અપૂર્ણાંક સાથે મોટા અભિવ્યક્તિઓ. અપૂર્ણાંક, નિયમો, ઉદાહરણો, ઉકેલો સાથેની કામગીરી

અંશ, અને જે ભાગ્યા છે તે છેદ છે.

અપૂર્ણાંક લખવા માટે, પ્રથમ અંશ લખો, પછી સંખ્યાની નીચે એક આડી રેખા દોરો અને લીટીની નીચે છેદ લખો. અંશ અને છેદને અલગ કરતી આડી રેખાને અપૂર્ણાંક રેખા કહેવામાં આવે છે. કેટલીકવાર તેને ત્રાંસી "/" અથવા "∕" તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, અંશ રેખાની ડાબી બાજુએ લખાયેલ છે, અને છેદ જમણી તરફ. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક "બે તૃતીયાંશ" 2/3 તરીકે લખવામાં આવશે. સ્પષ્ટતા માટે, અંશ સામાન્ય રીતે લીટીની ટોચ પર લખવામાં આવે છે, અને છેદ તળિયે, એટલે કે, 2/3 ને બદલે તમે શોધી શકો છો: ⅔.

અપૂર્ણાંકના ઉત્પાદનની ગણતરી કરવા માટે, પ્રથમ એકના અંશનો ગુણાકાર કરો અપૂર્ણાંકઅંશ માટે અલગ છે. નવાના અંશમાં પરિણામ લખો અપૂર્ણાંક. આ પછી, છેદનો ગુણાકાર કરો. નવામાં કુલ મૂલ્ય દાખલ કરો અપૂર્ણાંક. ઉદાહરણ તરીકે, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

એક અપૂર્ણાંકને બીજા વડે ભાગવા માટે, પહેલા પ્રથમના અંશને બીજાના છેદ વડે ગુણાકાર કરો. બીજા અપૂર્ણાંક (વિભાજક) સાથે તે જ કરો. અથવા, બધી ક્રિયાઓ કરતા પહેલા, પ્રથમ વિભાજકને "ફ્લિપ" કરો, જો તે તમારા માટે વધુ અનુકૂળ હોય તો: છેદ અંશની જગ્યાએ હોવું જોઈએ. પછી ડિવિડન્ડના છેદને વિભાજકના નવા છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો અને અંશનો ગુણાકાર કરો. ઉદાહરણ તરીકે, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

સ્ત્રોતો:

• મૂળભૂત અપૂર્ણાંક સમસ્યાઓ

અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ તમને વિવિધ સ્વરૂપોમાં જથ્થાના ચોક્કસ મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. તમે અપૂર્ણાંક સાથે સમાન ગણિતની ક્રિયાઓ કરી શકો છો જેમ તમે પૂર્ણ સંખ્યાઓ સાથે કરી શકો છો: બાદબાકી, સરવાળો, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. નક્કી કરવાનું શીખવું અપૂર્ણાંક, આપણે તેમની કેટલીક વિશેષતાઓ યાદ રાખવી જોઈએ. તેઓ પ્રકાર પર આધાર રાખે છે અપૂર્ણાંક, પૂર્ણાંક ભાગની હાજરી, એક સામાન્ય છેદ. કેટલાક અંકગણિત કામગીરીમાં અમલ પછી પરિણામના અપૂર્ણાંક ભાગને ઘટાડવાની જરૂર છે.

તમને જરૂર પડશે

• - કેલ્ક્યુલેટર

સૂચનાઓ

નંબરો પર નજીકથી નજર નાખો. જો અપૂર્ણાંકોમાં દશાંશ અને અનિયમિત હોય, તો કેટલીકવાર દશાંશ સાથે પ્રથમ કામગીરી કરવી અને પછી તેને અનિયમિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું વધુ અનુકૂળ છે. તમે અનુવાદ કરી શકો છો અપૂર્ણાંકઆ ફોર્મમાં શરૂઆતમાં, અંશમાં દશાંશ બિંદુ પછી મૂલ્ય લખવું અને છેદમાં 10 મૂકવું. જો જરૂરી હોય તો, ઉપર અને નીચેની સંખ્યાઓને એક વિભાજક દ્વારા વિભાજિત કરીને અપૂર્ણાંકને ઓછો કરો. અપૂર્ણાંક જેમાં પૂર્ણાંક ભાગ અલગ હોય છે તેને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને પરિણામમાં અંશ ઉમેરીને ખોટા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થવું જોઈએ. આ મૂલ્ય નવો અંશ બનશે અપૂર્ણાંક. શરૂઆતમાં ખોટા ભાગમાંથી સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરવા અપૂર્ણાંક, તમારે અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. થી આખું પરિણામ લખો અપૂર્ણાંક. અને ભાગાકારનો બાકીનો ભાગ નવો અંશ, છેદ બનશે અપૂર્ણાંકતે બદલાતું નથી. પૂર્ણાંક ભાગ સાથેના અપૂર્ણાંક માટે, પહેલા પૂર્ણાંક માટે અને પછી અપૂર્ણાંક ભાગો માટે અલગથી ક્રિયાઓ કરવી શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1 2/3 અને 2 ¾ ના સરવાળાની ગણતરી કરી શકાય છે:
- અપૂર્ણાંકને ખોટા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- શબ્દોના અલગથી પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગોનો સરવાળો:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

":" વિભાજકનો ઉપયોગ કરીને તેમને ફરીથી લખો અને સામાન્ય વિભાજન સાથે ચાલુ રાખો.

અંતિમ પરિણામ મેળવવા માટે, અંશ અને છેદને એક પૂર્ણ સંખ્યા વડે વિભાજિત કરીને પરિણામી અપૂર્ણાંકને ઘટાડવો, આ કિસ્સામાં સૌથી વધુ શક્ય છે. આ કિસ્સામાં, લીટીની ઉપર અને નીચે પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

અપૂર્ણાંકો સાથે અંકગણિત કરશો નહીં જેના છેદ અલગ હોય. એવી સંખ્યા પસંદ કરો કે જ્યારે તમે તેના દ્વારા દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો છો, તો પરિણામ એ આવશે કે બંને અપૂર્ણાંકના છેદ સમાન હોય.

ઉપયોગી સલાહ

અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ લખતી વખતે, ડિવિડન્ડ લીટીની ઉપર લખવામાં આવે છે. આ જથ્થાને અપૂર્ણાંકના અંશ તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંકનો વિભાજક અથવા છેદ લીટીની નીચે લખાયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક તરીકે દોઢ કિલોગ્રામ ચોખા નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે: 1 ½ કિલો ચોખા. જો અપૂર્ણાંકનો છેદ 10 હોય, તો અપૂર્ણાંકને દશાંશ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, અંશ (ડિવિડન્ડ) અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરીને આખા ભાગની જમણી બાજુએ લખાયેલ છે: 1.5 કિલો ચોખા. ગણતરીની સરળતા માટે, આવા અપૂર્ણાંકને હંમેશા ખોટા સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે: 1 2/10 કિલો બટાકા. સરળ બનાવવા માટે, તમે અંશ અને છેદના મૂલ્યોને એક પૂર્ણાંક વડે ભાગીને ઘટાડી શકો છો. આ ઉદાહરણમાં, તમે 2 વડે ભાગી શકો છો. પરિણામ 1 1/5 કિલો બટાકા હશે. ખાતરી કરો કે તમે જે સંખ્યાઓ સાથે અંકગણિત કરવા જઈ રહ્યા છો તે જ ફોર્મમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

અપૂર્ણાંક સાથેની ક્રિયાઓ.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

તેથી, અપૂર્ણાંક શું છે, અપૂર્ણાંકના પ્રકારો, પરિવર્તન - અમને યાદ છે. ચાલો મુખ્ય મુદ્દા પર જઈએ.

તમે અપૂર્ણાંક સાથે શું કરી શકો?હા, બધું સામાન્ય સંખ્યાઓ જેવું જ છે. ઉમેરો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર.

સાથે આ બધી ક્રિયાઓ દશાંશઅપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવું એ પૂર્ણ સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતા અલગ નથી. વાસ્તવમાં, તે તેમના વિશે સારું છે, દશાંશ રાશિઓ. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે તમારે અલ્પવિરામ યોગ્ય રીતે મૂકવાની જરૂર છે.

મિશ્ર સંખ્યાઓ, જેમ મેં પહેલેથી જ કહ્યું છે, મોટાભાગની ક્રિયાઓ માટે તેનો બહુ ઓછો ઉપયોગ છે. તેમને હજુ પણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.

પરંતુ સાથે ક્રિયાઓ સામાન્ય અપૂર્ણાંકતેઓ વધુ ચાલાક હશે. અને વધુ મહત્વપૂર્ણ! ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: અક્ષરો, સાઈન, અજ્ઞાત અને તેથી વધુ સાથે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ સાથેની બધી ક્રિયાઓ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની ક્રિયાઓથી અલગ નથી.! સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરી એ તમામ બીજગણિતનો આધાર છે. આ કારણોસર જ આપણે આ તમામ અંકગણિતનું અહીં વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું.

અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી.

દરેક જણ સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરી (બાદબાકી) કરી શકે છે (હું ખરેખર આશા રાખું છું!). ઠીક છે, ચાલો હું તેમને યાદ કરાવું કે જેઓ સંપૂર્ણપણે ભૂલી ગયા છે: જ્યારે ઉમેરી રહ્યા હોય (બાદબાકી કરો), ત્યારે છેદ બદલાતું નથી. પરિણામનો અંશ આપવા માટે અંશ ઉમેરવામાં આવે છે (બાદબાકી). પ્રકાર:

ટૂંકમાં, સામાન્ય શબ્દોમાં:

જો છેદ અલગ હોય તો શું? પછી, અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને (અહીં તે ફરીથી હાથમાં આવે છે!), અમે છેદ સમાન બનાવીએ છીએ! ઉદાહરણ તરીકે:

અહીં આપણે અપૂર્ણાંક 2/5 થી અપૂર્ણાંક 4/10 બનાવવાનો હતો. છેદ સમાન બનાવવાના એકમાત્ર હેતુ માટે. મને નોંધ લેવા દો, માત્ર કિસ્સામાં, તે 2/5 અને 4/10 છે સમાન અપૂર્ણાંક! ફક્ત 2/5 અમારા માટે અસ્વસ્થતા છે, અને 4/10 ખરેખર ઠીક છે.

માર્ગ દ્વારા, આ કોઈપણ ગણિત સમસ્યાઓ હલ કરવાનો સાર છે. જ્યારે અમે થી અસ્વસ્થતાઅમે અભિવ્યક્તિઓ કરીએ છીએ સમાન વસ્તુ, પરંતુ ઉકેલવા માટે વધુ અનુકૂળ.

બીજું ઉદાહરણ:

સ્થિતિ પણ એવી જ છે. અહીં આપણે 16 માંથી 48 બનાવીએ છીએ. 3 વડે સરળ ગુણાકાર દ્વારા. આ બધું સ્પષ્ટ છે. પરંતુ અમને કંઈક આના જેવું મળ્યું:

કેવી રીતે બનવું ?! સાતમાંથી નવ બનાવવા મુશ્કેલ છે! પરંતુ અમે સ્માર્ટ છીએ, અમે નિયમો જાણીએ છીએ! ચાલો પરિવર્તન કરીએ દરેકઅપૂર્ણાંક જેથી છેદ સમાન હોય. તેને "સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો" કહેવામાં આવે છે:

વાહ! મને 63 વિશે કેવી રીતે ખબર પડી? ખૂબ જ સરળ! 63 એ એક સંખ્યા છે જે એક જ સમયે 7 અને 9 વડે ભાગી શકાય છે. આવી સંખ્યા હંમેશા છેદનો ગુણાકાર કરીને મેળવી શકાય છે. જો આપણે સંખ્યાને 7 વડે ગુણાકાર કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, તો પરિણામ ચોક્કસપણે 7 વડે વિભાજ્ય હશે!

જો તમારે ઘણા અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા (બાદબાકી) કરવાની જરૂર હોય, તો તેને જોડીમાં કરવાની જરૂર નથી, પગલું દ્વારા. તમારે ફક્ત બધા અપૂર્ણાંક માટે સામાન્ય છેદ શોધવાની જરૂર છે અને દરેક અપૂર્ણાંકને આ જ છેદમાં ઘટાડવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે:

અને સામાન્ય છેદ શું હશે? તમે, અલબત્ત, 2, 4, 8 અને 16 નો ગુણાકાર કરી શકો છો. અમને 1024 મળે છે. નાઇટમેર. 16 નંબર 2, 4 અને 8 વડે સંપૂર્ણ રીતે વિભાજ્ય છે તે અનુમાન કરવું સહેલું છે. તેથી, આ સંખ્યાઓમાંથી 16 મેળવવું સરળ છે. આ સંખ્યા સામાન્ય છેદ હશે. ચાલો 1/2 ને 8/16 માં, 3/4 ને 12/16 માં ફેરવીએ, વગેરે.

જો તમે સામાન્ય છેદ તરીકે 1024 લો છો, તો બધું કામ કરશે, અંતે બધું ઘટશે. પરંતુ ગણતરીઓને કારણે દરેક જણ આ અંત સુધી પહોંચશે નહીં ...

ઉદાહરણ જાતે પૂર્ણ કરો. કોઈ પ્રકારનો લઘુગણક નથી... તે 29/16 હોવો જોઈએ.

તેથી, અપૂર્ણાંકનો સરવાળો (બાદબાકી) સ્પષ્ટ છે, હું આશા રાખું છું? અલબત્ત, વધારાના મલ્ટિપ્લાયર્સ સાથે ટૂંકા સંસ્કરણમાં કામ કરવું વધુ સરળ છે. પરંતુ આ આનંદ તે લોકો માટે ઉપલબ્ધ છે જેમણે નિમ્ન ગ્રેડમાં પ્રામાણિકપણે કામ કર્યું... અને કંઈપણ ભૂલ્યા નહીં.

અને હવે આપણે સમાન ક્રિયાઓ કરીશું, પરંતુ અપૂર્ણાંક સાથે નહીં, પરંતુ સાથે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ. નવી રેક અહીં જાહેર કરવામાં આવશે, હા...

તેથી, આપણે બે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ ઉમેરવાની જરૂર છે:

આપણે છેદ સમાન બનાવવાની જરૂર છે. અને માત્ર મદદ સાથે ગુણાકાર! આ તે છે જે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત સૂચવે છે. તેથી, હું છેદમાં પ્રથમ અપૂર્ણાંકમાં X માં એક ઉમેરી શકતો નથી. (તે સરસ હશે!). પરંતુ જો તમે છેદનો ગુણાકાર કરો, તો તમે જુઓ, બધું એકસાથે વધે છે! તેથી આપણે અપૂર્ણાંકની રેખા લખીએ છીએ, ટોચ પર ખાલી જગ્યા છોડીએ છીએ, પછી તેને ઉમેરીએ છીએ, અને નીચે છેદનું ઉત્પાદન લખીએ છીએ, જેથી ભૂલી ન જાય:

અને, અલબત્ત, અમે જમણી બાજુએ કંઈપણ ગુણાકાર કરતા નથી, અમે કૌંસ ખોલતા નથી! અને હવે, જમણી બાજુના સામાન્ય છેદને જોતા, અમને ખ્યાલ આવે છે: પ્રથમ અપૂર્ણાંકમાં x(x+1) છેદ મેળવવા માટે, તમારે આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને (x+1) વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. . અને બીજા અપૂર્ણાંકમાં - x થી. તમને જે મળે છે તે આ છે:

ધ્યાન આપો! અહીં કૌંસ છે! આ તે રેક છે જેના પર ઘણા લોકો પગ મૂકે છે. કૌંસ નહીં, અલબત્ત, પરંતુ તેમની ગેરહાજરી. કૌંસ દેખાય છે કારણ કે આપણે ગુણાકાર કરીએ છીએ બધાઅંશ અને બધાછેદ અને તેમના વ્યક્તિગત ટુકડાઓ નહીં ...

જમણી બાજુના અંશમાં આપણે અંશનો સરવાળો લખીએ છીએ, બધું સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંકમાં છે, પછી આપણે જમણી બાજુના અંશમાં કૌંસ ખોલીએ છીએ, એટલે કે. અમે બધું ગુણાકાર કરીએ છીએ અને સમાન આપીએ છીએ. છેદમાં કૌંસ ખોલવાની કે કંઈપણ ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી! સામાન્ય રીતે, છેદમાં (કોઈપણ) ઉત્પાદન હંમેશા વધુ સુખદ હોય છે! અમને મળે છે:

તો અમને જવાબ મળ્યો. પ્રક્રિયા લાંબી અને મુશ્કેલ લાગે છે, પરંતુ તે પ્રેક્ટિસ પર આધારિત છે. એકવાર તમે ઉદાહરણો ઉકેલી લો, તેની આદત પાડો, બધું સરળ થઈ જશે. જેમણે નિયત સમયે અપૂર્ણાંકમાં નિપુણતા મેળવી છે તેઓ આ બધી ક્રિયાઓ એક ડાબા હાથથી, આપોઆપ કરે છે!

અને એક વધુ નોંધ. ઘણા અપૂર્ણાંક સાથે ચપળતાથી વ્યવહાર કરે છે, પરંતુ સાથેના ઉદાહરણો પર અટકી જાય છે સમગ્રસંખ્યાઓ જેમ કે: 2 + 1/2 + 3/4= ? ટુ-પીસ ક્યાં બાંધવું? તમારે તેને ક્યાંય બાંધવાની જરૂર નથી, તમારે બેમાંથી એક અપૂર્ણાંક બનાવવાની જરૂર છે. તે સરળ નથી, પરંતુ ખૂબ જ સરળ છે! 2=2/1. આની જેમ. કોઈપણ પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે. અંશ એ સંખ્યા જ છે, છેદ એક છે. 7 એટલે 7/1, 3 એ 3/1 વગેરે. તે અક્ષરો સાથે સમાન છે. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, વગેરે. અને પછી અમે બધા નિયમો અનુસાર આ અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરીએ છીએ.

વેલ, અપૂર્ણાંકના સરવાળા અને બાદબાકીનું જ્ઞાન તાજું થયું. અપૂર્ણાંકને એક પ્રકારમાંથી બીજામાં રૂપાંતરિત કરવાનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવ્યું હતું. તમે પણ ચેક કરાવી શકો છો. શું આપણે તેનું થોડું સમાધાન કરીશું?)

ગણતરી કરો:

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર/ભાગાકાર - આગળના પાઠમાં. અપૂર્ણાંક સાથે તમામ કામગીરી માટે કાર્યો પણ છે.

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

ચાલો સંમત થઈએ કે આપણા પાઠમાં "અપૂર્ણાંકો સાથેની ક્રિયાઓ" નો અર્થ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની ક્રિયાઓ હશે. સામાન્ય અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક છે જેમાં અંશ, અપૂર્ણાંક રેખા અને છેદ જેવા લક્ષણો હોય છે. આ દશાંશમાંથી સામાન્ય અપૂર્ણાંકને અલગ પાડે છે, જે છેદને 10 ના ગુણાંકમાં ઘટાડીને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાંથી મેળવવામાં આવે છે. દશાંશ અપૂર્ણાંક અલ્પવિરામ સાથે લખવામાં આવે છે જે આખા ભાગને અપૂર્ણાંક ભાગથી અલગ કરે છે. અમે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરી વિશે વાત કરીશું, કારણ કે તે એવા વિદ્યાર્થીઓ છે કે જેઓ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના પ્રથમ ભાગમાં આવરી લેવામાં આવેલા આ વિષયની મૂળભૂત બાબતોને ભૂલી ગયા હોય તેવા વિદ્યાર્થીઓ માટે સૌથી મોટી મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. તે જ સમયે, ઉચ્ચ ગણિતમાં અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરતી વખતે, તે મુખ્યત્વે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરી છે જેનો ઉપયોગ થાય છે. એકલા અપૂર્ણાંક સંક્ષેપો તે મૂલ્યના છે! દશાંશ અપૂર્ણાંક કોઈ ખાસ મુશ્કેલીઓનું કારણ નથી. તેથી, આગળ વધો!

બે અપૂર્ણાંક સમાન કહેવાય છે જો.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્યારથી

અપૂર્ણાંક અને (થી), અને ( થી) પણ સમાન છે.

દેખીતી રીતે, બંને અપૂર્ણાંક અને સમાન છે. આનો અર્થ એ થયો કે જો આપેલ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન પ્રાકૃતિક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો તમને આપેલ અપૂર્ણાંકની બરાબર અપૂર્ણાંક મળશે: .

આ ગુણધર્મને અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકત કહેવામાં આવે છે.

અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદના ચિહ્નોને બદલવા માટે થઈ શકે છે. જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને -1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો આપણને મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો અંશ અને છેદના ચિહ્નો એક જ સમયે બદલાશે તો અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં. જો તમે માત્ર અંશ અથવા માત્ર છેદનું ચિહ્ન બદલો છો, તો અપૂર્ણાંક તેની નિશાની બદલશે:

અપૂર્ણાંક ઘટાડવા

અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, તમે આપેલ અપૂર્ણાંકને બીજા અપૂર્ણાંક સાથે બદલી શકો છો જે આપેલ અપૂર્ણાંકની બરાબર છે, પરંતુ નાના અંશ અને છેદ સાથે. આ અવેજીને અપૂર્ણાંક ઘટાડો કહેવામાં આવે છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક આપવામાં આવે. 36 અને 48 નંબરોમાં 12 નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે. પછી

.

સામાન્ય રીતે, જો અંશ અને છેદ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ન હોય તો અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનું હંમેશા શક્ય છે. જો અંશ અને છેદ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો અપૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે.

તેથી, અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સામાન્ય અવયવ દ્વારા વિભાજિત કરવું. ઉપરોક્ત તમામ ચલો ધરાવતા અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ પર પણ લાગુ પડે છે.

ઉદાહરણ 1.અપૂર્ણાંક ઘટાડો

ઉકેલ. અંશને અવયવિત કરવા માટે, પ્રથમ એકવિધ - 5 પ્રસ્તુત કરો xyરકમ તરીકે - 2 xy - 3xy, અમને મળે છે

છેદને અવયવિત કરવા માટે, અમે ચોરસ સૂત્રના તફાવતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પરિણામે

.

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

બે અપૂર્ણાંક અને . તેઓના વિવિધ છેદ છે: 5 અને 7. અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, તમે આ અપૂર્ણાંકોને તેમના સમાન હોય તેવા અન્ય સાથે બદલી શકો છો, અને જેથી પરિણામી અપૂર્ણાંકોમાં સમાન છેદ હશે. અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 7 વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો 5 વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે

તેથી, અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

.

પરંતુ આ સમસ્યાનો એકમાત્ર ઉકેલ નથી: ઉદાહરણ તરીકે, આ અપૂર્ણાંકોને 70 ના સામાન્ય છેદમાં પણ ઘટાડી શકાય છે:

,

અને સામાન્ય રીતે કોઈપણ છેદ માટે 5 અને 7 બંને વડે વિભાજ્ય.

ચાલો બીજા ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ: ચાલો અપૂર્ણાંક અને સામાન્ય છેદ લાવીએ. અગાઉના ઉદાહરણની જેમ દલીલ કરીને, આપણને મળે છે

,

.

પરંતુ આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવાનું શક્ય છે જે આ અપૂર્ણાંકોના છેદના ઉત્પાદન કરતાં ઓછું છે. ચાલો સંખ્યાઓ 24 અને 30 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધીએ: LCM(24, 30) = 120.

120:4 = 5 થી, 120 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક લખવા માટે, તમારે અંશ અને છેદ બંનેને 5 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, આ સંખ્યાને અતિરિક્ત પરિબળ કહેવામાં આવે છે. અર્થ .

આગળ, આપણને 120:30=4 મળે છે. અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 4 ના વધારાના અવયવ વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે .

તેથી, આ અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

આ અપૂર્ણાંકોના છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ સૌથી નાનો શક્ય સામાન્ય છેદ છે.

અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ માટે જેમાં ચલોનો સમાવેશ થાય છે, સામાન્ય છેદ એ બહુપદી છે જે દરેક અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

ઉદાહરણ 2.અપૂર્ણાંકનો સામાન્ય છેદ શોધો અને.

ઉકેલ. આ અપૂર્ણાંકોનો સામાન્ય છેદ એ બહુપદી છે, કારણ કે તે અને બંને વડે વિભાજ્ય છે. જો કે, આ બહુપદી માત્ર એક જ નથી જે આ અપૂર્ણાંકોનો સામાન્ય છેદ હોઈ શકે. તે બહુપદી પણ હોઈ શકે છે , અને બહુપદી , અને બહુપદી વગેરે સામાન્ય રીતે તેઓ એટલો સામાન્ય છેદ લે છે કે કોઈપણ અન્ય સામાન્ય છેદને શેષ વિના પસંદ કરેલા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આ છેદને સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ કહેવામાં આવે છે.

અમારા ઉદાહરણમાં, સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ છે. પ્રાપ્ત:

;

.

અમે અપૂર્ણાંકને તેમના સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવામાં સક્ષમ હતા. આ પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને , અને બીજા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કરીને થયું. બહુપદીને પ્રથમ અને બીજા અપૂર્ણાંક માટે અનુક્રમે વધારાના પરિબળો કહેવામાં આવે છે.

અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી

અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

.

ઉદાહરણ તરીકે,

.

જો b = ડી, તે

.

આનો અર્થ એ છે કે સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, અંશ ઉમેરવા અને છેદને સમાન છોડવા માટે તે પૂરતું છે. ઉદાહરણ તરીકે,

.

જો તમે જુદા જુદા છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરો છો, તો તમે સામાન્ય રીતે અપૂર્ણાંકને સૌથી નીચા સામાન્ય છેદમાં ઘટાડી શકો છો, અને પછી અંશ ઉમેરો છો. ઉદાહરણ તરીકે,

.

હવે ચલો સાથે અપૂર્ણાંક સમીકરણો ઉમેરવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 3.અભિવ્યક્તિને એક અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરો

.

ઉકેલ. ચાલો સૌથી નીચો સામાન્ય છેદ શોધીએ. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ.

આ લેખ વિશે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. અહીં આપણે સંપૂર્ણના અપૂર્ણાંકનો ખ્યાલ રજૂ કરીશું, જે આપણને સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જશે. આગળ આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંક માટે સ્વીકૃત સંકેત પર ધ્યાન આપીશું અને અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો આપીશું, ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ વિશે કહીએ. આ પછી, આપણે યોગ્ય અને અયોગ્ય, ધન અને ઋણ અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યા આપીશું, અને સંકલન કિરણ પર અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓની સ્થિતિને પણ ધ્યાનમાં લઈશું. નિષ્કર્ષમાં, અમે અપૂર્ણાંક સાથે મુખ્ય કામગીરીની સૂચિ બનાવીએ છીએ.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

સમગ્ર ના શેર

પ્રથમ અમે પરિચય શેરનો ખ્યાલ.

ચાલો માની લઈએ કે આપણી પાસે અમુક એકદમ સરખા (એટલે ​​​​કે સમાન) ભાગોથી બનેલો પદાર્થ છે. સ્પષ્ટતા માટે, તમે કલ્પના કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સફરજનને ઘણા સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે, અથવા નારંગીમાં ઘણા સમાન ટુકડાઓ હોય છે. આ દરેક સમાન ભાગો જે સમગ્ર પદાર્થ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સમગ્ર ભાગોઅથવા માત્ર શેર.

નોંધ કરો કે શેર અલગ છે. ચાલો આ સમજાવીએ. ચાલો બે સફરજન લઈએ. પ્રથમ સફરજનને બે સમાન ભાગોમાં અને બીજાને 6 સમાન ભાગોમાં કાપો. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ સફરજનનો હિસ્સો બીજા સફરજનના શેર કરતા અલગ હશે.

સમગ્ર ઑબ્જેક્ટ બનાવે છે તે શેરની સંખ્યાના આધારે, આ શેરના પોતાના નામ છે. ચાલો તેને સૉર્ટ કરીએ ધબકારાનાં નામ. જો કોઈ ઑબ્જેક્ટ બે ભાગો ધરાવે છે, તો તેમાંથી કોઈપણને સમગ્ર ઑબ્જેક્ટનો બીજો ભાગ કહેવામાં આવે છે; જો કોઈ વસ્તુમાં ત્રણ ભાગો હોય, તો તેમાંથી કોઈપણને ત્રીજો ભાગ કહેવામાં આવે છે, વગેરે.

એક સેકન્ડ શેરનું ખાસ નામ છે - અડધા. એક તૃતીયાંશ કહેવાય છે ત્રીજું, અને એક ક્વાર્ટર ભાગ - એક ક્વાર્ટર.

સંક્ષિપ્તતા માટે, નીચેની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી: બીટ પ્રતીકો. એક સેકન્ડ શેર અથવા 1/2 તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, એક ત્રીજો શેર અથવા 1/3 તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે; એક ચોથો શેર - લાઇક અથવા 1/4, વગેરે. નોંધ કરો કે આડી પટ્ટી સાથેનો સંકેત વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે. સામગ્રીને મજબુત બનાવવા માટે, ચાલો એક વધુ ઉદાહરણ આપીએ: એન્ટ્રી સમગ્રનો એકસો સાઠ સાતમો ભાગ દર્શાવે છે.

શેરની વિભાવના કુદરતી રીતે વસ્તુઓથી જથ્થા સુધી વિસ્તરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, લંબાઈનું એક માપ મીટર છે. મીટર કરતાં નાની લંબાઈને માપવા માટે, મીટરના અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. તેથી તમે ઉપયોગ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, અડધો મીટર અથવા દસમો અથવા મીટરનો હજારમો. અન્ય જથ્થાના શેર સમાન રીતે લાગુ પડે છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક, વ્યાખ્યા અને અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ તે શેર્સની સંખ્યાનું વર્ણન કરવા માટે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ જે આપણને સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યાનો સંપર્ક કરવા દેશે.

નારંગીમાં 12 ભાગો થવા દો. આ કિસ્સામાં દરેક શેર સંપૂર્ણ નારંગીના બારમા ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે. અમે બે ધબકારા આ રીતે દર્શાવીએ છીએ, ત્રણ ધબકારા આ રીતે, અને તેથી વધુ, 12 ધબકારા તરીકે દર્શાવીએ છીએ. આપેલ દરેક એન્ટ્રીને સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.

હવે એક જનરલ આપીએ સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકની અવાજવાળી વ્યાખ્યા આપણને આપવા દે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો: 5/10, 21/1, 9/4, . અને અહીં રેકોર્ડ છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની જણાવેલ વ્યાખ્યામાં બંધબેસતા નથી, એટલે કે, તે સામાન્ય અપૂર્ણાંક નથી.

અંશ અને છેદ

સગવડ માટે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને અલગ પાડવામાં આવે છે અંશ અને છેદ.

વ્યાખ્યા.

અંશસામાન્ય અપૂર્ણાંક (m/n) એ કુદરતી સંખ્યા m છે.

વ્યાખ્યા.

છેદસામાન્ય અપૂર્ણાંક (m/n) એ કુદરતી સંખ્યા n છે.

તેથી, અંશ અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર સ્થિત છે (સ્લેશની ડાબી બાજુએ), અને છેદ અપૂર્ણાંક રેખાની નીચે (સ્લેશની જમણી બાજુએ) સ્થિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંક 17/29 લઈએ, આ અપૂર્ણાંકનો અંશ નંબર 17 છે, અને છેદ 29 નંબર છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં સમાવિષ્ટ અર્થની ચર્ચા કરવાનું બાકી છે. અપૂર્ણાંકનો છેદ બતાવે છે કે એક પદાર્થ કેટલા ભાગો ધરાવે છે, અને અંશ, બદલામાં, આવા ભાગોની સંખ્યા સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 12/5 ના છેદ 5 નો અર્થ છે કે એક પદાર્થ પાંચ શેર ધરાવે છે, અને અંશ 12 નો અર્થ છે કે આવા 12 શેર લેવામાં આવ્યા છે.

છેદ 1 સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે કુદરતી સંખ્યા

સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો છેદ એક સમાન હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, આપણે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ કે ઑબ્જેક્ટ અવિભાજ્ય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે કંઈક સંપૂર્ણ રજૂ કરે છે. આવા અપૂર્ણાંકનો અંશ સૂચવે છે કે કેટલી બધી વસ્તુઓ લેવામાં આવી છે. આમ, m/1 ફોર્મના સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અર્થ કુદરતી સંખ્યા m છે. આ રીતે અમે સમાનતા m/1=m ની માન્યતા સાબિત કરી.

ચાલો છેલ્લી સમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ: m=m/1. આ સમાનતા આપણને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા m ને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 4 એ અપૂર્ણાંક 4/1 છે, અને સંખ્યા 103,498 અપૂર્ણાંક 103,498/1 ની બરાબર છે.

તેથી, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા m ને 1 ના છેદ સાથે m/1 તરીકે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને m/1 સ્વરૂપના કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા m દ્વારા બદલી શકાય છે..

વિભાજન ચિહ્ન તરીકે અપૂર્ણાંક બાર

મૂળ વસ્તુને n શેરના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી એ n સમાન ભાગોમાં વિભાજન કરતાં વધુ કંઈ નથી. આઇટમને n શેરમાં વિભાજિત કર્યા પછી, અમે તેને n લોકોમાં સમાન રીતે વહેંચી શકીએ છીએ - દરેકને એક શેર પ્રાપ્ત થશે.

જો આપણી પાસે શરૂઆતમાં m સમાન પદાર્થો હોય, જેમાંથી દરેક n શેરમાં વિભાજિત હોય, તો પછી આપણે આ m ઑબ્જેક્ટ્સને n લોકો વચ્ચે સમાન રીતે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ, દરેક વ્યક્તિને m ઑબ્જેક્ટમાંથી એક શેર આપીને. આ કિસ્સામાં, દરેક વ્યક્તિ પાસે 1/n ના m શેર હશે, અને 1/n ના m શેર સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n આપે છે. આમ, સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n નો ઉપયોગ n લોકો વચ્ચે m વસ્તુઓના વિભાજનને દર્શાવવા માટે થઈ શકે છે.

આ રીતે આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંક અને ભાગાકાર વચ્ચે સ્પષ્ટ જોડાણ મેળવ્યું (કુદરતી સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનો સામાન્ય વિચાર જુઓ). આ જોડાણ નીચે મુજબ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છે: અપૂર્ણાંક રેખાને વિભાજન ચિહ્ન તરીકે સમજી શકાય છે, એટલે કે, m/n=m:n.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનું પરિણામ લખી શકો છો જેના માટે સંપૂર્ણ ભાગાકાર કરી શકાતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 5 સફરજનને 8 લોકો દ્વારા વિભાજીત કરવાનું પરિણામ 5/8 તરીકે લખી શકાય છે, એટલે કે, દરેકને સફરજનના પાંચ-આઠમા ભાગ મળશે: 5:8 = 5/8.

સમાન અને અસમાન અપૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંકની સરખામણી

એકદમ કુદરતી ક્રિયા છે અપૂર્ણાંકની તુલના, કારણ કે તે સ્પષ્ટ છે કે નારંગીનો 1/12 ભાગ 5/12 કરતા અલગ છે, અને સફરજનનો 1/6 ભાગ આ સફરજનના બીજા 1/6 સમાન છે.

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવાના પરિણામે, પરિણામોમાંથી એક પ્રાપ્ત થાય છે: અપૂર્ણાંક કાં તો સમાન અથવા અસમાન છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક, અને બીજામાં - અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ચાલો સમાન અને અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા.

સમાન, જો સમાનતા a·d=b·c સાચી હોય.

વ્યાખ્યા.

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંક a/b અને c/d સમાન નથી, જો સમાનતા a·d=b·c સંતુષ્ટ નથી.

અહીં સમાન અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1/2 એ અપૂર્ણાંક 2/4 ની બરાબર છે, કારણ કે 1·4=2·2 (જો જરૂરી હોય તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના નિયમો અને ઉદાહરણો જુઓ). સ્પષ્ટતા માટે, તમે બે સમાન સફરજનની કલ્પના કરી શકો છો, પ્રથમ અડધા ભાગમાં કાપવામાં આવે છે, અને બીજું 4 ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે સફરજનના બે ચતુર્થાંશ 1/2 શેર બરાબર છે. સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અન્ય ઉદાહરણો છે અપૂર્ણાંક 4/7 અને 36/63, અને અપૂર્ણાંકની જોડી 81/50 અને 1,620/1,000.

પરંતુ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 4/13 અને 5/14 સમાન નથી, કારણ કે 4·14=56, અને 13·5=65, એટલે કે, 4·14≠13·5. અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અન્ય ઉદાહરણો અપૂર્ણાંક 17/7 અને 6/4 છે.

જો, બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરતી વખતે, તે તારણ આપે છે કે તેઓ સમાન નથી, તો તમારે આમાંથી કયા સામાન્ય અપૂર્ણાંકો શોધવાની જરૂર પડી શકે છે. ઓછુંઅલગ, અને કયું - વધુ. તે જાણવા માટે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેનો સાર એ છે કે તુલનાત્મક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં લાવવો અને પછી અંશની તુલના કરવી. આ વિષય પરની વિગતવાર માહિતી અપૂર્ણાંકની તુલના લેખમાં એકત્રિત કરવામાં આવી છે: નિયમો, ઉદાહરણો, ઉકેલો.

અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ

દરેક અપૂર્ણાંક એક સંકેત છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા. એટલે કે, અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક સંખ્યાનો ફક્ત "શેલ" છે, તેનો દેખાવ અને તમામ સિમેન્ટીક લોડ અપૂર્ણાંક નંબરમાં સમાયેલ છે. જો કે, સંક્ષિપ્તતા અને સગવડતા માટે, અપૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાની વિભાવનાઓને જોડવામાં આવે છે અને તેને સરળ રીતે અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. અહીં એક જાણીતી કહેવતને સમજાવવું યોગ્ય છે: અમે અપૂર્ણાંક કહીએ છીએ - અમારો અર્થ અપૂર્ણાંક સંખ્યા છે, અમે અપૂર્ણાંક સંખ્યા કહીએ છીએ - અમારો અર્થ અપૂર્ણાંક છે.

સંકલન કિરણ પરના અપૂર્ણાંક

સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને અનુરૂપ તમામ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓનું પોતાનું આગવું સ્થાન હોય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંક અને સંકલન કિરણના બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર હોય છે.

અપૂર્ણાંક m/n ને અનુરૂપ સંકલન કિરણ પરના બિંદુ પર જવા માટે, તમારે હકારાત્મક દિશામાં કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિમાંથી m સેગમેન્ટ્સને અલગ રાખવાની જરૂર છે, જેની લંબાઈ એકમ સેગમેન્ટનો 1/n અપૂર્ણાંક છે. આવા સેગમેન્ટ્સને એકમ સેગમેન્ટને n સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને મેળવી શકાય છે, જે હંમેશા હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અપૂર્ણાંક 14/10 ને અનુરૂપ, સંકલન કિરણ પર બિંદુ M બતાવીએ. બિંદુ O પર છેડાવાળા સેગમેન્ટની લંબાઈ અને તેની સૌથી નજીકનો બિંદુ, નાના ડેશ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે, તે એકમ સેગમેન્ટનો 1/10 છે. કોઓર્ડિનેટ 14/10 સાથેના બિંદુને મૂળમાંથી આવા 14 સેગમેન્ટના અંતરે દૂર કરવામાં આવે છે.

સમાન અપૂર્ણાંકો સમાન અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુરૂપ છે, એટલે કે, સમાન અપૂર્ણાંક એ સંકલન કિરણ પર સમાન બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઓર્ડિનેટ્સ 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 કોઓર્ડિનેટ કિરણ પરના એક બિંદુને અનુરૂપ છે, કારણ કે તમામ લેખિત અપૂર્ણાંક સમાન છે (તે મૂકેલા અડધા એકમ સેગમેન્ટના અંતરે સ્થિત છે. સકારાત્મક દિશામાં મૂળમાંથી).

આડા અને જમણે-નિર્દેશિત સંકલન કિરણ પર, જે બિંદુનો સંકલન મોટો અપૂર્ણાંક છે તે બિંદુની જમણી બાજુએ સ્થિત છે જેનું સંકલન નાનું અપૂર્ણાંક છે. એ જ રીતે, નાના કોઓર્ડિનેટ ધરાવતું બિંદુ મોટા કોઓર્ડિનેટવાળા બિંદુની ડાબી બાજુએ આવેલું છે.

યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો, વ્યાખ્યાઓ, ઉદાહરણો

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો વચ્ચે છે યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. આ વિભાજન અંશ અને છેદની સરખામણી પર આધારિત છે.

ચાલો આપણે યોગ્ય અને અયોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

વ્યાખ્યા.

યોગ્ય અપૂર્ણાંકએક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ છેદ કરતા ઓછો છે, એટલે કે, જો m

વ્યાખ્યા.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકએ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે જેમાં અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા તેના સમાન હોય છે, એટલે કે, જો m≥n હોય, તો સામાન્ય અપૂર્ણાંક અયોગ્ય છે.

અહીં યોગ્ય અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: 1/4, , 32,765/909,003. ખરેખર, દરેક લેખિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય છે (જો જરૂરી હોય તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સરખામણી કરતો લેખ જુઓ), તેથી તેઓ વ્યાખ્યા દ્વારા સાચા છે.

અહીં અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો છે: 9/9, 23/4, . ખરેખર, લેખિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકોમાંથી પ્રથમનો અંશ છેદ સમાન છે, અને બાકીના અપૂર્ણાંકોમાં અંશ છેદ કરતા મોટો છે.

એક સાથે અપૂર્ણાંકની સરખામણીના આધારે યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યાઓ પણ છે.

વ્યાખ્યા.

યોગ્ય, જો તે એક કરતા ઓછું હોય.

વ્યાખ્યા.

સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે ખોટું, જો તે કાં તો એક સમાન હોય અથવા 1 કરતા વધારે હોય.

તેથી સામાન્ય અપૂર્ણાંક 7/11 સાચો છે, 7/11 થી<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, અને 27/27=1.

ચાલો વિચારીએ કે કેવી રીતે છેદ કરતા મોટા અથવા સમાન અંશ સાથેના સામાન્ય અપૂર્ણાંક આવા નામને લાયક છે - "અયોગ્ય".

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 9/9 લઈએ. આ અપૂર્ણાંકનો અર્થ એ છે કે નવ ભાગોનો સમાવેશ કરતી વસ્તુના નવ ભાગો લેવામાં આવે છે. એટલે કે ઉપલબ્ધ નવ ભાગોમાંથી આપણે એક આખો પદાર્થ બનાવી શકીએ છીએ. એટલે કે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 9/9 આવશ્યકપણે સમગ્ર ઑબ્જેક્ટ આપે છે, એટલે કે, 9/9 = 1. સામાન્ય રીતે, છેદ સમાન અંશ સાથેના અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો એક સંપૂર્ણ પદાર્થ દર્શાવે છે, અને આવા અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા 1 દ્વારા બદલી શકાય છે.

હવે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 7/3 અને 12/4 ને ધ્યાનમાં લો. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ સાત ત્રીજા ભાગમાંથી આપણે બે આખા ઓબ્જેક્ટ કંપોઝ કરી શકીએ છીએ (એક આખું ઓબ્જેક્ટ 3 ભાગોથી બનેલું છે, પછી બે સંપૂર્ણ ઑબ્જેક્ટ કંપોઝ કરવા માટે આપણને 3 + 3 = 6 ભાગોની જરૂર પડશે) અને હજી એક તૃતીયાંશ હશે. ભાગ બાકી. એટલે કે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 7/3 નો આવશ્યકપણે અર્થ થાય છે 2 વસ્તુઓ અને તે પણ આવા પદાર્થનો 1/3. અને બાર ચતુર્થાંશ ભાગોમાંથી આપણે ત્રણ આખા ઓબ્જેક્ટ બનાવી શકીએ છીએ (દરેક ભાગો સાથે ત્રણ વસ્તુઓ). એટલે કે, અપૂર્ણાંક 12/4 અનિવાર્યપણે 3 સંપૂર્ણ વસ્તુઓનો અર્થ થાય છે.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણો આપણને નીચેના નિષ્કર્ષ પર લઈ જાય છે: અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા બદલી શકાય છે, જ્યારે અંશને છેદ દ્વારા સમાનરૂપે વિભાજિત કરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 9/9=1 અને 12/4=3), અથવા સરવાળો દ્વારા કુદરતી સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકનો, જ્યારે અંશ છેદ દ્વારા સરખે ભાગે વિભાજ્ય ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, 7/3=2+1/3). કદાચ આને કારણે જ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને "અનિયમિત" નામ મળ્યું.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક (7/3=2+1/3) ના સરવાળા તરીકે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ એ ખાસ રસ છે. આ પ્રક્રિયાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને અલગ પાડવો કહેવામાં આવે છે, અને તે એક અલગ અને વધુ સાવચેત વિચારણાને પાત્ર છે.

તે નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ વચ્ચે ખૂબ નજીકનો સંબંધ છે.

સકારાત્મક અને નકારાત્મક અપૂર્ણાંક

દરેક સામાન્ય અપૂર્ણાંક સકારાત્મક અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે (ધન અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ પરનો લેખ જુઓ). એટલે કે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે હકારાત્મક અપૂર્ણાંક. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1/5, 56/18, 35/144 ધન અપૂર્ણાંક છે. જ્યારે તમારે અપૂર્ણાંકની હકારાત્મકતાને પ્રકાશિત કરવાની જરૂર હોય, ત્યારે તેની સામે વત્તાનું ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, +3/4, +72/34.

જો તમે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની સામે બાદબાકીનું ચિહ્ન મૂકો છો, તો આ પ્રવેશ નકારાત્મક અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુરૂપ હશે. આ કિસ્સામાં આપણે વાત કરી શકીએ છીએ નકારાત્મક અપૂર્ણાંક. અહીં નકારાત્મક અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: −6/10, −65/13, −1/18.

હકારાત્મક અને ઋણ અપૂર્ણાંક m/n અને −m/n એ વિરોધી સંખ્યાઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 5/7 અને −5/7 વિરોધી અપૂર્ણાંકો છે.

સકારાત્મક અપૂર્ણાંકો, જેમ કે સામાન્ય રીતે સકારાત્મક સંખ્યાઓ, ઉમેરણ, આવક, કોઈપણ મૂલ્યમાં ઉપરનું પરિવર્તન, વગેરે દર્શાવે છે. નકારાત્મક અપૂર્ણાંક ખર્ચ, દેવું અથવા કોઈપણ જથ્થામાં ઘટાડોને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક −3/4 ને દેવું તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે જેની કિંમત 3/4 ની બરાબર છે.

આડી અને જમણી દિશામાં, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક મૂળની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. સંકલન રેખાના બિંદુઓ, જેના સંકલન ધન અપૂર્ણાંક m/n અને ઋણ અપૂર્ણાંક −m/n છે, મૂળથી સમાન અંતરે સ્થિત છે, પરંતુ O બિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર.

અહીં તે 0/n ફોર્મના અપૂર્ણાંકોનો ઉલ્લેખ કરવા યોગ્ય છે. આ અપૂર્ણાંકો શૂન્ય સંખ્યાની બરાબર છે, એટલે કે, 0/n=0.

સકારાત્મક અપૂર્ણાંક, ઋણ અપૂર્ણાંક અને 0/n અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યાઓ બનાવવા માટે ભેગા થાય છે.

અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી

અમે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની એક ક્રિયાની ચર્ચા કરી છે - અપૂર્ણાંકની તુલના - ઉપર. ચાર વધુ અંકગણિત કાર્યો વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી- અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. ચાલો તેમાંના દરેકને જોઈએ.

અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરીનો સામાન્ય સાર કુદરતી સંખ્યાઓ સાથેના અનુરૂપ કામગીરીના સાર જેવો જ છે. ચાલો એક સામ્યતા બનાવીએ.

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકારઅપૂર્ણાંકમાંથી અપૂર્ણાંક શોધવાની ક્રિયા તરીકે વિચારી શકાય. સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે 1/6 સફરજન છે અને આપણે તેમાંથી 2/3 લેવાની જરૂર છે. આપણને જે ભાગની જરૂર છે તે અપૂર્ણાંક 1/6 અને 2/3ના ગુણાકારનું પરિણામ છે. બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ગુણાકારનું પરિણામ એ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે (જે ખાસ કિસ્સામાં કુદરતી સંખ્યાની બરાબર છે). આગળ, અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર - નિયમો, ઉદાહરણો અને ઉકેલો લેખમાંની માહિતીનો અભ્યાસ કરો.

સંદર્ભો.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ગણિત: 5મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Vilenkin N.Ya. અને અન્ય. 6ઠ્ઠું ધોરણ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).

આ વિભાગ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સાથેની કામગીરીને આવરી લે છે. જો મિશ્ર સંખ્યાઓ સાથે ગાણિતિક કામગીરી હાથ ધરવી જરૂરી હોય, તો મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અસાધારણ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા, જરૂરી કામગીરી હાથ ધરવા અને જો જરૂરી હોય તો, અંતિમ પરિણામને મિશ્ર સંખ્યાના રૂપમાં ફરીથી રજૂ કરવા માટે તે પૂરતું છે. . આ કામગીરી નીચે વર્ણવવામાં આવશે.

અપૂર્ણાંક ઘટાડવો

ગાણિતિક કામગીરી. અપૂર્ણાંક ઘટાડવો

અપૂર્ણાંક \frac(m)(n) ને ઘટાડવા માટે તમારે તેના અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવાની જરૂર છે: gcd(m,n), અને પછી આ સંખ્યા વડે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને વિભાજિત કરો. જો GCD(m,n)=1 હોય, તો અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાતો નથી. ઉદાહરણ: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

સામાન્ય રીતે, તુરંત જ સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને શોધવું મુશ્કેલ કાર્ય લાગે છે, અને વ્યવહારમાં, અંશ અને છેદમાંથી સ્પષ્ટ સામાન્ય પરિબળોને અલગ કરીને તબક્કાવાર અપૂર્ણાંકને ઘણા તબક્કામાં ઘટાડવામાં આવે છે. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

ગાણિતિક કામગીરી. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને

સામાન્ય છેદમાં બે અપૂર્ણાંક \frac(a)(b) અને \frac(c)(d) લાવવા માટે તમારે જરૂર છે:

• છેદનો ઓછામાં ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધો: M=LMK(b,d);
• પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને M/b વડે ગુણાકાર કરો (જેના પછી અપૂર્ણાંકનો છેદ M ની સંખ્યા સમાન બને છે);
• બીજા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને M/d વડે ગુણાકાર કરો (જે પછી અપૂર્ણાંકનો છેદ M ની સંખ્યા સમાન બને છે).

આમ, અમે મૂળ અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ (જે સંખ્યા M ની બરાબર હશે).

ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \frac(5)(6) અને \frac(4)(9) પાસે LCM(6,9) = 18 છે. પછી: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . આમ, પરિણામી અપૂર્ણાંકમાં સામાન્ય છેદ હોય છે.

વ્યવહારમાં, છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા એ હંમેશા સરળ કાર્ય નથી. તેથી, મૂળ અપૂર્ણાંકોના છેદના ગુણાંકની સમાન સંખ્યાને સામાન્ય છેદ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \frac(5)(6) અને \frac(4)(9) ને સામાન્ય છેદ N=6\cdot9 સુધી ઘટાડવામાં આવે છે:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

અપૂર્ણાંકની સરખામણી

ગાણિતિક કામગીરી. અપૂર્ણાંકની સરખામણી

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવા માટે તમારે જરૂર છે:

• પરિણામી અપૂર્ણાંકના અંશની તુલના કરો; મોટા અંશ સાથેનો અપૂર્ણાંક મોટો હશે.

અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરતી વખતે, ત્યાં ઘણા વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે:

1. બે અપૂર્ણાંકમાંથી સમાન છેદ સાથેજેનો અંશ મોટો છે તે અપૂર્ણાંક મોટો છે. ઉદાહરણ તરીકે, \frac(3)(15)
2. બે અપૂર્ણાંકમાંથી સમાન અંશ સાથેમોટો એ અપૂર્ણાંક છે જેનો છેદ નાનો છે. ઉદાહરણ તરીકે, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. તે અપૂર્ણાંક જે વારાફરતી મોટા અંશ અને નાના છેદ, વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

ધ્યાન આપો!નિયમ 1 કોઈપણ અપૂર્ણાંકને લાગુ પડે છે જો તેનો સામાન્ય છેદ ધન સંખ્યા હોય. નિયમો 2 અને 3 હકારાત્મક અપૂર્ણાંકોને લાગુ પડે છે (જે બંને અંશ અને છેદ શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે).

અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી

ગાણિતિક કામગીરી. અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી

બે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે તમારે જરૂર છે:

• તેમને સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવો;
• તેમના અંશ ઉમેરો અને છેદને યથાવત રાખો.

ઉદાહરણ: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

એક અપૂર્ણાંકમાંથી બીજાને બાદ કરવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

• અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો;
• પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી બીજા અપૂર્ણાંકના અંશને બાદ કરો અને છેદને યથાવત રાખો.

ઉદાહરણ: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

જો મૂળ અપૂર્ણાંકોમાં શરૂઆતમાં સામાન્ય છેદ હોય, તો પછી પગલું 1 (સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો) છોડવામાં આવે છે.

મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું અને ઊલટું

ગાણિતિક કામગીરી. મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું અને ઊલટું

મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, ફક્ત મિશ્ર અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગનો અપૂર્ણાંક ભાગ સાથે સરવાળો કરો. આવા સરવાળાનું પરિણામ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હશે, જેનો અંશ મિશ્ર અપૂર્ણાંકના અંશ સાથેના અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા સમગ્ર ભાગના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલો હશે અને છેદ સમાન રહેશે. ઉદાહરણ તરીકે, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે:

• અપૂર્ણાંકના અંશને તેના છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો;
• ભાગાકારનો બાકીનો ભાગ અંશમાં લખો અને છેદને એ જ છોડી દો;
• પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે ભાગાકારનું પરિણામ લખો.

ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \frac(23)(4) . જ્યારે 23:4=5.75 ને વિભાજિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે આખો ભાગ 5 છે, ભાગાકારનો બાકીનો ભાગ 23-5*4=3 છે. પછી મિશ્ર સંખ્યા લખવામાં આવશે: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું

ગાણિતિક કામગીરી. દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું

દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1. દસની nમી ઘાતને છેદ તરીકે લો (અહીં n એ દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા છે);
2. અંશ તરીકે, દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યા લો (જો મૂળ સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો આગળના તમામ શૂન્યને પણ લો);
3. બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંક ભાગ ખૂબ શરૂઆતમાં અંશમાં લખાયેલ છે; શૂન્ય પૂર્ણાંક ભાગ અવગણવામાં આવ્યો છે.

ઉદાહરણ 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (ત્યાં 4 દશાંશ સ્થાનો છે, તેથી છેદ 10 4 = 10000 છે, કારણ કે પૂર્ણાંક ભાગ 0 છે, અંશ આગળના શૂન્ય વિના દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યા ધરાવે છે)

ઉદાહરણ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (અંશમાં આપણે બધા શૂન્ય સાથે દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યા લખીએ છીએ: “0109”, અને પછી તે પહેલાં આપણે મૂળ સંખ્યા “31” નો સંપૂર્ણ ભાગ ઉમેરીએ છીએ)

જો દશાંશ અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ બિન-શૂન્ય હોય, તો તેને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે સંખ્યાને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જાણે કે આખો ભાગ શૂન્ય (બિંદુ 1 અને 2) ની બરાબર હોય, અને ફક્ત અપૂર્ણાંકની સામે સંપૂર્ણ ભાગ ફરીથી લખો - આ મિશ્ર સંખ્યાનો સંપૂર્ણ ભાગ હશે. . ઉદાહરણ:

3.014=3\frac(14)(100)

અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, ફક્ત છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરો. કેટલીકવાર તમે અનંત દશાંશ સાથે સમાપ્ત થાય છે. આ કિસ્સામાં, ઇચ્છિત દશાંશ સ્થાન પર રાઉન્ડ કરવું જરૂરી છે. ઉદાહરણો:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\અંદાજે 0.6667

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર

ગાણિતિક કામગીરી. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર

બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

એક સામાન્ય અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને બીજાના પરસ્પર દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે ( પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક- એક અપૂર્ણાંક જેમાં અંશ અને છેદ અદલાબદલી થાય છે.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

જો અપૂર્ણાંકોમાંથી એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય, તો ગુણાકાર અને ભાગાકારના ઉપરોક્ત નિયમો અમલમાં રહે છે. તમારે ફક્ત ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે કે પૂર્ણાંક એ સમાન અપૂર્ણાંક છે, જેનો છેદ એક સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7