રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. વિવિધ દૃશ્યોમાં વ્યાખ્યાયિત રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુ

લંબ રેખા

આ કાર્ય કદાચ શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં સૌથી વધુ લોકપ્રિય અને માંગમાંનું એક છે. આ વિષય પર આધારિત કાર્યો વિવિધ છે. આ બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુની વ્યાખ્યા છે, આ કોઈપણ ખૂણા પર મૂળ રેખા પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણની વ્યાખ્યા પણ છે.

અમે આ વિષયને અમારી ગણતરીઓમાં ઉપયોગ કરીને મેળવેલ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને આવરી લઈશું

તે ત્યાં હતું કે સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનું કોણીય ગુણાંક સાથેના સમીકરણમાં રૂપાંતર અને તેનાથી વિપરીત, અને આપેલ શરતો અનુસાર સીધી રેખાના બાકીના પરિમાણોના નિર્ધારણને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું હતું.

આ પૃષ્ઠ સમર્પિત છે તે સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે અમારી પાસે શું અભાવ છે?

1. બે છેદતી રેખાઓ વચ્ચેના એક ખૂણાની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો.

જો આપણી પાસે બે લીટીઓ હોય જે સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:

પછી એક ખૂણાની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે:

2. આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી ઢાળવાળી સીધી રેખાનું સમીકરણ

ફોર્મ્યુલા 1 થી, આપણે બે સરહદી સ્થિતિઓ જોઈ શકીએ છીએ

a) જ્યારે પછી અને તેથી આ બે રેખાઓ સમાંતર હોય છે (અથવા એકરૂપ થાય છે)

b) જ્યારે , પછી , અને તેથી આ રેખાઓ કાટખૂણે છે, એટલે કે, કાટખૂણે છેદે છે.

આપેલ સીધી રેખા સિવાય, આવી સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે પ્રારંભિક ડેટા શું હોઈ શકે?

સીધી રેખા પરનો એક બિંદુ અને બીજી સીધી રેખા તેને છેદે છે તે કોણ

રેખાનું બીજું સમીકરણ

બોટ કઈ સમસ્યાઓ હલ કરી શકે છે?

1. બે લીટીઓ આપવામાં આવી છે (સ્પષ્ટ અથવા પરોક્ષ રીતે, ઉદાહરણ તરીકે, બે બિંદુઓ દ્વારા). આંતરછેદના બિંદુ અને તેઓ કયા ખૂણા પર છેદે છે તેની ગણતરી કરો.

2. એક સીધી રેખા, એક સીધી રેખા પર એક બિંદુ અને એક ખૂણો આપેલ છે. સીધી રેખાનું સમીકરણ નક્કી કરો જે આપેલ રેખાને નિર્દિષ્ટ ખૂણા પર છેદે છે

ઉદાહરણો

બે લીટીઓ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ અને તેઓ કયા ખૂણા પર છેદે છે તે શોધો

રેખા_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

અમને નીચેના પરિણામ મળે છે

પ્રથમ લીટીનું સમીકરણ

y = 2.2 x + (1.2)

બીજી લાઇનનું સમીકરણ

y = 0.4285714285714 x + (-5)

બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદનો કોણ (ડિગ્રીમાં)

-42.357454705937

બે રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ

x = -3.5

y = -6.5

ભૂલશો નહીં કે બે લીટીઓના પરિમાણો અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે, અને દરેક લીટીના પરિમાણો અર્ધવિરામ દ્વારા અલગ પડે છે.

એક સીધી રેખા બે બિંદુઓ (1:-4) અને (5:2)માંથી પસાર થાય છે. રેખાનું સમીકરણ શોધો જે બિંદુ (-2:-8)માંથી પસાર થાય છે અને મૂળ રેખાને 30 ડિગ્રીના ખૂણા પર છેદે છે.

આપણે એક સીધી રેખા જાણીએ છીએ કારણ કે આપણે તે બે બિંદુઓ જાણીએ છીએ જેમાંથી તે પસાર થાય છે.

તે બીજી લાઇનનું સમીકરણ નક્કી કરવાનું બાકી છે. એક બિંદુ આપણને જાણીતું છે, અને બીજાને બદલે, પ્રથમ લીટી બીજાને છેદે છે તે ખૂણો દર્શાવેલ છે.

એવું લાગે છે કે બધું જ જાણીતું છે, પરંતુ અહીં મુખ્ય વસ્તુ ભૂલો કરવી નથી. આપણે કોણ (30 ડિગ્રી) વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ x-અક્ષ અને રેખા વચ્ચે નહીં, પરંતુ પ્રથમ અને બીજી રેખા વચ્ચે.

તેથી જ અમે આવી પોસ્ટ કરીએ છીએ. ચાલો પ્રથમ લીટીના પરિમાણો નક્કી કરીએ અને શોધીએ કે તે x-અક્ષને કયા ખૂણાથી છેદે છે.

રેખા xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

સામાન્ય સમીકરણ Ax+By+C = 0

ગુણાંક A = -6

પરિબળ B = 4

પરિબળ C = 22

ગુણાંક a= 3.6666666666667

ગુણાંક b = -5.5

ગુણાંક k = 1.5

ધરી તરફ ઝોકનો કોણ (ડિગ્રીમાં) f = 56.309932474019

ગુણાંક p = 3.0508510792386

ગુણાંક q = 2.5535900500422

પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર=7.211102550928

આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ રેખા અક્ષને એક ખૂણા પર છેદે છે 56.309932474019 ડિગ્રી.

સ્ત્રોત ડેટા બરાબર કહેતો નથી કે બીજી લાઇન પ્રથમને કેવી રીતે છેદે છે. તમે, છેવટે, બે લાઇન બનાવી શકો છો જે શરતોને સંતોષે છે, પ્રથમ 30 ડિગ્રી ઘડિયાળની દિશામાં અને બીજી 30 ડિગ્રી ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવાય છે.

ચાલો તેમને ગણીએ

જો બીજી લાઇનને કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝમાં 30 ડિગ્રી ફેરવવામાં આવે, તો બીજી લાઇનમાં x-અક્ષ સાથે આંતરછેદની ડિગ્રી હશે 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 ડિગ્રી

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

નિર્દિષ્ટ પરિમાણો અનુસાર સીધી રેખાના પરિમાણો

સામાન્ય સમીકરણ Ax+By+C = 0

ગુણાંક A = 23.011106998916

ગુણાંક B = -1.4840558255286

ગુણાંક C = 34.149767393603

x/a+y/b = 1 સેગમેન્ટમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ

ગુણાંક a= -1.4840558255286

ગુણાંક b = 23.011106998916

કોણીય ગુણાંક y = kx + b સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ

ગુણાંક k = 15.505553499458

ધરી તરફ ઝોકનો કોણ (ડિગ્રીમાં) f = 86.309932474019

રેખા x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ

ગુણાંક p = -1.4809790664999

ગુણાંક q = 3.0771888256405

પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર=23.058912962428

એક બિંદુથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર li =

એટલે કે, આપણું બીજી લીટીનું સમીકરણ y= છે 15.505553499458x+ 23.011106998916

1. ફંક્શનના આલેખના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, તમારે બંને ફંક્શન્સને એકબીજા સાથે સમાન કરવાની જરૂર છે, $ x $ ધરાવતા તમામ શબ્દોને ડાબી બાજુએ ખસેડો અને બાકીનાને જમણી બાજુએ ખસેડો, અને તેના મૂળ શોધવા. પરિણામી સમીકરણ.
2. બીજી પદ્ધતિ એ છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવી અને એક ફંક્શનને બીજા ફંક્શનમાં બદલીને તેને હલ કરવી
3. ત્રીજી પદ્ધતિમાં ગ્રાફિકલી વિધેયોનું નિર્માણ અને આંતરછેદ બિંદુને દૃષ્ટિની રીતે નક્કી કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

