પ્લેન a ને લંબરૂપ પ્લેન p નું બાંધકામ બે રીતે કરી શકાય છે: I) પ્લેન p એ પ્લેન a ને કાટખૂણે સીધી રેખા દ્વારા દોરવામાં આવે છે; 2) પ્લેન p એ પ્લેન a માં પડેલી અથવા આ પ્લેનની સમાંતર રેખા પર કાટખૂણે દોરવામાં આવે છે. અનન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે, વધારાની શરતો જરૂરી છે. આકૃતિ 148 ત્રિકોણ CDE દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેન પર લંબરૂપ પ્લેનનું બાંધકામ બતાવે છે. અહીં વધારાની શરત એ છે કે ઇચ્છિત પ્લેન એ સીધી રેખા ABમાંથી પસાર થવું જોઈએ. પરિણામે, ઇચ્છિત પ્લેન સીધી રેખા AB અને ત્રિકોણના પ્લેન પર લંબ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ લંબરૂપને CDE પ્લેન પર દોરવા માટે, તેમાં CN અને આડા સીએમનો આગળનો ભાગ લેવામાં આવે છે: જો B"F" ± C"N" અને B"G 1 CM\ હોય તો CDF પ્લેનનું BFX. આ પ્લેન છેદે છે. સીધી રેખાઓ AB અને BF એ CDE પ્લેન પર લંબ છે, તે આ પ્લેન પર લંબરૂપ કેવી રીતે પસાર થાય છે, શું પ્લેન્સના સમાન-નામના ટ્રેસની લંબરૂપતા સ્પષ્ટ કેસોમાં કામ કરી શકે છે? આમાં બે આડા પ્રક્ષેપણ વિમાનોની પરસ્પર લંબતાનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં આગળના પ્રક્ષેપણના વિમાનો પરસ્પર લંબરૂપ હોય છે (આકૃતિ 149) પ્લેન p એ પ્લેન i અને પ્લેન a માટે લંબરૂપ છે, તો p 1 એ પ્લેન a અને પ્લેન i ના આંતરછેદની રેખા, તેથી h" 0a 1р અને તેથી, h"0u 1 р", પ્લેનમાં સીધી રેખાઓમાંથી એક તરીકે р. તેથી, સામાન્ય પ્લેન અને આડા પ્રક્ષેપિત પ્લેનના આડા ટ્રેસની લંબરૂપતા આ વિમાનોની પરસ્પર લંબતાને અનુલક્ષે છે. દેખીતી રીતે, ફ્રન્ટલી પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન અને સામાન્ય સ્થિતિ પ્લેનના આગળના નિશાનોની લંબરૂપતા પણ આ વિમાનોની પરસ્પર લંબતાને અનુરૂપ છે. પરંતુ જો સામાન્ય સ્થિતિમાં બે વિમાનોના સમાન નામના નિશાનો પરસ્પર લંબરૂપ હોય, તો પછી વિમાનો પોતે એકબીજાને લંબરૂપ નથી, કારણ કે આ વિભાગની શરૂઆતમાં જણાવેલી કોઈપણ શરતો પૂરી થતી નથી. સ્વ-પરીક્ષણ માટેના પ્રશ્નો 1. ડ્રોઇંગમાં પ્લેનને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે? 2. પ્રોજેક્શન પ્લેન પર પ્લેનનું ટ્રેસ શું છે? 3. આડા ટ્રેસના આગળના પ્રક્ષેપણ અને પ્લેનના આગળના ટ્રેસના આડા પ્રક્ષેપણ ક્યાં સ્થિત છે? L. સીધી રેખા આપેલ વિમાનની છે કે કેમ તે ડ્રોઇંગમાં કેવી રીતે નક્કી થાય છે? 5. આપેલ પ્લેન સાથે સંબંધિત ડ્રોઇંગ પર બિંદુ કેવી રીતે બનાવવું? 6. સિસ્ટમમાં nt કેવી રીતે સ્થિત છે? અને 713 જનરલ પોઝિશન પ્લેન? 7. ફ્રન્ટલ પ્રોજેક્શન, હોરીઝોન્ટલ પ્રોજેક્શન અને પ્રોફાઇલ પ્રોજેક્શન પ્લેન શું છે? 8. ફ્રોટલ-પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન સામાન્ય સ્થિતિમાં સીધી રેખા દ્વારા કેવી રીતે દોરવામાં આવે છે તે ચિત્રમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે? 9. બે વિમાનો કઈ સાપેક્ષ સ્થિતિ પર કબજો કરી શકે છે? 10. બે વિમાનોની સમાંતરતાની નિશાની શું છે? 11. બે વિમાનોના સમાન નામના નિશાન એકબીજાની સમાંતર કેવી રીતે પરસ્પર સ્થિત છે? 12. સીધી રેખા અને વિમાનની સંબંધિત સ્થિતિ કેવી રીતે સ્થાપિત કરવી? 13. બે વિમાનોના આંતરછેદની રેખા બાંધવાની સામાન્ય પદ્ધતિ શું છે? 14. પ્લેન સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુને બાંધવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિ શું છે? 15. જ્યારે રેખા વિમાનને છેદે ત્યારે "દૃશ્યતા" કેવી રીતે નક્કી કરવી? 16. બે વિમાનોની પરસ્પર સમાનતા શું નક્કી કરે છે? 17. બિંદુ દ્વારા આપેલ પ્લેનની સમાંતર પ્લેન કેવી રીતે દોરવું? 18. પ્લેન પર લંબનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે સ્થિત છે? 19. પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનો કેવી રીતે બાંધવા?
પરસ્પર લંબરૂપ રેખાઓ અને વિમાનોનું નિર્માણ મેટ્રિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે એક મહત્વપૂર્ણ ગ્રાફિક કામગીરી છે.
રેખા અથવા પ્લેન પર લંબનું નિર્માણ કાટખૂણાની મિલકત પર આધારિત છે, જે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: જો જમણા ખૂણાની એક બાજુ પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર હોય અને બીજી તેની લંબ ન હોય, પછી કોણ આ પ્લેન પર પૂર્ણ કદમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.
આકૃતિ 28
આકૃતિ 28 માં બતાવેલ કાટકોણ ABC ની બાજુ BC, પ્લેન P 1 ની સમાંતર છે. પરિણામે, આ પ્લેન પર કોણ ABC નું પ્રક્ષેપણ જમણો ખૂણો A 1 B 1 C 1 =90 દર્શાવે છે.
જો રેખા આ સમતલમાં પડેલી બે છેદતી રેખાઓને લંબરૂપ હોય તો તે વિમાનને લંબરૂપ હોય છે. પ્લેન સાથે જોડાયેલી સીધી રેખાઓના સમૂહમાંથી લંબ બાંધતી વખતે, સ્તરની સીધી રેખાઓ પસંદ કરો - આડી અને આગળની. આ કિસ્સામાં, કાટખૂણેનું આડું પ્રક્ષેપણ આડી તરફ કાટખૂણે હાથ ધરવામાં આવે છે, અને આગળનો પ્રક્ષેપણ આગળની તરફ લંબરૂપ છે. આકૃતિ 29 માં દર્શાવેલ ઉદાહરણ K બિંદુ પરથી ત્રિકોણ ABC દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેન પર લંબરૂપનું બાંધકામ દર્શાવે છે. આ કરવા માટે, પહેલા પ્લેનમાં આડી અને આગળની રેખાઓ દોરો. પછી, બિંદુ K ના આગળના પ્રક્ષેપણમાંથી આપણે આગળના આગળના પ્રક્ષેપણ માટે લંબ દોરીએ છીએ, અને બિંદુના આડા પ્રક્ષેપણથી - આડાના આડા પ્રક્ષેપણ માટે લંબરૂપ. પછી અમે સહાયક કટીંગ પ્લેન Σ નો ઉપયોગ કરીને પ્લેન સાથે આ કાટખૂણે આંતરછેદનું બિંદુ બનાવીએ છીએ. જરૂરી બિંદુ F છે. આમ, પરિણામી સેગમેન્ટ KF એ પ્લેન ABC ને લંબરૂપ છે.
આકૃતિ 29
આકૃતિ 29 એબીસી પ્લેન પર લંબરૂપ KF નું બાંધકામ બતાવે છે.
જો એક સમતલમાં પડેલી રેખા બીજા સમતલની બે છેદતી રેખાઓને લંબરૂપ હોય તો બે વિમાનો લંબરૂપ હોય છે. આ પ્લેન એબીસી પર લંબરૂપ પ્લેનનું બાંધકામ આકૃતિ 30 માં બતાવવામાં આવ્યું છે. એક સીધી રેખા MN બિંદુ M દ્વારા દોરવામાં આવે છે, પ્લેન ABC પર લંબ છે. આ રેખાનું આડું પ્રક્ષેપણ AC ને લંબરૂપ છે, કારણ કે AC આડું છે, અને આગળનો પ્રક્ષેપણ AB ને લંબ છે, કારણ કે AB આગળનો છે. પછી બિંદુ M દ્વારા મનસ્વી સીધી રેખા EF દોરવામાં આવે છે. આમ, પ્લેન એબીસી માટે લંબ છે અને બે છેદતી રેખાઓ EF અને MN દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આકૃતિ 30
આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સામાન્ય સ્થિતિમાં સેગમેન્ટ્સના કુદરતી મૂલ્યો તેમજ પ્રક્ષેપણ વિમાનો તરફના તેમના ઝોકના ખૂણાઓ નક્કી કરવા માટે થાય છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટના કુદરતી કદને નિર્ધારિત કરવા માટે, સેગમેન્ટના અંદાજોમાંથી એકનો કાટકોણ ત્રિકોણ પૂર્ણ કરવો જરૂરી છે. બીજો પગ એ સેગમેન્ટના અંતિમ બિંદુઓની ઊંચાઈ અથવા ઊંડાણોમાં તફાવત હશે, અને કર્ણ એ કુદરતી મૂલ્ય હશે.
ચાલો એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ: આકૃતિ 31 સામાન્ય સ્થિતિમાં એક સેગમેન્ટ AB બતાવે છે. તેના કુદરતી કદ અને અનુમાનોના આગળના અને આડા વિમાનો તરફના તેના ઝોકના ખૂણાઓ નક્કી કરવા માટે તે જરૂરી છે.
અમે આડી પ્લેન પર સેગમેન્ટના એક છેડા પર લંબ દોરીએ છીએ. અમે તેના પર સેગમેન્ટના છેડાની ઊંચાઈનો તફાવત (ZA-ZB) કાવતરું કરીએ છીએ અને કાટકોણ ત્રિકોણનું બાંધકામ પૂર્ણ કરીએ છીએ. તેનું કર્ણ એ સેગમેન્ટનું કુદરતી મૂલ્ય છે, અને કુદરતી મૂલ્ય અને સેગમેન્ટના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ખૂણો એ પ્લેન P 1 તરફના સેગમેન્ટના ઝોકના કોણનું કુદરતી મૂલ્ય છે. આગળના પ્લેન પર બાંધકામનો ક્રમ સમાન છે. કાટખૂણે આપણે સેગમેન્ટના છેડા (YA-YB) ની ઊંડાઈમાં તફાવતનું કાવતરું કરીએ છીએ. સેગમેન્ટના કુદરતી કદ અને તેના આગળના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો પરિણામી કોણ એ P 2 પ્લેન તરફના સેગમેન્ટના ઝોકનો કોણ છે.
આકૃતિ 31
1. કાટકોણની મિલકત વિશે પ્રમેય જણાવો.
2. કયા કિસ્સામાં સીધી રેખા પ્લેન પર લંબરૂપ હોય છે?
3. અવકાશમાં એક બિંદુ દ્વારા કેટલી સીધી રેખાઓ અને આપેલ પ્લેન પર લંબરૂપ કેટલા પ્લેન દોરી શકાય છે?
4. જમણો ત્રિકોણ પદ્ધતિ શું માટે વપરાય છે?
5. અંદાજોના આડા પ્લેન પર સામાન્ય સ્થિતિમાં સેગમેન્ટના ઝોકના કોણને નિર્ધારિત કરવા માટે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો?
| મૌખિક સ્વરૂપ | ગ્રાફિક સ્વરૂપ |
| 1. તે જાણીતું છે કે પ્લેન પર લંબરૂપ સીધી રેખા બાંધવા માટે, પ્લેનમાં આડી અને આગળની રેખા બાંધવી જરૂરી છે. a) નોંધ કરો કે કાટખૂણેનું બાંધકામ સરળ છે, કારણ કે પ્લેન Q(D ABC) ની બાજુઓ સ્તરની સીધી રેખાઓ છે: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) - આગળનું AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – આડું . b) એક સીધી રેખા પર લો | |
| l મનસ્વી બિંદુ K 2. બિંદુ K દ્વારા, જે રેખાથી સંબંધિત છે lઅમે ડાયરેક્ટ ચલાવીએ છીએ a) નોંધ કરો કે કાટખૂણેનું બાંધકામ સરળ છે, કારણ કે પ્લેન Q(D ABC) ની બાજુઓ સ્તરની સીધી રેખાઓ છે: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) - આગળનું AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – આડું . n l^Q, એટલે કે. a) નોંધ કરો કે કાટખૂણેનું બાંધકામ સરળ છે, કારણ કે પ્લેન Q(D ABC) ની બાજુઓ સ્તરની સીધી રેખાઓ છે: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) - આગળનું AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – આડું . n 1 ^ A 1 C 1 અને n 2 ^ A 2 B 2 . |  |
ઇચ્છિત પ્લેન બે છેદતી રેખાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે, જેમાંથી એક આપેલ છે -
, અને અન્ય -
આપેલ પ્લેન પર લંબ છે: P(
n)^Q (D ABC)
કામનો અંત -
આ વિષય વિભાગનો છે:
| વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ - T.V. ખ્રુસ્તલેવા |
જો તમને આ વિષય પર વધારાની સામગ્રીની જરૂર હોય, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, તો અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:
પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:
જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:
ટ્વીટ
આ વિભાગના તમામ વિષયો:
વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ
ફાર ઇસ્ટર્ન રિજનલ એજ્યુકેશનલ એન્ડ મેથોડોલોજિકલ સેન્ટર દ્વારા વિશેષતા 210700 "ઓટોમેશન, ટેલીમિકેનિક્સ અને રેલ્વે કમ્યુનિકેશન્સ" ના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠયપુસ્તક તરીકે ભલામણ કરેલ.
