વિભેદક સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમની મૂળભૂત સિસ્ટમ. મૂળભૂત નિર્ણય પ્રણાલી (ચોક્કસ ઉદાહરણ)

nમા ક્રમનો LDE - ur-e, અજાણ્યા ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં રેખીય અને તેનું સ્વરૂપ છે

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) આપેલ ફોર્મમાં ur-e

*જો y 1 એ LOU નો ઉકેલ છે, તો C y 1, જ્યાં C એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે તે પણ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

*LOE ના y 1 + y 2 ઉકેલોનો સરવાળો એ સમાન સમીકરણનો ઉકેલ છે.

1 0 મનસ્વી ઉકેલ સ્થિરાંકો સાથે રેખીય સંયોજન y 1 , y 2 ,…, y m LOU એ સમાન સમીકરણનો ઉકેલ છે.

*જો LOU (1) વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે p i (x)∈R ધરાવે છે વ્યાપક ઉકેલ y(x)=u(x)+iv(x), તો આ ઉકેલનો વાસ્તવિક ભાગ Rey=u(x) અને તેનો કાલ્પનિક ભાગ Imy=v(x) એ સમાન સમીકરણના અલગથી ઉકેલો છે.

કાર્યો y 1 (x), y 2 (x), …, y n (x) કહેવાય છે રેખીય રીતે નિર્ભરઅમુક અંતરાલ પર (a,b), જો ત્યાં હોય સ્થિરાંકો a1,a2,…,an≠0 જેમ કે અંતરાલના તમામ x માટે (a,b) ઓળખ a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + એ સાચું છે a n y n (x)=0. જો કાર્યો રેખીય રીતે આધારિત હોય, તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અન્યનું રેખીય સંયોજન છે.

જો ઓળખ માત્ર a1=a2=…=an=0 માટે માન્ય હોય, તો ફંક્શન y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) કહેવાય છે. રેખીય રીતે સ્વતંત્રઅંતરાલ પર (a,b).

*જો ફંક્શન્સ y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) રેખીય રીતે નિર્ભરઅંતરાલ પર (a,b), પછી નિર્ણાયક (વ્રોન્સકી આઇલેન્ડ)

W(x)=W= આ અંતરાલ પર =0.

શરત રેખીય સ્વતંત્રતાખાનગી ઉકેલો:

* જો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વિધેયો y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) એ LOE (1) ના સોલ્યુશન છે p i (x) અંતરાલ (a,b) પર સતત ગુણાંક સાથે, તો તેમના માટે સંકલિત Wronski નિર્ણાયક અંતરાલ (a,b) માં કોઈપણ સમયે = 0 કરતું નથી.

(a,b) (i=1,2,...,n) પર સતત p i (x) ગુણાંક સાથે LOU (1) નો સામાન્ય ઉકેલ એ આંશિકના સમાન અંતરાલ પર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર y oo = n રેખીય સંયોજન છે. મનસ્વી સાથે ઉકેલો સતત ગુણાંક.

1 0 મહત્તમ સંખ્યારેખીય સ્વતંત્ર નિર્ણયો LOU તેના ઓર્ડરની બરાબર છે.

FSR- nમા ક્રમના કોઈપણ n સ્વતંત્ર આંશિક ઉકેલી LOU.

*y પર =y oo +y chn

રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું માળખું. nમા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ.

LPDE ને વિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. પ્રથમ છે સામાન્ય ઉકેલ સજાતીય સમીકરણ , સમાન કર્યા ડાબી બાજુ, મૂળ તરીકે અસંગત સમીકરણ. પછી સમીકરણનો ઉકેલ ફોર્મમાં જોવા મળે છે, એટલે કે. એવું માનવામાં આવે છે કે સ્થિરાંકો C એ સ્વતંત્ર ચલ x ના f-mi છે. આ કિસ્સામાં, ફંક્શન C 1 (x) અને C 2 (x) સિસ્ટમના ઉકેલ તરીકે મેળવી શકાય છે.

U he = u oo + u chn

સમીકરણના ઉકેલોની મહત્તમ સંખ્યા તેના ક્રમની બરાબર છે.

સામાન્ય ઉકેલ

44*. રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણસતત ગુણાંક સાથે. લાક્ષણિકતા બહુપદી અને લાક્ષણિક સમીકરણ. બાંધકામ મૂળભૂત સિસ્ટમકિસ્સામાં ઉકેલો સરળ મૂળ લાક્ષણિક બહુપદી(વાસ્તવિક અને જટિલ).

y"+p(x)y=f(x) ફોર્મનું સમીકરણ, જ્યાં p(x), f(x) એ અંતરાલ a પર સતત કાર્યો છે

જો f(x)= 0 હોય, તો સમીકરણ સજાતીય કહેવાય છે.

જો LO માં ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

બધા સહગુણાંકો pi અચળ હોય છે, પછી તેના આંશિક ઉકેલો y=e kx સ્વરૂપમાં મળી શકે છે, જ્યાં k એ સ્થિરાંક છે. યુર માં અવેજી

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

e kx દ્વારા ઘટાડવાથી આપણને કહેવાતા મળે છે લાક્ષણિકતા સ્તર

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

nમી ડિગ્રીનું આ સમીકરણ k ના તે મૂલ્યો નક્કી કરે છે કે જેના પર y= e kx એ સતત ગુણાંક સાથેના મૂળ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે.

1.k 1, k 2,…,k n – વાસ્તવિક અને અલગ

FSR: e k 1 x , e k 2 x , …, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m - ur-i ના બહુવિધ મૂળ, અને અન્ય તમામ n- m મૂળ અલગ છે

FSR: e k ~ x , x e k ~ x , …, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x

ઓનલાઈન રેખીય વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા પણ જુઓ
સામાન્ય કિસ્સામાં ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધવી એ એક મુશ્કેલ કાર્ય છે. જો કે, ત્યાં સમીકરણોનો એક વર્ગ છે જેના માટે આ સમસ્યા એકદમ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. અમે આ વર્ગનો અભ્યાસ શરૂ કરી રહ્યા છીએ.
(*)

ચાલો રેખીય વિભેદક સમીકરણ (*) ને સતત ગુણાંક સાથેનું સમીકરણ કહીએ જો આ સમીકરણમાં ગુણાંક સ્થિર હોય, એટલે કે i(x)=const. પછી અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ L(y)=0 નું સ્વરૂપ હશે
. (6)
આપણે y = erx સ્વરૂપમાં સમીકરણ (6) નો ઉકેલ શોધીશું. પછી y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx. (6) માં બદલીને, આપણને મળે છે

ત્યારથી e rx ક્યાંય અદૃશ્ય થતો નથી, તો પછી

. (7)
સમીકરણ (7) ને સતત ગુણાંક સાથેના રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનું લાક્ષણિક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
આમ, અમે નીચેની પ્રમેય સાબિત કરી છે. પ્રમેય.ફંક્શન y = e rx એ સતત ગુણાંક (6) સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે જો અને માત્ર જો r લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ હોય (7).
નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે.
1. લાક્ષણિક બહુપદીના તમામ મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે. ચાલો તેમને r 1,r 2,…,r n દર્શાવીએ. પછી આપણને વિવિધ ઉકેલો મળે છે
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
સમીકરણ (6). ચાલો સાબિત કરીએ કે ઉકેલોની પરિણામી સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ચાલો તેના Wronsky નિર્ણાયકને ધ્યાનમાં લઈએ

W(e r 1 x, e r 2 x, …, e rnx) ની જમણી બાજુએ e (r 1+ r 2+..+ rn) x અવયવ ક્યાંય અદૃશ્ય થતો નથી. તેથી, તે બતાવવાનું બાકી છે કે બીજું પરિબળ (નિર્ધારક) શૂન્યની બરાબર નથી. ચાલો માની લઈએ કે

પછી આ નિર્ણાયકની પંક્તિઓ રેખીય રીતે નિર્ભર છે, એટલે કે ત્યાં સંખ્યાઓ છે α 1, α 2, ..., α n જેમ કે
આમ, અમને જાણવા મળ્યું કે r i , i = 1,2,..,n એ (n-1) ડિગ્રીના બહુપદીના વિવિધ મૂળ છે, જે અશક્ય છે. પરિણામે, જમણી બાજુનો નિર્ણાયક W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) શૂન્યની બરાબર નથી અને ફંક્શન સિસ્ટમ (8) કિસ્સામાં સમીકરણ (6) ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે. જ્યારે લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ અલગ હોય છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ y""-3y" + 2y=0 માટે, લાક્ષણિક સમીકરણ r 2 - 3r + 2 = 0 ના મૂળ r 1 = 1, r 2 = 2 સમાન છે (મૂળ શોધવા માટેની સેવા દ્વારા મળી આવ્યા હતા. ભેદભાવ) પરિણામે, ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ y 1 = e x, y 2 = e 2 x ધરાવે છે અને સામાન્ય ઉકેલ y = C 1 e x + C 2 e 2 x તરીકે લખવામાં આવે છે.
2. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળમાં ગુણાકાર છે. ધારો કે r 1 માં ગુણાકાર α છે, અને અન્ય બધા અલગ છે. ચાલો પહેલા r 1 = 0 કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. પછી લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

કારણ કે અન્યથા તે ગુણાકાર α નું મૂળ ન હોત. તેથી, વિભેદક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે
એટલે કે, તેમાં α ની નીચેના ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્સ નથી. આ સમીકરણ એવા તમામ કાર્યોથી સંતુષ્ટ છે કે જેના ક્રમ α અને ઉચ્ચના ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે. ખાસ કરીને, આ α-1 કરતા વધારે ન હોય તેવા તમામ બહુપદીઓ છે, ઉદાહરણ તરીકે,
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
ચાલો બતાવીએ કે આ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. વિધેયોની આ સિસ્ટમના Wronski નિર્ણાયકનું સંકલન કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ

આ મુખ્ય કર્ણ પર બિન-શૂન્ય તત્વો સાથે ત્રિકોણાકાર નિર્ણાયક છે. તેથી, તે શૂન્યથી અલગ છે, જે કાર્યોની સિસ્ટમની રેખીય સ્વતંત્રતા સાબિત કરે છે (9). નોંધ કરો કે પાછલા ફકરામાંના એક ઉદાહરણમાં અમે ફંક્શન્સ (9) ની સિસ્ટમની રેખીય સ્વતંત્રતા અલગ રીતે સાબિત કરી છે. ચાલો હવે ગુણાકાર α ના લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ સંખ્યા r 1 ≠0 છે. ચાલો y = z r 1 x = z exp(r 1 x) સમીકરણ (6) L(y) = 0 માં બદલીએ. પછી

અને તેથી વધુ. મૂળ સમીકરણમાં વ્યુત્પન્નના પ્રાપ્ત મૂલ્યોને સ્થાનાંતરિત કરીને, આપણે ફરીથી સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ મેળવીએ છીએ.
(0)
લાક્ષણિક સમીકરણ સાથે

. (1)
નોંધ કરો કે જો k એ લાક્ષણિક સમીકરણ (1) નું મૂળ છે, તો z = e kx એ સમીકરણ (0) નો ઉકેલ છે, અને y = y r 1 x = e (k + r 1) x એ સમીકરણનો ઉકેલ છે ( 6). પછી r=k+r 1 એ લાક્ષણિક સમીકરણ (7)નું મૂળ છે. બીજી બાજુ, સમીકરણ (6) એ સમીકરણ (0) માંથી વિપરીત અવેજીકરણ z = ye - r 1 x દ્વારા મેળવી શકાય છે અને તેથી લાક્ષણિક સમીકરણ (7) ના દરેક મૂળ k = r - r 1 ને અનુરૂપ છે. લાક્ષણિક સમીકરણ (1). આમ, લાક્ષણિક સમીકરણો (7) અને (1) ના મૂળ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો છે, અને એક સમીકરણના વિવિધ મૂળ બીજાના વિવિધ મૂળને અનુરૂપ છે. કારણ કે r = r 1 એ સમીકરણ (7) ના ગુણાકાર α નું મૂળ છે, તો પછી સમીકરણ (1) માં k=0 છે ગુણાકાર α ના મૂળ તરીકે. અગાઉ જે સાબિત થયું હતું તે મુજબ, સમીકરણ (0) પાસે α રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો છે
જે α રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે
(2)
સમીકરણ (7). લાક્ષણિક સમીકરણના બાકીના મૂળોને અનુરૂપ n-α ઉકેલોમાં પરિણામી ઉકેલોની સિસ્ટમ (2) ઉમેરીને, અમે બહુવિધ મૂળના કિસ્સામાં સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ માટે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ.
ઉદાહરણ. સમીકરણ y"""-4y""+4y" = 0 માટે, લાક્ષણિક સમીકરણ r 3 -4r 2 + 4r = 0, બહુવિધ 1 ના r=0 અને બહુવિધ 2 ના r=2 છે, કારણ કે r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2, તેથી મૂળ સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ એ ફંકશનની સિસ્ટમ છે y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x, અને સામાન્ય ઉકેલ y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x સ્વરૂપ ધરાવે છે.
3. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળમાં જટિલ મૂળ છે. તમે જટિલ ઉકેલોને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો, પરંતુ વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના સમીકરણો માટે આ ખૂબ અનુકૂળ નથી. ચાલો જટિલ મૂળને અનુરૂપ વાસ્તવિક ઉકેલો શોધીએ. આપણે વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના સમીકરણની વિચારણા કરી રહ્યા હોવાથી, દરેક જટિલ રુટ r j = a+bi માટે ગુણાંક α ની લાક્ષણિકતા સમીકરણ, તેની જટિલ સંયોજક સંખ્યા r k = a-bi પણ આ સમીકરણના ગુણાકાર α નું મૂળ છે. આ મૂળને અનુરૂપ ઉકેલોની જોડી ફંક્શન અને , l=0,1,.., α-1 છે. આ ઉકેલોને બદલે, તેમના રેખીય સંયોજનોને ધ્યાનમાં લો 3. સમીકરણ y (4) + 8y"" + 16y =0 માટે, લાક્ષણિક સમીકરણ r 4 +8r 2 +16=0 માં r 1 = 2i, r 2 = -2i છે ગુણાકાર 2 નું, કારણ કે r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2, તેથી મૂળ સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x કાર્યોની સિસ્ટમ છે , y 4 = xsin2x, અને સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x છે.

અમે અમારી ટેક્નોલોજીને પોલિશ કરવાનું ચાલુ રાખીશું પ્રાથમિક પરિવર્તનોપર રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ.
પ્રથમ ફકરાઓના આધારે, સામગ્રી કંટાળાજનક અને સામાન્ય લાગે છે, પરંતુ આ છાપ ભ્રામક છે. તકનીકોના વધુ વિકાસ ઉપરાંત, ઘણી બધી નવી માહિતી હશે, તેથી કૃપા કરીને આ લેખમાંના ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ શું છે?

જવાબ પોતે સૂચવે છે. જો ફ્રી ટર્મ હોય તો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સજાતીય હોય છે દરેક વ્યક્તિસિસ્ટમનું સમીકરણ શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

તે બિલકુલ સ્પષ્ટ છે સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, એટલે કે, તેની પાસે હંમેશા ઉકેલ હોય છે. અને, સૌ પ્રથમ, જે તમારી આંખને પકડે છે તે કહેવાતા છે તુચ્છઉકેલ . તુચ્છ, જેઓ વિશેષણનો અર્થ બિલકુલ સમજી શકતા નથી, તેનો અર્થ શો-ઓફ વિના થાય છે. શૈક્ષણિક નથી, અલબત્ત, પરંતુ સમજી શકાય તેવું =) ...શા માટે ઝાડની આસપાસ હરાવ્યું, ચાલો શોધીએ કે આ સિસ્ટમમાં અન્ય કોઈ ઉકેલો છે કે કેમ:

ઉદાહરણ 1

ઉકેલ: સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે લખવું જરૂરી છે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સઅને પ્રાથમિક પરિવર્તનની મદદથી તેને સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં લાવો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં વર્ટિકલ બાર અને ફ્રી ટર્મ્સની શૂન્ય કૉલમ લખવાની જરૂર નથી - છેવટે, તમે શૂન્ય સાથે શું કરો છો, તે શૂન્ય જ રહેશે:

(1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

(2) બીજી લાઇન ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

ત્રીજી લીટીને 3 વડે વિભાજિત કરવાનો બહુ અર્થ નથી.

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોના પરિણામે, સમકક્ષ સજાતીય સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે , અને, ગૌસીયન પદ્ધતિના વિપરીતનો ઉપયોગ કરીને, તે ચકાસવું સરળ છે કે ઉકેલ અનન્ય છે.

જવાબ આપો:

ચાલો એક સ્પષ્ટ માપદંડ ઘડીએ: રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ છે માત્ર એક તુચ્છ ઉકેલ, જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ રેન્ક(આ કિસ્સામાં 3) ચલોની સંખ્યાની બરાબર છે (આ કિસ્સામાં - 3 ટુકડાઓ).

ચાલો ગરમ થઈએ અને અમારા રેડિયોને પ્રાથમિક પરિવર્તનની તરંગો સાથે ટ્યુન કરીએ:

ઉદાહરણ 2

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો

આખરે અલ્ગોરિધમને એકીકૃત કરવા માટે, ચાલો અંતિમ કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીએ:

ઉદાહરણ 7

સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો, વેક્ટર સ્વરૂપમાં જવાબ લખો.

ઉકેલ: ચાલો સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

(1) પ્રથમ લીટીનું ચિહ્ન બદલાઈ ગયું છે. ફરી એકવાર, હું એક તકનીક તરફ ધ્યાન દોરું છું જેનો ઘણી વખત સામનો કરવામાં આવ્યો છે, જે તમને આગલી ક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવા દે છે.

(1) પ્રથમ લાઇન 2જી અને 3જી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી. પ્રથમ લીટી, 2 વડે ગુણાકાર, 4 થી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

(3) છેલ્લી ત્રણ રેખાઓ પ્રમાણસર છે, તેમાંથી બે દૂર કરવામાં આવી છે.

પરિણામે, પ્રમાણભૂત સ્ટેપ મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થાય છે, અને સોલ્યુશન ગાંઠવાળા ટ્રેક સાથે ચાલુ રહે છે:

- મૂળભૂત ચલો;
- મફત ચલો.

ચાલો મૂળભૂત ચલોને મુક્ત ચલોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ. 2જી સમીકરણમાંથી:

- 1લા સમીકરણમાં બદલો:

તેથી સામાન્ય ઉકેલ છે:

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં ત્રણ મુક્ત ચલો હોવાથી, મૂળભૂત સિસ્ટમમાં ત્રણ વેક્ટર છે.

ચાલો મૂલ્યોના ટ્રિપલને બદલીએ સામાન્ય ઉકેલમાં અને એક વેક્ટર મેળવો જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સજાતીય સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષે છે. અને ફરીથી, હું પુનરાવર્તન કરું છું કે દરેક પ્રાપ્ત વેક્ટરને તપાસવું ખૂબ જ સલાહભર્યું છે - તે વધુ સમય લેશે નહીં, પરંતુ તે તમને ભૂલોથી સંપૂર્ણપણે સુરક્ષિત કરશે.

મૂલ્યોના ત્રિવિધ માટે વેક્ટર શોધો

અને છેવટે ત્રણ માટે આપણને ત્રીજો વેક્ટર મળે છે:

જવાબ આપો:, ક્યાં

અપૂર્ણાંક મૂલ્યોને ટાળવા માંગતા લોકો ત્રિપુટીને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે અને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં જવાબ મેળવો:

અપૂર્ણાંક બોલતા. ચાલો સમસ્યામાં મેળવેલ મેટ્રિક્સ જોઈએ અને ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: શું આગળના ઉકેલને સરળ બનાવવું શક્ય છે? છેવટે, અહીં આપણે પ્રથમ અપૂર્ણાંક દ્વારા મૂળભૂત ચલ વ્યક્ત કર્યું, પછી અપૂર્ણાંક દ્વારા મૂળભૂત ચલ, અને, મારે કહેવું જ જોઇએ, આ પ્રક્રિયા સૌથી સરળ અને સૌથી સુખદ ન હતી.

બીજો ઉકેલ:

પ્રયાસ કરવાનો વિચાર છે અન્ય આધાર ચલો પસંદ કરો. ચાલો મેટ્રિક્સ જોઈએ અને ત્રીજા સ્તંભમાં બે મુદ્દાઓ પર ધ્યાન આપીએ. તો શા માટે ટોચ પર શૂન્ય નથી? ચાલો એક વધુ પ્રાથમિક પરિવર્તન કરીએ:

તમે તમારી સમસ્યાનો વિગતવાર ઉકેલ ઓર્ડર કરી શકો છો!!!

તે શું છે તે સમજવા માટે મૂળભૂત નિર્ણય સિસ્ટમતમે ક્લિક કરીને સમાન ઉદાહરણ માટે વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ જોઈ શકો છો. હવે ચાલો બધા જરૂરી કાર્યના વાસ્તવિક વર્ણન પર આગળ વધીએ. આ તમને આ મુદ્દાના સારને વધુ વિગતવાર સમજવામાં મદદ કરશે.

રેખીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ કેવી રીતે શોધવી?

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે રેખીય સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ લઈએ:

ચાલો સમીકરણોની આ રેખીય પદ્ધતિનો ઉકેલ શોધીએ. સાથે શરૂ કરવા માટે, અમે તમારે સિસ્ટમના ગુણાંક મેટ્રિક્સ લખવાની જરૂર છે.

ચાલો આ મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકારમાં પરિવર્તિત કરીએ.અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ લીટી ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(11)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(21)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે બીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને બીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(41)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ અને બીજી લાઇન ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(22)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(32)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી 2 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(42)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી બીજા ગુણાકારને 2 બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. $a_(52)$ તત્વની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 3 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

તે આપણે જોઈએ છીએ છેલ્લી ત્રણ લીટીઓ સમાન છે, તેથી જો તમે ચોથા અને પાંચમામાંથી ત્રીજાને બાદ કરશો, તો તેઓ શૂન્ય થઈ જશે.

આ મેટ્રિક્સ અનુસાર સમીકરણોની નવી સિસ્ટમ લખો.

આપણે જોઈએ છીએ કે આપણી પાસે માત્ર ત્રણ રેખીય સ્વતંત્ર સમીકરણો છે, અને પાંચ અજાણ્યા છે, તેથી ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાં બે વેક્ટર હશે. તેથી અમે આપણે છેલ્લા બે અજાણ્યાઓને જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે.

હવે, અમે ડાબી બાજુએ રહેલા અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના લોકો દ્વારા વ્યક્ત કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ. અમે છેલ્લા સમીકરણથી શરૂઆત કરીએ છીએ, પહેલા અમે $x_3$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, પછી અમે પરિણામી પરિણામને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને $x_2$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, અને પછી પ્રથમ સમીકરણમાં અને અહીં અમે $x_1$ વ્યક્ત કરીએ છીએ. આમ, અમે ડાબી બાજુના તમામ અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના અજાણ્યાઓ દ્વારા વ્યક્ત કર્યા.

પછી $x_4$ અને $x_5$ ને બદલે, અમે કોઈપણ સંખ્યાઓને બદલી શકીએ છીએ અને $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધી શકીએ છીએ. આ દરેક પાંચ સંખ્યાઓ આપણી મૂળ સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ હશે. જેમાં સમાવવામાં આવેલ છે તે વેક્ટર શોધવા માટે FSRઆપણે $x_4$ ને બદલે 1, અને $x_5$ ને બદલે 0 ને બદલવાની જરૂર છે, $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધો, અને પછી ઊલટું $x_4=0$ અને $x_5=1$.

બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો

બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે.

વ્યાખ્યા.બીજા ક્રમના સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ એક કાર્ય છે જે, કોઈપણ મૂલ્ય માટે, આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

વ્યાખ્યા.બીજા ક્રમના રેખીય સજાતીય સમીકરણને સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. જો ગુણાંક સતત હોય, એટલે કે. પર આધાર રાખતા નથી, તો પછી આ સમીકરણને સતત ગુણાંક સાથેનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે અને તે નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: .

સમીકરણ આપણે તેને રેખીય અસંગત સમીકરણ કહીશું.

વ્યાખ્યા.જે સમીકરણ રેખીય સજાતીય સમીકરણમાંથી ફંક્શનને એક વડે બદલીને અને અનુરૂપ શક્તિઓ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, તેને લાક્ષણિક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

તે જાણીતું છે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં ભેદભાવના આધારે ઉકેલ હોય છે: , એટલે કે જો , તો મૂળ અને અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. જો, તો. જો, એટલે કે. , પછી એક કાલ્પનિક સંખ્યા હશે, અને મૂળ અને જટિલ સંખ્યાઓ હશે. આ કિસ્સામાં, અમે સૂચવવા માટે સંમત છીએ.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.તેથી આ ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ છે.

લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળના સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને સજાતીય બીજા ક્રમના રેખીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો તે અમે બતાવીશું.

જો લાક્ષણિક સમીકરણના વાસ્તવિક મૂળ છે, તો પછી .

જો લાક્ષણિકતા સમીકરણના મૂળ સમાન હોય, એટલે કે. , પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ માંગવામાં આવે છે અથવા

જો લાક્ષણિક સમીકરણ જટિલ મૂળ ધરાવે છે, તો પછી.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ.ચાલો આ વિભેદક સમીકરણ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવીએ: તેના મૂળ માન્ય અને અલગ છે. તેથી સામાન્ય ઉકેલ .

રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ. રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોના સામાન્ય ઉકેલની રચના પરનું પ્રમેય. આ વિભાગમાં આપણે સાબિત કરીશું કે સજાતીય સમીકરણના આંશિક ઉકેલોના રેખીય અવકાશનો આધાર કોઈપણ સમૂહ હોઈ શકે છે. n તેના રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો.
ડેફ. 14.5.5.1. ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ. ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમરેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ n -મો ક્રમ કોઈપણ રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) તેના n ખાનગી ઉકેલો.
રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલની રચના પર પ્રમેય 14.5.5.1.1. સામાન્ય ઉકેલ y (x ) એક રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ એ આ સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાંથી કાર્યોનું રેખીય સંયોજન છે:
y (x ) = સી 1 y 1 (x ) + સી 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
દસ્તાવેજ. દો y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) એ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ છે. તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ y શું ( x આ સમીકરણનું ) સૂત્રમાં સમાયેલું છે y (x ) = સી 1 y 1 (x ) + સી 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) સ્થિરાંકોના ચોક્કસ સમૂહ માટે સી 1 , સી 2 , …, સીએન . ચાલો કોઈપણ બિંદુ લઈએ, આ બિંદુએ સંખ્યાઓની ગણતરી કરીએ અને સ્થિરાંકો શોધીએ સી 1 , સી 2 , …, સીએન બીજગણિત સમીકરણોની રેખીય અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલ તરીકે

આવા સોલ્યુશન અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે, કારણ કે આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક સમાન છે. રેખીય સંયોજનને ધ્યાનમાં લો y (x ) = સી 1 y 1 (x ) + સી 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) સ્થિરાંકોના આ મૂલ્યો સાથે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાંથી કાર્ય કરે છે સી 1 , સી 2 , …, સીએન અને તેને ફંક્શન સાથે સરખાવો y શું ( x ). કાર્યો y (x ) અને y શું ( x ) બિંદુ પર સમાન સમીકરણ અને સમાન પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે x 0, તેથી, કોચી સમસ્યાના ઉકેલની વિશિષ્ટતાને લીધે, તેઓ એકરૂપ થાય છે: y શું ( x ) = સી 1 y 1 (x ) + સી 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). પ્રમેય સાબિત થયો છે.
આ પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે સતત ગુણાંક સાથેના સજાતીય સમીકરણના આંશિક ઉકેલોના રેખીય અવકાશનું પરિમાણ ઓળંગતું નથી. n . તે સાબિત કરવાનું બાકી છે કે આ પરિમાણ કરતાં ઓછું નથી n .
પ્રમેય 14.5.5.1.2 રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમના અસ્તિત્વ પર. કોઈપણ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ n સતત ગુણાંક સાથેના ક્રમમાં ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ હોય છે, એટલે કે. થી સિસ્ટમ n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો.
દસ્તાવેજ. ચાલો કોઈપણ સંખ્યાત્મક નિર્ણાયક લઈએ n -મો ક્રમ, શૂન્યની બરાબર નથી