વ્યાખ્યા:પોઈન્ટ x0 એ ફંક્શનના સ્થાનિક મહત્તમ (અથવા લઘુત્તમ) નો બિંદુ કહેવાય છે જો બિંદુ x0 ના અમુક પડોશમાં ફંક્શન સૌથી મોટું (અથવા સૌથી નાનું) મૂલ્ય લે છે, એટલે કે. બિંદુ x0 ના અમુક પડોશમાંથી તમામ x માટે f(x) f(x0) (અથવા f(x) f(x0)) શરત સંતુષ્ટ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ અથવા લઘુત્તમના બિંદુઓ એક સામાન્ય નામ દ્વારા એક થાય છે - ફંક્શનના સ્થાનિક સીમાના બિંદુઓ.
નોંધ કરો કે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ પર, ફંક્શન તેના મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે માત્ર ચોક્કસ સ્થાનિક પ્રદેશમાં. એવા કિસ્સાઓ હોઈ શકે છે જ્યારે уmaxуmin મૂલ્ય અનુસાર.
કાર્યના સ્થાનિક સીમાના અસ્તિત્વની આવશ્યક નિશાની
પ્રમેય . જો સતત ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x0 પર સ્થાનિક સીમા ધરાવે છે, તો આ બિંદુએ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન કાં તો શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી, એટલે કે. પ્રથમ પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર સ્થાનિક અંતિમો થાય છે.
સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ પર, ક્યાં તો સ્પર્શક 0x અક્ષની સમાંતર હોય છે, અથવા બે સ્પર્શક હોય છે (આકૃતિ જુઓ). નોંધ કરો કે નિર્ણાયક બિંદુઓ જરૂરી છે પરંતુ સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી સ્થિતિ નથી. સ્થાનિક અંતિમો માત્ર પ્રથમ પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુઓ પર જ જોવા મળે છે, પરંતુ સ્થાનિક આત્યંતિક બિંદુઓ તમામ જટિલ બિંદુઓ પર નથી.
ઉદાહરણ તરીકે: ઘન પેરાબોલા y = x3 પાસે નિર્ણાયક બિંદુ x0 = 0 છે, જેના પર વ્યુત્પન્ન y/(0)=0, પરંતુ નિર્ણાયક બિંદુ x0=0 એ એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ નથી, પરંતુ તેના પર એક ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ છે (નીચે જુઓ).
ફંક્શનના સ્થાનિક સીમાના અસ્તિત્વની પર્યાપ્ત નિશાની
પ્રમેય . જો, જ્યારે દલીલ ડાબેથી જમણે પ્રથમ પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન y / (x)
સાઇન “+” થી “-” માં બદલાય છે, પછી આ નિર્ણાયક બિંદુ પર સતત કાર્ય y(x) ની સ્થાનિક મહત્તમ હોય છે;
ચિહ્ન "-" થી "+" માં બદલાય છે, પછી સતત કાર્ય y(x) આ નિર્ણાયક બિંદુ પર સ્થાનિક લઘુત્તમ ધરાવે છે
ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો પછી આ નિર્ણાયક બિંદુએ ત્યાં કોઈ સ્થાનિક સીમા નથી, અહીં એક વળાંક બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ માટે, વધતા કાર્યનો પ્રદેશ (y/0) ઘટતા કાર્યના પ્રદેશ (y/0) દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સ્થાનિક લઘુત્તમ માટે, ઘટતા કાર્યનો પ્રદેશ (y/0) વધતા કાર્યના પ્રદેશ (y/0) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ: એકવિધતા, એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શન y = x3 + 9x2 + 15x - 9 નું પરીક્ષણ કરો અને ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો.
ચાલો ડેરિવેટિવ (y/) ને વ્યાખ્યાયિત કરીને અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીને પ્રથમ પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ: y/ = 3x2 + 18x + 15 =3(x2 + 6x + 5) = 0
ચાલો ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી હલ કરીએ:
x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D= , x1k = -5, x2k = -1.
2) અમે સંખ્યાના અક્ષને નિર્ણાયક બિંદુઓ સાથે 3 પ્રદેશોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને તેમાં વ્યુત્પન્ન (y/) ના ચિહ્નો નક્કી કરીએ છીએ. આ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને આપણે કાર્યોની એકવિધતા (વધતા અને ઘટતા) ના ક્ષેત્રો શોધીશું, અને ચિહ્નોને બદલીને આપણે સ્થાનિક સીમા (મહત્તમ અને લઘુત્તમ) ના બિંદુઓ નક્કી કરીશું.
અમે સંશોધન પરિણામોને કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ, જેમાંથી નીચેના તારણો કાઢી શકાય છે:
- 1. અંતરાલ y /(-10) 0 પર કાર્ય એકવિધ રીતે વધે છે (વ્યુત્પન્ન y ની નિશાની આ અંતરાલમાં લેવામાં આવેલા નિયંત્રણ બિંદુ x = -10 નો ઉપયોગ કરીને અંદાજવામાં આવી હતી);
- 2. અંતરાલ (-5 ; -1) y /(-2) 0 પર કાર્ય એકવિધ રીતે ઘટે છે (વ્યુત્પન્ન y ની નિશાની આ અંતરાલમાં લેવામાં આવેલા નિયંત્રણ બિંદુ x = -2 નો ઉપયોગ કરીને અંદાજવામાં આવી હતી);
- 3. અંતરાલ y /(0) 0 પર, કાર્ય એકવિધ રીતે વધે છે (વ્યુત્પન્ન y ની નિશાની આ અંતરાલમાં લેવામાં આવેલ નિયંત્રણ બિંદુ x = 0 નો ઉપયોગ કરીને અંદાજવામાં આવી હતી);
- 4. જ્યારે નિર્ણાયક બિંદુ x1k = -5માંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્ન “+” થી “-” થાય છે, તેથી આ બિંદુ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે
- (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
- 5. જ્યારે નિર્ણાયક બિંદુ x2k = -1માંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્ન “-” થી “+” થાય છે, તેથી આ બિંદુ સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ છે
- (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).