ભૌમિતિક છબીઓ
1. પ્રોજેક્શન પ્લેન: p - મનસ્વી;
p1 - આડી;
p2 - આગળનો;
p3 - પ્રોફાઇલ;
એસ - કેન્દ્ર પ્રક્ષેપણ
સેટ-સૈદ્ધાંતિક સંકેત
પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે કેટલીક ભૌમિતિક છબીની પ્રક્ષેપણ એ.પી
પ્રોજેક્શન કેન્દ્રીય
ડ્રોઇંગની ઉલટાવી શકાય તેવું, અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યો છે, એટલે કે, તેના અનુમાનોમાંથી અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિનું અસ્પષ્ટ નિર્ધારણ, બે પરસ્પર લંબ પર પ્રક્ષેપણ દ્વારા સુનિશ્ચિત કરી શકાય છે.
ત્રણ પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોની સિસ્ટમ
વ્યવહારમાં, સંશોધન અને ઇમેજિંગમાં, બે પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોની સિસ્ટમ હંમેશા અસ્પષ્ટ ઉકેલની શક્યતા પૂરી પાડતી નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે બિંદુ A ને ધરી સાથે ખસેડો
જટિલ રેખાંકન અને અષ્ટકોષ I–IV માં બિંદુનું દ્રશ્ય રજૂઆત
ચાલો વિવિધ અષ્ટકોષ (કોષ્ટક 2.4) માં બિંદુઓ A, B, C, D બનાવવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.
કોષ્ટક 2.4 ઓક્ટન્ટ વિઝ્યુઅલ રજૂઆત
સામાન્ય જોગવાઈઓ
રેખા એ એક-પરિમાણીય ભૌમિતિક છબી છે જેની લંબાઈ છે; મૂવિંગ પોઈન્ટની તમામ ક્રમિક સ્થિતિઓનો સમૂહ. યુક્લિડની વ્યાખ્યા મુજબ: "એક રેખા એ પહોળાઈ વગરની લંબાઈ છે."
ફ્લોર
સીધા સ્તરો
વ્યાખ્યા દ્રશ્ય રજૂઆત જટિલ ચિત્ર આડી રેખા એ આડી રેખાની સમાંતર કોઈપણ રેખા છે
સીધી રેખાઓ પ્રોજેક્ટિંગ
વ્યાખ્યા વિઝ્યુઅલ પ્રતિનિધિત્વ જટિલ રેખાંકન એક આડી પ્રક્ષેપણ રેખા એ લંબરૂપ સીધી રેખા છે
આપેલ બેના આધારે સેગમેન્ટના ત્રીજા પ્રક્ષેપણનું નિર્માણ
અમારા ઉદાહરણમાં, અમે પ્રથમ ક્વાર્ટર (કોષ્ટક 3.3) માં સામાન્ય લાઇનના બાંધકામને ધ્યાનમાં લઈશું.
કોષ્ટક 3.3 મૌખિક સ્વરૂપ
જમણો ત્રિકોણ પદ્ધતિ. સીધી રેખાના સેગમેન્ટના કુદરતી કદનું નિર્ધારણ અને પ્રક્ષેપણ વિમાનો તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણા
કોષ્ટક 2.4 ઓક્ટન્ટ વિઝ્યુઅલ રજૂઆત
સામાન્ય અને ચોક્કસ સ્થિતિમાં સીધી રેખા સેગમેન્ટના અંદાજો બાંધવાથી માત્ર સ્થિતિકીય સમસ્યાઓ (પ્રક્ષેપણ વિમાનોને સંબંધિત સ્થાન) જ નહીં, પણ મેટ્રિક મુદ્દાઓ પણ ઉકેલવાનું શક્ય બને છે - થી લંબાઈ નક્કી કરવી.
સામાન્ય સ્થિતિમાં રેખાખંડના કુદરતી મૂલ્યનું નિર્ધારણ
તેના અંદાજો પરથી સામાન્ય સ્થિતિમાં સીધી રેખા ખંડનું કુદરતી મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, જમણી બાજુએ ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
ચાલો આ સ્થિતિના ક્રમને ધ્યાનમાં લઈએ (કોષ્ટક.
અવકાશમાં બે સીધી રેખાઓ અલગ અલગ સ્થાનો ધરાવી શકે છે: છેદે છે (એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે). આંતરછેદનો એક વિશિષ્ટ કેસ જમણા ખૂણા પર છે; સમાંતર હોઈ શકે છે
પ્રક્ષેપણ વિમાનોને સંબંધિત રેખાઓની દૃશ્યતા નક્કી કરવી
વ્યાખ્યા વિઝ્યુઅલ ઈમેજ કોમ્પ્લેક્સ ડ્રોઈંગ આડું પ્રક્ષેપણ કરતું પ્લેન એ પ્લેન લંબરૂપ છે
સ્તરના વિમાનો
લાક્ષણિકતાઓ વિઝ્યુઅલ પ્રતિનિધિત્વ ડાયાગ્રામ આગળનું પ્લેન એ p2 પ્લેનની સમાંતર પ્લેન છે. આ
પ્લેનમાં વિશેષ સ્થિતિની સીધી રેખાઓ
પ્લેનમાં વિશેષ સ્થિતિની રેખાઓ આડી h, આગળનો f અને પ્રક્ષેપણ વિમાનો તરફ સૌથી વધુ ઝોકની રેખાઓ છે. ચાલો આ રેખાઓની ગ્રાફિકલ રજૂઆત જોઈએ (કોષ્ટક 5.6).
તા
આગળનો બાંધકામ અલ્ગોરિધમનો
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ આપેલ પ્લેન a (a|| b), તેથી a1 || b1; a2
બિંદુ K ના બીજા પ્રક્ષેપણના નિર્માણ માટે અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ પ્લેન a - સપાટ આકૃતિ a (D ABC), K2 - બિંદુ K ના આગળના પ્રક્ષેપણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત
આપેલ એકની સમાંતર પ્લેન બાંધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ 1. આપેલ સમતલ P(D ABC) માં સમસ્યા હલ કરવા માટે, કોઈપણ છેદતી રેખાઓ લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એ.બી
છેદતી વિમાનો
બે વિમાનો એક સીધી રેખામાં છેદે છે. તેમના આંતરછેદની રેખા બનાવવા માટે, આ રેખા સાથે જોડાયેલા બે બિંદુઓ શોધવા જરૂરી છે. જો આંતરછેદ કરનાર વિમાનોમાંથી એક પર કબજો કરવામાં આવે તો સમસ્યા સરળ બને છે
પ્લેનની સમાંતર સીધી રેખા બાંધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ 1. ચાલો પ્લેન P(D ABC) માં એક સીધી રેખા A1 બનાવીએ, જે P પ્લેન સાથે સંબંધિત છે.
સામાન્ય વિમાન સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદ માટે અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક સ્વરૂપ 1. પ્લેન સાથે સીધી રેખા l ના આંતરછેદના બિંદુને બાંધવા
પ્લેન પર લંબ બાંધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
મૌખિક સ્વરૂપ ગ્રાફિક ફોર્મ 1. બિંદુ D દ્વારા પ્લેન P(D ABC) પર લંબ બાંધવા માટે, તમારે પહેલા
પ્રકરણ 3 સુધી
1. રેખા AB (ફિગ. 3) ના પ્રક્ષેપણનું નિર્માણ કરો જો તે: a) p1 ની સમાંતર હોય;
b) p2 ની સમાંતર;
c) OX ની સમાંતર;
d) p1 ને લંબરૂપ
પ્રકરણ 5 સુધી
બે સમાંતર સીધી રેખાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેનમાં, p1 (ફિગ. 9) થી 15 મીમીના અંતરે આગળનો ભાગ બનાવો:
પ્રકરણ 6 સુધી
1. બિંદુ Dમાંથી પસાર થતી રેખા mનું પ્લેન P(a|| b) અને આગળનો પ્રક્ષેપણ m2 આપેલ છે. રેખા m1 નું આડું પ્રક્ષેપણ બનાવો જેથી રેખા m સમતલની સમાંતર હોય
પ્રકરણ 3 માટે પરીક્ષણો
1. GOST 2.001-70. સામાન્ય જોગવાઈઓ // સંગ્રહમાં. ડિઝાઇન દસ્તાવેજીકરણની એકીકૃત સિસ્ટમ. મૂળભૂત જોગવાઈઓ. – એમ.: સ્ટાન્ડર્ડ્સ પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1984. – પૃષ્ઠ 3-5.
2. GOST 2.104-68. મુખ્ય શિલાલેખો // બી
મેટ્રિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરવા સાથે પરસ્પર લંબરૂપ રેખાઓ અને વિમાનોનું નિર્માણ એ મુખ્ય ગ્રાફિક કામગીરી છે એમ કહેવું અતિશયોક્તિભર્યું નથી.
મોંગે ડાયાગ્રામ પર અવકાશમાં એકબીજાને લંબરૂપ રેખાઓ અને વિમાનોના અંદાજો બાંધવા માટેની સૈદ્ધાંતિક પૂર્વશરત એ અગાઉ નોંધેલી મિલકત છે (જુઓ § 6)
જમણા ખૂણાના અંદાજો, જેની એક બાજુ કોઈપણ પ્રક્ષેપણ પ્લેનની સમાંતર હોય છે:
1. પરસ્પર લંબ રેખાઓ.
મોંગે ડાયાગ્રામ પર 90°ના ખૂણા પર છેદતી બે સીધી રેખાઓ બાંધવા માટે નોંધાયેલ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવા માટે, તેમાંથી એક અમુક પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર હોવી જરૂરી છે. ચાલો ઉદાહરણો સાથે શું કહેવામાં આવ્યું છે તે સમજાવીએ.
ઉદાહરણ 1. બિંદુ A દ્વારા, એક સીધી રેખા દોરો l આડી રેખા h ને જમણા ખૂણા પર છેદે છે (ફિગ. 249).
કાટકોણની બાજુઓમાંથી એક h પ્લેન π 1 ની સમાંતર હોવાથી, જમણો ખૂણો આ સમતલ પર વિકૃતિ વિના પ્રક્ષેપિત થશે. તેથી, A" દ્વારા આપણે આડી પ્રક્ષેપણ l" ⊥ h દોરીએ છીએ. અમે બિંદુ M" = l" ∩ h" ને ચિહ્નિત કરીએ છીએ. અમે M" (M" ∈ h") શોધીએ છીએ. પોઈન્ટ A" અને M" l નક્કી કરે છે" (ફિગ. 249, a જુઓ).
જો આડી રેખાને બદલે આગળનો f આપવામાં આવે છે, તો સીધી રેખા l ⊥ f દોરવા માટેના ભૌમિતિક બાંધકામો ફક્ત ધ્યાનમાં લેવાયેલા સમાન છે અને માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે જમણા ખૂણાના અવિકૃત પ્રક્ષેપણનું બાંધકામ એ સાથે શરૂ થવું જોઈએ. આગળનો પ્રક્ષેપણ (જુઓ ફિગ. 249, b).
ઉદાહરણ 2. બિંદુ A દ્વારા, 90° (ફિગ. 250) ના ખૂણા પર સેગમેન્ટ [BC] દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, સીધી રેખા a ને છેદતી સીધી રેખા દોરો.
આ સેગમેન્ટ પ્રક્ષેપણ વિમાનોના સંબંધમાં મનસ્વી સ્થિતિ ધરાવે છે, તેથી આપણે અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, જમણો ખૂણો પ્રક્ષેપિત કરવાના વિશેષ કેસ વિશે મિલકતનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી, તેથી પહેલા આપણે [BC] ને સમાંતર સ્થિતિમાં સ્થાનાંતરિત કરવાની જરૂર છે. કેટલાક પ્રક્ષેપણ વિમાન.
નવી સિસ્ટમમાં આવા રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે, x 1 π 2 /π 3 [BC] એક આડી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તેથી આગળના તમામ બાંધકામો એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે જેમ અગાઉના ઉદાહરણમાં કરવામાં આવ્યું હતું: બિંદુ M પછી "1 મળી આવ્યું હતું, તે M" અને M પોઝિશન પર મૂળ પ્રોજેક્શન પ્લેન પર અનુવાદિત કરવામાં આવ્યું હતું", આ બિંદુઓ A" અને A" સાથે મળીને સીધી રેખા l ના અંદાજો નક્કી કરે છે.
ઉદાહરણ 3. જો તેનો આગળનો પ્રક્ષેપણ ∠A"B"C" અને બાજુનું આડું પ્રક્ષેપણ [A"B"] જાણીતું હોય તો, જમણા ખૂણા ABC ની બાજુ [BC] નું આડું પ્રક્ષેપણ કરો (ફિગ. 251) .
1. કોણ [BA] ની બાજુને સ્થિતિ પર ખસેડો || પ્રક્ષેપણ પ્લેન xπ 2 /π 1 ની સિસ્ટમમાંથી નવા x 1 π 3 /π 2 પર ખસેડીને π 3
2. નવા આગળના પ્રક્ષેપણને વ્યાખ્યાયિત કરો.
B" 1 થી આપણે [B" 1 A" 1] માટે લંબ બાંધીએ છીએ. આ કાટખૂણે આપણે બિંદુ C" 1 વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ (C" 1 એ x 1 અક્ષમાંથી અંતર દ્વારા દૂર કરવામાં આવે છે |C x 1 C" 1 | = |C x C"| ).
4. આડું પ્રક્ષેપણ C" એ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ (C" 1 C x 1) ∩ (C"C x) = C" તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
2. પરસ્પર લંબ સીધી રેખા અને પ્લેન.
સ્ટીરિયોમેટ્રી કોર્સમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ સીધી રેખા પ્લેન પર લંબરૂપ હોય તો તે આ પ્લેનની ઓછામાં ઓછી બે છેદતી રેખાઓને લંબરૂપ હોય.
જો આપણે પ્લેનમાં મનસ્વી રીતે છેદતી રેખાઓ નહીં, પરંતુ તેની આડી અને આગળની રેખાઓ લઈએ, તો પછી ઉદાહરણ 1, ફિગમાં કરવામાં આવ્યું હતું તેમ, જમણા ખૂણાના પ્રક્ષેપણની મિલકતનો ઉપયોગ કરવો શક્ય બને છે. 249.
નીચેના ઉદાહરણનો વિચાર કરો; ચાલો ધારીએ કે બિંદુ A ∈ α થી આપણે પ્લેન α (ફિગ. 252) પર લંબરૂપ પુનઃસ્થાપિત કરવાની જરૂર છે.
બિંદુ A દ્વારા આપણે આડી રેખા h અને પ્લેન α ની આગળનો f દોરીએ છીએ. પછી, વ્યાખ્યા (AB) દ્વારા, પ્લેન α માટે લંબરૂપ, સીધી રેખાઓ h અને f માટે લંબરૂપ હોવી જોઈએ, એટલે કે . પરંતુ AM બાજુ ∠ તમે || π 1 , તેથી ∠VAM પ્લેન π 1 પર પ્રક્ષેપિત થાય છે, વિકૃતિ વિના, એટલે કે. 
. AK બાજુ ∠ VAK || π 2 અને તેથી, આ કોણ પણ વિકૃતિ વિના પ્લેન π 2 પર પ્રક્ષેપિત થાય છે, એટલે કે. 
. ઉપરોક્ત તર્ક નીચેના પ્રમેય તરીકે ઘડી શકાય છે: અવકાશમાં સીધી રેખા પ્લેન પર લંબરૂપ હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે રેખાકૃતિ પર સીધી રેખાનું આડી પ્રક્ષેપણ પ્લેનના આડા પ્રક્ષેપણને લંબરૂપ હોય અને આગળનો પ્રક્ષેપણ આ પ્લેનના આગળના ભાગનું આગળનું પ્રક્ષેપણ.
જો પ્લેન ટ્રેસ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો પ્રમેય અલગ રીતે ઘડી શકાય છે: અવકાશમાં કોઈ રેખા પ્લેન પર લંબરૂપ હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ રેખાના અનુમાન પ્લેન પરના સમાન નામના નિશાનો માટે લંબરૂપ હોય.
પ્લેન પર લંબરૂપ અવકાશમાં એક રેખા વચ્ચે પ્રમેય દ્વારા સ્થાપિત સંબંધો અને પ્લેનની લેવલ લાઇન્સ (ટ્રેસ) ના અંદાજો માટે આ રેખાના અંદાજો, પ્લેન પર કાટખૂણે રેખા દોરવાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ અલ્ગોરિધમનો આધાર રાખે છે, તેમજ આપેલ રેખાને કાટખૂણે પ્લેન બનાવવું.
ઉદાહરણ 1. શિરોબિંદુ A (ફિગ. 253) પર પ્લેન ΔАВС પર લંબરૂપ AD પુનઃસ્થાપિત કરો.
કાટખૂણેના અંદાજોની દિશા નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે ΔABC સમતલના આડા h અને આગળના f ના અંદાજો હાથ ધરીએ છીએ. આ પછી, બિંદુ A" થી આપણે h પર કાટખૂણે પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ, અને A" થી f" સુધી.
ઉદાહરણ 2. બિંદુ A થી, પ્લેન α (m || n) થી સંબંધિત, આ પ્લેન પર લંબ બાંધો (ફિગ. 254).
ઉકેલ. કાટખૂણે અંદાજો l" અને l" ની દિશા નિર્ધારિત કરવા માટે, અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, પ્લેન α સાથે જોડાયેલા બિંદુ A (A", A") દ્વારા આડી રેખા h(h", h") દોરો. h ની દિશા જાણીને, અમે કાટખૂણે l" (l" ⊥ h") નું આડું પ્રક્ષેપણ બનાવીએ છીએ. બિંદુ A (A", A") દ્વારા કાટખૂણેના આગળના પ્રક્ષેપણની દિશા નક્કી કરવા માટે, α પ્લેનનો આગળનો f (f", f") દોરો. પ્રક્ષેપણના આગળના પ્લેન સાથે f ની સમાંતરતાને કારણે, l અને f વચ્ચેનો જમણો ખૂણો π 2 પર વિકૃતિ વિના પ્રક્ષેપિત થાય છે, તેથી આપણે l" ⊥ f" દોરીએ છીએ.
ફિગ માં. 255 જ્યારે પ્લેન α નિશાનો દ્વારા આપવામાં આવે ત્યારે કેસ માટે સમાન સમસ્યા હલ કરવામાં આવી હતી. કાટખૂણે અંદાજોની દિશા નિર્ધારિત કરવા માટે, આડી અને આગળની બાજુ દોરવાની જરૂર નથી.
કમર, કારણ કે તેમના કાર્યો પ્લેન h 0α અને f 0α ના નિશાનો દ્વારા કરવામાં આવે છે. ડ્રોઇંગમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, સોલ્યુશન A" અને A" બિંદુઓ દ્વારા અંદાજો l" ⊥ h 0α અને l" ⊥ f 0α દોરવામાં ઉકળે છે.
ઉદાહરણ 3. આપેલ રેખા l પર લંબરૂપ અને આપેલ બિંદુ A (ફિગ. 256) માંથી પસાર થતા પ્લેન γ બનાવો.
ઉકેલ. બિંદુ A દ્વારા આપણે આડી રેખા h અને આગળની રેખા f દોરીએ છીએ. આ બે છેદતી રેખાઓ વિમાનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; તે સીધી રેખા l પર લંબરૂપ હોય તે માટે, તે જરૂરી છે કે સીધી રેખાઓ h અને f સીધી l સાથે 90° નો ખૂણો બનાવે. આ કરવા માટે, આપણે h" ⊥ l" અને f" ⊥ l" દોરીએ છીએ. આગળનો પ્રક્ષેપણ h" અને આડું પ્રક્ષેપણ f" x-અક્ષની સમાંતર છે.
ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલ કેસ અમને ઉદાહરણ 3 માં આપેલ સમસ્યાને અલગ રીતે હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે (પૃષ્ઠ. 175 ફિગ. 251). બાજુ [BC] ∠ABC પ્લેન γ ⊥ [AB] સાથે સંબંધિત હોવું જોઈએ અને બિંદુ B (ફિગ. 257)માંથી પસાર થવું જોઈએ.
આ સ્થિતિ સમસ્યાને હલ કરવાનો માર્ગ નક્કી કરે છે, જે નીચે મુજબ છે: અમે બિંદુ B ને પ્લેન γ ⊥ [AB] માં બંધ કરીએ છીએ, આ માટે, બિંદુ B દ્વારા આપણે પ્લેન γ ના આડા અને આગળના ભાગને દોરીએ છીએ જેથી h" ⊥ A "B" અને f" ⊥ A "B".
બિંદુ C ∈ (BC), પ્લેન γ સાથે સંબંધિત છે, તેથી, તેના આડી પ્રક્ષેપણને શોધવા માટે, અમે પ્લેન γ સાથે સંબંધિત એક મનસ્વી સીધી રેખા 1"2" દ્વારા C" દોરીએ છીએ; આ રેખા 1"2 નું આડું પ્રક્ષેપણ નક્કી કરો " અને તેના પર બિંદુ C ચિહ્નિત કરો" (C "કનેક્શન લાઇનના આંતરછેદ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે - સીધી રેખા 1"2" ના આડી પ્રક્ષેપણ સાથે C માંથી કાટખૂણે પડ્યું). C" B સાથે મળીને" આડી પ્રક્ષેપણ (BC) ⊥ (AB) નક્કી કરે છે.
3. પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનો..
બે વિમાનો કાટખૂણે હોય છે જો તેમાંના એકમાં બીજા સમતલની લંબ રેખા હોય.
પ્લેનની લંબરૂપતાની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે નીચેની રીતે પ્લેન α માટે લંબરૂપ β પ્લેન બનાવવાની સમસ્યાને હલ કરીએ છીએ: પ્લેન α પર લંબરૂપ એક સીધી રેખા દોરો; અમે પ્લેન β માં રેખા l બંધ કરીએ છીએ. પ્લેન β ⊥ α, ત્યારથી β ⊃ l ⊥ α.
l રેખા દ્વારા ઘણા વિમાનો દોરી શકાય છે, તેથી સમસ્યાના ઘણા ઉકેલો છે. જવાબને વધુ ચોક્કસ બનાવવા માટે, વધારાની શરતોનો ઉલ્લેખ કરવો આવશ્યક છે.
ઉદાહરણ 1. આપેલ સીધી રેખા દ્વારા સમતલ α (ફિગ. 258) ને લંબરૂપ β ડ્રો કરો.
ઉકેલ. અમે પ્લેન α ના લંબ પ્રક્ષેપણની દિશા નિર્ધારિત કરીએ છીએ, આ માટે આપણે આડા (h") ના આડા પ્રક્ષેપણ અને આગળના (f") ના આગળના પ્રક્ષેપણ શોધીએ છીએ; મનસ્વી બિંદુ A ∈ α ના અંદાજો પરથી આપણે લંબરૂપ l" ⊥ h" અને l" ⊥ f" ના અંદાજો દોરીએ છીએ. પ્લેન β ⊥ α, ત્યારથી β ⊃ l ⊥ α.
ઉદાહરણ 2. આપેલ બિંદુ A દ્વારા, એક આડું પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન γ દોરો, જે પ્લેન α પર લંબ છે, જે ટ્રેક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે (ફિગ. 259, a).
જરૂરી પ્લેન γ માં પ્લેન α પર લંબરૂપ રેખા હોવી જોઈએ અથવા પ્લેન α સાથે જોડાયેલી રેખા પર લંબ હોવી જોઈએ. પ્લેન γ આડી રીતે પ્રક્ષેપણ કરતું હોવું જોઈએ, તો તેની સીધી રેખા કાટખૂણે પ્લેન π 1 ની સમાંતર હોવી જોઈએ, એટલે કે, પ્લેન α ની આડી હોવી જોઈએ અથવા (જે સમાન છે) આ પ્લેનનું આડું ટ્રેસ હોવું જોઈએ - h 0α તેથી, આડા પ્રક્ષેપણ બિંદુ A" દ્વારા આડી ટ્રેસ h 0γ ⊥ h 0α આગળનો ટ્રેસ f 0γ ⊥ x અક્ષ દોરો.
ફિગ માં. 259, b એ આગળના ભાગમાં પ્રક્ષેપણ કરતું પ્લેન γ બતાવે છે, જે બિંદુ Bમાંથી પસાર થાય છે અને પ્લેન π 2 પર લંબ છે.
ડ્રોઇંગ પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે આકૃતિની એક વિશિષ્ટ વિશેષતા, જેના પર બે પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનો નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યા છે, જેમાંથી એક આગળથી પ્રક્ષેપિત છે, તે તેમના આગળના નિશાન f 0γ ⊥ f 0α ની લંબરૂપતા છે, જે આગળના પ્રક્ષેપણના આડા ટ્રેસ છે. પ્લેન x અક્ષ પર લંબ છે.
રેખા અને વિમાનની લંબરૂપતાની નિશાની આપણને પરસ્પર લંબરૂપ રેખાઓ અને વિમાનો બનાવવાની મંજૂરી આપે છે, એટલે કે, આવી રેખાઓ અને વિમાનોના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે. ચાલો આપેલ રેખાને કાટખૂણે સમતલ બનાવીને અને આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થવાથી શરૂઆત કરીએ. ચાલો આપેલ બિંદુ અને આપેલ રેખાના સ્થાનમાં બે શક્યતાઓને અનુરૂપ બે બાંધકામ સમસ્યાઓ હલ કરીએ.
સમસ્યા 1. આપેલ રેખા a પર આપેલ બિંદુ A દ્વારા, આ રેખા પર લંબરૂપ સમતલ દોરો.
ચાલો કોઈ પણ બે પ્લેનને સીધી રેખા a દ્વારા દોરીએ અને આમાંના દરેક પ્લેનમાં બિંદુ A દ્વારા આપણે સીધી રેખા aને લંબરૂપ સીધી રેખા સાથે દોરીએ, તેમને b અને c સૂચવીએ (ફિગ. 2.17). સીધી રેખાઓમાંથી પસાર થતા વિમાનમાં બિંદુ A હોય છે અને તે સીધી રેખા aને લંબરૂપ હોય છે (સીધી રેખા અને સમતલની લંબ પર આધારિત). તેથી, પ્લેન એ ઇચ્છિત છે. સમસ્યા હલ થાય છે.
સમસ્યાનો માત્ર એક જ (એટલે કે, અનન્ય) ઉકેલ છે. ખરેખર, ચાલો વિપરીત ધારીએ. પછી, પ્લેન a ઉપરાંત, અન્ય પ્લેન P બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે, જે સીધી રેખા a (ફિગ. 2.18) ને લંબરૂપ છે. ચાલો બિંદુ A માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા P પ્લેન માં લઈએ અને પ્લેન a માં ન પડે. ચાલો a અને છેદતી રેખાઓ દ્વારા પ્લેન y દોરીએ. y પ્લેન એ પ્લેનને સીધી રેખા q સાથે છેદે છે. રેખા q રેખા સાથે સુસંગત નથી, કારણ કે q માં આવેલું છે અને a માં આવેલ નથી. આ બંને રેખાઓ y સમતલમાં આવેલી છે, બિંદુ A માંથી પસાર થાય છે અને a ત્યારથી અને તે જ રીતે ત્યારથી અને લાઇનને લંબરૂપ છે. પરંતુ આ પ્લેનિમેટ્રીના જાણીતા પ્રમેયનો વિરોધાભાસ કરે છે, જે મુજબ પ્લેનમાં દરેક બિંદુમાંથી માત્ર એક સીધી રેખા પસાર થાય છે, જે આપેલ સીધી રેખાને લંબરૂપ છે.
તેથી, એમ ધારી લઈએ કે બિંદુ A થી પસાર થતી રેખા પર બે વિમાનો લંબરૂપ છે, અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. તેથી, સમસ્યાનો એક અનન્ય ઉકેલ છે.
સમસ્યા 2. આપેલ બિંદુ A દ્વારા, જે આપેલ રેખા a પર રહેતું નથી, આ રેખા પર લંબરૂપ સમતલ દોરો.
બિંદુ A દ્વારા આપણે રેખા a પર લંબરૂપ રેખા b દોરીએ છીએ. ચાલો B એ a અને b ના આંતરછેદ બિંદુ છે. બિંદુ B દ્વારા આપણે એક સીધી રેખા c પણ દોરીએ છીએ, જે સીધી રેખા a (ફિગ. 2.19) ને લંબરૂપ છે. બંને દોરેલી રેખાઓમાંથી પસાર થતું વિમાન લંબરૂપતા માપદંડ (પ્રમેય 2) અનુસાર લંબરૂપ હશે.
સમસ્યા 1 ની જેમ, બાંધવામાં આવેલ પ્લેન અનન્ય છે. ખરેખર, ચાલો બિંદુ A માંથી પસાર થતા કોઈપણ વિમાનને સીધી રેખા a પર લંબરૂપ લઈએ. આવા પ્લેનમાં રેખા a અને બિંદુ A માંથી પસાર થતી એક રેખા લંબ હોય છે. પરંતુ આવી એક જ રેખા હોય છે. આ એક રેખા b છે જે બિંદુ B માંથી પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે A માંથી પસાર થતા પ્લેન અને રેખા aને કાટખૂણે બિંદુ B ધરાવતા હોવા જોઈએ, અને માત્ર એક પ્લેન બિંદુ Bમાંથી પસાર થાય છે, જે રેખા a (સમસ્યા 1) ને લંબ છે. તેથી, આ બાંધકામ સમસ્યાઓ હલ કર્યા પછી અને તેમના ઉકેલોની વિશિષ્ટતા સાબિત કરી, અમે નીચેના મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયને સાબિત કર્યું છે.
પ્રમેય 3 (રેખાને લંબરૂપ સમતલ વિશે). દરેક બિંદુ દ્વારા આપેલ રેખાને લંબરૂપ વિમાન પસાર થાય છે, અને વધુમાં, ફક્ત એક જ.
કોરોલરી (લંબના પ્લેન વિશે). આપેલ બિંદુ પર આપેલ રેખાને લંબરૂપ રેખાઓ સમાન સમતલમાં રહે છે અને તેને આવરી લે છે.
આપેલ લીટી બનવા દો અને A તેના પર કોઈપણ બિંદુ હોઈ શકે છે. તેમાંથી એક વિમાન પસાર થાય છે. રેખા અને સમતલની લંબરૂપતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, તે આવરી લેવામાં આવે છે
બિંદુ A પર સીધી રેખા a ને કાટખૂણે સીધી રેખાઓ દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે, એટલે કે. સમતલના દરેક બિંદુમાંથી a ત્યાં રેખા a ને લંબરૂપ રેખા પસાર કરે છે.
ચાલો ધારીએ કે એક સીધી રેખા બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે અને પ્લેન a માં રહેતી નથી. ચાલો તેના દ્વારા પ્લેન P દોરીએ અને પ્લેન P એ ચોક્કસ સીધી રેખા c સાથે છેદે છે (ફિગ. 2.20). અને કારણ કે તે બહાર આવ્યું છે કે પ્લેન P માં બિંદુ A દ્વારા બે સીધી રેખાઓ b અને c પસાર થાય છે, સીધી રેખા a ને લંબરૂપ છે. આ અશક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ A પર a રેખાને લંબરૂપ કોઈ રેખાઓ નથી અને પ્લેન a માં આવેલી નથી. તેઓ બધા આ વિમાનમાં સૂઈ રહ્યા છે.
પ્રમેય 3 ના કોરોલરીનું ઉદાહરણ વ્હીલમાં પ્રવક્તા દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, તેની ધરીને લંબરૂપ છે: જ્યારે ફરતી હોય ત્યારે, તેઓ પરિભ્રમણની અક્ષને લંબરૂપ તમામ સ્થિતિઓ લઈને પ્લેન (વધુ ચોક્કસ રીતે, એક વર્તુળ) દોરે છે.
પ્રમેય 2 અને 3 નીચેની સમસ્યાનો સરળ ઉકેલ આપવામાં મદદ કરે છે.
સમસ્યા 3. આ સમતલને લંબરૂપ આપેલ સમતલ પરના બિંદુ દ્વારા સીધી રેખા દોરો.
પ્લેન a અને પ્લેન a માં એક બિંદુ A આપવા દો. ચાલો પ્લેન a થી પોઈન્ટ A માં અમુક રેખા a દોરીએ. બિંદુ A દ્વારા આપણે રેખા a (સમસ્યા 1) ને લંબરૂપ સમતલ દોરીએ છીએ. પ્લેન પ્લેન a ને અમુક સીધી રેખા b સાથે છેદે છે (ફિગ. 2.21). ચાલો બિંદુ A થી પ્લેન P માં રેખા c દોરીએ, જે રેખા b ને લંબ છે. ત્યારથી (c પ્લેનમાં આવેલું હોવાથી
અને), પછી પ્રમેય 2 દ્વારા. તેના ઉકેલની વિશિષ્ટતા વિભાગ 2.1 માં સ્થાપિત થયેલ છે.
ટિપ્પણી. અવકાશમાં બાંધકામો વિશે. યાદ કરો કે પ્રકરણ 1 માં આપણે "માળખાકીય ભૂમિતિ" નો અભ્યાસ કરીએ છીએ. અને આ બિંદુએ અમે અવકાશમાં બાંધકામ પર ત્રણ સમસ્યાઓ હલ કરી. સ્ટીરિયોમેટ્રીમાં “કન્સ્ટ્રક્ટ”, “ડ્રો”, “ઇનસ્ક્રાઇબ” વગેરે શબ્દોનો અર્થ શું છે? પ્રથમ, ચાલો આપણે ત્રિકોણની આસપાસનું વર્તુળ કેવી રીતે બનાવવું તે સૂચવીને યાદ કરીએ આમ સામાન્ય રીતે, બાંધકામની સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે આપેલ ગુણધર્મો સાથે આકૃતિના અસ્તિત્વ માટે એક પ્રમેય સાબિત કરીએ છીએ. જરૂરી પરિણામ તરફ દોરી જતી સૌથી સરળ કામગીરી એ છે કે વર્તુળો દોરવા અને તેમના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધવા પછી, આકૃતિ સીધી કાગળ પર અથવા બોર્ડ પર બનાવવામાં આવે છે.
તેથી, પ્લાનિમેટ્રીમાં, બાંધકામની સમસ્યાના ઉકેલમાં, બે બાજુઓ છે: સૈદ્ધાંતિક - બાંધકામ અલ્ગોરિધમનો - અને વ્યવહારુ - આ અલ્ગોરિધમનો અમલ, ઉદાહરણ તરીકે, હોકાયંત્ર અને શાસક સાથે.
સ્ટીરિયોમેટ્રિક બાંધકામ કાર્યમાં માત્ર એક બાજુ બાકી છે - સૈદ્ધાંતિક, કારણ કે જગ્યામાં બાંધકામ માટે કોઈ સાધનો નથી, હોકાયંત્ર અને શાસક જેવા.
અવકાશમાં મૂળભૂત બાંધકામો સીધી રેખાઓ અને વિમાનોના અસ્તિત્વ પરના સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેય દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. આ બે બિંદુઓ દ્વારા એક રેખા દોરે છે, એક પ્લેન દોરે છે (કલમ 1.1 ની દરખાસ્તો અને કલમ 1.4 ના સ્વયંસિદ્ધ 1), તેમજ કોઈપણ બે બાંધવામાં આવેલા વિમાનોના આંતરછેદની રેખા બનાવવી (કલમ 1.4 ના સ્વયંસિદ્ધ 2). વધુમાં, અમે કુદરતી રીતે ધારીશું કે પહેલેથી જ બાંધવામાં આવેલા વિમાનોમાં પ્લાનમેટ્રિક બાંધકામો હાથ ધરવાનું શક્ય છે.
અવકાશમાં બાંધકામની સમસ્યાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે મૂળભૂત બાંધકામોનો ક્રમ સૂચવે છે જે ઇચ્છિત આકૃતિમાં પરિણમે છે. સામાન્ય રીતે, તમામ મૂળભૂત બાંધકામો સ્પષ્ટપણે સૂચવવામાં આવતાં નથી, પરંતુ પહેલાથી જ ઉકેલાયેલી બાંધકામ સમસ્યાઓનો સંદર્ભ આપવામાં આવે છે, એટલે કે. આવા બાંધકામોની શક્યતા વિશે પહેલાથી જ સાબિત દરખાસ્તો અને પ્રમેયો પર.
સ્ટીરિયોમેટ્રીમાં બાંધકામો - અસ્તિત્વના પ્રમેય ઉપરાંત, બાંધકામોને લગતી વધુ બે પ્રકારની સમસ્યાઓ શક્ય છે.
પ્રથમ, કાર્યો ચિત્ર અથવા ચિત્રમાં છે. આ પોલિહેડ્રા અથવા અન્ય સંસ્થાઓને કાપવા માટેની સમસ્યાઓ છે. અમે વાસ્તવમાં વિભાગ પોતે જ બનાવતા નથી, પરંતુ ફક્ત તેનું નિરૂપણ કરીએ છીએ
ડ્રોઇંગ અથવા ડ્રોઇંગ કે જે અમારી પાસે પહેલેથી જ છે. સ્ટીરિયોમેટ્રી અને ઇમેજ નિયમોના સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેયને ધ્યાનમાં લેતા, આવા બાંધકામો પ્લાનમેટ્રિક તરીકે હાથ ધરવામાં આવે છે. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ડ્રોઇંગ અને ડિઝાઇન પ્રેક્ટિસમાં સતત ઉકેલવામાં આવે છે.
બીજું, સપાટી પર શરીર બનાવવાનું કામ. કાર્ય: "સમઘનની સપાટી પર આપેલ અંતરે આપેલ શિરોબિંદુથી દૂરના બિંદુઓનું નિર્માણ કરો" - હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે (કેવી રીતે?). કાર્ય: "બૉલની સપાટી પર બિંદુઓનું નિર્માણ કરો જે આપેલ અંતરે આપેલ બિંદુથી દૂર હોય" - હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને પણ ઉકેલી શકાય છે (કેવી રીતે?). આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ભૂમિતિના પાઠોમાં ઉકેલાતી નથી - તે માર્કર દ્વારા સતત ઉકેલવામાં આવે છે, અલબત્ત, તેના સાધનો તેને પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે તે ચોકસાઈ સાથે. પરંતુ આવી સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે તે ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે.
