à ce que leurs projections du même nom soient parallèles entre elles. Lors de la projection de segments de ligne sur un plan de projection, les rayons projetés forment deux plans de projection R. Et R, perpendiculaires à ce plan et parallèles entre eux (P||R). Ils coupent le plan de projection (Fig. 202, a, plan N) le long de lignes parallèles - ab Et CD.
Donc, si les droites sont parallèles, leurs projections du même nom sont parallèles. Sur la fig. 202, b projections horizontales ab Et CD et projections frontales un"b" Et CD" parallèles entre eux, donc droits AB Et CD parallèle.
Il convient de noter que la position relative des lignes sur le diagramme peut être déterminée à l'aide de deux plans de projection, sauf dans les cas où l'une des lignes ou les deux lignes sont parallèles à n'importe quel plan de projection. Dans ces cas, afin de déterminer la position relative des lignes, il est nécessaire d'avoir leur image sur le plan de projection auquel l'une des lignes ou les deux sont parallèles.
Sur la fig. 203 projections CD" Et l"q", cd Et lq direct CD Et L.Q. couper. Droit CD parallèlement à la projection du profil. Dans un avion W c'est clair qu'ils sont hétéros CD Et L.Q. ne se croisent pas, puisque leurs projections de profil ne se coupent pas.
Sur la fig. 204 montre un diagramme de deux lignes droites horizontales AB Et CD. Leurs projections frontales un"b" Et CD" et projections de profil un"b" Et CD" parallèle. Par projections dans l'avion N il est clair que les lignes se croisent.
Sur la fig. 205 montre un schéma de deux lignes droites de profil. Leurs projections frontales un"b" Et CD" et projections horizontales ab Et CD parallèle. Dans un avion W il est clair que les lignes se croisent.