x -5 (-5 ; -1) -1
3) અમે નિયંત્રણ બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યોની વધારાની ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસના પરિણામોના આધારે ગ્રાફ બનાવીશું:
એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઓક્સી બનાવો;
અમે મહત્તમ (-5; 16) અને ન્યૂનતમ (-1;-16) ના બિંદુઓને સંકલન દ્વારા બતાવીએ છીએ;
ગ્રાફને સ્પષ્ટ કરવા માટે, અમે નિયંત્રણ બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ, તેમને મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓની ડાબી અને જમણી બાજુએ અને સરેરાશ અંતરાલની અંદર પસંદ કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;
y(0) = -9 (-6;9); (-3;0) અને (0;-9) - ગણતરી કરેલ નિયંત્રણ બિંદુઓ કે જેને આપણે ગ્રાફ બનાવવાનું કાવતરું કરીએ છીએ;
અમે મહત્તમ બિંદુએ ઉપરની તરફ વળાંક બહિર્મુખના સ્વરૂપમાં અને લઘુત્તમ બિંદુ પર નીચે તરફ બહિર્મુખ અને ગણતરી કરેલ નિયંત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ગ્રાફને બતાવીએ છીએ.
કાર્ય આંતરિક બિંદુ પર હોવાનું કહેવાય છે 
પ્રદેશ ડી
સ્થાનિક મહત્તમ(ન્યૂનતમ), જો બિંદુની આવી પડોશી હોય 
, દરેક બિંદુ માટે 
જે અસમાનતા ધરાવે છે
જો કોઈ કાર્ય બિંદુ પર હોય 
સ્થાનિક મહત્તમ અથવા સ્થાનિક લઘુત્તમ, પછી અમે કહીએ છીએ કે તે આ બિંદુએ છે સ્થાનિક છેડો(અથવા માત્ર એક આત્યંતિક).
પ્રમેય
(એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિ). જો વિભેદક કાર્ય બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમ સુધી પહોંચે છે 
, પછી ફંક્શનનો દરેક પ્રથમ-ક્રમ આંશિક વ્યુત્પન્ન 
આ બિંદુએ તે શૂન્ય બની જાય છે.
જે બિંદુઓ પર તમામ પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ અદૃશ્ય થઈ જાય છે તેને કહેવામાં આવે છે કાર્યના સ્થિર બિંદુઓ
. 
ની સિસ્ટમને હલ કરીને આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકાય છે
.
સમીકરણો
વિભેદક કાર્યના કિસ્સામાં એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે ટૂંકમાં ઘડી શકાય છે: એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર કેટલાક આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ અનંત મૂલ્યો ધરાવે છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી (જ્યારે બાકીના શૂન્ય સમાન છે). આવા બિંદુઓ કહેવામાં આવે છેકાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ.
સ્થિર મુદ્દાઓની જેમ, આ બિંદુઓને એક્સ્ટ્રીમ માટે "શંકાસ્પદ" તરીકે પણ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. બે ચલોના કાર્યના કિસ્સામાં, એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી સ્થિતિ, એટલે કે અંતિમ બિંદુ પર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ (વિભેદક) ની શૂન્યની સમાનતા, ભૌમિતિક અર્થઘટન ધરાવે છે: 
સપાટી પર સ્પર્શક વિમાન 
.
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ પર પ્લેનની સમાંતર હોવી જોઈએ
20. એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો 
અમુક સમયે એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી શરતની પરિપૂર્ણતા ત્યાં એક્સ્ટ્રીમમની હાજરીની બાંયધરી આપતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે દરેક જગ્યાએ વિભેદક કાર્ય લઈ શકીએ છીએ 
. 
તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ અને ફંક્શન બંને બિંદુ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે 
.
જો કે, આ બિંદુના કોઈપણ પડોશમાં બંને હકારાત્મક (મોટા 
), અને નકારાત્મક (નાના 
) આ કાર્યના મૂલ્યો. તેથી, આ બિંદુએ, વ્યાખ્યા દ્વારા, કોઈ આત્યંતિક અવલોકન કરવામાં આવતું નથી. તેથી, તે પર્યાપ્ત પરિસ્થિતિઓને જાણવી જરૂરી છે કે જેમાં એક્સ્ટ્રીમમ હોવાનો શંકાસ્પદ બિંદુ અભ્યાસ હેઠળના કાર્યનો આત્યંતિક બિંદુ છે. 
ચાલો બે ચલોના ફંક્શનના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો ધારીએ કે કાર્ય
,
.
નિર્ધારિત, સતત અને અમુક બિંદુની પડોશમાં સમાવિષ્ટ બીજા ક્રમ સુધી સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે
પ્રમેય
(, જે કાર્યનું સ્થિર બિંદુ છે, એટલે કે, શરતોને સંતોષે છે 
ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ: 
એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો 
). કાર્ય કરવા દો
ઉપરોક્ત શરતોને સંતોષે છે, એટલે કે: તે સ્થિર બિંદુના કેટલાક પડોશમાં અલગ છે 
અને પોઈન્ટ પર જ બે વાર અલગ છે 
. 
પછી જો
કિસ્સામાંપછી કાર્ય 
બિંદુ પર
પહોંચે છેપછી કાર્ય 
.
સ્થાનિક મહત્તમ 
ખાતે 
અનેસ્થાનિક લઘુત્તમ(સામાન્ય રીતે, કાર્ય માટેબિંદુ પર અસ્તિત્વ માટે પૂરતી સ્થિતિ સ્થાનિક(ન્યૂનતમ) બીજા વિભેદકની નિશ્ચિતતા.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નીચેનું નિવેદન સાચું છે.
પ્રમેય
.
જો બિંદુ પર 
કાર્ય માટે 
કોઈપણ માટે એક જ સમયે શૂન્ય બરાબર નથી 
, પછી આ બિંદુએ કાર્ય છે ન્યૂનતમ(ના સમાન મહત્તમ, જો 
).
ઉદાહરણ 18.ફંક્શનના સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ શોધો 
ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શોધીએ અને તેમને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
આ સિસ્ટમને હલ કરવાથી, અમને બે સંભવિત અંતિમ બિંદુઓ મળે છે:
ચાલો આ કાર્ય માટે બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:
પ્રથમ સ્થિર બિંદુ પર, તેથી, અને 
તેથી, આ બિંદુએ વધારાના સંશોધનની જરૂર છે. કાર્ય મૂલ્ય 
આ બિંદુએ શૂન્ય છે: 
આગળ,
ખાતે 
એ
ખાતે 
તેથી, બિંદુના કોઈપણ પડોશમાં 
કાર્ય 
મૂલ્યો મોટા તરીકે લે છે 
, અને નાના 
, અને, તેથી, બિંદુ પર 
કાર્ય 
, વ્યાખ્યા દ્વારા, કોઈ સ્થાનિક છેડો નથી.
બીજા સ્થિર બિંદુ પર 
તેથી, તેથી, ત્યારથી 
પછી બિંદુ પર 
કાર્યમાં સ્થાનિક મહત્તમ છે.
ઘણા ચલોના ફંક્શન f(x) માટે, બિંદુ x એ વેક્ટર છે, f'(x) ફંક્શન f(x) ના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સ (ગ્રેડિયન્ટ) નું વેક્ટર છે, f ′ ′(x) એ સેકન્ડનું સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ (હેસિયન મેટ્રિક્સ - હેસિયન) ફંક્શન્સ f(x).
ઘણા ચલોના કાર્ય માટે, શ્રેષ્ઠતાની શરતો નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે.
સ્થાનિક શ્રેષ્ઠતા માટે જરૂરી સ્થિતિ. x * R n બિંદુ પર f(x) ને વિભેદક બનવા દો. જો x * એ સ્થાનિક સીમા બિંદુ છે, તો f’(x *) = 0.
પહેલાની જેમ, સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો એવા બિંદુઓને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. સ્થિર બિંદુ x * ની પ્રકૃતિ હેસિયન મેટ્રિક્સ f′ ′(x) ના નિશ્ચિત સંકેત સાથે સંકળાયેલ છે.
મેટ્રિક્સ A નું ચિહ્ન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ Q(α)= ના ચિહ્નો પર આધારિત છે< α A, α >બધા બિન-શૂન્ય માટે α∈R n .
અહીં અને આગળ દ્વારા
મેટ્રિક્સ A એ ધન (બિન-નકારાત્મક) નિશ્ચિત છે જો બધા બિન-શૂન્ય α∈R n માટે Q(α)>0 (Q(α)≥0); નકારાત્મક (બિન-હકારાત્મક) ચોક્કસ જો Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>કેટલાક બિન-શૂન્ય α∈R n અને Q(α) માટે 0<0 для остальных ненулевых α∈R n .
સ્થાનિક શ્રેષ્ઠતા માટે પૂરતી સ્થિતિ. x * R n અને f’(x *)=0 બિંદુ પર f(x) ને બે વાર ભેદ પાડી શકાય, એટલે કે. x * − સ્થિર બિંદુ. પછી, જો મેટ્રિક્સ f′′(x *) હકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત હોય, તો x * એ સ્થાનિક લઘુત્તમ (મહત્તમ) બિંદુ છે; જો મેટ્રિક્સ f′′(x *) અવ્યાખ્યાયિત છે, તો x * એ સેડલ પોઈન્ટ છે.
જો મેટ્રિક્સ f′′(x *) બિન-નકારાત્મક (બિન-હકારાત્મક) નિશ્ચિત હોય, તો સ્થિર બિંદુ x * ની પ્રકૃતિ નક્કી કરવા માટે ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝના અભ્યાસની જરૂર છે.
મેટ્રિક્સની નિશાની તપાસવા માટે, નિયમ તરીકે, સિલ્વેસ્ટર માપદંડનો ઉપયોગ થાય છે. આ માપદંડ મુજબ, સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ A એ ધન ચોક્કસ છે જો અને માત્ર જો તેના તમામ કોણીય સગીર હકારાત્મક હોય. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ A નો કોણીય ગૌણ એ સમાન (અને પ્રથમ) સંખ્યાઓ સાથે પંક્તિઓ અને કૉલમ્સના આંતરછેદ પર સ્થિત મેટ્રિક્સ A ના ઘટકોમાંથી બનેલા મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક છે. નકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ A તપાસવા માટે, તમારે હકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે મેટ્રિક્સ (−A) તપાસવાની જરૂર છે.
તેથી, ઘણા ચલોના કાર્યના સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમા પોઈન્ટ્સ નક્કી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે.
1. f′(x) શોધો.
2. સિસ્ટમ હલ કરવામાં આવી રહી છે 
પરિણામે, સ્થિર પોઈન્ટ x i ની ગણતરી કરવામાં આવે છે.
3. f′′(x) શોધો, i=1 સેટ કરો.
4. f′′(x i) શોધો
5. મેટ્રિક્સ f′′(x i) ના કોણીય સગીરોની ગણતરી કરવામાં આવે છે. જો બધા કોણીય સગીરો શૂન્ય ન હોય, તો સ્થિર બિંદુ x i ની પ્રકૃતિ નક્કી કરવા માટે ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝના અભ્યાસની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, પગલું 8 માં સંક્રમણ હાથ ધરવામાં આવે છે.
