મેટ્રિક્સ A માં બહુપદી (બહુપદી) કહેવાય છે. ફોર્મનું મૂલ્ય: p(A)=a A +a A +…a A²+a A+a A

બહુપદી p(X) આપવા દો જો p(A)=0, એટલે કે. p(A) શૂન્ય છે, પછી M. A કહેવાય છે. બહુપદી p(X) નું મૂળ છે, અને બહુપદી p(X) એ મેટ્રિક્સ A નો વિનાશકારી બહુપદી છે.

3જી ક્રમ માટે સંકેતોનો સારિઅસ નિયમ.

માઇનોર કહેવાય છે પંક્તિ અને કૉલમ કે જેના પર આપેલ તત્વ દેખાય છે તેને પાર કરીને નિર્ધારક મેળવે છે.

Alg. વધુમાં ઇમેઇલ આઈક કહેવાય છે માઇનોર, Аik=(-1) મિક ચિહ્ન સાથે લેવાયેલ.

પ્રથમ પંક્તિના ઘટકો અનુસાર 3જી ક્રમના ∆ નું વિસ્તરણ: ∆=a11A11+a12A12+a13A13.

વ્યસ્ત ચોરસ મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ A કહેવાય છે ચો. મેટ્રિક્સ A¯¹ સંતોષ. સમાન A A¯¹= A¯¹ A=E.

ચો. મેટ્રિક્સ કહેવાય છે અસ્પષ્ટ જો તેની det≠0.

થિયર. દરેકને. અવ્યક્ત matr અને તેની કોઈ અભિવ્યક્તિ નથી. તેણીની એઆરઆર. સાદડી.: А¯¹=A/detA.

મનસ્વી બિન-અભિવ્યક્ત matr એકમ (AE) માં ઘટાડી શકાય છે - જોર્ડનોની પદ્ધતિ.

નમૂના શોધવી matr ઈમેલ સાથે કન્વર્ટ કરો થિયર. જો એકમ ઓર્ડર n નો મેટ્રિક્સ, સમાન ઘટકો લાગુ કરો. રૂપાંતર કરો, ફક્ત રેખાઓની ઉપર અને પોમ સાથે સમાન ક્રમમાં. જે અવ્યક્ત ચો. matr A ઘટાડીને એક કરવામાં આવે છે, પછી પરિણામી મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ A. (A|E)(E|A¯¹) નું વ્યસ્ત હશે.

Ax=B yA=B

x=A¯¹B y=BA¯¹

મેટ્રિક્સ રેન્ક

સાદડી માં. m*n ઉત્પાદન પસંદ કરો. S-પંક્તિઓ, S-કૉલમ. (1≤S≤મિનિટ(m,n)). તત્વ., સ્થાયી. ક્રોસ્ડ પર પસંદ કરો પૃષ્ઠ કૉલમ arr matr ઓર્ડર S. આ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને કહેવામાં આવે છે. ઓર્ડરના નાનામોટા એસ મેટર એ.

આ નિર્ણાયકને દ્વિતીય-ક્રમ લઘુમતી કહેવામાં આવે છે. matr એનાલોગ. પ્રાપ્ત બીજા સગીર બીજા. por., અને tert પણ. શાબ્દિક, ના. તેમાંથી કરી શકે છે. = 0.

રેન્ક matr. કહેવાય છે મહત્તમ તેના સગીરોના ઓર્ડરથી, ≠0.

જો તમામ સગીર =0 હોય, તો ક્રમ =0.

ક્રમ ગુણધર્મો

1. આર ટ્રાન્સપોઝ. matr = આર મૂળ

2. આર એમ. જામી ન હતી. તેમાં શૂન્ય રેખાઓની ગેરહાજરી અથવા હાજરીથી.

3. જ્યારે એલ. કન્વર્ટ કરો આર સાદડી. હું નહિ. તેમની મદદ સાથે. matr અર્ધ-ત્રિકોણાકાર આકારમાં ઘટાડી શકાય છે, R જે. = r, કારણ કે ch સાથે તેની નાની. diog ઉત્પાદિત સમાન. અને ≠0, અને તમામ ઉચ્ચ ક્રમના સગીર =0, શૂન્ય પંક્તિઓ ધરાવતાં.

રેખીય સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ સંકેત

A = (કૂફ.), X = (અજ્ઞાત), B = (પવિત્ર સભ્યો), Ấ = (કૂફ અને પવિત્ર સભ્યો)

અવ્યક્ત સિસ્ટમ

|a11 a12 .. b1 .. a1m|

∆=|coof.| , ∆k=| a21 a22 .. b2 .. a2m |

|………………………………..|

| am1 am2 .. bm ..amm|

ક્રેમરનું પ્રમેય. અવ્યક્ત લિન ચાળણી એકમો ધરાવે છે ઉકેલ x1=∆1/∆, x2=∆2/∆………

ગૌસ-ગોર્ડાનાનો પદ્ધતિ (અને ઊલટું)

નિષ્કર્ષ ઇમેઇલમાં પરિવર્તન matr

VECTOOS

કોલિનિયર. vect - નીચે સૂવું પર || સીધી અથવા સમાન સીધી રેખા પર.

સમાન વેકટ. - કોલીન અને કર્યા સમાન દિશા અને લંબાઈ.

વિપરીત કહેવાય છે વેક્ટર અને સમાન લંબાઈ ધરાવે છે.

સેન્ટ વેક્ટર્સ - જેમાંથી એપ્લિકેશનો મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે.

કહેવાતા ત્રિજ્યા વેક્ટર વેક્ટર ટી જેની શરૂઆત છે. coord., અને અંત ટી માં છે.

વેક્ટરની દિશા કોસાઇન કહેવામાં આવે છે. α, β, γ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે તેમના દ્વારા રચાયેલી કોસાઇન્સ. કુહાડીઓ

|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√(x²+y²+z²)

એકમ વેક્ટર e=(cos,cos,cosγ)

કોર્ડ. લિન વેક્ટરના સંયોજનો

n વેક્ટર આપવામાં આવે છે. લિન. કાંસકો a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…

આ સંદર્ભમાં સેગમેન્ટનું વિભાજન

X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – ℓ ના સંબંધમાં.

સ્કેલર. વેક્ટરનું ઉત્પાદન

ab=|a|b|cos(ab) કારણ કે |b|cos φ=pr a b , |a|cosφ=pr b a , ab=|a|pr a b = |b|pr b a

ગુણધર્મો: 1.મૂવ (સંચારક્ષમતા) ab=ba

2. સંખ્યાઓ સંબંધિત સંયોજન (સહયોગ). બહુવચન (αa)b=α(ab)

3. વિતરણ (વિતરણ) નો સંદર્ભ આપે છે. વેક્ટરનો સરવાળો a(b+c)=ab+ac

શાસન સિંહ. અને અધિકાર. ત્રણ ગણો વી.

