આ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરતમને વિભેદક સમીકરણો ઓનલાઈન ઉકેલવા દે છે. તમારા સમીકરણને યોગ્ય ક્ષેત્રમાં દાખલ કરવા માટે પૂરતું છે, એપોસ્ટ્રોફી દ્વારા ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને સૂચવીને, અને "સમીકરણ ઉકેલો" બટન પર ક્લિક કરો અને લોકપ્રિય WolframAlpha વેબસાઇટના આધારે અમલમાં મૂકાયેલ સિસ્ટમ વિગતવાર આપશે વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવુંસંપૂર્ણપણે મફત. તમે કોચી સમસ્યાને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો જેથી કરીને સમગ્ર સેટમાંથી શક્ય ઉકેલોઆપેલ પ્રારંભિક શરતોને અનુરૂપ ભાગને પસંદ કરો. કોચી સમસ્યા એક અલગ ક્ષેત્રમાં દાખલ કરવામાં આવી છે.

વિભેદક સમીકરણ

મૂળભૂત રીતે, સમીકરણમાં કાર્ય yચલનું કાર્ય છે x. જો કે, તમે ચલ માટે તમારા પોતાના હોદ્દાનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, y(t) સમીકરણમાં, કેલ્ક્યુલેટર આપોઆપ ઓળખી જશે yચલમાંથી એક કાર્ય છે t. કેલ્ક્યુલેટરની મદદથી તમે કરી શકો છો વિભેદક સમીકરણો ઉકેલોકોઈપણ જટિલતા અને પ્રકારનું: સજાતીય અને અસંગત, રેખીય અથવા બિનરેખીય, પ્રથમ ક્રમ અથવા બીજા અને ઉચ્ચ ક્રમ, વિભાજિત અથવા અવિભાજ્ય ચલો સાથેના સમીકરણો, વગેરે. ઉકેલ તફાવત. સમીકરણો આપવામાં આવે છે વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપ, તે છે વિગતવાર વર્ણન. વિભેદક સમીકરણોભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં ખૂબ જ સામાન્ય. તેમની ગણતરી કર્યા વિના, ઘણી સમસ્યાઓ (ખાસ કરીને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં) ઉકેલવી અશક્ય છે.

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવાના તબક્કાઓ પૈકીનું એક છે સંકલન કાર્યો. વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટે પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓ છે. વિભાજિત ચલ y અને x સાથેના સ્વરૂપમાં સમીકરણોને ઘટાડવું અને વિભાજિત કાર્યોને અલગથી એકીકૃત કરવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, કેટલીકવાર ચોક્કસ રિપ્લેસમેન્ટ કરવું આવશ્યક છે.

વિભેદક સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જેમાં કાર્ય અને તેના એક અથવા વધુ ડેરિવેટિવ્ઝનો સમાવેશ થાય છે. મોટાભાગની વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, કાર્યો છે ભૌતિક જથ્થો, ડેરિવેટિવ્ઝ આ જથ્થાઓના ફેરફારના દરોને અનુરૂપ છે, અને સમીકરણ તેમની વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરે છે.

આ લેખ ચોક્કસ પ્રકારના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે, જેના ઉકેલો ફોર્મમાં લખી શકાય છે. પ્રાથમિક કાર્યો, એટલે કે, બહુપદી, ઘાતાંકીય, લઘુગણક અને ત્રિકોણમિતિ, તેમજ તેમના વ્યસ્ત કાર્યો. આમાંના ઘણા સમીકરણો વાસ્તવિક જીવનમાં જોવા મળે છે, જો કે મોટાભાગના અન્ય વિભેદક સમીકરણો આ પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાતા નથી, અને તેમના માટે જવાબ ખાસ કાર્યોના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે અથવા પાવર શ્રેણી, અથવા છે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ.

આ લેખને સમજવા માટે, તમારે વિભેદક અને અભિન્ન ગણતરીમાં નિપુણ હોવું જોઈએ, તેમજ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની થોડી સમજ હોવી જોઈએ. મૂળભૂત બાબતો જાણવાની પણ ભલામણ કરવામાં આવે છે રેખીય બીજગણિતવિભેદક સમીકરણોને લાગુ કરવા માટે, ખાસ કરીને બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો માટે, જો કે વિભેદક અને અભિન્ન કલન.

પ્રાથમિક માહિતી

• વિભેદક સમીકરણોનું વ્યાપક વર્ગીકરણ છે. IN આ લેખવિશે વાત કરે છે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો, એટલે કે, સમીકરણો વિશે કે જેમાં એક ચલ અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝના કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો સમજવા અને ઉકેલવા કરતાં વધુ સરળ છે આંશિક વિભેદક સમીકરણો, જેમાં અનેક ચલોના કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. આ લેખ આંશિક વિભેદક સમીકરણોની ચર્ચા કરતો નથી, કારણ કે આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સામાન્ય રીતે તેમના ચોક્કસ સ્વરૂપ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
  • નીચે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો છે.
    • d y d x = k y (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • નીચે આંશિક વિભેદક સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો છે.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\આંશિક y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t)))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• ઓર્ડરવિભેદક સમીકરણ તેમાં સમાવિષ્ટ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નના ક્રમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે આપેલ સમીકરણ. ઉપરોક્ત સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોમાંથી પ્રથમ પ્રથમ ક્રમનું છે, જ્યારે બીજું બીજા ક્રમનું સમીકરણ છે. ડીગ્રીવિભેદક સમીકરણ એ સર્વોચ્ચ શક્તિ છે કે જેના પર આ સમીકરણની શરતોમાંથી એક ઉભી કરવામાં આવે છે.
  • ઉદાહરણ તરીકે, નીચેનું સમીકરણ ત્રીજો ક્રમ અને બીજી ડિગ્રી છે.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d))^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ જમણે)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• વિભેદક સમીકરણ છે રેખીય વિભેદક સમીકરણકાર્ય અને તેના તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રથમ ડિગ્રીમાં હોય તેવી ઘટનામાં. અન્યથા સમીકરણ છે બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણ. રેખીય વિભેદક સમીકરણો નોંધપાત્ર છે કે તેમના ઉકેલોનો ઉપયોગ રેખીય સંયોજનો બનાવવા માટે થઈ શકે છે જે આપેલ સમીકરણના ઉકેલો પણ હશે.
  • નીચે રેખીય વિભેદક સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો છે.
  • નીચે બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો છે. પ્રથમ સમીકરણ સાઈન શબ્દને કારણે બિનરેખીય છે.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• સામાન્ય નિર્ણયસામાન્ય વિભેદક સમીકરણ અનન્ય નથી, તેમાં સમાવેશ થાય છે મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંકો. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, મનસ્વી સ્થિરાંકોની સંખ્યા સમીકરણના ક્રમ જેટલી હોય છે. વ્યવહારમાં, આ સ્થિરાંકોના મૂલ્યો આપેલના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે પ્રારંભિક શરતો, એટલે કે, ફંક્શનના મૂલ્યો અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ પર x = 0. (\displaystyle x=0.)નંબર પ્રારંભિક શરતો, જે શોધવા માટે જરૂરી છે ખાનગી ઉકેલવિભેદક સમીકરણ, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આપેલ સમીકરણના ક્રમ સમાન હોય છે.
  • ઉદાહરણ તરીકે, આ લેખ નીચેના સમીકરણને ઉકેલવા પર જોશે. આ સેકન્ડ ઓર્ડર રેખીય વિભેદક સમીકરણ છે. તેમના સામાન્ય નિર્ણયબે મનસ્વી સ્થિરાંકો ધરાવે છે. આ સ્થિરાંકો શોધવા માટે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને જાણવી જરૂરી છે x (0) (\Displaystyle x(0))અને x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)સામાન્ય રીતે પ્રારંભિક શરતો બિંદુ પર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે x = 0 , (\displaystyle x=0,), જો કે આ જરૂરી નથી. આ લેખ આપેલ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ માટે ચોક્કસ ઉકેલો કેવી રીતે શોધી શકાય તેની પણ ચર્ચા કરશે.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

પગલાં

ભાગ 1

આ સેવાનો ઉપયોગ કરતી વખતે, કેટલીક માહિતી YouTube પર સ્થાનાંતરિત થઈ શકે છે.

1. પ્રથમ ક્રમના રેખીય સમીકરણો. IN આ વિભાગસામાન્ય રીતે પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ અને ખાસ કિસ્સાઓમાં જ્યારે કેટલાક શબ્દો શૂન્ય સમાન હોય છે. ચાલો તે ડોળ કરીએ y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\Displaystyle p(x))અને q (x) (\displaystyle q(x))કાર્યો છે x (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)એક મુખ્ય પ્રમેય મુજબ ગાણિતિક વિશ્લેષણ, ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું અભિન્ન પણ એક કાર્ય છે. આમ, તેનો ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણને ફક્ત એકીકૃત કરવું પૂરતું છે. તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે જ્યારે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે એક મનસ્વી સ્થિરાંક દેખાય છે.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)અમે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ ચલોનું વિભાજન. આ વિવિધ ચલોને સમીકરણની વિવિધ બાજુઓ પર ખસેડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે બધા સભ્યોને અહીંથી ખસેડી શકો છો y (\Displaystyle y)એકમાં, અને સાથે બધા સભ્યો x (\displaystyle x)સમીકરણની બીજી બાજુએ. સભ્યોને ટ્રાન્સફર પણ કરી શકાય છે d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)અને d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), જે વ્યુત્પન્ન અભિવ્યક્તિઓમાં શામેલ છે, પરંતુ તે યાદ રાખવું જોઈએ કે આ ન્યાયી છે પ્રતીક, જે જટિલ કાર્યને અલગ કરતી વખતે અનુકૂળ છે. આ સભ્યોની ચર્ચા, જેને બોલાવવામાં આવે છે તફાવત, આ લેખના અવકાશની બહાર છે.

   • પ્રથમ, તમારે ચલોને સમાન ચિહ્નની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર ખસેડવાની જરૂર છે.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ. એકીકરણ પછી, મનસ્વી સ્થિરાંકો બંને બાજુઓ પર દેખાશે, જેને સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે જમણી બાજુસમીકરણો
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ઉદાહરણ 1.1.છેલ્લા પગલામાં અમે નિયમનો ઉપયોગ કર્યો e a + b = e a e b (\ displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))અને બદલી e C (\displaystyle e^(C))પર C (\Displaystyle C), કારણ કે આ પણ મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંક છે.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displayalign(\displayaled(\) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(સંરેખિત)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે અમે રજૂ કર્યું સંકલન પરિબળના કાર્ય તરીકે x (\displaystyle x)ડાબી બાજુને સામાન્ય વ્યુત્પન્ન કરવા માટે અને આમ સમીકરણ ઉકેલવા માટે.

   • બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો μ (x) (\Displaystyle \mu (x))
     • μd y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • ડાબી બાજુને સામાન્ય ડેરિવેટિવમાં ઘટાડવા માટે, નીચેના રૂપાંતરણો કરવા આવશ્યક છે:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • છેલ્લી સમાનતા એટલે કે d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\mu )(\mathrm (d) )x))=\mu p). આ એક સંકલિત પરિબળ છે જે કોઈપણ પ્રથમ-ક્રમના રેખીય સમીકરણને ઉકેલવા માટે પૂરતું છે. હવે આપણે આ સમીકરણના સંદર્ભમાં ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ μ , (\displaystyle \mu ,)જો કે તે તમામ મધ્યવર્તી ગણતરીઓ કરવા માટે તાલીમ માટે ઉપયોગી છે.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ઉદાહરણ 1.2.આ ઉદાહરણ દર્શાવે છે કે આપેલ પ્રારંભિક શરતો સાથે વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2))\end(સંરેખિત)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   પ્રથમ ક્રમના રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા (નોટેશન ઇન્ટ્યુટ - રાષ્ટ્રીય ઓપન યુનિવર્સિટી).

