નોંધ. આ પાઠ "કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્ય" વિષય પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી અને ભૂમિતિ સમસ્યાઓના ઉકેલો રજૂ કરે છે. જો તમારે ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જે અહીં નથી, તો ફોરમમાં તેના વિશે લખો. કોર્સ લગભગ ચોક્કસપણે પૂરક હશે.

કાટકોણ ત્રિકોણના મધ્યકના ગુણધર્મ

મધ્યકનું નિર્ધારણ

ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે અને આ બિંદુ દ્વારા 2:1 ના ગુણોત્તરમાં બે ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે, કોણના શિરોબિંદુથી ગણાય છે. તેમના આંતરછેદના બિંદુને ત્રિકોણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે (પ્રમાણમાં ભાગ્યે જ સમસ્યાઓમાં "સેન્ટ્રોઇડ" શબ્દનો ઉપયોગ આ બિંદુને નિયુક્ત કરવા માટે થાય છે),
મધ્યક ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
ત્રિકોણને ત્રણ મધ્યક દ્વારા છ સમાન ત્રિકોણમાં વહેંચવામાં આવે છે.
ત્રિકોણની મોટી બાજુ નાના મધ્યને અનુરૂપ છે.

ઉકેલ માટે પ્રસ્તાવિત ભૂમિતિ સમસ્યાઓ મુખ્યત્વે નીચેનાનો ઉપયોગ કરે છે કાટકોણ ત્રિકોણના મધ્યકના ગુણધર્મો.

કાટકોણ ત્રિકોણના પગ પર છોડવામાં આવેલા મધ્યકના ચોરસનો સરવાળો કર્ણાકાર (સૂત્ર 1) પર છોડવામાં આવેલા મધ્યકના પાંચ ચોરસ જેટલો છે.
મધ્યકોણ કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણમાં ડ્રોપ થાય છે અડધા કર્ણોની બરાબર(સૂત્ર 2)
કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણનો મધ્યક છે આજુબાજુ ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલીઆપેલ કાટકોણ ત્રિકોણ (સૂત્ર 2)
કર્ણ માટે ઘટી ગયેલ મધ્યક છે પગના ચોરસના સરવાળાના અડધા વર્ગમૂળની બરાબર(સૂત્ર 3)
કર્ણોની નીચે આવેલ મધ્યક પગની લંબાઇના ભાગાકાર સમાન છે જે પગની સામેના તીવ્ર કોણના બે સાઈન દ્વારા વિભાજિત થાય છે (સૂત્ર 4)
કર્ણને નીચે આપેલ મધ્યક પગની લંબાઈના ભાગાકાર જેટલો છે જે પગને અડીને આવેલા તીવ્ર કોણના બે કોસાઈન દ્વારા વિભાજિત થાય છે (સૂત્ર 4)
કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના ચોરસનો સરવાળો તેના કર્ણાકાર (સૂત્ર 5) પર છોડવામાં આવેલા મધ્યકના આઠ ચોરસ જેટલો છે.

સૂત્રોમાં નોટેશન:

a, b- જમણા ત્રિકોણના પગ

c- કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણ

જો આપણે ત્રિકોણને ABC તરીકે દર્શાવીએ, તો

BC = એ

(એટલે કે, બાજુઓ a,b,c અનુરૂપ ખૂણાઓની વિરુદ્ધ છે)

m a— પગ તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક a

m b- પગ તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક b

m c - કાટકોણ ત્રિકોણનો મધ્યક, સાથે કર્ણ તરફ દોરવામાં આવે છે

α (આલ્ફા)- કોણ CAB વિરુદ્ધ બાજુ a

કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્ય વિશેની સમસ્યા

પગ તરફ દોરેલા કાટકોણ ત્રિકોણની મધ્યક અનુક્રમે 3 સેમી અને 4 સેમી જેટલી હોય છે. ત્રિકોણનું કર્ણો શોધો

ઉકેલ

સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનું શરૂ કરતા પહેલા, ચાલો કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણાકારની લંબાઈના ગુણોત્તર અને મધ્યના ગુણોત્તર પર ધ્યાન આપીએ, જે તેના પર નીચે આવે છે. આ કરવા માટે, ચાલો ફોર્મ્યુલા 2, 4, 5 તરફ વળીએ કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્યના ગુણધર્મો. આ સૂત્રો સ્પષ્ટપણે કર્ણ અને મધ્યનો ગુણોત્તર સૂચવે છે, જે તેના પર 1 થી 2 સુધી ઘટે છે. તેથી, ભવિષ્યની ગણતરીઓની સુવિધા માટે (જે ઉકેલની શુદ્ધતાને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં, પરંતુ તેને વધુ બનાવશે. અનુકૂળ), અમે ચલ x અને y દ્વારા પગ AC અને BC ની લંબાઈને 2x અને 2y (x અને y નહીં) તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

જમણો ત્રિકોણ ADC ને ધ્યાનમાં લો. સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર કોણ C યોગ્ય છે, ત્રિકોણ ABC સાથે લેગ AC સામાન્ય છે, અને મધ્યના ગુણધર્મો અનુસાર લેગ CD અડધા BC બરાબર છે. પછી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

AC 2 + CD 2 = AD 2

AC = 2x, CD = y (કારણ કે મધ્ય પગને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે), તો પછી
4x 2 + y 2 = 9

સાથોસાથ, કાટકોણ ત્રિકોણ EBC ને ધ્યાનમાં લો. સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર તેનો કાટકોણ C પણ છે, લેગ BC મૂળ ત્રિકોણ ABC ના લેગ BC સાથે સામાન્ય છે, અને લેગ EC, મધ્યના ગુણધર્મ દ્વારા, મૂળ ત્રિકોણના લેગ AC ના અડધા બરાબર છે. ABC.
પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:
EC 2 + BC 2 = BE 2

ત્યારથી EC = x (મધ્યક પગને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે), BC = 2y, પછી
x 2 + 4y 2 = 16

ABC, EBC અને ADC ત્રિકોણ સામાન્ય બાજુઓ દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી, બંને પરિણામી સમીકરણો પણ એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે.
ચાલો પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

વ્યક્તિગત સ્લાઇડ્સ દ્વારા પ્રસ્તુતિનું વર્ણન:

1 સ્લાઇડ

સ્લાઇડ વર્ણન:

કાટકોણ ત્રિકોણનો મધ્યક. પ્રમેય: કાટકોણથી દોરવામાં આવેલ કાટકોણ ત્રિકોણનો મધ્યક અર્ધ કર્ણોની બરાબર છે: ABC એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, O એ AB નું મધ્યબિંદુ છે, CO એ મધ્યબિંદુ છે, CO = ½AB = R પ્રમેય (ઉલટું): જો ત્રિકોણનો મધ્યક તે જે બાજુ દોરવામાં આવ્યો છે તેની અડધી બાજુ જેટલો છે, પછી ત્રિકોણ કાટખૂણે છે. СО – મધ્ય, СО = ½ АВ => АВС – લંબચોરસ.

2 સ્લાઇડ

સ્લાઇડ વર્ણન:

સમસ્યા નંબર 2 શિરોબિંદુ B સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC ના દ્વિભાજક AD ના પાયા દ્વારા, બિંદુ E પર રેખા AC ને છેદતા આ દ્વિભાજક તરફ એક લંબ દોરવામાં આવે છે. AE ખંડ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે CD = 4. આપેલ છે: ABC એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. M – AE નો મધ્યબિંદુ, CD = 4, DM = મધ્ય, શોધો: AE ઉકેલ: 1) DM – કાટકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ કાટકોણ ત્રિકોણ ADE નો મધ્યક, => AM = DM = ME, 2) કોણ BAC = કોણ BCA = α. બાહ્ય કોણ પ્રમેય => ત્રિકોણ DCM અનુસાર સમદ્વિબાજુ છે. તેથી, AE = 2DM = 2DC = 8 જવાબ: 8.

3 સ્લાઇડ

સ્લાઇડ વર્ણન:

સમસ્યા નંબર 1.2 કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક m બરાબર છે અને 1:2 ગુણોત્તરમાં કાટખૂણાને વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણની બાજુઓ શોધો. આપેલ: ABC એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, કોણ C એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, CO = m શોધો: AB, BC, CB ઉકેલ: 1) 2) CO એ મધ્યક છે, પ્રમેય AB = 2m 3) a ની મિલકત દ્વારા કાટકોણ ત્રિકોણ: ABC માંથી: AC = m 4) પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ: જવાબ: 2m, m,

4 સ્લાઇડ

સ્લાઇડ વર્ણન:

સમસ્યા નંબર 1.3 કર્ણો તરફ દોરેલા કાટકોણ ત્રિકોણનો મધ્યક તેને 8 અને 9 પરિમિતિવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણની બાજુઓ શોધો. આપેલ ABC એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, CO એ મધ્યક છે, RASO = 8; RSOV = 9. શોધો: AB, AC, SV. ઉકેલ: 1) ચાલો x – CO દ્વારા સૂચિત કરીએ; પછી પ્રમેય CO = AO = OB = x y – AC અનુસાર; સીબી - ઝેડ. 2) RASO = AC + AO + CO; PCOV = CB + OB + CO; AC + AO + CO = 8 AC + 2x = 8 AC = 8 – 2x AC > CB CB + OB + CO = 9; CB + 2x = 9; CB = 9 – 2x; સીબી = 1 + એસી; 3) => x=2.5 જવાબ: 3, 4, 5.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર એપ્લિકેશન સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.