"નોંધપાત્ર મર્યાદા" શબ્દનો વ્યાપકપણે પાઠ્યપુસ્તકો અને શિક્ષણ સહાયકોમાં મહત્વની ઓળખ દર્શાવવા માટે ઉપયોગ થાય છે જે નોંધપાત્ર રીતે મદદ કરે છે. તમારા કામને સરળ બનાવોમર્યાદા શોધવા પર.

પરંતુ થી લાવવા માટે સમર્થ હશોનોંધપાત્ર માટે તમારી મર્યાદા, તમારે તેને સારી રીતે જોવાની જરૂર છે, કારણ કે તે સીધા સ્વરૂપમાં જોવા મળતા નથી, પરંતુ ઘણીવાર પરિણામોના સ્વરૂપમાં, વધારાના નિયમો અને પરિબળોથી સજ્જ છે. જો કે, પ્રથમ સિદ્ધાંત, પછી ઉદાહરણો, અને તમે સફળ થશો!

પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા

શું તમને તે ગમ્યું? બુકમાર્ક્સમાં ઉમેરો

પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવી છે (ફોર્મની અનિશ્ચિતતા $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1.

$$

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1.

$$

ઉકેલોના ઉદાહરણો: 1 અદ્ભુત મર્યાદા

ઉદાહરણ 1. મર્યાદાની ગણતરી કરો $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $3/8$.

ઉકેલ. પ્રથમ પગલું હંમેશા સમાન હોય છે - અમે ફંક્શનમાં મર્યાદા મૂલ્ય $x=0$ ને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\જમણે].$$

અમે $\left[\frac(0)(0)\right]$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા મેળવી છે. ચાલો સરળીકરણમાં પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા (ત્રણ વખત!) નો ઉપયોગ કરીને મર્યાદાને પરિવર્તિત કરીએ:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

મર્યાદાની ગણતરી કરો $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $9/16$.

ઉદાહરણ 3. $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$ શોધો

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.જો ત્રિકોણમિતિ કાર્ય હેઠળ જટિલ અભિવ્યક્તિ હોય તો શું? તે વાંધો નથી, અને અહીં આપણે તે જ રીતે કાર્ય કરીએ છીએ. પ્રથમ, ચાલો અનિશ્ચિતતાના પ્રકારને તપાસીએ, ફંક્શનમાં $x=0$ ને બદલીએ અને મેળવો:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

અમે $\left[\frac(0)(0)\right]$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા મેળવી છે. $2x^3+3x$ વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x)((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

ફરીથી અમને અનિશ્ચિતતા મળી, પરંતુ આ કિસ્સામાં તે માત્ર એક અપૂર્ણાંક છે. ચાલો અંશ અને છેદને $x$થી ઘટાડીએ:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

મર્યાદાની ગણતરી કરો $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $3/5$.

બીજી અદ્ભુત મર્યાદા

બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવી છે (ફોર્મની અનિશ્ચિતતા $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to\infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e.

$$

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab).

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1.

$$

અમે $\left$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા મેળવી છે. મર્યાદા બીજી નોંધપાત્ર બાબત સુધી ઘટાડી શકાય છે. ચાલો કન્વર્ટ કરીએ:

$$ \lim\limits_(x\to\infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to\infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(-3x/2))\right)^(-3x/2))\જમણે)^\frac(x+3) )(-3x/2)= $$

કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ ખરેખર બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા છે $\lim\limits_(t\to\infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, માત્ર $t= - 3x/2$, તેથી

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

મર્યાદાની ગણતરી કરો $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin 3x)(8x).$$$e^(-2/3)$.

ઉદાહરણ 5. મર્યાદા $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) શોધો.$ $

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.અમે $x=\infty$ ને ફંક્શનમાં બદલીએ છીએ અને $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ ની અનિશ્ચિતતા મેળવીએ છીએ. અને અમને $\left$ ની જરૂર છે. તો ચાલો કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીને પ્રારંભ કરીએ:

$$ \lim\limits_(x\to\infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to\infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\જમણે)^(x ) = \lim\limits_(x\to\infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\જમણે)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\જમણે) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\જમણે)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ ખરેખર બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા છે $\lim\limits_(t\to\infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, માત્ર $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, તેથી