2. બિનરેખીય પ્રથમ ક્રમ સમીકરણો. આ વિભાગ કેટલાક પ્રથમ ક્રમના બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે. જો કે આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે કોઈ સામાન્ય પદ્ધતિ નથી, તેમ છતાં તેમાંથી કેટલીક નીચેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\પ્રદર્શન શૈલી (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)જો કાર્ય f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))એક ચલના કાર્યોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, આવા સમીકરણ કહેવામાં આવે છે વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણ. આ કિસ્સામાં, તમે ઉપરોક્ત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • ઉદાહરણ 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ શરૂઆત(સંરેખિત)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\અંત(સંરેખિત)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\પ્રદર્શન શૈલી (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))))ચાલો તે ડોળ કરીએ g (x , y) (\displaystyle g(x,y))અને h (x , y) (\displaystyle h(x,y))કાર્યો છે x (\displaystyle x)અને y. (\પ્રદર્શન શૈલી y.)પછી સજાતીય વિભેદક સમીકરણએક સમીકરણ છે જેમાં g (\displaystyle g)અને h (\displaystyle h)છે સજાતીય કાર્યો સમાન ડિગ્રી સુધી. એટલે કે, કાર્યોએ સ્થિતિને સંતોષવી જોઈએ g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)જ્યાં k (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ k)એકરૂપતાની ડિગ્રી કહેવાય છે. કોઈપણ સજાતીય વિભેદક સમીકરણનો ઉપયોગ યોગ્ય દ્વારા કરી શકાય છે ચલોના અવેજી (v = y / x (\displaystyle v=y/x)અથવા v = x / y (\displaystyle v=x/y)) અલગ કરી શકાય તેવા સમીકરણમાં કન્વર્ટ કરો.

   • ઉદાહરણ 1.4.એકરૂપતાનું ઉપરનું વર્ણન અસ્પષ્ટ લાગે છે. ચાલો આ ખ્યાલને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • શરૂ કરવા માટે, એ નોંધવું જોઈએ કે આ સમીકરણ સંદર્ભમાં બિનરેખીય છે y. (\પ્રદર્શન શૈલી y.)અમે તે માં પણ જોઈએ છીએ આ બાબતેતમે ચલોને અલગ કરી શકતા નથી. તે જ સમયે, આ વિભેદક સમીકરણ સજાતીય છે, કારણ કે અંશ અને છેદ બંને 3 ની શક્તિ સાથે એકરૂપ છે. તેથી, આપણે ચલોમાં ફેરફાર કરી શકીએ છીએ. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\પ્રદર્શન શૈલી (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)પરિણામે, અમારી પાસે માટે સમીકરણ છે v (\Displaystyle v)અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથે.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\પ્રદર્શન શૈલી (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)આ બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણ- પ્રથમ ડિગ્રીનું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું બિનરેખીય સમીકરણ, જેનો ઉકેલ પ્રાથમિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે.

   • દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરો (1 − n) y − n (\Displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • અમે ડાબી બાજુના જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને સમીકરણને તેમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ રેખીય સમીકરણપ્રમાણમાં y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)જે ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\ mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x))=0.)આ માં સમીકરણ સંપૂર્ણ તફાવતો . તે કહેવાતા શોધવા માટે જરૂરી છે સંભવિત કાર્ય φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), જે શરતને સંતોષે છે d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d) )x))=0.)

   • અમલ માટે આ સ્થિતિહોવી જ જોઈએ કુલ વ્યુત્પન્ન. કુલ વ્યુત્પન્ન અન્ય ચલો પરની અવલંબનને ધ્યાનમાં લે છે. કુલ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે φ (\displaystyle \varphi )દ્વારા x , (\displaystyle x,)અમે ધારીએ છીએ કે y (\Displaystyle y)પર પણ આધાર રાખી શકે છે x (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\આંશિક x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • શરતોની સરખામણી આપણને આપે છે M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))અને N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)મલ્ટિવેરિયેબલ સમીકરણો માટે આ એક લાક્ષણિક પરિણામ છે જ્યાં મિશ્ર ડેરિવેટિવ્ઝ સરળ કાર્યોએકબીજાની સમાન. ક્યારેક આ કેસ કહેવામાં આવે છે ક્લેરાઉટનું પ્રમેય. આ કિસ્સામાં, વિભેદક સમીકરણ એ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે જો આગામી શરત:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • કુલ ભિન્નતાઓમાં સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિ એ ઘણા ડેરિવેટિવ્ઝની હાજરીમાં સંભવિત કાર્યો શોધવા સમાન છે, જેની આપણે ટૂંકમાં ચર્ચા કરીશું. પ્રથમ ચાલો એકીકૃત કરીએ M (\Displaystyle M)દ્વારા x (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ x.)કારણ કે M (\Displaystyle M)એક કાર્ય છે અને x (\displaystyle x), અને y , (\displaystyle y,)એકીકરણ પર આપણને અપૂર્ણ કાર્ય મળે છે φ , (\displaystyle \varphi ,)તરીકે નિયુક્ત φ ~ (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ (\tilde (\varphi ))). પરિણામ પણ તેના પર આધાર રાખે છે y (\Displaystyle y)એકીકરણ સતત.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • આ પછી, મેળવવા માટે c (y) (\Displaystyle c(y))આપણે પરિણામી ફંક્શનના આંશિક વ્યુત્પન્નને સંદર્ભમાં લઈ શકીએ છીએ y , (\displaystyle y,)પરિણામની સમાનતા કરો N (x , y) (\displaystyle N(x,y))અને એકીકૃત. તમે પ્રથમ એકીકૃત પણ કરી શકો છો N (\Displaystyle N), અને પછી આદર સાથે આંશિક વ્યુત્પન્ન લો x (\displaystyle x), જે તમને મનસ્વી કાર્ય શોધવા માટે પરવાનગી આપશે d(x). (\પ્રદર્શન શૈલી d(x).)બંને પદ્ધતિઓ યોગ્ય છે, અને સામાન્ય રીતે એકીકરણ માટે સરળ કાર્ય પસંદ કરવામાં આવે છે.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ આંશિક (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • ઉદાહરણ 1.5.તમે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ લઈ શકો છો અને જુઓ કે નીચેનું સમીકરણ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\આંશિક \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(સંરેખિત))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • જો વિભેદક સમીકરણ એ કુલ વિભેદક સમીકરણ નથી, તો કેટલાક કિસ્સાઓમાં તમે એકીકૃત પરિબળ શોધી શકો છો જે તમને તેને કુલ વિભેદક સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, આવા સમીકરણોનો વ્યવહારમાં ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે, અને તેમ છતાં એકીકૃત પરિબળ અસ્તિત્વમાં છે, તે શોધવા માટે થાય છે સહેલું નથી, તેથી આ સમીકરણો આ લેખમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા નથી.

ભાગ 2

1. સાથે સજાતીય રેખીય વિભેદક સમીકરણો સતત ગુણાંક. આ સમીકરણોનો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, તેથી તેમના ઉકેલનું પ્રાથમિક મહત્વ છે. આ બાબતે અમે વાત કરી રહ્યા છીએસજાતીય કાર્યો વિશે નહીં, પરંતુ સમીકરણની જમણી બાજુએ 0 છે તે હકીકત વિશે આગળનો વિભાગ બતાવશે કે તેને કેવી રીતે હલ કરવું વિજાતીયવિભેદક સમીકરણો. નીચે a (\પ્રદર્શન શૈલી a)અને b (\Displaystyle b)સ્થિર છે.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   લાક્ષણિક સમીકરણ. આ વિભેદક સમીકરણ નોંધપાત્ર છે કે જો તમે તેના ઉકેલોમાં કયા ગુણધર્મો હોવા જોઈએ તેના પર ધ્યાન આપો તો તે ખૂબ જ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. સમીકરણ પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે y (\Displaystyle y)અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ એકબીજાના પ્રમાણસર છે. પહેલાનાં ઉદાહરણોમાંથી, જેની પ્રથમ-ક્રમ સમીકરણો પરના વિભાગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, આપણે જાણીએ છીએ કે માત્ર ઘાતાંકીય કાર્યમાં આ ગુણધર્મ છે. તેથી, આગળ મૂકવું શક્ય છે ansatz(એક શિક્ષિત અનુમાન) આ સમીકરણનો ઉકેલ શું હશે તે વિશે.

   • સોલ્યુશનમાં ઘાતાંકીય કાર્યનું સ્વરૂપ હશે e r x , (\ displaystyle e^(rx),)જ્યાં r (\displaystyle r)એક સ્થિરાંક છે જેની કિંમત શોધવી જોઈએ. આ કાર્યને સમીકરણમાં બદલો અને નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવો
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • આ સમીકરણ સૂચવે છે કે ઘાતાંકીય કાર્ય અને બહુપદીનું ઉત્પાદન શૂન્ય સમાન હોવું જોઈએ. તે જાણીતું છે કે ઘાતાંક ડિગ્રીના કોઈપણ મૂલ્યો માટે શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે. આમાંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે બહુપદી શૂન્યની બરાબર છે. આમ, અમે વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવાની સમસ્યાને બીજગણિતીય સમીકરણ ઉકેલવાની ઘણી સરળ સમસ્યામાં ઘટાડી દીધી છે, જેને આપેલ વિભેદક સમીકરણ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • અમને બે મૂળ મળ્યા. આ વિભેદક સમીકરણ રેખીય હોવાથી, તેનો સામાન્ય ઉકેલ આંશિક ઉકેલોનું રેખીય સંયોજન છે. આ બીજા ક્રમનું સમીકરણ હોવાથી, આપણે જાણીએ છીએ કે તે છે ખરેખરસામાન્ય ઉકેલ, અને ત્યાં કોઈ અન્ય નથી. આ માટેનું વધુ સખત સમર્થન ઉકેલના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પરના પ્રમેયમાં રહેલું છે, જે પાઠ્યપુસ્તકોમાં મળી શકે છે.
   • બે ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે તપાસવાની એક ઉપયોગી રીત છે ગણતરી કરવી વ્રોન્સકીઆના. વ્રોન્સકિયન W (\Displaystyle W)મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે જેની કૉલમ ફંક્શન્સ અને તેમના ક્રમિક ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે. રેખીય બીજગણિત પ્રમેય જણાવે છે કે વ્રોન્સ્કિયનમાં સમાવિષ્ટ કાર્યો રેખીય રીતે આધાર રાખે છે જો વ્રોન્સકીયન શૂન્ય બરાબર. આ વિભાગમાં આપણે તપાસ કરી શકીએ છીએ કે શું બે ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે - આ કરવા માટે આપણે ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે Wronskian શૂન્ય નથી. વિવિધ પરિમાણોની પદ્ધતિ દ્વારા સતત ગુણાંક સાથે અસંગત વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે Wronskian મહત્વપૂર્ણ છે.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • રેખીય બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ, આપેલ વિભેદક સમીકરણ સ્વરૂપોના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ વેક્ટર જગ્યા, જેનું પરિમાણ વિભેદક સમીકરણના ક્રમ જેટલું છે. આ જગ્યામાં તમે એક આધાર પસંદ કરી શકો છો રેખીય રીતે સ્વતંત્રએકબીજાના નિર્ણયો. આ હકીકતને કારણે શક્ય છે કે કાર્ય y (x) (\પ્રદર્શન શૈલી y(x))માન્ય રેખીય ઓપરેટર. વ્યુત્પન્ન છેરેખીય ઓપરેટર, કારણ કે તે વિવિધ કાર્યોની જગ્યાને તમામ કાર્યોની જગ્યામાં પરિવર્તિત કરે છે. સમીકરણો એવા કિસ્સાઓમાં એકરૂપ કહેવાય છે જ્યારે, કેટલાક માટે રેખીય ઓપરેટર L (\Displaystyle L)આપણે સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે L [ y ] = 0. (\ displaystyle L[y] = 0.)

   ચાલો હવે કેટલાકને ધ્યાનમાં લઈએ ચોક્કસ ઉદાહરણો. બહુવિધ મૂળનો કેસ લાક્ષણિક સમીકરણઅમે આને થોડી વાર પછી, ઓર્ડર ઘટાડવાના વિભાગમાં જોઈશું.

   જો મૂળ r ± (\displaystyle r_(\pm ))અલગ છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, વિભેદક સમીકરણ ધરાવે છે આગામી ઉકેલ

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   બે જટિલ મૂળ.બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયમાંથી તે ઉકેલોના ઉકેલોને અનુસરે છે બહુપદી સમીકરણોવાસ્તવિક ગુણાંક સાથે મૂળ હોય છે જે વાસ્તવિક હોય છે અથવા સંયોજક જોડી બનાવે છે. તેથી, જો જટિલ સંખ્યા r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )પછી લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )આ સમીકરણનું મૂળ પણ છે. આમ, આપણે ફોર્મમાં ઉકેલ લખી શકીએ છીએ c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)જો કે, તે એક જટિલ સંખ્યા છે અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તે ઇચ્છનીય નથી.

   • તેના બદલે તમે ઉપયોગ કરી શકો છો યુલરનું સૂત્ર e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), જે આપણને ફોર્મમાં સોલ્યુશન લખવા દે છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ બીટા x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • હવે તમે સતત બદલે કરી શકો છો c 1 + c 2 (\Displaystyle c_(1)+c_(2))લખો c 1 (\Displaystyle c_(1)), અને અભિવ્યક્તિ i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))દ્વારા બદલી c 2 (\Displaystyle c_(2).)આ પછી અમને નીચેનો ઉકેલ મળે છે:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • કંપનવિસ્તાર અને તબક્કાના સંદર્ભમાં ઉકેલ લખવાની બીજી રીત છે, જે ભૌતિકશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ માટે વધુ યોગ્ય છે.
   • ઉદાહરણ 2.1.ચાલો આપેલ પ્રારંભિક શરતો સાથે નીચે આપેલ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ. આ કરવા માટે, તમારે પરિણામી સોલ્યુશન લેવાની જરૂર છે, તેમજ તેનું વ્યુત્પન્ન, અને તેમને પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓમાં બદલો, જે અમને મનસ્વી સ્થિરાંકો નક્કી કરવા દેશે.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\જમણે))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\જમણે)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\જમણે)\end(સંરેખિત)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\જમણે))
   
   સતત ગુણાંક સાથે nth ક્રમના વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા (ઇનટ્યુટ - નેશનલ ઓપન યુનિવર્સિટી દ્વારા રેકોર્ડ).

2. ક્રમમાં ઘટાડો.ઓર્ડર રિડક્શન એ વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની એક પદ્ધતિ છે જ્યારે એક રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલ જાણીતો હોય છે. આ પદ્ધતિમાં સમીકરણના ક્રમને એકથી ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે, જે તમને અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉકેલ જાણીએ. ઓર્ડર ઘટાડવાનો મુખ્ય વિચાર નીચેના ફોર્મમાં ઉકેલ શોધવાનો છે, જ્યાં કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી છે v (x) (\Displaystyle v(x)), તેને વિભેદક સમીકરણમાં બદલીને અને શોધો v(x). (\Displaystyle v(x).)ચાલો જોઈએ કે સતત ગુણાંક અને બહુવિધ મૂળ સાથેના વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા માટે ઑર્ડર રિડક્શનનો ઉપયોગ કેવી રીતે થઈ શકે છે.

   
   

   બહુવિધ મૂળસતત ગુણાંક સાથે સજાતીય વિભેદક સમીકરણ. યાદ કરો કે બીજા-ક્રમના સમીકરણમાં બે રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો હોવા જોઈએ. જો લાક્ષણિક સમીકરણમાં બહુવિધ મૂળ હોય, તો ઉકેલોનો સમૂહ નથીએક જગ્યા બનાવે છે કારણ કે આ ઉકેલો રેખીય રીતે આધારિત છે. આ કિસ્સામાં, બીજા રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલ શોધવા માટે ઓર્ડર ઘટાડોનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

   • લાક્ષણિક સમીકરણને બહુવિધ મૂળ ધરાવવા દો r (\displaystyle r). ચાલો માની લઈએ કે બીજો ઉકેલ ફોર્મમાં લખી શકાય છે y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), અને તેને વિભેદક સમીકરણમાં બદલો. આ કિસ્સામાં, ફંક્શનના બીજા વ્યુત્પન્ન સાથેના શબ્દના અપવાદ સાથે, મોટાભાગની શરતો v , (\Displaystyle v,)ઘટાડવામાં આવશે.
     • v″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • ઉદાહરણ 2.2.નીચે આપેલ સમીકરણ આપીએ જે બહુવિધ મૂળ ધરાવે છે r = − 4. (\displaystyle r=-4.)અવેજી કરતી વખતે, મોટાભાગની શરતો ઘટાડવામાં આવે છે.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\અંત(સંરેખિત)))
     • v″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\રદ કરો (32ve^(-4x)))+(\રદ કરો (16ve^(-4x)))=0\end(સંરેખિત)))
   • સતત ગુણાંક સાથેના વિભેદક સમીકરણ માટેના અમારા ansatz જેવું જ, આ કિસ્સામાં માત્ર બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે. અમે બે વાર સંકલિત કરીએ છીએ અને માટે ઇચ્છિત અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ v (\Displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • પછી લાક્ષણિક સમીકરણમાં બહુવિધ મૂળ હોય તેવા કિસ્સામાં સતત ગુણાંક સાથેના વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. સગવડતા માટે, તમે યાદ રાખી શકો છો કે રેખીય સ્વતંત્રતા મેળવવા માટે તે ફક્ત બીજા શબ્દને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે x (\displaystyle x). ઉકેલોનો આ સમૂહ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને આમ આપણે આ સમીકરણના તમામ ઉકેલો શોધી કાઢ્યા છે.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)જો ઉકેલ જાણીતો હોય તો ઓર્ડર ઘટાડો લાગુ પડે છે y 1 (x) (\પ્રદર્શન શૈલી y_(1)(x)), જે સમસ્યા નિવેદનમાં મળી શકે છે અથવા આપી શકાય છે.

   • અમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))અને તેને આ સમીકરણમાં બદલો:
     • v″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • કારણ કે y 1 (\પ્રદર્શન શૈલી y_(1))વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે, તમામ શરતો સાથે v (\Displaystyle v)ઘટાડવામાં આવી રહ્યા છે. અંતે તે રહે છે પ્રથમ ક્રમ રેખીય સમીકરણ. આને વધુ સ્પષ્ટ રીતે જોવા માટે, ચાલો ચલોમાં ફેરફાર કરીએ w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • જો પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરી શકાય, તો અમે પ્રાથમિક કાર્યોના સંયોજન તરીકે સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ. નહિંતર, ઉકેલ અભિન્ન સ્વરૂપમાં છોડી શકાય છે.

3. કોચી-યુલર સમીકરણ.કોચી-યુલર સમીકરણ એ બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું ઉદાહરણ છે ચલોગુણાંક, જેમાં ચોક્કસ ઉકેલો છે. આ સમીકરણનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં લેપ્લેસ સમીકરણને ઉકેલવા માટે.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   લાક્ષણિક સમીકરણ.જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ વિભેદક સમીકરણમાં, દરેક શબ્દમાં પાવર ફેક્ટર હોય છે, જેની ડિગ્રી સંબંધિત વ્યુત્પન્નના ક્રમની બરાબર હોય છે.

   • આમ, તમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)જ્યાં તે નક્કી કરવું જરૂરી છે n (\Displaystyle n), જેમ આપણે સતત ગુણાંક સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણ માટે ઘાતાંકીય કાર્યના સ્વરૂપમાં ઉકેલ શોધી રહ્યા હતા. ભિન્નતા અને અવેજીકરણ પછી આપણને મળે છે
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • લાક્ષણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરવા માટે, આપણે તે ધારવું જોઈએ x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). ડોટ x = 0 (\displaystyle x=0)કહેવાય છે નિયમિત એકવચન બિંદુવિભેદક સમીકરણ. પાવર સિરીઝનો ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે આવા બિંદુઓ મહત્વપૂર્ણ છે. આ સમીકરણમાં બે મૂળ છે, જે અલગ અને વાસ્તવિક, બહુવિધ અથવા જટિલ સંયોજક હોઈ શકે છે.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm) (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   બે અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ.જો મૂળ n ± (\Displaystyle n_(\pm ))વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે, તો પછી વિભેદક સમીકરણના ઉકેલમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   બે જટિલ મૂળ.જો લાક્ષણિક સમીકરણમાં મૂળ હોય n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ઉકેલ એક જટિલ કાર્ય છે.

   • ઉકેલને વાસ્તવિક કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અમે ચલોમાં ફેરફાર કરીએ છીએ x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)તે જ t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)અને યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. મનસ્વી સ્થિરાંકો નક્કી કરતી વખતે સમાન ક્રિયાઓ અગાઉ કરવામાં આવી હતી.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • પછી સામાન્ય ઉકેલ તરીકે લખી શકાય
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   બહુવિધ મૂળ.બીજા રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલ મેળવવા માટે, ફરીથી ક્રમમાં ઘટાડો કરવો જરૂરી છે.

   • તે ઘણી બધી ગણતરીઓ લે છે, પરંતુ સિદ્ધાંત એ જ રહે છે: અમે અવેજી કરીએ છીએ y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))એક સમીકરણમાં જેનો પ્રથમ ઉકેલ છે y 1 (\પ્રદર્શન શૈલી y_(1)). ઘટાડા પછી તે બહાર આવે છે નીચેના સમીકરણ:
     • v″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • આ સંદર્ભમાં આ પ્રથમ ક્રમ રેખીય સમીકરણ છે v′ (x) . (\Displaystyle v"(x).)તેનો ઉકેલ છે v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\Displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)આમ, ઉકેલ નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. તે યાદ રાખવું ખૂબ સરળ છે - બીજું રેખીય રીતે મેળવવા માટે સ્વતંત્ર નિર્ણયમાત્ર સાથે વધારાના સભ્યની જરૂર છે ln ⁡ x (\Displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. સતત ગુણાંક સાથે અસંગત રેખીય વિભેદક સમીકરણો.અસંગત સમીકરણો સ્વરૂપ ધરાવે છે L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)જ્યાં f(x) (\Displaystyle f(x))- જેથી - કહેવાતા મફત સભ્ય. વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંત મુજબ, આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ સુપરપોઝિશન છે ખાનગી ઉકેલ y p (x) (\Displaystyle y_(p)(x))અને વધારાના ઉકેલ y c (x) . (\પ્રદર્શન શૈલી y_(c)(x).)જો કે, આ કિસ્સામાં, ચોક્કસ સોલ્યુશનનો અર્થ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ દ્વારા આપવામાં આવેલ ઉકેલ નથી, પરંતુ ઉકેલ કે જે વિજાતીયતા (એક મુક્ત શબ્દ) ની હાજરી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધારાનો ઉકેલ એ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ છે જેમાં f(x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)એકંદર સોલ્યુશન એ આ બે ઉકેલોનું સુપરપોઝિશન છે, ત્યારથી L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\ displaystyle L=L+L=f(x)), અને ત્યારથી L [ y c ] = 0 , (\ displaystyle L=0,)આવી સુપરપોઝિશન ખરેખર એક સામાન્ય ઉકેલ છે.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   પદ્ધતિ અનિશ્ચિત ગુણાંક. અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે જ્યાં ઇન્ટરસેપ્ટ શબ્દ ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ, હાયપરબોલિક અથવા પાવર ફંક્શનનું સંયોજન હોય. ફક્ત આ કાર્યોની ખાતરી આપવામાં આવે છે અંતિમ સંખ્યારેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડેરિવેટિવ્ઝ. આ વિભાગમાં આપણે સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીશું.

   • ચાલો માં શરતોની તુલના કરીએ f(x) (\Displaystyle f(x))સતત પરિબળો પર ધ્યાન આપ્યા વિના શરતો સાથે. ત્રણ સંભવિત કિસ્સાઓ છે.
     • કોઈ બે સભ્યો સમાન નથી.આ કિસ્સામાં, ચોક્કસ ઉકેલ y p (\ displaystyle y_(p))ના શબ્દોનું રેખીય સંયોજન હશે y p (\ displaystyle y_(p))
     • f(x) (\Displaystyle f(x)) સભ્ય ધરાવે છે x n (\displaystyle x^(n)) અને તરફથી સભ્ય y c , (\displaystyle y_(c),) જ્યાં n (\Displaystyle n) શૂન્ય અથવા સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, અને આ શબ્દ લાક્ષણિક સમીકરણના અલગ મૂળને અનુરૂપ છે.આ બાબતે y p (\ displaystyle y_(p))ફંક્શનના સંયોજનનો સમાવેશ થશે x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)તેના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડેરિવેટિવ્ઝ, તેમજ અન્ય શરતો f(x) (\Displaystyle f(x))અને તેમના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડેરિવેટિવ્ઝ.
     • f(x) (\Displaystyle f(x)) સભ્ય ધરાવે છે h(x), (\displaystyle h(x),) જે એક કાર્ય છે x n (\displaystyle x^(n)) અને તરફથી સભ્ય y c , (\displaystyle y_(c),) જ્યાં n (\Displaystyle n) 0 અથવા ધન પૂર્ણાંક બરાબર છે, અને આ શબ્દ અનુલક્ષે છે બહુવિધલાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ.આ બાબતે y p (\ displaystyle y_(p))ફંક્શનનું રેખીય સંયોજન છે x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(જ્યાં s (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ ઓ)- રુટની ગુણાકાર) અને તેના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડેરિવેટિવ્ઝ, તેમજ કાર્યના અન્ય સભ્યો f(x) (\Displaystyle f(x))અને તેના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડેરિવેટિવ્ઝ.
   • ચાલો તેને લખીએ y p (\ displaystyle y_(p))ઉપર સૂચિબદ્ધ શબ્દોના રેખીય સંયોજન તરીકે. રેખીય સંયોજનમાં આ ગુણાંકનો આભાર આ પદ્ધતિ"અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ" કહેવાય છે. જ્યારે સમાયેલ છે y c (\Displaystyle y_(c))માં મનસ્વી સ્થિરાંકોની હાજરીને કારણે સભ્યોને કાઢી નાખવામાં આવી શકે છે y c. (\પ્રદર્શન શૈલી y_(c).)આ પછી અમે અવેજી y p (\ displaystyle y_(p))સમીકરણમાં અને સમાન શરતોને સમાન કરો.
   • અમે ગુણાંક નક્કી કરીએ છીએ. આ તબક્કે, બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે, જે સામાન્ય રીતે કોઈપણ સમસ્યા વિના ઉકેલી શકાય છે. આ સિસ્ટમનો ઉકેલ અમને મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે y p (\ displaystyle y_(p))અને આમ સમીકરણ ઉકેલો.
   • ઉદાહરણ 2.3.ચાલો આપણે એક અસંગત વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ જેના મુક્ત શબ્દમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડેરિવેટિવ્સની મર્યાદિત સંખ્યા હોય. આવા સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ દ્વારા શોધી શકાય છે.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos 5 t + C sin ⁡ 5 t (\ displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C પાપ 5 t = 2 e 3 t − cos 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(સંરેખિત)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ અંત(કેસો)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ.લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ, અથવા મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ, અસંગત વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની વધુ સામાન્ય પદ્ધતિ છે, ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં ઇન્ટરસેપ્ટ શબ્દમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ડેરિવેટિવ્સની મર્યાદિત સંખ્યા શામેલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે મફત સભ્યો tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)અથવા x − n (\displaystyle x^(-n))ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ચલ ગુણાંક સાથે વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે પણ થઈ શકે છે, જો કે આ કિસ્સામાં, કોચી-યુલર સમીકરણના અપવાદ સિવાય, તેનો ઉપયોગ ઓછો વારંવાર થાય છે, કારણ કે વધારાના ઉકેલને સામાન્ય રીતે શબ્દોમાં દર્શાવવામાં આવતું નથી. પ્રાથમિક કાર્યો.

   • ચાલો ધારીએ કે સોલ્યુશનનું નીચેનું સ્વરૂપ છે. તેનું વ્યુત્પન્ન બીજી લીટીમાં આપવામાં આવ્યું છે.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • કારણ કે સૂચિત ઉકેલ સમાવે છે બેઅજ્ઞાત માત્રામાં, તે લાદવા માટે જરૂરી છે વધારાનુસ્થિતિ ચાલો આ વધારાની સ્થિતિને નીચેના ફોર્મમાં પસંદ કરીએ:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • હવે આપણે બીજું સમીકરણ મેળવી શકીએ છીએ. સભ્યોની અવેજી અને પુનઃવિતરણ પછી, તમે સભ્યોને એકસાથે જૂથ બનાવી શકો છો v 1 (\Displaystyle v_(1))અને સાથે સભ્યો v 2 (\Displaystyle v_(2)). આ શરતો ઘટાડવામાં આવે છે કારણ કે y 1 (\પ્રદર્શન શૈલી y_(1))અને y 2 (\પ્રદર્શન શૈલી y_(2))અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના ઉકેલો છે. પરિણામે, અમે સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(સંરેખિત)))
   • આ સિસ્ટમમાં કન્વર્ટ કરી શકાય છે મેટ્રિક્સ સમીકરણપ્રકારની A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)જેનો ઉકેલ છે x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)મેટ્રિક્સ માટે 2 × 2 (\Displaystyle 2\times 2)વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક દ્વારા ભાગાકાર કરીને, ત્રાંસા તત્વોને ફરીથી ગોઠવીને અને બિન-વિકર્ણ તત્વોની નિશાની બદલીને મળે છે. હકીકતમાં, આ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક એક Wronskian છે.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ અંત(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • માટે અભિવ્યક્તિઓ v 1 (\Displaystyle v_(1))અને v 2 (\Displaystyle v_(2))નીચે આપેલ છે. ઓર્ડર રિડક્શન પદ્ધતિની જેમ, આ કિસ્સામાં, એકીકરણ દરમિયાન, એક મનસ્વી સ્થિરાંક દેખાય છે, જેમાં વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં વધારાના ઉકેલનો સમાવેશ થાય છે.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\ mathrm (d) )x)
   
   નેશનલ ઓપન યુનિવર્સીટી ઇન્ટ્યુટનું વ્યાખ્યાન "સતત ગુણાંક સાથે nth ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો."

વ્યવહારુ ઉપયોગ

વિભેદક સમીકરણો ફંક્શન અને તેના એક અથવા વધુ ડેરિવેટિવ્સ વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. કારણ કે આવા સંબંધો અત્યંત સામાન્ય છે, વિભેદક સમીકરણો વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે લાગુ પડે છે, અને આપણે ચાર પરિમાણમાં રહેતા હોવાથી, આ સમીકરણો ઘણીવાર વિભેદક સમીકરણો હોય છે. ખાનગીડેરિવેટિવ્ઝ આ વિભાગ આ પ્રકારના કેટલાક સૌથી મહત્વપૂર્ણ સમીકરણોને આવરી લે છે.

• ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ અને સડો.કિરણોત્સર્ગી સડો. સંયોજન વ્યાજ. ઝડપ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ. લોહીમાં દવાઓની સાંદ્રતા. અમર્યાદિત વસ્તી વૃદ્ધિ. ન્યૂટન-રિચમેન કાયદો. IN વાસ્તવિક દુનિયાએવી ઘણી પ્રણાલીઓ છે જેમાં કોઈપણ સમયે વૃદ્ધિ અથવા ક્ષીણ થવાનો દર એ રકમના પ્રમાણસર હોય છે આ ક્ષણસમય અથવા મોડેલ દ્વારા સારી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે. આ એટલા માટે છે કારણ કે આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ, ઘાતાંકીય કાર્ય, સૌથી વધુ પૈકી એક છે મહત્વપૂર્ણ કાર્યોગણિત અને અન્ય વિજ્ઞાનમાં. વધુ માં સામાન્ય કેસનિયંત્રિત વસ્તી વૃદ્ધિ સાથે, સિસ્ટમમાં વધારાના સભ્યોનો સમાવેશ થઈ શકે છે જે વૃદ્ધિને મર્યાદિત કરે છે. નીચેના સમીકરણમાં, સ્થિર k (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ k)શૂન્ય કરતાં વધુ અથવા ઓછું હોઈ શકે છે.
  • d y d x = k x (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• હાર્મોનિક સ્પંદનો.બંને શાસ્ત્રીય અને માં ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સહાર્મોનિક ઓસિલેટર સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીનું એક છે ભૌતિક સિસ્ટમોસરળ લોલક જેવી વધુ જટિલ પ્રણાલીઓને અંદાજિત કરવા માટે તેની સરળતા અને વ્યાપક એપ્લિકેશનને કારણે. IN શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સહાર્મોનિક સ્પંદનો એક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જે સ્થિતિને સંબંધિત છે સામગ્રી બિંદુહૂકના કાયદા દ્વારા તેના પ્રવેગ સાથે. આ કિસ્સામાં, ભીનાશ અને ડ્રાઇવિંગ દળોને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે. નીચેની અભિવ્યક્તિમાં x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- સમય વ્યુત્પન્ન x , (\displaystyle x,) β (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ \બીટા)- પેરામીટર જે ભીનાશ બળનું વર્ણન કરે છે, ω 0 (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ \ઓમેગા _(0))- સિસ્ટમની કોણીય આવર્તન, F (t) (\ displaystyle F(t))- સમય આધારિત ચાલક બળ. હાર્મોનિક ઓસિલેટરઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિકમાં પણ હાજર છે ઓસીલેટરી સર્કિટ્સ, જ્યાં તે યાંત્રિક સિસ્ટમો કરતાં વધુ ચોકસાઇ સાથે અમલમાં મૂકી શકાય છે.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• બેસેલનું સમીકરણ.બેસલ વિભેદક સમીકરણનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રના ઘણા ક્ષેત્રોમાં થાય છે, જેમાં તરંગ સમીકરણ, લેપ્લેસનું સમીકરણ અને શ્રોડિન્જરનું સમીકરણ ઉકેલવું, ખાસ કરીને નળાકારની હાજરીમાં અથવા ગોળાકાર સમપ્રમાણતા. ચલ ગુણાંક સાથેનું આ બીજા-ક્રમનું વિભેદક સમીકરણ એ કોચી-યુલર સમીકરણ નથી, તેથી તેના ઉકેલોને પ્રાથમિક કાર્યો તરીકે લખી શકાતા નથી. બેસલ સમીકરણના ઉકેલો બેસેલ ફંક્શન્સ છે, જે ઘણા ક્ષેત્રોમાં તેમના ઉપયોગને કારણે સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. નીચેની અભિવ્યક્તિમાં α (\Displaystyle \alpha )- અનુરૂપ અચળ ક્રમમાંબેસલ કાર્યો.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• મેક્સવેલના સમીકરણો.લોરેન્ટ્ઝ બળ સાથે, મેક્સવેલના સમીકરણો આધાર બનાવે છે ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ. વિદ્યુત માટે આ ચાર આંશિક વિભેદક સમીકરણો છે E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))અને ચુંબકીય B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))ક્ષેત્રો નીચેના અભિવ્યક્તિઓ માં ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- ચાર્જ ઘનતા, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- વર્તમાન ઘનતા, અને ϵ 0 (\Displaystyle \epsilon _(0))અને μ 0 (\પ્રદર્શન શૈલી \mu _(0))- અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય સ્થિરાંકો.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(bla \cdo)\na (\ mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(સંરેખિત)))
• શ્રોડિન્જર સમીકરણ.ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણ એ ગતિનું મૂળભૂત સમીકરણ છે, જે પરિવર્તન અનુસાર કણોની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે. તરંગ કાર્ય Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))સમય સાથે. ગતિનું સમીકરણ વર્તન દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે હેમિલ્ટોનિયન H^(\Displaystyle (\hat (H))) - ઓપરેટર, જે સિસ્ટમની ઊર્જાનું વર્ણન કરે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં શ્રોડિન્જર સમીકરણના જાણીતા ઉદાહરણો પૈકીનું એક સંભવિતને આધીન એક બિન-સાપેક્ષવાદી કણ માટેનું સમીકરણ છે. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). ઘણી પ્રણાલીઓનું વર્ણન સમય-આધારિત શ્રોડિન્જર સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે, અને સમીકરણની ડાબી બાજુએ E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)જ્યાં E (\Displaystyle E)- કણ ઊર્જા. નીચેના અભિવ્યક્તિઓ માં ℏ (\Displaystyle \hbar )- પ્લાન્ક કોન્સ્ટન્ટમાં ઘટાડો.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• તરંગ સમીકરણ.તરંગો વિના ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકની કલ્પના કરી શકાતી નથી; તેઓ તમામ પ્રકારની સિસ્ટમોમાં હાજર છે. સામાન્ય રીતે, તરંગોનું વર્ણન નીચેના સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે, જેમાં u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))ઇચ્છિત કાર્ય છે, અને c (\Displaystyle c)- પ્રાયોગિક ધોરણે નિર્ધારિત સ્થિર. ડી'એલેમ્બર્ટ એ શોધનાર સૌપ્રથમ હતા કે એક-પરિમાણીય કેસ માટે તરંગ સમીકરણનો ઉકેલ કોઈપણદલીલ સાથે કાર્ય x − c t (\displaystyle x-ct), જે તરંગનું વર્ણન કરે છે મફત ફોર્મ, જમણી તરફ ફેલાય છે. એક-પરિમાણીય કેસ માટે સામાન્ય ઉકેલ એ દલીલ સાથે બીજા કાર્ય સાથે આ કાર્યનું રેખીય સંયોજન છે x + c t (\displaystyle x+ct), જે ડાબી તરફ પ્રસરી રહેલા તરંગનું વર્ણન કરે છે. આ ઉકેલ બીજી પંક્તિમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો.નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો પ્રવાહીની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે. વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના વર્ચ્યુઅલ રીતે દરેક ક્ષેત્રમાં પ્રવાહી હાજર હોવાથી, આ સમીકરણો હવામાનની આગાહી કરવા, વિમાન ડિઝાઇન કરવા, અભ્યાસ કરવા માટે અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. સમુદ્ર પ્રવાહોઅને અન્ય ઘણા લોકો માટે ઉકેલો લાગુ સમસ્યાઓ. નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો બિનરેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણો છે, અને મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તે ઉકેલવા માટે ખૂબ જ મુશ્કેલ છે કારણ કે બિનરેખીયતા અશાંતિ તરફ દોરી જાય છે, અને સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ દ્વારા સ્થિર ઉકેલ મેળવવા માટે ખૂબ જ નાના કોષોમાં વિભાજનની જરૂર પડે છે, જેને નોંધપાત્ર કમ્પ્યુટિંગ શક્તિની જરૂર હોય છે. હાઇડ્રોડાયનેમિક્સમાં વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, તોફાની પ્રવાહોનું અનુકરણ કરવા માટે સમયની સરેરાશ જેવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. હજુ પણ વધુ મૂળભૂત પ્રશ્નો જેમ કે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા માટે ઉકેલો બિનરેખીય સમીકરણોઆંશિક ડેરિવેટિવ્સમાં, અને ત્રણ પરિમાણમાં નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો માટેના ઉકેલના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાનો પુરાવો આમાં શામેલ છે ગાણિતિક સમસ્યાઓસહસ્ત્રાબ્દી નીચે અસ્પષ્ટ પ્રવાહી પ્રવાહ સમીકરણ અને સાતત્ય સમીકરણ છે.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)) ) )(\આંશિક t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u))-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઘણા વિભેદક સમીકરણો ઉકેલી શકાતા નથી, ખાસ કરીને છેલ્લા વિભાગમાં ઉલ્લેખિત. આ એવા કિસ્સાઓને લાગુ પડે છે કે જ્યાં સમીકરણ શામેલ હોય ચલ મતભેદઅને તે કોચી-યુલર સમીકરણ નથી, અથવા જ્યારે સમીકરણ બિનરેખીય હોય છે, કેટલાક અત્યંત દુર્લભ કિસ્સાઓમાં સિવાય. જો કે, ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓ ઘણા મહત્વપૂર્ણ વિભેદક સમીકરણોને હલ કરી શકે છે જેનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે વિવિધ વિસ્તારોવિજ્ઞાન.
• ભિન્નતાથી વિપરીત, જે તમને કોઈપણ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે, ઘણા અભિવ્યક્તિઓનું અભિન્ન અંગ પ્રાથમિક કાર્યોમાં વ્યક્ત કરી શકાતું નથી. તેથી જ્યાં તે અશક્ય છે ત્યાં એક અભિન્ન ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં સમય બગાડો નહીં. ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક જુઓ. જો વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ પ્રાથમિક કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાતો નથી, તો કેટલીકવાર તેને અભિન્ન સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, અને આ કિસ્સામાં તે કોઈ વાંધો નથી કે આ અભિન્નતાને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગણી શકાય કે કેમ.

ચેતવણીઓ

• દેખાવવિભેદક સમીકરણ ભ્રામક હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચે બે પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો છે. આ લેખમાં વર્ણવેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સમીકરણ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. પ્રથમ નજરમાં, એક નાનો ફેરફાર y (\Displaystyle y)પર y 2 (\Displaystyle y^(2))બીજા સમીકરણમાં તેને બિન-રેખીય બનાવે છે અને ઉકેલવું ખૂબ મુશ્કેલ બને છે.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ એક સમીકરણ છે જે એક સ્વતંત્ર ચલ, આ ચલનું અજ્ઞાત કાર્ય અને તેના વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ (અથવા તફાવતો) સાથે સંબંધિત છે.

વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ તેમાં સમાયેલ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ કહેવાય છે.

સામાન્ય લોકો ઉપરાંત, આંશિક વિભેદક સમીકરણોનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ સ્વતંત્ર ચલોને લગતા સમીકરણો છે, આ ચલોનું અજ્ઞાત કાર્ય અને સમાન ચલોના સંદર્ભમાં તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. પરંતુ અમે ફક્ત ધ્યાનમાં લઈશું સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો અને તેથી, સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે "સામાન્ય" શબ્દને છોડી દઈશું.

વિભેદક સમીકરણોના ઉદાહરણો:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

સમીકરણ (1) ચોથો ક્રમ છે, સમીકરણ (2) ત્રીજો ક્રમ છે, સમીકરણો (3) અને (4) બીજો ક્રમ છે, સમીકરણ (5) પ્રથમ ક્રમ છે.

વિભેદક સમીકરણ nક્રમમાં સ્પષ્ટ કાર્ય હોવું જરૂરી નથી, તેના તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રથમથી n-મો ક્રમ અને સ્વતંત્ર ચલ. તેમાં ચોક્કસ ઓર્ડર, ફંક્શન અથવા સ્વતંત્ર ચલના સ્પષ્ટ ડેરિવેટિવ્સ શામેલ હોઈ શકતા નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ (1) માં સ્પષ્ટપણે કોઈ ત્રીજા- અને બીજા-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ, તેમજ કાર્ય નથી; સમીકરણ (2) માં - બીજા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્ય; સમીકરણમાં (4) - સ્વતંત્ર ચલ; સમીકરણ (5) માં - કાર્યો. માત્ર સમીકરણ (3) સ્પષ્ટપણે તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ, ફંક્શન અને સ્વતંત્ર ચલ ધરાવે છે.

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું દરેક કાર્ય કહેવામાં આવે છે y = f(x), જ્યારે સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે ત્યારે તે ઓળખમાં ફેરવાય છે.

વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયાને તેનું કહેવામાં આવે છે એકીકરણ.

ઉદાહરણ 1.વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ. ચાલો આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ. ઉકેલ તેના વ્યુત્પન્નમાંથી કાર્ય શોધવાનો છે. મૂળ કાર્ય, જેમ કે ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસથી જાણીતું છે, તે માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે, એટલે કે.

તે શું છે આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ . તેમાં બદલાવ સી, અમે વિવિધ ઉકેલો મેળવીશું. અમને જાણવા મળ્યું કે ત્યાં છે અનંત સમૂહપ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો.

વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ n th ક્રમ એ તેનું સોલ્યુશન છે, જે અજ્ઞાત કાર્ય અને સમાવિષ્ટના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે nસ્વતંત્ર મનસ્વી સ્થિરાંકો, એટલે કે.

ઉદાહરણ 1 માં વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ સામાન્ય છે.

વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલ એક ઉકેલ જેમાં મનસ્વી સ્થિરાંકોને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો આપવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2.વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ અને તેના માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધો .

ઉકેલ. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભેદક સમીકરણના ક્રમની સમાન ગણીએ.

,

.

પરિણામે, અમને એક સામાન્ય ઉકેલ મળ્યો -

આપેલ ત્રીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું.

હવે ચોક્કસ શરતો હેઠળ ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ. આ કરવા માટે, મનસ્વી ગુણાંકને બદલે તેમના મૂલ્યોને બદલો અને મેળવો

.

જો, વિભેદક સમીકરણ ઉપરાંત, પ્રારંભિક સ્થિતિ ફોર્મમાં આપવામાં આવે છે, તો આવી સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. કોચી સમસ્યા . મૂલ્યો અને સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં બદલો અને મનસ્વી સ્થિરાંકનું મૂલ્ય શોધો સી, અને પછી મળેલ મૂલ્ય માટે સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ સી. આ કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 3.ઉદાહરણ 1 વિષયના વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યા ઉકેલો.

ઉકેલ. ચાલો પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી મૂલ્યોને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ y = 3, x= 1. આપણને મળે છે

અમે આ પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ લખીએ છીએ:

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા, સૌથી સરળ સમીકરણો પણ, જટિલ કાર્યો સહિત સારા સંકલન અને વ્યુત્પન્ન કુશળતાની જરૂર છે. આ નીચેના ઉદાહરણમાં જોઈ શકાય છે.

ઉદાહરણ 4.વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ. સમીકરણ એવા સ્વરૂપમાં લખાયેલું છે કે તમે તરત જ બંને બાજુઓને એકીકૃત કરી શકો.

.

અમે ચલ (અવેજી) ના ફેરફાર દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ છીએ. તે પછી રહેવા દો.

લેવા જરૂરી છે ડીએક્સઅને હવે - ધ્યાન - અમે આ એક જટિલ કાર્યના તફાવતના નિયમો અનુસાર કરીએ છીએ, ત્યારથી xઅને ત્યાં છે જટિલ કાર્ય("સફરજન" એ એક વર્ગમૂળનું નિષ્કર્ષણ છે અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, "એક-અડધી" શક્તિમાં વધારો કરે છે, અને "નાજુકાઈનું માંસ" એ મૂળની નીચેની અભિવ્યક્તિ છે):

અમે અભિન્ન શોધીએ છીએ:

ચલ પર પાછા ફરવું x, અમને મળે છે:

.

આ પ્રથમ ડિગ્રી વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે.

માત્ર પાછલા વિભાગોની કુશળતા જ નહીં ઉચ્ચ ગણિતવિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટે જરૂરી રહેશે, પણ પ્રાથમિક, એટલે કે શાળાના ગણિતના કૌશલ્યો પણ. પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, કોઈપણ ક્રમના વિભેદક સમીકરણમાં સ્વતંત્ર ચલ હોઈ શકતું નથી, એટલે કે, ચલ x. શાળામાંથી પ્રમાણ વિશેનું જ્ઞાન જે ભૂલાયું નથી (જો કે, કોના પર આધાર રાખીને) શાળામાંથી આ સમસ્યા ઉકેલવામાં મદદ કરશે. આ પછીનું ઉદાહરણ છે.

પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો. ઉકેલોના ઉદાહરણો.
વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો

વિભેદક સમીકરણો (DE). આ બે શબ્દો સામાન્ય રીતે સરેરાશ વ્યક્તિને ડરાવે છે. ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે વિભેદક સમીકરણો કંઈક નિષેધાત્મક અને માસ્ટર કરવા મુશ્કેલ લાગે છે. Uuuuuu... વિભેદક સમીકરણો, હું આ બધું કેવી રીતે ટકી શકું?!

આ અભિપ્રાય અને આ વલણ મૂળભૂત રીતે ખોટું છે, કારણ કે હકીકતમાં વિભિન્ન સમીકરણો - તે સરળ અને મનોરંજક પણ છે. વિભેદક સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખવા માટે તમારે શું જાણવાની અને કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે? માટે સફળ અભ્યાસતમે એકીકરણ અને ભિન્નતામાં સારા હોવા જોઈએ. વિષયોનો વધુ સારો અભ્યાસ થાય છે એક ચલના કાર્યનું વ્યુત્પન્નઅને અનિશ્ચિત અભિન્ન, વિભેદક સમીકરણોને સમજવા જેટલું સરળ હશે. હું વધુ કહીશ, જો તમારી પાસે વધુ કે ઓછા યોગ્ય એકીકરણ કૌશલ્ય છે, તો પછી વિષય લગભગ માસ્ટર થઈ ગયો છે! વિવિધ પ્રકારનાં વધુ સંકલન તમે હલ કરી શકો છો, વધુ સારું. શા માટે? તમારે ઘણું સંકલન કરવું પડશે. અને તફાવત કરો. પણ ખૂબ ભલામણ કરે છેશોધવાનું શીખો.

માં 95% કેસોમાં પરીક્ષણોપ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોના 3 પ્રકારો છે: અલગ કરી શકાય તેવા સમીકરણોજે આપણે આ પાઠમાં જોઈશું; સજાતીય સમીકરણોઅને રેખીય અસંગત સમીકરણો. ડિફ્યુઝરનો અભ્યાસ શરૂ કરનારાઓ માટે, હું તમને આ ક્રમમાં પાઠ વાંચવાની સલાહ આપું છું, અને પ્રથમ બે લેખોનો અભ્યાસ કર્યા પછી, વધારાની વર્કશોપમાં તમારી કુશળતાને એકીકૃત કરવામાં નુકસાન થશે નહીં - સમીકરણો સજાતીય ઘટાડીને.

વિભેદક સમીકરણોના પણ દુર્લભ પ્રકારો છે: કુલ વિભેદક સમીકરણો, બર્નૌલી સમીકરણો અને કેટલાક અન્ય. છેલ્લા બે પ્રકારોમાંથી સૌથી મહત્વપૂર્ણ કુલ વિભેદક સમીકરણો છે, કારણ કે આ વિભેદક સમીકરણ ઉપરાંત હું વિચારું છું નવી સામગ્રી – આંશિક એકીકરણ.

જો તમારી પાસે માત્ર એક કે બે દિવસ બાકી છે, તે અતિ ઝડપી તૈયારી માટેત્યાં છે બ્લિટ્ઝ કોર્સપીડીએફ ફોર્મેટમાં.

તેથી, સીમાચિહ્નો સેટ છે - ચાલો જઈએ:

પ્રથમ, ચાલો સામાન્ય બીજગણિતીય સમીકરણો યાદ કરીએ. તેઓ ચલો અને સંખ્યાઓ ધરાવે છે. સૌથી સરળ ઉદાહરણ: . સામાન્ય સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ છે શોધવું સંખ્યાઓનો સમૂહ, જે આ સમીકરણને સંતોષે છે. તે નોંધવું સરળ છે કે બાળકોના સમીકરણમાં એક જ મૂળ છે: . ફક્ત આનંદ માટે, ચાલો તપાસીએ અને આપણા સમીકરણમાં મળેલા રુટને બદલીએ:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળ્યો હતો.

ડિફ્યુઝર્સ એ જ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે!

વિભેદક સમીકરણ પ્રથમ ક્રમસામાન્ય રીતે સમાવે છે:
1) સ્વતંત્ર ચલ;
2) આશ્રિત ચલ (કાર્ય);
3) ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન: .

કેટલાક 1લા ક્રમના સમીકરણોમાં "x" અને/અથવા "y" ન હોઈ શકે, પરંતુ આ નોંધપાત્ર નથી - મહત્વપૂર્ણકંટ્રોલ રૂમમાં જવા માટે હતીપ્રથમ વ્યુત્પન્ન, અને મારી પાસે નથીઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ – વગેરે.

શું અર્થ ?વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું એટલે શોધવું તમામ કાર્યોનો સમૂહ, જે આ સમીકરણને સંતોષે છે. ફંક્શનના આવા સમૂહમાં ઘણીવાર સ્વરૂપ હોય છે (- એક મનસ્વી સ્થિરાંક), જેને કહેવામાં આવે છે વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ.

ઉદાહરણ 1

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

સંપૂર્ણ દારૂગોળો. ક્યાંથી શરૂઆત કરવી ઉકેલ?

સૌ પ્રથમ, તમારે વ્યુત્પન્નને થોડા અલગ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની જરૂર છે. અમે બોજારૂપ હોદ્દો યાદ કરીએ છીએ, જે તમારામાંથી ઘણાને કદાચ હાસ્યાસ્પદ અને બિનજરૂરી લાગતું હતું. ડિફ્યુઝર્સમાં આ શું નિયમો છે!

બીજા પગલામાં, ચાલો જોઈએ કે તે શક્ય છે કે કેમ અલગ ચલો?ચલોને અલગ કરવાનો અર્થ શું છે? આશરે કહીએ, ડાબી બાજુએઆપણે છોડવાની જરૂર છે માત્ર "ગ્રીક", એ જમણી બાજુએગોઠવો માત્ર "X's". ચલોનું વિભાજન "શાળા" મેનિપ્યુલેશન્સનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે: તેમને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું, ચિહ્નના ફેરફાર સાથે શબ્દોને ભાગથી ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવું, પ્રમાણના નિયમ અનુસાર પરિબળોને ભાગથી ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવું વગેરે.

તફાવતો અને સંપૂર્ણ ગુણક છે અને દુશ્મનાવટમાં સક્રિય સહભાગીઓ છે. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, ચલોને પ્રમાણના નિયમ અનુસાર પરિબળોને ટૉસ કરીને સરળતાથી અલગ કરવામાં આવે છે:

ચલોને અલગ કરવામાં આવે છે. ડાબી બાજુએ ફક્ત “Y’s” છે, જમણી બાજુએ – માત્ર “X’s”.

આગળનો તબક્કો - વિભેદક સમીકરણનું એકીકરણ. તે સરળ છે, અમે બંને બાજુએ ઇન્ટિગ્રલ્સ મૂકીએ છીએ:

અલબત્ત, આપણે ઇન્ટિગ્રલ્સ લેવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં તેઓ ટેબ્યુલર છે:

જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ તેમ, કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવને એક સ્થિરાંક સોંપવામાં આવે છે. અહીં બે અવિભાજ્ય છે, પરંતુ તે એક વાર અચળ લખવા માટે પૂરતું છે (કારણ કે અચલ + અચળ હજુ પણ બીજા સ્થિરાંક સમાન છે). મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં તે જમણી બાજુ પર મૂકવામાં આવે છે.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, પૂર્ણાંકો લેવામાં આવે તે પછી, વિભેદક સમીકરણ ઉકેલાયેલ ગણવામાં આવે છે. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આપણું "y" "x" દ્વારા વ્યક્ત થતું નથી, એટલે કે, ઉકેલ રજૂ કરવામાં આવે છે ગર્ભિત માંફોર્મ. ગર્ભિત સ્વરૂપમાં વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે સામાન્ય અભિન્નવિભેદક સમીકરણ. એટલે કે, આ એક સામાન્ય અભિન્ન છે.

આ ફોર્મમાંનો જવાબ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે, પરંતુ શું કોઈ વધુ સારો વિકલ્પ છે? ચાલો મેળવવાનો પ્રયત્ન કરીએ સામાન્ય નિર્ણય.

મહેરબાની કરીને, પ્રથમ તકનીક યાદ રાખો, તે ખૂબ જ સામાન્ય છે અને ઘણીવાર વ્યવહારિક કાર્યોમાં વપરાય છે: જો એકીકરણ પછી લઘુગણક જમણી બાજુએ દેખાય છે, તો ઘણા કિસ્સાઓમાં (પરંતુ હંમેશા નહીં!) લઘુગણક હેઠળ સ્થિરાંક લખવાની પણ સલાહ આપવામાં આવે છે..

તે જ, ની બદલેપ્રવેશો સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છે .

આ શા માટે જરૂરી છે? અને "ગેમ" ને વ્યક્ત કરવાનું સરળ બનાવવા માટે. લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ . આ બાબતે:

હવે લોગરીધમ્સ અને મોડ્યુલો દૂર કરી શકાય છે:

કાર્ય સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. આ સામાન્ય ઉકેલ છે.

જવાબ આપો: સામાન્ય નિર્ણય .

ઘણા વિભેદક સમીકરણોના જવાબો તપાસવા માટે એકદમ સરળ છે. અમારા કિસ્સામાં, આ એકદમ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે, અમે મળેલા ઉકેલને લઈએ છીએ અને તેને અલગ પાડીએ છીએ:

પછી અમે વ્યુત્પન્નને માં બદલીએ છીએ મૂળ સમીકરણ :

- સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય ઉકેલ સમીકરણને સંતોષે છે, જે તપાસવાની જરૂર છે.

સતત વિવિધ મૂલ્યો આપીને, તમે અનંત સંખ્યા મેળવી શકો છો ખાનગી ઉકેલોવિભેદક સમીકરણ. તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ કાર્યો , વગેરે. વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે.

કેટલીકવાર સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે કાર્યોનું કુટુંબ. આ ઉદાહરણમાં, સામાન્ય ઉકેલ રેખીય કાર્યોનું કુટુંબ છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતાનું કુટુંબ છે.

પ્રથમ ઉદાહરણની સંપૂર્ણ સમીક્ષા કર્યા પછી, થોડા જવાબ આપવા યોગ્ય છે નિષ્કપટ પ્રશ્નોવિભેદક સમીકરણો વિશે:

1)આ ઉદાહરણમાં, અમે ચલોને અલગ કરવામાં સક્ષમ હતા. શું આ હંમેશા કરી શકાય?ના હંમેશા નહીં. અને વધુ વખત, ચલોને અલગ કરી શકાતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, માં સજાતીય પ્રથમ ક્રમ સમીકરણો, તમારે પહેલા તેને બદલવું પડશે. અન્ય પ્રકારના સમીકરણોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણમાં, તમારે સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે વિવિધ તકનીકો અને પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. વિભાજિત ચલો સાથેના સમીકરણો, જેને આપણે પ્રથમ પાઠમાં ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તે વિભેદક સમીકરણોનો સૌથી સરળ પ્રકાર છે.

2) શું વિભેદક સમીકરણને એકીકૃત કરવું હંમેશા શક્ય છે?ના હંમેશા નહીં. "ફેન્સી" સમીકરણ સાથે આવવું ખૂબ જ સરળ છે જે એકીકૃત કરી શકાતું નથી, વધુમાં, ત્યાં અવિભાજ્ય છે જે લઈ શકાતા નથી. પરંતુ સમાન DE લગભગ ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે ખાસ પદ્ધતિઓ. ડી'એલેમ્બર્ટ અને કોચી ગેરેંટી... ...ઉઘ, લર્કમોર. હમણાં ઘણું વાંચવા માટે, મેં લગભગ "બીજી દુનિયામાંથી" ઉમેર્યું.

3) આ ઉદાહરણમાં, અમે સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં ઉકેલ મેળવ્યો . શું સામાન્ય અભિન્નમાંથી સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે, એટલે કે, "y" ને સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરવું?ના હંમેશા નહીં. દાખ્લા તરીકે: . સારું, તમે અહીં "ગ્રીક" કેવી રીતે વ્યક્ત કરી શકો?! આવા કિસ્સાઓમાં, જવાબ સામાન્ય અભિન્ન તરીકે લખવો જોઈએ. વધુમાં, કેટલીકવાર સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું શક્ય બને છે, પરંતુ તે એટલું બોજારૂપ અને અણઘડ રીતે લખાયેલું છે કે જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં છોડી દેવાનું વધુ સારું છે.

4) ...કદાચ તે અત્યારે પૂરતું છે. પ્રથમ ઉદાહરણમાં આપણે આવી બીજો મહત્વનો મુદ્દો, પરંતુ નવી માહિતીના હિમપ્રપાત સાથે "ડમીઝ" ને આવરી ન લેવા માટે, હું તેને આગલા પાઠ સુધી છોડીશ.

અમે ઉતાવળ નહીં કરીએ. અન્ય સરળ રીમોટ કંટ્રોલ અને અન્ય લાક્ષણિક ઉકેલ:

ઉદાહરણ 2

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો

ઉકેલ: શરત મુજબ, તમારે શોધવાની જરૂર છે ખાનગી ઉકેલ DE જે આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. પ્રશ્નની આ રચનાને પણ કહેવામાં આવે છે કોચી સમસ્યા.

પ્રથમ આપણે સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. સમીકરણમાં કોઈ ચલ "x" નથી, પરંતુ આ મૂંઝવણમાં ન આવવું જોઈએ, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેમાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે.

અમે વ્યુત્પન્નને માં ફરીથી લખીએ છીએ યોગ્ય સ્વરૂપમાં:

દેખીતી રીતે, ચલોને અલગ કરી શકાય છે, છોકરાઓ ડાબી બાજુએ, છોકરીઓ જમણી તરફ:

ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ:

સામાન્ય અભિન્ન પ્રાપ્ત થાય છે. અહીં મેં ફૂદડી સાથે એક સ્થિરાંક દોર્યો છે, હકીકત એ છે કે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તે બીજા સ્થિરાંકમાં ફેરવાઈ જશે.

હવે અમે સામાન્ય અવિભાજ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં રૂપાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ (સ્પષ્ટ રીતે "y" વ્યક્ત કરો). ચાલો શાળાની સારી જૂની વસ્તુઓ યાદ કરીએ: . આ બાબતે:

સૂચકમાંનો સ્થિરાંક કોઈક રીતે અસ્પષ્ટ લાગે છે, તેથી તે સામાન્ય રીતે પૃથ્વી પર લાવવામાં આવે છે. વિગતવાર, આ કેવી રીતે થાય છે. ડિગ્રીની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફંક્શનને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ છીએ:

જો અચલ છે, તો તે પણ અમુક સ્થિર છે, ચાલો તેને અક્ષર સાથે ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ:

યાદ રાખો "તોડવું" એ સતત છે બીજી તકનીક, જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે થાય છે.

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ છે: . આ ઘાતાંકીય કાર્યોનું સરસ કુટુંબ છે.

અંતિમ તબક્કે, તમારે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે જે આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. આ પણ સરળ છે.

કાર્ય શું છે? ઉપાડવાની જરૂર છે જેમ કેસ્થિરતાનું મૂલ્ય જેથી સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય.

તે વિવિધ રીતે ફોર્મેટ કરી શકાય છે, પરંતુ આ કદાચ સૌથી સ્પષ્ટ રીત હશે. સામાન્ય ઉકેલમાં, “X” ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ, અને “Y” ને બદલે આપણે બે બદલીએ છીએ:



તે જ,

માનક સંસ્કરણડિઝાઇન:

હવે આપણે સ્થિરના મળેલા મૂલ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ છીએ:
- આ અમને જરૂર છે તે ચોક્કસ ઉકેલ છે.

જવાબ આપો: ખાનગી ઉકેલ:

ચાલો તપાસીએ. ખાનગી ઉકેલની તપાસમાં બે તબક્કાઓ શામેલ છે:

સૌપ્રથમ તમારે એ તપાસવાની જરૂર છે કે મળેલ વિશિષ્ટ સોલ્યુશન ખરેખર પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે કે કેમ? "X" ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ અને જુઓ શું થાય છે:
- હા, ખરેખર, બે પ્રાપ્ત થયા હતા, જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક સ્થિતિ પૂરી થઈ છે.

બીજો તબક્કો પહેલેથી જ પરિચિત છે. અમે પરિણામી ચોક્કસ ઉકેલ લઈએ છીએ અને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

અમે મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

નિષ્કર્ષ: ચોક્કસ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો હતો.

ચાલો વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 3

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:અમે વ્યુત્પન્નને આપણને જોઈતા ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

અમે મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ કે શું ચલોને અલગ કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અમે ચિહ્નના ફેરફાર સાથે બીજા શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ:

અને અમે પ્રમાણના નિયમ અનુસાર ગુણકને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

ચલોને અલગ કરવામાં આવ્યા છે, ચાલો બંને ભાગોને એકીકૃત કરીએ:

મારે તમને ચેતવણી આપવી જોઈએ, ન્યાયનો દિવસ નજીક આવી રહ્યો છે. જો તમે સારી રીતે અભ્યાસ કર્યો નથી અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો, થોડા ઉદાહરણો હલ કર્યા છે, તો પછી જવા માટે ક્યાંય નથી - તમારે હવે તેમને માસ્ટર કરવું પડશે.

ડાબી બાજુનો અભિન્ન ભાગ શોધવામાં સરળ છે; ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનું એકીકરણગયું વરસ:

જમણી બાજુએ આપણી પાસે લઘુગણક છે, અને, મારી પ્રથમ તકનીકી ભલામણ મુજબ, લોગરીધમ હેઠળ સ્થિરાંક પણ લખવો જોઈએ.

હવે અમે સામાન્ય અભિન્નતાને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. અમારી પાસે ફક્ત લઘુગણક હોવાથી, તેમાંથી છુટકારો મેળવવો તદ્દન શક્ય (અને જરૂરી) છે. ઉપયોગ કરીને જાણીતા ગુણધર્મોઅમે લોગરીધમ્સને શક્ય તેટલું "પેક" કરીએ છીએ. હું તેને ખૂબ વિગતવાર લખીશ:

પેકેજિંગ અસંસ્કારી રીતે ફાટવા માટે સમાપ્ત થયું છે:

શું "રમત" વ્યક્ત કરવી શક્ય છે? કરી શકે છે. તે બંને ભાગોને ચોરસ કરવા માટે જરૂરી છે.

પરંતુ તમારે આ કરવાની જરૂર નથી.

ત્રીજી તકનીકી ટીપ:જો સામાન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે શક્તિમાં વધારો કરવો અથવા મૂળ લેવું જરૂરી છે, તો પછી ઘણી બાબતો માંતમારે આ ક્રિયાઓથી દૂર રહેવું જોઈએ અને જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં છોડવો જોઈએ. હકીકત એ છે કે સામાન્ય ઉકેલ ખાલી ભયંકર દેખાશે - મોટા મૂળ, ચિહ્નો અને અન્ય કચરો સાથે.

તેથી, અમે સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં જવાબ લખીએ છીએ. તેને ફોર્મમાં રજૂ કરવાની સારી પ્રેક્ટિસ માનવામાં આવે છે, એટલે કે, જમણી બાજુએ, જો શક્ય હોય તો, માત્ર એક સ્થિર રાખો. આવું કરવું જરૂરી નથી, પરંતુ પ્રોફેસરને ખુશ કરવા હંમેશા ફાયદાકારક છે ;-)

જવાબ:સામાન્ય અભિન્ન:

! નૉૅધ: કોઈપણ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન એક કરતાં વધુ રીતે લખી શકાય છે. આમ, જો તમારું પરિણામ અગાઉના જાણીતા જવાબ સાથે મેળ ખાતું નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તમે સમીકરણને ખોટી રીતે હલ કર્યું છે.

સામાન્ય અભિન્ન પણ ચકાસવા માટે એકદમ સરળ છે, મુખ્ય વસ્તુ શોધવા માટે સક્ષમ બનવું છે સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. ચાલો જવાબને અલગ કરીએ:

અમે બંને શબ્દોને આનાથી ગુણાકાર કરીએ છીએ:

અને આના દ્વારા વિભાજીત કરો:

મૂળ વિભેદક સમીકરણ બરાબર મેળવવામાં આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય અવિભાજ્ય યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 4

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો. તપાસ કરો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અલ્ગોરિધમ બે તબક્કાઓ ધરાવે છે:
1) સામાન્ય ઉકેલ શોધવા;
2) જરૂરી ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો.

ચેક પણ બે પગલામાં હાથ ધરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ નંબર 2 માં નમૂના જુઓ), તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
1) ખાતરી કરો કે મળેલ વિશિષ્ટ ઉકેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે;
2) તપાસો કે ચોક્કસ ઉકેલ સામાન્ય રીતે વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે.

સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

ઉદાહરણ 5

વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો , પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. તપાસ કરો.

ઉકેલ:પ્રથમ, ચાલો એક સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ આ સમીકરણમાં પહેલેથી જ તૈયાર તફાવતો છે અને તેથી, ઉકેલ સરળ છે. અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ:

ડાબી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ ટેબ્યુલર છે, જમણી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ લેવામાં આવ્યું છે વિભેદક ચિન્હ હેઠળ કાર્યને સબમ કરવાની પદ્ધતિ:

સામાન્ય અભિન્નતા પ્રાપ્ત થઈ છે; શું સામાન્ય ઉકેલને સફળતાપૂર્વક વ્યક્ત કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અમે બંને બાજુઓ પર લઘુગણક લટકાવીએ છીએ. કારણ કે તેઓ હકારાત્મક છે, મોડ્યુલસ ચિહ્નો બિનજરૂરી છે:

(હું આશા રાખું છું કે દરેક વ્યક્તિ પરિવર્તનને સમજે છે, આવી વસ્તુઓ પહેલાથી જ જાણવી જોઈએ)

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ છે:

ચાલો આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને અનુરૂપ ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ.
સામાન્ય ઉકેલમાં, “X” ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ, અને “Y” ને બદલે આપણે બે લોગરીધમ બદલીએ છીએ:

વધુ પરિચિત ડિઝાઇન:

અમે સ્થિરાંકના મળેલા મૂલ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ છીએ.

જવાબ:ખાનગી ઉકેલ:

તપાસો: પ્રથમ, ચાલો તપાસ કરીએ કે પ્રારંભિક સ્થિતિ પૂરી થઈ છે કે કેમ:
- બધું સારું છે.

હવે ચાલો તપાસ કરીએ કે શોધાયેલ ચોક્કસ ઉકેલ વિભેદક સમીકરણને બિલકુલ સંતોષે છે કે કેમ. વ્યુત્પન્ન શોધવું:

ચાલો મૂળ સમીકરણ જોઈએ: - તે ભિન્નતામાં રજૂ થાય છે. તપાસવાની બે રીત છે. મળેલા વ્યુત્પન્નમાંથી તફાવત વ્યક્ત કરવો શક્ય છે:

ચાલો આપણે મળેલા ચોક્કસ ઉકેલ અને પરિણામી વિભેદકને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ :

અમે મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ચોક્કસ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો હતો.

ચકાસણીની બીજી પદ્ધતિ પ્રતિબિંબિત અને વધુ પરિચિત છે: સમીકરણમાંથી ચાલો વ્યુત્પન્નને વ્યક્ત કરીએ, આ કરવા માટે આપણે બધા ભાગોને આના દ્વારા વિભાજિત કરીએ છીએ:

અને રૂપાંતરિત DE માં આપણે મેળવેલા આંશિક ઉકેલ અને મળેલા વ્યુત્પન્નને બદલીએ છીએ. સરળીકરણના પરિણામે, યોગ્ય સમાનતા પણ મેળવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ 6

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો. જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે કે તમે તમારી જાતે ઉકેલો, સંપૂર્ણ ઉકેલ અને પાઠના અંતે જવાબ આપો.

વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રાહ જોવામાં કઈ મુશ્કેલીઓ આવે છે?

1) તે હંમેશા સ્પષ્ટ હોતું નથી (ખાસ કરીને "ટીપોટ" માટે) કે ચલોને અલગ કરી શકાય છે. ચાલો વિચાર કરીએ શરતી ઉદાહરણ: . અહીં તમારે પરિબળોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવાની જરૂર છે: અને મૂળને અલગ કરો: . આગળ શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે.

2) એકીકરણ સાથે જ મુશ્કેલીઓ. ઇન્ટિગ્રલ્સ ઘણીવાર સૌથી સરળ હોતા નથી, અને જો શોધવાની કુશળતામાં ખામીઓ હોય તો અનિશ્ચિત અભિન્ન, પછી તે ઘણા વિસારકો સાથે મુશ્કેલ હશે. વધુમાં, "વિભેદક સમીકરણ સરળ હોવાથી, ઓછામાં ઓછા અવિભાજ્યને વધુ જટિલ બનવા દો" એ તર્ક સંગ્રહ અને તાલીમ માર્ગદર્શિકાઓના કમ્પાઇલર્સમાં લોકપ્રિય છે.

3) સ્થિર સાથે પરિવર્તન. દરેક વ્યક્તિએ નોંધ્યું છે તેમ, વિભેદક સમીકરણોમાં સ્થિરતાને તદ્દન મુક્તપણે નિયંત્રિત કરી શકાય છે, અને કેટલાક પરિવર્તનો હંમેશા શિખાઉ માણસ માટે સ્પષ્ટ હોતા નથી. ચાલો અન્ય શરતી ઉદાહરણ જોઈએ: . તમામ પદોને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . પરિણામી સ્થિરાંક પણ અમુક પ્રકારનો સ્થિરાંક છે, જેને આના દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: . હા, અને જમણી બાજુએ એક લઘુગણક હોવાથી, પછી સ્થિરને બીજા સ્થિરના રૂપમાં ફરીથી લખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: .

મુશ્કેલી એ છે કે તેઓ ઘણીવાર અનુક્રમણિકાઓથી પરેશાન કરતા નથી અને સમાન અક્ષરનો ઉપયોગ કરતા નથી. પરિણામે, નિર્ણય રેકોર્ડ નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

કેવો પાખંડ? ત્યાં જ ભૂલો છે! કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, હા. જો કે, વાસ્તવિક દૃષ્ટિકોણથી, ત્યાં કોઈ ભૂલો નથી, કારણ કે ચલ સ્થિરાંકને રૂપાંતરિત કરવાના પરિણામે, ચલ સ્થિરાંક હજુ પણ પ્રાપ્ત થાય છે.

અથવા બીજું ઉદાહરણ, ધારો કે સમીકરણ ઉકેલવા દરમિયાન એક સામાન્ય અભિન્ન પ્રાપ્ત થાય છે. આ જવાબ કદરૂપો લાગે છે, તેથી દરેક શબ્દની નિશાની બદલવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . ઔપચારિક રીતે, અહીં બીજી ભૂલ છે - તે જમણી બાજુએ લખવી જોઈએ. પરંતુ અનૌપચારિક રીતે તે ગર્ભિત છે કે "માઈનસ સીઈ" હજુ પણ સ્થિર છે ( જે કોઈપણ અર્થ સરળતાથી લઈ શકે છે!), તેથી "માઈનસ" મૂકવાનો કોઈ અર્થ નથી અને તમે તે જ અક્ષરનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

હું બેદરકાર અભિગમને ટાળવાનો પ્રયાસ કરીશ, અને તેમ છતાં પણ વિવિધ સૂચકાંકોને કન્વર્ટ કરતી વખતે તેમને સ્થિરાંકોને સોંપીશ.

ઉદાહરણ 7

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો. તપાસ કરો.

ઉકેલ:આ સમીકરણ ચલોને અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો એકીકૃત કરીએ:

અહીં સતતને લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી નથી, કારણ કે આમાંથી કંઈપણ ઉપયોગી થશે નહીં.

જવાબ:સામાન્ય અભિન્ન:

તપાસો: જવાબમાં તફાવત કરો ( ગર્ભિત કાર્ય):

અમે બંને પદોને આના દ્વારા ગુણાકાર કરીને અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવીએ છીએ:

મૂળ વિભેદક સમીકરણ મેળવવામાં આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય અવિભાજ્ય યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 8

DE નો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો.
,

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. એકમાત્ર સંકેત એ છે કે અહીં તમને એક સામાન્ય અભિન્નતા મળશે, અને, વધુ યોગ્ય રીતે કહીએ તો, તમારે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર નથી, પરંતુ આંશિક અભિન્ન. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

ચાલો આપણે તે કાર્યને યાદ કરીએ જે ચોક્કસ પૂર્ણાંકો શોધતી વખતે આપણને સામનો કરે છે:

અથવા dy = f(x)dx. તેણીનો ઉકેલ:

અને તે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવા માટે નીચે આવે છે. વ્યવહારમાં, વધુ વખત થાય છે મુશ્કેલ કાર્ય: કાર્ય શોધો y, જો તે જાણીતું હોય કે તે ફોર્મના સંબંધને સંતોષે છે

આ સંબંધ સ્વતંત્ર ચલ સાથે સંબંધિત છે x, અજ્ઞાત કાર્ય yઅને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ ઓર્ડર સુધી nસમાવિષ્ટ, કહેવાય છે .

વિભેદક સમીકરણમાં એક અથવા બીજા ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ (અથવા વિભેદક) ની નિશાની હેઠળ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. સર્વોચ્ચ ક્રમને ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે (9.1) .

વિભેદક સમીકરણો:

- પ્રથમ ક્રમ,

બીજો ક્રમ

- પાંચમો ક્રમ, વગેરે.

જે કાર્ય આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે તેને તેનું સોલ્યુશન કહેવામાં આવે છે , અથવા અભિન્ન . તેને ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા. જો જરૂરી કાર્ય માટે yએક સૂત્ર મેળવવામાં વ્યવસ્થાપિત છે જે તમામ ઉકેલો આપે છે, પછી અમે કહીએ છીએ કે અમને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મળ્યો છે , અથવા સામાન્ય અભિન્ન .

સામાન્ય નિર્ણય સમાવે છે nમનસ્વી સ્થિરાંકો અને જેવો દેખાય છે

જો કોઈ સંબંધ પ્રાપ્ત થાય છે જે સંબંધ ધરાવે છે x, yઅને nમનસ્વી સ્થિરાંકો, એક સ્વરૂપમાં જેના સંદર્ભમાં મંજૂરી નથી y -

તો આવા સંબંધને સમીકરણનું સામાન્ય અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે (9.1).

કોચી સમસ્યા

દરેક ચોક્કસ સોલ્યુશન, એટલે કે, દરેક ચોક્કસ કાર્ય જે આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે અને મનસ્વી સ્થિરાંકો પર આધાર રાખતું નથી, તેને ચોક્કસ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. , અથવા આંશિક અભિન્ન. સામાન્ય ઉકેલોમાંથી ચોક્કસ ઉકેલો (અવિભાજ્ય) મેળવવા માટે, સ્થિરાંકોને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો આપવા જોઈએ.

ચોક્કસ સોલ્યુશનના ગ્રાફને અભિન્ન વળાંક કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ઉકેલ, જેમાં તમામ આંશિક ઉકેલો હોય છે, તે અવિભાજ્ય વણાંકોનું કુટુંબ છે. પ્રથમ ક્રમના સમીકરણ માટે આ કુટુંબ સમીકરણ માટે, એક મનસ્વી સ્થિરાંક પર આધાર રાખે છે n-th ઓર્ડર - થી nમનસ્વી સ્થિરાંકો.

કોચી સમસ્યા એ સમીકરણ માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની છે n-મો ક્રમ, સંતોષકારક nપ્રારંભિક શરતો:

જેના દ્વારા n સ્થિરાંકો c 1, c 2,..., c n નક્કી થાય છે.

1 લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણો

વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં વણઉકેલાયેલ 1લા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે, તેનું સ્વરૂપ છે

અથવા પ્રમાણમાં પરવાનગી માટે

ઉદાહરણ 3.46. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.એકીકરણ, અમને મળે છે

જ્યાં C એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે. જો આપણે C ને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સોંપીએ છીએ, તો આપણે ચોક્કસ ઉકેલો મેળવીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે,

ઉદાહરણ 3.47. 100 r ના ઉપાર્જનને આધીન બેંકમાં જમા થતી નાણાની વધતી જતી રકમને ધ્યાનમાં લો પ્રતિ વર્ષ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ. Yo ને નાણાંની પ્રારંભિક રકમ અને Yx - અંતે દો xવર્ષ વર્ષમાં એકવાર વ્યાજની ગણતરી કરવામાં આવે તો આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1, 2, 3,.... જ્યારે વ્યાજની વર્ષમાં બે વાર ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... વ્યાજની ગણતરી કરતી વખતે nવર્ષમાં એકવાર અને જો xઅનુક્રમિક મૂલ્યો લે છે 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., પછી

1/n = h નિયુક્ત કરો, પછી અગાઉની સમાનતા આના જેવી દેખાશે:

અમર્યાદિત વિસ્તૃતીકરણ સાથે n(એટ ) મર્યાદામાં અમે સતત વ્યાજની ઉપાર્જન સાથે નાણાંની રકમ વધારવાની પ્રક્રિયામાં આવીએ છીએ:

આમ તે સ્પષ્ટ છે કે સતત પરિવર્તન સાથે xમની સપ્લાયમાં ફેરફારનો કાયદો 1લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યાં Y x એ અજ્ઞાત કાર્ય છે, x- સ્વતંત્ર ચલ, આર- સતત. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ, આ કરવા માટે આપણે તેને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીશું:

જ્યાં , અથવા , જ્યાં P એ E C નો અર્થ કરે છે.

પ્રારંભિક સ્થિતિઓમાંથી Y(0) = Yo, અમે P: Yo = Pe o, જ્યાંથી, Yo = P શોધીએ છીએ. તેથી, ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ચાલો બીજાને ધ્યાનમાં લઈએ આર્થિક સમસ્યા. મેક્રોઇકોનોમિક મોડલ્સનું વર્ણન 1લી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો દ્વારા પણ કરવામાં આવે છે, જે આવક અથવા આઉટપુટ Y માં ફેરફારોને સમયના કાર્યો તરીકે વર્ણવે છે.

ઉદાહરણ 3.48. રાષ્ટ્રીય આવક Y ને તેના મૂલ્યના પ્રમાણસર દરે વધવા દો:

અને સરકારી ખર્ચમાં થતી ખાધને પ્રમાણસરતા ગુણાંક સાથે આવક Yના સીધા પ્રમાણસર રહેવા દો q. ખર્ચની ખાધ રાષ્ટ્રીય દેવુંમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે D:

પ્રારંભિક સ્થિતિ Y = Yo અને D = do at t = 0. પ્રથમ સમીકરણ Y= Yoe kt થી. Y ને બદલીને આપણને dD/dt = qYoe kt મળે છે. સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મ ધરાવે છે
D = (q/ k) Yoe kt +С, જ્યાં С = const, જે પ્રારંભિક સ્થિતિઓ પરથી નક્કી થાય છે. પ્રારંભિક શરતોને બદલે, આપણને Do = (q/k)Yo + C મળે છે. તેથી, અંતે,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

આ દર્શાવે છે કે રાષ્ટ્રીય દેવું સમાન સંબંધિત દરે વધી રહ્યું છે k, રાષ્ટ્રીય આવક સમાન.

ચાલો સૌથી સરળ વિભેદક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ nક્રમ, આ ફોર્મના સમીકરણો છે

તેનો સામાન્ય ઉકેલ ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે nવખત એકીકરણ.

ઉદાહરણ 3.49.ઉદાહરણ y """ = cos x ધ્યાનમાં લો.

ઉકેલ.એકીકરણ, અમે શોધીએ છીએ

સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મ ધરાવે છે

રેખીય વિભેદક સમીકરણો

તેઓ અર્થશાસ્ત્રમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે; જો (9.1) પાસે ફોર્મ છે:

પછી તેને રેખીય કહેવામાં આવે છે, જ્યાં рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - ઉલ્લેખિત કાર્યો. જો f(x) = 0 હોય, તો (9.2) સજાતીય કહેવાય, અન્યથા તેને અસંગત કહેવાય. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (9.2) તેના કોઈપણ ચોક્કસ ઉકેલોના સરવાળા જેટલો છે y(x)અને તેને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:

જો ગુણાંક р o (x), р 1 (x),..., р n (x) સ્થિર હોય, તો (9.2)

(9.4) ને ક્રમના સતત ગુણાંક સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે n .

માટે (9.4) ફોર્મ ધરાવે છે:

સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે p o = 1 સેટ કરી શકીએ છીએ અને ફોર્મમાં (9.5) લખી શકીએ છીએ

આપણે y = e kx સ્વરૂપમાં (9.6) નો ઉકેલ શોધીશું, જ્યાં k એ સ્થિરાંક છે. અમારી પાસે: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. પરિણામી સમીકરણોને (9.6) માં બદલીને, આપણી પાસે હશે:

(9.7) એ બીજગણિતીય સમીકરણ છે, તેનું અજ્ઞાત છે k, તેને લાક્ષણિકતા કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિક સમીકરણ ડિગ્રી ધરાવે છે nઅને nમૂળ, જેમાં બહુવિધ અને જટિલ બંને હોઈ શકે છે. k 1, k 2,..., k n ને વાસ્તવિક અને અલગ થવા દો - વિશિષ્ટ ઉકેલો (9.7), અને સામાન્ય

સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

તેનું લાક્ષણિક સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

(9.9)

તેના ભેદભાવ D = p 2 - 4q, D ની નિશાનીના આધારે, ત્રણ કેસ શક્ય છે.

1. જો D>0, તો મૂળ k 1 અને k 2 (9.9) વાસ્તવિક અને અલગ છે, અને સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ઉકેલ.લાક્ષણિક સમીકરણ: k 2 + 9 = 0, જ્યાંથી k = ± 3i, a = 0, b = 3, સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

અભ્યાસમાં 2જી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે આર્થિક મોડલમાલના સ્ટોક સાથે કોબવેબ પ્રકાર, જ્યાં કિંમત P માં ફેરફારનો દર સ્ટોકના કદ પર આધાર રાખે છે (ફકરો 10 જુઓ). જો પુરવઠો અને માંગ કિંમતના રેખીય કાર્યો છે, તો તે છે

a એ એક સ્થિરાંક છે જે પ્રતિક્રિયા દર નક્કી કરે છે, પછી ભાવ પરિવર્તનની પ્રક્રિયા વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

ચોક્કસ ઉકેલ માટે આપણે સતત લઈ શકીએ છીએ

અર્થપૂર્ણ સંતુલન કિંમત. વિચલન સંતુષ્ટ કરે છે સજાતીય સમીકરણ

(9.10)

લાક્ષણિક સમીકરણ નીચે મુજબ હશે:

જો શબ્દ હકારાત્મક છે. ચાલો સૂચિત કરીએ . લાક્ષણિક સમીકરણ k 1,2 = ± i w ના મૂળ, તેથી સામાન્ય ઉકેલ (9.10) નું સ્વરૂપ છે:

જ્યાં C અને મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, તેઓ પ્રારંભિક સ્થિતિઓથી નક્કી થાય છે. અમે સમય સાથે કિંમતમાં ફેરફારનો કાયદો મેળવ્યો: