§ 7. Application de la combinatoire au calcul des probabilités

Si du volume total n un échantillonnage est effectué kéléments avec retour, alors la probabilité d'obtenir chaque échantillon spécifique est considérée comme égale à .

Si l'échantillon est réalisé sans retour, alors cette probabilité est égale à .

Supposons que l'occurrence de l'événement A consiste en l'apparition d'un échantillon avec quelques restrictions supplémentaires et que le nombre de ces échantillons soit égal à m. Alors dans le cas d'un échantillonnage avec retour on a :

en cas de prélèvement sans retour :

Exemple 1. Un nombre à trois chiffres est choisi au hasard sans zéro dans sa notation décimale. Quelle est la probabilité que le nombre sélectionné ait exactement deux chiffres identiques ?

Solution. Imaginons que les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 soient écrits sur 9 cartes identiques et que ces cartes soient placées dans une urne. Choisir au hasard un nombre à trois chiffres équivaut à tirer séquentiellement, à retourner 3 cartes de l'urne et à noter les nombres dans l'ordre dans lequel ils apparaissent. Par conséquent, le nombre de tous les résultats élémentaires de l'expérience est de 93 = 729. Le nombre de cas favorables pour l'événement A qui nous intéresse est calculé comme suit : 2 nombres différents x et y peuvent être choisis de différentes manières ; si x et y sont sélectionnés, alors https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" width="115 height=41" height="41"> peuvent être créés à partir d'eux.

Exemple 2. À partir des lettres du mot « rotor », composées selon un alphabet divisé, 3 lettres sont séquentiellement extraites au hasard et rangées. Quelle est la probabilité que le mot « tor » apparaisse ?

Solution. Pour distinguer les lettres identiques les unes des autres, nous leur fournissons des chiffres : p1, p2, o1, o2. Alors le nombre total d’acquis élémentaires est égal à : . Le mot « tore » apparaîtra dans 1 × 2 × 2 = 4 cas (to1р1, then1р2, then2р1, then2р2)..gif" width="24" height="25 src="> et nous supposons qu'ils ont tous la même valeur. probabilités.

Exemple 3. Dans un lot de N pièces, il y a n pièces défectueuses. Quelle est la probabilité que parmi k pièces sélectionnées au hasard, il y en ait s défectueuses ?

Solution. Le nombre de tous les résultats élémentaires est égal à . Pour calculer le nombre de cas favorables, on raisonne comme suit : parmi n pièces défectueuses on peut sélectionner s pièces de s manières, et parmi N - n pièces non défectueuses on peut sélectionner k – s pièces non défectueuses de manières ; D’après la règle du produit, le nombre de cas favorables est égal à ×. La probabilité requise est :

Exemple 4. Il y a 4 femmes et 3 hommes dans l'équipe. 4 billets pour le théâtre sont tirés au sort parmi les membres de la brigade. Quelle est la probabilité que parmi les détenteurs de billets il y ait 2 femmes et 2 hommes ?

Solution. Appliquons un schéma de sélection statistique. Sur 7 membres de l'équipe, 4 personnes peuvent être sélectionnées = 35 façons, donc le nombre de tous les résultats élémentaires du test est de 35..gif" width="28" height="34">= 3 façons. Ensuite le nombre des cas favorables sera égal à 6 × 3 = 18..gif" width="21" height="41"> . Combien y a-t-il de boules blanches dans l’urne ?

150. Il y a n boules blanches et m boules noires dans une urne. K boules (k>m) sont tirées au hasard. Quelle est la probabilité qu’il ne reste que des boules blanches dans l’urne ?

151. D'une urne contenant N boules, une boule est retirée N fois, à chaque fois que la boule retirée est rendue. Quelle est la probabilité que toutes les boules soient tirées une fois ?

152. Un jeu complet de cartes (52 feuilles) est divisé au hasard en 2 parties égales (26 cartes chacune). Trouvez les probabilités des événements suivants :

A – il y aura 2 as dans chaque partie ;

B – dans l’une des parties, il n’y aura pas un seul as ;

C – l’une des parties aura exactement un as.

153. Une urne contient a des boules blanches, b noires et c rouges. Toutes les boules sont sorties de cette urne une à une sans revenir et leurs couleurs sont enregistrées. Trouvez la probabilité que le blanc apparaisse avant le noir dans cette liste.

154. Il y a 2 urnes : la première contient une boule blanche et b noire ; la seconde avec du blanc et du noir. Une boule est tirée de chaque urne. Trouvez la probabilité que les deux boules soient blanches (événement A) et la probabilité que les boules soient de couleurs différentes (événement B).

155. Les 2n équipes sont réparties en 2 sous-groupes de n équipes. Trouvez la probabilité que les 2 équipes les plus fortes se retrouvent : a) dans des sous-groupes différents (événement A) ; b) en un sous-groupe (événement B).

156. 3 cartes sont tirées au hasard dans un jeu de 36 cartes. Déterminez la probabilité que la somme des points de ces cartes soit de 21 si le valet est de 2 points, la reine est de 3, le roi est de 4, l'as est de 11 et les cartes restantes sont de 6, 7, 8, 9, 10 points. , respectivement.

157. Le propriétaire d'une carte de loterie Sportloto (6 sur 49) raye 6 numéros. Quelle est la probabilité qu’ils devinent :

a) les 6 numéros de la prochaine circulation ;

b) 5 ou 6 numéros ;

c) au moins 3 chiffres ?

158. Un bus de 15 passagers doit effectuer 20 arrêts. En supposant que toutes les manières possibles de répartir les passagers entre les arrêts sont également possibles, déterminez la probabilité que deux passagers ne descendent pas au même arrêt.

159. Parmi les nombres 1, 2, …, N, r différents nombres (r £ N) sont choisis au hasard. Trouvez la probabilité que r nombres consécutifs soient sélectionnés.

160. Plusieurs cartes sont tirées d'un jeu complet de cartes (52 feuilles). Combien de cartes faut-il tirer pour affirmer avec une probabilité supérieure à 0,5 que parmi elles il y aura des cartes de la même couleur ?

161. Il y a n balles dispersées au hasard sur m trous. Trouvez la probabilité qu'exactement k1 balles tombent dans le premier trou, k2 balles dans le second, etc., et km de balles dans le m-ième trou, si k1+k2+…+km=n.

162. Dans les conditions du problème précédent, trouvez la probabilité que dans l'un des trous (peu importe lequel) il y ait des boules k1, et dans l'autre - des boules k2, etc., dans le m-ème - des boules km (les nombres k1,k2,... ,km sont supposés différents).

163. Dans l'ensemble (1, 2,…, N), les nombres x1 et x2 sont sélectionnés séquentiellement sans retour. Trouvez p(x2 > x1).

1 manuscrits sont divisés en 30 dossiers (un manuscrit occupe 3 dossiers). Trouvez la probabilité que 6 dossiers jetés au hasard ne contiennent pas un seul manuscrit dans son intégralité.

165. Quelle est la probabilité que dans une entreprise de r personnes, au moins deux aient le même anniversaire ? (Par souci de simplicité, on suppose que le 29 février n'est pas un anniversaire).

166. Utilisation d'un tableau de valeurs lg n ! et la condition du problème précédent, calculez les probabilités pour r = 22, 23, 60.

167. Vous avez décidé de trouver une personne dont l'anniversaire coïncide avec le vôtre. Combien d’étrangers devriez-vous interroger pour que la probabilité de rencontrer une telle personne ne soit pas inférieure à 0,5 ?

168. Pour l'emprunt d'État, six tirages principaux et un tirage supplémentaire ont lieu chaque année, après le cinquième tirage principal. Sur 100 000 épisodes, 170 épisodes gagnent dans chaque diffusion principale et 230 épisodes dans chaque diffusion supplémentaire. Trouvez la probabilité de gagner une obligation au cours des 10 premières années : a) dans la circulation principale ; b) dans une édition supplémentaire ; c) dans n'importe quelle édition.

Professeur difficile, il est urgent de résoudre des problèmes de théorie des probabilités en 1 jour, thème "Théorie des probabilités (mathématiques)"

1. Le numéro de téléphone se compose de six chiffres. Trouvez la probabilité que tous les nombres soient différents. 2. Le lot contient 10 produits, dont quatre non standard. Quatre éléments sont tirés au hasard. Trouvez la probabilité que parmi les produits sélectionnés, il y ait plus de produits standards que de produits non standard. 3. Dix personnes sont assises au hasard sur un banc de dix places. Trouvez la probabilité que 2 personnes spécifiques soient à proximité. 4. Un point est sélectionné au hasard à l’intérieur d’un carré avec des sommets. Trouvez la probabilité de l'événement suivant : 5. Deux tireurs ont tiré indépendamment un coup sur la cible. On sait que la probabilité d'atteindre la cible pour l'un des tireurs est de 0,6 ; et pour l'autre - 0,7. Trouvez la probabilité qu'au moins un des tireurs rate la cible. 6. Avant de passer le premier tour du concours, chaque candidat se voit confier trois tâches : un texte à lire artistique, un thème à présenter en pantomime, un poème à interpréter vocalement sur sa propre mélodie. Lors de la réussite du concours, il est proposé de réaliser deux numéros sur trois. La sélection des numéros est aléatoire. Le concurrent estime qu'il réussira le premier tour en lecture littéraire avec une probabilité de 0,9 ; lors de l'exécution d'une pantomime – 0,3 ; lors de l’exécution d’une tâche vocale – 0,5. Quelle est la probabilité de réussir le premier tour pour un candidat avec une telle préparation ? 7. La première urne contient 10 boules dont 8 blanches ; La deuxième urne contient 15 boules dont 4 blanches. Deux boules étaient tirées au hasard dans la première urne, puis une boule de la deuxième urne y était transférée. Après cela, une boule était tirée de la première urne. Trouvez la probabilité que cette boule soit blanche. 8. Sur 18 tireurs, 5 ont touché la cible avec une probabilité de 0,6 ; 7 – avec probabilité 0,7 ; 4 – avec probabilité 0,8 ; 2 – avec probabilité 0,5. Le tireur choisi au hasard a raté sa cible. À quel groupe ce tireur appartient-il le plus probablement ? 9. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,7. Trouvez la probabilité qu'avec 20 tirs indépendants, la cible ne soit pas touchée plus de 14 fois. 10. Il y a 5 pièces dans votre poche, à peu près identiques au toucher : trois à 2 roubles chacune et deux à 10 roubles chacune. Sans regarder, ils sortent 2 pièces. Une variable aléatoire est le nombre total de roubles extraits. Pour une variable aléatoire : a) construire une série de distribution, b) trouver l'espérance mathématique et la variance, c) trouver la probabilité de l'événement (au moins 4, mais pas plus de 12 roubles ont été extraits). 11. Un technicien appelé à votre domicile peut se présenter à tout moment de 10h à 18h. Le client, après avoir attendu jusqu'à 14 heures, est parti 1 heure. En considérant l'heure d'arrivée du maître comme une variable aléatoire distribuée uniformément, trouvez la densité de probabilité, la fonction de distribution. Déterminer la probabilité que le maître (sa venue est obligatoire) ne retrouve pas le client chez lui ? Construire des graphiques de densité de probabilité et des fonctions de distribution.

Plus de détails
Problèmes sur la détermination classique des probabilités.

Exemples de solutions Dans la troisième leçon, nous examinerons divers problèmes impliquant l’application directe de la définition classique de la probabilité. Pour étudier efficacement les matériaux de cet article, je vous recommande de vous familiariser avec les concepts de base théorie des probabilités Et bases de la combinatoire . La tâche de déterminer classiquement une probabilité avec une probabilité tendant vers un sera présente dans votre travail indépendant/de contrôle sur terver, alors préparons-nous pour un travail sérieux. Vous vous demandez peut-être : qu’y a-t-il de si sérieux à ce sujet ? ...juste une formule primitive. Je vous mets en garde contre la frivolité - les tâches thématiques sont très diverses et nombre d'entre elles peuvent facilement vous dérouter. À cet égard, en plus de suivre la leçon principale, essayez d'étudier des tâches supplémentaires sur le sujet qui se trouvent dans la tirelire. solutions toutes faites pour les mathématiques supérieures

. Les techniques de solution sont des techniques de solution, mais les « amis » doivent toujours « être connus de vue », car même une imagination riche est limitée et il existe également suffisamment de tâches standard. Eh bien, je vais essayer d’en trier le plus possible et de bonne qualité.

Rappelons les classiques du genre :

La probabilité qu'un événement se produise dans un certain test est égale au rapport , où : – nombre total de tous, tout aussi possibleélémentaire résultats de ce test, qui forment;

groupe complet d'événements tout aussi possible- quantité

des résultats favorables à l’événement. Dans la troisième leçon, nous examinerons divers problèmes impliquant l’application directe de la définition classique de la probabilité. Pour étudier efficacement les matériaux de cet article, je vous recommande de vous familiariser avec les concepts de base Et immédiatement un arrêt au stand immédiat. Comprenez-vous les termes soulignés ? Cela signifie une compréhension claire et non intuitive. Sinon, mieux vaut quand même revenir au 1er article sur

et seulement après cela, passez à autre chose.

S'il vous plaît, ne sautez pas les premiers exemples - je vais y répéter un point fondamentalement important et vous expliquer également comment formater correctement une solution et de quelles manières cela peut être fait :

Problème 1

Une urne contient 15 boules blanches, 5 rouges et 10 noires. 1 boule est tirée au hasard, trouvez la probabilité qu'elle soit : a) blanche, b) rouge, c) noire. Solution : La condition préalable la plus importante pour utiliser la définition classique de la probabilité est.

Il y a un total de 15 + 5 + 10 = 30 boules dans l'urne, et évidemment les faits suivants sont vrais :

– récupérer n’importe quelle balle est également possible (égalité des chances résultats), tandis que les résultats élémentaire et forme résultats de ce test, qui forment (c'est-à-dire qu'à la suite du test, l'une des 30 balles sera définitivement retirée).

Ainsi, le nombre total de résultats :

Considérez l'événement : – une boule blanche sera tirée de l'urne. Cet événement est privilégié tout aussi possible résultats donc, selon la définition classique :
– la probabilité qu'une boule blanche soit tirée de l'urne.

Curieusement, même dans une tâche aussi simple, on peut commettre une grave inexactitude, sur laquelle j'ai déjà parlé dans le premier article sur Dans la troisième leçon, nous examinerons divers problèmes impliquant l’application directe de la définition classique de la probabilité. Pour étudier efficacement les matériaux de cet article, je vous recommande de vous familiariser avec les concepts de base. Où est le piège ici ? Il est inexact de prétendre ici que « Puisque la moitié des boules sont blanches, alors la probabilité de tirer une boule blanche» . La définition classique de la probabilité fait référence à ÉLÉMENTAIRE résultats, et la fraction doit être écrite !

Avec d’autres points, de la même manière, considérons les événements suivants :

– une boule rouge sera tirée de l'urne ;
– une boule noire sera tirée de l’urne.

Un événement est favorisé par 5 résultats élémentaires, et un événement est favorisé par 10 résultats élémentaires. Les probabilités correspondantes sont donc :

Une vérification typique de nombreuses tâches du serveur est effectuée à l'aide théorèmes sur la somme des probabilités d'événements formant un groupe complet. Dans notre cas, les événements forment un groupe complet, ce qui signifie que la somme des probabilités correspondantes doit nécessairement être égale à un : .

Vérifions si cela est vrai : c'est ce dont je voulais m'assurer.

Répondre:

En principe, la réponse peut être écrite plus en détail, mais personnellement, j'ai l'habitude de n'y mettre que des chiffres - pour la raison que lorsque vous commencez à « éliminer » des problèmes par centaines et par milliers, vous essayez de réduire l'écriture de la solution autant que possible. À propos, à propos de brièveté : dans la pratique, l'option de conception « à grande vitesse » est courante solutions:

Total : 15 + 5 + 10 = 30 boules dans l'urne. Selon la définition classique :
– la probabilité qu'une boule blanche soit tirée de l'urne ;
– la probabilité qu'une boule rouge soit tirée de l'urne ;
– la probabilité qu'une boule noire soit tirée de l'urne.

Répondre:

Cependant, s'il y a plusieurs points dans l'état, il est souvent plus pratique de formuler la solution de la première manière, ce qui prend un peu plus de temps, mais en même temps « met tout sur les étagères » et facilite les choses. pour naviguer dans le problème.

Réchauffons-nous :

Problème 2

Le magasin a reçu 30 réfrigérateurs, dont cinq présentent un défaut de fabrication. Un réfrigérateur est sélectionné au hasard. Quelle est la probabilité qu’il soit sans défaut ?

Sélectionnez l’option de conception appropriée et vérifiez l’échantillon au bas de la page.

Dans les exemples les plus simples, le nombre de résultats communs et le nombre de résultats favorables se situent en surface, mais dans la plupart des cas, vous devez déterrer les pommes de terre vous-même. Une série canonique de problèmes concernant un abonné oublieux :

Problème 3

En composant un numéro de téléphone, l'abonné a oublié les deux derniers chiffres, mais se souvient que l'un d'eux est zéro et l'autre est impair. Trouvez la probabilité qu'il compose le bon numéro.

Note : zéro est un nombre pair (divisible par 2 sans reste)

Une urne contient 15 boules blanches, 5 rouges et 10 noires. 1 boule est tirée au hasard, trouvez la probabilité qu'elle soit : a) blanche, b) rouge, c) noire.: Nous trouvons d’abord le nombre total de résultats. Par condition, l'abonné se souvient que l'un des chiffres est zéro et l'autre chiffre est impair. Ici, il est plus rationnel de ne pas ruser avec la combinatoire et l'utilisation méthode de liste directe des résultats . Autrement dit, lorsque nous trouvons une solution, nous notons simplement toutes les combinaisons :
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Et nous les comptons - au total : 10 résultats.

Il n’y a qu’une seule issue favorable : le bon numéro.

Selon la définition classique :
– probabilité que l'abonné compose le bon numéro

Répondre: 0,1

Les fractions décimales semblent tout à fait appropriées dans la théorie des probabilités, mais vous pouvez également adhérer au style traditionnel de Vyshmatov, en opérant uniquement avec des fractions ordinaires.

Tâche avancée pour une solution indépendante :

Problème 4

L'abonné a oublié le code PIN de sa carte SIM, mais se souvient qu'il contient trois « cinq » et que l'un des chiffres est soit un « sept », soit un « huit ». Quelle est la probabilité d’obtenir une autorisation réussie du premier coup ?

Ici, vous pouvez également développer l'idée dela probabilité que l'abonné soit puni sous la forme d'un code PUK, mais, malheureusement, le raisonnement dépassera déjà le cadre de cette leçon.

La solution et la réponse sont ci-dessous.

Parfois, lister les combinaisons s'avère être une tâche très fastidieuse. C'est notamment le cas dans le groupe de problèmes suivant, non moins populaire, où 2 dés sont lancés (moins souvent - plus grandes quantités):

Problème 5

Trouvez la probabilité qu'en lançant deux dés, le nombre total soit :

a) cinq points ;
b) pas plus de quatre points ;
c) de 3 à 9 points inclus.

Une urne contient 15 boules blanches, 5 rouges et 10 noires. 1 boule est tirée au hasard, trouvez la probabilité qu'elle soit : a) blanche, b) rouge, c) noire.: trouvez le nombre total de résultats :

Comment le côté du premier dé peut tomber Et de différentes manières, le côté du 2ème cube peut tomber ; Par règle pour multiplier les combinaisons, total: combinaisons possibles. Autrement dit, chaque la face du 1er cube peut être ordonné un couple avec chacun le bord du 2ème cube. Convenons d'écrire une telle paire sous la forme , où est le nombre obtenu au 1er dé, est le nombre obtenu au 2ème dé. Par exemple:

– le premier dé a marqué 3 points, le deuxième dé a marqué 5 points, total de points : 3 + 5 = 8 ;
– le premier dé a marqué 6 points, le deuxième dé a marqué 1 point, total de points : 6 + 1 = 7 ;
– 2 points obtenus sur les deux dés, somme : 2 + 2 = 4.

Évidemment, le plus petit montant est donné par une paire, et le plus grand par deux « six ».

a) Considérons l'événement : – en lançant deux dés, 5 points apparaîtront. Notons et comptons le nombre d'issues qui favorisent cet événement :

Total : 4 résultats favorables. Selon la définition classique :
– la probabilité souhaitée.

b) Considérez l'événement : – pas plus de 4 points seront obtenus. C'est-à-dire soit 2, soit 3, soit 4 points. Encore une fois, nous listons et comptons les combinaisons favorables, à gauche j'écrirai le nombre total de points, et après les deux points - les paires appropriées :

Total : 6 combinaisons favorables. Ainsi:
– la probabilité que pas plus de 4 points soient obtenus.

c) Considérez l'événement : – 3 à 9 points seront lancés, inclus. Ici, vous pouvez prendre la route droite, mais... pour une raison quelconque, vous ne le souhaitez pas. Oui, quelques binômes ont déjà été listés dans les paragraphes précédents, mais il reste encore beaucoup de travail à faire.

Quelle est la meilleure façon de procéder ? Dans de tels cas, un chemin détourné s’avère rationnel. Considérons événement opposé: – 2 ou 10 ou 11 ou 12 points seront lancés.

À quoi ça sert ? L’événement inverse est favorisé par un nombre significativement plus restreint de couples :

Total : 7 résultats favorables.

Selon la définition classique :
– la probabilité que vous obteniez moins de trois ou plus de 9 points.

En plus de la liste directe et du décompte des résultats, divers formules combinatoires. Et encore un problème épique concernant l'ascenseur :

Problème 7

3 personnes sont entrées dans l'ascenseur d'un immeuble de 20 étages au premier étage. Et allons-y. Trouvez la probabilité que :

a) ils sortiront à des étages différents
b) deux sortiront au même étage ;
c) tout le monde descendra au même étage.

Notre leçon passionnante est terminée et enfin, je recommande encore une fois fortement que si ce n'est pas résolu, alors au moins comprendre problèmes supplémentaires sur la détermination classique de la probabilité. Comme je l’ai déjà noté, le « rembourrage des mains » compte aussi !

Plus loin dans le parcours - Définition géométrique de la probabilité théorie des probabilités Théorèmes d'addition et de multiplication de probabilité et... la chance avant tout !

Solutions et réponses:

Tâche 2 : Une urne contient 15 boules blanches, 5 rouges et 10 noires. 1 boule est tirée au hasard, trouvez la probabilité qu'elle soit : a) blanche, b) rouge, c) noire.: 30 – 5 = 25 réfrigérateurs n’ont aucun défaut.

– la probabilité qu'un réfrigérateur sélectionné au hasard ne présente pas de défaut.
Répondre :

Tâche 4 : Une urne contient 15 boules blanches, 5 rouges et 10 noires. 1 boule est tirée au hasard, trouvez la probabilité qu'elle soit : a) blanche, b) rouge, c) noire.: trouvez le nombre total de résultats :
façons de sélectionner l'endroit où se trouve le numéro douteux et sur chaque Parmi ces 4 places, 2 chiffres peuvent être repérés (sept ou huit). Selon la règle de multiplication des combinaisons, le nombre total de résultats : .
Alternativement, la solution peut simplement lister tous les résultats (heureusement, ils sont peu nombreux) :
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Il n'y a qu'une seule issue favorable (code PIN correct).
Ainsi, selon la définition classique :
– probabilité que l'abonné se connecte dès la 1ère tentative
Répondre :

Tâche 6 : Une urne contient 15 boules blanches, 5 rouges et 10 noires. 1 boule est tirée au hasard, trouvez la probabilité qu'elle soit : a) blanche, b) rouge, c) noire.: trouvez le nombre total de résultats :
les nombres sur 2 dés peuvent apparaître de différentes manières.

a) Considérons l'événement : – en lançant deux dés, le produit des points sera égal à sept. Il n’y a pas d’issue favorable pour un événement donné, selon la définition classique de la probabilité :
, c'est-à-dire cet événement est impossible.

b) Considérons l'événement : – en lançant deux dés, le produit des points sera d'au moins 20. Les issues suivantes sont favorables pour cet événement :

Total : 8
Selon la définition classique :
– la probabilité souhaitée.

c) Considérons les événements opposés :
– le produit des points sera pair ;
– le produit des points sera impair.
Listons toutes les issues favorables à l'événement :

Total : 9 résultats favorables.
Selon la définition classique de la probabilité :
Les événements opposés forment un groupe complet, donc :
– la probabilité souhaitée.

Répondre :

Problème 8 : Une urne contient 15 boules blanches, 5 rouges et 10 noires. 1 boule est tirée au hasard, trouvez la probabilité qu'elle soit : a) blanche, b) rouge, c) noire.: calculons le nombre total de résultats : 10 pièces peuvent tomber de différentes manières.
Une autre façon : comment la première pièce peut tomber Et Comment la 2ème pièce peut tomber Et … Et façons dont la 10ème pièce peut tomber. Selon la règle de multiplication des combinaisons, 10 pièces peuvent tomber façons.
a) Considérez l'événement : – des têtes apparaîtront sur toutes les pièces. Cet événement est favorisé par une seule issue, selon la définition classique de la probabilité : .
b) Considérez l'événement : – 9 pièces atterriront sur face et une pièce atterrira sur face.
Il y a des pièces qui peuvent tomber sur face. Selon la définition classique de la probabilité : .
c) Considérez l'événement : – des têtes apparaîtront sur la moitié des pièces.
Existe des combinaisons uniques de cinq pièces qui peuvent faire tomber face. Selon la définition classique de la probabilité :
Répondre :

Combinatoireétudie les moyens de compter le nombre d'éléments dans des ensembles finis. Les formules combinatoires sont utilisées pour calculer directement les probabilités.
Des ensembles d'éléments constitués des mêmes éléments différents et ne différant les uns des autres que par leur ordre sont appelés permutations ces éléments. Le nombre de permutations possibles de n les éléments sont désignés par , et ce nombre est égal à n! (lire "en-factoriel") :
\(P_n=n\) (1.3.1)
Où
. (1.3.2)

Remarque 1. Pour l'ensemble vide, la convention est acceptée : l'ensemble vide ne peut être ordonné que d'une seule manière ; par définition croire.

Emplacements sont appelés ensembles constitués de n divers éléments selon méléments qui diffèrent soit par la composition des éléments, soit par leur ordre. Le nombre de tous les placements possibles est déterminé par la formule
. (1.3.3)

Combinaisons depuis n divers éléments selon m sont appelés ensembles contenant méléments parmi n données, et qui diffèrent sur au moins un élément. Nombre de combinaisons de néléments par m signifie : ou . Ce nombre est exprimé par la formule

. (1.3.4)

Remarque 2. Par définition, supposons .

Pour le nombre de combinaisons, les égalités sont valables :
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

La dernière égalité est parfois formulée comme le théorème suivant sur ensembles finis :
Le nombre de tous les sous-ensembles d'un ensemble qui les compose néléments, est égal à .
Notez que les nombres de permutations, de placements et de combinaisons sont liés par l'égalité

Remarque 3. On a supposé avant tout que tout n les éléments sont différents. Si certains éléments sont répétés, dans ce cas, les ensembles avec répétitions sont calculés à l'aide d'autres formules.

Par exemple, si parmi n les éléments sont des éléments d'un type, des éléments d'un autre type, etc., alors le nombre de permutations avec répétitions est déterminé par la formule
(1.3.7)
Où .

Nombre d'emplacements par méléments avec des répétitions de n les éléments sont égaux
, c'est
avec répétition (1.3.8)
Nombre de combinaisons avec répétitions de néléments par méléments est égal au nombre de combinaisons sans répétitions de n + m- 1 élément chacun méléments, c'est-à-dire
de la répétition (1.3.9)

Lors de la résolution de problèmes combinatoires, les règles suivantes sont utilisées.

Règle de somme. Si un objet A peut être sélectionné parmi un ensemble d'objets de m manières et qu'un autre objet B peut être sélectionné de n manières, alors A ou B peuvent être sélectionnés de m + n manières.

Règle du produit. Si l'objet A peut être sélectionné parmi une variété d'objets m méthodes et après chacun de ces choix, l'objet B peut être sélectionné n de différentes manières, alors une paire d'objets (A, B) dans l'ordre spécifié peut être sélectionnée de différentes manières.

Le schéma classique de calcul des probabilités convient pour résoudre un certain nombre de problèmes purement pratiques. Considérons, par exemple, un certain ensemble d'éléments du volume N. Il peut s'agir de produits dont chacun est adapté ou défectueux, ou de graines dont chacune peut être viable ou non. Des situations de ce type sont décrites par un schéma d'urne : il y a N boules dans l'urne, dont M sont bleues et (N - M) sont rouges.

A partir d'une urne contenant N boules et contenant M boules bleues, n boules sont tirées. Vous devez déterminer la probabilité que m boules bleues soient détectées dans un échantillon de taille n. Notons A l'événement « il y a m boules bleues dans un échantillon de taille n », alors
(1.3.10)

Exemple 1. De combien de manières différentes trois personnes peuvent-elles être sélectionnées pour trois postes différents sur dix candidats ?

Solution. Utilisons la formule (1.3.3). Pour n = 10, m = 3 on obtient
.

Exemple 2. De combien de façons différentes 5 personnes peuvent-elles s'asseoir sur un banc ?

Solution. D'après la formule (1.3.1) avec n=5 on trouve
P5 =5!=1·2·3·4·5=120.

Exemple 3. De combien de manières trois personnes peuvent-elles être sélectionnées pour trois postes identiques sur dix candidats ?

Solution. Conformément à la formule (1.3.4) on trouve

Exemple 4. Combien de nombres différents à six chiffres peuvent être écrits en utilisant les chiffres 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ?

Solution. Ici, vous devez trouver le nombre de permutations avec répétitions, qui est déterminé par la formule (1.3.7). Avec k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6, en utilisant cette formule on obtient

Exemple 5. Combien de permutations différentes de lettres peuvent être faites dans les mots : château, rotor, hache, cloche ?

Solution. Dans le mot château, toutes les lettres sont différentes, il y en a cinq au total. Conformément à la formule (1.3.1) on obtient P 5 = 5 ! = 1·2·3·4·5 = 120. En un mot rotor, composé de cinq lettres, lettres p théorie des probabilités o sont répétés deux fois. Pour calculer diverses permutations, nous utilisons la formule (1.3.7). Pour n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2, en utilisant cette formule on trouve

La lettre dans le mot hache Ô est répété deux fois, donc

Dans le mot cloche de sept lettres, la lettre À apparaît deux fois, lettre Ô- trois fois, lettre je- deux fois. Conformément à la formule (13.7) avec n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2 on obtient

Exemple 6. Les lettres I, K, M, N, S sont écrites sur cinq cartes identiques. Les cartes sont mélangées et placées aléatoirement dans une rangée. Quelle est la probabilité que le mot MINSK apparaisse ?

Solution.À partir de cinq éléments différents, vous pouvez créer des permutations P5 :
. Cela signifie qu'il y aura un total de 120 issues possibles, mais une seule favorable pour un événement donné. Ainsi,

Exemple 7. Des lettres du mot rotor, composé à l'aide d'un alphabet divisé, 3 lettres sont sélectionnées au hasard séquentiellement et placées dans une rangée. Quelle est la probabilité que le mot sorte torus?

Solution. Pour distinguer les lettres identiques les unes des autres, nous leur fournissons des chiffres : p 1 , p 2 , 0 1 , 0 2. Le nombre total d’acquis élémentaires est égal à : . Mot rotor fonctionnera dans les cas ( puis 1 r 1, puis 1 r 2, puis 2 r 1, puis 2 r 2). La probabilité requise est égale à

Pour calculer le nombre de cas favorables, nous avons utilisé la règle du produit : la lettre m vous pouvez sélectionner un sens, une lettre Ô- deux, une lettre r- de deux manières.

Exemple 8. Les lettres du mot sont écrites sur six cartes de même forme et taille. talent- une lettre sur chaque carte. Les cartes sont soigneusement mélangées. ils sont sortis au hasard et posés sur la table les uns après les autres. Quelle est la probabilité de retrouver la parole ? talent?

Solution. Numérotons les cartes avec des lettres :

Le mot talent (513246) ne changera pas si les lettres UN réorganisez, mais selon la disposition des cartes vous obtiendrez une combinaison différente : talent (523146). Si dans chacune de ces deux combinaisons nous faisons la même chose avec la lettre t, nous obtiendrons 2 autres combinaisons différentes de cartes avec le mot talent. Cela signifie que l'apparition du mot talent 4 résultats élémentaires sont favorables. Le nombre total de résultats élémentaires possibles est égal au nombre de permutations de 6 éléments : n = 6 ! = 720. Par conséquent, la probabilité requise

Remarque : Cette probabilité peut également être trouvée à l'aide de la formule (1.3.7), qui pour n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2 prend :

. Ainsi, P = 1/180.

Exemple 9. Les lettres sont écrites sur cinq cartes identiques : sur deux cartes je, sur les trois autres Et. Ces cartes sont placées au hasard dans
rangée. Quelle est la probabilité que cela produise le mot lys?

Solution. Trouvons le nombre de permutations de ces cinq lettres avec répétitions.
En utilisant la formule (1.3.7) pour n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 on obtient

C'est le nombre total de résultats également possibles de l'expérience ; cet événement A - « l'apparition du mot lis » est favorisé par un. Conformément à la formule (1.2.1) on obtient

Exemple 10. Dans un lot de 10 pièces, 7 sont standards. Trouver une probabilité
que parmi 6 pièces prises au hasard, 4 sont standards.

Solution. Le nombre total de résultats possibles du test élémentaire Ix est égal au nombre de façons dont 6 parties peuvent être extraites de 10, c'est-à-dire le nombre de combinaisons de 10 éléments de 6 éléments chacun ().

Nous déterminons le nombre d'issues favorables à l'événement A - "parmi 6 parties prises, 4 sont standards". Quatre pièces standards sur sept pièces standards peuvent être prélevées de différentes manières, tandis que les 6 - 4 = 2 pièces doivent être non standard ; Il existe des moyens de prendre 2 pièces non standards sur 10 - 7 = 3 pièces non standards. Le nombre d’issues favorables est donc égal à .

La probabilité requise est égale au rapport du nombre d'issues favorables à l'événement sur le nombre de toutes les issues élémentaires :

Remarque. La dernière formule est un cas particulier de la formule (1.3.10) : N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.

Exemple 11. Parmi 25 élèves d'un groupe de 10 filles, 5 tickets sont tirés au sort. Trouvez la probabilité qu'il y ait 2 filles parmi les détenteurs de billets.

Solution. Le nombre de tous les cas également possibles de distribution de 5 billets entre 25 étudiants est égal au nombre de combinaisons de 25 éléments de 5, c'est-à-dire. Le nombre de groupes de trois garçons sur 15 pouvant recevoir des billets est de . Chacun de ces trois peut être combiné avec n'importe quelle paire de dix filles, et le nombre de ces paires est égal à . Par conséquent, le nombre de groupes de 5 élèves formés à partir d'un groupe de 25 élèves, dont chacun comprendra trois garçons et deux filles. , est égal au produit. Ce produit est égal au nombre de cas favorables de distribution de cinq tickets entre les élèves du groupe afin que trois tickets reviennent aux garçons et deux tickets aux filles. Conformément à la formule (1.2.1), nous trouvons la probabilité requise

Remarque. La dernière formule est un cas particulier de la formule (1.3.10) : N = 25, M = 15, n = 5, m = 3.

Exemple 12. Une boîte contient 15 boules rouges, 9 bleues et 6 vertes. 6 boules sont tirées au hasard. Quelle est la probabilité que 1 boule verte, 2 boules bleues et 3 boules rouges soient tirées (événement A) ?

Solution. Il n'y a que 30 balles dans la boîte. Pour cette expérience, le nombre de résultats élémentaires également possibles sera . Comptons le nombre d'issues élémentaires favorables à l'événement A. Trois boules rouges sur 15 peuvent être choisies de manières, deux boules bleues sur 9 peuvent être choisies de manières, une verte sur 6 peut être choisie de manières
Le nombre d'issues favorables est égal au produit

La probabilité requise est déterminée par la formule (1.3.10) :

Exemple 14. Les dés sont lancés 10 fois. Quelle est la probabilité que les côtés 1, 2, 3, 4, 5, 6 apparaissent respectivement 2, 3, 1, 1, 1, 2 fois (événement A) ?

Solution. Nous calculons le nombre d'issues favorables pour l'événement A à l'aide de la formule (1.3.7) :
Le nombre de résultats élémentaires dans cette expérience est n = 6 10, donc

Tâches
1. Les lettres B, E, R, S, T sont écrites sur 5 cartes identiques. Ces cartes sont placées aléatoirement dans une rangée. Quelle est la probabilité que le mot BREST apparaisse ?
2. Il y a 4 boules bleues et 5 boules rouges dans une boîte. 2 boules sont tirées au hasard dans la boîte. Trouvez la probabilité que ces boules soient de couleurs différentes.
3. Il y a 4 femmes et 3 hommes dans l'équipe. 4 billets pour le théâtre sont tirés au sort parmi les membres de la brigade. Quelle est la probabilité que parmi les détenteurs de billets il y ait 2 femmes et 2 hommes ?
4. Il y a 10 boules dans une boîte, dont 2 blanches, 3 rouges et 5 bleues. 3 boules sont tirées au hasard. Trouvez la probabilité que les 3 boules soient de couleurs différentes.
5. Les lettres l, m, o, o, t sont écrites sur cinq cartes identiques. Quelle est la probabilité qu'en retirant les cartes une à une, nous obtenions le mot marteau dans l'ordre dans lequel ils sont apparus ?
6. A partir d'un lot contenant 10 produits, dont 3 défectueux, 3 produits sont sélectionnés au hasard. Trouvez la probabilité qu'un produit de l'échantillon résultant soit défectueux.
7. Sur dix billets, deux sont gagnants. Quelle est la probabilité que parmi cinq billets tirés au sort, un soit gagnant ?

Réponses
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

Questions
1. Qu’appelle-t-on permutations ?
2. Quelle forme est utilisée pour calculer le nombre de permutations de n éléments différents ?
3. Comment s'appellent les placements ?
4. Quelle formule est utilisée pour calculer le nombre de placements de n éléments différents par m éléments ?
5. Comment s’appellent les combinaisons ?
6. Quelle formule utilisez-vous pour calculer le nombre de combinaisons de n éléments de m éléments ?
7. Quelle égalité relie les nombres de permutations, de placements et de combinaisons ?
8. Quelle formule est utilisée pour calculer le nombre de permutations de n éléments si certains éléments sont répétés ?
9. Quelle formule détermine le nombre de placements de m éléments avec des répétitions de n éléments ?
10. Quelle formule détermine le nombre de combinaisons avec répétitions de n éléments de m éléments ?

Réponses

Tâches

Exercices.

1. Trouvez des événements fiables et impossibles parmi les événements aléatoires suivants :

A 1 – l’apparition de 10 points lors du lancement d’un dé,

A 2 – l'apparition de 10 points en lançant trois dés,

A 3 – l'apparition de 20 points en lançant trois dés,

A 4 – un nombre à deux chiffres choisi au hasard ne dépassant pas 100,

A 5 – l’apparition de deux armoiries lors du lancement de deux pièces.

2. Les événements A 1 et A 2 sont-ils incompatibles :

b) test - lancer un dé ; événements : A 1 – l'apparition de trois points, A 2 – l'apparition d'un nombre impair de points,

c) test - lancer deux pièces ; événements : A 1 – l'apparition d'un blason sur une pièce, A 2 – l'apparition d'un blason sur une autre pièce ?

3. Les événements A 1 et A 2 sont-ils également possibles :

a) test - lancer un dé ; événements : A 1 – l'apparition de deux points, A 2 – l'apparition de cinq points ;

b) test - lancer un dé ; événements : A 1 – l'apparition de deux points, A 2 – l'apparition d'un nombre pair de points ;

c) test – deux tirs sur une cible ; événements : A 1 – raté au premier coup, A 2 – raté au deuxième coup ?

4. Les événements forment-ils un groupe complet :

a) test - lancer une pièce de monnaie ; événements : A 1 – apparition des armoiries, A 2 – apparition du numéro ;

b) test – deux tirs sur une cible ; événements : A 1 – aucun coup sûr, A 2 – un coup sûr, A 3 – deux coups sûrs ?

5. Trouvez la somme des événements :

b) test - lancer un dé ; événements : A – apparition d'un point, B – apparition de deux points, C – apparition de trois points ;

c) test - achat de billets de loterie ; événements : A – gagner 10 roubles ; B – gagnez 20 roubles ; C – gagnez 25 roubles.

6. Trouvez le produit des événements :

a) test – deux tirs sur une cible ; événements : A – touché par le premier coup, B – touché par le deuxième coup ;

b) test - lancer un dé ; événements : A – non-apparition de trois points, B – non-apparition de cinq points, C – apparition d'un nombre impair de points.

1. Une lettre est tirée au hasard parmi le mot NAUGAD. Quelle est la probabilité que ce soit la lettre A ? Quelle est la probabilité que ce soit une voyelle ?

2. Lancez un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir le numéro 4 ? Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 4 ?

3. 250 pièces sont soumises à contrôle, dont 5 hors normes. Quelle est la probabilité qu’une partie prise au hasard soit :

a) non standard ;

b) la norme ?

4. Les lettres O, K, T sont écrites sur les cartes. Les cartes sont placées au hasard dans une rangée. Quelle est la probabilité de lire le mot CAT ?

5. Sur chacune des six cartes identiques sont inscrites les lettres T, P, C, O, A, M. Les cartes sont mélangées et quatre d'entre elles sont disposées au hasard en rangée. Quelle est la probabilité que le mot TROS apparaisse ?

6. Parmi les cinq cartes portant les lettres A, B, C, D, D, trois sont sélectionnées au hasard les unes après les autres et placées en ligne dans l'ordre d'apparition. Quelle est la probabilité d’obtenir le mot DEUX ?

7. L'abonné a oublié les deux derniers chiffres du téléphone et, en composant le numéro au hasard, s'est seulement rappelé qu'ils étaient différents. Trouvez la probabilité que les bons nombres soient sélectionnés.

Résolvez le problème si les trois derniers chiffres sont oubliés.

8. Il y a 3 boules blanches et 7 boules noires dans l’urne. Quelle est la probabilité que deux boules tirées au hasard soient noires ?

9. Des pièces de cuivre et d’argent sont lancées. Quelle est la probabilité que les deux pièces portent un blason ?

10. Il y a 15 pièces dans la boîte, dont 10 peintes. L'assembleur retire au hasard trois pièces. Trouvez la probabilité que les pièces extraites soient peintes.

11. Il y a 10 réservoirs à chasse d'eau dans l'entrepôt, dont 4 avec flotteurs en plastique. 2 chars ont été pris pour porter chance. Trouvez la probabilité que les deux réservoirs aient des flotteurs en plastique.

12. L'appareil se compose de cinq éléments, dont deux sont usés. Lorsque vous allumez l'appareil, deux éléments s'allument de manière aléatoire. Trouvez la probabilité que les éléments non portés soient inclus.

13. Des carreaux de revêtement ont été livrés pour le revêtement d'un immeuble résidentiel. Il y a 300 tuiles dans la boîte. Les défauts du produit sont de 2%. Trouvez la probabilité que les trois premières tuiles prises ne soient pas défectueuses.

14. Six hommes et quatre femmes travaillent dans l'atelier. Sept personnes ont été sélectionnées au hasard à partir de leur matricule. Trouvez la probabilité que parmi les personnes sélectionnées, il y ait trois femmes.

15. Il y a 15 tubes cathodiques dans l'entrepôt, dont 10 ont été fabriqués par l'usine de Lvov. Trouvez la probabilité que parmi cinq tubes cathodiques pris au hasard, il y ait trois tubes cathodiques provenant de l'usine de Lvov.

16. Il y a 12 étudiants dans le groupe, dont 8 excellents étudiants. 9 étudiants ont été sélectionnés au hasard dans la liste. Trouvez la probabilité que parmi les étudiants sélectionnés, il y ait cinq excellents étudiants.

17. Dix livres sont placés au hasard sur une étagère. Trouvez la probabilité que trois livres spécifiques soient à proximité.

18. Olya et Kolya ont convenu de célébrer le Nouvel An en compagnie de 10 personnes. Ils voulaient tous deux s'asseoir l'un à côté de l'autre à la table de fête. Trouvez la probabilité que leur souhait se réalise s'il est d'usage de répartir les places entre amis par tirage au sort.

19. Parmi 20 billets, 5 sont gagnants. Trouvez la probabilité que parmi les billets achetés il y ait :

a) tous les trois gagnent ;

b) pas un seul gagnant ;

c) 2 gagnants ;

d) 1 gagnant.

20. 5 personnes sont assises au hasard sur une banquette de cinq places. Quelle est la probabilité que 3 personnes spécifiques se trouvent à proximité ?

21. Il y a 5 maîtres du sport dans une équipe de 12 athlètes. Par tirage au sort, 3 athlètes sont sélectionnés dans l'équipe. Quelle est la probabilité que tous ceux qui sont choisis soient des maîtres du sport ?

22. Parmi les 17 élèves du groupe, dont 8 filles, 7 tickets sont tirés au sort. Quelle est la probabilité qu’il y ait 4 filles parmi les détenteurs de billets ?

23. Il y a 6 boules blanches et 4 boules noires dans une urne. 5 boules sont tirées au hasard dans cette urne. Quelle est la probabilité que 2 d’entre eux soient blancs et 3 noirs ?

24. Dans un lot de 60 produits, 5 sont défectueux. 6 produits sont sélectionnés au hasard dans le lot. Déterminez la probabilité que parmi ces 6 produits, 2 soient défectueux.

25. Il y a n billets à la loterie, dont m sont gagnants. Un participant à la loterie achète k billets. Déterminez la probabilité qu'au moins un ticket soit gagnant.

26. Il y a r boules, qui sont dispersées au hasard dans n cases. Une même boîte peut contenir plusieurs billes voire toutes les billes. Trouvez la probabilité qu'exactement r 1 boules tombent dans la première case, r 2 boules dans la seconde, etc., dans la n-ième case r n boules.

27. Trois personnes sont entrées dans l'ascenseur d'un immeuble de sept étages au premier étage. Chacun d'eux a la même probabilité de sortir à n'importe quel étage, à partir du second. Trouvez les probabilités des événements suivants :

A=(tous les passagers descendront au quatrième étage) ;

DANS = (tous les passagers débarqueront en même temps au même étage) ;

C=(tous les passagers descendront à des étages différents).

28. Trouvez la probabilité que les anniversaires de 12 personnes tombent à différents mois de l'année.

29. Au point C dont la position sur la ligne téléphonique AB de longueur Il est également possible qu'une rupture se soit produite. Déterminez la probabilité que le point C soit éloigné du point A à une distance non inférieure à l.

30. Un point est projeté dans un cercle de rayon R. Trouvez la probabilité qu'il tombe à l'intérieur du carré inscrit dans ce cercle.

31. Le mot est composé de cartes sur chacune desquelles est écrite une lettre. Les cartes sont mélangées et retirées une à une sans retour. Trouver la probabilité que les cartes avec les lettres soient retirées dans l'ordre des lettres d'un mot donné : a) « événement » ; b) « statistiques ».

32. Les ouvrages rassemblés en cinq volumes sont disposés sur une étagère dans un ordre aléatoire. Quelle est la probabilité que les livres soient classés de gauche à droite dans l’ordre de numérotation des volumes (1 à 5) ?

33. Parmi 25 étudiants, dont 15 filles, quatre billets sont tirés au sort et chacun ne peut gagner qu'un seul billet. Quelle est la probabilité que parmi les détenteurs de billets il y ait : a) quatre filles ; b) quatre jeunes hommes ; c) trois garçons et une fille ?

34. Sur les 20 caisses d'épargne, 10 sont situées en dehors de la ville. 5 caisses d'épargne ont été sélectionnées au hasard pour l'enquête. Quelle est la probabilité que parmi les banques sélectionnées il y ait au sein de la ville : a) 3 caisses d'épargne ; b) au moins un ?

35. À partir d'une boîte contenant 5 paires de chaussures, dont trois paires pour hommes et deux paires pour femmes, transférez 2 paires de chaussures au hasard dans une autre boîte contenant le même nombre de paires de chaussures pour femmes et pour hommes. Quelle est la probabilité que la deuxième boîte suivante contienne le même nombre de paires de chaussures pour hommes et pour femmes ?

36. Le magasin possède 30 téléviseurs, dont 20 importés. Trouvez la probabilité que parmi 5 téléviseurs vendus dans la journée, il y ait plus de 3 téléviseurs importés, en supposant que les probabilités d'acheter des téléviseurs de différentes marques sont les mêmes.

37. Un numéro de téléphone choisi au hasard est composé de 5 chiffres. Quelle est la probabilité que tous les nombres qu'il contient soient : a) différents ; b) le même ; c) bizarre ? On sait qu’un numéro de téléphone ne commence pas par le chiffre zéro.

38. Pour la compétition, 16 équipes de volley-ball sont réparties par tirage au sort en deux sous-groupes (huit équipes chacun). Trouvez la probabilité que les deux équipes les plus fortes se retrouvent : a) dans des sous-groupes différents ; b) dans un sous-groupe.

39. L'élève connaît 20 des 25 questions du programme. Le test est considéré comme réussi si l'étudiant répond à au moins trois des 4 questions posées sur le ticket. En jetant un coup d'œil à la première question du ticket, l'étudiant a découvert qu'il le savait. Quelle est la probabilité que l’élève : a) réussisse le test ; b) ne réussira pas le test ?

40. Un assembleur comporte 10 pièces peu différentes les unes des autres, quatre d'entre elles sont du premier type, deux de chacune des deuxième, troisième et quatrième types. Quelle est la probabilité que parmi six parties prises simultanément, trois soient du premier type, deux du deuxième et une du troisième ?

41. Trouvez la probabilité que sur dix livres disposés dans un ordre aléatoire, 3 livres spécifiques soient à proximité.

42. Dans un ancien jeu de dés, pour gagner, il fallait obtenir une somme de points supérieure à 10 en lançant trois dés. Trouvez les probabilités de : a) obtenir 11 points ; b) gagner.

43. L'entreprise emploie 8 auditeurs, dont 3 hautement qualifiés, et 5 programmeurs, dont 2 hautement qualifiés. Un groupe de 3 auditeurs et 2 programmeurs doit être envoyé en déplacement professionnel. Quelle est la probabilité que ce groupe contienne au moins 1 auditeur hautement qualifié et au moins 1 programmeur hautement qualifié si chaque spécialiste a des chances égales de partir en voyage d'affaires ?

44. Deux personnes sont convenues de se rencontrer à un certain endroit entre 18 et 19 heures et ont convenu que celui qui arriverait en premier attendrait l'autre pendant 15 minutes, après quoi il partirait. Trouvez la probabilité de leur rencontre si l'arrivée de chacun pendant l'heure spécifiée peut survenir à tout moment et que les moments d'arrivée sont indépendants.

45. Quelle est la probabilité qu'un point jeté au hasard dans un cercle se retrouve à l'intérieur du carré qui y est inscrit.

46. Lors de la réception d'un lot de produits, la moitié des produits sont contrôlés. La condition d'acceptation est la présence de défauts dans l'échantillon inférieurs à 2 %. Calculez la probabilité qu'un lot de 100 produits contenant 5% de défauts soit accepté.

	1/3, 1/2	19 b	91/228	33 une
	1/6, 1/3	19 po	5/38	33b
	1/50, 49/50	19g	35/76	33 pouces
	1/6		3/10	34 une
	1/360		1/22	34b
	1/60		0,302
	1/90		0,2381
	7/15		0,049	37 une
	1/6			37b
	24/91			37 po
	2/15	27 une	1/216	38 une
	0,3	27b	1/36	38b
		27 po	5/54	39 une
	½			39b	0,099
	0,4
	14/55		.
	1/15	31 une	1/R7=1/7!= =0,000198		une) 0,125 ; b) 0,5
	1/5	31b	R2R3R2R2/R10=2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 a	1/114		1/R5=1/5!= =,00833		0,4375