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

આ વિષયમાં અમે તે સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીશું જે બીજી અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે (બીજી અદ્ભુત મર્યાદાને સીધી સમર્પિત વિષય સ્થિત છે). ચાલો હું તમને બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાના બે ફોર્મ્યુલેશનની યાદ અપાવીશ જેની આ વિભાગમાં જરૂર પડશે: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ અને $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

સામાન્ય રીતે હું પુરાવા વિના સૂત્રો રજૂ કરું છું, પરંતુ આ પૃષ્ઠ માટે, મને લાગે છે કે હું અપવાદ કરીશ. મુદ્દો એ છે કે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાના પરિણામોના પુરાવામાં કેટલીક તકનીકો શામેલ છે જે સમસ્યાઓના સીધા ઉકેલમાં ઉપયોગી છે. સારું, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આ અથવા તે સૂત્ર કેવી રીતે સાબિત થાય છે તે જાણવું સલાહભર્યું છે. આ અમને તેની આંતરિક રચના તેમજ લાગુ પડવાની મર્યાદાઓને વધુ સારી રીતે સમજવાની મંજૂરી આપે છે. પરંતુ પુરાવા બધા વાચકો માટે રસ ધરાવતા ન હોવાથી, હું દરેક પરિણામ પછી સ્થિત નોંધો હેઠળ તેને છુપાવીશ.

કોરોલરી #1

કોરોલરી નંબર 1 ના પુરાવા: બતાવો\ છુપાવો

$x\to 0$ પર અમારી પાસે $\ln(1+x)\to 0$ છે, પછી વિચારણા હેઠળની મર્યાદામાં $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે. આ અનિશ્ચિતતાને છતી કરવા માટે, ચાલો આપણે $\frac(\ln(1+x))(x)$ને નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . હવે ચાલો $\frac(1)(x)$ ને $(1+x)$ ની શક્તિમાં પરિબળ કરીએ અને બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા લાગુ કરીએ:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

ફરી એકવાર આપણી પાસે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે. અમે પહેલાથી જ સાબિત કરેલા ફોર્મ્યુલા પર આધાર રાખીશું. ત્યારથી $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, પછી $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

કોરોલરી #2

પરિણામ નંબર 2 ના પુરાવા: બતાવો/છુપાવો

$x\to 0$ પર અમારી પાસે $e^x-1\to 0$ છે, તો વિચારણા હેઠળની મર્યાદામાં $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે. આ અનિશ્ચિતતાને છતી કરવા માટે, ચાલો ચલ બદલીએ, $t=e^x-1$ સૂચવે છે. ત્યારથી $x\to 0$, પછી $t\to 0$. આગળ, $t=e^x-1$ સૂત્રમાંથી આપણને મળે છે: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | \begin(સંરેખિત) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (સંરેખિત) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

ફરી એકવાર આપણી પાસે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે. અમે પહેલાથી જ સાબિત કરેલા ફોર્મ્યુલા પર આધાર રાખીશું. $a^x=e^(x\ln a)$ થી, પછી:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

કોરોલરી #3

પરિણામ નંબર 3 નો પુરાવો: બતાવો\ છુપાવો

ફરી એકવાર અમે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ થી, અમને મળે છે:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

ઉદાહરણ નંબર 1

મર્યાદા $\lim_(x\to\0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ની ગણતરી કરો.

અમારી પાસે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે. આ અનિશ્ચિતતાને છતી કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું. આ સૂત્રમાં અમારી મર્યાદાને ફિટ કરવા માટે, આપણે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે $e$ ની શક્તિ અને છેદમાં અભિવ્યક્તિઓ એકરૂપ હોવી જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, છેદમાં સાઈન માટે કોઈ સ્થાન નથી. છેદ $9x$ હોવું જોઈએ. વધુમાં, આ ઉદાહરણનો ઉકેલ પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરશે.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ થી\0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

જવાબ આપો: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

ઉદાહરણ નંબર 2

મર્યાદા $\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ની ગણતરી કરો.

અમારી પાસે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે (ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે $\ln\cos 0=\ln 1=0$). આ અનિશ્ચિતતાને છતી કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું. પ્રથમ, ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (ત્રિકોણમિતિ કાર્યો પર પ્રિન્ટઆઉટ જુઓ). હવે $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, તેથી છેદમાં આપણને $-2\sin^2 \ સમીકરણ મળવું જોઈએ. frac(x )(2)$ (આપણા ઉદાહરણને સૂત્રમાં ફિટ કરવા માટે). આગળના ઉકેલમાં, પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\જમણે))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2)\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\જમણે))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

જવાબ આપો: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

અદ્ભુત મર્યાદાઓ શોધોમર્યાદાના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરતા પ્રથમ અને બીજા વર્ષના ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે જ નહીં, પણ કેટલાક શિક્ષકો માટે પણ તે મુશ્કેલ છે.

પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા માટે ફોર્મ્યુલા

પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાના પરિણામો ચાલો તેને સૂત્રોમાં લખીએ
1. 2. 3. 4. પરંતુ નોંધપાત્ર મર્યાદાના સામાન્ય સૂત્રો પોતે પરીક્ષા અથવા પરીક્ષામાં કોઈને મદદ કરતા નથી. મુદ્દો એ છે કે વાસ્તવિક કાર્યો એટલા માટે બનાવવામાં આવ્યા છે કે તમારે હજુ પણ ઉપર લખેલા સૂત્રો પર પહોંચવાની જરૂર છે. અને મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ કે જેઓ વર્ગો ચૂકી જાય છે, ગેરહાજરીમાં આ અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરે છે, અથવા શિક્ષકો છે કે જેઓ હંમેશા તેઓ જે સમજાવે છે તે સમજી શકતા નથી, તેઓ સૌથી પ્રાથમિક ઉદાહરણોની નોંધપાત્ર મર્યાદામાં ગણતરી કરી શકતા નથી. પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાના સૂત્રોમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે તેમની મદદથી ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સાથેના અભિવ્યક્તિઓ માટે શૂન્ય વડે ભાગ્યા પ્રકારના શૂન્યની અનિશ્ચિતતાઓનો અભ્યાસ કરવો શક્ય છે. ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાના સંખ્યાબંધ ઉદાહરણોનો વિચાર કરીએ, અને પછી બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાનો અભ્યાસ કરીએ.

ઉદાહરણ 1. ફંક્શન sin(7*x)/(5*x)ની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: જેમ તમે જોઈ શકો છો, મર્યાદા હેઠળનું કાર્ય પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાની નજીક છે, પરંતુ કાર્યની મર્યાદા ચોક્કસપણે એકની બરાબર નથી. મર્યાદા પરના આ પ્રકારના કાર્યોમાં, સાઈન હેઠળના ચલમાં સમાયેલ સમાન ગુણાંક સાથેના ચલને છેદમાં પસંદ કરવું જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, ભાગાકાર કરો અને 7 વડે ગુણાકાર કરો

કેટલાક માટે, આવી વિગત બિનજરૂરી લાગશે, પરંતુ મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ કે જેમને મર્યાદામાં મુશ્કેલી હોય છે, તે તેમને નિયમોને વધુ સારી રીતે સમજવામાં અને સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવવામાં મદદ કરશે.
ઉપરાંત, જો કોઈ કાર્યનું વ્યસ્ત સ્વરૂપ હોય, તો આ પણ પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા છે. અને બધા કારણ કે અદ્ભુત મર્યાદા એક સમાન છે

આ જ નિયમ 1લી નોંધપાત્ર મર્યાદાના પરિણામોને લાગુ પડે છે. તેથી, જો તમને પૂછવામાં આવે, "પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા શું છે?" તમારે ખચકાટ વિના જવાબ આપવો જોઈએ કે તે એક એકમ છે.

ઉદાહરણ 2. ફંક્શન sin(6x)/tan(11x)ની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: અંતિમ પરિણામ સમજવા માટે, ચાલો ફોર્મમાં ફંક્શન લખીએ

નોંધપાત્ર મર્યાદાના નિયમો લાગુ કરવા માટે, અવયવો દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો

આગળ, આપણે મર્યાદાના ગુણાંક દ્વારા ફંક્શનના ઉત્પાદનની મર્યાદા લખીએ છીએ

જટિલ સૂત્રો વિના, અમને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની મર્યાદા મળી. સરળ સૂત્રોમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, 2 અને 4 પરની મર્યાદા શોધવાનો પ્રયાસ કરો, 1 અદ્ભુત મર્યાદાના પરિણામ માટેનું સૂત્ર. અમે વધુ જટિલ સમસ્યાઓ જોઈશું.

ઉદાહરણ 3: મર્યાદાની ગણતરી કરો (1-cos(x))/x^2
ઉકેલ: અવેજી દ્વારા તપાસ કરતી વખતે, અમને 0/0 ની અનિશ્ચિતતા મળે છે. ઘણા લોકો જાણતા નથી કે આવા ઉદાહરણને એક નોંધપાત્ર મર્યાદામાં કેવી રીતે ઘટાડવું. અહીં ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ

આ કિસ્સામાં, મર્યાદા સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થશે

અમે કાર્યને નોંધપાત્ર મર્યાદાના વર્ગ સુધી ઘટાડવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ.

ઉદાહરણ 4. મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: અવેજી કરતી વખતે, અમને પરિચિત લક્ષણ 0/0 મળે છે. જો કે, ચલ શૂન્યને બદલે Pi તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા લાગુ કરવા માટે, અમે x ચલમાં આવો ફેરફાર કરીશું જેથી નવું ચલ શૂન્ય પર જાય. આ કરવા માટે, અમે છેદને નવા ચલ Pi-x=y તરીકે દર્શાવીએ છીએ

આમ, અગાઉના કાર્યમાં આપેલ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, ઉદાહરણને 1 નોંધપાત્ર મર્યાદા સુધી ઘટાડવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 5: મર્યાદાની ગણતરી કરો
ઉકેલ: શરૂઆતમાં તે સ્પષ્ટ નથી કે મર્યાદાને કેવી રીતે સરળ બનાવવી. પરંતુ એક ઉદાહરણ હોવાથી, પછી જવાબ હોવો જોઈએ. ચલ એકતામાં જાય છે તે હકીકત આપે છે, જ્યારે અવેજીમાં, અનંત દ્વારા ગુણાકાર શૂન્ય સ્વરૂપનું લક્ષણ આપે છે, તેથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શકને બદલવો આવશ્યક છે.

આ પછી આપણને જરૂરી અનિશ્ચિતતા 0/0 મળે છે. આગળ, અમે મર્યાદામાં ચલોમાં ફેરફાર કરીએ છીએ અને કોટેન્જેન્ટની સામયિકતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

છેલ્લા અવેજીઓ અમને નોંધપાત્ર મર્યાદાના કોરોલરી 1 નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા ઘાતાંકીયની બરાબર છે

આ એક ક્લાસિક છે જે વાસ્તવિક મર્યાદા સમસ્યાઓ સુધી પહોંચવું હંમેશા સરળ નથી.
ગણતરીમાં તમને જરૂર પડશે મર્યાદા એ બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાના પરિણામો છે:
1. 2. 3. 4.
બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા અને તેના પરિણામો માટે આભાર, શૂન્યને શૂન્ય વડે શૂન્ય, એકને અનંતની શક્તિ અને અનંતને અનંત વડે ભાગ્યા, અને તે પણ સમાન ડિગ્રી જેવી અનિશ્ચિતતાઓનું અન્વેષણ કરવું શક્ય છે.

ચાલો સરળ ઉદાહરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ.

ઉદાહરણ 6. કાર્યની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: 2જી નોંધપાત્ર મર્યાદાને સીધી રીતે લાગુ કરવાથી કામ થશે નહીં. પ્રથમ, તમારે ઘાતાંકને રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ જેથી કરીને તે કૌંસમાં શબ્દના વ્યસ્ત જેવું દેખાય

આ 2જી નોંધપાત્ર મર્યાદાને ઘટાડવાની અને સારમાં, મર્યાદાના પરિણામ માટે 2જી ફોર્મ્યુલાને બાદ કરવાની તકનીક છે.

ઉદાહરણ 7. કાર્યની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: અમારી પાસે અદ્ભુત મર્યાદાના કોરોલરી 2 ના ફોર્મ્યુલા 3 માટેના કાર્યો છે. શૂન્યને બદલવાથી ફોર્મ 0/0 ની એકવચનતા મળે છે. નિયમની મર્યાદા વધારવા માટે, આપણે છેદને ફેરવીએ છીએ જેથી ચલનો લઘુગણકમાં સમાન ગુણાંક હોય.

તે સમજવામાં અને પરીક્ષામાં પ્રદર્શન કરવું પણ સરળ છે. મર્યાદાની ગણતરી કરવામાં વિદ્યાર્થીઓની મુશ્કેલીઓ નીચેની સમસ્યાઓથી શરૂ થાય છે.

ઉદાહરણ 8. કાર્યની મર્યાદાની ગણતરી કરો[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
ઉકેલ: આપણી પાસે અનંતની શક્તિ માટે પ્રકાર 1 એકવચન છે. જો તમે મારા પર વિશ્વાસ ન કરતા હો, તો તમે દરેક જગ્યાએ "X" માટે અનંતતાને બદલી શકો છો અને તેની ખાતરી કરી શકો છો. નિયમ બનાવવા માટે, અમે કૌંસમાં છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરીએ છીએ, આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ મેનિપ્યુલેશન્સ કરીએ છીએ

ચાલો અભિવ્યક્તિને મર્યાદામાં બદલીએ અને તેને 2 અદ્ભુત મર્યાદામાં ફેરવીએ

મર્યાદા 10 ની ઘાતાંકીય શક્તિ જેટલી છે. સ્થિરાંકો કે જે ચલ સાથેના શબ્દો છે, કૌંસ અને ડિગ્રી બંનેમાં, કોઈપણ "હવામાન" રજૂ કરતા નથી - આ યાદ રાખવું જોઈએ. અને જો તમારા શિક્ષકો તમને પૂછે, "તમે સૂચક શા માટે કન્વર્ટ કરતા નથી?" (x-3 માં આ ઉદાહરણ માટે), પછી કહો કે "જ્યારે ચલ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો પછી તેમાં 100 ઉમેરો અથવા 1000 બાદ કરો, અને મર્યાદા તે હતી તે જ રહેશે!"
આ પ્રકારની મર્યાદાઓની ગણતરી કરવાની બીજી રીત છે. અમે તેના વિશે આગામી કાર્યમાં વાત કરીશું.

ઉદાહરણ 9. મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: હવે ચાલો અંશ અને છેદમાં ચલ કાઢીએ અને એક લક્ષણને બીજામાં ફેરવીએ. અંતિમ મૂલ્ય મેળવવા માટે અમે નોંધપાત્ર મર્યાદાના કોરોલરી 2 ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

ઉદાહરણ 10. કાર્યની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: દરેક જણ આપેલ મર્યાદા શોધી શકતા નથી. મર્યાદાને 2 સુધી વધારવા માટે, કલ્પના કરો કે પાપ (3x) એક ચલ છે, અને તમારે ઘાતાંક ફેરવવાની જરૂર છે

આગળ, આપણે પાવર ટુ પાવર તરીકે સૂચક લખીએ છીએ


મધ્યવર્તી દલીલો કૌંસમાં વર્ણવેલ છે. પ્રથમ અને બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવાના પરિણામે, અમે ઘાતકમાં ઘાત મેળવ્યું.

ઉદાહરણ 11. કાર્યની મર્યાદાની ગણતરી કરો sin(2*x)/ln(3*x+1)
ઉકેલ: અમારી પાસે ફોર્મ 0/0 ની અનિશ્ચિતતા છે. વધુમાં, આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનને બંને અદ્ભુત મર્યાદાઓનો ઉપયોગ કરવા માટે રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ. ચાલો અગાઉના ગાણિતિક પરિવર્તનો કરીએ

આગળ, મુશ્કેલી વિના, મર્યાદા મૂલ્ય લેશે

જો તમે ફંક્શન્સને ઝડપથી લખવાનું શીખો અને તેને પ્રથમ અથવા બીજી અદ્ભુત મર્યાદામાં ઘટાડી શકો તો તમે સોંપણીઓ, પરીક્ષણો, મોડ્યુલો પર આ રીતે મુક્ત અનુભવશો. જો તમારા માટે મર્યાદા શોધવા માટેની આપેલ પદ્ધતિઓને યાદ રાખવી મુશ્કેલ હોય, તો તમે હંમેશા અમારી પાસેથી મર્યાદાઓ પર ટેસ્ટ પેપર મંગાવી શકો છો.
આ કરવા માટે, ફોર્મ ભરો, ડેટા પ્રદાન કરો અને ઉદાહરણો સાથે ફાઇલ જોડો. અમે ઘણા વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરી છે - અમે તમને પણ મદદ કરી શકીએ છીએ!

હવે, શાંત આત્મા સાથે, ચાલો વિચાર કરવા આગળ વધીએ અદ્ભુત મર્યાદા.
જેવો દેખાય છે.

ચલ x ને બદલે વિવિધ કાર્યો હાજર હોઈ શકે છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે.

મર્યાદાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ મર્યાદા પ્રથમ નોંધપાત્ર એક જેવી જ છે, પરંતુ આ સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી. સામાન્ય રીતે, જો તમે મર્યાદામાં પાપ જોશો, તો તમારે તરત જ વિચારવું જોઈએ કે શું પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે.

અમારા નિયમ નંબર 1 મુજબ, અમે x ને બદલે શૂન્ય બદલીએ છીએ:

અમને અનિશ્ચિતતા મળે છે.

હવે આપણે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા જાતે ગોઠવવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો એક સરળ સંયોજન કરીએ:

તેથી અમે 7x પ્રકાશિત કરવા માટે અંશ અને છેદ ગોઠવીએ છીએ. હવે પરિચિત નોંધપાત્ર મર્યાદા પહેલેથી જ દેખાઈ છે. નક્કી કરતી વખતે તેને હાઇલાઇટ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

ચાલો પ્રથમ નોંધપાત્ર ઉદાહરણના ઉકેલને બદલીએ અને મેળવીએ:

અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવું:

જવાબ: 7/3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બધું ખૂબ સરળ છે.

જેવો દેખાય છે , જ્યાં e = 2.718281828... એ અતાર્કિક સંખ્યા છે.

ચલ x ને બદલે વિવિધ કાર્યો હાજર હોઈ શકે છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વલણ ધરાવે છે.

મર્યાદાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે

અહીં આપણે મર્યાદાના ચિહ્ન હેઠળ ડિગ્રીની હાજરી જોઈએ છીએ, જેનો અર્થ છે કે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે.

હંમેશની જેમ, અમે નિયમ નંબર 1 નો ઉપયોગ કરીશું - તેના બદલે x અવેજી:

તે જોઈ શકાય છે કે x પર ડિગ્રીનો આધાર છે, અને ઘાત 4x > છે, એટલે કે. અમે ફોર્મની અનિશ્ચિતતા મેળવીએ છીએ:

ચાલો આપણી અનિશ્ચિતતા જાહેર કરવા માટે બીજી અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીએ, પરંતુ પહેલા આપણે તેને ગોઠવવાની જરૂર છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારે સૂચકમાં હાજરી હાંસલ કરવાની જરૂર છે, જેના માટે આપણે આધારને 3x ની શક્તિ સુધી વધારીએ છીએ, અને તે જ સમયે 1/3x ની શક્તિ સુધી, જેથી અભિવ્યક્તિ બદલાય નહીં:

અમારી અદ્ભુત મર્યાદાને પ્રકાશિત કરવાનું ભૂલશો નહીં:

કે તેઓ ખરેખર કેવી રીતે છે અદ્ભુત મર્યાદા!
જો તમે હજુ પણ વિશે કોઇ પ્રશ્નો હોય પ્રથમ અને બીજી અદ્ભુત મર્યાદા, પછી ટિપ્પણીઓમાં તેમને પૂછવા માટે નિઃસંકોચ.
અમે દરેકને શક્ય તેટલો જવાબ આપીશું.

તમે આ વિષય પર શિક્ષક સાથે પણ કામ કરી શકો છો.
અમે તમને તમારા શહેરમાં લાયક શિક્ષક પસંદ કરવાની સેવાઓ પ્રદાન કરવા માટે પ્રસન્ન છીએ. અમારા ભાગીદારો તમારા માટે અનુકૂળ શરતો પર ઝડપથી સારા શિક્ષકની પસંદગી કરશે.

પૂરતી માહિતી નથી? - તમે કરી શકો છો!

તમે નોટપેડમાં ગણિતની ગણતરીઓ લખી શકો છો. લોગો (http://www.blocnot.ru) સાથે નોટબુકમાં વ્યક્તિગત રીતે લખવું વધુ સુખદ છે.

જો તમને તેની જરૂર હોય તો આ ઑનલાઇન ગણિત કેલ્ક્યુલેટર તમને મદદ કરશે કાર્યની મર્યાદાની ગણતરી કરો. કાર્યક્રમ ઉકેલ મર્યાદામાત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ નહીં, તે દોરી જાય છે સમજૂતી સાથે વિગતવાર ઉકેલ, એટલે કે મર્યાદા ગણતરી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

આ પ્રોગ્રામ સામાન્ય શિક્ષણની શાળાઓમાં ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતી વખતે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે અને માતા-પિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદવા તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા શું તમે તમારા ગણિત અથવા બીજગણિતનું હોમવર્ક શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

મર્યાદાની ગણતરી કરો
એવું જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.

તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript ને કેવી રીતે સક્ષમ કરવું તેની સૂચનાઓ અહીં છે.
કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે. કૃપા કરીને રાહ જુઓ

સેકન્ડ... જો તમેઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ
, તો પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો. ભૂલશો નહીંકયું કાર્ય સૂચવે છે તમે શું નક્કી કરો.

ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

x->x 0 પર ફંક્શનની મર્યાદા

ફંક્શન f(x) ને અમુક સમૂહ X પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને બિંદુ \(x_0 \in X\) અથવા \(x_0 \notin X\)
ચાલો X માંથી x 0 થી અલગ બિંદુઓનો ક્રમ લઈએ:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* માં કન્વર્જિંગ. આ ક્રમના બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યો પણ સંખ્યાત્મક ક્રમ બનાવે છે
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)

અને તેની મર્યાદાના અસ્તિત્વનો પ્રશ્ન ઉઠાવી શકે છે.વ્યાખ્યા

. સંખ્યા A એ બિંદુ x = x 0 (અથવા x -> x 0 પર) ફંક્શન f(x) ની મર્યાદા કહેવાય છે, જો દલીલ x ના મૂલ્યોના કોઈપણ ક્રમ (1) માટે x 0 થી અલગ હોય x 0 માં કન્વર્ઝ કરવાથી, મૂલ્યો ફંક્શનનો અનુરૂપ ક્રમ (2) નંબર A માં કન્વર્જ થાય છે.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
ફંક્શન f(x) બિંદુ x 0 પર માત્ર એક મર્યાદા હોઈ શકે છે. આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે ક્રમ

(f(x n)) ની માત્ર એક મર્યાદા છે.

અને તેની મર્યાદાના અસ્તિત્વનો પ્રશ્ન ઉઠાવી શકે છે.નંબર A ને x = x 0 બિંદુ પર f(x) ની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ સંખ્યા \(\varepsilon > 0\) માટે કોઈ સંખ્યા \(\delta > 0\) હોય જે બધા માટે \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), અસમાનતાને સંતોષતી \(|x-x_0| તાર્કિક પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને, આ વ્યાખ્યા આ રીતે લખી શકાય છે.
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| નોંધ કરો કે અસમાનતાઓ \(x \neq x_0 , \ ; \(\varepsilon - \delta \)”.
ફંક્શનની મર્યાદાની આ બે વ્યાખ્યાઓ સમાન છે અને તમે તેમાંથી કોઈ એકનો ઉપયોગ કરી શકો છો તેના આધારે ચોક્કસ સમસ્યા હલ કરવા માટે વધુ અનુકૂળ છે.

નોંધ કરો કે "સિક્વન્સની ભાષામાં" ફંક્શનની મર્યાદાની વ્યાખ્યાને હેઈન અનુસાર ફંક્શનની મર્યાદાની વ્યાખ્યા પણ કહેવામાં આવે છે, અને ફંક્શનની મર્યાદાની વ્યાખ્યા "ભાષામાં \(\varepsilon - \delta \)" ને કોચી અનુસાર કાર્યની મર્યાદાની વ્યાખ્યા પણ કહેવામાં આવે છે.

x->x 0 - અને x->x 0 + પર કાર્યની મર્યાદા

નીચેનામાં, આપણે ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાના ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીશું, જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છે.

અને તેની મર્યાદાના અસ્તિત્વનો પ્રશ્ન ઉઠાવી શકે છે.નંબર A એ x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ની જમણી (ડાબી) મર્યાદા કહેવાય છે જો કોઈપણ ક્રમ (1) x 0 માં કન્વર્જ થાય છે, જેના તત્વો x n મોટા (ઓછા) x ​​0 છે, અનુરૂપ ક્રમ (2) A માં કન્વર્જ થાય છે.

પ્રતીકાત્મક રીતે તે આના જેવું લખાયેલું છે:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

આપણે "ભાષામાં \(\varepsilon - \delta \)" ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાની સમકક્ષ વ્યાખ્યા આપી શકીએ છીએ:

અને તેની મર્યાદાના અસ્તિત્વનો પ્રશ્ન ઉઠાવી શકે છે.સંખ્યા A ને x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ની જમણી (ડાબી) મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ \(\varepsilon > 0\) માટે અસ્તિત્વમાં હોય \(\delta > 0\) જેમ કે તમામ x માટે સંતોષકારક અસમાનતાઓ \(x_0 સાંકેતિક એન્ટ્રીઓ: