સમાન અભિવ્યક્તિઓ શું છે? ઓળખ પરિવર્તન

§ 2. સમાન અભિવ્યક્તિઓ, ઓળખ. અભિવ્યક્તિનું સમાન રૂપાંતરણ. ઓળખના પુરાવા

ચાલો x ચલના આપેલ મૂલ્યો માટે 2(x - 1) 2x - 2 ની કિંમતો શોધીએ. ચાલો કોષ્ટકમાં પરિણામો લખીએ:

આપણે એવા નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે x ચલની દરેક આપેલ કિંમત માટે 2(x - 1) 2x - 2 ની કિંમતો એકબીજાની સમાન છે. બાદબાકીની તુલનામાં ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ અનુસાર, 2(x - 1) = 2x - 2. તેથી, ચલ xના કોઈપણ અન્ય મૂલ્ય માટે, સમીકરણ 2(x - 1) 2x - 2 નું મૂલ્ય પણ હશે એકબીજાની સમાન. આવા અભિવ્યક્તિઓ સમાન સમાન કહેવાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો 2x + 3x અને 5x સમાનાર્થી છે, કારણ કે x ચલના પ્રત્યેક મૂલ્ય માટે આ અભિવ્યક્તિઓ સમાન મૂલ્યો મેળવે છે (આ 2x + 3x = 5x થી, ઉમેરાને સંબંધિત ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મથી અનુસરે છે).

ચાલો હવે 3x + 2y અને 5xy સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ. જો x = 1 અને b = 1 હોય, તો આ સમીકરણોના અનુરૂપ મૂલ્યો એકબીજાને સમાન છે:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

જો કે, તમે x અને y ની કિંમતો નિર્દિષ્ટ કરી શકો છો જેના માટે આ અભિવ્યક્તિઓની કિંમતો એકબીજાની સમાન નહીં હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો x = 2; y = 0, પછી

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

પરિણામે, ચલોના મૂલ્યો છે જેના માટે 3x + 2y અને 5xy સમીકરણોના અનુરૂપ મૂલ્યો એકબીજા સાથે સમાન નથી. તેથી, અભિવ્યક્તિઓ 3x + 2y અને 5xy સમાન રીતે સમાન નથી.

ઉપરના આધારે, ઓળખો, ખાસ કરીને, સમાનતાઓ છે: 2(x - 1) = 2x - 2 અને 2x + 3x = 5x.

ઓળખ એ દરેક સમાનતા છે જે સંખ્યાઓ પરની કામગીરીના જાણીતા ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

ઓળખમાં નીચેની સમાનતાઓનો સમાવેશ થાય છે:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

જો આપણે અભિવ્યક્તિ -5x + 2x - 9 માં સમાન શબ્દોને જોડીએ, તો આપણને તે 5x + 2x - 9 = 7x - 9 મળે છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ કહે છે કે અભિવ્યક્તિ 5x + 2x - 9 સમાન અભિવ્યક્તિ 7x - દ્વારા બદલવામાં આવી હતી. 9.

સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓનું સમાન રૂપાંતરણ કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, ઓપનિંગ કૌંસ સાથે સમાન રૂપાંતરણ, સમાન પદો બાંધવા, અને તેના જેવા.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવતી વખતે સમાન રૂપાંતરણો કરવા પડે છે, એટલે કે, ચોક્કસ અભિવ્યક્તિને સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલીને, જે સંકેતને ટૂંકી બનાવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

1) -0.3 મીટર ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0.3 m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - એ + 2 b + 3 b - એ= 3a + 5b + 2.

સમાનતા એ એક ઓળખ છે તે સાબિત કરવા (બીજા શબ્દોમાં, ઓળખ સાબિત કરવા માટે, અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

તમે નીચેનામાંથી કોઈ એક રીતે ઓળખ સાબિત કરી શકો છો:

• તેની ડાબી બાજુએ સમાન રૂપાંતરણો કરો, ત્યાંથી તેને જમણી બાજુના સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે;
• તેની જમણી બાજુએ સમાન રૂપાંતરણો કરો, ત્યાંથી તેને ડાબી બાજુના સ્વરૂપમાં ઘટાડી દો;
• તેના બંને ભાગો પર સમાન રૂપાંતરણો કરો, ત્યાંથી બંને ભાગોને સમાન અભિવ્યક્તિઓમાં વધારો.

ઉદાહરણ 2. ઓળખ સાબિત કરો:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) આ સમાનતાની ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરો:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - એક્સ- 5 - 11 = x - 16.

ઓળખ પરિવર્તનના માધ્યમથી, સમાનતાની ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિને જમણી બાજુના સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવી અને ત્યાંથી સાબિત થયું કે આ સમાનતા એક ઓળખ છે.

2) આ સમાનતાની જમણી બાજુ રૂપાંતરિત કરો:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10 એ - 15 b - 14 એ + 35 b= 20b - 4a.

ઓળખ પરિવર્તનના માધ્યમથી, સમાનતાની જમણી બાજુ ડાબી બાજુના સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવી હતી અને ત્યાંથી સાબિત થયું હતું કે આ સમાનતા એક ઓળખ છે.

3) આ કિસ્સામાં, સમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુ બંનેને સરળ બનાવવા અને પરિણામોની તુલના કરવી અનુકૂળ છે:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

સમાન પરિવર્તનો દ્વારા, સમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ સમાન સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવી હતી: 26x - 44. તેથી, આ સમાનતા એક ઓળખ છે.

કયા અભિવ્યક્તિઓ સમાન કહેવાય છે? સમાન અભિવ્યક્તિઓનું ઉદાહરણ આપો. કયા પ્રકારની સમાનતાને ઓળખ કહેવામાં આવે છે? ઓળખનું ઉદાહરણ આપો. અભિવ્યક્તિનું ઓળખ પરિવર્તન શું કહેવાય? ઓળખ કેવી રીતે સાબિત કરવી?

1. (મૌખિક રીતે) અથવા એવા અભિવ્યક્તિઓ છે જે સમાનરૂપે સમાન છે:

1) 2a + a અને 3a;

2) 7x + 6 અને 6 + 7x;

3) x + x + x અને x 3 ;

4) 2(x - 2) અને 2x - 4;

5) m - n અને n - m;

6) 2a ∙ p અને 2p ∙ a?

1. શું અભિવ્યક્તિઓ સમાનરૂપે સમાન છે:

1) 7x - 2x અને 5x;

2) 5a - 4 અને 4 - 5a;

3) 4m + n અને n + 4m;

4) a + a અને a 2;

5) 3(a - 4) અને 3a - 12;

6) 5m ∙ n અને 5m + n?

1. (મૌખિક રીતે) લી ઓળખ સમાનતા છે:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. કૌંસને વિસ્તૃત કરો:

1. કૌંસને વિસ્તૃત કરો:

1. સમાન શબ્દોને જોડો:

1. અભિવ્યક્તિ 2a + 3a સમાન અનેક અભિવ્યક્તિઓના નામ આપો.
2. ગુણાકારના ક્રમચય અને સંયોજક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1.5);

3) 0.2 x ∙ (0.3 ગ્રામ);

4)- x ∙<-7у).

1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

1) -2р ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3y);

4) - 1 મીટર ∙ (-3n).

1. (મૌખિક) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. સમાન શબ્દોને જોડો:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;

4) 5 - 7 સે + 1.9 ગ્રામ + 6.9 સે - 1.7 ગ્રામ.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. કૌંસ ખોલો અને સમાન શબ્દોને જોડો:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0.6 x + 0.4(x - 20), જો x = 2.4;

2) 1.3(2a - 1) - 16.4, જો a = 10;

3) 1.2(m - 5) - 1.8(10 - m), જો m = -3.7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, જો x = -1, y = 1.

1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો અને તેનો અર્થ શોધો:

1) 0.7 x + 0.3(x - 4), જો x = -0.7;

2) 1.7(y - 11) - 16.3, જો b = 20;

3) 0.6(2a - 14) - 0.4(5a - 1), જો a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, જો m = 1.8; n = -0.9.

1. ઓળખ સાબિત કરો:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. ઓળખ સાબિત કરો:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. ત્રિકોણની એક બાજુની લંબાઈ એક સેમી છે, અને અન્ય બે બાજુઓની પ્રત્યેકની લંબાઈ તેના કરતા 2 સેમી મોટી છે. ત્રિકોણની પરિમિતિને અભિવ્યક્તિ તરીકે લખો અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.
2. લંબચોરસની પહોળાઈ x cm છે, અને લંબાઈ પહોળાઈ કરતાં 3 cm મોટી છે. અભિવ્યક્તિ તરીકે લંબચોરસની પરિમિતિ લખો અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2.7 m - 1.5 n) + (2n - 0.48 m).

1. કૌંસ ખોલો અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. ઓળખ સાબિત કરો:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. ઓળખ સાબિત કરો:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. સાબિત કરો કે અભિવ્યક્તિનો અર્થ

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) ચલના મૂલ્ય પર આધારિત નથી.

1. સાબિત કરો કે ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

સમાન સંખ્યા છે.

1. સાબિત કરો કે સળંગ ત્રણ સમાન સંખ્યાઓનો સરવાળો 6 વડે વિભાજ્ય છે.
2. સાબિત કરો કે જો n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, તો અભિવ્યક્તિની કિંમત -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) એ એક સમાન સંખ્યા છે.

પુનરાવર્તન કરવા માટે કસરતો

1. 1.6 કિગ્રા વજનવાળા એલોયમાં 15% તાંબુ હોય છે. આ મિશ્રધાતુમાં કેટલા કિલો તાંબુ સમાયેલું છે?
2. તેની સંખ્યા 20 કેટલી ટકાવારી છે:

1) ચોરસ;

1. પ્રવાસી 2 કલાક ચાલ્યો અને 3 કલાક સાયકલ ચલાવ્યો. કુલ મળીને પ્રવાસીએ 56 કિ.મી. પ્રવાસી જે ઝડપે સાયકલ ચલાવતો હતો તે શોધો, જો તે જે ઝડપે ચાલતો હતો તેના કરતાં તે 12 કિમી/કલાક વધુ હોય.

આળસુ વિદ્યાર્થીઓ માટે રસપ્રદ કાર્યો

1. શહેરની ફૂટબોલ ચેમ્પિયનશિપમાં 11 ટીમો ભાગ લે છે. દરેક ટીમ બીજી સામે એક મેચ રમે છે. સાબિત કરો કે સ્પર્ધાની કોઈપણ ક્ષણે એવી ટીમ છે કે જેણે તે ક્ષણે એક પણ મેચ રમી હશે અથવા હજુ સુધી કોઈ રમી નથી.

અમે ઓળખની વિભાવના સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, અમે સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ કરવા આગળ વધી શકીએ છીએ. આ લેખનો હેતુ તે શું છે તે સમજાવવાનો અને ઉદાહરણો સાથે બતાવવાનો છે કે કયા અભિવ્યક્તિઓ અન્યની સમાન હશે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

સમાનરૂપે સમાન અભિવ્યક્તિઓ: વ્યાખ્યા

સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓનો ખ્યાલ સામાન્ય રીતે શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમના ભાગ રૂપે ઓળખની વિભાવના સાથે મળીને અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. અહીં એક પાઠ્યપુસ્તકમાંથી લેવામાં આવેલી મૂળભૂત વ્યાખ્યા છે:

વ્યાખ્યા 1

સરખા સમાનએકબીજામાં આવા અભિવ્યક્તિઓ હશે, જેનાં મૂલ્યો તેમની રચનામાં સમાવિષ્ટ ચલોના કોઈપણ સંભવિત મૂલ્યો માટે સમાન હશે.

ઉપરાંત, તે સંખ્યાત્મક સમીકરણો કે જેના માટે સમાન મૂલ્યો અનુરૂપ હશે તે સમાનરૂપે સમાન ગણવામાં આવે છે.

આ એકદમ વ્યાપક વ્યાખ્યા છે જે તમામ પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ માટે સાચી હશે જેનો અર્થ જ્યારે ચલોના મૂલ્યો બદલાય ત્યારે બદલાતો નથી. જો કે, પછીથી આ વ્યાખ્યાને સ્પષ્ટ કરવી જરૂરી બની જાય છે, કારણ કે પૂર્ણાંકો ઉપરાંત, અન્ય પ્રકારનાં અભિવ્યક્તિઓ છે જે ચોક્કસ ચલો સાથે અર્થપૂર્ણ નથી. આ અમુક ચલ મૂલ્યોની સ્વીકાર્યતા અને અસ્વીકાર્યતાના ખ્યાલને જન્મ આપે છે, તેમજ અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી નક્કી કરવાની જરૂરિયાતને જન્મ આપે છે. ચાલો એક શુદ્ધ વ્યાખ્યા ઘડીએ.

વ્યાખ્યા 2

સમાનરૂપે સમાન અભિવ્યક્તિઓ- આ તે અભિવ્યક્તિઓ છે જેમના મૂલ્યો તેમની રચનામાં સમાવિષ્ટ ચલોના કોઈપણ અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો માટે એકબીજા સાથે સમાન છે. સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ એકબીજાની સમાન હશે, જો તેઓ સમાન મૂલ્યો ધરાવતા હોય.

વાક્ય "ચલોના કોઈપણ માન્ય મૂલ્યો માટે" ચલોના તે બધા મૂલ્યો સૂચવે છે જેના માટે બંને અભિવ્યક્તિઓ અર્થપૂર્ણ હશે. અમે આ મુદ્દાને પછીથી સમજાવીશું જ્યારે આપણે સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો આપીશું.

તમે નીચેની વ્યાખ્યા પણ આપી શકો છો:

વ્યાખ્યા 3

સમાન રીતે સમાન સમીકરણો ડાબી અને જમણી બાજુઓ પર સમાન ઓળખમાં સ્થિત અભિવ્યક્તિઓ છે.

અભિવ્યક્તિના ઉદાહરણો કે જે એકબીજા સાથે સમાન છે

ઉપર આપેલ વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો આવા અભિવ્યક્તિઓના થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

ચાલો સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ સાથે પ્રારંભ કરીએ.

ઉદાહરણ 1

આમ, 2 + 4 અને 4 + 2 એકબીજાની સમાન સમાન હશે, કારણ કે તેમના પરિણામો સમાન હશે (6 અને 6).

ઉદાહરણ 2

તે જ રીતે, 3 અને 30 સમીકરણો સમાન રીતે સમાન છે: 10, (2 2) 3 અને 2 6 (છેલ્લા અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે તમારે ડિગ્રીના ગુણધર્મો જાણવાની જરૂર છે).

ઉદાહરણ 3

પરંતુ અભિવ્યક્તિ 4 - 2 અને 9 - 1 સમાન રહેશે નહીં, કારણ કે તેમની કિંમતો અલગ છે.

ચાલો શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓના ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ. a + b અને b + a સમાન રીતે સમાન હશે, અને આ ચલોના મૂલ્યો પર આધારિત નથી (આ કિસ્સામાં અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા ઉમેરાની વિનિમયાત્મક મિલકત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે).

ઉદાહરણ 4

ઉદાહરણ તરીકે, જો a 4 ની બરાબર છે અને b બરાબર 5 છે, તો પણ પરિણામો સમાન હશે.

અક્ષરો સાથે સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓનું બીજું ઉદાહરણ 0 · x · y · z અને 0 છે. આ કિસ્સામાં ચલોની કિંમતો ગમે તે હોય, જ્યારે 0 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે તેઓ 0 આપશે. અસમાન સમીકરણો 6 · x અને 8 · x છે, કારણ કે તે કોઈપણ x માટે સમાન હશે નહીં.

ઘટનામાં જ્યારે ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોના ક્ષેત્રો એકરૂપ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, a + 6 અને 6 + a અથવા a · b · 0 અને 0, અથવા x 4 અને x, અને ની કિંમતો અભિવ્યક્તિઓ કોઈપણ ચલો માટે સમાન હોય છે, પછી આવા અભિવ્યક્તિઓ સમાન રીતે સમાન ગણવામાં આવે છે. તેથી, a ની કોઈપણ કિંમત માટે a + 8 = 8 + a, અને a · b · 0 = 0 પણ, કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાને 0 વડે ગુણાકાર કરવાથી 0 થાય છે. x 4 અને x એ અંતરાલ [ 0 , + ∞) માંથી કોઈપણ x માટે સમાનરૂપે સમાન હશે.

પરંતુ એક અભિવ્યક્તિમાં માન્ય મૂલ્યોની શ્રેણી બીજાની શ્રેણીથી અલગ હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 5

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બે સમીકરણો લઈએ: x − 1 અને x - 1 · x x. તેમાંથી પ્રથમ માટે, x ના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ હશે, અને બીજા માટે - શૂન્યના અપવાદ સાથે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ, કારણ કે પછી આપણને 0 માં 0 મળશે. છેદ, અને આવા વિભાજન વ્યાખ્યાયિત નથી. આ બે અભિવ્યક્તિઓમાં બે અલગ રેન્જના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલી મૂલ્યોની સામાન્ય શ્રેણી છે. અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે x - 1 · x x અને x − 1 બંને સમીકરણો 0 ના અપવાદ સિવાય, ચલોના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ હશે.

અપૂર્ણાંકનો મૂળભૂત ગુણધર્મ આપણને એ નિષ્કર્ષ પર આવવાની પણ પરવાનગી આપે છે કે x - 1 · x x અને x − 1 એ 0 ન હોય તેવા કોઈપણ x માટે સમાન હશે. આનો અર્થ એ છે કે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની સામાન્ય શ્રેણી પર આ અભિવ્યક્તિઓ એકબીજાની સમાન હશે, પરંતુ કોઈપણ વાસ્તવિક x માટે આપણે સમાન સમાનતા વિશે વાત કરી શકતા નથી.

જો આપણે એક અભિવ્યક્તિને બીજી અભિવ્યક્તિ સાથે બદલીએ, જે તેની સમાન હોય, તો આ પ્રક્રિયાને ઓળખ પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. આ ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, અને અમે તેના વિશે એક અલગ સામગ્રીમાં વિગતવાર વાત કરીશું.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

ઓળખનો ખ્યાલ મેળવ્યા પછી, તેની સાથે પરિચિત થવા તરફ આગળ વધવું તાર્કિક છે. આ લેખમાં આપણે સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓ શું છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપીશું, અને કઈ અભિવ્યક્તિઓ સમાનરૂપે સમાન છે અને કઈ નથી તે સમજવા માટે ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓ શું છે?

સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યા ઓળખની વ્યાખ્યા સાથે સમાંતર આપવામાં આવે છે. આ 7મા ધોરણના બીજગણિત વર્ગમાં થાય છે. લેખક યુ. એન. મકરીચેવ દ્વારા 7મા ધોરણ માટે બીજગણિત પરના પાઠ્યપુસ્તકમાં, નીચેની રચના આપવામાં આવી છે:

વ્યાખ્યા.

- આ એવા અભિવ્યક્તિઓ છે કે જેની કિંમતો તેમાં સમાવિષ્ટ ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાન છે. સમાન મૂલ્યો ધરાવતા સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓને સમાન સમાન કહેવામાં આવે છે.

આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ ગ્રેડ 8 સુધી થાય છે; તે પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ માટે માન્ય છે, કારણ કે તેઓ તેમાં સમાવિષ્ટ ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે. અને ગ્રેડ 8 માં, સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ કરવામાં આવી છે. ચાલો સમજાવીએ કે આ શું સાથે જોડાયેલ છે.

8મા ધોરણમાં, અન્ય પ્રકારનાં અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ શરૂ થાય છે, જે, સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિઓથી વિપરીત, ચલોના કેટલાક મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ ન હોઈ શકે. આ અમને ચલોના અનુમતિપાત્ર અને અસ્વીકાર્ય મૂલ્યોની વ્યાખ્યાઓ, તેમજ ચલના ચલ મૂલ્યના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી, અને પરિણામે, સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યાને સ્પષ્ટ કરવા દબાણ કરે છે.

વ્યાખ્યા.

બે સમીકરણો કે જેનાં મૂલ્યો તેમાં સમાવિષ્ટ ચલોના તમામ અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો માટે સમાન હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે. સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓ. સમાન મૂલ્યો ધરાવતી બે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓને સમાનરૂપે સમાન કહેવામાં આવે છે.

સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓની આ વ્યાખ્યામાં, "તેમાં સમાવિષ્ટ ચલોના તમામ અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો માટે" શબ્દસમૂહના અર્થને સ્પષ્ટ કરવા યોગ્ય છે. તે ચલોના આવા તમામ મૂલ્યોને સૂચિત કરે છે જેના માટે બંને સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓ એક જ સમયે અર્થપૂર્ણ બને છે. અમે ઉદાહરણો જોઈને આગળના ફકરામાં આ વિચાર સમજાવીશું.

એ.જી. મોર્ડકોવિચની પાઠ્યપુસ્તકમાં સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યા થોડી અલગ રીતે આપવામાં આવી છે:

વ્યાખ્યા.

સમાનરૂપે સમાન અભિવ્યક્તિઓ- આ ઓળખની ડાબી અને જમણી બાજુના અભિવ્યક્તિઓ છે.

આનો અર્થ અને અગાઉની વ્યાખ્યાઓ એકરૂપ છે.

સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો

અગાઉના ફકરામાં રજૂ કરાયેલી વ્યાખ્યાઓ અમને આપવા દે છે સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો.

ચાલો સમાન સમાન સંખ્યાત્મક સમીકરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ. સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ 1+2 અને 2+1 સમાનરૂપે સમાન છે, કારણ કે તે સમાન મૂલ્યો 3 અને 3 ને અનુરૂપ છે. અભિવ્યક્તિ 5 અને 30:6 પણ સમાનરૂપે સમાન છે, જેમ કે અભિવ્યક્તિઓ (2 2) 3 અને 2 6 (બાદના અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો ની સદ્ગુણ દ્વારા સમાન છે). પરંતુ સંખ્યાત્મક સમીકરણો 3+2 અને 3−2 સમાન રીતે સમાન નથી, કારણ કે તે અનુક્રમે 5 અને 1 મૂલ્યોને અનુરૂપ છે અને તે સમાન નથી.

હવે ચલો સાથે સમાન સમાન સમીકરણોના ઉદાહરણો આપીએ. આ a+b અને b+a સમીકરણો છે. ખરેખર, a અને b ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે, લેખિત સમીકરણો સમાન મૂલ્યો લે છે (સંખ્યાઓમાંથી નીચે મુજબ). ઉદાહરણ તરીકે, a=1 અને b=2 સાથે આપણી પાસે a+b=1+2=3 અને b+a=2+1=3 છે. a અને b ચલોના અન્ય કોઈપણ મૂલ્યો માટે, આપણે આ સમીકરણોના સમાન મૂલ્યો પણ મેળવીશું. x, y અને z ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે 0·x·y·z અને 0 અભિવ્યક્તિઓ પણ સમાન રીતે સમાન છે. પરંતુ સમીકરણો 2 x અને 3 x સમાનરૂપે સમાન નથી, કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે x=1 તેમની કિંમતો સમાન નથી. ખરેખર, x=1 માટે, અભિવ્યક્તિ 2·x બરાબર 2·1=2, અને અભિવ્યક્તિ 3·x બરાબર 3·1=3 છે.

જ્યારે અભિવ્યક્તિઓમાં ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીઓ એકરૂપ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, a+1 અને 1+a, અથવા a·b·0 અને 0, અથવા અને, અને આ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યોમાં આ ક્ષેત્રોના ચલોના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન છે, પછી અહીં બધું સ્પષ્ટ છે - આ અભિવ્યક્તિઓ તેમાં સમાવિષ્ટ ચલોના તમામ અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો માટે સમાન છે. તેથી a+1≡1+a કોઈપણ a માટે, a·b·0 અને 0 એ ચલ a અને b, અને સમીકરણોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાનરૂપે સમાન છે અને તમામ x માટે સમાનરૂપે સમાન છે; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 17મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 240 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019315-3.

બીજગણિતનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમને બહુપદીની વિભાવનાઓ મળી (ઉદાહરણ તરીકે ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, વગેરે) અને બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક (ઉદાહરણ તરીકે $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ વગેરે , અને અંકગણિત ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે: સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ઘાત આ ખ્યાલો વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે ચલ દ્વારા બહુપદી વિભાજન કરવામાં આવતું નથી, પરંતુ બીજગણિત અપૂર્ણાંકમાં ચલ દ્વારા વિભાજન કરી શકાય છે.

બહુપદી અને બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક બંનેને ગણિતમાં તર્કસંગત બીજગણિતીય સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. પરંતુ બહુપદી એ સંપૂર્ણ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ છે, અને બીજગણિત અપૂર્ણાંક અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ છે.

તમે ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત અભિવ્યક્તિમાંથી સંપૂર્ણ બીજગણિત અભિવ્યક્તિ મેળવી શકો છો, જે આ કિસ્સામાં અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત હશે - અપૂર્ણાંકનો ઘટાડો. ચાલો આને વ્યવહારમાં તપાસીએ:

ઉદાહરણ 1

કન્વર્ટ કરો:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

ઉકેલ:આ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણને અપૂર્ણાંક ઘટાડાની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, એટલે કે. $0$ સિવાયની સમાન સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદને વિભાજિત કરવું.

આ અપૂર્ણાંકને તરત જ ઘટાડી શકાતો નથી;

ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશમાં અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરીએ, આ માટે આપણે તફાવતના વર્ગ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

અપૂર્ણાંક જેવો દેખાય છે

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\જમણે)(x-2))(x-2)\]

હવે આપણે જોઈએ છીએ કે અંશ અને છેદ એક સામાન્ય પરિબળ ધરાવે છે - આ છે $x-2$, જેના દ્વારા આપણે અપૂર્ણાંકને ઘટાડીશું.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\જમણે)(x-2))(x-2)=x-2\]

ઘટાડા પછી, અમે જોયું કે મૂળ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ બહુપદી $x-2$ બની ગઈ છે, એટલે કે. સંપૂર્ણ તર્કસંગત.

હવે ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ અને $x-2\ $ સમાન ગણી શકાય, ચલના તમામ મૂલ્યો માટે નહીં, કારણ કે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે અને બહુપદી $x-2$ દ્વારા ઘટાડવામાં સક્ષમ થવા માટે, અપૂર્ણાંકનો છેદ $0$ (તેમજ પરિબળ કે જેના દ્વારા આપણે ઘટાડી રહ્યા છીએ. આમાં ઉદાહરણ તરીકે, છેદ અને અવયવ સમાન છે, પરંતુ આ હંમેશા થતું નથી).

ચલના મૂલ્યો કે જેના પર બીજગણિત અપૂર્ણાંક અસ્તિત્વમાં હશે તેને ચલના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે.

ચાલો અપૂર્ણાંકના છેદ પર એક શરત મૂકીએ: $x-2≠0$, પછી $x≠2$.

આનો અર્થ એ છે કે $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ અને $x-2$ $2$ સિવાયના ચલના તમામ મૂલ્યો માટે સમાન છે.

વ્યાખ્યા 1

સરખા સમાનસમીકરણો તે છે જે ચલના તમામ માન્ય મૂલ્યો માટે સમાન છે.

સમાન રૂપાંતરણ એ મૂળ અભિવ્યક્તિને સમાન સમાન સાથે બદલવું છે આવા રૂપાંતરણોમાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે: સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, કૌંસમાંથી સામાન્ય અવયવ મૂકવો, બીજગણિત અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં લાવવો, બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવો, સમાન લાવવો. શરતો, વગેરે. તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે સંખ્યાબંધ પરિવર્તનો, જેમ કે ઘટાડો, સમાન શરતોનો ઘટાડો, ચલના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોને બદલી શકે છે.

ઓળખ સાબિત કરવા માટે વપરાતી તકનીકો

ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ઓળખની ડાબી બાજુને જમણી તરફ લાવો અથવા તેનાથી વિપરીત

સમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુઓને સમાન અભિવ્યક્તિમાં ઘટાડો

અભિવ્યક્તિના એક ભાગમાં અભિવ્યક્તિને બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરો અને સાબિત કરો કે પરિણામી તફાવત $0$ બરાબર છે

આપેલ ઓળખ સાબિત કરવા માટે ઉપરોક્તમાંથી કઈ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો તે મૂળ ઓળખ પર આધાર રાખે છે.

ઉદાહરણ 2

ઓળખ સાબિત કરો $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

ઉકેલ:આ ઓળખને સાબિત કરવા માટે, અમે ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓમાંથી પ્રથમનો ઉપયોગ કરીશું, એટલે કે, અમે ઓળખની ડાબી બાજુ જ્યાં સુધી તે જમણી બાજુની બરાબર નથી ત્યાં સુધી રૂપાંતરિત કરીશું.

ચાલો ઓળખની ડાબી બાજુ ધ્યાનમાં લઈએ: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - તે બે બહુપદીનો તફાવત દર્શાવે છે. આ કિસ્સામાં, પ્રથમ બહુપદી એ ત્રણ પદોના સરવાળાનો વર્ગ છે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

આ કરવા માટે, આપણે એક સંખ્યાને બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે કે આ કરવા માટે આપણે કૌંસની પાછળના સામાન્ય અવયવને કૌંસમાં બહુપદીના દરેક પદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

હવે મૂળ બહુપદી પર પાછા જઈએ, તે ફોર્મ લેશે:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે કૌંસ પહેલા "-" ચિહ્ન છે, જેનો અર્થ છે કે જ્યારે કૌંસ ખોલવામાં આવે છે, ત્યારે કૌંસમાં હતા તે બધા ચિહ્નો વિરુદ્ધમાં બદલાય છે.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

ચાલો આપણે સમાન શરતો રજૂ કરીએ, પછી આપણે મેળવીએ છીએ કે મોનોમિયલ $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ અને $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ એકબીજાને રદ કરે છે, એટલે કે. તેમનો સરવાળો $0$ છે.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

આનો અર્થ એ છે કે સમાન રૂપાંતરણોના માધ્યમથી અમે મૂળ ઓળખની ડાબી બાજુએ એક સમાન અભિવ્યક્તિ મેળવી છે.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

નોંધ કરો કે પરિણામી અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે મૂળ ઓળખ સાચી છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે મૂળ ઓળખમાં ચલના તમામ મૂલ્યોને મંજૂરી છે, જેનો અર્થ છે કે અમે ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ઓળખ સાબિત કરી છે, અને તે ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે સાચું છે.