નહિંતર, પગલું 6 પર જાઓ.
6. કોણીય સગીર f′(x i) ના ચિહ્નોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. જો f′′(x i) હકારાત્મક નિશ્ચિત હોય, તો x i એ સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ છે. આ કિસ્સામાં, પગલું 8 માં સંક્રમણ હાથ ધરવામાં આવે છે.
નહિંતર, પગલું 7 પર જાઓ.
7. મેટ્રિક્સ -f′′(x i) ના કોણીય સગીરોની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને તેમના ચિહ્નોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે.
જો -f′′(x i) − હકારાત્મક ચોક્કસ છે, તો f′′(x i) ઋણ નિશ્ચિત છે અને x i એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
અન્યથા f′′(x i) અવ્યાખ્યાયિત છે અને x i એ સેડલ પોઈન્ટ છે.
8. તમામ સ્થિર બિંદુઓ i=N ની પ્રકૃતિ નક્કી કરવા માટેની સ્થિતિ તપાસવામાં આવે છે.
જો તે પરિપૂર્ણ થાય, તો ગણતરીઓ પૂર્ણ થાય છે.
જો શરત પૂરી ન થાય, તો i=i+1 ધારવામાં આવે છે અને પગલું 4 માં સંક્રમણ હાથ ધરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ નંબર 1. ફંક્શન f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 ની સ્થાનિક સીમાના બિંદુઓ નક્કી કરો 
બધા કોણીય સગીરો બિન-શૂન્ય હોવાથી, x 2 નો અક્ષર f′′(x) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
મેટ્રિક્સ f′′(x 2) સકારાત્મક નિશ્ચિત હોવાથી, x 2 એ સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ છે.
જવાબ: ફંક્શન f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 બિંદુ x = (5/3; 8/3) પર સ્થાનિક લઘુત્તમ ધરાવે છે.
$E \સબસેટ \mathbb(R)^(n)$. તેઓ કહે છે કે $f$ છે સ્થાનિક મહત્તમબિંદુ $x_(0) \in E$ પર, જો બિંદુ $x_(0)$ ની પડોશી $U$ હોય તો બધા $x \in U$ માટે અસમાનતા $f\left(x\જમણે) ) \leqslant f સંતુષ્ટ છે \left(x_(0)\right)$.
સ્થાનિક મહત્તમ કહેવાય છે કડક , જો પડોશી $U$ પસંદ કરી શકાય જેથી બધા $x \in U$ માટે $x_(0)$ થી અલગ હોય $f\left(x\જમણે)< f\left(x_{0}\right)$.
વ્યાખ્યા
$f$ ને ઓપન સેટ $E \subset \mathbb(R)^(n)$ પર એક વાસ્તવિક કાર્ય થવા દો. તેઓ કહે છે કે $f$ છે સ્થાનિક લઘુત્તમબિંદુ $x_(0) \E$ માં, જો બિંદુ $x_(0)$ ની પડોશ $U$ હોય, જેમ કે અસમાનતા $f\left(x\right) \geqslant f બધા $ માટે ધરાવે છે x \in U$ \left(x_(0)\જમણે)$.
સ્થાનિક લઘુત્તમને કડક કહેવામાં આવે છે જો કોઈ પડોશી $U$ પસંદ કરી શકાય જેથી $x_(0)$ થી અલગ બધા $x \in U$ માટે $f\left(x\right) > f\left(x_) ( 0)\જમણે)$.
સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમમ સ્થાનિક લઘુત્તમ અને સ્થાનિક મહત્તમની વિભાવનાઓને જોડે છે.
પ્રમેય (વિભેદક કાર્યના અંતિમ ભાગ માટે જરૂરી સ્થિતિ)
$f$ ને ઓપન સેટ $E \subset \mathbb(R)^(n)$ પર એક વાસ્તવિક કાર્ય થવા દો. જો આ બિંદુએ $x_(0) \ E$ માં ફંક્શન $f$ ની સ્થાનિક સીમા છે, તો $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ શૂન્ય વિભેદકની સમાનતા એ હકીકતને સમકક્ષ છે કે બધા શૂન્ય સમાન છે, એટલે કે. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
એક-પરિમાણીય કિસ્સામાં આ છે – . ચાલો આપણે $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ દર્શાવીએ, જ્યાં $h$ એ આર્બિટરી વેક્ટર છે. ફંક્શન $\phi$ એ $t$ ના મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં પૂરતા પ્રમાણમાં નાના છે. વધુમાં, ના સંદર્ભમાં, તે અલગ કરી શકાય તેવું છે, અને $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
$f$ ને બિંદુ x $0$ પર સ્થાનિક મહત્તમ રહેવા દો. આનો અર્થ એ છે કે $\phi$ પર $t = 0$ ફંક્શન સ્થાનિક મહત્તમ ધરાવે છે અને, ફર્મેટના પ્રમેય દ્વારા, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
તેથી, અમને તે $df \left(x_(0)\right) = 0$ મળ્યું, એટલે કે. $f$ બિંદુ $x_(0)$ પર ફંક્શન એ કોઈપણ વેક્ટર $h$ પર શૂન્ય બરાબર છે.
વ્યાખ્યા
બિંદુઓ કે જેના પર વિભેદક શૂન્ય છે, એટલે કે. જેમાં તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન હોય તેને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. જટિલ મુદ્દાઓફંક્શન્સ $f$ એ એવા બિંદુઓ છે કે જેના પર $f$ તફાવતપાત્ર નથી અથવા શૂન્યની બરાબર છે. જો બિંદુ સ્થિર છે, તો તે આનાથી અનુસરતું નથી કે આ બિંદુએ ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમમ છે.
ઉદાહરણ 1.
ચાલો $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. પછી $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, તેથી $\left(0,0\જમણે)$ એ સ્થિર બિંદુ છે, પરંતુ આ બિંદુએ ફંક્શનની કોઈ સીમા નથી. ખરેખર, $f \left(0,0\right) = 0$, પરંતુ તે જોવાનું સરળ છે કે $\left(0,0\right)$ બિંદુના કોઈપણ પડોશમાં ફંક્શન હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લે છે.
ઉદાહરણ 2.
ફંક્શન $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ તેના મૂળ પર સ્થિર બિંદુ ધરાવે છે, પરંતુ તે સ્પષ્ટ છે કે આ બિંદુએ કોઈ અંતિમ બિંદુ નથી.
પ્રમેય (ચરબી માટે પૂરતી સ્થિતિ).
ઓપન સેટ $E \subset \mathbb(R)^(n)$ પર $f$ ફંક્શનને બે વાર સતત અલગ થવા દો. ચાલો $x_(0) \in E$ ને સ્થિર બિંદુ અને $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ પછી
- જો $Q_(x_(0))$ – , તો $x_(0)$ બિંદુ પર $f$ ફંક્શનમાં સ્થાનિક સીમા હોય છે, એટલે કે, જો ફોર્મ હકારાત્મક ચોક્કસ હોય તો લઘુત્તમ અને જો ફોર્મ હોય તો મહત્તમ નકારાત્મક ચોક્કસ;
- જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ $Q_(x_(0))$ અવ્યાખ્યાયિત હોય, તો $x_(0)$ બિંદુ પર $f$ ફંક્શનની કોઈ સીમા નથી.
ચાલો ટેલરના સૂત્ર (12.7 પૃષ્ઠ 292) અનુસાર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ. $x_(0)$ બિંદુ પર પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ મેળવીએ છીએ. જમણે) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ જ્યાં $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, અને $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ માટે, પછી જમણી બાજુની બાજુ પૂરતી નાની લંબાઈના કોઈપણ વેક્ટર $h$ માટે હકારાત્મક હશે.
તેથી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા છીએ કે બિંદુ $x_(0)$ ના ચોક્કસ પડોશમાં અસમાનતા $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ધરાવે છે જો માત્ર $ x \neq x_ (0)$ (અમે $x=x_(0)+h$\જમણે મૂકીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $x_(0)$ પર ફંક્શનમાં કડક સ્થાનિક લઘુત્તમ હોય છે, અને આ રીતે આપણા પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ સાબિત થાય છે.
ચાલો હવે ધારીએ કે $Q_(x_(0))$ એ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે. પછી ત્યાં $h_(1)$, $h_(2)$ જેવા કે $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\જમણે)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. પછી આપણને $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) મળે છે. \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ પર્યાપ્ત નાના $t>0$ માટે, જમણો હાથ બાજુ હકારાત્મક છે. આનો અર્થ એ થયો કે $x_(0)$ બિંદુના કોઈપણ પડોશમાં ફંક્શન $f$ $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ કરતાં વધુ મૂલ્યો લે છે.
એ જ રીતે, અમે શોધીએ છીએ કે $x_(0)$ બિંદુના કોઈપણ પડોશમાં ફંક્શન $f$ $f \left(x_(0)\right)$ કરતાં ઓછી કિંમતો લે છે. આ, પાછલા એક સાથે, અર્થ એ છે કે બિંદુ પર $x_(0)$ ફંક્શન $f$ પાસે એક્સ્ટ્રીમમ નથી.
ચાલો બે ચલોના $f \left(x,y\right)$ માટે આ પ્રમેયના વિશિષ્ટ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ, જે $\left(x_(0),y_(0)\right બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. )$ અને પ્રથમ અને બીજા ઓર્ડરના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે. ધારો કે $\left(x_(0),y_(0)\right)$ એ સ્થિર બિંદુ છે અને $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\જમણે), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\જમણે), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\જમણે ) .$$ પછી પાછલું પ્રમેય નીચેનું સ્વરૂપ લે છે.
પ્રમેય
ચાલો $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. પછી:
- જો $\Delta>0$, તો ફંક્શન $f$ એ બિંદુ $\left(x_(0),y_(0)\right)$ પર સ્થાનિક છેડો ધરાવે છે, એટલે કે, ન્યૂનતમ જો $a_(11)> 0$ , અને મહત્તમ જો $a_(11)<0$;
- જો $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો
ઘણા ચલોના કાર્યની સીમા શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:
- સ્થિર બિંદુઓ શોધવી;
- બધા સ્થિર બિંદુઓ પર 2જી ક્રમનો તફાવત શોધો
- ઘણા ચલોના કાર્યના અંતિમ ભાગ માટે પૂરતી સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે દરેક સ્થિર બિંદુ પર 2જી ક્રમના વિભેદકને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
- એક્સટ્રીમમ $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ માટે ફંક્શનની તપાસ કરો.
ઉકેલચાલો પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ ચાલો સિસ્ટમ કંપોઝ કરીએ અને ઉકેલીએ: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(કેસ)$$ બીજા સમીકરણમાંથી અમે $x=4 \cdot y^(2)$ વ્યક્ત કરીએ છીએ - તેને 1લા સમીકરણમાં બદલો: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ પરિણામે, 2 સ્થિર બિંદુઓ પ્રાપ્ત થાય છે:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\જમણે)$
ચાલો તપાસીએ કે એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે કે કેમ:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) બિંદુ $M_(1)= \left(0,0\જમણે)$ માટે:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) પોઈન્ટ $M_(2)$ માટે:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $M_(2)$ પર એક સીમા છે, અને ત્યારથી $A_(2)> 0$, તો આ ન્યૂનતમ છે.
જવાબ: બિંદુ $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ એ $f$ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે. - એક્સ્ટ્રીમમ $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ માટે ફંક્શનની તપાસ કરો.
ઉકેલચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
ચાલો સિસ્ટમ કંપોઝ કરીએ અને ઉકેલીએ: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\અંત(કેસ) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ એ સ્થિર બિંદુ છે.
ચાલો તપાસીએ કે એક્સ્ટ્રામમ માટે પૂરતી સ્થિતિ પૂરી થઈ છે કે કેમ: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
જવાબ: ત્યાં કોઈ ચરમસીમા નથી.
સમય મર્યાદા: 0
નેવિગેશન (માત્ર જોબ નંબર)
4માંથી 0 કાર્યો પૂર્ણ થયા
માહિતી
તમે હમણાં વાંચેલા વિષયના તમારા જ્ઞાનને ચકાસવા માટે આ ક્વિઝ લો: બહુવિધ વેરીએબલ્સના કાર્યોની સ્થાનિક આત્યંતિકતા.
તમે પહેલાથી જ પરીક્ષા આપી છે. તમે તેને ફરીથી શરૂ કરી શકતા નથી.
પરીક્ષણ લોડ કરી રહ્યું છે...
પરીક્ષણ શરૂ કરવા માટે તમારે લૉગ ઇન અથવા નોંધણી કરાવવી આવશ્યક છે.
આને શરૂ કરવા માટે તમારે નીચેના પરીક્ષણો પૂર્ણ કરવા આવશ્યક છે:
પરિણામો
સાચા જવાબો: 4 માંથી 0
તમારો સમય:
સમય પૂરો થયો
તમે 0 માંથી 0 પોઈન્ટ મેળવ્યા છે (0)
તમારું પરિણામ લીડરબોર્ડ પર રેકોર્ડ કરવામાં આવ્યું છે
- જવાબ સાથે
- વ્યુઇંગ માર્ક સાથે
4 માંથી 2 કાર્ય
2 .
પોઈન્ટની સંખ્યા: 1શું ફંક્શન $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ પાસે એક્સ્ટ્રીમમ છે
4માંથી 1 કાર્ય
1 .
પોઈન્ટની સંખ્યા: 1એક્સ્ટ્રીમા માટે $f$ ફંક્શનની તપાસ કરો: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
અધિકાર
ખોટું
ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ એ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં તે બિંદુ છે કે જેના પર ફંક્શનનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ મૂલ્ય લે છે. આ બિંદુઓ પરના ફંક્શનના મૂલ્યોને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા (લઘુત્તમ અને મહત્તમ) કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા. ડોટ x1 કાર્ય ડોમેન f(x) કહેવાય છે કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ , જો આ બિંદુએ ફંક્શનનું મૂલ્ય તેની જમણી અને ડાબી બાજુએ સ્થિત પોઈન્ટ પરના ફંક્શનના મૂલ્યો કરતા વધારે હોય તો તેની પર્યાપ્ત રીતે નજીક હોય (એટલે કે, અસમાનતા ધરાવે છે f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 મહત્તમ
વ્યાખ્યા. ડોટ x2 કાર્ય ડોમેન f(x) કહેવાય છે કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ, જો આ બિંદુએ ફંક્શનનું મૂલ્ય તેની જમણી અને ડાબી બાજુએ સ્થિત બિંદુઓ પરના ફંક્શનના મૂલ્યો કરતાં ઓછું હોય તો તેની પર્યાપ્ત રીતે નજીક હોય (એટલે કે, અસમાનતા ધરાવે છે f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). આ કિસ્સામાં અમે કહીએ છીએ કે કાર્ય બિંદુ પર છે x2 ન્યૂનતમ
ચાલો બિંદુ કહીએ x1 - કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ f(x). પછી સુધીના અંતરાલમાં x1 કાર્ય વધે છે, તેથી ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા વધારે છે ( f "(x) > 0 ), અને પછીના અંતરાલમાં x1 કાર્ય ઘટે છે, તેથી, કાર્યનું વ્યુત્પન્નશૂન્ય કરતાં ઓછું ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
ચાલો આપણે પણ માની લઈએ કે બિંદુ x2 - કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ f(x). પછી સુધીના અંતરાલમાં x2 ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે, અને ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા ઓછું છે ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 કાર્ય વધી રહ્યું છે, અને કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા વધારે છે ( f "(x) > 0 ) આ કિસ્સામાં પણ બિંદુ પર x2 કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
ફર્મેટનું પ્રમેય (ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની આવશ્યક નિશાની). જો બિંદુ x0 - કાર્યનો અંતિમ બિંદુ f(x) તો આ બિંદુએ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે ( f "(x) = 0 ) અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
વ્યાખ્યા. જે બિંદુઓ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તેને કહેવામાં આવે છે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ .
ઉદાહરણ 1.ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ.
બિંદુએ x= 0 ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે, તેથી બિંદુ x= 0 એ નિર્ણાયક બિંદુ છે. જો કે, ફંક્શનના ગ્રાફ પર જોઈ શકાય છે, તે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં વધે છે, તેથી બિંદુ x= 0 એ આ ફંક્શનનો અંતિમ બિંદુ નથી.
આમ, એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તેવી શરતો એ એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતો છે, પરંતુ પર્યાપ્ત નથી, કારણ કે ફંક્શનના અન્ય ઉદાહરણો આપી શકાય છે જેના માટે આ શરતો પૂરી થાય છે, પરંતુ ફંક્શન અનુરૂપ બિંદુ પર એક સીમા નથી. તેથી જ પૂરતા પુરાવા હોવા જોઈએ, કોઈ ચોક્કસ નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ એક્સ્ટ્રીમમ છે કે કેમ અને તે કેવા પ્રકારનું છે - મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ છે તે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે.
પ્રમેય (ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની પ્રથમ પર્યાપ્ત નિશાની).જટિલ બિંદુ x0 f(x) જો, આ બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાય છે, અને જો ચિહ્ન “વત્તા” થી “માઈનસ” માં બદલાય છે, તો તે મહત્તમ બિંદુ છે, અને જો “માઈનસ” થી “પ્લસ”, તો પછી તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
જો બિંદુ નજીક x0 , તેની ડાબી અને જમણી બાજુએ, વ્યુત્પન્ન તેનું ચિહ્ન જાળવી રાખે છે, આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય કાં તો બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં માત્ર ઘટે છે અથવા માત્ર વધે છે. x0 . આ કિસ્સામાં, બિંદુ પર x0 ત્યાં કોઈ આત્યંતિક નથી.
તેથી, ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે :
- ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
- વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સમાન કરો અને નિર્ણાયક બિંદુઓ નક્કી કરો.
- માનસિક રીતે અથવા કાગળ પર, સંખ્યા રેખા પર નિર્ણાયક બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો અને પરિણામી અંતરાલોમાં કાર્યના વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નક્કી કરો. જો વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન "વત્તા" થી "માઇનસ" માં બદલાય છે, તો નિર્ણાયક બિંદુ મહત્તમ બિંદુ છે, અને જો "માઇનસ" થી "પ્લસ" માં, તો લઘુત્તમ બિંદુ છે.
- અંતિમ બિંદુઓ પર કાર્યની કિંમતની ગણતરી કરો.
ઉદાહરણ 2.ફંક્શનની સીમા શોધો 
.
ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
ચાલો નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધવા માટે વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
.
કારણ કે "x" ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે છેદ શૂન્ય સમાન નથી, અમે અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
એક નિર્ણાયક મુદ્દો મળ્યો x= 3. ચાલો આ બિંદુ દ્વારા સીમાંકિત અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ:
માઇનસ અનંતથી 3 સુધીની રેન્જમાં - બાદબાકીનું ચિહ્ન, એટલે કે કાર્ય ઘટે છે,
3 થી વત્તા અનંત સુધીના અંતરાલમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે, એટલે કે કાર્ય વધે છે.
એટલે કે સમયગાળો x= 3 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ચાલો ફંક્શનની કિંમત ન્યૂનતમ બિંદુ પર શોધીએ:
આમ, ફંક્શનનો આત્યંતિક બિંદુ જોવા મળે છે: (3; 0), અને તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
પ્રમેય (ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની બીજી પર્યાપ્ત નિશાની).જટિલ બિંદુ x0 કાર્યનો અંતિમ બિંદુ છે f(x) જો આ બિંદુએ ફંક્શનનું બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર ન હોય તો ( f ""(x) ≠ 0 ), અને જો બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતા વધારે હોય ( f ""(x) > 0 ), પછી મહત્તમ બિંદુ, અને જો બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
નોંધ 1. જો બિંદુ પર x0 જો પ્રથમ અને બીજા બંને ડેરિવેટિવ્સ અદૃશ્ય થઈ જાય, તો પછી આ બિંદુએ બીજા પૂરતા માપદંડના આધારે એક્સ્ટ્રીમમની હાજરીનો નિર્ણય કરવો અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે ફંક્શનના અંતિમ ભાગ માટે પ્રથમ પૂરતા માપદંડનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.
રિમાર્ક 2. ફંક્શનની સીમા માટે બીજો પર્યાપ્ત માપદંડ લાગુ પડતો નથી ત્યારે પણ જ્યારે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન સ્થિર બિંદુ પર અસ્તિત્વમાં ન હોય (પછી બીજું ડેરિવેટિવ પણ અસ્તિત્વમાં નથી). આ કિસ્સામાં, તમારે ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ પર્યાપ્ત સંકેતનો પણ ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.
કાર્યના અંતિમ ભાગની સ્થાનિક પ્રકૃતિ
ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે ફંક્શનની સીમા સ્વભાવમાં સ્થાનિક છે - તે નજીકના મૂલ્યોની તુલનામાં કાર્યનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય છે.
ધારો કે તમે એક વર્ષના સમયગાળામાં તમારી કમાણી જોઈ રહ્યાં છો. જો મે મહિનામાં તમે 45,000 રુબેલ્સ અને એપ્રિલમાં 42,000 રુબેલ્સ અને જૂનમાં 39,000 રુબેલ્સની કમાણી કરી હોય, તો મેની કમાણી નજીકના મૂલ્યોની તુલનામાં કમાણી કાર્યની મહત્તમ છે. પરંતુ ઑક્ટોબરમાં તમે 71,000 રુબેલ્સ, સપ્ટેમ્બરમાં 75,000 રુબેલ્સ અને નવેમ્બરમાં 74,000 રુબેલ્સ કમાયા, તેથી ઑક્ટોબરની કમાણી એ નજીકના મૂલ્યોની તુલનામાં કમાણી કાર્યની ન્યૂનતમ છે. અને તમે સરળતાથી જોઈ શકો છો કે એપ્રિલ-મે-જૂનના મૂલ્યોમાં મહત્તમ સપ્ટેમ્બર-ઓક્ટોબર-નવેમ્બરના લઘુત્તમ કરતાં ઓછું છે.
સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક અંતરાલ પર ફંક્શનમાં ઘણા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે છે, અને તે બહાર આવી શકે છે કે અમુક ન્યૂનતમ ફંક્શન કોઈપણ મહત્તમ કરતા વધારે છે. તેથી, ઉપરની આકૃતિમાં બતાવેલ કાર્ય માટે, .
એટલે કે, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ અનુક્રમે, વિચારણા હેઠળના સમગ્ર સેગમેન્ટ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો છે. મહત્તમ બિંદુએ, ફંક્શન માત્ર તે મૂલ્યોની તુલનામાં સૌથી વધુ મૂલ્ય ધરાવે છે જે તે તમામ બિંદુઓ પર મહત્તમ બિંદુની પૂરતા પ્રમાણમાં નજીક હોય છે, અને લઘુત્તમ બિંદુએ તે મૂલ્યોની સરખામણીમાં માત્ર સૌથી નાનું મૂલ્ય ધરાવે છે. કે તે તમામ બિંદુઓ પર ન્યૂનતમ બિંદુની પૂરતી નજીક છે.
તેથી, આપણે ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટની ઉપરની વિભાવનાને સ્પષ્ટ કરી શકીએ છીએ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટને સ્થાનિક લઘુત્તમ પોઈન્ટ અને મહત્તમ પોઈન્ટને સ્થાનિક મહત્તમ પોઈન્ટ કહી શકીએ છીએ.
અમે એકસાથે ફંક્શનની સીમા શોધીએ છીએ
ઉદાહરણ 3.
ઉકેલ: ફંક્શન સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે. તેનું વ્યુત્પન્ન 
સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી, આ કિસ્સામાં, નિર્ણાયક બિંદુઓ ફક્ત તે જ છે કે જેના પર, એટલે કે. , ક્યાંથી અને . નિર્ણાયક મુદ્દાઓ અને કાર્યની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને એકવિધતાના ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો: . ચાલો તેમાંથી દરેકમાં એક નિયંત્રણ બિંદુ પસંદ કરીએ અને આ બિંદુએ વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન શોધીએ.
અંતરાલ માટે, નિયંત્રણ બિંદુ હોઈ શકે છે: શોધો. અંતરાલમાં એક બિંદુ લેવાથી, આપણને મળે છે, અને અંતરાલમાં એક બિંદુ લેવાથી, આપણી પાસે છે. તેથી, અંતરાલો અને , અને અંતરાલમાં. એક્સ્ટ્રીમમ માટેના પ્રથમ પર્યાપ્ત માપદંડ મુજબ, બિંદુ પર કોઈ આત્યંતિક નથી (કારણ કે વ્યુત્પન્ન અંતરાલમાં તેની નિશાની જાળવી રાખે છે), અને બિંદુ પર કાર્ય ન્યૂનતમ હોય છે (કારણ કે વ્યુત્પન્ન ચિહ્નો જ્યારે પસાર થાય છે ત્યારે માઈનસથી પ્લસમાં ફેરફાર કરે છે. આ બિંદુ દ્વારા). ચાલો ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યો શોધીએ: , a. અંતરાલમાં કાર્ય ઘટે છે, કારણ કે આ અંતરાલમાં, અને અંતરાલમાં તે વધે છે, કારણ કે આ અંતરાલમાં.
આલેખના નિર્માણને સ્પષ્ટ કરવા માટે, આપણે સંકલન અક્ષો સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ. જ્યારે આપણે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ જેના મૂળ છે અને , એટલે કે, ફંક્શનના ગ્રાફના બે બિંદુઓ (0; 0) અને (4; 0) મળે છે. પ્રાપ્ત કરેલી બધી માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ (ઉદાહરણની શરૂઆત જુઓ).
ઉદાહરણ 4.ફંક્શનની સીમા શોધો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો.
ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ બિંદુ સિવાયની સમગ્ર સંખ્યા રેખા છે, એટલે કે. .
અભ્યાસને ટૂંકો કરવા માટે, તમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરી શકો છો કે આ કાર્ય સમ છે, ત્યારથી 
. તેથી, તેનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે ઓયઅને અભ્યાસ માત્ર અંતરાલ માટે કરી શકાય છે.
વ્યુત્પન્ન શોધવી 
અને કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ:
1) 
;
2) 
,
પરંતુ ફંક્શન આ બિંદુએ અવ્યવસ્થિતતા ભોગવે છે, તેથી તે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ ન હોઈ શકે.
આમ, આપેલ ફંક્શનમાં બે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ છે: અને . ફંક્શનની સમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે એક્સ્ટ્રીમમ માટે બીજા પૂરતા માપદંડનો ઉપયોગ કરીને માત્ર બિંદુને તપાસીશું. આ કરવા માટે, આપણે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ 
અને તેની નિશાની અહીં નક્કી કરો: આપણને મળે છે. ત્યારથી અને , તે કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે, અને 
.
ફંક્શનના ગ્રાફનું વધુ સંપૂર્ણ ચિત્ર મેળવવા માટે, ચાલો વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમાઓ પર તેની વર્તણૂક શોધીએ:
(અહીં પ્રતીક ઇચ્છા દર્શાવે છે xજમણી બાજુથી શૂન્ય સુધી, અને xહકારાત્મક રહે છે; એ જ રીતે આકાંક્ષાનો અર્થ થાય છે xડાબેથી શૂન્ય સુધી, અને xનકારાત્મક રહે છે). આમ, જો, તો પછી. આગળ, અમે શોધીએ છીએ
,
તે જો , તો પછી .
ફંક્શનના ગ્રાફમાં અક્ષો સાથે કોઈ આંતરછેદ બિંદુઓ નથી. ચિત્ર ઉદાહરણની શરૂઆતમાં છે.
અમે સાથે મળીને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ
ઉદાહરણ 8.ફંક્શનની સીમા શોધો.
ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ. અસમાનતા સંતોષવી આવશ્યક હોવાથી, અમે માંથી મેળવીએ છીએ.
ચાલો ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
ચાલો ફંક્શનના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ.
