રુધિરકેશિકાઓમાં પ્રવાહી વધારવાની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રવાહીના સપાટીના તાણના ગુણાંકનું પરમાણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર નિર્ધારણ. આ બળ S=πR2 સપાટી સાથે બંને ગોળાર્ધને એકબીજા સામે દબાવે છે અને તેથી વધારાના દબાણનું કારણ બને છે.

અન્ય માધ્યમના સંપર્કમાં, તે બાકીના પ્રવાહી સમૂહની તુલનામાં વિશિષ્ટ સ્થિતિમાં છે. વરાળની સરહદે પ્રવાહીના સપાટીના સ્તરના દરેક પરમાણુ પર કાર્ય કરતી શક્તિઓ પ્રવાહીના જથ્થા તરફ, એટલે કે, પ્રવાહીમાં દિશામાન થાય છે. પરિણામે, પરમાણુને પ્રવાહીની ઊંડાઈથી સપાટી પર ખસેડવા માટે કાર્ય જરૂરી છે. જો, સતત તાપમાને, સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં અનંત માત્રામાં dS દ્વારા વધારો કરવામાં આવે છે, તો આ માટે જરૂરી કાર્ય બરાબર હશે. સપાટીના વિસ્તારને વધારવાનું કામ સપાટીના તણાવના દળો સામે કરવામાં આવે છે, જે સપાટીને ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે. તેથી, સપાટીના તણાવનું કાર્ય પોતાને પ્રવાહીના સપાટીના ક્ષેત્રને વધારવા માટે દબાણ કરે છે:

અહીં પ્રમાણસરતા ગુણાંક σ કહેવામાં આવે છે સપાટી તણાવ ગુણાંક અને એકમ દીઠ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફારના આધારે સપાટીના તણાવ દળો દ્વારા કરવામાં આવેલા કામની માત્રા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. SI માં, સપાટીના તાણ ગુણાંકને J/m 2 માં માપવામાં આવે છે.

પ્રવાહીના સપાટીના સ્તરના અણુઓમાં ઊંડા અણુઓની તુલનામાં અધિક સંભવિત ઊર્જા હોય છે, જે પ્રવાહીના સપાટીના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે:

સપાટીના સ્તરની સંભવિત ઊર્જામાં વધારો માત્ર સપાટીના વિસ્તારના વધારા સાથે સંકળાયેલ છે: . સપાટી તણાવ દળો રૂઢિચુસ્ત દળો છે, તેથી સમાનતા ધરાવે છે: . સપાટીના તાણ બળો પ્રવાહી સપાટીની સંભવિત ઊર્જાને ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે. સામાન્ય રીતે, ઉર્જા જે કાર્યમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે તેને મુક્ત ઊર્જા U S કહેવામાં આવે છે. તેથી, અમે તેને લખી શકીએ છીએ. મુક્ત ઊર્જાની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નીચે પ્રમાણે સૂત્ર (6.36) લખી શકીએ છીએ: . છેલ્લી સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને આપણે નક્કી કરી શકીએ છીએ સપાટી તણાવ ગુણાંક ભૌતિક જથ્થા તરીકે સંખ્યાત્મક રીતે પ્રવાહીના એકમ સપાટી વિસ્તારની મુક્ત ઊર્જા જેટલી.

સરફેસ ટેન્શન ફોર્સની અસર પ્રવાહીની પાતળી ફિલ્મ (ઉદાહરણ તરીકે, સાબુ સોલ્યુશન) પર એક સરળ પ્રયોગનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકાય છે જે લંબચોરસ વાયર ફ્રેમને આવરી લે છે, જેની એક બાજુ મિશ્રિત થઈ શકે છે (ફિગ. 6.11). ચાલો ધારીએ કે જંગમ બાજુ, લંબાઈ l, બાહ્ય બળ F B દ્વારા કાર્ય કરે છે, ફ્રેમની જંગમ બાજુને ખૂબ જ નાના અંતર dh પર એકસરખી રીતે ખસેડે છે. આ દળનું પ્રાથમિક કાર્ય બરાબર હશે, કારણ કે બળ અને વિસ્થાપન સહ-નિર્દેશિત છે. ફિલ્મમાં બે સપાટીઓ હોવાથી અને, સપાટીના તાણ દળો F તે દરેક સાથે નિર્દેશિત છે, જેનો વેક્ટર સરવાળો બાહ્ય બળ જેટલો છે. બાહ્ય બળનું મોડ્યુલસ સપાટીના તાણ બળમાંથી એકના મોડ્યુલસના બમણા જેટલું છે: . બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ લઘુત્તમ કાર્ય સપાટીના તાણ દળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યના સરવાળાની તીવ્રતામાં સમાન છે: . સરફેસ ટેન્શન ફોર્સ દ્વારા કરવામાં આવેલ કામની માત્રા નીચે મુજબ નક્કી કરવામાં આવશે:

, ક્યાં . અહીંથી. એટલે કે સપાટી તણાવ ગુણાંક વિભાજન રેખાની એકમ લંબાઈ દીઠ પ્રવાહીની સપાટી પર સ્પર્શક રીતે કામ કરતા સપાટીના તણાવના બળના સમાન મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. સપાટીના તણાવ દળો પ્રવાહીના સપાટીના વિસ્તારને ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે. આ પ્રવાહીના નાના જથ્થા માટે ધ્યાનપાત્ર છે, જ્યારે તે ટીપું-બોલનું સ્વરૂપ લે છે. જેમ જાણીતું છે, તે ગોળાકાર સપાટી છે જે આપેલ વોલ્યુમ માટે લઘુત્તમ વિસ્તાર ધરાવે છે. મોટી માત્રામાં લેવામાં આવેલ પ્રવાહી, ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ, તે સપાટી પર ફેલાય છે જેના પર તે સ્થિત છે. જેમ જાણીતું છે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શરીરના જથ્થા પર આધારિત છે, તેથી તેનું મૂલ્ય પણ ઘટે છે કારણ કે સમૂહ ઘટે છે અને ચોક્કસ દળ પર સરફેસ ટેન્શન ફોર્સના મૂલ્ય કરતાં તુલનાત્મક અથવા તો ઘણું ઓછું બને છે. આ કિસ્સામાં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અવગણના કરી શકાય છે. જો પ્રવાહી વજનહીન સ્થિતિમાં હોય, તો પછી મોટા જથ્થા સાથે પણ તેની સપાટી ગોળાકાર હોય છે. પ્રસિદ્ધ ઉચ્ચપ્રદેશના અનુભવ દ્વારા આની પુષ્ટિ થાય છે. જો તમે સમાન ઘનતાવાળા બે પ્રવાહી પસંદ કરો છો, તો તેમાંથી એક પર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર (ઓછી માત્રામાં લેવામાં આવે છે) આર્કિમીડિયન બળ દ્વારા વળતર આપવામાં આવશે અને તે બોલનો આકાર લેશે. આ સ્થિતિમાં, તે અન્ય પ્રવાહીની અંદર તરતા રહેશે.

ચાલો વિચાર કરીએ કે પ્રવાહી 1 ના ડ્રોપનું શું થાય છે, એક બાજુ વરાળ 3 સાથે સરહદે છે, બીજી બાજુ પ્રવાહી 2 (ફિગ. 6.12) સાથે. ચાલો ત્રણેય પદાર્થો dl વચ્ચેના ઇન્ટરફેસનું એક નાનું તત્વ પસંદ કરીએ. પછી મીડિયા વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ પર સપાટીના તાણ દળોને સ્પર્શક રીતે ઇન્ટરફેસના સમોચ્ચ તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવશે અને તે સમાન હશે:

આપણે ગુરુત્વાકર્ષણની અસરની અવગણના કરીએ છીએ. જો નીચેની શરતો પૂરી થાય તો લિક્વિડ ડ્રોપ 1 સંતુલનમાં છે:

(6.38)

(6.37) ને (6.38) માં બદલીને, સમાનતાની બંને બાજુઓ (6.38) ને dl વડે ઘટાડીને, સમાનતાની બંને બાજુઓ (6.38) ને વર્ગીકૃત કરીને અને તેમને ઉમેરીને, આપણને મળે છે:

મીડિયાની વિભાજક રેખાઓ માટે સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો ક્યાં છે, જેને કહેવાય છે ધાર કોણ.

સમીકરણનું વિશ્લેષણ (6.39) બતાવે છે કે જ્યારે આપણે મેળવીએ છીએ અને પ્રવાહી 1 પ્રવાહી 2 ની સપાટીને સંપૂર્ણપણે ભીની કરે છે, તેના પર પાતળા સ્તરમાં ફેલાય છે ( સંપૂર્ણ ભીનાશની ઘટના ).

જ્યારે પ્રવાહી 1 નું પાતળું પડ ઘન શરીર 2 ની સપાટી પર ફેલાય છે ત્યારે સમાન ઘટના જોઈ શકાય છે. કેટલીકવાર, તેનાથી વિપરીત, પ્રવાહી નક્કર શરીરની સપાટી પર ફેલાતું નથી. જો , તે અને પ્રવાહી 1 નક્કર શરીરને સંપૂર્ણપણે ભીનું કરતું નથી 2 ( સંપૂર્ણ બિન-ભીનાશની ઘટના ). આ કિસ્સામાં, પ્રવાહી 1 અને નક્કર 2 વચ્ચે સંપર્કનો માત્ર એક બિંદુ છે. સંપૂર્ણ ભીનાશ અથવા બિન-ભીનાશ એ મર્યાદિત કેસ છે. તમે ખરેખર જોઈ શકો છો આંશિક ભીનાશ , જ્યારે સંપર્ક કોણ તીવ્ર હોય છે () અને આંશિક બિન-ભીનાશ , જ્યારે સંપર્ક કોણ સ્થૂળ હોય છે ( ).

આકૃતિ 6.13 માં એઆંશિક ભીનાશના કેસો બતાવવામાં આવ્યા છે, અને આકૃતિ 6.13 માં bઆંશિક બિન-ભીનાશના ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે. ધ્યાનમાં લેવાયેલા કિસ્સાઓ દર્શાવે છે કે નક્કર શરીરની સપાટી પર સંલગ્ન પ્રવાહી અથવા પ્રવાહીના સપાટી તણાવ દળોની હાજરી પ્રવાહીની સપાટીની વક્રતા તરફ દોરી જાય છે.

ચાલો વક્ર સપાટી પર કાર્ય કરતા દળોને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રવાહી સપાટીની વક્રતા તે સપાટીની નીચે પ્રવાહી પર કાર્ય કરતી દળોમાં પરિણમે છે. જો સપાટી ગોળાકાર હોય, તો પરિઘના કોઈપણ તત્વ (ફિગ. 6.14 જુઓ), સપાટી પર સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તેને ટૂંકી કરવા તરફ વળે છે. આ દળોનું પરિણામ ગોળાના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

પ્રતિ એકમ સપાટી વિસ્તાર, આ પરિણામી બળ વધારાનું દબાણ લાવે છે, જે વક્ર સપાટી હેઠળના પ્રવાહી દ્વારા અનુભવાય છે. આ વધારાનું દબાણ કહેવામાં આવે છે લેપ્લેસ દબાણ . તે હંમેશા સપાટીની વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત થાય છે. આકૃતિ 6.15 અંતર્મુખ અને બહિર્મુખ ગોળાકાર સપાટીના ઉદાહરણો આપે છે અને અનુક્રમે લેપ્લેસ દબાણ દર્શાવે છે.

ચાલો ગોળાકાર, નળાકાર અને કોઈપણ સપાટી માટે લેપ્લેસ દબાણનું મૂલ્ય નક્કી કરીએ.

ગોળાકાર સપાટી. પ્રવાહીનો ડ્રોપ. જેમ જેમ ગોળાની ત્રિજ્યા ઘટે છે (ફિગ. 6.16), સપાટીની ઉર્જા ઘટે છે, અને ડ્રોપમાં કામ કરતા દળો દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. પરિણામે, ગોળાકાર સપાટી હેઠળ પ્રવાહીનું પ્રમાણ હંમેશા કંઈક અંશે સંકુચિત હોય છે, એટલે કે, તે વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ ત્રિજ્યાપૂર્વક નિર્દેશિત લેપ્લેસ દબાણનો અનુભવ કરે છે. જો, આ દબાણના પ્રભાવ હેઠળ, બોલ તેના વોલ્યુમને ઘટાડે છે ડીવી, પછી કમ્પ્રેશન કાર્યની માત્રા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે:

સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો ફોર્મ્યુલા દ્વારા નિર્ધારિત રકમ દ્વારા થયો છે: (6.41)

કમ્પ્રેશનના કાર્યને કારણે સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો થયો છે, તેથી, dA=dU S. સમાનતા (6.40) અને (6.41) ની જમણી બાજુની સમાનતા, અને એ પણ ધ્યાનમાં લેતા કે અને , આપણે લેપ્લેસ દબાણ મેળવીએ છીએ: (6.42)

નળાકાર સપાટી હેઠળ તેમજ ગોળાકાર હેઠળ પ્રવાહીનું પ્રમાણ હંમેશા કંઈક અંશે સંકુચિત હોય છે, એટલે કે, તે વક્રતાના કેન્દ્ર તરફ રેડિયલી નિર્દેશિત લેપ્લેસ દબાણનો અનુભવ કરે છે. જો, આ દબાણના પ્રભાવ હેઠળ, સિલિન્ડર તેના વોલ્યુમ દ્વારા ઘટાડે છે ડીવી, પછી કમ્પ્રેશન કાર્યની તીવ્રતા સૂત્ર (6.40) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે, ફક્ત લેપ્લેસ દબાણની તીવ્રતા અને વોલ્યુમમાં વધારો અલગ હશે. સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો ફોર્મ્યુલા (6.41) દ્વારા નિર્ધારિત રકમ દ્વારા થયો છે. કમ્પ્રેશનના કાર્યને કારણે સપાટીની ઊર્જામાં ઘટાડો થયો છે, તેથી, dA=dU S. સમાનતા (6.40) અને (6.41) ની જમણી બાજુની સમાનતા, અને એ પણ ધ્યાનમાં લેતા કે નળાકાર સપાટી માટે અને , આપણે લેપ્લેસ દબાણ મેળવીએ છીએ:

ફોર્મ્યુલા (6.45) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે ફોર્મ્યુલા (6.42) અને (6.44) પર જઈ શકીએ છીએ. તેથી ગોળાકાર સપાટી માટે, તેથી, ફોર્મ્યુલા (6.45) ને ફોર્મ્યુલા (6.42) માં સરળ બનાવવામાં આવશે; નળાકાર સપાટી માટે r 1 = r, a , પછી ફોર્મ્યુલા (6.45) ને ફોર્મ્યુલા (6.44) માં સરળ બનાવવામાં આવશે. અંતર્મુખ સપાટીથી બહિર્મુખ સપાટીને અલગ પાડવા માટે, એવું માનવા માટે પ્રચલિત છે કે બહિર્મુખ સપાટી માટે લેપ્લેસ દબાણ હકારાત્મક છે, અને તે મુજબ, બહિર્મુખ સપાટીની વક્રતાની ત્રિજ્યા પણ હકારાત્મક હશે. અંતર્મુખ સપાટી માટે, વક્રતાની ત્રિજ્યા અને લેપ્લેસ દબાણને નકારાત્મક ગણવામાં આવે છે.

ચાલો નીચેની સમસ્યા (બનચ સમસ્યા) હલ કરીએ. એક વ્યક્તિ તેના ખિસ્સામાં મેચના બે બોક્સ (દરેક 60 મેચ) રાખે છે, અને જ્યારે પણ મેચની જરૂર હોય, ત્યારે તે આકસ્મિક રીતે બોક્સ લે છે અને મેચ બહાર કાઢે છે. જ્યારે પ્રથમ બોક્સ ખાલી હોય, ત્યારે બીજામાં હજુ 20 મેચો બાકી હોય તેવી સંભાવના કેટલી છે? બોક્સની પસંદગીને સ્વતંત્ર અજમાયશ તરીકે વિચારી શકાય છે જેમાં પ્રથમ બોક્સ સંભાવના સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે. કુલ પ્રયોગો કરવામાં આવ્યા n= 60+40=100, અને આ સો પ્રયોગોમાં પ્રથમ બોક્સ 60 વખત પસંદ કરવું આવશ્યક છે. આની સંભાવના છે:

.

રેકોર્ડ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે મોટા માટે nબોજારૂપ ગણતરીઓને કારણે બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો મુશ્કેલ છે. ત્યાં વિશિષ્ટ અંદાજિત સૂત્રો છે જે તમને સંભાવનાઓ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે
, જો nમહાન આવા એક સૂત્ર નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.

પ્રમેય 2.1. ( Laplace સ્થાનિક ). જો બર્નૌલી યોજનામાં
, પછી સંભાવના છે કે ઘટના એબરાબર આવશે kવખત, મોટા માટે સંતુષ્ટ nગુણોત્તર

જ્યાં
.

સગવડ માટે, અમે કાર્ય રજૂ કરીએ છીએ
સ્થાનિક લેપ્લેસ ફંક્શન છે, જેની મદદથી લેપ્લેસનું પ્રમેય નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ખાસ ફંક્શન કોષ્ટકો છે
, જે મુજબ કોઈપણ મૂલ્ય માટે:
તમે અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્ય શોધી શકો છો. આ કોષ્ટકો કાર્યને વિસ્તૃત કરીને મેળવવામાં આવ્યા હતા
સળંગ

ભૌમિતિક રીતે, આ પરિણામનો અર્થ એ છે કે મોટા માટે nવિતરણ બહુકોણ ફોર્મ્યુલા (ફિગ. 2.3) માં જમણી બાજુના ફંક્શનના ગ્રાફમાં અને સાચી સંભાવના મૂલ્યને બદલે સારી રીતે બંધબેસે છે
દરેક માટે શક્ય kએક બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત લો k.

ચોખા. 2.3. સ્થાનિક લેપ્લેસ કાર્ય

ચાલો હવે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ. ફોર્મ્યુલા (2.1) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:

,

મૂલ્ય ક્યાં છે
ટેબલ પરથી નક્કી થાય છે.

2.2.2. લેપ્લેસનું અભિન્ન પ્રમેય

પ્રમેય 2.2(લાપ્લેસ અભિન્ન) . સંભાવના છે કે સર્કિટમાં nસ્વતંત્ર પરીક્ષણોમાંથી ઘટના બનશે k 1 થી k 2 વખત, લગભગ સમાન

પી n (k 1
k 2 )
,

- લેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શન, જેના માટે કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે. કાર્ય F(x)વિચિત્ર: Ф(-х)=-Ф(х)અને એફ(એક્સ 4)=0,5.

ચાલો પુરાવા વગરના બીજા નિવેદનને ધ્યાનમાં લઈએ.

સંબંધિત આવર્તન વિચલન સંભાવના થી પીવી nસ્વતંત્ર પરીક્ષણો સમાન છે

(

.

ટિપ્પણી.આ તથ્યોના તર્કની વધુ ચર્ચા વિભાગ 7 (વિભાગ 7.2, 7.3) માં કરવામાં આવશે. લેપ્લેસના પ્રમેયને ક્યારેક મોઇવર-લેપ્લેસ પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2.3.

દરેક 900 સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના બનવાની સંભાવના 0.5 છે. 1) ઘટના 400 થી 500 વખત બનશે તેવી સંભાવના શોધો, 2) ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન તેની સંભાવનાથી સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 0.02 કરતા વધુ નહીં વિચલિત થશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ

1) આર 900 (400<k<500)=
=

2)

=

2.3. પોઈસનનું સૂત્ર

જો આપણે પ્રયોગોની સંખ્યાને ઠીક કરીએ n, અને એક પ્રયોગમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના આરબદલો, તો મૂલ્યના આધારે વિતરણ બહુકોણનો દેખાવ અલગ હશે આર(ફિગ. 2.4). મૂલ્યો સાથે પી, 1/2 ની નજીક, બહુકોણ લગભગ સપ્રમાણ છે અને લેપ્લેસ ફંક્શનના સપ્રમાણ ગ્રાફમાં સારી રીતે બંધબેસે છે. તેથી, અંદાજિત લેપ્લેસ સૂત્ર સારી ચોકસાઈ આપે છે.

નાના લોકો માટે આર(વ્યવહારમાં ઓછું ) વિતરણ બહુકોણની અસમપ્રમાણતાને કારણે અંદાજ નબળો છે. તેથી, કાર્ય સંભાવનાઓની ગણતરી માટે અંદાજિત સૂત્ર શોધવાનું ઉદભવે છે
મોટા કિસ્સામાં nઅને નાના આર. આ પ્રશ્નનો જવાબ પોઈસનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.

તેથી, ચાલો એક સ્વતંત્ર પરીક્ષણ યોજના ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં nમોટી છે (વધુ વધુ સારું), અને આરથોડું (ઓછું સારું). ચાલો સૂચિત કરીએ nઆર=λ . પછી, બર્નૌલીના સૂત્ર મુજબ, અમારી પાસે છે

.

છેલ્લી સમાનતા એ હકીકતને કારણે સાચી છે
(બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા). ઘટનાની સૌથી સંભવિત ઘટના માટે સૂત્ર મેળવતી વખતે k 0 મતભેદ ગુણોત્તર ગણવામાં આવ્યો હતો. તે આના પરથી અનુસરે છે કે

આમ, જ્યારે kઘણા નાના nઅમારી પાસે પુનરાવૃત્તિ સંબંધ છે

.

માટે k=0 ચાલો અગાઉ મેળવેલ પરિણામને ધ્યાનમાં લઈએ:
, પછી

………………

તેથી, જો સ્વતંત્ર પરીક્ષણ ડિઝાઇનમાં n મોટું હોય, અને આરથોડું, પછી તે થાય છે પોઈસનનું સૂત્ર

આર n (પ્રતિ)
, જ્યાં λ = nઆર.

પોઈસનના કાયદાને દુર્લભ ઘટનાઓનો કાયદો પણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2.4.

ખામીયુક્ત ભાગ ઉત્પન્ન કરવાની સંભાવના 0.02 છે. ભાગો 100 ટુકડાઓના બોક્સમાં પેક કરવામાં આવે છે. સંભાવના કેટલી છે કે a) બૉક્સમાં કોઈ ખામીયુક્ત ભાગો નથી, b) બૉક્સમાં બે કરતાં વધુ ખામીયુક્ત ભાગો છે?

ઉકેલ

a) કારણ કે nમોટું અને આરથોડું, અમારી પાસે છે ; આર 100 (0)
;

b)આર 100 (k>2)= 1-આર 1-

આમ, સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે સ્વતંત્ર ટ્રાયલ ડિઝાઇનમાં આર n (k) બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ જો nનાનું, પરંતુ જો nમોટા છે, પછી કદ પર આધાર રાખે છે આરઅંદાજિત લેપ્લેસ ફોર્મ્યુલામાંથી એક અથવા પોઈસન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ થાય છે.

પ્રવાહીના ગુણધર્મો.

પદાર્થની પ્રવાહી સ્થિતિની વિશેષતાઓ.પ્રવાહી સ્થિતિમાં પદાર્થના પરમાણુઓ ઘન અવસ્થાની જેમ એકબીજાની નજીક સ્થિત હોય છે. તેથી, પ્રવાહીનું પ્રમાણ દબાણ પર થોડું આધાર રાખે છે. કબજે કરેલ વોલ્યુમની સ્થિરતા એ પ્રવાહી અને ઘન પદાર્થો માટે સામાન્ય મિલકત છે અને તેમને વાયુઓથી અલગ પાડે છે, જે તેમને પ્રદાન કરેલ કોઈપણ વોલ્યુમને કબજે કરવામાં સક્ષમ છે.

પરમાણુઓની એકબીજાની તુલનામાં મુક્ત હિલચાલની શક્યતા પ્રવાહીની પ્રવાહીતાની મિલકત નક્કી કરે છે. પ્રવાહી સ્થિતિમાં શરીર, તેમજ વાયુયુક્ત સ્થિતિમાં, સતત આકાર ધરાવતું નથી. પ્રવાહી શરીરનો આકાર તે જહાજના આકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જેમાં પ્રવાહી સ્થિત છે, બાહ્ય દળોની ક્રિયા અને સપાટીના તણાવ દળો. પ્રવાહીમાં પરમાણુઓની હિલચાલની વધુ સ્વતંત્રતા ઘન પદાર્થોની તુલનામાં પ્રવાહીમાં પ્રસરણના વધુ દર તરફ દોરી જાય છે, અને પ્રવાહીમાં ઘન ઓગળવાની શક્યતા પૂરી પાડે છે.

સપાટી તણાવ.દળોનું અભિવ્યક્તિ પરમાણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણના દળો અને પ્રવાહીમાં પરમાણુઓની ગતિશીલતા સાથે સંકળાયેલું છે. સપાટી તણાવ.

પ્રવાહીની અંદર, તેના પડોશી અણુઓમાંથી એક પરમાણુ પર કાર્ય કરતી આકર્ષક શક્તિઓ પરસ્પર વળતર આપે છે. પ્રવાહીની સપાટીની નજીક સ્થિત કોઈપણ પરમાણુ પ્રવાહીની અંદર સ્થિત પરમાણુઓ દ્વારા આકર્ષાય છે. આ દળોના પ્રભાવ હેઠળ, પ્રવાહીની સપાટી પરથી પરમાણુઓ પ્રવાહીમાં જાય છે અને જ્યાં સુધી પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી આપેલ શરતો હેઠળ શક્ય લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી સપાટી પરના અણુઓની સંખ્યા ઘટતી જાય છે. આપેલ જથ્થાના શરીર વચ્ચે ગોળામાં લઘુત્તમ સપાટીનો વિસ્તાર હોય છે, તેથી, અન્ય દળોની ગેરહાજરીમાં અથવા નજીવી ક્રિયામાં, પ્રવાહી, સપાટીના તાણ દળોના પ્રભાવ હેઠળ, ગોળાનો આકાર લે છે.

ઘણી ઘટનાઓમાં પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીના સંકોચનની મિલકત એવું લાગે છે કે જાણે પ્રવાહી સંકોચાઈ જતી પાતળી ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક ફિલ્મથી ઢંકાયેલું હોય.

સપાટીના તાણનું બળ એ બળ છે જે આ સપાટીને મર્યાદિત કરતી રેખા પર કાટખૂણે પ્રવાહીની સપાટી સાથે કાર્ય કરે છે અને તેને ન્યૂનતમ સુધી ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે.

સ્પ્રિંગ ડાયનેમોમીટરના હૂક પર U-આકારનો વાયર લટકાવો. બાજુની લંબાઈ એબીની સમાન l. વાયરના ગુરુત્વાકર્ષણની ક્રિયા હેઠળ ડાયનામોમીટર સ્પ્રિંગના પ્રારંભિક સ્ટ્રેચિંગને અભિનય બળ સૂચકની વિરુદ્ધ શૂન્ય સ્કેલ ડિવિઝન સેટ કરીને વિચારણામાંથી બાકાત કરી શકાય છે.

ચાલો વાયરને પાણીમાં નીચે કરીએ, પછી ધીમે ધીમે પાણી સાથે જહાજને નીચે કરો (ફિગ. 92). અનુભવ દર્શાવે છે કે આ કિસ્સામાં વાયર સાથે પ્રવાહીની એક ફિલ્મ બને છે અને ડાયનેમોમીટર સ્પ્રિંગ ખેંચાય છે. ડાયનામોમીટર રીડિંગ્સનો ઉપયોગ કરીને, તમે સપાટીના તાણ બળને નિર્ધારિત કરી શકો છો. તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે પ્રવાહી ફિલ્મમાં બે સપાટી હોય છે (ફિગ. 93) અને સ્થિતિસ્થાપક બળ મોડ્યુલસમાં સરફેસ ટેન્શન ફોર્સ કરતાં બમણું હોય છે:

જો તમે એક બાજુ સાથે વાયર લો એબી,બમણી લંબાઈ, પછી સપાટીના તણાવ બળનું મૂલ્ય બમણું મોટું થાય છે. વિવિધ લંબાઈના વાયર સાથેના પ્રયોગો દર્શાવે છે કે સપાટીના તાણ બળના મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર લંબાઈના સપાટીના સ્તરની સીમા પર કાર્ય કરે છે. l, આ લંબાઈ માટે એક સ્થિર મૂલ્ય છે જે લંબાઈ પર આધારિત નથી l. આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે સપાટી તણાવ ગુણાંકઅને ગ્રીક અક્ષર "સિગ્મા" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

. (27.1)

સપાટીના તાણ ગુણાંકમાં દર્શાવવામાં આવે છે ન્યૂટન પ્રતિ મીટર(N/m). સપાટીનું તાણ પ્રવાહી વચ્ચે બદલાય છે.

જો પ્રવાહી પરમાણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણના દળો પ્રવાહી અણુઓ અને ઘન સપાટી વચ્ચેના આકર્ષણના દળો કરતા ઓછા હોય, તો પ્રવાહી ઘન સપાટીને ભીની કરે છે. જો પ્રવાહી અણુઓ અને ઘન અણુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દળો પ્રવાહી અણુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દળો કરતાં ઓછી હોય, તો પ્રવાહી ઘન સપાટીને ભીનું કરતું નથી.

કેશિલરી અસાધારણ ઘટના.ઘન પદાર્થોની ભીની અને ભીની ન થઈ શકે તેવી સપાટીઓ સાથે પ્રવાહીની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની વિશિષ્ટતાઓ કેશિલરી ઘટનાનું કારણ છે.

રુધિરકેશિકાનાના આંતરિક વ્યાસ સાથે ટ્યુબ કહેવાય છે. કેશિલરી ગ્લાસ ટ્યુબ લો અને તેનો એક છેડો પાણીમાં બોળી દો. અનુભવ દર્શાવે છે કે કેશિલરી ટ્યુબની અંદર પાણીનું સ્તર ખુલ્લી પાણીની સપાટી કરતા વધારે છે.

જ્યારે ઘન શરીરની સપાટી પ્રવાહીથી સંપૂર્ણપણે ભીની થઈ જાય છે, ત્યારે સપાટીના તાણનું બળ ઘન શરીર અને પ્રવાહી વચ્ચેના સંપર્કની સીમાને લંબરૂપ નક્કર શરીરની સપાટી સાથે નિર્દેશિત ગણી શકાય. આ કિસ્સામાં, ભીની સપાટી પર પ્રવાહીનો ઉદય ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી કેશિલરીમાં પ્રવાહીના સ્તંભ પર કામ કરતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પ્રવાહીના સંપર્કની સીમા સાથે કામ કરતા સપાટીના તણાવના બળની તીવ્રતામાં સમાન ન બને. રુધિરકેશિકાની સપાટી સાથે (ફિગ. 94):

,

.

અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ કે રુધિરકેશિકામાં પ્રવાહી સ્તંભના ઉદયની ઊંચાઈ રુધિરકેશિકાની ત્રિજ્યાના વિપરિત પ્રમાણમાં છે:

(27.2)

લેપ્લેસનું સૂત્ર.

ચાલો અમુક સપાટ સમોચ્ચ પર આરામ કરતા પ્રવાહીની સપાટીને ધ્યાનમાં લઈએ. જો પ્રવાહીની સપાટી સપાટ ન હોય, તો તેની સંકોચન કરવાની વૃત્તિ સપાટ સપાટીવાળા પ્રવાહી દ્વારા અનુભવાતા દબાણના વધારાના દેખાવ તરફ દોરી જશે. બહિર્મુખ સપાટીના કિસ્સામાં, આ વધારાનું દબાણ સકારાત્મક છે, અંતર્મુખ સપાટીના કિસ્સામાં તે નકારાત્મક છે. પછીના કિસ્સામાં, સપાટીનું સ્તર, સંકોચન કરવાનો પ્રયાસ કરી, પ્રવાહીને ખેંચે છે.

મોસ્કોમાં એચઆર કોર્સના શિક્ષક તરીકે કામ કરો.

વધારાના દબાણનું પ્રમાણ, દેખીતી રીતે, સપાટીના તાણ ગુણાંક α અને સપાટીની વક્રતા વધવા સાથે વધવું જોઈએ. ચાલો પ્રવાહીની ગોળાકાર સપાટી માટે વધારાના દબાણની ગણતરી કરીએ. આ કરવા માટે, અમે ડાયમેટ્રિકલ પ્લેન સાથે પ્રવાહીના ગોળાકાર ટીપાને બે ગોળાર્ધમાં વિખેરી નાખીએ છીએ (ફિગ. 5).

પ્રવાહીના ગોળાકાર ટીપાનો ક્રોસ વિભાગ.

સપાટીના તાણને લીધે, બંને ગોળાર્ધ એકબીજા તરફ સમાન બળ સાથે આકર્ષાય છે:

આ બળ S=πR2 સપાટી સાથે બંને ગોળાર્ધને એકબીજા સામે દબાવે છે અને તેથી, વધારાના દબાણનું કારણ બને છે:

ગોળાકાર સપાટીની વક્રતા સર્વત્ર સમાન હોય છે અને તે ગોળાકાર R ની ત્રિજ્યા દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. દેખીતી રીતે, નાનો R, ગોળાકાર સપાટીની વક્રતા જેટલી વધારે છે. મનસ્વી સપાટીની વક્રતા સામાન્ય રીતે કહેવાતા સરેરાશ વક્રતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે સપાટીના વિવિધ બિંદુઓ માટે અલગ હોઈ શકે છે.

સરેરાશ વક્રતા સામાન્ય વિભાગોની વક્રતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર સપાટીનો સામાન્ય વિભાગ એ આ સપાટીના આંતરછેદની રેખા છે, જેમાં એક પ્લેન સામાન્યમાંથી પસાર થઈને પ્રશ્નાર્થ બિંદુ પર સપાટી પર જાય છે. ગોળા માટે, કોઈપણ સામાન્ય વિભાગ ત્રિજ્યા Rનું વર્તુળ છે (R એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે). H=1/R મૂલ્ય ગોળાની વક્રતા આપે છે. સામાન્ય રીતે, એક જ બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલા વિવિધ વિભાગોમાં વિવિધ વક્રતા હોય છે. ભૂમિતિમાં તે સાબિત થાય છે કે વક્રતાની પારસ્પરિક ત્રિજ્યાનો અડધો સરવાળો

H=0.5(1/R1+1/R2) (5)

પરસ્પર લંબરૂપ સામાન્ય વિભાગોની કોઈપણ જોડી માટે સમાન મૂલ્ય છે. આ મૂલ્ય એ આપેલ બિંદુ પર સપાટીની સરેરાશ વક્રતા છે.

સૂત્ર (5) માં ત્રિજ્યા R1 અને R2 એ બીજગણિતની માત્રા છે. જો સામાન્ય વિભાગના વક્રતાનું કેન્દ્ર આપેલ સપાટીની નીચે હોય, તો વક્રતાની અનુરૂપ ત્રિજ્યા હકારાત્મક હોય છે, જો વક્રતાનું કેન્દ્ર સપાટીની ઉપર આવેલું હોય, તો વક્રતાની ત્રિજ્યા નકારાત્મક હોય છે.

ગોળા R1=R2=R માટે, તેથી (5) H=1/R અનુસાર. 1/R ને H in (4) માં બદલીને, અમે તે મેળવીએ છીએ

લેપ્લેસે સાબિત કર્યું કે ફોર્મ્યુલા (6) કોઈપણ આકારની સપાટી માટે માન્ય છે, જો H દ્વારા આપણે આ બિંદુએ સપાટીની સરેરાશ વક્રતાનો અર્થ કરીએ છીએ, જેના હેઠળ વધારાનું દબાણ નક્કી કરવામાં આવે છે. (6) માં સરેરાશ વક્રતા માટે અભિવ્યક્તિ (5) ને બદલીને, અમે મનસ્વી સપાટી હેઠળ વધારાના દબાણ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

તેને લેપ્લેસનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

વધારાના દબાણ (7) રુધિરકેશિકામાં પ્રવાહી સ્તરમાં ફેરફારનું કારણ બને છે, જેના પરિણામે તેને ક્યારેક કેશિલરી દબાણ કહેવામાં આવે છે.

સંપર્ક કોણનું અસ્તિત્વ જહાજની દિવાલોની નજીક પ્રવાહી સપાટીની વક્રતા તરફ દોરી જાય છે. રુધિરકેશિકામાં અથવા બે દિવાલો વચ્ચેના સાંકડા અંતરમાં, સમગ્ર સપાટી વક્ર છે. જો પ્રવાહી દિવાલોને ભીની કરે છે, તો સપાટી પર અંતર્મુખ આકાર હોય છે, જો તે તેને ભીનું ન કરે, તો તે બહિર્મુખ છે (ફિગ. 4). આ પ્રકારની વક્ર પ્રવાહી સપાટીઓને મેનિસ્કી કહેવામાં આવે છે.

જો રુધિરકેશિકાને વિશાળ વાસણમાં રેડવામાં આવેલા પ્રવાહીમાં એક છેડે ડૂબવામાં આવે છે, તો રુધિરકેશિકામાં વક્ર સપાટી હેઠળ દબાણ સૂત્ર (7) દ્વારા નિર્ધારિત મૂલ્ય ∆p દ્વારા વિશાળ જહાજમાં સપાટ સપાટી સાથેના દબાણથી અલગ હશે. ). પરિણામે, જ્યારે રુધિરકેશિકા ભીની થાય છે, ત્યારે તેમાં પ્રવાહીનું સ્તર જહાજ કરતાં વધુ હશે, અને જ્યારે ભીનું ન થાય ત્યારે તે ઓછું હશે.

તે જાણીતું છે કે જહાજની દિવાલોની નજીકના પ્રવાહીની સપાટી વક્ર હોય છે. પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી, જહાજની દિવાલોની નજીક વક્ર છે, તેને મેનિસ્કસ કહેવામાં આવે છે(ફિગ. 145).

ચાલો આપણે એક પાતળા પ્રવાહી ફિલ્મને ધ્યાનમાં લઈએ, જેની જાડાઈને અવગણી શકાય છે. તેની મુક્ત ઊર્જાને ઘટાડવાના પ્રયાસમાં, ફિલ્મ વિવિધ બાજુઓથી દબાણ તફાવત બનાવે છે. પ્રવાહીના ટીપાં અને અંદરના સાબુના પરપોટામાં સપાટીના તાણની ક્રિયાને કારણે, વધારાનું દબાણ(ફિલ્મને સંકુચિત કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી બબલની અંદરનું દબાણ ફિલ્મના વધારાના દબાણની માત્રા દ્વારા વાતાવરણીય દબાણને ઓળંગી ન જાય).

ચોખા. 146.

વધારાના દબાણનું પ્રમાણ, દેખીતી રીતે, સપાટીના તાણ ગુણાંક અને સપાટીની વક્રતા વધવા સાથે વધવું જોઈએ.

ચોખા. 147.

.

આ બળ બંને ગોળાર્ધને સપાટી પર એકબીજા સામે દબાવે છે અને તેથી, વધારાના દબાણનું કારણ બને છે:

ગોળાકાર સપાટીની વક્રતા દરેક જગ્યાએ સમાન હોય છે અને તે ગોળાની ત્રિજ્યા દ્વારા નક્કી થાય છે. દેખીતી રીતે, ગોળાકાર સપાટીની વક્રતા જેટલી નાની, વધારે તેટલી.

સાબુના બબલની અંદરનું વધારાનું દબાણ બમણું વધારે છે, કારણ કે ફિલ્મની બે સપાટીઓ છે:

વધારાનું દબાણ સાંકડી નળીઓ (રુધિરકેશિકાઓ) માં પ્રવાહીના સ્તરમાં ફેરફારનું કારણ બને છે, જેના પરિણામે તેને ક્યારેક કહેવામાં આવે છે. કેશિલરી દબાણ.

મનસ્વી સપાટીની વક્રતા સામાન્ય રીતે કહેવાતા સરેરાશ વક્રતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે સપાટીના વિવિધ બિંદુઓ માટે અલગ હોઈ શકે છે.

મૂલ્ય ગોળાની વક્રતા આપે છે. ભૂમિતિમાં તે સાબિત થાય છે કે પરસ્પર લંબરૂપ સામાન્ય વિભાગોની કોઈપણ જોડી માટે વક્રતાના પારસ્પરિક ત્રિજ્યાના અડધા સરવાળા સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે:

. (1)

આ મૂલ્ય એ આપેલ બિંદુ પર સપાટીની સરેરાશ વક્રતા છે. આ સૂત્રમાં, ત્રિજ્યા એ બીજગણિતની માત્રા છે. જો સામાન્ય વિભાગના વક્રતાનું કેન્દ્ર આપેલ સપાટીની નીચે હોય, તો વળાંકની અનુરૂપ ત્રિજ્યા હકારાત્મક છે; જો વક્રતાનું કેન્દ્ર સપાટીની ઉપર આવેલું હોય, તો વક્રતાની ત્રિજ્યા નકારાત્મક છે (ફિગ. 148).

ચોખા. 148.

ઉદાહરણ તરીકે, ગોળા માટે, સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વક્રતાના કેન્દ્રો ગોળાના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય છે, તેથી . ત્રિજ્યાના ગોળાકાર સિલિન્ડરની સપાટીના કેસ માટે આપણી પાસે છે: , અને .

તે સાબિત કરી શકાય છે કે કોઈપણ આકારની સપાટી માટે સંબંધ માન્ય છે:

અભિવ્યક્તિ (1) ને સૂત્ર (2) માં બદલીને, આપણે મનસ્વી સપાટી હેઠળ વધારાના દબાણ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ, જેને કહેવાય છે લેપ્લેસનું સૂત્ર(ફિગ. 148):

. (3)

ત્રિજ્યા અને સૂત્રમાં (3) બીજગણિતની માત્રા છે. જો સામાન્ય વિભાગના વક્રતાનું કેન્દ્ર આપેલ સપાટીની નીચે હોય, તો વળાંકની અનુરૂપ ત્રિજ્યા હકારાત્મક છે; જો વક્રતાનું કેન્દ્ર સપાટીની ઉપર આવેલું હોય, તો વક્રતાની ત્રિજ્યા નકારાત્મક છે.

ઉદાહરણ.જો પ્રવાહીમાં ગેસનો પરપોટો હોય, તો પરપોટાની સપાટી, સંકુચિત થવાનું વલણ ધરાવતા, ગેસ પર વધારાનું દબાણ લાવશે. . ચાલો પાણીમાં પરપોટાની ત્રિજ્યા શોધીએ કે જેના પર વધારાનું દબાણ 1 બરાબર છે એટીએમ. .પાણીના સપાટીના તાણનો ગુણાંક બરાબર છે . તેથી, નીચેના મૂલ્ય માટે પ્રાપ્ત થાય છે: .