3 સુસંગત નથી. vect a,b,c લેવામાં આવેલ છે ઉલ્લેખિત ક્રમમાંઅને કહેવાય એક બિંદુ સાથે જોડાયેલ. ત્રણ વેક્ટર abc.

આપણે c ના અંતથી પ્લેન સુધી જોઈશું. છબી વેક્ટર a અને b, જો આપણે a થી b માં ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સૌથી ટૂંકો વળાંક કરીએ, તો ટ્રિપલ કહેવામાં આવે છે. ખરું...

2 વેક્ટર a અને b ના વેક્ટર ઉત્પાદન કહેવાય છે. વેક્ટર અને સંતોષ ટ્રેક શરત:1)||=|a||b|sinα ;2)┴a અને b;3)ટ્રિપલ a b ની દિશા i jk જેવી જ છે.

સંમેલનમાંથી 1) તે તેને અનુસરે છે |

0 < = >| cross product = સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર.

એક ફરિયાદ. b

ગુણધર્મો: 1.વિરોધી વિનિમયક્ષમતા =-

2. સ્કેલરના સંદર્ભમાં સંયોજનો. બહુવચન

[(αa)*b]=α

3. વિતરણ (વિતરણ) નો સંદર્ભ આપે છે. વેક્ટરનો સરવાળો [(a+b)c]=+

=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …

|x2 y2 z2| |y2 z2|

વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન

3 vect આપેલ છે. a,b,c. ચાલો વેક્ટરી રીતે b વડે અને સ્કેલરલી c વડે ગુણાકાર કરીએ. રેસમાં. પ્રાપ્ત નંબર કહેવાય છે વેક્ટર-સ્કેલર ઉત્પાદન અથવા મિશ્ર.< = >V parallelepiped=mix. ઉત્પાદન vect અને “+” જો tr. ABC સાચું છે.

abc=|x2 ……|

abc-complan.

|x3 ……| |x2-x1 y2-y1 … |

વી 3-કોલસો પિરામિડ=મોડ|x3-x1 … … |

|x4-x1 …… |

લીનિયર અટકી ગયું. વેક્ટર્સ< = >a1,a2,…an – કહેવાય છે લિન અટકી વેક્ટર્સ, જો નામ. α1,α2 …αn, જેમ કે: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0

પ્રમેય 1. a1,a2,…,an, n>1 રેખીય આધારિત< = >તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક છે લિન કાંસકો બાકીના

પ્રમેય 3. જો e1 અને e2 શંખીય વેક્ટર ન હોય તો ne. ફ્લેટ, પછી સમાન પ્લેન એકમથી સંબંધિત કોઈપણ ત્રીજો વેક્ટર. જાહેર કરવાની રીત. તેમના અનુસાર a = x * e1 + y * e2.

પ્રમેય 4. a,b,c – lin. અટકી< = >તેઓ સમરેખા છે.

પ્રમેય 5. જો e1, e2, e3 complan નથી., તો કોઈપણ a એકમ હોઈ શકે છે. arr તેમના પર વિસ્તૃત કરો a=α1*е1+α2*е2+α3*е3

પ્રમેય 6. દરેક વ્યક્તિ. 4 થી વેક્ટર લિન. અટકી

આધાર એ 3-રેખીય રેખાઓની કોઈપણ ક્રમબદ્ધ સિસ્ટમ છે. સ્વતંત્ર, એટલે કે નથી કોપ્લાનર વેક્ટર d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) e1e2e3 ના આધારે

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ…

F(x,y)=0 – સામાન્ય સ્વરૂપમાં રેખાનું સ્તર

F(ρ,φ)=0 – … in ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ. જો આ સમીકરણ ρ ના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે, તો ρ= ρ(φ).

y= φ (t) /- રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો.

જો આપવામાં આવે છે. રેખાઓ સમીકરણ ρ= ρ(φ) દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, પરિમાણિક રીતે સમીકરણો x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ લખવામાં આવે છે.

સરળ બનાવો કોઓર્ડિનેટ્સ Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)

ચાલો નવા તરફ આગળ વધીએ. સિસ્ટમ કોર્ડ ઓહ સમાંતર ટ્રાન્સફર દ્વારા.

સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીને સમીકરણ (1) નીચેના પ્રમાણભૂત સમીકરણોમાંથી એકમાં રૂપાંતરિત થાય છે:

x²/a²+y²/b²=1 – અંડાકાર – જીઓમ. પ્લેનના પોઈન્ટનું સ્થળ જેના માટે. જિલ્લાનો જથ્થો. બે આપેલ બિંદુઓ સુધી (foci) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)

એપ્સીટ્રીસીટી એલ. કહેવાય છે ξ=√(1-(b/a)²) નિર્દેશો el. કહેવાય છે સીધી રેખાઓ x=a/ξ અને x=--a/ξ

x²/a²+y²/b²=0 – સંતોષકારક. કોર્ડ એકમો t (0,0)

x²/a²+y²/b²=-1 – અસંતોષકારક. કોર્ડ એક પણ ટી.

આગામી માં A*C>0 લંબગોળ પ્રકારની રેખાઓ

x²/a² -- y²/b²=1 અથવા --x²/a² + y²/b²=1 – હાયપરબોલાસ – જીઓમ. પ્લેનની જગ્યા જેના માટે | | આપેલ બે બિંદુઓ (foci) = const \ ના અંતરમાં તફાવત

F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²), ξ=c/a, એસિમ્પ્ટોટ્સ: y=x*b/a અને y=-- x*b/a, ડાયરેક્ટ્રીક્સ: x=-a/ξ અને x=a/ξ |

ઇક્વિલેટરલ ગિયર્સ - સમાન અર્ધ-અક્ષો સાથે.

/

x²/a² -- y²/b²=0 - છેદતી સીધી રેખાઓની જોડી / - અતિપરવલય પ્રકારની રેખાઓ

y²=2px – પેરાબોલા - જીઓમ. કહેવાતા પ્લેનનું સ્થાન ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સથી સમાન અંતરે \

સમપ્રમાણ. સંબંધ ધરાવે છે ઓહ: y²=2px , Directrix x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |

oy: x²=2qy , Directrix y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |

y²=b² - જોડી || સીધી > - પેરાબોલિક પ્રકારની રેખાઓ

y²=0 – મેળ ખાતી રેખાઓની જોડી /

y²=--b² - અસંતોષકારક કોર્ડ એક પણ ટી.

જો C=0, A≠0, તો (1) આપેલ x²=2qy સીધા પ્લેનમાં.સામાન્ય દૃશ્ય

: x=a અથવા y=b

k=(y2-y1)/(x2-x1) , જ્યાં x1,y1,...,... એ પ્લેનના કોઈપણ બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. |

tg(કોણ m/y 2જી ∩ સીધી રેખાઓ)=(k2-k1)/(1+k1k2)

સીધી રેખાનું સ્તર (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | ||< = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સ્તર x=x1+(x2-x1)*t y=y1=(y2-y1)*t , t € R

બિંદુ M0(x0,y0) થી સીધી રેખા Ах+Ву+С=0 સુધીનું અંતર: d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)

વર્તુળ સ્તર: (x-a)²+(y-b)²=R²

સરળ બનાવો બીજી ડિગ્રીનું સામાન્ય સ્તર: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

જ્યારે અક્ષોના કોઓર્ડિનેટ્સ α દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જેના માટે ctg2α=(A- C)/2B

x=x’ cos α –y’ sin α

y=x’ sin α +x’ cos α

મર્યાદા f-ii. અચળ b કહેવાય છે. lim y=f(x) x→a માટે, જો કોઈ ξ>0 સંજ્ઞા માટે. δ>0, જે બધા x માટે સંતોષકારક છે. પરંપરાગત 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ

દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સ તેની સાથે સંકળાયેલા બે બહુપદી ધરાવે છે: લાક્ષણિકતા અને ન્યૂનતમ. આ બહુપદીઓ મેટ્રિક્સ થિયરીમાં વિવિધ પ્રશ્નોમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સના ફંક્શનની વિભાવના, જે આપણે હવે પછીના પ્રકરણમાં રજૂ કરીશું, તે સંપૂર્ણપણે મેટ્રિક્સના ન્યૂનતમ બહુપદીના ખ્યાલ પર આધારિત હશે. આ પ્રકરણ લાક્ષણિક અને લઘુત્તમ બહુપદીના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરે છે. આ અભ્યાસ મેટ્રિક્સ ગુણાંક અને તેના પરની કામગીરી સાથે બહુપદી વિશેની મૂળભૂત માહિતીથી આગળ છે.

§ 1. મેટ્રિક્સ બહુપદીનો ઉમેરો અને ગુણાકાર

એક ચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો, એટલે કે એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેના તત્વો બહુપદી છે (આપેલ સંખ્યાના ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે):

મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે સત્તાઓમાં ગોઠવાય છે:

. (3)

સંખ્યાને બહુપદીની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે જો. સંખ્યાને બહુપદીનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે. આપણે બહુપદી (1) નિયમિત કહીશું જો.

અમે કેટલીકવાર મેટ્રિક્સ ગુણાંકવાળા બહુપદીને મેટ્રિક્સ બહુપદી કહીશું. મેટ્રિક્સ બહુપદીથી વિપરીત, અમે સ્કેલર ગુણાંક સાથેના સામાન્ય બહુપદીને સ્કેલર બહુપદી કહીશું.

ચાલો મેટ્રિક્સ બહુપદી પરની મૂળભૂત કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ. સમાન ક્રમના બે મેટ્રિક્સ બહુપદીઓ અને આપવામાં આવે. ચાલો આ બહુપદીઓની સૌથી મોટી શક્તિઓ દ્વારા સૂચિત કરીએ. આ બહુપદીઓ તરીકે લખી શકાય છે

એટલે કે, સમાન ક્રમના બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનો સરવાળો (તફાવત) એક બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જેની ડિગ્રી આ બહુપદીઓની સૌથી મોટી ડિગ્રી કરતાં વધી નથી.

ડિગ્રીના બે મેટ્રિક્સ બહુપદી અને સમાન ક્રમ આપવા દો:

જો આપણે વડે ગુણાકાર કરીએ (એટલે ​​કે, અવયવોનો ક્રમ બદલ્યો), તો આપણને, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક અલગ બહુપદી મળશે.

મેટ્રિક્સ બહુપદીનો ગુણાકાર અન્ય વિશિષ્ટ ગુણધર્મ ધરાવે છે. સ્કેલર બહુપદીના ઉત્પાદનથી વિપરીત, મેટ્રિક્સ બહુપદી (4) ના ઉત્પાદનમાં અંશ કરતાં ઓછી એટલે કે, પરિબળની ડિગ્રીના સરવાળા કરતાં ઓછી હોઈ શકે છે. ખરેખર, (4) માં મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન અને માટે શૂન્ય બરાબર થઈ શકે છે. જો કે, જો ઓછામાં ઓછું એક મેટ્રિસિસ બિન-એકવચન હોય, તો તે નીચે મુજબ છે: . આમ, બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનું ઉત્પાદન એ બહુપદી સમાન છે જેની ડિગ્રી અવયવોની ડિગ્રીના સરવાળા કરતાં ઓછી અથવા બરાબર છે. જો બેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ નિયમિત બહુપદી છે, તો આ કિસ્સામાં ઉત્પાદનની ડિગ્રી હંમેશા પરિબળોની ડિગ્રીના સરવાળા જેટલી હોય છે.

મી ક્રમના મેટ્રિક્સ બહુપદીને બે રીતે લખી શકાય છે:

બંને સ્કેલર એન્ટ્રીઓ સમાન પરિણામ આપે છે. જો કે, જો આપણે સ્કેલર દલીલને બદલે મી ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સને બદલવા માંગીએ છીએ, તો પછી (5) અને (5") માં અવેજીનાં પરિણામો, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અલગ હશે, કારણ કે મેટ્રિક્સની શક્તિઓ ન પણ હોઈ શકે. મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે વિનિમયક્ષમ બનો.

અને જ્યારે મેટ્રિક્સને બદલે બદલીએ ત્યારે અમે મેટ્રિક્સ બહુપદીના જમણા અને ડાબા મૂલ્યોને કૉલ કરીશું.

ફરીથી બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનો વિચાર કરો

,

અને તેમનું કાર્ય

જો માત્ર મેટ્રિક્સ તમામ મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે બદલાય તો ઓળખ (7") માં પરિવર્તનો માન્ય રહે છે, જો માત્ર મેટ્રિક્સ તમામ મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે બદલાય છે. તેવી જ રીતે, ઓળખ (7") માં, તમે સ્કેલરને મેટ્રિક્સ સાથે બદલી શકો છો જો મેટ્રિક્સ તમામ ગુણાંક સાથે મુસાફરી કરે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે મેળવીએ છીએ: ક્રમાંકનો કોઈપણ મેટ્રિક્સ હંમેશા ઓળખને સંતોષે છે

, . (9)

ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

1 1. મેટ્રિક્સ બહુપદીની કિંમત શોધો: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = () 0 () ) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () (0 0) = = () = (). પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને નિર્ણાયકની ગણતરી કરો:

2 અમને નિર્ણાયકની પ્રથમ કૉલમમાં શૂન્ય મળે છે: = = = અમે પ્રથમ કૉલમમાં નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરીએ છીએ: 4 7 = = 1 (1) = અમને ત્રીજા-ક્રમ નિર્ણાયકની પ્રથમ કૉલમમાં શૂન્ય મળે છે: = = આપણે ત્રીજા સ્તંભમાં નિર્ણાયકનું વિસ્તરણ લખીએ છીએ: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. સમીકરણોની સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સ માટે, સંલગ્ન મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો. પદ્ધતિ: x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ: 1 4 A = (4) 1 1 ચાલો સંલગ્ન મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ. ચાલો ઉમેરીએ. જમણી બાજુએ ઓળખ મેટ્રિક્સ:

