બર્નૌલી યોજના. સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

તેથી, તમારો તાત્કાલિક મનોરંજન અત્યંત ઉપયોગી થશે. વધુમાં, હું તમને કહીશ કે શું ખોટું છે વિશાળ બહુમતીલોટરી અને જુગારના સહભાગીઓ. ...નૂ, વિશ્વાસ અથવા "જેકપોટ મારવા" ની અસ્પષ્ટ આશાને તેની સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી ;-) આંખ મારવાનો પણ સમય ન મળતાં, અમે વિષયમાં ડૂબી જઈએ છીએ:

શું થયું છે સ્વતંત્ર પરીક્ષણો ? નામ પરથી જ લગભગ બધું જ સ્પષ્ટ છે. કેટલાક પરીક્ષણો કરવા દો. જો તેમાંના દરેકમાં ચોક્કસ ઘટના બનવાની સંભાવના છે આધાર રાખતો નથીબાકીની કસોટીઓના પરિણામોમાંથી, પછી... અમે એકાગ્રતામાં શબ્દસમૂહ સમાપ્ત કરીએ છીએ =) શાબાશ. તદુપરાંત, "સ્વતંત્ર પરીક્ષણો" શબ્દનો અર્થ ઘણીવાર થાય છે પુનરાવર્તિતસ્વતંત્ર પરીક્ષણો - જ્યારે તેઓ એક પછી એક હાથ ધરવામાં આવે છે.

સૌથી સરળ ઉદાહરણો:
- સિક્કો 10 વખત ફેંકવામાં આવે છે;
- ડાઇ 20 વખત ફેંકવામાં આવે છે.

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ પરીક્ષણમાં માથું અથવા પૂંછડી મેળવવાની સંભાવના અન્ય થ્રોના પરિણામો પર આધારિત નથી. સમાન વિધાન, કુદરતી રીતે, સમઘન માટે સાચું છે.

પરંતુ ડેકમાંથી કાર્ડ્સને ક્રમિક રીતે દૂર કરવું એ સ્વતંત્ર પરીક્ષણોની શ્રેણી નથી - જેમ તમને યાદ છે, આ એક સાંકળ છે આશ્રિત ઘટનાઓ. જો કે, જો તમે દર વખતે કાર્ડ પરત કરો છો, તો પરિસ્થિતિ "જેવી હોવી જોઈએ તેવી" બની જશે.

હું તમને ખુશ કરવા ઉતાવળ કરું છું - અમારા અતિથિ અન્ય ટર્મિનેટર છે, જે તેની સફળતાઓ/નિષ્ફળતાઓ પ્રત્યે સંપૂર્ણપણે ઉદાસીન છે, અને તેથી તેનું શૂટિંગ સ્થિરતાનું ઉદાહરણ છે =):

સમસ્યા 1

શૂટર લક્ષ્ય પર 4 ગોળી ચલાવે છે. દરેક શોટ સાથે હિટની સંભાવના સતત અને સમાન છે. સંભાવના શોધો કે:

એ) શૂટર ફક્ત એક જ વાર હિટ કરશે;
b) શૂટર 2 વખત હિટ કરશે.

ઉકેલ: શરત ઘડવામાં આવે છે વી સામાન્ય દૃશ્ય અને દરેક શોટ સાથે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના પ્રખ્યાત માનવામાં આવે છે. તે સમાન છે (જો તે ખરેખર મુશ્કેલ હોય, તો પેરામીટરને અમુક પરિમાણ સોંપો ચોક્કસ અર્થ, ઉદાહરણ તરીકે,) .

એકવાર આપણે જાણીએ કે, દરેક શોટમાં ચૂકી જવાની સંભાવના શોધવાનું સરળ છે:
, એટલે કે, “ku” પણ છે જથ્થો અમને જાણીતો છે.

એ) ઘટનાનો વિચાર કરો "શૂટર ફક્ત એક જ વાર મારશે"અને દ્વારા તેની સંભાવના દર્શાવો (સૂચકાંકોને "ચારમાંથી એક હિટ" તરીકે સમજવામાં આવે છે). આ ઇવેન્ટમાં 4 અસંગત પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે: શૂટર 1 લી હિટ કરશે અથવા 2જી માં અથવા 3જી માં અથવા 4થા પ્રયાસમાં.

સંભાવના શોધો કે 10 સિક્કા ફેંકતી વખતે, 3 સિક્કા માથા ઉપર આવશે.

અહીં પરીક્ષણો પુનરાવર્તિત નથી, પરંતુ એક સાથે હાથ ધરવામાં આવે છે, પરંતુ, તેમ છતાં, સમાન સૂત્ર કાર્ય કરે છે: .

ઉકેલ અર્થ અને કેટલીક ટિપ્પણીઓમાં અલગ હશે, ખાસ કરીને:
આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, તમે 3 સિક્કા પસંદ કરી શકો છો જેના પર હેડ દેખાશે.
- દરેક 10 સિક્કા પર હેડ મેળવવાની સંભાવના
વગેરે

જો કે, વ્યવહારમાં સમાન કાર્યોએટલા સામાન્ય નથી, અને દેખીતી રીતે, આ કારણોસર, બર્નૌલીનું સૂત્ર લગભગ સ્ટીરિયોટાઇપિક રીતે માત્ર પુનરાવર્તિત પરીક્ષણો સાથે સંકળાયેલું છે. તેમ છતાં, હમણાં બતાવ્યા પ્રમાણે, પુનરાવર્તિતતા બિલકુલ જરૂરી નથી.

