ત્રિકોણના ચાર અદ્ભુત બિંદુઓ. સંશોધન પ્રોજેક્ટ નોંધપાત્ર ત્રિકોણ બિંદુઓ 4 મધ્યના નોંધપાત્ર આંતરછેદ બિંદુઓ

પરિચય

આપણી આસપાસના વિશ્વના પદાર્થોમાં અમુક ગુણધર્મો છે, જેનો અભ્યાસ વિવિધ વિજ્ઞાન દ્વારા કરવામાં આવે છે.

ભૂમિતિ એ ગણિતની એક શાખા છે જે વિવિધ આકૃતિઓ અને તેના ગુણધર્મોની તપાસ કરે છે.

તત્વોના ચોથા પુસ્તકમાં, યુક્લિડ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરે છે: "આપેલ ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખવા માટે." તે ઉકેલમાંથી અનુસરે છે કે ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાના ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે - અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર. અન્ય યુક્લિડિયન સમસ્યાના ઉકેલમાંથી તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણની બાજુઓ પર તેમના મધ્યબિંદુઓ પર પુનઃસ્થાપિત લંબ પણ એક બિંદુ પર છેદાય છે - ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર. તત્વો એવું કહેતા નથી કે ત્રિકોણની ત્રણ ઊંચાઈઓ એક બિંદુએ છેદે છે, જેને ઓર્થોસેન્ટર કહેવાય છે (ગ્રીક શબ્દ "ઓર્થોસ" નો અર્થ "સીધો", "સાચો" છે). જોકે આ દરખાસ્ત આર્કિમિડીઝને જાણીતી હતી. ત્રિકોણનો ચોથો એકવચન બિંદુ એ મધ્યસ્થીઓના આંતરછેદનું બિંદુ છે. આર્કિમિડીસે સાબિત કર્યું કે તે ત્રિકોણનું ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર (બેરીસેન્ટર) છે.

ઉપરોક્ત ચાર મુદ્દાઓ પર વિશેષ ધ્યાન આપવામાં આવ્યું હતું, અને 18મી સદીથી તેઓને ત્રિકોણના "નોંધપાત્ર" અથવા "વિશેષ" બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. આ અને અન્ય મુદ્દાઓ સાથે સંકળાયેલ ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ એ પ્રાથમિક ગણિતની નવી શાખાની રચના માટે શરૂઆત તરીકે સેવા આપી હતી - "ત્રિકોણ ભૂમિતિ" અથવા "નવી ત્રિકોણ ભૂમિતિ", જેના સ્થાપકોમાંના એક લિયોનહાર્ડ યુલર હતા.

1765 માં, યુલરે સાબિત કર્યું કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં ઓર્થોસેન્ટર, બેરીસેન્ટર અને પરિઘ એક જ સીધી રેખા પર હોય છે, જેને પાછળથી "યુલરની સીધી રેખા" કહેવામાં આવે છે. 19મી સદીના વીસના દાયકામાં, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ જે. પોન્સલેટ, સી. બ્રાયનકોન અને અન્યોએ સ્વતંત્ર રીતે નીચેની પ્રમેયની સ્થાપના કરી: મધ્યકના પાયા, ઊંચાઈના પાયા અને ઓર્થોસેન્ટરને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ સાથે જોડતા ઊંચાઈના સેગમેન્ટ્સના મધ્યબિંદુઓ. સમાન વર્તુળ પર સૂવું. આ વર્તુળને "નવ બિંદુઓનું વર્તુળ", અથવા "ફ્યુઅરબેક વર્તુળ", અથવા "યુલર વર્તુળ" કહેવામાં આવે છે. કે. ફ્યુઅરબેચે સ્થાપિત કર્યું કે આ વર્તુળનું કેન્દ્ર યુલર સીધી રેખા પર છે.

“મને લાગે છે કે આપણે પહેલા ક્યારેય આવા ભૌમિતિક સમયગાળામાં જીવ્યા નથી. આસપાસની દરેક વસ્તુ ભૂમિતિ છે. 20મી સદીની શરૂઆતમાં મહાન ફ્રેન્ચ આર્કિટેક્ટ લે કોર્બુઝિયર દ્વારા બોલાયેલા આ શબ્દો આપણા સમયને ખૂબ જ સચોટ રીતે દર્શાવે છે. આપણે જે વિશ્વમાં રહીએ છીએ તે ઘરો અને શેરીઓ, પર્વતો અને ક્ષેત્રો, પ્રકૃતિ અને માણસની રચનાઓની ભૂમિતિથી ભરેલી છે.

અમને કહેવાતા "ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ" માં રસ હતો.

આ વિષય પર સાહિત્ય વાંચ્યા પછી, અમે ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓની વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો પોતાને માટે નિશ્ચિત કર્યા. પરંતુ અમારું કાર્ય ત્યાં સમાપ્ત થયું ન હતું, અને અમે આ મુદ્દાઓને જાતે અન્વેષણ કરવા માંગીએ છીએ.

એ કારણે લક્ષ્ય આપેલ કામ - ત્રિકોણના કેટલાક નોંધપાત્ર બિંદુઓ અને રેખાઓનો અભ્યાસ કરવો, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવો. આ ધ્યેય હાંસલ કરવાની પ્રક્રિયામાં, નીચેના તબક્કાઓને ઓળખી શકાય છે:

માહિતી અને સાહિત્યના વિવિધ સ્ત્રોતોમાંથી શૈક્ષણિક સામગ્રીની પસંદગી અને અભ્યાસ;

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ અને રેખાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મોનો અભ્યાસ;

આ ગુણધર્મોનું સામાન્યીકરણ અને જરૂરી પ્રમેયનો પુરાવો;

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

પ્રકરણઆઈ. નોંધપાત્ર ત્રિકોણ બિંદુઓ અને રેખાઓ

1.1 ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ

કાટખૂણે દ્વિભાજક એ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી એક રેખા છે, જે તેની પર લંબ છે. કાટખૂણે દ્વિભાજકની મિલકતને દર્શાવતું પ્રમેય આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ: કાટખૂણે દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેના છેડાથી સમાન છે અને તેનાથી વિપરિત જો કોઈ બિંદુ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન છે, તો તે લંબરૂપ દ્વિભાજક પર સ્થિત છે.

બહુકોણને અંકિત કહેવામાં આવે છે વર્તુળમાં જો તેના બધા શિરોબિંદુ વર્તુળના હોય. વર્તુળને બહુકોણ વિશે પરિક્રમિત કહેવામાં આવે છે.

કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે. તેનું કેન્દ્ર ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે.

બિંદુ O એ ત્રિકોણ AB અને BC ની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ છે.

નિષ્કર્ષ: આમ, જો બિંદુ O એ ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે, તો OA = OC = OB, એટલે કે. બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABC ના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

પરિણામો

sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.

તે સમાન રીતે સાબિત થાય છે એ/ sin α =2R, b/ sin β =2R.

આમ:

આ ગુણધર્મને સાઇન્સનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

ગણિતમાં, ઘણીવાર એવું બને છે કે સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત વસ્તુઓ સમાન હોય છે.

ઉદાહરણ. A1, B1, C1 એ અનુક્રમે બાજુઓ ∆ABC BC, AC, AB ના મધ્યબિંદુઓ છે. બતાવો કે AB1C1, A1B1C, A1BC1 ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળો એક બિંદુ પર છેદે છે. તદુપરાંત, આ બિંદુ ∆ABC ની આસપાસના વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

સામાન્યીકરણ.જો બાજુઓ પર ∆ABC AC, BC, AC આપણે મનસ્વી બિંદુઓ A 1, B 1, C 1 લઈએ, તો ત્રિકોણ AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 એક બિંદુ પર છેદે છે. .

1.2 ત્રિકોણ દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ

વાતચીત પણ સાચી છે: જો કોઈ બિંદુ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન હોય, તો તે તેના દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

એક ખૂણાના ભાગોને સમાન અક્ષરો સાથે ચિહ્નિત કરવું ઉપયોગી છે:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

બિંદુ O એ ખૂણા A અને B ના દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ છે. કોણ A, OF=OD=r ના દ્વિભાજક પર આવેલા બિંદુના ગુણધર્મ દ્વારા. કોણ B ના દ્વિભાજક પર પડેલા બિંદુના ગુણધર્મ અનુસાર, OE=OD=r. આમ, OE=OD=OF=r=બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABCની બધી બાજુઓથી સમાન છે, એટલે કે. O એ અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. (બિંદુ O એકમાત્ર છે).