બે રેખીય કાર્યોનો કેસ

બે રેખીય કાર્યોનો વિચાર કરો $f(x) = k_1 x+m_1 $ અને $g(x) = k_2 x + m_2 $. આ કાર્યોને ડાયરેક્ટ કહેવામાં આવે છે. તેમને બનાવવું એકદમ સરળ છે; તમારે કોઈપણ બે મૂલ્યો $ x_1 $ અને $ x_2 $ લેવાની અને $ f(x_1) $ અને $ (x_2) $ શોધવાની જરૂર છે. પછી ફંકશન $ g(x) $ સાથે તે જ પુનરાવર્તન કરો. આગળ, ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુના સંકલનને દૃષ્ટિની રીતે શોધો.

તમારે જાણવું જોઈએ કે રેખીય ફંક્શનમાં માત્ર એક આંતરછેદ બિંદુ હોય છે અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે $ k_1 \neq k_2 $. નહિંતર, $ k_1=k_2 $ કિસ્સામાં ફંક્શન્સ એકબીજાના સમાંતર છે, કારણ કે $ k $ એ ઢાળ ગુણાંક છે. જો $ k_1 \neq k_2 $, પરંતુ $ m_1=m_2 $, તો આંતરછેદ બિંદુ $ M(0;m) $ હશે. સમસ્યાઓ ઝડપથી ઉકેલવા માટે આ નિયમ યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

બે બિનરેખીય કાર્યોનો કેસ

કોઓર્ડિનેટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, એક આંતરછેદ બિંદુની જરૂર છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ ઉકેલમાં વપરાય છે. જ્યારે તમારે પ્લેન પર બે રેખાઓના આંતરછેદના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની અથવા અવકાશમાં સમાન રેખાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવાની જરૂર હોય ત્યારે પરિસ્થિતિ ઊભી થાય છે. આ લેખ જ્યાં આપેલ રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે તે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાના કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લે છે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી છે.

પ્લેન પર રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ પરનો વિભાગ દર્શાવે છે કે તેઓ એકરૂપ થઈ શકે છે, સમાંતર હોઈ શકે છે, એક સામાન્ય બિંદુ પર છેદે છે અથવા છેદે છે. અવકાશમાં બે રેખાઓ છેદતી કહેવાય છે જો તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ હોય.

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુની વ્યાખ્યા આના જેવી લાગે છે:

વ્યાખ્યા 1

જે બિંદુ પર બે રેખાઓ છેદે છે તેને તેમના આંતરછેદ બિંદુ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, છેદતી રેખાઓનું બિંદુ એ છેદનનું બિંદુ છે.

ચાલો નીચેની આકૃતિ જોઈએ.

બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા પહેલાં, નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે.

જો પ્લેનમાં O x y સંકલન પ્રણાલી હોય, તો બે સીધી રેખાઓ a અને b ઉલ્લેખિત છે. રેખા a એ ફોર્મ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, રેખા b માટે - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ફોર્મના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે. પછી M 0 (x 0 , y 0) એ પ્લેનનો ચોક્કસ બિંદુ છે; તે નક્કી કરવું જરૂરી છે કે શું બિંદુ M 0 આ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ હશે.

સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, વ્યાખ્યાનું પાલન કરવું જરૂરી છે. પછી રેખાઓ એવા બિંદુએ છેદે છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ આપેલ સમીકરણો A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 અને A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 નો ઉકેલ છે. આનો અર્થ એ છે કે આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપેલ તમામ સમીકરણોમાં અવેજી કરવામાં આવે છે. જો, અવેજી પર, તેઓ સાચી ઓળખ આપે છે, તો M 0 (x 0 , y 0) એ તેમનો આંતરછેદ બિંદુ માનવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1

બે છેદતી રેખાઓ 5 x - 2 y - 16 = 0 અને 2 x - 5 y - 19 = 0 આપેલ છે. શું કોઓર્ડિનેટ્સ (2, - 3) સાથેનો બિંદુ M 0 એક આંતરછેદ બિંદુ હશે.

ઉકેલ

રેખાઓના આંતરછેદને માન્ય રાખવા માટે, તે જરૂરી છે કે બિંદુ M 0 ના કોઓર્ડિનેટ્સ રેખાઓના સમીકરણોને સંતોષે. આ તેમને બદલીને ચકાસી શકાય છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

બંને સમાનતા સાચી છે, જેનો અર્થ છે M 0 (2, - 3) એ આપેલ રેખાઓનું આંતરછેદ બિંદુ છે.

ચાલો આ ઉકેલને નીચેની આકૃતિની સંકલન રેખા પર દર્શાવીએ.

જવાબ:કોઓર્ડિનેટ્સ (2, - 3) સાથે આપેલ બિંદુ એ આપેલ રેખાઓનું આંતરછેદ બિંદુ હશે.

ઉદાહરણ 2

શું રેખાઓ 5 x + 3 y - 1 = 0 અને 7 x - 2 y + 11 = 0 બિંદુ M 0 (2, - 3) પર છેદે છે?

ઉકેલ

સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે તમામ સમીકરણોમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલવાની જરૂર છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

બીજી સમાનતા સાચી નથી, તેનો અર્થ એ છે કે આપેલ બિંદુ રેખા 7 x - 2 y + 11 = 0 સાથે સંબંધિત નથી. આમાંથી આપણી પાસે તે બિંદુ M 0 એ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ નથી.

રેખાંકન સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે M 0 એ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ નથી. તેમની પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ (- 1, 2) સાથે એક સામાન્ય બિંદુ છે.

જવાબ:કોઓર્ડિનેટ્સ (2, - 3) સાથેનો બિંદુ એ આપેલ રેખાઓનો આંતરછેદ બિંદુ નથી.

અમે પ્લેન પર આપેલા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા આગળ વધીએ છીએ.

બે છેદતી રેખાઓ a અને b એ O x y પર સ્થિત A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 અને A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 સ્વરૂપના સમીકરણો દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે. આંતરછેદ બિંદુ M 0 ને નિયુક્ત કરતી વખતે, આપણે શોધીએ છીએ કે આપણે સમીકરણો A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 અને A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 નો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું ચાલુ રાખવું જોઈએ.

વ્યાખ્યા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે M 0 એ રેખાઓના આંતરછેદનું સામાન્ય બિંદુ છે. આ કિસ્સામાં, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 અને A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 સમીકરણોને સંતોષવા આવશ્યક છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ પરિણામી સિસ્ટમ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 નો ઉકેલ છે.

આનો અર્થ એ છે કે આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, સિસ્ટમમાં તમામ સમીકરણો ઉમેરવા અને તેને ઉકેલવા જરૂરી છે.

ઉદાહરણ 3

પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓ x - 9 y + 14 = 0 અને 5 x - 2 y - 16 = 0 આપેલ છે. તે તેમના આંતરછેદ શોધવા માટે જરૂરી છે.

ઉકેલ

સમીકરણની શરતો પરનો ડેટા સિસ્ટમમાં એકત્રિત કરવો આવશ્યક છે, જેના પછી આપણે x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 મેળવીએ છીએ. તેને ઉકેલવા માટે, પ્રથમ સમીકરણ x માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને અભિવ્યક્તિને બીજામાં બદલવામાં આવે છે:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

પરિણામી સંખ્યાઓ કોઓર્ડિનેટ્સ છે જે શોધવાની જરૂર છે.

જવાબ: M 0 (4, 2) એ રેખાઓ x - 9 y + 14 = 0 અને 5 x - 2 y - 16 = 0 નું આંતરછેદ બિંદુ છે.

કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે. જો શરત દ્વારા અલગ પ્રકારનું સમીકરણ આપવામાં આવે છે, તો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 4

x - 5 = y - 4 - 3 અને x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

ઉકેલ

પ્રથમ તમારે સમીકરણોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે. પછી આપણને મળે છે કે x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત થાય છે:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

પછી આપણે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ x - 5 = y - 4 - 3 નું સમીકરણ લઈએ અને રૂપાંતર કરીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

અહીંથી આપણી પાસે છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ આંતરછેદનું બિંદુ છે

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

જવાબ: M 0 (- 5 , 1) .

પ્લેન પર સ્થિત રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનો એક માર્ગ પણ છે. તે લાગુ પડે છે જ્યારે એક રેખા x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R ફોર્મના પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે. પછી x ની કિંમતને બદલે આપણે x = x 1 + a x · λ અને y = y 1 + a y · λ, જ્યાં આપણને λ = λ 0 મળે છે, કોઓર્ડિનેટ્સ x 1 + a x · λ 0 ધરાવતા આંતરછેદ બિંદુને અનુરૂપ. , y 1 + a y · λ 0 .

ઉદાહરણ 5

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R અને x - 5 = y - 4 - 3 રેખાના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

ઉકેલ

x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ અભિવ્યક્તિ સાથે x - 5 = y - 4 - 3 માં અવેજીકરણ કરવું જરૂરી છે, પછી આપણને મળશે:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

હલ કરતી વખતે, આપણે શોધીએ છીએ કે λ = - 1. તે અનુસરે છે કે રેખાઓ x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R અને x - 5 = y - 4 - 3 વચ્ચે આંતરછેદ બિંદુ છે. કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવા માટે, તમારે સમીકરણ λ = - 1 ને પેરામેટ્રિક સમીકરણમાં બદલવાની જરૂર છે. પછી આપણને મળે છે કે x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

જવાબ: M 0 (- 5 , 1) .

વિષયને સંપૂર્ણ રીતે સમજવા માટે, તમારે કેટલીક ઘોંઘાટ જાણવાની જરૂર છે.

પ્રથમ તમારે રેખાઓનું સ્થાન સમજવાની જરૂર છે. જ્યારે તેઓ એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે અમે અન્ય કિસ્સાઓમાં કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીશું, ત્યાં કોઈ ઉકેલ હશે નહીં. આ ચેકને ટાળવા માટે, તમે A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 ફોર્મની સિસ્ટમ બનાવી શકો છો, જો ત્યાં કોઈ ઉકેલ હોય, તો અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે. જો ત્યાં કોઈ ઉકેલ નથી, તો પછી તેઓ સમાંતર છે. જ્યારે સિસ્ટમ પાસે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો હોય છે, ત્યારે તે એકરૂપ હોવાનું કહેવાય છે.

ઉદાહરણ 6

આપેલ લીટીઓ x 3 + y - 4 = 1 અને y = 4 3 x - 4. તેમની પાસે એક સામાન્ય મુદ્દો છે કે કેમ તે નક્કી કરો.

ઉકેલ

આપેલ સમીકરણોને સરળ બનાવતા, આપણે 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 અને 4 3 x - y - 4 = 0 મેળવીએ છીએ.

અનુગામી ઉકેલ માટે સમીકરણોને સિસ્ટમમાં એકત્રિત કરવા જોઈએ:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

આમાંથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમીકરણો એકબીજા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, પછી આપણને અસંખ્ય ઉકેલો મળે છે. પછી સમીકરણો x 3 + y - 4 = 1 અને y = 4 3 x - 4 સમાન રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી આંતરછેદના કોઈ બિંદુઓ નથી.

જવાબ:આપેલ સમીકરણો સમાન સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

ઉદાહરણ 7

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 અને 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 ને છેદતી રેખાઓના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉકેલ

શરત મુજબ, આ શક્ય છે, રેખાઓ છેદે નહીં. સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવી અને હલ કરવી જરૂરી છે. ઉકેલવા માટે, ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે, કારણ કે તેની સહાયથી સુસંગતતા માટે સમીકરણ તપાસવું શક્ય છે. અમને ફોર્મની સિસ્ટમ મળે છે:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

અમને ખોટી સમાનતા પ્રાપ્ત થઈ છે, જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે રેખાઓ સમાંતર છે. ત્યાં કોઈ આંતરછેદ બિંદુઓ નથી.

બીજો ઉકેલ.

પ્રથમ તમારે રેખાઓના આંતરછેદની હાજરી નક્કી કરવાની જરૂર છે.

n 1 → = (2, 2 - 3) એ રેખા 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 નો સામાન્ય વેક્ટર છે, પછી વેક્ટર n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 છે રેખા 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 માટે સામાન્ય વેક્ટર.

n 1 → = (2, 2 - 3) અને n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) વેક્ટર્સની સમન્વયતા તપાસવી જરૂરી છે. આપણે ફોર્મ 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 ની સમાનતા મેળવીએ છીએ. તે સાચું છે કારણ કે 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. તે અનુસરે છે કે વેક્ટર સમરેખા છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ સમાંતર છે અને આંતરછેદના કોઈ બિંદુઓ નથી.

જવાબ:આંતરછેદના કોઈ બિંદુઓ નથી, રેખાઓ સમાંતર છે.

ઉદાહરણ 8

આપેલ રેખાઓ 2 x - 1 = 0 અને y = 5 4 x - 2 ના આંતરછેદના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉકેલ

ઉકેલવા માટે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ. અમને મળે છે

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

ચાલો મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શોધીએ. આ માટે, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. તે શૂન્યની બરાબર ન હોવાથી, સિસ્ટમ પાસે 1 સોલ્યુશન છે. તે અનુસરે છે કે રેખાઓ છેદે છે. ચાલો આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટેની સિસ્ટમ હલ કરીએ:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

અમને જાણવા મળ્યું કે આપેલ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુમાં M 0 (1 2, - 11 8) કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

જવાબ: M 0 (1 2 , - 11 8) .

અવકાશમાં બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવી

તે જ રીતે, અવકાશમાં સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓ જોવા મળે છે.

જ્યારે છેદતા વિમાનોના સમીકરણો દ્વારા સંકલન સમતલ O x y z માં સીધી રેખા a અને b આપવામાં આવે છે, ત્યારે ત્યાં એક સીધી રેખા a છે, જે આપેલ સિસ્ટમ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 અને સીધી રેખા b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

જ્યારે બિંદુ M 0 એ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ છે, ત્યારે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બંને સમીકરણોના ઉકેલો હોવા જોઈએ. અમે સિસ્ટમમાં રેખીય સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને સમાન કાર્યો જોઈએ.

ઉદાહરણ 9

આપેલ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 અને 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

ઉકેલ

અમે સિસ્ટમ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 કંપોઝ કરીએ છીએ અને તેને હલ કરીએ છીએ. કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, તમારે મેટ્રિક્સ દ્વારા હલ કરવાની જરૂર છે. પછી આપણે ફોર્મ A = 1 0 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 અને વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 નું મુખ્ય મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ. અમે મેટ્રિક્સનો ગૌસિયન રેન્ક નક્કી કરીએ છીએ.

અમે તે મેળવીએ છીએ

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

તે અનુસરે છે કે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સની રેન્કનું મૂલ્ય 3 છે. પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 માત્ર એક ઉકેલમાં પરિણમે છે.

બેસિસ માઇનોર પાસે નિર્ણાયક 1 0 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 છે, તો છેલ્લું સમીકરણ લાગુ પડતું નથી. આપણે મેળવીએ છીએ કે x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. સિસ્ટમનો ઉકેલ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

આનો અર્થ એ છે કે આંતરછેદ બિંદુ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 અને 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (1, - 3, 0).

જવાબ: (1 , - 3 , 0) .

ફોર્મની સિસ્ટમ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 નો એક જ ઉકેલ છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ a અને b છેદે છે.

અન્ય કિસ્સાઓમાં, સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, એટલે કે, કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ પણ નથી. એટલે કે, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ શોધવાનું અશક્ય છે, કારણ કે તે અસ્તિત્વમાં નથી.

તેથી, ફોર્મની સિસ્ટમ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 એ ગૌસીયન પદ્ધતિથી ઉકેલાય છે. જો તે અસંગત હોય, તો રેખાઓ એકબીજાને છેદેતી નથી. જો ત્યાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય, તો તે એકરૂપ થાય છે.

તમે મેટ્રિક્સના મૂળભૂત અને વિસ્તૃત ક્રમની ગણતરી કરીને હલ કરી શકો છો અને પછી ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય લાગુ કરો. આપણને એક, ઘણા કે કોઈ ઉકેલો જ મળે છે.

ઉદાહરણ 10

x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 અને x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 રેખાઓના સમીકરણો આપવામાં આવ્યા છે. આંતરછેદ બિંદુ શોધો.

ઉકેલ

પ્રથમ, ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ. આપણને મળે છે કે x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. અમે તેને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

દેખીતી રીતે, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ એકબીજાને છેદેતી નથી. ત્યાં કોઈ આંતરછેદ બિંદુ નથી.

જવાબ:ત્યાં કોઈ આંતરછેદ બિંદુ નથી.

જો રેખાઓ કોનોનિકલ અથવા પેરામેટ્રિક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે, તો તમારે તેમને છેદતા વિમાનોના સમીકરણોના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની જરૂર છે, અને પછી કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉદાહરણ 11

O x y z માં બે લીટીઓ x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R અને x 2 = y - 3 0 = z 5 આપેલ છે. આંતરછેદ બિંદુ શોધો.

ઉકેલ

અમે બે છેદતા વિમાનોના સમીકરણો દ્વારા સીધી રેખાઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

આપણે કોઓર્ડિનેટ્સ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 શોધીએ છીએ, આ માટે આપણે મેટ્રિક્સની રેન્કની ગણતરી કરીએ છીએ. મેટ્રિક્સનો ક્રમ 3 છે, અને આધાર ગૌણ 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 છે, જેનો અર્થ છે કે છેલ્લું સમીકરણ સિસ્ટમમાંથી બાકાત રાખવું આવશ્યક છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

ચાલો ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરીએ. આપણને તે x = - 2 y = 3 z = - 5 મળે છે. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે આપેલ રેખાઓનું આંતરછેદ કોઓર્ડિનેટ્સ (- 2, 3, - 5) સાથે એક બિંદુ આપે છે.

જવાબ: (- 2 , 3 , - 5) .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

આ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને તમે પ્લેન પર રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને શોધી શકો છો. સમજૂતી સાથે વિગતવાર ઉકેલ આપવામાં આવે છે. રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, રેખાઓના સમીકરણનો પ્રકાર ("કેનોનિકલ", "પેરામેટ્રિક" અથવા "સામાન્ય") સેટ કરો, કોષોમાં રેખાઓના સમીકરણોના ગુણાંક દાખલ કરો અને "સોલ્વ" પર ક્લિક કરો. "બટન. નીચે સૈદ્ધાંતિક ભાગ અને સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો જુઓ.

×

ચેતવણી

બધા કોષો સાફ કરીએ?

ક્લિયર બંધ કરો

ડેટા એન્ટ્રી સૂચનાઓ.સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક (ઉદાહરણ: 487, 5, -7623, વગેરે), દશાંશ (ઉદા. 67., 102.54, વગેરે) અથવા અપૂર્ણાંક તરીકે દાખલ કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક એ/b સ્વરૂપમાં દાખલ કરવો આવશ્યક છે, જ્યાં a અને b (b>0) પૂર્ણાંકો અથવા દશાંશ સંખ્યાઓ છે. ઉદાહરણો 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, વગેરે.

પ્લેન પર રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ - સિદ્ધાંત, ઉદાહરણો અને ઉકેલો

1. સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપેલ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ.

ઓક્સી એલ 1 અને એલ 2:

ચાલો એક વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ બનાવીએ:

જો બી" 2 =0 અને સાથે" 2 =0, તો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઘણા ઉકેલો છે. તેથી સીધા એલ 1 અને એલ 2 મેચ. જો બી" 2 =0 અને સાથે" 2 ≠0, તો સિસ્ટમ અસંગત છે અને તેથી, રેખાઓ સમાંતર છે અને તેમાં સામાન્ય બિંદુ નથી. જો બી" 2 ≠0, પછી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે. બીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ y: y=સાથે" 2 /બી" 2 અને પરિણામી મૂલ્યને આપણે પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ x: x=−સાથે 1 −બી 1 y. અમને રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ મળ્યું એલ 1 અને એલ 2: એમ(x, y).

2. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં આપેલ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ.

એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવા દો ઓક્સીઅને આ સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખાઓ આપવા દો એલ 1 અને એલ 2:

ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને પરિવર્તન કરીએ:

સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે સીધી રેખા (7) નું સામાન્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

સમીકરણો (12) પરથી તે નીચે મુજબ છે:

કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં આપેલ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુને કેવી રીતે શોધવું તે ઉપર વર્ણવેલ છે.

4. વિવિધ દૃશ્યોમાં ઉલ્લેખિત રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ.

એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવા દો ઓક્સીઅને આ સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખાઓ આપવા દો એલ 1 અને એલ 2:

અમે શોધીશું t:

ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંદર્ભમાં હલ કરીએ x, y. આ કરવા માટે, અમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું. અમને મળે છે:

ઉદાહરણ 2. રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો એલ 1 અને એલ 2:

(21)

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને શોધવા માટે એલ 1 અને એલ 2 તમારે રેખીય સમીકરણો (20) અને (21) ની સિસ્ટમ હલ કરવાની જરૂર છે. ચાલો સમીકરણોને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ.

બે લીટીઓ આપવા દો અને તમારે તેમના આંતરછેદના બિંદુને શોધવાની જરૂર છે. આ બિંદુ આપેલ બે લીટીઓમાંથી પ્રત્યેકનો હોવાથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રથમ લીટીના સમીકરણ અને બીજી લીટીના સમીકરણ બંનેને સંતોષવા જોઈએ.

આમ, બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, વ્યક્તિએ સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી આવશ્યક છે.

ઉદાહરણ 1. રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો અને

ઉકેલ. આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને ઇચ્છિત આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીશું

આંતરછેદ બિંદુ M પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ છે

ચાલો તેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા કેવી રીતે બનાવવી તે બતાવીએ. સીધી રેખા બાંધવા માટે, તેના બે બિંદુઓને જાણવું પૂરતું છે. આ દરેક બિંદુઓનું નિર્માણ કરવા માટે, અમે તેના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક માટે મનસ્વી મૂલ્યનો ઉલ્લેખ કરીએ છીએ, અને પછી સમીકરણમાંથી આપણે અન્ય સંકલન માટે અનુરૂપ મૂલ્ય શોધીએ છીએ.

જો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ પરના બંને ગુણાંક શૂન્ય સમાન ન હોય, તો પછી આ સીધી રેખા બનાવવા માટે સંકલન અક્ષો સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓને શોધવાનું શ્રેષ્ઠ છે.

ઉદાહરણ 2. એક સીધી રેખા બનાવો.

ઉકેલ. આપણે એબ્સીસા અક્ષ સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે તેમના સમીકરણોને એકસાથે હલ કરીએ છીએ:

અને અમે મેળવીએ છીએ. આમ, એબ્સીસા અક્ષ સાથે આ રેખાના આંતરછેદનો બિંદુ M (3; 0) મળી આવ્યો છે (ફિગ. 40).

પછી આ રેખાના સમીકરણ અને ઓર્ડિનેટ અક્ષના સમીકરણને એકસાથે હલ કરો

આપણે ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ છીએ. અંતે, અમે તેના બે બિંદુઓ M અને પરથી એક સીધી રેખા બનાવીએ છીએ