માટે આગામી કાર્ય સ્વતંત્ર નિર્ણય:

સમસ્યા 3

ડાઇસ 6 વખત ફેંકવામાં આવે છે. 5 પોઈન્ટની સંભાવના શોધો:

એ) બહાર પડશે નહીં (0 વખત દેખાશે);
b) 2 વખત દેખાશે;
c) 5 વખત દેખાશે.

પરિણામોને 4 દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરો.

ઝડપી ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

તે સ્પષ્ટ છે કે વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણોમાં, કેટલીક ઘટનાઓ વધુ સંભવિત છે, અને કેટલીક ઓછી શક્યતા છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, 6 ડાઇસ રોલ્સ સાથે, કોઈપણ ગણતરી વિના પણ, તે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે પોઈન્ટ "a" અને "be" માં ઘટનાઓની સંભાવનાઓ નોંધપાત્ર રીતે છે. વધુ શક્યતાતે "પાંચ" 5 વખત દેખાશે. હવે ચાલો શોધવા માટે કાર્ય સેટ કરીએ

સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંભવતઃ સંખ્યા

ફરીથી, સમસ્યા નંબર 3 માં અંતર્જ્ઞાનના સ્તરે, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે "પાંચ" ના દેખાવની સંભવિત સંખ્યા એક સમાન છે - છેવટે, કુલ છ ચહેરાઓ છે, અને 6 ડાઇસ રોલ સાથે, દરેક તેમાંથી સરેરાશ એકવાર દેખાવા જોઈએ. રસ ધરાવતા લોકો સંભાવનાની ગણતરી કરી શકે છે અને જોઈ શકે છે કે શું તે "સ્પર્ધાત્મક" મૂલ્યો કરતા વધારે છે અને .

ચાલો એક કડક માપદંડ ઘડીએ: ઘટનાઓની સૌથી વધુ સંભવિત સંખ્યા શોધવા માટે રેન્ડમ ઘટનાસ્વતંત્ર પરીક્ષણોમાં (દરેક અજમાયશમાં સંભાવના સાથે)નીચેની બેવડી અસમાનતા દ્વારા માર્ગદર્શન આપવામાં આવે છે:

, અને:

1) જો મૂલ્ય અપૂર્ણાંક છે, તો ત્યાં એક સૌથી સંભવિત સંખ્યા છે;
ખાસ કરીને, જો પૂર્ણાંક છે, તો તે સૌથી સંભવિત સંખ્યા છે: ;

2) જો તે સંપૂર્ણ છે, તો ત્યાં છે બેસૌથી સંભવિત સંખ્યાઓ: અને.

6 ડાઇસ રોલ્સમાં "પાંચ" ની ઘટનાઓની સૌથી વધુ સંભવિત સંખ્યા નીચે આવે છે ખાસ કેસપ્રથમ બિંદુ:

સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અમે કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરીશું:

સમસ્યા 4

બોલ ફેંકતી વખતે બાસ્કેટબોલ ખેલાડી બાસ્કેટને ફટકારે તેવી સંભાવના 0.3 છે. 8 થ્રો અને અનુરૂપ સંભાવના સાથે હિટની સૌથી સંભવિત સંખ્યા શોધો.

અને આ છે, જો ટર્મિનેટર નહીં, તો ઓછામાં ઓછું ઠંડા લોહીવાળું એથ્લેટ =)

ઉકેલ: હિટની સૌથી વધુ સંભવિત સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે આપણે બેવડી અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ . IN આ કિસ્સામાં:

- કુલ ફેંકવું;
- દરેક થ્રો સાથે ટોપલીને ફટકારવાની સંભાવના;
- દરેક ફેંકવાની સાથે ચૂકી જવાની સંભાવના.

આમ, 8 થ્રો સાથે હિટની સૌથી વધુ સંભવિત સંખ્યા નીચેની મર્યાદાઓની અંદર છે:

ડાબી સરહદ હોવાથી અપૂર્ણાંક સંખ્યા (બિંદુ નં. 1), પછી ત્યાં એક સૌથી સંભવિત મૂલ્ય છે, અને, દેખીતી રીતે, તે બરાબર છે.

બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને , ચાલો સંભાવનાની ગણતરી કરીએ કે 8 થ્રો સાથે બરાબર 2 હિટ હશે:

જવાબ આપો: - 8 થ્રો સાથે હિટની સંભવતઃ સંખ્યા,
- અનુરૂપ સંભાવના.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમાન કાર્ય:

સમસ્યા 5

સિક્કો 9 વખત ફેંકવામાં આવે છે. ગરુડની ઘટનાઓની સૌથી વધુ સંભવિત સંખ્યાની સંભાવના શોધો

અંદાજિત નમૂનાપાઠના અંતે ઉકેલો અને જવાબો.

રસપ્રદ વિષયાંતર પછી, ચાલો થોડા વધુ કાર્યો જોઈએ, અને પછી હું રહસ્ય શેર કરીશ સાચી રમતવી જુગારઅને લોટરી.

સમસ્યા 6

ઓટોમેટિક મશીન પર ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોમાં, સરેરાશ, 60% ઉત્પાદનો પ્રથમ ગ્રેડ છે. 6 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી આઇટમ્સમાંથી ત્યાં હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે:

એ) 2 થી 4 પ્રથમ-વર્ગના ઉત્પાદનો;
b) ઓછામાં ઓછા 5 પ્રથમ-વર્ગના ઉત્પાદનો;
c) નીચા ગ્રેડનું ઓછામાં ઓછું એક ઉત્પાદન.