નિષ્કર્ષ:આમ, જો બિંદુ O એ ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે, તો OE=OD= OF=r, એટલે કે. બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABC ની બધી બાજુઓથી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે તે અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનો O-બિંદુ એ ત્રિકોણનો નોંધપાત્ર બિંદુ છે.

પરિણામો:

ત્રિકોણ AOF અને AOD (આકૃતિ 1) ની સમાનતા પરથી કર્ણો અને તીવ્ર કોણ સાથે, તે અનુસરે છે કે એ.એફ. = ઈ.સ . OBD અને OBE ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે બી.ડી = BE , ત્રિકોણ COE અને COF ની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે સાથે એફ = C.E. . આમ, એક બિંદુ પરથી વર્તુળ તરફ દોરેલા સ્પર્શક ભાગો સમાન છે.

AF=AD= z, BD=BE= y, СF=CE= x

a=x+y (1), b= x+z (2), c= x+y (3).

+ (2) - (3), પછી આપણને મળે છે: એ+b-с=x+ y+ x+ z- z- y = એ+b-с = 2x =

x=( b + c - a)/2

એ જ રીતે: (1) + (3) - (2), પછી આપણને મળે છે: y = (a + c -b)/2.

એ જ રીતે: (2) + (3) - (1), પછી આપણને મળે છે: z= (a +b - c)/2.

ત્રિકોણનો કોણ દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને અડીને બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે.

1.3 ત્રિકોણ મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ (કેન્દ્રીય)

પુરાવો 1. A 1 , B 1 અને C 1 એ અનુક્રમે ABC ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ BC, CA અને AB ના મધ્યબિંદુઓ છે (ફિગ. 4).

ચાલો G એ બે મધ્યક AA 1 અને BB 1 ના આંતરછેદ બિંદુ છે. ચાલો પહેલા સાબિત કરીએ કે AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2.

આ કરવા માટે, સેગમેન્ટ્સ AG અને BG ના મધ્યબિંદુઓ P અને Q લો. ત્રિકોણની મધ્યરેખા પરના પ્રમેય દ્વારા, સેગમેન્ટ્સ B 1 A 1 અને PQ એ AB બાજુના અડધા અને તેની સમાંતર સમાન છે. તેથી, ચતુષ્કોણ A 1 B 1 એ PQ સમાંતરગ્રામ છે. પછી તેના કર્ણ PA 1 અને QB 1 ના આંતરછેદનો બિંદુ G તે દરેકને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. તેથી, બિંદુઓ P અને G મધ્યક AA 1 ને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે, અને બિંદુઓ Q અને G પણ મધ્ય BB 1 ને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી, ત્રિકોણના બે મધ્યકોના આંતરછેદનો બિંદુ G શિરોબિંદુમાંથી ગણીને તેમાંથી દરેકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

ત્રિકોણના મધ્યના આંતરછેદના બિંદુને કહેવામાં આવે છે કેન્દ્રીય અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર ત્રિકોણ આ નામ એ હકીકતને કારણે છે કે આ બિંદુએ એક સમાન ત્રિકોણાકાર પ્લેટના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર સ્થિત છે.

1.4 ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ (ઓર્થોસેન્ટર)

1.5 ટોરીસેલી પોઇન્ટ

પાથ ત્રિકોણ ABC દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ત્રિકોણનો ટોરીસેલી બિંદુ એ બિંદુ O છે જેમાંથી આ ત્રિકોણની બાજુઓ 120°ના ખૂણા પર દેખાય છે, એટલે કે. ખૂણા AOB, AOC અને BOC 120°ના બરાબર છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો ત્રિકોણના બધા ખૂણા 120° કરતા ઓછા હોય, તો ટોરિસેલી બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે.

ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB પર આપણે એક સમબાજુ ત્રિકોણ ABC" (ફિગ. 6, a) બનાવીએ છીએ અને તેની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરીએ છીએ. સેગમેન્ટ AB આ વર્તુળના 120° માપના ચાપને સબટેન્ડ કરે છે. પરિણામે, A સિવાયના આ ચાપના બિંદુઓ અને B પાસે એ ગુણધર્મ છે કે સેગમેન્ટ AB તેમની પાસેથી 120°ના ખૂણા પર દેખાય છે તેવી જ રીતે, ABC ત્રિકોણની બાજુના AC પર આપણે એક સમબાજુ ત્રિકોણ ACB (ફિગ. 6, a) બનાવીશું અને તેની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરીશું. . અનુરૂપ ચાપના બિંદુઓ, A અને C થી અલગ, એ ગુણધર્મ ધરાવે છે કે સેગમેન્ટ AC તેમાંથી 120°ના ખૂણા પર દેખાય છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે ત્રિકોણના ખૂણા 120° કરતા ઓછા હોય, ત્યારે આ ચાપ અમુક આંતરિક બિંદુ O પર છેદે છે. આ કિસ્સામાં, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. તેથી, ∟BOC = 120°. તેથી, બિંદુ O ઇચ્છિત છે.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે ત્રિકોણનો એક ખૂણો, ઉદાહરણ તરીકે ABC, 120° બરાબર હોય, તો પરિપત્ર ચાપના આંતરછેદનું બિંદુ B (ફિગ. 6, b) હશે. આ કિસ્સામાં, ટોરીસેલીનો બિંદુ અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે આ બિંદુથી AB અને BC કઈ બાજુઓ પર દેખાય છે તે ખૂણાઓ વિશે વાત કરવી અશક્ય છે.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે ત્રિકોણનો કોઈ એક ખૂણો, ઉદાહરણ તરીકે ABC, 120° (ફિગ. 6, c) કરતા વધારે હોય, તો વર્તુળોના અનુરૂપ ચાપ એકબીજાને છેદતા નથી અને ટોરિસેલીનું બિંદુ પણ અસ્તિત્વમાં નથી.

ટોરીસેલી બિંદુ એ બિંદુ શોધવાની ફર્મેટની સમસ્યા (જેને આપણે પ્રકરણ II માં ધ્યાનમાં લઈશું) સાથે સંકળાયેલ છે જેના ત્રણ આપેલ બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો સૌથી નાનો છે.

1.6 નવ-બિંદુ વર્તુળ

ખરેખર, A 3 B 2 એ ત્રિકોણ AHC ની મધ્યરેખા છે અને તેથી, A 3 B 2 || સીસી 1. B 2 A 2 એ ત્રિકોણ ABC ની મધ્ય રેખા છે અને તેથી, B 2 A 2 || એબી. CC 1 ┴ AB થી, પછી A 3 B 2 A 2 = 90°. તેવી જ રીતે, A 3 C 2 A 2 = 90°. તેથી, બિંદુઓ A 2, B 2, C 2, A 3 A 2 A 3 વ્યાસવાળા સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે. AA 1 ┴BC હોવાથી, પછી બિંદુ A 1 પણ આ વર્તુળનો છે. આમ, બિંદુ A 1 અને A 3 ત્રિકોણ A2B2C2 ના પરિઘ પર આવેલા છે. એ જ રીતે, તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે બિંદુઓ B 1 અને B 3, C 1 અને C 3 આ વર્તુળ પર આવેલા છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ નવ બિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર આવેલા છે.

આ કિસ્સામાં, નવ બિંદુઓના વર્તુળનું કેન્દ્ર ઊંચાઈના આંતરછેદના કેન્દ્ર અને ઘેરાયેલા વર્તુળના કેન્દ્ર વચ્ચે મધ્યમાં આવેલું છે. ખરેખર, ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 9) માં, બિંદુ O એ પરિક્રમિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે; G - મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ. H એ બિંદુ છે જ્યાં ઊંચાઈઓ છેદે છે. તમારે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે બિંદુઓ O, G, H સમાન રેખા પર આવેલા છે અને નવ બિંદુઓ N ના વર્તુળનું કેન્દ્ર OH સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

બિંદુ G અને ગુણાંક -0.5 પર કેન્દ્ર સાથે સમાનતાનો વિચાર કરો. ABC ત્રિકોણના શિરોબિંદુ A, B, C અનુક્રમે A 2, B 2, C 2 બિંદુઓ પર જશે. ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 ની ઊંચાઈમાં જશે અને તેથી, બિંદુ H બિંદુ O પર જશે. તેથી, બિંદુઓ O, G, H સમાન સીધી રેખા પર રહેશે.

ચાલો બતાવીએ કે OH ખંડનો મધ્યબિંદુ N એ નવ બિંદુઓના વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ખરેખર, C 1 C 2 એ નવ બિંદુઓના વર્તુળનો તાર છે. તેથી, આ તારનો લંબ દ્વિભાજક એક વ્યાસ છે અને N ની મધ્યમાં OH ને છેદે છે. તેવી જ રીતે, તાર B 1 B 2 નો લંબ દ્વિભાજક એક વ્યાસ છે અને OH ને તે જ બિંદુ N પર છેદે છે. તેથી N એ કેન્દ્ર છે નવ બિંદુઓનું વર્તુળ. Q.E.D.

ખરેખર, P એ ત્રિકોણ ABC ના પરિઘ પર પડેલો મનસ્વી બિંદુ છે; D, E, F – કાટખૂણેના પાયા બિંદુ P થી ત્રિકોણની બાજુઓ સુધી નીચે આવ્યા (ફિગ. 10). ચાલો બતાવીએ કે બિંદુઓ D, E, F સમાન રેખા પર આવેલા છે.

નોંધ કરો કે જો AP વર્તુળના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે, તો બિંદુઓ D અને E શિરોબિંદુઓ B અને C સાથે મેળ ખાય છે. અન્યથા, ABP અથવા ACPમાંથી એક ખૂણો તીવ્ર છે અને બીજો સ્થૂળ છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે બિંદુઓ D અને E રેખા BC ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સ્થિત હશે અને તે સાબિત કરવા માટે કે બિંદુઓ D, E અને F એક જ રેખા પર આવેલા છે, તે ∟CEF =∟BED તપાસવું પૂરતું છે.

ચાલો વ્યાસ CP સાથે વર્તુળનું વર્ણન કરીએ. ત્યારથી ∟CFP = ∟CEP = 90°, પછી બિંદુ E અને F આ વર્તુળ પર આવેલા છે. તેથી, ∟CEF =∟CPF એક વર્તુળની એક ચાપ દ્વારા સમાવેલા અંકિત ખૂણા તરીકે. આગળ, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. ચાલો BP વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળનું વર્ણન કરીએ. ∟BEP = ∟BDP = 90° હોવાથી, પછી આ વર્તુળ પર બિંદુ F અને D આવેલા છે. તેથી ∟BPD =∟BED. તેથી, આખરે આપણને તે ∟CEF =∟BED મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ D, E, F સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે.

પ્રકરણIIસમસ્યા ઉકેલવાની

ચાલો ત્રિકોણના દ્વિભાજકો, મધ્યક અને ઊંચાઈના સ્થાનને લગતી સમસ્યાઓથી શરૂઆત કરીએ. તેમને હલ કરવાથી, એક તરફ, તમને અગાઉ આવરી લેવામાં આવેલી સામગ્રીને યાદ રાખવાની મંજૂરી આપે છે, અને બીજી બાજુ, જરૂરી ભૌમિતિક ખ્યાલો વિકસાવે છે અને તમને વધુ જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તૈયાર કરે છે.

કાર્ય 1. ABC ત્રિકોણના A અને B ખૂણા પર (∟A

ઉકેલ. CD ને ઉંચાઈ અને CE ને દ્વિભાજક બનવા દો

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

તેથી, ∟DCE =.

ઉકેલ. O એ ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 1) ના દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ છે. ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે મોટો કોણ ત્રિકોણની મોટી બાજુની સામે આવેલો છે. જો AB BC, તો ∟A

ઉકેલ. O એ ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 2) ની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ છે. જો AC ∟B. BC વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ F અને G બિંદુઓમાંથી પસાર થશે. ધ્યાનમાં રાખીને કે બે તારમાંથી નાનો એ એક છે કે જેના પર નાનો અંકિત કોણ રહે છે, આપણે તે CG મેળવીએ છીએ.

પુરાવો.ત્રિકોણ ABC ની AC અને BC બાજુઓ પર, વ્યાસની જેમ, આપણે વર્તુળો બાંધીએ છીએ. બિંદુઓ A 1, B 1, C 1 આ વર્તુળોના છે. તેથી, વર્તુળની સમાન ચાપ પર આધારિત ખૂણા તરીકે ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 પરસ્પર લંબ બાજુઓ સાથે ખૂણા તરીકે. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 એ વર્તુળના સમાન ચાપ દ્વારા ઘટાડાવાળા ખૂણા તરીકે. તેથી, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, એટલે કે. CC 1 એ કોણ B 1 C 1 A 1 નો દ્વિભાજક છે. એ જ રીતે, તે બતાવવામાં આવ્યું છે કે AA 1 અને BB 1 એ B 1 A 1 C 1 અને A 1 B 1 C 1 ખૂણાના દ્વિભાજકો છે.

ગણવામાં આવેલ ત્રિકોણ, જેનાં શિરોબિંદુઓ આપેલ તીવ્ર ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે, તે શાસ્ત્રીય આત્યંતિક સમસ્યાઓમાંથી એકનો જવાબ આપે છે.

ઉકેલ. ABC ને આપેલ તીવ્ર ત્રિકોણ ગણવા દો. તેની બાજુઓ પર, તમારે બિંદુઓ A 1 , B 1 , C 1 શોધવાની જરૂર છે જેના માટે ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ની પરિમિતિ સૌથી નાની હશે (ફિગ. 4).

ચાલો પહેલા બિંદુ C 1 ને ઠીક કરીએ અને બિંદુ A 1 અને B 1 જોઈએ જેના માટે ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ની પરિમિતિ સૌથી નાની છે (બિંદુ C 1 ની આપેલ સ્થિતિ માટે).

આ કરવા માટે, સીધી રેખાઓ AC અને BC ની તુલનામાં બિંદુ C 1 ના બિંદુ D અને E સપ્રમાણતા ધ્યાનમાં લો. પછી B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E અને તેથી, ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ની પરિમિતિ તૂટેલી રેખા DB 1 A 1 Eની લંબાઈ જેટલી હશે. સ્પષ્ટ છે કે જો બિંદુ B 1, A 1 રેખા DE પર આવેલા હોય તો આ તૂટેલી રેખાની લંબાઈ સૌથી નાની છે.

હવે આપણે બિંદુ C 1 ની સ્થિતિ બદલીશું અને એવી સ્થિતિ શોધીશું કે જ્યાં અનુરૂપ ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ની પરિમિતિ સૌથી નાની છે.

બિંદુ D એ AC ની તુલનામાં C 1 ની સપ્રમાણતા હોવાથી, પછી CD = CC 1 અને ACD = ACC 1. તેવી જ રીતે, CE=CC 1 અને BCE=BCC 1. તેથી, ત્રિકોણ CDE સમદ્વિબાજુ છે. તેની બાજુની બાજુ CC 1 જેટલી છે. આધાર DE પરિમિતિ સમાન છે પીત્રિકોણ A 1 B 1 C 1. કોણ DCE ત્રિકોણ ABC ના ડબલ કોણ ACB બરાબર છે અને તેથી, બિંદુ C 1 ની સ્થિતિ પર આધાર રાખતો નથી.

શિરોબિંદુ પર આપેલ કોણ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, બાજુ જેટલી નાની, આધાર નાનો. તેથી, સૌથી નાની પરિમિતિ મૂલ્ય પીસૌથી ઓછા CC 1 મૂલ્યના કિસ્સામાં પ્રાપ્ત થાય છે. જો CC 1 ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ હોય તો આ મૂલ્ય લેવામાં આવે છે. આમ, AB બાજુ પર જરૂરી બિંદુ C 1 એ શિરોબિંદુ C પરથી દોરેલી ઊંચાઈનો આધાર છે.

નોંધ કરો કે આપણે પહેલા બિંદુ C 1ને નહીં, પરંતુ બિંદુ A 1 અથવા બિંદુ B 1ને ઠીક કરી શકીએ છીએ અને પ્રાપ્ત કરીશું કે A 1 અને B 1 એ ત્રિકોણ ABC ની અનુરૂપ ઊંચાઈના પાયા છે.

તે આનાથી અનુસરે છે કે આપેલ તીવ્ર ત્રિકોણ ABC માં લખેલ સૌથી નાની પરિમિતિનો આવશ્યક ત્રિકોણ એ એક ત્રિકોણ છે જેની શિરોબિંદુઓ ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈનો આધાર છે.

ઉકેલ.ચાલો સાબિત કરીએ કે જો ત્રિકોણના ખૂણો 120° કરતા ઓછા હોય, તો સ્ટીનર સમસ્યામાં જરૂરી બિંદુ ટોરીસેલી બિંદુ છે.

ચાલો ત્રિકોણ ABC ને શિરોબિંદુ C ની આસપાસ 60° ના ખૂણાથી ફેરવીએ, ફિગ. 7. આપણને A'B'C ત્રિકોણ મળે છે. ચાલો ત્રિકોણ ABC માં મનસ્વી બિંદુ O લઈએ. જ્યારે વળવું, તે અમુક બિંદુ O' પર જશે. ત્રિકોણ OO'C સમભુજ છે કારણ કે CO = CO' અને ∟OCO' = 60°, તેથી OC = OO'. તેથી, OA + OB + OC લંબાઈનો સરવાળો તૂટેલી રેખા AO + OO’ + O’B’ ની લંબાઈ જેટલો હશે. તે સ્પષ્ટ છે કે જો બિંદુ A, O, O', B' સમાન સીધી રેખા પર હોય તો આ તૂટેલી રેખાની લંબાઈ સૌથી નાનું મૂલ્ય લે છે. જો O એ ટોરીસેલી બિંદુ છે, તો આ આવું છે. ખરેખર, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. તેથી, બિંદુઓ A, O, O' સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે. તેવી જ રીતે, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. તેથી, બિંદુઓ O, O', B' સમાન રેખા પર આવેલા છે આનો અર્થ એ છે કે બધા બિંદુઓ A, O, O', B' સમાન રેખા પર આવેલા છે.

નિષ્કર્ષ

ત્રિકોણની ભૂમિતિ, પ્રાથમિક ગણિતના અન્ય વિભાગો સાથે, સામાન્ય રીતે ગણિતની સુંદરતા અનુભવવાનું શક્ય બનાવે છે અને કોઈ વ્યક્તિ માટે "મોટા વિજ્ઞાન" તરફના માર્ગની શરૂઆત બની શકે છે.

ભૂમિતિ એક અદ્ભુત વિજ્ઞાન છે. તેનો ઈતિહાસ એક હજાર વર્ષથી પણ વધુ સમયનો છે, પરંતુ તેની સાથેની દરેક મીટિંગ નાની શોધની રોમાંચક નવીનતા, સર્જનાત્મકતાના અદ્ભુત આનંદ સાથે (વિદ્યાર્થી અને શિક્ષક બંને) ભેટ આપવા અને સમૃદ્ધ કરવામાં સક્ષમ છે. વાસ્તવમાં, પ્રાથમિક ભૂમિતિમાં કોઈપણ સમસ્યા અનિવાર્યપણે એક પ્રમેય છે, અને તેનો ઉકેલ સાધારણ (અને ક્યારેક વિશાળ) ગાણિતિક વિજય છે.

ઐતિહાસિક રીતે, ભૂમિતિ ત્રિકોણથી શરૂ થઈ હતી, તેથી અઢી હજાર વર્ષોથી ત્રિકોણ ભૂમિતિનું પ્રતીક છે. શાળાની ભૂમિતિ માત્ર ત્યારે જ રસપ્રદ અને અર્થપૂર્ણ બની શકે છે, જ્યારે તે ત્રિકોણનો ઊંડો અને વ્યાપક અભ્યાસ સમાવે ત્યારે જ તે યોગ્ય ભૂમિતિ બની શકે છે. આશ્ચર્યજનક રીતે, ત્રિકોણ, તેની સ્પષ્ટ સરળતા હોવા છતાં, અભ્યાસનો અખૂટ પદાર્થ છે - કોઈ પણ, આપણા સમયમાં પણ, એવું કહેવાની હિંમત કરતું નથી કે તેઓએ ત્રિકોણના તમામ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો છે અને જાણ્યો છે.

આ કાર્યમાં, ત્રિકોણના દ્વિભાજકો, મધ્યકો, લંબ દ્વિભાજકો અને ઊંચાઈના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા હતા, ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ અને રેખાઓની સંખ્યાને વિસ્તૃત કરવામાં આવી હતી, અને પ્રમેય ઘડવામાં આવ્યા હતા અને સાબિત થયા હતા. આ પ્રમેયના ઉપયોગ અંગેની સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી છે.

પ્રસ્તુત સામગ્રીનો ઉપયોગ મૂળભૂત પાઠ અને વૈકલ્પિક વર્ગોમાં તેમજ કેન્દ્રિય પરીક્ષણ અને ગણિત ઓલિમ્પિયાડ્સની તૈયારીમાં બંનેમાં થઈ શકે છે.

ગ્રંથસૂચિ

બર્જર એમ. બે ગ્રંથોમાં ભૂમિતિ - એમ: મીર, 1984.

કિસેલ્યોવ એ.પી. પ્રાથમિક ભૂમિતિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. ભૂમિતિ સાથે નવા મેળાપ. - એમ.: નૌકા, 1978.

લેટોટીન એલ.એ., ચેબોટારાવસ્કી બી.ડી. ગણિત 9. – મિન્સ્ક: નરોદનયા અસ્વેતા, 2014.

પ્રસોલોવ વી.વી. પ્લાનિમેટ્રીમાં સમસ્યાઓ. – એમ.: નૌકા, 1986. – ભાગ 1.

Scanavi M.I. ગણિત. ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ. - રોસ્ટોવ-ઓન-ડોન: ફોનિક્સ, 1998.

શરીગિન આઈ.એફ. ભૂમિતિ સમસ્યાઓ: પ્લાનિમેટ્રી. - એમ.: નૌકા, 1986.

સિલ્ચેન્કોવ ઇલ્યા

પાઠ માટેની સામગ્રી, એનિમેશન સાથે પ્રસ્તુતિ

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com




સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

ત્રિકોણની મધ્યરેખા એ તેની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો ખંડ છે અને તે બાજુના અડધા જેટલો છે. ઉપરાંત, પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણની મધ્ય રેખા તેની એક બાજુની સમાંતર હોય છે અને આ બાજુના અડધા જેટલી હોય છે.

જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને લંબરૂપ હોય, તો તે બીજી રેખાને પણ લંબરૂપ હોય છે.

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ (ત્રિકોણનું કેન્દ્રબિંદુ); દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ, અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર; કાટખૂણે દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ; ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ (ઓર્થોસેન્ટર); યુલરની સીધી રેખા અને નવ-બિંદુ વર્તુળ; Gergonne અને Nagel પોઈન્ટ; પોઇન્ટ ફર્મટ-ટોરીસેલી;

મધ્ય આંતરછેદ બિંદુ

ત્રિકોણનો મધ્યક એ ત્રિકોણના કોઈપણ ખૂણાના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુની મધ્ય સાથે જોડતો ખંડ છે.

I. ત્રિકોણના મધ્યક એક બિંદુ પર છેદે છે, જે શિરોબિંદુમાંથી ગણીને દરેક મધ્યકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

પુરાવો:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. ચાલો O અક્ષર દ્વારા ABC ત્રિકોણના બે મધ્યક AA 1 અને B B1 ના આંતરછેદના બિંદુને સૂચિત કરીએ અને આ ત્રિકોણની મધ્ય રેખા A 1 B 1 દોરીએ. 2. સેગમેન્ટ A 1 B 1 બાજુ AB અને 1/2 AB = A 1 B 1 એટલે કે AB = 2A1B1 (ત્રિકોણની મધ્યરેખા વિશેના પ્રમેય મુજબ), તેથી 1 = 4 અને 3 = 2 (ત્યારથી તેઓ સમાંતર રેખાઓ AB અને A 1 B 1 સાથે આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ અને 1 માટે BB 1, 4 અને AA 1 માટે 3, 2 3. પરિણામે, ત્રિકોણ AOB અને A 1 OB 1 બે ખૂણામાં સમાન છે, અને તેથી, તેમના બાજુઓ પ્રમાણસર છે, એટલે કે AO અને A 1 O, BO અને B 1 O, AB અને A 1 B 1 ના ગુણોત્તર સમાન છે, પરંતુ AB = 2A 1 B 1, તેથી AO = 2A 1 O અને BO = 2B 1. O. આમ, BB 1 અને AA 1 ના આંતરછેદનો બિંદુ O એ દરેકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, શિરોબિંદુમાંથી ગણતરી કરીને પ્રમેય અન્ય બે મધ્યકો માટે સમાન રીતે સાબિત થઈ શકે છે.

સમૂહના કેન્દ્રને કેટલીકવાર સેન્ટ્રોઇડ કહેવામાં આવે છે. તેથી જ તેઓ કહે છે કે મધ્યકનું આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણનું કેન્દ્રબિંદુ છે. એક સમાન ત્રિકોણાકાર પ્લેટના સમૂહનું કેન્દ્ર સમાન બિંદુ પર સ્થિત છે. જો આવી પ્લેટને પિન પર મૂકવામાં આવે છે જેથી પિનની ટોચ ત્રિકોણના સેન્ટ્રોઇડને બરાબર અથડાવે, તો પ્લેટ સંતુલનમાં હશે. ઉપરાંત, મધ્યસ્થીના આંતરછેદનું બિંદુ તેના મધ્ય ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. મધ્યના આંતરછેદના બિંદુની એક રસપ્રદ મિલકત સમૂહના કેન્દ્રની ભૌતિક ખ્યાલ સાથે સંકળાયેલી છે. તે તારણ આપે છે કે જો તમે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર સમાન સમૂહ મૂકો છો, તો તેમનું કેન્દ્ર બરાબર આ બિંદુએ આવશે.

દ્વિભાજક આંતરછેદ બિંદુ

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ કોણ દ્વિભાજકનો એક ભાગ છે જે ત્રિકોણના એક ખૂણાના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા બિંદુ સાથે જોડે છે.

ત્રિકોણના દ્વિભાજકો તેની બાજુઓથી સમાન અંતરે એક બિંદુએ છેદે છે.

પુરાવો:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. ચાલો ત્રિકોણ ABC ના AA 1 અને BB 1 દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ O અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ. 3. ચાલો આપણે એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે અવિકસિત કોણના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન છે અને તેનાથી ઊલટું: કોણની અંદર આવેલો દરેક બિંદુ અને કોણની બાજુઓથી સમાન અંતર તેના દ્વિભાજક પર સ્થિત છે. પછી OK=OL અને OK=OM. આનો અર્થ છે OM=OL, એટલે કે બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓથી સમાન છે અને તેથી, કોણ C ના દ્વિભાજક CC1 પર આવેલું છે. 4. પરિણામે, ત્રિકોણ ABC ના ત્રણેય દ્વિભાજકો O. K L M બિંદુ પર છેદે છે પ્રમેય સાબિત થાય છે. 2. આ બિંદુથી અનુક્રમે લંબ OK, OL અને OM ને સીધી રેખાઓ AB, BC અને CA તરફ દોરો.

કાટખૂણે દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ

લંબ દ્વિભાજક એ આપેલ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી અને તેની પર લંબરૂપ રેખા છે.

ત્રિકોણની બાજુઓના લંબ દ્વિભાજકો ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે એક બિંદુએ છેદે છે.

પુરાવો:

B C A m n 1. ચાલો ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ AB અને BC એ દ્વિભાજીય લંબ m અને n ના આંતરછેદના બિંદુ O અક્ષર દ્વારા સૂચવીએ. O 2. પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કે સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ આ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન છે અને તેનાથી ઊલટું: સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતર ધરાવતો દરેક બિંદુ તેના કાટખૂણે દ્વિભાજક પર રહેલો છે, આપણે મેળવીએ છીએ કે OB = OA અને OB = OC. 3. તેથી OA = OC, એટલે કે બિંદુ O એ સેગમેન્ટ AC ના છેડાથી સમાન અંતરે છે અને તેથી, આ સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક પર આવેલું છે. 4. પરિણામે, ત્રણેય દ્વિભાજકો m, n અને p ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ બિંદુ O પર છેદે છે. પ્રમેય સાબિત થાય છે. આર

ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુ (અથવા તેમના વિસ્તરણ)

ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ ત્રિકોણના કોઈપણ ખૂણાના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુ ધરાવતી સીધી રેખા તરફ દોરવામાં આવેલ લંબ છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ અથવા તેમના વિસ્તરણ એક બિંદુ પર છેદે છે, જે ત્રિકોણની અંદર હોઈ શકે છે અથવા તેની બહાર હોઈ શકે છે.

પુરાવો:

ચાલો સાબિત કરીએ કે રેખાઓ AA 1, BB 1 અને CC 1 એક બિંદુ પર છેદે છે. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ABC ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ દ્વારા વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર સીધી રેખા દોરો. આપણને ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 મળે છે. 2. બિંદુઓ A, B અને C આ ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે. ખરેખર, AB=A 2 C અને AB=CB 2 એ ABA 2 C અને ABCB 2 સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ જેવા છે, તેથી A 2 C=CB 2. એ જ રીતે, C 2 A=AB 2 અને C 2 B=BA 2. વધુમાં, બાંધકામમાંથી નીચે મુજબ છે, CC 1 એ A 2 B 2 માટે લંબ છે, AA 1 એ B 2 C 2 માટે લંબ છે અને BB 1 એ A 2 C 2 માટે લંબ છે (સમાંતર રેખાઓ અને સેકન્ટ્સના પ્રમેયથી કોરોલરી સુધી ). આમ, રેખાઓ AA 1, BB 1 અને CC 1 એ ત્રિકોણ A 2 B 2 C 2 ની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો છે. તેથી, તેઓ એક બિંદુ પર છેદે છે. પ્રમેય સાબિત થાય છે.

લક્ષ્યો:
- "ત્રિકોણના ચાર નોંધપાત્ર બિંદુઓ" વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનો સારાંશ આપો, ત્રિકોણની ઊંચાઈ, મધ્ય અને દ્વિભાજક બાંધવામાં કુશળતા વિકસાવવાનું કામ ચાલુ રાખો;

વિદ્યાર્થીઓને ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની નવી વિભાવનાઓ સાથે પરિચય કરાવો અને તેની ફરતે ઘેરાયેલા;

સંશોધન કુશળતા વિકસાવો;
- વિદ્યાર્થીઓમાં દ્રઢતા, ચોકસાઈ અને સંગઠન કેળવો.
કાર્ય:ભૂમિતિના વિષયમાં જ્ઞાનાત્મક રસને વિસ્તૃત કરો.
સાધન:બોર્ડ, ડ્રોઇંગ ટૂલ્સ, રંગીન પેન્સિલો, લેન્ડસ્કેપ શીટ પર ત્રિકોણનું મોડેલ; કમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન.

વર્ગો દરમિયાન

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ (1 મિનિટ)
શિક્ષક:આ પાઠમાં, તમારામાંના દરેકને એક સંશોધન ઇજનેર જેવું લાગશે, વ્યવહારુ કાર્ય પૂર્ણ કર્યા પછી, તમે તમારું મૂલ્યાંકન કરી શકશો. કાર્ય સફળ થવા માટે, પાઠ દરમિયાન મોડેલ સાથેની બધી ક્રિયાઓ ખૂબ જ સચોટ અને સંગઠિત રીતે હાથ ધરવી જરૂરી છે. હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું.
2.
શિક્ષક: તમારી નોટબુકમાં ખુલ્લો ખૂણો દોરો
પ્ર. કોણના દ્વિભાજકને બાંધવા માટે તમે કઈ પદ્ધતિઓ જાણો છો?

ખૂણાના દ્વિભાજકનું નિર્ધારણ. બે વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડ પર એન્ગલ દ્વિભાજક બે રીતે બનાવે છે (પૂર્વે તૈયાર કરેલ મોડલનો ઉપયોગ કરીને) : શાસક અથવા હોકાયંત્ર સાથે. નીચેના બે વિદ્યાર્થીઓ મૌખિક રીતે નિવેદનોને સાબિત કરે છે:
1. કોણના દ્વિભાજક બિંદુઓ કયા ગુણધર્મો ધરાવે છે?
2. કોણની અંદર આવેલા બિંદુઓ અને કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓ વિશે શું કહી શકાય?
શિક્ષક: એક ચતુષ્કોણીય ત્રિકોણ ABC દોરો અને કોઈપણ રીતે, કોણ A અને કોણ C ના દ્વિભાજકો, તેમનો બિંદુ બનાવો

આંતરછેદ - બિંદુ O. રે VO વિશે તમે કઈ પૂર્વધારણા આગળ મૂકી શકો છો? સાબિત કરો કે કિરણ BO એ ત્રિકોણ ABC નો દ્વિભાજક છે. ત્રિકોણના તમામ દ્વિભાજકોના સ્થાન વિશે નિષ્કર્ષ બનાવો.
3. ત્રિકોણ મોડેલ (5-7 મિનિટ) સાથે કામ કરવું.
વિકલ્પ 1 - તીવ્ર ત્રિકોણ;
વિકલ્પ 2 - જમણો ત્રિકોણ;
વિકલ્પ 3 - સ્થૂળ ત્રિકોણ.
શિક્ષક: ત્રિકોણ મોડેલ પર, બે દ્વિભાજકો બનાવો, તેમને પીળા રંગમાં વર્તુળ કરો. આંતરછેદના બિંદુને ચિહ્નિત કરો

દ્વિભાજક બિંદુ K. સ્લાઇડ નંબર 1 જુઓ.
4. પાઠના મુખ્ય તબક્કાની તૈયારી (10-13 મિનિટ).
શિક્ષક: તમારી નોટબુકમાં રેખાખંડ AB દોરો. સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજક બાંધવા માટે કયા સાધનોનો ઉપયોગ કરી શકાય? લંબ દ્વિભાજકનું નિર્ધારણ. બે વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડ પર લંબ દ્વિભાજક બાંધી રહ્યા છે

(પૂર્વ-તૈયાર મોડેલો અનુસાર) બે રીતે: શાસક સાથે, હોકાયંત્ર સાથે. નીચેના બે વિદ્યાર્થીઓ મૌખિક રીતે નિવેદનોને સાબિત કરે છે:
1. સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજકના બિંદુઓ કયા ગુણધર્મો ધરાવે છે?
2. સેગમેન્ટ AB ના છેડાથી સમાન બિંદુઓ વિશે શું કહી શકાય શિક્ષક: તમારી નોટબુકમાં એક કાટકોણ ત્રિકોણ ABC દોરો અને ABC ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓ પર લંબ દ્વિભાજક બનાવો.

આંતરછેદ બિંદુ O ને ચિહ્નિત કરો. બિંદુ O દ્વારા ત્રીજી બાજુ પર લંબ દોરો. તમે શું જોશો? સાબિત કરો કે આ સેગમેન્ટનો લંબ દ્વિભાજક છે.
5. ત્રિકોણ મોડેલ સાથે કામ કરવું (5 મિનિટ).શિક્ષક: ત્રિકોણ મોડેલ પર, ત્રિકોણની બે બાજુઓ પર દ્વિભાજીય લંબ બાંધો અને તેમને લીલા રંગમાં વર્તુળ કરો. દ્વિભાજક કાટખૂણેના આંતરછેદના બિંદુને O બિંદુથી ચિહ્નિત કરો. સ્લાઇડ નંબર 2 જુઓ.

6. પાઠના મુખ્ય તબક્કાની તૈયારી (5-7 મિનિટ).શિક્ષક: એક સ્થૂળ ત્રિકોણ ABC દોરો અને બે ઊંચાઈઓ બનાવો. તેમના આંતરછેદ બિંદુ O લેબલ કરો.
1. ત્રીજી ઊંચાઈ વિશે શું કહી શકાય (ત્રીજી ઊંચાઈ, જો પાયાની બહાર લંબાવવામાં આવે તો, બિંદુ Oમાંથી પસાર થશે)?

2. કેવી રીતે સાબિત કરવું કે બધી ઊંચાઈઓ એક બિંદુ પર છેદે છે?
3. આ ઊંચાઈઓ કઈ નવી આકૃતિ બનાવે છે અને તેમાં શું છે?
7. ત્રિકોણ મોડેલ (5 મિનિટ) સાથે કામ કરવું.
શિક્ષક: ત્રિકોણ મોડેલ પર, ત્રણ ઊંચાઈઓ બનાવો અને તેમને વાદળી રંગમાં વર્તુળ કરો. બિંદુને ચિહ્નિત કરો જ્યાં ઊંચાઈ બિંદુ H સાથે છેદે છે. સ્લાઇડ નંબર 3 જુઓ.

પાઠ બે

8. પાઠના મુખ્ય તબક્કાની તૈયારી (10-12 મિનિટ).
શિક્ષક: એક તીવ્ર ત્રિકોણ ABC દોરો અને તેના તમામ મધ્યક બનાવો. તેમના આંતરછેદના બિંદુને O લેબલ કરો. ત્રિકોણના મધ્યક પાસે કઈ મિલકત હોય છે?

9. ત્રિકોણ મોડેલ (5 મિનિટ) સાથે કામ કરવું.
શિક્ષક: ત્રિકોણ મોડેલ પર, ત્રણ મધ્યક બનાવો અને તેમને ભૂરા રંગમાં વર્તુળ કરો.

મધ્યના આંતરછેદના બિંદુને T બિંદુ વડે ચિહ્નિત કરો. સ્લાઇડ નંબર 4 જુઓ.
10. બાંધકામની શુદ્ધતા તપાસી રહ્યું છે (10-15 મિનિટ).
1. બિંદુ K વિશે શું કહી શકાય? / બિંદુ K એ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે, તે ત્રિકોણની બધી બાજુઓથી સમાન છે /
2. મોડેલ પર બિંદુ K થી ત્રિકોણની અડધી બાજુ સુધીનું અંતર બતાવો. તમે કયો આકાર દોર્યો? આ કેવી રીતે સ્થિત છે

બાજુ કાપી? સરળ પેન્સિલ વડે હિંમતભેર હાઇલાઇટ કરો. (સ્લાઇડ નંબર 5 જુઓ).
3. સમાન સીધી રેખા પર આવેલા ન હોય તેવા વિમાનના ત્રણ બિંદુઓથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુ શું છે? કેન્દ્ર K સાથે વર્તુળ દોરવા માટે પીળી પેન્સિલનો ઉપયોગ કરો અને સરળ પેન્સિલ વડે ચિહ્નિત કરેલ અંતરની બરાબર ત્રિજ્યા કરો. (સ્લાઇડ નંબર 6 જુઓ).
4. તમે શું નોંધ્યું? આ વર્તુળ ત્રિકોણની તુલનામાં કેવી રીતે સ્થિત છે? તમે ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખેલું છે. તમે આવા વર્તુળને શું કહી શકો?

શિક્ષક ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની વ્યાખ્યા આપે છે.
5. બિંદુ O વિશે શું કહી શકાય? \બિંદુ O એ લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે અને તે ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન છે. A, B, C અને O બિંદુઓને જોડીને કઈ આકૃતિ બનાવી શકાય?
6. લીલા રંગનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળ (O; OA) બનાવો. (સ્લાઇડ નંબર 7 જુઓ).
7. તમે શું નોંધ્યું? આ વર્તુળ ત્રિકોણની તુલનામાં કેવી રીતે સ્થિત છે? તમે આવા વર્તુળને શું કહી શકો? આ કિસ્સામાં આપણે ત્રિકોણને કેવી રીતે કહી શકીએ?

શિક્ષક ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળની વ્યાખ્યા આપે છે.
8. O, H અને T બિંદુઓ સાથે શાસક જોડો અને આ બિંદુઓ દ્વારા લાલ રંગમાં એક રેખા દોરો. આ રેખાને સીધી કહેવામાં આવે છે

યુલર (સ્લાઇડ નંબર 8 જુઓ).
9. OT અને TN ની સરખામણી કરો. FROM:TN=1: 2 તપાસો. (સ્લાઈડ નંબર 9 જુઓ).
10. a) ત્રિકોણના મધ્યકને શોધો (ભૂરા રંગમાં). મધ્યના પાયાને શાહીથી ચિહ્નિત કરો.

આ ત્રણ બિંદુઓ ક્યાં છે?
b) ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધો (વાદળીમાં). ઊંચાઈના પાયાને શાહી વડે ચિહ્નિત કરો. આમાંના કેટલા મુદ્દા છે? \વિકલ્પ 1-3; વિકલ્પ 2-2; વિકલ્પ 3-3\.c) શિરોબિંદુઓથી ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુ સુધીનું અંતર માપો. આ અંતરોને નામ આપો (AN,

VN, SN). આ વિભાગોના મધ્યબિંદુઓ શોધો અને તેમને શાહી વડે પ્રકાશિત કરો. આમાંથી કેટલા

પોઈન્ટ? \1 વિકલ્પ-3; 2 વિકલ્પ-2; વિકલ્પ 3-3\.
11. ગણતરી કરો કે શાહીથી કેટલા બિંદુઓ ચિહ્નિત થયેલ છે? \ 1 વિકલ્પ - 9; વિકલ્પ 2-5; વિકલ્પ 3-9\. નિયુક્ત કરો

બિંદુઓ D 1, D 2, …, D 9. (સ્લાઇડ નંબર 10 જુઓ) આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને તમે યુલર વર્તુળ બનાવી શકો છો. વર્તુળનું કેન્દ્ર, બિંદુ E, સેગમેન્ટ OH ની મધ્યમાં છે. અમે લાલ રંગમાં વર્તુળ (E; ED 1) દોરીએ છીએ. સીધી રેખાની જેમ આ વર્તુળનું નામ મહાન વૈજ્ઞાનિકના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. (સ્લાઇડ નંબર 11 જુઓ).
11. યુલર (5 મિનિટ) વિશે પ્રસ્તુતિ.
12. સારાંશ(3 મિનિટ). "4" - જો વર્તુળો 2-3mm અચોક્કસ હોય. "3" - જો વર્તુળો 5-7mm અચોક્કસ હોય.

8મા ધોરણના ભૂમિતિના પાઠની રચના સ્થિતિલક્ષી શિક્ષણ મોડલના આધારે કરવામાં આવી છે.

પાઠ હેતુઓ:

• "ત્રિકોણના ચાર નોંધપાત્ર બિંદુઓ" વિષય પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનો અભ્યાસ;
• વિચાર, તર્ક, વાણી, વિદ્યાર્થીઓની કલ્પનાનો વિકાસ, કાર્યનું વિશ્લેષણ અને મૂલ્યાંકન કરવાની ક્ષમતા;
• જૂથ કાર્ય કુશળતાનો વિકાસ;
• કરવામાં આવેલ કાર્યની ગુણવત્તા અને પરિણામો માટે જવાબદારીની ભાવનાને પ્રોત્સાહન આપવું.

સાધન:

• જૂથ નામો સાથે કાર્ડ્સ;
• દરેક જૂથ માટે કાર્યો સાથે કાર્ડ્સ;
• જૂથોના કાર્યના પરિણામો રેકોર્ડ કરવા માટે A-4 પેપર;
• બોર્ડ પર લખાયેલ એપિગ્રાફ.

વર્ગો દરમિયાન

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

2. પાઠના લક્ષ્યો અને વિષય નક્કી કરવા.

ઐતિહાસિક રીતે, ભૂમિતિ ત્રિકોણથી શરૂ થઈ હતી, તેથી અઢી હજાર વર્ષોથી ત્રિકોણ ભૂમિતિનું પ્રતીક છે. શાળાની ભૂમિતિ માત્ર ત્યારે જ રસપ્રદ અને અર્થપૂર્ણ બની શકે છે, જ્યારે તે ત્રિકોણનો ઊંડો અને વ્યાપક અભ્યાસ સમાવે ત્યારે જ તે યોગ્ય ભૂમિતિ બની શકે છે. આશ્ચર્યજનક રીતે, ત્રિકોણ, તેની સ્પષ્ટ સરળતા હોવા છતાં, અભ્યાસનો અખૂટ પદાર્થ છે - કોઈ પણ, આપણા સમયમાં પણ, એવું કહેવાની હિંમત કરતું નથી કે તેઓએ ત્રિકોણના તમામ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો છે અને જાણ્યો છે.

બર્મુડા ત્રિકોણ વિશે કોણે સાંભળ્યું નથી, જેમાં વહાણો અને વિમાનો કોઈ નિશાન વિના અદૃશ્ય થઈ જાય છે? પરંતુ ત્રિકોણ પોતે ઘણી રસપ્રદ અને રહસ્યમય વસ્તુઓથી ભરપૂર છે.

ત્રિકોણનું કેન્દ્રિય સ્થાન કહેવાતા નોંધપાત્ર બિંદુઓ દ્વારા કબજે કરવામાં આવ્યું છે.

મને લાગે છે કે પાઠના અંતે તમે કહી શકશો કે શા માટે પોઈન્ટ્સ નોંધપાત્ર કહેવાય છે અને શું તે આવું છે.

અમારા પાઠનો વિષય શું છે? "ત્રિકોણના ચાર નોંધપાત્ર બિંદુઓ." પાઠ માટેનો એપિગ્રાફ કે. વેયરસ્ટ્રાસના શબ્દો હોઈ શકે છે: "એક ગણિતશાસ્ત્રી જે અંશતઃ કવિ નથી તે ક્યારેય ગણિતમાં પૂર્ણતા પ્રાપ્ત કરી શકશે નહીં" (એપિગ્રાફ બોર્ડ પર લખાયેલ છે).

પાઠના વિષયના શબ્દો, એપિગ્રાફ પર જુઓ અને પાઠમાં તમારા કાર્યના લક્ષ્યો નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો. પાઠના અંતે અમે તપાસ કરીશું કે તમે તેમને કેટલી સારી રીતે પૂર્ણ કર્યા છે.

3. વિદ્યાર્થીઓનું સ્વતંત્ર કાર્ય.

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે તૈયારી

પાઠમાં કામ કરવા માટે, તમારે છ જૂથોમાંથી એક પસંદ કરવું આવશ્યક છે: "સિદ્ધાંતવાદી", "સર્જનાત્મકતા", "તર્ક-ડિઝાઇનર્સ", "પ્રેક્ટિશનર્સ", "ઇતિહાસકારો", "નિષ્ણાતો".

બ્રીફિંગ

દરેક જૂથને કાર્ય કાર્ડ પ્રાપ્ત થાય છે. જો કાર્ય સ્પષ્ટ નથી, તો શિક્ષક વધારાના ખુલાસાઓ પ્રદાન કરે છે.

"સિદ્ધાંતવાદીઓ"

સોંપણી: "ત્રિકોણના ચાર નોંધપાત્ર બિંદુઓ" વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે જરૂરી મૂળભૂત ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરો (ત્રિકોણની ઊંચાઈ, ત્રિકોણનો મધ્યક, ત્રિકોણનો દ્વિભાજક, લંબ દ્વિભાજક, અંતવર્તુળ, પરિપત્ર), તમે પાઠ્યપુસ્તકનો ઉપયોગ કરી શકો છો; કાગળના ટુકડા પર મુખ્ય ખ્યાલો લખો.

"ઇતિહાસકારો"

દ્વિભાજકો અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર લંબ ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર. પ્રિન્સિપિયા કહેતા નથી કે ત્રણ પણ ઊંચાઈત્રિકોણ કહેવાય એક બિંદુ પર છેદે છે ઓર્થોસેન્ટર મધ્યક ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર

XIX સદીના 20 ના દાયકામાં. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ જે. પોન્સલેટ, સી. બ્રાયનકોન અને અન્યોએ સ્વતંત્ર રીતે નીચેની પ્રમેયની સ્થાપના કરી: મધ્યકના પાયા, ઊંચાઈના પાયા અને ઓર્થોસેન્ટરને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ સાથે જોડતા ઊંચાઈના સેગમેન્ટ્સના મધ્યબિંદુઓ સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે.

આ વર્તુળને "નવ બિંદુઓનું વર્તુળ", અથવા "ફ્યુઅરબેક વર્તુળ", અથવા "યુલર વર્તુળ" કહેવામાં આવે છે. કે. ફ્યુઅરબેચે સ્થાપિત કર્યું કે આ વર્તુળનું કેન્દ્ર "યુલર સીધી રેખા" પર આવેલું છે.

સોંપણી: લેખનું વિશ્લેષણ કરો અને અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરતું કોષ્ટક ભરો.

	બિંદુ નામ		શું છેદે છે

"સર્જન"

સોંપણી: "ત્રિકોણના ચાર નોંધપાત્ર બિંદુઓ" (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ, બિંદુ, મધ્યક, વગેરે) વિષય પર સિંકવાઇન(ઓ) સાથે આવો.

સિંકવાઇન લખવાનો નિયમ:

પ્રથમ પંક્તિમાં, વિષયનું નામ એક શબ્દમાં (સામાન્ય રીતે સંજ્ઞા) આપવામાં આવ્યું છે.

બીજી લાઇન એ વિષયનું બે શબ્દોમાં વર્ણન છે (2 વિશેષણો).

ત્રીજી પંક્તિ એ ત્રણ શબ્દો (ક્રિયાપદો, ગેરુન્ડ્સ) માં આ વિષયના માળખાની અંદરની ક્રિયાનું વર્ણન છે.

ચોથી પંક્તિ એ 4-શબ્દનો વાક્ય છે જે વિષય તરફનું વલણ દર્શાવે છે.

છેલ્લી લીટી એ એક શબ્દનો સમાનાર્થી (રૂપક) છે જે વિષયના સારને પુનરાવર્તિત કરે છે.

"તર્ક રચનાકારો"

ત્રિકોણનો મધ્યક એ ત્રિકોણના કોઈપણ શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતો ખંડ છે. કોઈપણ ત્રિકોણમાં ત્રણ મધ્ય હોય છે.

દ્વિભાજક એ શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુ સાથે આંતરછેદ સુધીના કોઈપણ ખૂણાના દ્વિભાજકનો એક ભાગ છે. કોઈપણ ત્રિકોણમાં ત્રણ દ્વિભાજકો હોય છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ ત્રિકોણના કોઈપણ શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુ અથવા તેના વિસ્તરણ તરફ દોરવામાં આવેલ લંબ છે. કોઈપણ ત્રિકોણની ત્રણ ઊંચાઈ હોય છે.

સેગમેન્ટનો લંબ દ્વિભાજક એ આપેલ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી અને તેની પર લંબરૂપ રેખા છે. કોઈપણ ત્રિકોણમાં ત્રણ લંબ દ્વિભાજકો હોય છે.

સોંપણી: કાગળની ત્રિકોણાકાર શીટ્સનો ઉપયોગ કરીને, મધ્ય, ઊંચાઈ, દ્વિભાજકો અને દ્વિભાજકોના આંતરછેદ બિંદુઓને ફોલ્ડ કરીને બાંધો. આ આખા વર્ગને સમજાવો.

"પ્રેક્ટિસ"

તત્વોના ચોથા પુસ્તકમાં, યુક્લિડ "આપેલ ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખવું" સમસ્યાનું નિરાકરણ કરે છે. ઉકેલમાંથી તે ત્રણને અનુસરે છે દ્વિભાજકોત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓ એક બિંદુ પર છેદે છે - અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર. અન્ય યુક્લિડિયન સમસ્યાના ઉકેલમાંથી તે તેને અનુસરે છે લંબ, તેમના મધ્યબિંદુઓ પર ત્રિકોણની બાજુઓ પર પુનઃસ્થાપિત, એક બિંદુ પર પણ છેદે છે - ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર. પ્રિન્સિપિયા એવું નથી કહેતું કે ત્રિકોણની ત્રણ ઊંચાઈ એક બિંદુએ છેદે છે જેને કહેવાય છે ઓર્થોસેન્ટર(ગ્રીક શબ્દ "ઓર્થોસ" નો અર્થ સીધો, સાચો છે). જો કે આ દરખાસ્ત આર્કિમિડીઝ, પપ્પસ અને પ્રોક્લસને જાણીતી હતી. ત્રિકોણનો ચોથો એકવચન બિંદુ આંતરછેદ બિંદુ છે મધ્યક. આર્કિમિડીસે સાબિત કર્યું કે તેણી છે ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રત્રિકોણનું (બેરીસેન્ટર). 18મી સદીથી શરૂ થતા ઉપરોક્ત ચાર મુદ્દાઓ પર ખાસ ધ્યાન આપવામાં આવ્યું હતું. તેઓને "નોંધપાત્ર" અથવા "ત્રિકોણના વિશેષ બિંદુઓ" કહેવાતા.

આ અને અન્ય મુદ્દાઓ સાથે સંકળાયેલ ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ એ પ્રાથમિક ગણિતની નવી શાખાની રચના માટે શરૂઆત તરીકે સેવા આપી હતી - "ત્રિકોણ ભૂમિતિ", અથવા "નવી ત્રિકોણ ભૂમિતિ", જેના સ્થાપકોમાંના એક લિયોનહાર્ડ યુલર હતા. .

સોંપણી: સૂચિત સામગ્રીનું વિશ્લેષણ કરો અને એક આકૃતિ સાથે આવો જે એકમો વચ્ચેના સિમેન્ટીક જોડાણોને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેને સમજાવો, તેને કાગળના ટુકડા પર દોરો અને તેને બોર્ડ પર પ્રદર્શિત કરો.

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ

1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________

ડ્રોઇંગ 1 ડ્રોઇંગ 2 ડ્રોઇંગ 3 ડ્રોઇંગ 4

____________ ___________ ______________ ____________

(સમજણ)

"નિષ્ણાતો"

સોંપણી: એક કોષ્ટક બનાવો જેમાં તમે દરેક જૂથના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરો છો, તે પરિમાણો પસંદ કરો કે જેના દ્વારા તમે જૂથોના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરશો, બિંદુઓ નક્કી કરો.

પરિમાણો નીચે મુજબ હોઈ શકે છે: દરેક વિદ્યાર્થીની તેના જૂથના કાર્યમાં ભાગીદારી, સંરક્ષણમાં ભાગીદારી, સામગ્રીની રસપ્રદ રજૂઆત, સ્પષ્ટતાની રજૂઆત વગેરે.

તમારા ભાષણમાં, તમારે દરેક જૂથની પ્રવૃત્તિઓમાં હકારાત્મક અને નકારાત્મક પાસાઓની નોંધ લેવી જોઈએ.

4. જૂથ પ્રદર્શન.(દરેક 2-3 મિનિટ)

કાર્યના પરિણામો બોર્ડ પર મૂકવામાં આવે છે

5. પાઠનો સારાંશ.

પાઠની શરૂઆતમાં તમે સેટ કરેલા લક્ષ્યો જુઓ. શું તમે બધું પૂર્ણ કરવાનું મેનેજ કર્યું?

શું તમે આજના પાઠ માટે પસંદ કરેલ એપિગ્રાફ સાથે સહમત છો?

6. હોમવર્ક સોંપણી.

1) આજના પાઠની સામગ્રીનો ઉપયોગ કરીને ખાતરી કરો કે ત્રિકોણ, જે ચોક્કસ બિંદુએ સોયની ટોચ પર રહેલો છે, તે સંતુલિત છે.

2) વિવિધ ત્રિકોણમાં તમામ 4 નોંધપાત્ર બિંદુઓ દોરો.