3 () ~ 1 કૉલમમાં શૂન્ય બનાવો ~ ~ () ~ પંક્તિને (15) ~ ~ () ~ વડે વિભાજીત કરો ~ ~ ~ કૉલમમાં શૂન્ય બનાવો કૉલમ ~ ( ) ~ (1) પછી: 1 A 1 = 1 (ચેક: 1 A 1 A = 1 () (4) =)

4 () 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 () 1 (1) 1 (4) + 1 (1) = = (0 1 0) 5 1 () 4. ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: ચાલો ક્રેમરના સૂત્રો લખીએ: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 અહીં: - સિસ્ટમના નિર્ણાયકમાંથી 1 નિર્ણાયક, પ્રથમ કૉલમને મુક્ત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને બીજા કૉલમથી મેળવેલ નિર્ધારક; અમારા કિસ્સામાં, 1 4 = 4 = = 9 = =

5 1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = હવે ચાલો અજાણ્યાઓની કિંમતો શોધીએ: x 1 = 1 = = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ દ્વારા. મૂળભૂત ગૌણ સ્પષ્ટ કરો: 1 () 8 કારણ કે મેટ્રિક્સ બિન-શૂન્ય તત્વો ધરાવે છે, પછી મેટ્રિક્સનો લઘુત્તમ ક્રમ 1 છે. કારણ કે મેટ્રિક્સમાં ત્રણ પંક્તિઓનો સમાવેશ થાય છે, પછી મેટ્રિક્સનો મહત્તમ ક્રમ સગીરોની કિનારી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સનો ક્રમ નક્કી કરો: 1 A = (M 1 =) 8 પ્રથમ-ક્રમના નાનાને શોધો: બીજા-ક્રમના નાનાને શોધો: M = 1 = = ત્રીજા ક્રમના સગીર શોધો:

6 1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = તેથી મેટ્રિક્સ A નો ક્રમ સમાન છે. મૂળભૂત ગૌણ: 1 4 M = સમીકરણો: ફોર્મ: 6. સુસંગતતાની તપાસ કરો અને સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x ( 1 + 5x 4x + 8x 4 11x 5 = x 1 x x 4 + x 5 = x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને તેને સ્ટેપવાઈઝ 1 A = (~ (~ (r(a) = r(a) = ) n = ) ~ () ~ ~) (~ ) () સિસ્ટમ સુસંગત છે અને તેમાં અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે 0 1) ~

7 ( 1 મૂળભૂત ગૌણ = મૂળભૂત અજ્ઞાત x 1, x, x. મુક્ત અજ્ઞાત x 4, x 5. ચાલો ટૂંકી સિસ્ટમ લખીએ: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 આપણે ધારીએ છીએ કે x 4 = C 4, x 5 = C 5. પછી: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = ( x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 ( x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 ( x = C C 5 ( x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ:

8 X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. આપેલ વેક્ટર્સ: શોધો: a = (7; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) a) વેક્ટર a અને b નું સ્કેલર ઉત્પાદન; b) વેક્ટર a અને b નું વેક્ટર ઉત્પાદન; c) a, b અને c વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન. a) a અને b વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન; કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન: a = (a x; a y; a z) અને b = (b x; b y; b z) એ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z અમારા કેસ: (a, b) = = = 5 b) વેક્ટર a અને b નું વેક્ટર ઉત્પાદન ; કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન: a = (a x; a y; a z) અને b = (b x; b y; b z) સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: i j k = a x a y a z b x b y b z

9 અમારા કિસ્સામાં: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) c) મિશ્રિત ઉત્પાદન વેક્ટર a, b અને c. ત્રણ વેક્ટરનું મિશ્રિત ઉત્પાદન: a = (a x; a y; a z), b = (b x; b y; b z) અને c = (c x; c y; c z) કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: a x a y a z (a) , b, c) = b x c x b y c y b z c z અમારા કિસ્સામાં: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = શિરોબિંદુઓ સાથે પિરામિડ આપેલ છે: શોધો: A 1 (; 1;), A (1; 1), A (; ; 1), A 4 (4; ; 5) a) ધારની લંબાઈ A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; b) કિનારી A 1 A અને A 1 A 4 વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન ; c) ચહેરાનો વિસ્તાર A 1 A A ; ડી) પિરામિડનો જથ્થો; e) વેક્ટર A 1 4 નું વેક્ટર A ની દિશા પર પ્રક્ષેપણ. 1 a) ધારની લંબાઈ A 1 A, A 1 A, A 1 A 4; A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ની કિનારીઓ A, 1 A, 1 A એ વેક્ટરના મોડ્યુલ જેટલી છે. 1 4 વેક્ટરનું મોડ્યુલ a = (a x, a y, a z) છે. સૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

10 a = a x + a y + a z A 1 = (1 ; + 1; 1 ) = ( 1; ; ) A 1 = ( ; + 1; 1 ) = (1;; 1) A 1 4 = ( 4 ; + 1; 5) = (6; 1 4 = (6) + + = = 54 (એકમો) b) A 1 A અને A 1 A 4 ની કિનારીઓ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન ; અમે વેક્ટર્સના સ્કેલર ઉત્પાદન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કિનારીઓ વચ્ચેનો કોણ શોધીશું: cosα = a b a b, a b = a x b x + a y b y + a z b z, a = a x + a y + a z અમારા કિસ્સામાં: a = A 1 = ( 1; ; ) b = A 1 4 = ( 6; ) cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = c) ચહેરા A 1 A A ; A 1 A A ચહેરાનો વિસ્તાર A 1 અને A વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતર ચતુષ્કોણના અડધા વિસ્તાર તરીકે આપણે શોધીએ છીએ. 1 A 1 = ( 1; ) A 1 = (1; 1)

11 S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = (6; 4; 6) S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = .69 (ચોરસ એકમો) d) પિરામિડનું વોલ્યુમ; અમે પિરામિડ A 1 A A A 4 ના જથ્થાની ગણતરી કરીએ છીએ તે ત્રણ વેક્ટરના મિશ્રિત ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને જેના પર પિરામિડ બનેલ છે: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = ( 1; ) A 1 = (1; ; 1) A 1 4 = ( 6; ) 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (ઘન એકમો) 6 6 d) વેક્ટર A 1 નું પ્રક્ષેપણ વેક્ટર A ની દિશા પર 4. 1 pr A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ જોતાં:

12 બિંદુ A. શોધો: A(;), B(4;), C(; 5) a) મધ્ય AD અને ઊંચાઈ AH વચ્ચેનો કોણ; b) બાજુ BC ની સમાંતર અને તેમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ a) મધ્ય AD અને ઊંચાઈ AH વચ્ચેનો કોણ; ચાલો મધ્ય AD માટે સમીકરણ શોધીએ. મધ્યક AD નું સમીકરણ નક્કી કરવા માટે, આપણે બિંદુ D ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ, જે સેગમેન્ટ BC ને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 પછી બિંદુ D ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે (1; 7). મધ્ય AD બિંદુઓ A(;) અને D (1; 7)માંથી પસાર થાય છે. x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 AD મધ્ય સમીકરણમાંથી: 1x 8y + 15 = 0 k AD = 1 8 ચાલો આપણે ઊંચાઈ AH માટે સમીકરણ શોધીએ. ઊંચાઈ AH ના સમીકરણનું સંકલન કરવા માટે, અમે રેખાઓની લંબરૂપતાની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: l 1 l k 1 k = 1 AH BC થી, પછી k AH k BC = 1 k AH = 1 આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુ BC નું સમીકરણ શોધીએ છીએ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: k BC

13 BC: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 બાજુના સમીકરણ BC પરથી: x + y 8 = 0 k BC = 1 ત્યારથી k BC = 1, પછી k AH = 1 = 1 બિંદુ M 0 (x 0, y 0)માંથી પસાર થતી ઢાળ k સાથેની સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: y y 0 = k(x x 0) પછી નું સમીકરણ ઢોળાવ સાથેની ઊંચાઈ AH k AH = બિંદુ A(;)માંથી પસાર થવું, તેનું સ્વરૂપ છે: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 સૂત્ર: ઊંચાઈના સમીકરણમાંથી AH: x y + = 0 k AH = મધ્યક AD અને ઊંચાઈ AH વચ્ચેના ખૂણોની ગણતરી કરવા માટે, tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctan(0.088) = = = 4 0.088 b) બાજુ BC ની સમાંતર સીધી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરો અને બિંદુ A માંથી પસાર થવું. સીધી રેખા AN નું સમીકરણ બનાવવા માટે, ચાલો આ રેખાનો ઢોળાવ શોધીએ. AN BC થી, આ રેખાઓના કોણીય ગુણાંક એકબીજાના સમાન છે, એટલે કે. k AN = k BC. સીધી રેખા BC ના સમીકરણમાંથી: x + y 8 = 0 k BC = 1. પછી k AN = 1. ચાલો ઢાળ k AN = 1 અને જાણીને સીધી રેખા AN નું સમીકરણ બનાવીએ.

બિંદુ A(;) ના 14 કોઓર્ડિનેટ્સ: y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0

ઉદાહરણ લાક્ષણિક સમસ્યાઓના નિર્ણાયક ઉકેલની ગણતરી કરો 5 5 7, તેને પ્રથમ પંક્તિના 9 9 ઘટકોમાં વિસ્તૃત કરીને 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 ઉદાહરણ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો, તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડી દો: 5 7 ચાલો સૂચિત કરીએ

1. મેટ્રિસીસનું ઉત્પાદન શોધો ABC: પ્રમાણભૂત સંસ્કરણનું સોલ્યુશન: મેટ્રિસીસનું ઉત્પાદન ફેરબદલ કરી શકાય તેવું ન હોવાથી, આ ઉત્પાદન બે રીતે શોધી શકાય છે: નિશ્ચિતતા માટે, અમે બીજાનો ઉપયોગ કરીશું

ચૂકી ગયેલા વર્ગો બનાવવા માટેના કાર્યો વિષયવસ્તુ વિષય: મેટ્રિસિસ, તેના પરની ક્રિયાઓ. નિર્ધારકોની ગણતરી.... 2 વિષય: વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી. સૂત્રો

વેક્ટર a b c જમણા ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ આપ્યા i j k બતાવો કે વેક્ટર a b c પણ એક આધાર બનાવે છે અને a b c) () a () b () c ()) () a માં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. (

રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય કઝાન સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ઓફ આર્કિટેક્ચર અને સિવિલ એન્જિનિયરિંગ ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ હાયર મેથેમેટિક્સ એલિમેન્ટ્સ ઓફ વેક્ટર અને રેખીય બીજગણિત. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ.

રશિયન ફેડરેશનના કૃષિ મંત્રાલય

શિસ્ત (મોડ્યુલ) માં વિદ્યાર્થીઓનું મધ્યવર્તી પ્રમાણપત્ર હાથ ધરવા માટે મૂલ્યાંકન સાધનોનું ભંડોળ સામાન્ય માહિતી 1 ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને માહિતી તકનીકી વિભાગ 2 તાલીમની દિશા 010302

ડિસ્ટન્સ લર્નિંગ દરમિયાન ટેસ્ટ પેપર પૂર્ણ કરવાના ઉદાહરણો ટેસ્ટ પેપર 1 (CR-1) વિષય 1. રેખીય બીજગણિત કાર્ય 1 કાર્યમાં પ્રસ્તુત સમીકરણોની સિસ્ટમને કોન્સ્ટન્ટ પેરામીટર્સના સ્વરૂપમાં હલ કરવી જરૂરી છે.

8. શિસ્ત (મોડ્યુલ) માં વિદ્યાર્થીઓનું મધ્યવર્તી પ્રમાણપત્ર હાથ ધરવા માટે મૂલ્યાંકન સાધનોનો ભંડોળ: સામાન્ય માહિતી 1. M અને MME વિભાગ 2. તાલીમની દિશા 01.03.02 (010400.62) લાગુ ગણિત

L.I. દ્વારા પરીક્ષણ ઉકેલોના ઉદાહરણો તેરેખિના, આઈ.આઈ. ફિક્સ 1 ટેસ્ટ 2 વેક્ટર બીજગણિત 1. આપેલ ત્રણ વેક્ટર a = (0; 1; 3), b = (3; 2; 1), c = (4; 0; 4). તમારે શોધવાની જરૂર છે: a) વેક્ટર d = 2 a b

રેખીય બીજગણિતના પ્રકરણ તત્વો મેટ્રિસેસ વ્યાખ્યા m n ​​પરિમાણનું મેટ્રિક્સ m પંક્તિઓ અને n કૉલમમાં ગોઠવાયેલ સંખ્યાઓનું લંબચોરસ કોષ્ટક છે જે લેટિન અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

મેટ્રિસિસ 1 આપેલ મેટ્રિસિસ અને શોધો: a) A + B; b) 2B; c) ટી માં; ડી) એબી ટી ; e) T A સોલ્યુશનમાં a) મેટ્રિક્સના સરવાળાની વ્યાખ્યા દ્વારા b) મેટ્રિક્સ અને સંખ્યાના ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા દ્વારા c) ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા દ્વારા

પરીક્ષણો માટેની માર્ગદર્શિકા પરીક્ષણ કાર્ય "પુનઃપ્રમાણીકરણ" વિષય. પ્લેન પર વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના તત્વો. પ્લેન પર સીધી રેખા પ્લેનના બે બિંદુઓ M () અને () વચ્ચેનું અંતર

મેટ્રિક્સના રેખીય બીજગણિત વર્ગીકરણના તત્વો અને તેમના પરની કામગીરી મેટ્રિક્સ વ્યાખ્યાયિત કરો માપ દ્વારા મેટ્રિસિસનું વર્ગીકરણ શૂન્ય અને ઓળખ મેટ્રિક્સ શું છે? કઈ શરતો હેઠળ મેટ્રિક્સ સમાન ગણવામાં આવે છે?

04-0 શૈક્ષણિક વર્ષમાં અર્થશાસ્ત્રના સ્નાતક માટે Ne LA પરીક્ષા, વેક્ટર Ne (6 4; 6 8) અને Ne DEMO વિકલ્પ 0 (x; y) શોધો (જેના માટે Ne અને x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

ટિકિટ. મેટ્રિસિસ, તેમના પરની ક્રિયાઓ.. કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પેરાબોલાના સમીકરણ. ટિકિટ. મેટ્રિક્સ કામગીરીના ગુણધર્મો રેખા અને વિમાનની સંબંધિત સ્થિતિ. તેમની વચ્ચેનો કોણ, સમાંતર સ્થિતિ

પરીક્ષા પેપર 1. 1. અવકાશમાં વેક્ટર. વેક્ટર્સ પરની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને કામગીરી: વેક્ટરનો સરવાળો, વેક્ટરનું ઉત્પાદન અને સંખ્યા. ગુણધર્મો. કોલિનિયર વેક્ટર વિશે પ્રમેય. 2. અંતર

નિર્ણાયક મેટ્રિક્સ આપવા દો એક સંખ્યાને આપેલ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ સેકન્ડ-ઓર્ડર નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે, અને તે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે = = - બીજા-ક્રમ નિર્ણાયકમાં બે પંક્તિઓ અને બે કૉલમ હોય છે.

રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય ટોમસ્ક સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ઓફ કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સ એન્ડ રેડિયો ઇલેક્ટ્રોનિક્સ (તુસુર) એલ આઇ મેગેઝિનીકોવ, એ એલ મેગેઝિનીકોવા લીનિયર બીજગણિત વિશ્લેષણાત્મક

1. આપેલ મેટ્રિક્સ: નમૂના ઉકેલ 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 મેટ્રિક્સ શોધો અને શોધો કે તેમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે કે નહીં. ઉકેલ. ચાલો મેટ્રિક્સ શોધીએ ચાલો ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ શોધીએ ચાલો શોધીએ

8 શિસ્ત (મોડ્યુલ) માં વિદ્યાર્થીઓનું મધ્યવર્તી પ્રમાણપત્ર હાથ ધરવા માટે મૂલ્યાંકન સાધનોનો ભંડોળ: સામાન્ય માહિતી 1 M અને MME વિભાગ 2 તાલીમની દિશા વ્યાપાર માહિતીશાસ્ત્ર સામાન્ય પ્રોફાઇલ 3 શિસ્ત

પાઠ 5 વેક્ટર્સ પર રેખીય કામગીરી 5.1 વેક્ટરનો ઉમેરો. સંખ્યાઓ દ્વારા વેક્ટર્સનો ગુણાકાર એ નિશ્ચિત વેક્ટર એ બે બિંદુઓ A અને B દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નિર્દેશિત સેગમેન્ટ છે. બિંદુ A કહેવામાં આવે છે.

પાઠ 1. વેક્ટર વિશ્લેષણ. 1.1. સંક્ષિપ્ત સૈદ્ધાંતિક પરિચય. ભૌતિક જથ્થાઓ, Z Z (M) K નક્કી કરવા માટે તે એક નંબર Y K (પોઝિટિવ અથવા Y નેગેટિવ) સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે તેને કહેવામાં આવે છે.

RF ફેડરલ રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થાના કૃષિ મંત્રાલય કુબાન રાજ્ય કૃષિ યુનિવર્સિટી VM સ્મોલેન્ટસેવ રેખીય બીજગણિત

પરીક્ષણ કાર્યના પ્રકારને હલ કરવાનું ઉદાહરણ: નિર્ણાયક ઉકેલની ગણતરી કરો: આવી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, નિર્ણાયકના નીચેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:) જો નિર્ણાયકમાં કેટલાક ઘટકોના તમામ ઘટકો

અંતિમ કસોટી. અમલ સમય મિનિટ. બિંદુઓ A (;) અને B(;)),),),)7 જવાબ:) બિંદુઓ A (;) અને B (;)) (;) ને જોડતા સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે. ;) (;),) (;),) (;) જવાબ :)

8 શિસ્ત (મોડ્યુલ) માં વિદ્યાર્થીઓનું મધ્યવર્તી પ્રમાણપત્ર હાથ ધરવા માટે મૂલ્યાંકન સાધનોનો ભંડોળ: સામાન્ય માહિતી 1 અર્થશાસ્ત્રમાં ગણિત અને ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો વિભાગ 2 તાલીમની દિશા 380301

વેક્ટર બીજગણિત. પરીક્ષણ કાર્ય. વેક્ટર a ની લંબાઈ t cm છે, વેક્ટર b ની લંબાઈ t + cm છે અને તેમની વચ્ચેનો કોણ t + a tb છે. 6. વેક્ટર () સોલ્યુશનની લંબાઈ શોધો. શરત પ્રમાણે, વેક્ટર a ની લંબાઈ બરાબર છે

LA ગૌસિયન પદ્ધતિમાં મૂળભૂત સમસ્યાઓના નમૂનાઓ રેખીય સમીકરણોની ચોક્કસ સિસ્ટમો ગૌસીયન પદ્ધતિ x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

S. A. Logvenkov P. A. Myshkis V. S. Samovol સામાજિક અને વ્યવસ્થાપન વિશેષતાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉચ્ચ ગણિતની પાઠ્યપુસ્તકમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ મોસ્કો પબ્લિશિંગ હાઉસ MTsNMO 24 UDC 52 (75.8) BBK 22.43

શિસ્ત (મોડ્યુલ) માં વિદ્યાર્થીઓનું મધ્યવર્તી પ્રમાણપત્ર હાથ ધરવા માટે મૂલ્યાંકન સાધનોનો ભંડોળ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને માહિતી તકનીકીનો સામાન્ય માહિતી વિભાગ શિક્ષણશાસ્ત્રની તાલીમની દિશા

8. એક શિસ્ત (મોડ્યુલ) માં વિદ્યાર્થીઓના મધ્યવર્તી પ્રમાણપત્ર માટે મૂલ્યાંકન સાધનોનું ભંડોળ સામાન્ય માહિતી 1. ઇન્ફોર્મેટિક્સ, કમ્પ્યુટર એન્જિનિયરિંગ અને માહિતી સુરક્ષા વિભાગ 2. દિશા

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણની રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા "મોસ્કો એવિએશન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ (નેશનલ રિસર્ચ યુનિવર્સિટી)" "ઉચ્ચ ગણિત" વિભાગ LINEAR ALGEBRA

મેટ્રિક્સ, નિર્ધારકો, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો મેટ્રિક્સ A = m m m માઇનોર મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ k નો માઇનોર k એ આ મેટ્રિક્સના kth ક્રમનો કોઈપણ નિર્ણાયક છે,

“મેટ્રિક્સ” વિભાગ માટે સામાન્ય સમસ્યાઓનું નિરાકરણ મેટ્રિક્સના સરવાળાની ગણતરી કરો અને ઉકેલ 8 8 9 + + + + મેટ્રિક્સ અને સંખ્યાના ગુણાંકની ગણતરી કરો ઉકેલ મેટ્રિક્સના ઉત્પાદનની ગણતરી કરો અને ઉકેલ 8 ની ગણતરી કરો

ટેસ્ટ. આપેલ મેટ્રિસિસ A, B અને D. AB 9D શોધો જો: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 મેટ્રિસિસ A 3 અને B 3 નો ગુણાકાર કરો. પરિણામી કદ 3 3 નું C હોવું, જેમાં ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે

4. મેટ્રિક્સ રેન્ક. મેટ્રિક્સ A માં, અમે ઘટકોમાંથી k પંક્તિઓ અને કૉલમને તેમના આંતરછેદ પર પસંદ કરીએ છીએ અને નિર્ણાયક કમ્પોઝ કરીએ છીએ. અમે તેને kth ક્રમનો માઇનોર કહીશું. જો kth ક્રમ માઇનોર નોનઝીરો હોય,

રેખીય બીજગણિત. મૂળભૂત સૂત્રો. મી ઓર્ડરનો નિર્ધારક: det A a a a a a a a a. a a a a determinant of the th order (sarrus's rule): det A a a a a a a a a a + a a + a a a a a a a a a a a. બીજગણિત

3. મેટ્રિક્સ રેન્ક DEFINITION. મેટ્રિક્સનો માઇનોર M k જો તે શૂન્યથી અલગ હોય તો તેને તેનો આધાર ગૌણ કહેવામાં આવે છે, અને ઉચ્ચ ક્રમના k+, k+, tના મેટ્રિક્સના તમામ સગીર શૂન્ય સમાન હોય છે. વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સનો ક્રમ કહેવાય છે

અંકગણિત વેક્ટરની જગ્યા લેક્ચર્સ 2-3 1 અંકગણિત વેક્ટરની જગ્યા Rn સંખ્યાઓ x (x 1, x 2, x) ના ક્રમાંકિત સેટના સમૂહને ધ્યાનમાં લો. આવા દરેક સેટને x n કહેવામાં આવશે

લાક્ષણિક સમસ્યાઓના ઉકેલો સમસ્યા સંખ્યા ક્રમની મર્યાદાની વ્યાખ્યા દ્વારા સાબિત કરો કે n li n n ઉકેલ વ્યાખ્યા દ્વારા, સંખ્યા એ સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા છે n n n N જો કુદરતી સંખ્યા હોય તો

વિષયવસ્તુ પરિચય વર્ગખંડના પાઠ માટે રેખીય બીજગણિત સમસ્યાઓ સમસ્યાઓના નમૂના ઉકેલો સ્વ-તૈયારી માટેની સમસ્યાઓ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને વેક્ટર બીજગણિત વર્ગખંડના પાઠ માટેની સમસ્યાઓ નમૂના ઉકેલો

ઇ.વી. મોરોઝોવા, એસ.વી. મ્યાગ્કોવા ગણિતમાં કસોટીના પ્રશ્નોનો આધાર ભાગ I રેખીય બીજગણિત અને રશિયન ફેડરલ રાજ્ય બજેટ શૈક્ષણિક શૈક્ષણિક શૈક્ષણિક શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલયના વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ

રેખીય બીજગણિત પત્રવ્યવહાર અભ્યાસક્રમ વિષય MATRICES) મેટ્રિક્સ સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ મેટ્રિક્સ પરિમાણ એ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સનો સમાવેશ કરતી સંખ્યાઓનું લંબચોરસ કોષ્ટક છે

કુઝનેત્સોવ સમસ્યા વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ 1-3 વેક્ટરમાં વેક્ટરનું વિઘટન લખો: વેક્ટરના ઇચ્છિત વિઘટનનું સ્વરૂપ છે: અથવા સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં: અમને મળે છે: બીજી લાઇનમાં ત્રીજો ઉમેરો: પ્રથમમાંથી બાદબાકી કરો

L.I. દ્વારા પરીક્ષણ ઉકેલોના ઉદાહરણો તેરેખિના, આઈ.આઈ. 1 ટેસ્ટ 1 રેખીય બીજગણિત ફિક્સ કરો

વેક્ટર બીજગણિત વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ Ishchanov TR h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml સમસ્યા વેક્ટરના વિઘટનને વેક્ટરમાં લખો r 8 r તે વેક્ટરને r સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની જરૂર છે જ્યાં સંખ્યાઓ શોધીએ.

રશિયન ફેડરેશનનું શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય

શિસ્તમાં પરીક્ષણ કાર્ય ઉચ્ચ ગણિત વિકલ્પ - વિષય. પ્લેન પર વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના તત્વો. સીધા પ્લેનમાં. ત્રિકોણ ABC ના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધારિત: A(); B(-5); C(--) શોધો: a)

01 1. સમીકરણોની સિસ્ટમના સામાન્ય અને મૂળભૂત ઉકેલો શોધો: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, x અને xને મૂળભૂત ચલ તરીકે પસંદ કરીને. જવાબ: જો આપણે મૂળભૂત ચલો તરીકે પસંદ કરીએ

સુસંગતતા સ્થાપિત કરો અને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 a) ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, b) મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ, c) ગૌસ પદ્ધતિની સુસંગતતા સ્થાપિત કરી શકાય છે: a)

રેખીય બીજગણિત વ્યાખ્યાન 5 રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ ગણિત એ આપણી આસપાસની દુનિયાનું વર્ણન કરવા માટેનું એક સાધન છે રેખીય સમીકરણો કેટલાક સરળ વર્ણનો પ્રદાન કરે છે.

ફેડરલ એજન્સી ફોર રેલવે ટ્રાન્સપોર્ટ ઉરલ સ્ટેટ ટ્રાન્સપોર્ટ યુનિવર્સિટી ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ હાયર મેથેમેટિક્સ T.A. વોલ્કોવા બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં પરીક્ષણ કાર્યોનો સંગ્રહ

SYKTYVKA ફોરેસ્ટ્રી ઇન્સ્ટિટ્યુટ ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ હાયર મેથેમેટિક્સ બીજગણિત અને ભૂમિતિ વિદ્યાર્થીઓનું સ્વતંત્ર કાર્ય દિશામાં પ્રમાણિત નિષ્ણાતોની તાલીમ માટે માર્ગદર્શિકા 654700 “માહિતી

ઉદાહરણ 1. નીચેના મેટ્રિસિસ માટે પ્રોડક્ટ્સ AB અને BA (ઉત્પાદન સંકેતમાં ડોટ ક્યારેક અવગણવામાં આવે છે) ની ગણતરી કરો: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 ઉકેલ. ચાલો પરિમાણોના ગુણાકાર માટેના નિયમથી પ્રારંભ કરીએ. કારણ કે

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણની સંઘીય રાજ્ય બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા "અલ્તાઇ રાજ્ય

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı બતાવો કે વેક્ટર;;) ;;) ; ;) વેક્ટરનો આધાર બનાવો અને વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન લખો જો;;) આ વેક્ટર પર સમીકરણમાંથી X શોધો બતાવો કે વેક્ટર;)

પ્રકરણ 8 અવકાશમાં રેખાનું સમીકરણ પ્લેન પર અને અવકાશ બંનેમાં, કોઈપણ રેખાને બિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અવકાશમાં પસંદ કરેલી કોઈ સિસ્ટમમાં હોય છે.

પાઠ 1. વેક્ટર વિશ્લેષણ. સંક્ષિપ્ત સૈદ્ધાંતિક પરિચય. ભૌતિક જથ્થાઓ, Z Z ϕ (M) માટે કે જેની વ્યાખ્યા K એક નંબર Y K (ધન કે Y નકારાત્મક) દર્શાવવા માટે પૂરતી છે તેને સ્કેલર કહેવામાં આવે છે.

થિયરી પ્રશ્નો I. મેટ્રિસેસ, નિર્ધારકો 1) મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા આપો. શૂન્ય અને ઓળખ મેટ્રિસિસ શું છે? કઈ શરતો હેઠળ મેટ્રિક્સ સમાન ગણવામાં આવે છે? ટ્રાન્સપોઝિશન ઓપરેશન કેવી રીતે કરવામાં આવે છે? જ્યારે

લેક્ચર અવકાશમાં સપાટીઓ અને તેમના સમીકરણો સપાટી આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કેટલાક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સપાટી એ બિંદુઓનું સ્થાન છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સંતોષે છે

નિયંત્રણ વિષયો "ગણિત" દિશા "ઇકોલોજી અને પર્યાવરણીય વ્યવસ્થાપન" સેમેસ્ટરમાં શિસ્તમાં કામ કરે છે. વેક્ટર X ને વેક્ટર P, Q, R માં વિસ્તૃત કરો. સિસ્ટમ ઉકેલો) ક્રેમર પદ્ધતિ દ્વારા,) મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ દ્વારા,

વર્ગખંડ અને સ્વતંત્ર કાર્ય માટેના કાર્યો ક્રેમર પદ્ધતિ (જો શક્ય હોય તો) અને ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9 4 4 5 નિયંત્રણ

રશિયન ફેડરેશન ઉત્તરીય (આર્કટિક) ફેડરલ યુનિવર્સિટીના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલયનું નામ એમ. લોમોનોસોવ ગણિત વિભાગના નમૂનારૂપ કાર્ય માટે જૂથ 9 IEIT દિશાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતમાં પરીક્ષા (ભાગ)

રશિયન ફેડરેશનના કૃષિ મંત્રાલય એ એન મનિલોવ રેખીય બીજગણિત "અર્થશાસ્ત્ર" સેન્ટ પીટર્સબર્ગની દિશામાં પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓ માટે પદ્ધતિસરની સૂચનાઓ અને પરીક્ષણ સોંપણીઓ પરિચય આ સૂચનાઓનો હેતુ છે

સૂચનાઓ. ઓનલાઈન સોલ્યુશન માટે, તમારે મેટ્રિક્સ એક્સપ્રેશનનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે. બીજા તબક્કે, મેટ્રિસિસના પરિમાણને સ્પષ્ટ કરવું જરૂરી રહેશે.

માન્ય કામગીરી: ગુણાકાર (*), સરવાળો (+), બાદબાકી (-), વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A^(-1), ઘાતાંક (A^2, B^3), મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝિશન (A^T).
કામગીરીની સૂચિ કરવા માટે, અર્ધવિરામ (;) વિભાજકનો ઉપયોગ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ કામગીરી કરવા માટે:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B)-1
તમારે તેને આ રીતે લખવાની જરૂર પડશે: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

મેટ્રિક્સ એ m પંક્તિઓ અને n કૉલમ્સ સાથેનું લંબચોરસ સંખ્યાત્મક કોષ્ટક છે, તેથી મેટ્રિક્સને યોજનાકીય રીતે લંબચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
શૂન્ય મેટ્રિક્સ (નલ મેટ્રિક્સ)એક મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો બધા શૂન્ય સમાન છે અને 0 દ્વારા સૂચિત છે.
ઓળખ મેટ્રિક્સફોર્મનું ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ મેટ્રિસિસ પર મૂળભૂત કામગીરી.

મેટ્રિક્સ ઉમેરો

ઉદાહરણ 6. .
મેટ્રિક્સ ઉમેરણની કામગીરી કોઈપણ સંખ્યાની શરતોના કિસ્સામાં વિસ્તરે છે. દેખીતી રીતે A+0=A .
ચાલો ફરી એકવાર ભારપૂર્વક જણાવીએ કે સમાન કદના માત્ર મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકાય છે; વિવિધ કદના મેટ્રિસિસ માટે, ઉમેરણ કામગીરી વ્યાખ્યાયિત નથી.

મેટ્રિસિસની બાદબાકી

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર

ઉદાહરણ 7. મેટ્રિસીસ આપેલ છે અને . મેટ્રિસિસ C = A·B અને D = B·A શોધો.
ઉકેલ. સૌ પ્રથમ, નોંધ લો કે ઉત્પાદન A·B અસ્તિત્વમાં છે કારણ કે A ના સ્તંભોની સંખ્યા B ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે.

ઉદાહરણ 8. મેટ્રિક્સ આપ્યું . 3A 2 – 2A શોધો.
ઉકેલ.

.
; .
.
ચાલો નીચેની રસપ્રદ હકીકત નોંધીએ.
જેમ તમે જાણો છો, બે બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર નથી. મેટ્રિસિસ માટે, સમાન સંજોગો ન પણ હોઈ શકે, એટલે કે, બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન નલ મેટ્રિક્સની સમાન હોઈ શકે છે.