ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો મૂળ સાથે કેવી રીતે ઉકેલવા. સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા

તમે ઓર્ડર કરી શકો છો વિગતવાર ઉકેલતમારું કાર્ય !!!

ચિહ્ન હેઠળ અજ્ઞાત સમાયેલ સમાનતા ત્રિકોણમિતિ કાર્ય(`sin x, cos x, tan x` અથવા `ctg x`) ને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે, અને તે તેમના સૂત્રો છે જેનો આપણે આગળ વિચાર કરીશું.

સૌથી સરળ સમીકરણો છે `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, જ્યાં `x` એ શોધવાનો ખૂણો છે, `a` એ કોઈપણ સંખ્યા છે. ચાલો તે દરેક માટે મૂળ સૂત્રો લખીએ.

1. સમીકરણ `sin x=a`.

`|a|>1` માટે તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

જ્યારે `|a| \leq 1` પાસે છે અનંત સંખ્યાનિર્ણયો

મૂળ સૂત્ર: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. સમીકરણ `cos x=a`

`|a|>1` માટે - સાઈનના કિસ્સામાં, વચ્ચેના ઉકેલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓપાસે નથી.

જ્યારે `|a| \leq 1` પાસે છે અનંત સમૂહનિર્ણયો

મૂળ સૂત્ર: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

આલેખમાં સાઈન અને કોસાઈન માટે ખાસ કેસો.

3. સમીકરણ `tg x=a`

`a` ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો ધરાવે છે.

મૂળ સૂત્ર: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. સમીકરણ `ctg x=a`

`a` ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો પણ ધરાવે છે.

મૂળ સૂત્ર: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

કોષ્ટકમાં ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળ માટેના સૂત્રો

સાઈન માટે:
કોસાઇન માટે:
સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે:
વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો:

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

કોઈપણ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવામાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:

તેને સરળમાં રૂપાંતરિત કરવાની સહાયથી;
ઉપર લખેલ મૂળ સૂત્રો અને કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ સૌથી સરળ સમીકરણ ઉકેલો.

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય ઉકેલ પદ્ધતિઓ જોઈએ.

બીજગણિત પદ્ધતિ.

આ પદ્ધતિમાં ચલને બદલવાનો અને તેને સમાનતામાં બદલવાનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

રિપ્લેસમેન્ટ કરો: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, પછી `2y^2-3y+1=0`,

આપણે મૂળ શોધીએ છીએ: `y_1=1, y_2=1/2`, જેમાંથી બે કેસ અનુસરે છે:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm આર્કોસ 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

જવાબ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ફેક્ટરાઇઝેશન.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `sin x+cos x=1`.

ઉકેલ. ચાલો સમાનતાની બધી શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ: `sin x+cos x-1=0`. નો ઉપયોગ કરીને , અમે ડાબી બાજુનું રૂપાંતર અને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

જવાબ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

સજાતીય સમીકરણમાં ઘટાડો

પ્રથમ, તમારે આ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને બેમાંથી એક સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની જરૂર છે:

`a sin x+b cos x=0` ( સજાતીય સમીકરણપ્રથમ ડિગ્રી) અથવા `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (બીજી ડિગ્રીનું સજાતીય સમીકરણ).

પછી બંને ભાગોને `cos x \ne 0` દ્વારા વિભાજિત કરો - પ્રથમ કેસ માટે, અને `cos^2 x \ne 0` દ્વારા - બીજા માટે. અમે `tg x`: `a tg x+b=0` અને `a tg^2 x + b tg x +c =0` માટે સમીકરણો મેળવીએ છીએ, જેને જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

ઉકેલ. ચાલો તેને લખીએ જમણી બાજુજેમ કે `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

આ બીજી ડિગ્રીનું એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે, આપણે તેની ડાબી અને જમણી બાજુઓને `cos^2 x \ne 0` વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. ચાલો બદલીએ `tg x=t`, પરિણામે `t^2 + t - 2=0`. આ સમીકરણના મૂળ છે `t_1=-2` અને `t_2=1`. પછી:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

જવાબ આપો. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

હાફ એંગલ પર ખસેડવું

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

ઉકેલ. ચાલો સૂત્રો લાગુ કરીએ ડબલ કોણ, પરિણામે: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ઉપરોક્ત લાગુ કરવું બીજગણિત પદ્ધતિ, અમને મળે છે:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

જવાબ આપો. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

સહાયક કોણનો પરિચય

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણમાં `a sin x + b cos x =c`, જ્યાં a,b,c ગુણાંક છે અને x એ ચલ છે, બંને બાજુઓને `sqrt (a^2+b^2)` વડે વિભાજીત કરો:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

ડાબી બાજુના ગુણાંકમાં સાઈન અને કોસાઈનના ગુણધર્મો છે, એટલે કે તેમના ચોરસનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે અને તેમના મોડ્યુલ 1 કરતા વધારે નથી. ચાલો તેમને નીચે પ્રમાણે દર્શાવીએ: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, પછી:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણ પર નજીકથી નજર કરીએ:

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો: `3 sin x+4 cos x=2`.

ઉકેલ. સમાનતાની બંને બાજુઓને `sqrt (3^2+4^2)` વડે વિભાજીત કરીએ તો આપણને મળે છે:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

ચાલો `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` સૂચવીએ. ત્યારથી `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, તો પછી આપણે `\varphi=arcsin 4/5` ને સહાયક કોણ તરીકે લઈએ છીએ. પછી અમે ફોર્મમાં અમારી સમાનતા લખીએ છીએ:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

સાઈન માટેના ખૂણાઓના સરવાળા માટે સૂત્ર લાગુ કરીને, અમે અમારી સમાનતા નીચેના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n આર્ક્સીન 2/5-` `આર્કસિન 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

જવાબ આપો. `x=(-1)^n આર્ક્સીન 2/5-` `આર્કસિન 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

આ અપૂર્ણાંકો સાથે સમાનતા છે જેના અંશ અને છેદ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ધરાવે છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

ઉકેલ. સમાનતાની જમણી બાજુને `(1+cos x)` વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો. પરિણામે આપણને મળે છે:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

છેદ શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે તે ધ્યાનમાં લેતા, આપણને `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` મળે છે.

ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. પછી `sin x=0` અથવા `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

આપેલ છે કે ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ઉકેલો છે `x=2\pi n, n \in Z` અને `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

જવાબ આપો. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

ત્રિકોણમિતિ અને ખાસ કરીને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો ઉપયોગ ભૂમિતિ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને એન્જિનિયરિંગના લગભગ તમામ ક્ષેત્રોમાં થાય છે. 10મા ધોરણમાં અભ્યાસ શરૂ થાય છે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે હંમેશા કાર્યો હોય છે, તેથી ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના તમામ સૂત્રો યાદ રાખવાનો પ્રયાસ કરો - તે ચોક્કસપણે તમારા માટે ઉપયોગી થશે!

જો કે, તમારે તેમને યાદ રાખવાની પણ જરૂર નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સારને સમજવું અને તેને પ્રાપ્ત કરવામાં સક્ષમ થવું. તે લાગે છે તેટલું મુશ્કેલ નથી. વિડીયો જોઈને જાતે જ જોઈ લો.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઈમેલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો, નિયમ તરીકે, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો છે:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x એ શોધવાનો ખૂણો છે,
a કોઈપણ સંખ્યા છે.

અને અહીં એવા સૂત્રો છે જેની મદદથી તમે આ સરળ સમીકરણોના ઉકેલો તરત જ લખી શકો છો.

સાઈન માટે:

કોસાઇન માટે:

x = ± આર્કોસ a + 2π n, n ∈ Z

સ્પર્શક માટે:

x = આર્ક્ટન a + π n, n ∈ Z

કોટેન્જન્ટ માટે:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

ખરેખર, આ તે જ છે સૈદ્ધાંતિક ભાગસરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા. તદુપરાંત, બધું!) બિલકુલ કંઈ નથી. જો કે, આ વિષય પરની ભૂલોની સંખ્યા ફક્ત ચાર્ટની બહાર છે. ખાસ કરીને જો ઉદાહરણ નમૂનામાંથી સહેજ વિચલિત થાય. શા માટે?

હા, કારણ કે ઘણા લોકો આ પત્રો લખે છે, તેનો અર્થ બિલકુલ સમજ્યા વિના!તે સાવધાની સાથે લખે છે, કદાચ કંઈક ન થાય...) આને ઉકેલવાની જરૂર છે. લોકો માટે ત્રિકોણમિતિ, અથવા લોકો ત્રિકોણમિતિ માટે, છેવટે!?)

ચાલો તે આકૃતિ કરીએ?

એક ખૂણો બરાબર હશે આર્કોસ એ, બીજું: -આરકોસ એ.

અને તે હંમેશા આ રીતે કામ કરશે.કોઈપણ માટે એ.

જો તમે મારા પર વિશ્વાસ ન કરતા હો, તો તમારું માઉસ ચિત્ર પર ફેરવો અથવા તમારા ટેબ્લેટ પરના ચિત્રને સ્પર્શ કરો.) મેં નંબર બદલ્યો છે એ કંઈક નકારાત્મક માટે. કોઈપણ રીતે, અમને એક ખૂણો મળ્યો આર્કોસ એ, બીજું: -આરકોસ એ.

તેથી, જવાબ હંમેશા મૂળની બે શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - આર્કોસ a + 2π n, n ∈ Z

ચાલો આ બે શ્રેણીઓને એકમાં જોડીએ:

x= ± આર્કોસ a + 2π n, n ∈ Z

અને તે બધુ જ છે. અમે કોસાઇન સાથેના સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવા માટે એક સામાન્ય સૂત્ર મેળવ્યું છે.

જો તમે સમજો છો કે આ કોઈ પ્રકારનું સુપરસાયન્ટિફિક શાણપણ નથી, પરંતુ જવાબોની બે શ્રેણીનું માત્ર એક ટૂંકું સંસ્કરણ,તમે "C" કાર્યોને પણ હેન્ડલ કરી શકશો. અસમાનતા સાથે, આપેલ અંતરાલમાંથી મૂળ પસંદ કરીને... ત્યાં વત્તા/માઈનસ સાથેનો જવાબ કામ કરતું નથી. પરંતુ જો તમે જવાબને વ્યવસાય સમાન રીતે ગણશો અને તેને બે અલગ-અલગ જવાબોમાં વિભાજીત કરશો, તો બધું ઉકેલાઈ જશે.) ખરેખર, તેથી જ અમે તેની તપાસ કરી રહ્યા છીએ. શું, કેવી રીતે અને ક્યાં.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણમાં

sinx = a

આપણને મૂળની બે શ્રેણી પણ મળે છે. હંમેશા. અને આ બે શ્રેણીઓ પણ રેકોર્ડ કરી શકાય છે એક લીટીમાં. ફક્ત આ લાઇન વધુ મુશ્કેલ હશે:

x = (-1) n આર્ક્સીન a + π n, n ∈ Z

પરંતુ સાર એ જ રહે છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ મૂળની શ્રેણીના બે રેકોર્ડને બદલે એક બનાવવા માટે એક સૂત્ર તૈયાર કર્યું છે. બસ એટલું જ!

ચાલો ગણિતશાસ્ત્રીઓ તપાસીએ? અને તમે ક્યારેય જાણતા નથી ...)

અગાઉના પાઠમાં, સાઈન સાથેના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણના ઉકેલ (કોઈપણ સૂત્રો વિના)ની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી:

જવાબ મૂળની બે શ્રેણીમાં પરિણમ્યો:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

જો આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમાન સમીકરણ હલ કરીએ, તો આપણને જવાબ મળશે:

x = (-1) n આર્ક્સીન 0.5 + π n, n ∈ Z

ખરેખર, આ એક અધૂરો જવાબ છે.) વિદ્યાર્થીએ તે જાણવું જોઈએ આર્ક્સીન 0.5 = π /6.સંપૂર્ણ જવાબ હશે:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

અહીં તે ઉદભવે છે રસ પૂછો. દ્વારા જવાબ આપો x 1; x 2 (આ સાચો જવાબ છે!) અને એકલતા દ્વારા એક્સ (અને આ સાચો જવાબ છે!) - શું તે સમાન વસ્તુ છે કે નહીં? અમે હવે શોધીશું.)

અમે જવાબમાં સાથે બદલીએ છીએ x 1 મૂલ્યો n =0; 1; 2; વગેરે, અમે ગણતરી કરીએ છીએ, અમને મૂળની શ્રેણી મળે છે:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 અને તેથી વધુ.

સાથે પ્રતિભાવમાં સમાન અવેજી સાથે x 2 , અમને મળે છે:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 અને તેથી વધુ.

હવે ચાલો મૂલ્યોને બદલીએ n (0; 1; 2; 3; 4...) સિંગલ માટેના સામાન્ય સૂત્રમાં એક્સ . એટલે કે, આપણે માઈનસ વનને શૂન્ય પાવરમાં વધારીએ છીએ, પછી પ્રથમ, સેકન્ડ, વગેરે. ઠીક છે, અલબત્ત, અમે બીજા શબ્દમાં 0 ને બદલીએ છીએ; 1; 2 3; 4, વગેરે. અને અમે ગણતરી કરીએ છીએ. અમને શ્રેણી મળે છે:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 અને તેથી વધુ.

આટલું જ તમે જોઈ શકો છો.) સામાન્ય સૂત્રઅમને આપે છે બરાબર એ જ પરિણામોજેમ કે બે જવાબો અલગથી છે. એક જ સમયે બધું જ, ક્રમમાં. ગણિતશાસ્ત્રીઓ મૂર્ખ બન્યા ન હતા.)

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ સાથે ઉકેલવા માટેના સૂત્રો પણ ચકાસી શકાય છે. પરંતુ અમે નહીં કરીએ.) તેઓ પહેલેથી જ સરળ છે.

મેં આ તમામ અવેજીકરણ અને ચકાસણી ખાસ લખી છે. અહીં એક વાત સમજવી જરૂરી છે સરળ વસ્તુ: પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો છે, માત્ર ટૂંકી નોંધજવાબોઆ સંક્ષિપ્તતા માટે, આપણે કોસાઈન સોલ્યુશનમાં વત્તા/માઈનસ અને સાઈન સોલ્યુશનમાં (-1) n દાખલ કરવું પડ્યું.

આ ઇન્સર્ટ એવા કાર્યોમાં કોઈપણ રીતે દખલ કરતા નથી જ્યાં તમારે ફક્ત જવાબ લખવાની જરૂર હોય છે પ્રાથમિક સમીકરણ. પરંતુ જો તમારે કોઈ અસમાનતાને હલ કરવાની જરૂર હોય, અથવા પછી તમારે જવાબ સાથે કંઈક કરવાની જરૂર હોય: અંતરાલ પર મૂળ પસંદ કરો, ODZ માટે તપાસો, વગેરે, આ નિવેશ વ્યક્તિને સરળતાથી અસ્વસ્થ કરી શકે છે.

તો મારે શું કરવું જોઈએ? હા, કાં તો જવાબ બે શ્રેણીમાં લખો, અથવા સમીકરણ/અસમાનતા ઉકેલો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર.પછી આ નિવેશ અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને જીવન સરળ બને છે.)

અમે સારાંશ આપી શકીએ છીએ.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટે, તૈયાર જવાબ સૂત્રો છે. ચાર ટુકડા. તેઓ તરત જ સમીકરણનો ઉકેલ લખવા માટે સારા છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે સમીકરણો હલ કરવાની જરૂર છે:

sinx = 0.3

સરળતાથી: x = (-1) n આર્ક્સીન 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

કોઇ વાંધો નહી: x = ± આર્કોસ 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

સરળતાથી: x = આર્ક્ટાન 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

એક બાકી: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

જો તમે, જ્ઞાનથી ચમકતા હો, તો તરત જ જવાબ લખો:

x= ± આર્કોસ 1.8 + 2π n, n ∈ Z

તો પછી તમે પહેલેથી જ ચમકી રહ્યા છો, આ... તે... ખાબોચિયુંમાંથી.) સાચો જવાબ: ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી. સમજાતું નથી કેમ? વાંચવું, આર્કોસિન શું છે?તદુપરાંત, જો જમણી બાજુએ મૂળ સમીકરણમૂલ્યવાન છે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટના ટેબ્યુલર મૂલ્યો, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 અને તેથી વધુ. - કમાનો દ્વારા જવાબ અધૂરો રહેશે. કમાનોને રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરવી આવશ્યક છે.

અને જો તમે અસમાનતાનો સામનો કરો છો, તો જેમ

પછી જવાબ છે:

x πn, n ∈ Z

ત્યાં દુર્લભ બકવાસ છે, હા...) અહીં તમારે જરૂર છે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનક્કી કરો. આપણે અનુરૂપ વિષયમાં શું કરીશું.

જેઓ વીરતાપૂર્વક આ પંક્તિઓ વાંચે છે તેમના માટે. હું ફક્ત મદદ કરી શકતો નથી પરંતુ તમારા ટાઇટેનિક પ્રયત્નોની પ્રશંસા કરું છું. તમારા માટે બોનસ.)

બોનસ:

ભયજનક લડાઇની પરિસ્થિતિમાં સૂત્રો લખતી વખતે, અનુભવી અભ્યાસુઓ પણ ઘણીવાર મૂંઝવણ અનુભવે છે કે ક્યાં πn, અને ક્યાં 2π એન. અહીં તમારા માટે એક સરળ યુક્તિ છે. માં દરેક વ્યક્તિવર્થ સૂત્રો πn. ચાપ કોસાઇન સાથેના એકમાત્ર સૂત્ર સિવાય. તે ત્યાં જ ઊભો છે 2πn. બે peen કીવર્ડ - બેઆ જ સૂત્રમાં છે બેશરૂઆતમાં સહી કરો. વત્તા અને ઓછા. અહીં અને ત્યાં - બે

તેથી જો તમે લખ્યું બેઆર્ક કોસાઇન પહેલાં સાઇન કરો, અંતે શું થશે તે યાદ રાખવું વધુ સરળ છે બે peen અને તે બીજી રીતે પણ થાય છે. વ્યક્તિ નિશાની ચૂકી જશે ± , અંત સુધી પહોંચે છે, યોગ્ય રીતે લખે છે બેપિએન, અને તે તેના ભાનમાં આવશે. આગળ કંઈક છે બેહસ્તાક્ષર! વ્યક્તિ શરૂઆતમાં પાછા ફરશે અને ભૂલ સુધારશે! આની જેમ.)

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

1C થી ગ્રેડ 10 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં મેન્યુઅલ અને સિમ્યુલેટર
અમે ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓ હલ કરીએ છીએ. અવકાશમાં નિર્માણ માટે ઇન્ટરેક્ટિવ કાર્યો
સોફ્ટવેર પર્યાવરણ "1C: મેથેમેટિકલ કન્સ્ટ્રક્ટર 6.1"

આપણે શું અભ્યાસ કરીશું:
1. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો શું છે?

3. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની બે મુખ્ય પદ્ધતિઓ.
4. સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.
5. ઉદાહરણો.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો શું છે?

મિત્રો, અમે આર્કસાઇન, આર્કોસાઇન, આર્કટેન્જેન્ટ અને આર્કોટેન્જેન્ટનો અભ્યાસ કરી ચૂક્યા છીએ. હવે ચાલો સામાન્ય રીતે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો જોઈએ.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો– એક સમીકરણ જેમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની હેઠળ ચલ સમાયેલ છે.

ચાલો સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાના સ્વરૂપનું પુનરાવર્તન કરીએ:

1)જો |a|≤ 1, તો સમીકરણ cos(x) = a નો ઉકેલ છે:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) જો |a|≤ 1, તો પાપ સમીકરણ(x) = a પાસે ઉકેલ છે:

3) જો |a| > 1, પછી સમીકરણ sin(x) = a અને cos(x) = a પાસે કોઈ ઉકેલ નથી 4) tg(x)=a સમીકરણ પાસે ઉકેલ છે: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a સમીકરણનો ઉકેલ છે: x=arcctg(a)+ πk

બધા સૂત્રો માટે k એ પૂર્ણાંક છે

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનું સ્વરૂપ છે: T(kx+m)=a, T કેટલાક ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે.

ઉદાહરણ.

સમીકરણો ઉકેલો: a) sin(3x)= √3/2

ઉકેલ:

A) ચાલો 3x=t દર્શાવીએ, પછી આપણે આપણું સમીકરણ ફોર્મમાં ફરીથી લખીશું:

આ સમીકરણનો ઉકેલ હશે: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી આપણને મળે છે: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

ચાલો આપણા ચલ પર પાછા આવીએ: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

પછી x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

જવાબ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે. (-1)^n – n ની ઘાત માટે ઓછા એક.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વધુ ઉદાહરણો.

સમીકરણો ઉકેલો: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

ઉકેલ:

A) આ વખતે ચાલો સીધા જ સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરવા તરફ આગળ વધીએ:

X/5= ± આર્કોસ(1) + 2πk. પછી x/5= πk => x=5πk

જવાબ: x=5πk, જ્યાં k એ પૂર્ણાંક છે.

B) અમે તેને ફોર્મમાં લખીએ છીએ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. આપણે જાણીએ છીએ કે: આર્ક્ટન(√3) = π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

જવાબ: x=2π/9 + πk/3, જ્યાં k એ પૂર્ણાંક છે.

સમીકરણો ઉકેલો: cos(4x)= √2/2. અને સેગમેન્ટ પરના તમામ મૂળ શોધો.

ઉકેલ:

અમે નક્કી કરીશું સામાન્ય દૃશ્યઆપણું સમીકરણ: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

હવે ચાલો જોઈએ કે આપણા સેગમેન્ટ પર કયા મૂળ પડે છે. k પર k=0, x= π/16 પર, આપણે આપેલ સેગમેન્ટમાં છીએ.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 સાથે, આપણે ફરી હિટ કરીએ છીએ.
k=2 માટે, x= π/16+ π=17π/16, પરંતુ અહીં આપણે હિટ નથી કર્યું, જેનો અર્થ છે કે મોટા k માટે આપણે પણ દેખીતી રીતે હિટ નહીં કરીએ.

જવાબ: x= π/16, x= 9π/16

બે મુખ્ય ઉકેલ પદ્ધતિઓ.

અમે સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો જોયા, પણ વધુ જટિલ સમીકરણો પણ છે. તેમને ઉકેલવા માટે, નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ અને પરિબળીકરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ:

ઉકેલ:
અમારા સમીકરણને ઉકેલવા માટે, અમે એક નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું, જે સૂચવે છે: t=tg(x).

રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે આપણને મળે છે: t 2 + 2t -1 = 0

ચાલો મૂળ શોધીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ: t=-1 અને t=1/3

પછી tg(x)=-1 અને tg(x)=1/3, આપણને સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ મળે છે, ચાલો તેના મૂળ શોધીએ.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

જવાબ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

સમીકરણ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

સમીકરણો ઉકેલો: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

ઉકેલ:

ચાલો ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

ચાલો બદલીએ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

આપણા ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ એ મૂળ છે: t=2 અને t=-1/2

પછી cos(x)=2 અને cos(x)=-1/2.

કારણ કે કોસાઇન એક કરતાં વધુ મૂલ્યો લઈ શકતું નથી, તો cos(x)=2 પાસે કોઈ મૂળ નથી.

cos(x)=-1/2 માટે: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

જવાબ: x= ±2π/3 + 2πk

એકરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

વ્યાખ્યા: sin(x)+b cos(x) સ્વરૂપના સમીકરણોને પ્રથમ ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.

ફોર્મના સમીકરણો

બીજી ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

પ્રથમ ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તેને cos(x) વડે વિભાજીત કરો: તમે કોસાઇન દ્વારા વિભાજિત કરી શકતા નથી જો તે શૂન્ય બરાબર, ચાલો ખાતરી કરીએ કે આ કેસ નથી:
ચાલો cos(x)=0, પછી asin(x)+0=0 => sin(x)=0, પરંતુ સાઈન અને કોસાઈન એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી, આપણને વિરોધાભાસ મળે છે, જેથી આપણે સુરક્ષિત રીતે ભાગી શકીએ. શૂન્ય દ્વારા.