પ્રથમ-વર્ગના ઉત્પાદનના ઉત્પાદનની સંભાવના અન્ય ઉત્પાદનોની ગુણવત્તા પર આધારિત નથી, તેથી અમે અહીં સ્વતંત્ર પરીક્ષણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. સ્થિતિના વિશ્લેષણની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો, અન્યથા તે ઘટના બની શકે છે આશ્રિતઅથવા કાર્ય સંપૂર્ણપણે કંઈક બીજું વિશે છે.

ઉકેલ: સંભાવના ટકાવારી તરીકે એન્કોડ કરેલી છે, જેને હું તમને યાદ કરાવું છું, તેને સો વડે વિભાજિત કરવાની જરૂર છે: - પસંદ કરેલ ઉત્પાદન 1લી ગ્રેડની હશે તેવી સંભાવના.
પછી: - સંભાવના કે તે પ્રથમ-વર્ગની નહીં હોય.

એ) ઘટના "6 રેન્ડમલી પસંદ કરેલ ઉત્પાદનોમાં 2 થી 4 પ્રથમ-વર્ગના ઉત્પાદનો હશે"ત્રણ અસંગત પરિણામો સમાવે છે:

ઉત્પાદનોમાં 2 પ્રથમ-વર્ગના હશે અથવા 3 પ્રથમ વર્ગ અથવા 4 પ્રથમ વર્ગ.

પરિણામો સાથે અલગથી વ્યવહાર કરવો વધુ અનુકૂળ છે. અમે બર્નૌલીના સૂત્રનો ત્રણ વખત ઉપયોગ કરીએ છીએ :

- દિવસ દરમિયાન છમાંથી ઓછામાં ઓછા 5 કમ્પ્યુટર નિષ્ફળતા વિના કામ કરશે તેવી સંભાવના.

આ મૂલ્યતે અમને અનુકૂળ નહીં આવે, કારણ કે તે કમ્પ્યુટર સેન્ટરની આવશ્યક વિશ્વસનીયતા કરતાં ઓછી છે:

આમ, છ કોમ્પ્યુટર પણ પૂરતા નથી. ચાલો એક વધુ ઉમેરીએ:

3) કોમ્પ્યુટર સેન્ટરમાં કોમ્પ્યુટર રહેવા દો. પછી 5, 6 કે 7 કોમ્પ્યુટરો દોષરહિત રીતે કામ કરે. બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય, ચાલો એ સંભાવના શોધીએ કે સાતમાંથી ઓછામાં ઓછા 5 કમ્પ્યુટર્સ દિવસ દરમિયાન નિષ્ફળતા વિના કામ કરશે.

જે. બર્નૌલીનું જાણીતું પ્રમેય, જે ઘટનાની આવર્તન અને તેની સંભાવના વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે, તે સાબિત થઈ શકે છે. સીધું પરિણામકાયદો મોટી સંખ્યામાં.

સ્વતંત્ર પ્રયોગો હાથ ધરવા દો, જેમાંના દરેકમાં કેટલીક ઘટનાઓ દેખાઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે, જેની સંભાવના દરેક પ્રયોગમાં સમાન છે. જે. બર્નૌલીનું પ્રમેય જણાવે છે કે પ્રયોગોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઘટનાની આવર્તન તેની સંભાવનામાં સંભવિતતામાં ફેરવાય છે.

ચાલો પ્રયોગોમાં ઘટનાઓની આવર્તન દર્શાવીએ અને સૂત્રના રૂપમાં જે. બર્નૌલીના પ્રમેયને લખીએ.

, (13.5.1)

જ્યાં, મનસ્વી રીતે નાની સકારાત્મક સંખ્યાઓ છે.

પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે આ ફોર્મ્યુલાની માન્યતા સાબિત કરવી જરૂરી છે.

પુરાવો. ચાલો સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લઈએ:

પ્રથમ પ્રયોગમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા;

બીજા પ્રયોગમાં ઘટનાની સંખ્યા, વગેરે.

આ તમામ જથ્થાઓ અખંડિત છે અને સમાન વિતરણ કાયદો ધરાવે છે, જે ફોર્મની શ્રેણી દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

ક્યાં. દરેક જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા , અને તેનો તફાવત (જુઓ 10.3) ની બરાબર છે.

આવર્તન સરેરાશ કરતાં વધુ કંઈ નથી અંકગણિત જથ્થો :

અને, મોટી સંખ્યાના નિયમ અનુસાર, આ રેન્ડમ ચલોની સામાન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છે. આ અસમાનતાની માન્યતા સૂચવે છે (13.5.1).

જે. બર્નૌલીનું પ્રમેય સતત પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓમાં આવર્તનની સ્થિરતા જણાવે છે. પરંતુ અનુભવની બદલાતી પરિસ્થિતિઓમાં, સમાન સ્થિરતા પણ અસ્તિત્વમાં છે. પર આવર્તન સ્થિરતાની મિલકત સ્થાપિત કરતું પ્રમેય ચલ શરતોઅનુભવને પોઈસનનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે અને તે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે:

જો સ્વતંત્ર પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે અને માં પ્રયોગમાં ઘટના બનવાની સંભાવના સમાન હોય, તો ઘટનાની આવર્તન જેમ જેમ વધે છે તેમ તેમ સંભાવનાઓ સંભાવનાઓના અંકગણિત સરેરાશમાં પરિવર્તિત થાય છે.

પોઈસનનું પ્રમેય સામાન્યકૃત ચેબીશેવ પ્રમેયમાંથી તે જ રીતે ઉતરી આવ્યું છે જે રીતે બર્નૌલીનું પ્રમેય મોટી સંખ્યાના કાયદામાંથી ઉતરી આવ્યું હતું.

માટે પોઈસનનું પ્રમેય ખૂબ જ મૂળભૂત મહત્વ ધરાવે છે વ્યવહારુ એપ્લિકેશનસંભાવના સિદ્ધાંત. મુદ્દો એ છે કે ઘણીવાર સંભવિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ એવી ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે કે જે સમાન પરિસ્થિતિઓમાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થવાની કોઈ શક્યતા નથી, પરંતુ ઘણી અલગ પરિસ્થિતિઓમાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે. વિવિધ શરતો, અને અમને રુચિ હોય તેવી ઘટનાઓની સંભાવનાઓ આ શરતો પર ભારપૂર્વક આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હવાઈ યુદ્ધમાં લક્ષ્યને અથડાવાની સંભાવના નોંધપાત્ર રીતે ફાયરિંગ રેન્જ, લક્ષ્યનો ખૂણો, ફ્લાઇટની ઊંચાઈ, ફાયરિંગ એરક્રાફ્ટની ઝડપ અને લક્ષ્ય વગેરે પર નિર્ભર કરે છે. આ પરિસ્થિતિઓનું સંકુલ ખૂબ અસંખ્ય છે. પુનરાવર્તિત અમલીકરણ પર ગણતરી કરવા માટે હવાઈ ​​લડાઇચોક્કસ આ નિશ્ચિત શરતો હેઠળ. અને તેમ છતાં, આ હોવા છતાં, માં આ ઘટનાફ્રીક્વન્સીઝની ચોક્કસ સ્થિરતા છે, એટલે કે, વાસ્તવિક હવાઈ લડાઇમાં લક્ષ્યને હિટ કરવાની આવર્તન, વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં હાથ ધરવામાં આવે છે, જે શરતોના આપેલ જૂથની લાક્ષણિકતા લક્ષ્યને ફટકારવાની સરેરાશ સંભાવનાનો સંપર્ક કરશે. તેથી, શૂટિંગના આયોજનની તે પદ્ધતિઓ જે લક્ષ્યને ફટકારવાની મહત્તમ સંભાવના પર આધારિત છે તે આ કિસ્સામાં ન્યાયી ઠેરવવામાં આવશે, તે હકીકત હોવા છતાં કે દરેક ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં પ્રયોગોના ખરેખર વિશાળ સ્કેલની અપેક્ષા રાખી શકાતી નથી.

સંભવિત ગણતરીઓની પ્રાયોગિક ચકાસણીના ક્ષેત્રમાં પરિસ્થિતિ સમાન છે. વ્યવહારમાં, ઘણી વાર એવો કિસ્સો હોય છે કે જ્યારે ઘટનાની ગણતરી કરેલ સંભાવના તેની વાસ્તવિક આવર્તન સાથે સુસંગત છે કે કેમ તે પ્રાયોગિક રીતે તપાસવું જરૂરી છે. મોટેભાગે, આ ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ અંતર્ગત એક અથવા બીજી સૈદ્ધાંતિક યોજનાની શુદ્ધતા ચકાસવા માટે કરવામાં આવે છે. ઘણીવાર, આવા પ્રાયોગિક પરીક્ષણ સાથે, ઘણી વખત સમાન પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓનું પુનઃઉત્પાદન કરવું શક્ય નથી. અને તેમ છતાં, આ તપાસ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે જો આપણે કોઈ ઘટનાની પ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરેલ આવર્તનની તુલના તેની નિશ્ચિત પરિસ્થિતિઓ માટેની સંભાવના સાથે નહીં, પરંતુ વિવિધ પરિસ્થિતિઓ માટે ગણતરી કરેલ સંભાવનાઓની અંકગણિત સરેરાશ સાથે કરીએ.

સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવા દો, જેમાંના દરેકમાં ઘટના બનવાની સંભાવના છે એ ની સમાન આર . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બર્નૌલીની યોજનાને પકડી રાખવા દો. શું અનુમાન લગાવવું શક્ય છે કે ઘટનાની ઘટનાની અંદાજિત સંબંધિત આવર્તન કેટલી હશે? આ પ્રશ્નનો સકારાત્મક જવાબ જે. બર્નૌલી 1 દ્વારા સાબિત થયેલ પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેને "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" કહેવામાં આવતું હતું અને વિજ્ઞાન 2 તરીકે સંભાવના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો હતો.

બર્નૌલીનું પ્રમેય: જો દરેકમાં સ્વતંત્ર પરીક્ષણો સમાન શરતો હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે, સંભાવના આર ઘટનાની ઘટના એ સ્થિર છે, પછી ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એ સંભાવનામાં સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે આર - દેખાવ આ ઘટનાનીએક અલગ અનુભવમાં, એટલે કે

.

પુરાવો . તેથી, બર્નૌલીની યોજના ધરાવે છે,
. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ
ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ – ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એ વી -મી કસોટી. તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક રેન્ડમ ચલ માત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે: 1 (ઘટના એ આવી) સંભાવના સાથે આર અને 0 (ઘટના એ નથી થયું) સંભાવના સાથે
, એટલે કે

શોધવા મુશ્કેલ નથી

શું ચેબીશેવના પ્રમેયને વિચારણા હેઠળની માત્રામાં લાગુ કરવું શક્ય છે? તે શક્ય છે જો રેન્ડમ ચલો જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર હોય અને તેમના ભિન્નતા એકસરખી રીતે બંધાયેલા હોય. બંને શરતો પૂરી થાય છે. ખરેખર, જથ્થાઓની જોડીમાં સ્વતંત્રતા
એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે પરીક્ષણો સ્વતંત્ર છે. આગામી 3
ખાતે
અને, તેથી, તમામ જથ્થાના તફાવતો મર્યાદિત છે, ઉદાહરણ તરીકે સંખ્યા દ્વારા
. વધુમાં, નોંધ કરો કે દરેક રેન્ડમ ચલો
જ્યારે કોઈ ઘટના બને છે એ અનુરૂપ કસોટીમાં મૂલ્ય લે છે એક સમાન. તેથી, રકમ
સંખ્યા જેટલી
- ઘટનાની ઘટનાઓ એ વી પરીક્ષણો, જેનો અર્થ થાય છે

,

એટલે કે, અપૂર્ણાંક
સંબંધિત આવર્તન સમાન ઘટનાની ઘટનાઓ એ વી પરીક્ષણો

પછી, વિચારણા હેઠળના જથ્થાઓ પર ચેબીશેવના પ્રમેયને લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

Q.E.D.

ટિપ્પણી 1 : બર્નૌલીનું પ્રમેય ચેબીશેવના પ્રમેયનો સૌથી સરળ વિશેષ કેસ છે.

ટિપ્પણી 2 : વ્યવહારમાં, અજ્ઞાત સંભાવનાઓ ઘણીવાર અનુભવથી નક્કી કરવી પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 18મી સદીના ફ્રેન્ચ પ્રકૃતિવાદી બુફોને 4040 વખત સિક્કો ફેંક્યો હતો. શસ્ત્રોનો કોટ 2048 વખત બહાર પડ્યો. બફોનના પ્રયોગમાં કોટ ઓફ આર્મ્સના દેખાવની આવર્તન આશરે 0.507 છે. અંગ્રેજ આંકડાશાસ્ત્રી કે. પીયરસને એક સિક્કો 12,000 વખત ફેંક્યો અને 6,019 સિક્કા જોયા. આ પીયર્સન પ્રયોગમાં કોટ ઓફ આર્મ્સની આવર્તન 0.5016 છે. બીજી વખત તેણે 24,000 વખત સિક્કો ફેંક્યો અને 12,012 વખત આર્મ્સનો કોટ આવ્યો; આ કિસ્સામાં હથિયારોના કોટના નુકશાનની આવર્તન 0.5005 ની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું છે. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, ઉપરોક્ત તમામ પ્રયોગોમાં, આવર્તન માત્ર 0.5 ની સંભાવનાથી સહેજ વિચલિત થાય છે - એક સિક્કાના એક ટૉસના પરિણામે હથિયારોના કોટનો દેખાવ.

ટિપ્પણી 3 : બર્નૌલીના પ્રમેય પરથી એવું તારણ કાઢવું ​​ખોટું હશે કે જેમ જેમ ટ્રાયલ્સની સંખ્યા વધે છે તેમ તેમ સંબંધિત આવર્તન સતત સંભાવનાની નજીક આવે છે. આર ; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,
બર્નૌલીનું પ્રમેય સમાનતા સૂચિત કરતું નથી .પ્રમેયમાં તે માત્ર સંભાવનાની બાબત છેતે પર્યાપ્ત સાથે મોટી સંખ્યામાં અજમાયશ, સંબંધિત આવર્તન દરેક અજમાયશમાં બનતી ઘટનાની સતત સંભાવનાથી ઇચ્છિત હોય તેટલી ઓછી અલગ હશે. આમ, કન્વર્જન્સ આર સંબંધિત આવર્તન સંભાવના માટેસામાન્ય વિશ્લેષણના અર્થમાં કન્વર્જન્સથી અલગ છે. આ તફાવતને પ્રકાશિત કરવા માટે, ખાતે વલણ ધરાવે છે
થી આર શક્ય તેટલું સામાન્ય વિશ્લેષણના અર્થમાં, પછી, કેટલાકથી શરૂ કરીને
અને પછીના તમામ મૂલ્યો માટે , અસમાનતા સતત સંતુષ્ટ છે
;જો સંભાવના અનુસાર વલણ ધરાવે છેથી આર ખાતે
, પછી વ્યક્તિગત મૂલ્યો માટે અસમાનતા પકડી શકતી નથી.

પોઈસન અને માર્કોવ પ્રમેય

જો નોંધ્યું પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓ બદલાય છે, પછી ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તનની સ્થિરતાની મિલકત એ સાચવવામાં આવે છે. આ સંજોગો પોઈસન દ્વારા સાબિત થયું હતું.

પોઈસનનું પ્રમેય: પરિવર્તનશીલ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવેલા સ્વતંત્ર પરીક્ષણોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એ દરેક પ્રયોગોમાં આપેલ ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાઓના અંકગણિત સરેરાશ સાથે સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે

.

ટિપ્પણી 4 : તે જોવાનું સરળ છે કે પોઈસનનું પ્રમેય ચેબીશેવના પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ છે.

માર્કોવનું પ્રમેય: જો રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ
(જો કે આશ્રિત) એવું છે કે જ્યારે

,

તે,
શરત પૂરી થાય છે:
.

ટિપ્પણી 5 : દેખીતી રીતે, જો રેન્ડમ ચલો
જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર હોય, તો માર્કોવ સ્થિતિ સ્વરૂપ લે છે: ક્યારે

.

આ બતાવે છે કે ચેબીશેવનું પ્રમેય માર્કોવના પ્રમેયનો વિશેષ કેસ છે.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય (લ્યાપુનોવનું પ્રમેય)

મોટી સંખ્યાના કાયદાના માનવામાં આવતા પ્રમેય અમુક ચોક્કસ રેન્ડમ ચલોના અમુક મર્યાદિત મૂલ્યો સુધીના અંદાજના મુદ્દાઓથી સંબંધિત છે, તેમના વિતરણ કાયદાને ધ્યાનમાં લીધા વગર. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણના મર્યાદા નિયમોને લગતા પ્રમેયનું બીજું જૂથ છે. સામાન્ય નામપ્રમેયનું આ જૂથ - કેન્દ્રીય મર્યાદા ચેમ્બર. તેના વિવિધ સ્વરૂપો રેન્ડમ ચલોના ઘટકોના સરવાળા પર લાદવામાં આવેલી પરિસ્થિતિઓમાં અલગ પડે છે. પ્રથમ વખત, કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના સ્વરૂપોમાંથી એક ઉત્કૃષ્ટ રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી એ.એમ. લાયપુનોવ દ્વારા ખાસ કરીને તેમના દ્વારા વિકસિત લાક્ષણિક કાર્યોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું.

લ્યાપુનોવનું પ્રમેય: સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો
અમર્યાદિત વધારા સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદાનો સંપર્ક કરે છે (એટલે ​​કે, જ્યારે
), જો નીચેની શરતો પૂરી થાય છે:

,

એ નોંધવું જોઈએ કે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય માત્ર સતત માટે જ નહીં, પણ અલગ રેન્ડમ ચલો માટે પણ માન્ય છે. લ્યાપુનોવના પ્રમેયનું વ્યવહારિક મહત્વ પ્રચંડ છે. અનુભવ દર્શાવે છે કે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો નિયમ તેમના વિક્ષેપમાં તુલનાત્મક ઝડપથી સામાન્યની નજીક આવે છે. પહેલાથી જ દસના ક્રમની સંખ્યાબંધ શરતો સાથે, સરવાળાના વિતરણ કાયદાને સામાન્ય દ્વારા બદલી શકાય છે (ખાસ કરીને, આવા સરવાળાનું ઉદાહરણ રેન્ડમ ચલોના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનું અંકગણિત સરેરાશ હોઈ શકે છે, તે છે
).

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો એક વિશેષ કેસ લેપ્લેસનું પ્રમેય છે. તેમાં, તમને યાદ છે તેમ, જ્યારે રેન્ડમ ચલો હોય ત્યારે કેસ ગણવામાં આવે છે
અલગ છે, સમાનરૂપે વિતરિત છે અને માત્ર બે જ સ્વીકારે છે શક્ય મૂલ્યો: 0 અને 1.

આગળ, સંભાવના છે કે અંતરાલમાં સમાયેલ છે
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે

.

લેપ્લેસ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને, છેલ્લું સૂત્ર ગણતરી માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

જ્યાં
.

ઉદાહરણ. ચાલો અમુક ભૌતિક જથ્થાને માપીએ. કોઈપણ માપન માપેલ મૂલ્યનું માત્ર અંદાજિત મૂલ્ય આપે છે, કારણ કે માપન પરિણામ ઘણા સ્વતંત્ર રેન્ડમ પરિબળો (તાપમાન, સાધનની વધઘટ, ભેજ, વગેરે) દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે. આમાંના દરેક પરિબળો નગણ્ય "આંશિક ભૂલ" પેદા કરે છે. જો કે, આ પરિબળોની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોવાથી, તેમની સંયુક્ત અસર નોંધપાત્ર "કુલ ભૂલ" ને જન્મ આપે છે.

પરસ્પર સ્વતંત્ર આંશિક ભૂલોની ખૂબ મોટી સંખ્યાના સરવાળા તરીકે કુલ ભૂલને ધ્યાનમાં લેતા, અમને તારણ કાઢવાનો અધિકાર છે કે કુલ ભૂલનું વિતરણ સામાન્યની નજીક છે. અનુભવ આ નિષ્કર્ષની માન્યતાની પુષ્ટિ કરે છે.

2 જે. બર્નૌલી દ્વારા પ્રસ્તાવિત સાબિતી જટિલ હતી; 1846 માં પી. ચેબીશેવ દ્વારા એક સરળ સાબિતી આપવામાં આવી હતી.

3 તે જાણીતું છે કે બે પરિબળોનું ઉત્પાદન, જેનો સરવાળો એક સ્થિર મૂલ્ય છે, જ્યારે પરિબળ સમાન હોય ત્યારે તે સૌથી વધુ મૂલ્ય ધરાવે છે.

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો (ચેબીશેવનું પ્રમેય).

આ n° માં આપણે એક સરળ સાબિત કરીશું, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી વધુ મહત્વપૂર્ણ સ્વરૂપોકાયદો મોટી સંખ્યામાં પ્રમેયચેબીશેવા. આ પ્રમેય રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશ અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે.

ચાલો પહેલા નીચેની સહાયક સમસ્યા હલ કરીએ.

ઉપલબ્ધ છે રેન્ડમ ચલગાણિતિક અપેક્ષા અને તફાવત સાથે. આ જથ્થા પર સ્વતંત્ર પ્રયોગો કરવામાં આવે છે અને જથ્થાના તમામ અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે. શોધવાની જરૂર છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓઆ અંકગણિતનો અર્થ - ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા - અને શોધો કે તેઓ કેવી રીતે વધવા સાથે બદલાય છે.

ચાલો સૂચિત કરીએ:

પ્રથમ પ્રયોગમાં જથ્થાનું મૂલ્ય;

બીજા પ્રયોગમાં જથ્થાનું મૂલ્ય, વગેરે.

દેખીતી રીતે, જથ્થાઓનો સમૂહ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમાંથી દરેક મૂલ્યની જેમ સમાન કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. ચાલો આ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશને ધ્યાનમાં લઈએ:

રેન્ડમ ચલ એ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનું રેખીય કાર્ય છે . ચાલો ગાણિતિક શોધીએઆ જથ્થાની અપેક્ષા અને તફાવત. ગુણધર્મો અનુસાર ગાણિતિક અપેક્ષાઅને રેખીય કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને નિર્ધારિત કરવા માટે વિક્ષેપ:

તેથી, મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા પ્રયોગોની સંખ્યા પર આધારિત નથી અને અવલોકન કરેલ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે. મૂલ્યના વિક્ષેપની વાત કરીએ તો, તે પ્રયોગોની વધતી સંખ્યા સાથે મર્યાદા વિના ઘટે છે અને, જો પૂરતું મોટું હોય, તો ઇચ્છિત જેટલું નાનું બનાવવું જોઈએ. અમને ખાતરી છે કે અંકગણિત સરેરાશ એ મનસ્વી રીતે નાના વિક્ષેપ સાથેનું રેન્ડમ ચલ છે અને, મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે, વર્તે છે. લગભગ તે રેન્ડમ ન હતું.

ચેબીશેવનું પ્રમેય ચોક્કસ રીતે સ્થાપિત કરે છે માત્રાત્મક સ્વરૂપઆ અંકગણિત સરેરાશની સ્થિરતા ગુણધર્મ છે. તે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે:

પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર પ્રયોગો સાથે, અવ્યવસ્થિત ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ તેની ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છે.

ચાલો એક સૂત્રના રૂપમાં ચેબીશેવના પ્રમેયને લખીએ. આ કરવા માટે, ચાલો આપણે "સંભાવનામાં કન્વર્જેસ" શબ્દનો અર્થ સમજાવીએ. તેઓ કહે છે કે રેન્ડમ ચલ સંભવિતતામાં મૂલ્યમાં કન્વર્જ થાય છે е જો, વધતી સંભાવના સાથે, તે અને મનસ્વી રીતે નજીક હશે, અનિશ્ચિત રૂપે એકતા સુધી પહોંચે છે, જેનો અર્થ છે કે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા

જ્યાં મનસ્વી રીતે નાની સકારાત્મક સંખ્યાઓ છે.

ચાલો ચેબીશેવના પ્રમેયને સમાન સ્વરૂપમાં લખીએ. તેણી દાવો કરે છે કે જ્યારે અંકગણિતનો સરેરાશ વધારો થાય છે

સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે.

(6.7)

ચાલો આ અસમાનતા સાબિત કરીએ.

પુરાવો. તે ઉપર દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે કિંમત

સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે

રેન્ડમ ચલ પર લાગુ કરો વાય ચેબીશેવની અસમાનતા, ધારી રહ્યા છીએ:

સંખ્યા ગમે તેટલી નાની હોય, તે એટલી મોટી લઈ શકાય કે અસમાનતા જળવાઈ રહે

જ્યાં મનસ્વી રીતે નાની સંખ્યા છે.

જ્યાંથી, વિપરીત ઘટના તરફ આગળ વધીએ છીએ, અમારી પાસે છે:

Q.E.D.

જે. બર્નૌલીનું જાણીતું પ્રમેય, ઘટનાની આવર્તન અને તેની સંભાવના વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે, તે મોટી સંખ્યાના કાયદાના સીધા પરિણામ તરીકે સાબિત થવું જોઈએ.

તેને ઉત્પન્ન થવા દો n સ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેમાંના દરેકમાં એક ઘટના દેખાઈ શકે કે ન પણ એ, દરેક પ્રયોગમાં જેની સંભાવના સમાન છે આર . જે. બર્નૌલીનું પ્રમેય જણાવે છે કે, કે અમર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રયોગો n સાથે, ઘટના A ની આવર્તન તેની સંભાવનામાં સંભવિતતામાં કન્વર્જ થાય છે આર.

ચાલો P દ્વારા n પ્રયોગોમાં ઘટના A ની આવર્તન દર્શાવીએ અને બર્નૌલીના પ્રમેયને સૂત્ર તરીકે લખીએ

જ્યાં અને મનસ્વી રીતે નાની સકારાત્મક સંખ્યાઓ છે.

પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે આ ફોર્મ્યુલાની માન્યતા સાબિત કરવી જરૂરી છે n .

પુરાવો. ચાલો સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લઈએ:

X 1 - ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એપ્રથમ પ્રયોગમાં;

X 2- ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એબીજા પ્રયોગમાં, વગેરે.

આ તમામ જથ્થાઓ અલગ છે અને સમાન વિતરણ કાયદો ધરાવે છે, જે ફોર્મની શ્રેણી દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

અહીં q = 1 – p. આ દરેક જથ્થા X i ની ગાણિતિક અપેક્ષા p ની બરાબર છે, અને તેનો તફાવત pq છે (જુઓ L3-p3.2).

આવર્તન આર X 1, X 2, ..., X n જથ્થાઓના અંકગણિત સરેરાશ કરતાં વધુ કંઈ નથી:

P = i /n ,

અને, મોટી સંખ્યાના નિયમ અનુસાર, આ રેન્ડમ ચલોની સામાન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સંભાવનામાં એકરૂપ થાય છે. આ અસમાનતાની માન્યતા સૂચવે છે (6. 1) .

બર્નૌલીનું પ્રમેય. - ખ્યાલ અને પ્રકારો. વર્ગીકરણ અને વર્ગીકરણ લક્ષણો "બર્નોલીનું પ્રમેય." 2017, 2018.

પ્રમેય 13.3 (બર્નોલીનું પ્રમેય).જો દરેકમાં nસ્વતંત્ર પ્રયોગોની સંભાવના આરઘટનાની ઘટના એસતત હોય છે, પછી પૂરતી મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે, ઘટનાઓની સંબંધિત આવર્તનના વિચલન મોડ્યુલની સંભાવના એવી nના પ્રયોગો આરઇચ્છિત તરીકે નાનું હશે, ઇચ્છિત તરીકે 1 ની નજીક:

પુરાવો. ચાલો રેન્ડમ ચલોનો પરિચય કરીએ એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ પી, ક્યાં Xi -દેખાવની સંખ્યા એવી i-m અનુભવ. તે જ સમયે X iમાત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે: 1 (સંભાવના સાથે આર) અને 0 (સંભાવના સાથે q = 1 – પી). વધુમાં, વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલો જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર છે અને તેમના ભિન્નતા એકસરખી રીતે બંધાયેલા છે (કારણ કે ડી(X i) = pq, p + q = 1, ક્યાંથી pq≤ ¼). પરિણામે, ચેબીશેવનું પ્રમેય તેમના માટે લાગુ કરી શકાય છે M i = p:

.

પણ , કારણ કે X iજ્યારે તે દેખાય ત્યારે 1 નું મૂલ્ય લે છે એવી આ અનુભવ, અને 0 ની બરાબર મૂલ્ય જો એથયું નથી. આમ,

Q.E.D.

ટિપ્પણી.બર્નૌલીના પ્રમેયમાંથી ન જોઈએ, શું તે વિશે છેમાત્ર વિશે સંભાવનાઓકે સંબંધિત આવર્તન અને સંપૂર્ણ સંભાવના વચ્ચેનો તફાવત આપખુદ રીતે નાનો બની શકે છે. તફાવત નીચે મુજબ છે: સામાન્ય કન્વર્જન્સ સાથે ગાણિતિક વિશ્લેષણ, દરેક માટે n, ચોક્કસ મૂલ્યથી શરૂ કરીને, અસમાનતા હંમેશા સંતુષ્ટ થાય છે; અમારા કિસ્સામાં આવા મૂલ્યો હોઈ શકે છે n, જેના માટે આ અસમાનતા સાચી નથી. આ પ્રકારના કન્વર્જન્સ કહેવાય છે સંભાવનામાં સંકલન.

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

મોટી સંખ્યાનો કાયદો. ચેબીશેવની અસમાનતા. ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેય

વેબસાઇટ પર વાંચો: "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો. ચેબીશેવની અસમાનતા. ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેય"

જો તમને જરૂર હોય વધારાની સામગ્રીઆ વિષય પર, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

મોટી સંખ્યાનો કાયદો. ચેબીશેવની અસમાનતા. ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેય
આંકડાકીય દાખલાઓના અભ્યાસથી તે સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બન્યું કે, અમુક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, એકંદર વર્તન મોટી માત્રામાંરેન્ડમ ચલો લગભગ તેમના રેન્ડમ પાત્રને ગુમાવે છે અને બની જાય છે

ચેબીશેવની અસમાનતા
ચેબીશેવની અસમાનતા, વધુ પ્રમેય સાબિત કરવા માટે વપરાય છે, તે સતત અને અલગ રેન્ડમ ચલ બંને માટે માન્ય છે. ચાલો તેને અલગ રેન્ડમ ચલ માટે સાબિત કરીએ.

ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેય
પ્રમેય 13.2 (ચેબીશેવનું પ્રમેય). જો X1, X2,..., Xn એ પેરવાઈઝ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે જેની ભિન્નતા એકસમાન છે

લ્યાપુનોવનું કેન્દ્રિય મર્યાદા પ્રમેય. Moivre-Laplace મર્યાદા પ્રમેય
મોટી સંખ્યાનો કાયદો ફોર્મની તપાસ કરતો નથી મર્યાદા કાયદોરેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિતરણ. આ પ્રશ્નને કેન્દ્રીય નામના પ્રમેયના જૂથમાં ગણવામાં આવે છે મર્યાદા પ્રમેય. વિશે

આવર્તન બહુકોણ. નમૂના વિતરણ કાર્ય અને હિસ્ટોગ્રામ
નમૂનામાં અભ્યાસ હેઠળના રેન્ડમ ચલના વર્તનની કલ્પના કરવા માટે, તમે વિવિધ ગ્રાફ બનાવી શકો છો. તેમાંથી એક આવર્તન બહુકોણ છે: તૂટેલી રેખા, જેનાં સેગમેન્ટ્સ જોડાયેલા છે

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર
મુ આંકડાકીય સંશોધનદ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલો માટે, મુખ્ય કાર્ય સામાન્ય રીતે ઘટકો વચ્ચેના સંબંધને ઓળખવાનું છે.

દ્વિ-પરિમાણીય નમૂના એ સમૂહ છે
અંદાજો બાંધવા માટેની પદ્ધતિઓ

1. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ.
1. X ને એક અલગ રેન્ડમ ચલ રહેવા દો જે, n પરીક્ષણોના પરિણામે, x1, x ની કિંમતો લે છેઆત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનું નિર્માણ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવો